FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Fundamentos de Matemática I · 9 Fundamentos de Matemática I. 183 Fundamentos de Matemática I icenciatra em incias Pniesp dlo 1 ... e que é conhecida

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

9.1 Coordenadas cartesianas no plano9.2 A circunferência trigonométrica; orientação 9.3 Definição de seno e cosseno de um número real9.4 O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais 9.5 Outras funções trigonométricas9.6 Gráficos das funções trigonométricas 9.7 Funções inversas9.8 Aplicações

9.8.1 Movimento harmônico simples9.8.2 Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples9.8.3 Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais9.8.4 Ondas estacionárias9.8.5 Sons dos instrumentos musicais9.8.6 Corrente alternada9.8.7 Circuito LC

Gil da Costa Marques

9FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

183

Fundamentos de Matemática I

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

9.1 Coordenadas cartesianas no planoA melhor forma de introduzir as funções trigonométricas é fazer uso de um sistema

cartesiano de coordenadas no plano.

Um ponto P no plano tem sua posição caracterizada pelas suas coordenadas cartesianas (x, y). Elas são determinadas da seguinte forma: traçamos, a partir de P, duas retas paralelas aos

eixos, indicadas por retas tracejadas, até elas encontrarem os eixos x e y, respectivamente.

Esses pontos de encontro das retas tracejadas com os eixos definem as coordenadas cartesianas

da posição do corpo. Convencionou-se que o valor da coordenada x do ponto P será igual à

distância desse ponto de encontro até a origem se P

estiver no sentido da f lecha a partir da origem. Caso

contrário, o valor da coordenada é igual à distância

precedida de um sinal menos, isto é, as coordenadas

terão valores negativos quando o ponto P estiver no

sentido oposto ao da f lecha a partir da origem.

A mesma regra se aplica para a coordenada y.Observe que, exceto pelo sinal, as coordenadas são

definidas como projeções do ponto P sobre os eixos.

9.2 A circunferência trigonométrica; orientação Consideremos uma circunferência de centro na origem do sistema cartesiano e raio unitário.

Nessa circunferência vamos considerar o ponto A = (1, 0) como a origem para marcar os arcos.

Um sistema cartesiano é baseado na escolha de um ponto, ao qual damos o nome de ponto origem do sistema de referência, e dois eixos ortogonais entre si passando por esse ponto. Em seguida, orientamos esses eixos. Tais eixos são designados, em geral, por x (o eixo horizontal ou eixo das abscissas) e y (o eixo vertical ou eixo das ordenadas).

Figura 9.1: Coordenadas cartesianas de dois pontos no plano.

184

9 Funções trigonométricas


Já sabemos que medir é comparar. Para medir um arco qualquer AB , precisamos verificar

quantas vezes a unidade de medida “cabe” nele. A fim de medir arcos e ângulos orientados,

temos duas unidades de medida específicas: o grau e o radiano. Para medir os arcos, podemos

também encontrar seu comprimento e então as unidades usuais podem ser utilizadas, como

metros (m) no sistema MKS.

Como o raio da circunferência é unitário, cada arco de comprimento l – isto é, o arco

tem comprimento igual a l metros – tem l radianos, ou seja, o número de radianos do arco

é numericamente igual ao seu comprimento em unidades de

medida de comprimento.

Para cada número real positivo θ dado, percorremos a circun-

ferência trigonométrica no sentido anti-horário a partir de

A = (1, 0) e marcamos um arco de comprimento igual a θ

metros (isto é, um arco de θ radianos). Se o número real dado

for negativo, procedemos de maneira análoga, mas agora no

sentido horário. Se o número real for zero, a ele corresponde

o próprio ponto A.

A circunferência orientada, de raio 1, com um referencial cartesiano acoplado a ela, com

origem no seu centro, é chamada circunferência trigonométrica – ou círculo trigonométrico,

se encaramos a região do plano.

Figura 9.3: Sistema de coordenadas no centro do círculo de raio unitário.

Figura 9.2: A circunferência trigonométrica.

185



Exemplos

• ExEmplo 11. Um arco de 1 rad corresponde a um arco de quantos graus?2. E um arco de 1° tem quantos radianos?3. Encontre a medida em graus do ângulo α formado pelos ponteiros de um relógio analógico às 13h

e 20 min.

→ REsolução: 1. Uma vez que a circunferência trigonométrica (raio unitário) tem comprimento 2π m (no sistema

MKS), ela tem 2π rad e como tem 360° podemos estabelecer a seguinte regra de três:

2π rad 360°

1 rad x

de onde obtemos:

2. Novamente, por meio da regra de três, temos:

π rad 180°

x 1°

de onde obtemos:

.

3. O ponteiro das horas: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, percorre 30° = π/6 rad.

Então, em 20 min, o ponteiro das horas “anda” π/18 rad.O ponteiro dos minutos: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, “anda” 360° = 2π rad.Então, em 20 min, o ponteiro dos minutos “anda” (2π)/3 rad.Portanto, em radianos, o ângulo α procurado é:

ou seja, o ângulo procurado é de 80°.

x = °=

°≅ ( )°360

2180 57 32

π π,

Figura 9.4: Os ponteiros de um relógio analógico às 13h e 20 min.

x = ≅π

1800 0174rad rad.,

απ π π π π π

= − +

= − =

23 6 18

23

29

49

.

186



9.3 Definição de seno e cosseno de um número real

A função seno é definida a partir da análise das propriedades de pontos localizados sobre

uma circunferência. Não difere assim da ideia original de Hiparco. No entanto, agora,

consideramos um sistema de coordenadas com um ponto de origem localizado no centro do

círculo trigonométrico.

A cada ponto da circunferência trigonométrica corresponde um par ordenado de números

reais, pois podemos associar a qualquer ponto P sobre a circunferência de raio 1 o par ordenado

correspondente ao valor de suas coordenadas. Dessa maneira,

P ∈ circunferência (x, y), onde x ∈ e y ∈

Cada ponto P sobre a circunferência, por outro lado, pode ser caracterizado também pelo

valor do ângulo θ que lhe corresponde. Tendo em vista esse fato, tal correspondência associa, a

cada valor de θ, um valor bem definido da abscissa e um valor bem definido da ordenada do

ponto associado ao ângulo.

Ou seja, a cada valor do ângulo θ (medido em radianos), caracterizando um ponto sobre a

circunferência, podemos considerar duas funções: a primeira delas associa a abscissa do ponto,

ao passo que a segunda associa a ordenada do ponto:

9.1

e

9.2

A primeira associação define a função cosseno do ângulo θ:

9.3

f x1 : θ∈ ∈��

f y2 : θ∈ ∈��

f1 θ θ( ) = cos

187



enquanto a segunda associação define a função seno:

9.4

Ambas as funções são periódicas, de período 2π, isto é:

9.5

Para justificar esse fato, basta observar que, na circunferência, os pontos correspondentes ao

número real θ e ao número real θ + 2π (ou, de modo mais geral, θ + 2kπ, onde k é um número

inteiro) têm as mesmas coordenadas.

Por definição, as funções seno e cosseno são definidas para qualquer número real positivo

ou negativo. Isso significa que o domínio de ambas as funções é o conjunto dos números reais.

Os conjuntos imagens dessas funções são, em ambos

os casos, o intervalo [−1,1]. Podemos, portanto, escrever:

9.6

A fim de analisar as imagens das funções trigono-

métricas para um número real qualquer, que define

um arco na circunferência trigonométrica, dividimo-la

em quatro partes, determinando quatro regiões deno-

minadas quadrantes. Cada quadrante corresponde

assim a intervalos no círculo unitário, cada um deles

diferindo do anterior por π/2 radianos.

Na Figura 9.5 observamos o valor das funções

sen e cos para alguns números reais.

Definimos a função denominada tg como o quociente das duas funções trigonométricas sen

e cos, isto é,

9.7

f2 θ θ( ) = sen

cos cos

sen sen

θ θ π

θ θ π

= +( )= +( )

2

2

Figura 9.5: Círculo trigonométrico com alguns valores das funções sen e cos.

− ≤ ≤− ≤ ≤

1 11 1

sencos

θθ

tg sencos

x xx

=

188



cujo domínio é constituído por todos os números reais, tais que o denominador não seja zero,

isto é, que cos x ≠ 0, ou seja x ≠ π/2 + kπ, onde k é um número inteiro.

Analisando com cuidado a Figura 9.5, podemos compor a Tabela 9.1:

Tabela 9.1: Características e conjuntos domínio e imagem de algumas funções trigonométricas.

Função Paridade Período Sinais Domínio Imagem

sen α Ímpar

sen (−α) = −sen α 2π−−

+ +

[−1, 1]

cos α Par

cos (−α) = cos α 2π−

− +

+

[−1, 1]

tg α Ímpar tg (−α) = −tg α π

−

− +

+

x ≠ π/2 + kπ, onde k é inteiro

Podemos observar ainda que, quando:

• x = 0, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto A = (1, 0) e, portanto,

cos 0 = 1, sen 0 = 0 e tg 0 = 0;• x = π/2, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto B = (0, 1) e, portanto,

cos(π/2) = 0, sen(π/2) = 1 e tg(π/2) não existe;

• x = π, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto C = (−1, 0) e, portanto,

cos π = −1, sen π = 0 e tg π = 0;• x = (3π/2), obtemos na circunferência trigonométrica o ponto D = (0, −1) e, portanto,

cos(3π/2) = 0, sen(3π/2) = −1 e tg(3π/2) não existe.

A respeito das funções sen e cos, ressaltamos que uma propriedade simples e notável é a de

que para todo número real θ:

9.8

que também se escreve

sen2θ + cos2θ = 1

e que é conhecida como relação fundamental da trigonometria.

(sen ) (cos )θ θ2 2 1+ =

189



9.4 O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais

Utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar

que, para quaisquer números reais a e b, vale a relação:

9.9

De fato, examinando a Figura 9.6 que mostra a circunferência

trigonométrica e dois pontos P = (cosa, sena) e Q = (cosb, senb), vamos

calcular a distância entre esses dois pontos de duas maneiras: usando a

“fórmula” da distância e a lei dos cossenos aplicada ao triângulo 0PQ.

Usando a fórmula da distância, temos:

9.10

e, usando a lei dos cossenos, temos:

9.11

pois cos(a − b) = cos[−(b − a)] = cos(b − a), uma vez que cos é uma função par.

Igualando 9.10 e 9.11, temos: (cosa − cosb)2 + (sena − senb)2 = 2 − 2.cos(a − b).

Desenvolvendo os quadrados, fazendo as simplificações possíveis e utilizando a relação

fundamental, temos:

ou seja,

cosa.cosb + sena.senb = cos(a − b)

ou, de modo equivalente,

cos(a − b) = cosa.cosb + sena.senb.

Figura 9.6: Os pontos P = (cosa, sena) e Q = (cosb, senb).

cos( ) cos .cos sen .sena b a b a b− = +

d a b a b2 2 2= − + −(cos cos ) (sen sen )

d a b2 2 21 1 2= + − ⋅ −cos( )

cos cos .cos cos sen sen .sen sen .cos( )2 2 2 22 2 2 2a a b b a a b b a b− + + − + = − −22 2 2 2 2− − = − −.cos .cos .sen .sen .cos( )a b a b a b

190



A partir dessa relação, podemos verificar outras relações igualmente úteis:

•

Em primeiro lugar, cos(a + b) = cos(a −(−b)).

Agora, como cos é uma função par, isto é, para todo x real, cos x = cos(−x) e sen é uma

função ímpar, isto é, sen x = −sen(−x), temos:

cos(a −(−b)) = cosa.cos(−b) + sena.sen(−b) = cosa.cosb − sena.senb

Logo, cos(a + b) = cosa.cosb − sena.senb.

•

Para encontrar sen(a + b), observamos que cos senπ2−

=x x e que cos senx x= −

π2

.

De fato,

cos cos cos sen sen senπ π π2 2 2−

= ⋅ + ⋅ =x x x x, uma vez que cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1

e

pois cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1.

Desse modo,

ou seja,

•

cos( ) cos .cos sen .sena b a b a b+ = − 9.12

9.13 sen( ) sen .cos sen .cosa b a b b a+ = +

cos cos cos cos sen senx x x= − −

= ⋅ −

+ ⋅

π π π π π π2 2 2 2 2 22 2

−

= −

x xsen ,π

sen( ) cos cos cosa b a b a b a+ = − +( )

= −

−

= −

π π π2 2 2

+ −

.cos sen .senb a bπ

2

sen( ) sen .cos cos .sena b a b a b+ = +

9.14 sen( ) sen .cos sen .cos .a b a b b a− = −

191



Temos:

pois cos é uma função par e sen é uma função ímpar.

• ExEmplo 24. Calcule sen, cos e tg dos números π/2 + x, π/2 − x, x −(3π)/2, 2π − x, em termos de sen x, cos x e

tg x, sendo x um número entre 0 e π/2.

•

sen( ) sen( ( )) sen .cos( ) cos .sen( ) sen .cos ca b a b a b a b a b− = + − = − + − = − oos .sen ,a b

sen sen cos sen .cos cos .π π π2 2 2+

= ⋅ + =x x x x

Figura 9.7: sen cosπ2+

=x x

cos cos cos sen sen senπ π π2 2 2+

= ⋅ − ⋅ = −x x x x

Figura 9.8: cos senπ2+

= −x x

tgsen

cos

cossen tg

sen

ππ

π22

2

1+

=

+

+

=−

= −xx

x

xx x

ππ π π2 2 2−

= ⋅ − =x x x xsen cos sen .cos cos

•

•

192



Figura 9.9: sen cosπ2−

=x x

• cos cos cos sen sen senπ π π2 2 2−

= ⋅ + ⋅ =x x x x

Figura 9.10: cos senπ2−

=x x

•

•

tgsen

cos

cossen tg

sen

ππ

π22

2

1−

=

−

−

= =

−

xx

x

xx x

x 332

32

32

π π π

= − ⋅ =sen .cos sen cos cosx x x

Figura 9.11: sen cosx x−

=

32π

• cos cos .cos sen .sen senx x x x−

= + = −

32

32

32

π π π

193



Evidentemente, sen(2π − x) = sen(−x) = −senx.

Figura 9.12: cos senx x−

= −

32π

tgsen

cos

cossen tg

xx

x

xx x

−

=

−

−

=−

= −32

32

32

1ππ

π•

•

Figura 9.14: cos( ) cos2π − =x x

tg( ) tg( ) tg2π − = − = −x x x

•

Figura 9.13: sen( ) sen2π − = −x x

cos( ) cos( ) cos2π − = − =x x x

194



9.5 Outras funções trigonométricasAs demais funções trigonométricas relevantes podem ser definidas a partir das anteriores,

respeitadas as condições de existência.

Definimos a função cotangente como o inverso da função tangente:

9.15

Definimos ainda a função secante como o inverso da função cosseno. Temos, pois:

9.16

e definimos a função cossecante como o inverso da função seno:

9.17

Essas funções são igualmente periódicas, de período 2π, no caso das funções sec e cossec, e

de período π, no caso das funções tg e cotg. Também obedecem a critérios de paridade a partir

das funções que lhes deram origem.

cotgtg

cossen

θθ

θθ

= =1

seccos

θθ

=1

cossecsen

θθ

=1

Figura 9.15: Geometria das funções trigonométricas no círculo unitário. sen α = XMcos α = OMtg α = ATcotg α = BGsec α = OScossec α = OC

195



9.6 Gráficos das funções trigonométricas Os gráficos das funções trigonométricas são apresentados a seguir.

9.7 Funções inversasAs funções trigonométricas anteriores são inversíveis apenas em subconjuntos do domínio,

isto é, globalmente, nenhuma função trigonométrica é inversível. Esse fato deve ser bastante

evidente, pois todas elas são funções periódicas e, consequentemente, valores diferentes do

domínio têm a mesma imagem, o que inviabiliza a inversibilidade.

Gráfico 9.1: Gráficos das funções trigonométricas.

É importante lembrar que uma função e sua inversa possuem gráficos simétricos com relação à reta y = x.

196



a. A função arcsen

Para que seja possível definir a função arcsen, vamos considerar a restrição da função sen ao

intervalo −

π π2 2

, , isto é:

9.18

Essa função é inversível, pois é uma função estritamente crescente e a sua inversa é a função

denominada arcsen:

9.19

Os gráficos da função arcsen e da restrição da função sen, no mesmo sistema de coordenadas,

são então os seguintes:

b. De modo análogo, para que seja possível definir a função arccos, vamos também considerar

uma restrição da função cos que agora é ao intervalo [0, π], isto é:

9.20

sen : , ,,−

−

→ − +[ ]π π

π π

2 2 2 21 1

x x sen

arcsen : , ,

arcse

− +[ ]→ −

1 12 2π π

x nn x

Gráfico 9.2: Os gráficos de sen : , ,,−

−

→ − +[ ]π π

π π

2 2 2 21 1

x x sen

e de arcsen : , ,

arcse

− +[ ]→ −

1 12 2π π

x nn x

.

Os gráficos de

y = sen x, para x∈ −

π π2 2

, ,

e de

y = arcsen xsão simétricos em relação à reta y = x.

cos : , ,

cos,0 0 1 1π π[ ] [ ]→ − +[ ]

x x

197



Essa função é inversível, pois é uma função estritamente decrescente e a sua inversa é a

função denominada arccos:

9.21

Os gráficos da função arccos e da restrição da função cos, no mesmo sistema de coordenadas,


c. A função arctg

Finalmente, para poder definir a função arctg, vamos considerar a restrição da função tg ao

intervalo −

π π2 2

, , isto é:

9.22

Observamos que essa função é inversível, pois é uma função estritamente crescente e a sua

inversa é a função denominada arctg:

9.23

arccos : , ,arccos

− +[ ]→ [ ]1 1 0 π

x x

Gráfico 9.3: Os gráficos de cos : , ,

cos,0 0 1 1π π[ ] [ ]→ − +[ ]

x x

e de arccos : , ,arccos

− +[ ]→ [ ]1 1 0 π

x x

Os gráficos de

y = cos x, para x ∈ [0, π],e de

y = arccos xsão simétricos em relação à reta y = x.

tg : , ,,−

−

→ −∞ +∞] [π π

π π

2 2 2 2

xx x tg

arctg : , ,

arctg

−∞ +∞] [→ −

π π2 2

x xx

198



Os gráficos da função arctg e da restrição da função tg, no mesmo sistema de coordenadas,


De maneira completamente análoga, podemos definir as inversas das outras três funções trigonomé-

tricas, considerando a devida restrição de domínio, a fim de obter, em cada caso, uma função inversível.

• ExEmplo 3Calcule o valor de:

a. arcsen 12 6=π

b. arcsen −

= −

12 6

π

c. arcsen sen π π6 6

=

d. arcsen sen arcsen56

12 6

π π

=

=

e. arccos cos 53 3π π

=

f. arctg tg 34 4π π

= −

Gráfico 9.4: Os gráficos de tg : , ,,−

−

→ −∞ +∞] [π π

π π

2 2 2 2

xx x tg

e de arctg : , ,

arctg

−∞ +∞] [ → −

π π2 2

x xx

.

Os gráficos de

y = tg x, para x∈ −

π π2 2

, ,

e de

y = arctg xsão simétricos em relação à reta y = x.

199



9.8 AplicaçõesSão muitas as aplicações das funções trigonométricas nas várias áreas do conhecimento, espe-

cialmente na física. A seguir, apresentaremos três delas: na descrição do movimento harmônico

simples, no estudo das ondas harmônicas, nele destacando o entendimento dos sons produzidos

pelos instrumentos musicais, e no entendimento de alguns circuitos de corrente alternada.

No movimento oscilatório mais simples (o movimento harmônico simples), o móvel exe-

cutará um movimento que é inteiramente descrito (posição, velocidade e aceleração) por meio

de funções trigonométricas.

No caso do movimento ondulatório, consideramos o caso das ondas harmônicas, as quais se

propagam de acordo com uma função trigonométrica. A natureza e as características dos sons dos

instrumentos musicais podem ser entendidas a partir do conceito de ondas estacionárias (resultado

que depende da soma de funções trigonométricas e da determinação das frequências emitidas pelas

cordas dos instrumentos. Essas frequências têm a ver com os zeros de funções trigonométricas.)

Finalmente, nos circuitos de corrente alternada, é essencial o uso dessas funções. Esse ponto

será ilustrado com a análise do circuito mais simples entre todos: o circuito LC.

9.8.1 Movimento harmônico simples

O movimento oscilatório (e, portanto, periódico) mais simples é o de dispositivos que são

denominados osciladores harmônicos simples. Na mecânica, o movimento harmônico simples

de uma partícula de massa m, cuja coordenada é x, é definido como aquele em que a força que

age sobre a partícula tem a forma

9.24

ou seja, a força é proporcional ao deslocamento, mas no sentido oposto a ele. A constante k é

denominada constante elástica.

Um exemplo simples desse tipo de força ocorre no caso em que procuramos deformar uma

substância elástica (como um elástico comum, por exemplo). Enquanto a deformação não for

muito grande, a força é proporcional ao deslocamento (ou à deformação imposta), mas atua

F x kx( ) = −

200



sempre no sentido contrário ao dele. É uma tendência ou reação natural no sentido de buscar a

restauração da forma original. Por isso, a constante k é referida como a constante elástica.

A lei de Newton se escreve, no caso do M.H.S.:

9.25

A solução geral para a equação de Newton (9.25) pode ser escrita sob a forma de uma das

funções trigonométricas (seno ou cosseno). Escrevemos:

9.26

ou, analogamente,

9.27

Trata-se de uma solução que envolve três parâmetros (A, ω, θ0) até esse ponto desconhecidos

e que serão determinados como segue.

Figura 9.16: Força elástica em ação.

ma kx= −

x t A t( ) = +cos( )ω θ0

x t A t t( ) = −[ ]cos( )cos( ) sen( )sen( )ω θ ω ωθ0 0

201



Observe primeiramente que a solução proposta (9.26) é tal que o valor máximo do deslo-

camento xm será dado por:

9.28

O parâmetro A é, portanto, a amplitude do movimento. A constante θ0 é uma fase dita

fase inicial. Como veremos depois, as constantes A e θ0 podem ser determinadas a partir das

condições iniciais, isto é, a partir da posição e da velocidade iniciais do móvel:

9.29

Analisaremos agora a constante ω. Pode-se mostrar que a expressão 9.26 envolvendo a

função cosseno é uma solução da equação 9.25 desde que a constante ω seja dada por:

9.30

E, portanto, a constante ω depende da massa e da constante elástica da mola. Veremos a seguir

que essa constante está também relacionada ao período do movimento.

Como dito anteriormente, o movimento do oscilador harmônico é periódico. O período é

determinado a partir da condição bastante geral enunciada na introdução e que, nesse caso, é:

9.31

Tendo em vista que a função seno é uma função periódica de período 2π, então, da solução

proposta em 9.26, segue-se que o período do movimento será dado pela relação

9.32

Portanto, de acordo com 9.30 e 9.32, o período do movimento harmônico simples é dado por:

9.33

x Am =

x x v v0 00 0( ) = ( ) =

ω=km

x t T x t+( ) = ( )

ω πT = 2

T mk

= =2 2πω

π

202



A frequência, sendo o inverso do período, será dada pela expressão:

9.34

A frequência do oscilador harmônico depende, portanto, da massa da partícula e da

constante elástica k.

9.8.2 Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples

Pode-se mostrar que, num movimento harmônico simples, a velocidade da partícula em

função do tempo é dada por outra função trigonométrica, isto é, para x dado pela expressão

9.26, a velocidade é dada por:

9.35

onde as constantes A, ω e θ0 são aquelas definidas anteriormente.

A aceleração varia igualmente com o tempo. Sua variação é análoga à da posição:

9.36

onde, de novo, se aplicam as definições de A, ω e θ0 já dadas. Observe que, de 9.36 e 9.26, pode-

mos estabelecer uma relação entre a aceleração e a posição de uma partícula, a qual é dada por:

9.37

Essa relação decorre de uma propriedade geral do movimento harmônico simples, mais

especificamente, da lei de Newton (9.25).

Observando as expressões 9.35 e 9.36, notamos que os valores máximos para a velocidade

e aceleração são, respectivamente,

9.38

fT

km

= = =1

21

2ωπ π

v t A t( ) = − +ω ω θsen( )0

a t A t( ) = − +ω ω θ20cos( )

a t x t kmx t( ) = − ( ) = − ( )ω2 .

v Aa Am

m

=

=

ω

ω2

203



A seguir, apresentamos os gráficos de a × t, v × t e x × t do movimento harmônico simples.

Como se vê, trata-se, essencialmente, de gráficos de funções trigonométricas.

Observe que, quando a coordenada da posição do móvel atinge os valores máximos

(x = + A) e mínimos (x = −A), a velocidade do móvel é nula. Por outro lado, nos pontos de

maior velocidade (em qualquer direção), o valor da coordenada (e o da aceleração) é igual a zero.

9.8.3 Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais

As ondas harmônicas constituem-se num tipo muito especial de ondas. Elas são carac-

terizadas por uma função trigonométrica, seno ou cosseno, que descreve o perfil da onda

(a sua forma, portanto). Assim, para uma onda harmônica unidimensional que se propaga com

velocidade v ao longo do eixo x, escrevemos:

9.39

onde A (na equação 9.39) é a amplitude da onda, pois é o valor máximo da função f, e k é uma

constante que caracteriza a onda harmônica. Tal constante é conhecida pelo estranho nome de

vetor de onda. Outra forma de escrever a expressão 9.39, e bastante comum, é:

9.40

Gráfico 9.5: Gráficos de a × t, v × t e x × t do movimento harmônico simples.

f x vt A k x vt A k x vt−( ) = −( )( ) −( )( ) cos sen

f x vt A kx t A kx t−( ) = −( ) −( ) cos senω ω

204



A expressão 9.40 parece introduzir uma nova constante para descrever a onda (a constante ω).

Esse não é o caso, no entanto, uma vez que essa constante se relaciona com as demais de acordo

com a expressão:

9.41

O que é notável, observando-se 9.39, é o fato de que, como as funções trigonométricas são

periódicas de período 2π, uma onda harmônica tem um perfil que se repete tanto no espaço

quanto no tempo. Isso decorre do fato de que, depois de um intervalo de tempo T, conhecido

como o período da onda harmônica, dado por:

9.42

a onda propagada, depois de decorrido esse intervalo de tempo, se torna indistinguível da onda inicial.

Portanto, de 9.41 e de 9.42, segue-se que o período do movimento ondulatório, em função

do vetor de onda k e da velocidade de propagação da onda, v, é dado por:

9.43

Define-se a frequência da onda ( f ) como o inverso do período:

9.44

A unidade de frequência mais utilizada para ondas em geral é o Hertz, definido como o

inverso do segundo.

Depois de percorrido um intervalo de distância no espaço, denominado comprimento de

onda (aqui representado pela letra λ), a onda se torna indistinguível daquela de quando iniciou

o percurso. Isso ocorre para valores de λ tais que:

9.45

kv = ω

ω πT = 2

Tkv

= =2 2πω

π

fT

kv= =

12π

kλ π= 2

205



Assim, o comprimento de onda nada mais é do

que a distância entre, por exemplo, dois máximos da

onda (veja Figura 9.17).

De 9.45 e 9.41 segue-se que existe uma relação

bem simples entre a velocidade da onda, sua frequência

e o comprimento de onda:

9.46

9.8.4 Ondas estacionárias

O estudo das ondas estacionárias é relevante para o entendimento dos sons produzidos pelos

diferentes instrumentos musicais, quer sejam eles de sopro ou de cordas. Ao dedilharmos um

instrumento de cordas, produzimos uma onda que se propaga até o ponto no qual ela está presa.

Nesse ponto, ela volta sobre si mesma. Nessas circunstâncias, devemos analisar a superposição de

duas ondas harmônicas que se propagam em sentidos opostos.

Consideremos o caso de duas ondas y1(x, t) e y2(x, t). De acordo com o princípio da super-

posição, a onda resultante é dada como uma soma das duas ondas. Escrevemos assim:

9.47

E, portanto, a onda resultante de duas ondas harmônicas viajando em sentidos opostos é

dada pela soma:

9.48

Tal onda é dita estacionária, pois, a rigor, ela não se propaga. Assim, uma onda estacionária

pode ser definida como uma onda cuja amplitude varia apenas com os pontos do espaço e sua

dependência em relação ao tempo assume a forma de um MHS:

9.49

Figura 9.17: Comprimento de onda de uma onda harmônica.

v f= λ

y x t y x t y x t, , ,( ) = ( ) + ( )1 2

y x t A kx t A kx t A kx t, sen sen sen cos( ) = −( ) + +( ) =ω ω ω2

y x t A x t, ( )sen( ) = ω

206



Assim, no caso de uma corda de um instrumento musical, cada um dos seus pontos executará

um movimento harmônico simples com uma amplitude que depende do ponto ao longo dela:

9.50

Analisando a solução 9.48, percebemos que teremos a formação de pontos, na corda, nos

quais a amplitude resultante se anula (pontos ditos nós). Formam-se pontos fixos na corda, que

não se movimentam. As posições desses pontos ocorrem para valores ao longo do eixo x de

tal sorte que eles são denumeráveis, isto é, podem ser indexados por um número inteiro. Tais

pontos (os nós) designados por xn são tais que:

9.51

Figura 9.18: Superposição de duas ondas harmônicas diferindo apenas no sentido da propagação. A onda resultante é dita estacionária.

A x A kx( ) sen= 2

senkxn = 0

207



ou seja, os nós correspondem aos zeros da função seno. Os valores associados aos nós são

expressos, genericamente, pela condição:

9.52

Se a corda tem comprimento L, então, a condição 9.51 implica uma restrição em relação aos

possíveis comprimentos de onda das ondas estacionárias produzidas por ela, isto é, fazendo xm = L

em 9.52, concluímos que só as ondas cujo comprimento de onda seja dado por:

9.53

se propagam pela corda.

Os pontos de amplitudes máximas (denominados antinós) são aqueles para os quais:

9.54

Tais valores implicam a seguinte condição:

9.55

Donde inferimos que os antinós podem ocorrer para valores

dados por:

9.56

9.8.5 Sons dos instrumentos musicais

A seguir, consideraremos os possíveis sons produzidos por uma corda de um violão, um

piano ou qualquer outro instrumento de corda.

Primeiramente, lembramos que existem três parâmetros relevantes no entendimento dos sons

produzidos quando colocamos uma corda para vibrar: o comprimento da corda (L), sua

kx x m mm m= = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅2 1 2 3πλ

π , , ,

λmLm

m= = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅2 1 2 3 , , ,

Figura 9.19: Ilustração de nós e sua localização e antinós das cordas.

senkxm =1

kx x n nn n= =+

= ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅

2 2 12

0 1 2 3πλ

π , , , ,

x n= ⋅⋅⋅ +( )14

34

54

2 14

λ λ λ λ; ; ;

208



densidade linear (μ) e a tensão (T) à qual a corda está sujeita. A velocidade com que uma onda

se propaga numa corda depende da tensão aplicada a ela (a qual provoca uma ligeira deformação

da mesma) e da sua densidade linear. Escrevemos a velocidade em termos desses parâmetros como:

9.57

Assim, de acordo com 9.46, as fre-

quências dos sons emitidos por uma

corda são dadas por:

9.58

No entanto, tendo em vista a restri-

ção em relação aos comprimentos de

onda, expressa em 9.53, constatamos que

uma corda só produz ondas harmônicas

quando as frequências são dadas por:

9.59

O modo correspondente à menor frequência, dita fundamental, é aquele em que os nós estão

separados pelo comprimento da corda. Nesse caso, o comprimento de onda é o máximo possível.

De 9.59 segue-se que a frequência fundamental é dada por:

9.60

Além disso, as demais frequências são múltiplos inteiros da

frequência fundamental:

9.61

Temos assim vários modos de oscilação, diferindo entre si pela

frequência (Figura 9.21).

Figura 9.20: Amplitudes, ponto a ponto, associadas a uma onda estacionária numa corda.

v T=

µ,

f T=

1λ µ

f T mLT

mm

= =

1 12λ µ µ

Figura 9.21: Modos de oscilação associados a diferentes frequências. A corda vista em 4 diferentes instantes de tempo diferindo por T/8. A primeira ilustração corresponde ao modo fundamental.

fLT

11

2=

µ

f mfm = 1

209



9.8.6 Corrente alternada

Uma corrente percorrendo um circuito é deno-

minada corrente alternada, quando ela depende do

tempo de acordo com uma função seno ou cosseno.

Assim, a expressão geral para tal corrente é:

9.62

Assim, os elétrons que se movimentam ao longo de um circuito mudam de sentido perio-

dicamente. Cada elétron da corrente executa um movimento de vai e vem (um movimento

periódico). O período do movimento é dado, de acordo com 9.62, pela expressão:

9.63

e a frequência da corrente alternada (a frequência do movimento periódico dos elétrons) é:

9.64

9.8.7 Circuito LC

Neste texto iremos analisar circuitos LC. Esses componentes do circuito (capacitores e in-

dutores) podem estar ligados em série ou em paralelo.

No caso do circuito LC mais simples, admitimos apenas um indutor caracterizado por

uma indutância L e um capacitor de capacidade C. Tal circuito é apresentado na Figura 9.23.

I t I t( ) sen= +( )0 ω δ

ω πT = 2

fT

= =1

2ωπ

Saiba mais!A energia elétrica que chega às nossas casas produz correntes elé-tricas alternadas. A frequência, nesse caso, varia entre 50 e 60 hertz.

Figura 9.22: Corrente em função do tempo.

210



Veremos que a corrente resultante, quando o circuito é fechado, é uma corrente alternada da

forma 9.62.

Admitiremos que o circuito seja fechado no instante de tempo t = 0, e que, nesse instante,

o capacitor está carregado com uma carga cujo valor é Q0. Se tal valor for nulo, não haverá

corrente no circuito.

Ao fecharmos o circuito, a carga elétrica no capacitor se torna dependente do tempo, pois

ela fluirá pelo circuito. Isso leva a uma alteração da carga elétrica no capacitor (alteração da carga

em cada uma das suas placas). Gera-se assim uma corrente elétrica que percorrerá o circuito.

Pode-se mostrar que, depois de fechado o circuito, a carga elétrica do tempo será de acordo

com uma função trigonométrica:

9.65

Para a solução 9.65, a corrente elétrica será, igualmente, dependente do tempo, mas dada por

outra função trigonométrica de acordo com a expressão:

9.66

onde a frequência angular da corrente, ω0, se relaciona com os parâmetros já mencionados

(característicos dos elementos do circuito) de acordo com a expressão:

9.67

Figura 9.23: a) Circuito LC. b) Esquema de um circuito de LC forçado.

a b

Q Q t= +( )0 0sen ω δ

I I t Q t= +( ) = +( )0 0 0 0 0cos cosω δ ω ω δ

ω0 = LC

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