Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Aula 5 Fundamentos de Matemática 1. Números reais algebricamente (axiomaticamente): R é um corpo Aula 5 Fundamentos de

Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 5

11 de janeiro de 2014

Aula 5 Fundamentos de Matemática 1

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é um corpo


Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.



























R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.


R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










R é um corpo










Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Observações

A notaçãoab




a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.


Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]




































































a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]




1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]




1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]


[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).


[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).


[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).


[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].


[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Exercício.


[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.



[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.



[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.



[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.



[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.



[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.


[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.


[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).


[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].


[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.


[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).


[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).


[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.


[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA20]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA20]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA21]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.



[PA21]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.



[PA22]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA22]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA23]

1ab

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}.



[PA23]

1ab

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}.



[PA24]

abcd

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.



[PA24]

abcd

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.



[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.


[PA25]




[PA25]




[PA25]




[PA25]




[PA25]




[PA25]




[PA25]




[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).


[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!


Observação


a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,


a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.



Observação


a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,


a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.



Observação


a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,


a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.



Observação


a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,


a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.



Observação


a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,


a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.



[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].


[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.



[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.



[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.



[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.



[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.



[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.



[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.



[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.



[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.


[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.


[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA31]

ab=

cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.



[PA31]

ab=

cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.



[PA32]

ab+

cd

=a · db · d

+b · cb · d

=a · d + b · c

b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.



[PA32]

ab+

cd

=a · db · d

+b · cb · d

=a · d + b · c

b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.



Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado


R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.


R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










R é ordenado










Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos



−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivos

números reais negativos



−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos


Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a a. Prova:

a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.


Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.




Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado


∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a 0, a b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]






























































[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.


[PO01]




[PO01]




[PO01]




[PO01]




[PO01]




[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.


[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.


[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.


[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,



[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.


[PO06]




[PO06]




[PO06]




[PO06]




[PO06]




[PO06]




[PO06]




[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).


[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,



[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.


[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0





[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a 0 tais que a ·c 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a 0, a b · c.



[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.



[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.



[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.


(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.


[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.


[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).




[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).



[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).



[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).



[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).


[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.



[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.



[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.



[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.


[PO14]




[PO14]




[PO14]




[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).


[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.



[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.



[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.



[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.


[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.



[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.



[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.



[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.


[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.



[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.



[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.



Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.


Observações








Observações








Observações








Observações








Observações








Observações








Observações








Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Módulo (ou valor absoluto) de umnúmero real


Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.

|p| < a⇔ −a a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.

∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).

∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedade [PM01]: demonstração

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.

Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.

(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.



∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.

a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.

(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então

|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.

(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.

Observação.

A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!

Mas sua recíproca é falsa!

(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.

a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.

Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.



∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.

De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1

b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.




Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.

Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a 0. Temos então que

|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.

Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.

Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.


|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.




































































































































































































Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:

− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|(exercício da lista) ⇓ (exercício da lista)

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.






− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.

Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que

|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.

Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que

∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Interpretação geométrica

−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



a b

d(a,b) ={

b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a

= |b − a|.

Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.



a b

d(a,b) ={


= |b − a|.




a b

d(a,b) ={


= |b − a|.




a b

d(a,b) ={


= |b − a|.



Duas propriedades importantes

|p| < a ⇔ −a a ⇔ p < −a ou p > a

Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.

0

−a ap


Duas propriedades importantes

|p| < a ⇔ −a a ⇔ p < −a ou p > a

Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.

0

−a ap


Aplicação

Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.

|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação

Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.

|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação

Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.

|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.

|x − 2| é a distância de x a 2.

Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).

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Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Aula 5 Fundamentos de Matemática 1. Números reais algebricamente (axiomaticamente): R é um corpo Aula 5 Fundamentos de