A fórmula do binômio de Newton - professores.uff.br · Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 10

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 10

Parte 10 Matemática Básica 1

A fórmula do binômio de Newton



(p + h)0 = 1(p + h)1 = p + h(p + h)2 = p2 + 2 p h + h2

(p + h)3 = p3 + 3 p2 h + 3 p h2 + h3

(p + h)4 = p4 + 4 p3 h + 6 p2 h2 + 4 p h3 + h4

...(p + h)n = ?


Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 0 elemento

existem?

Resposta: 1 subconjunto!


Folha 1

Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 1 elemento

existem?

Resposta: 5 subconjuntos!


Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 2 elementos

existem?


Pelo Princípio Fundamental da Contagem:existem

5 × 4

pares de listas ordenadas.

Como a ordem não importa, existem

5 × 42!

= 10

subconjuntos com 2 elementos.



existem?



5 × 4 × 3

triplas de listas ordenadas.


5 × 4 × 33!

= 10




existem?



5 × 4 × 3 × 2

quádruplas de listas ordenadas.


5 × 4 × 3 × 24!

= 5



Folha 2


existem?

Resposta: 1 subconjunto!


Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, . . . ,en} com k elementos

existem?

Resposta:(n

k

)subconjuntos!


n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)

k -uplas de listas ordenadas.


n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)k !

subconjuntos com k elementos.


Um pouco de combinatória . . .

(nk

)=

n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)k !

é denominado número binomial.

(nk

)conta o número de subconjuntos com k elementos de um

conjunto com n elementos.

Fato:(n

k

)=

n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)k !

=n!

(n − k)! k !.



(p + h)5 = (p + h) (p + h) (p + h) (p + h) (p + h)= (?) p5 + (?) p4 h + (?) p3 h2 + (?) p2 h3 + (?) p h4 + (?) h5

Qual é o coeficiente (?) de p4 h?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 1 fatores para h

entre os n = 5 fatores de (p + h). Logo:

(?) p4 h =

(51

)p4 h = 5 p4 h.


Folha 3



Qual é o coeficiente (?) de p3 h2?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 2 fatores para h


(?) p3 h2 =

(52

)p3 h2 = 10 p3 h2.




Qual é o coeficiente (?) de p2 h3?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 3 fatores para h


(?) p2 h3 =

(53

)p2 h3 = 10 p2 h3.




Qual é o coeficiente (?) de p h4?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 4 fatores para h


(?) p h4 =

(54

)p h4 = 5 p h4.




Moral:

(p + h)5

=(50

)p5 +

(51

)p4 h +

(52

)p3 h2 +

(53

)p2 h3 +

(54

)p h4 +

(55

)h5

=

5∑k=0

(5k

)p5−k hk .


Folha 4


Mais geralmente:

(p + h)n

=(n0

)pn +

(n1

)pn−1 h + · · ·+

(n

n − 1

)p hn−1 +

(nn

)hn

=

n∑k=0

(nk

)pn−k hk .

Esta fórmula também pode ser demonstrada usando-se indução!



Triângulo de Pascal:



Triângulo de Pascal:



Relação de Stifel (Regra de Pascal):

(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,


Folha 5



(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,


Folha 6



(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,


Folha 7



(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,


Folha 8



(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,




(n − 1k − 1

)+

(n − 1

k

)=

(nk

)

n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,


Progressões e séries geométricas


Folha 9

Progressões e séries geométricasDefinição. Dizemos que uma sequência numérica a1, . . . , an, . . . éuma progressão geométrica (PG) se existe uma constante q ∈ R talque ai+1 = q · ai para todo i = 1, 2, . . .. Neste caso, a constante q édenominada razão da progressão geométrica.

Exemplo 1. Se a1 = 1 e q = 2, então a PG associada é dada por

a1 = 1, a2 = 2 · a1 = 2 · 1 = 2, a3 = 2 · a2 = 2 · 2 = 22, . . .

Exemplo 2. Se a1 = 1 e q = 12 , então a PG associada é dada por

a1 = 1, a2 =12· a1 =

12· 1 =

12, a3 =

12· a2 =

12· 1

2=

(12

)2

, . . .

Exemplo 3. Se a1 = 1 e q = −1, então a PG associada é dada por

a1 = 1, a2 = (−1) · a1 = −1, a3 = (−1) · a2 = (−1)2 = 1, . . .


Progressões e séries geométricasProposição 1. Considere uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q.Então:

ai = a1 · qi−1, para todo i = 1, 2, . . . .

Prova. Use indução.

Proposição 2. Considere uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q �= 1.Então:

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an = a1 + a1 · q + · · ·+ a1 · qn−1 = a1 · 1 − qn

1 − q.

Prova. Seja Sn = a1 + a2 + · · ·+ an. Note que

q · Sn = q · a1 + q · a2 + · · ·+ q · an = a2 + a3 + · · ·+ an+1.

Logo, Sn − q ·Sn = a1 − an+1 = a1 − a1 · qn. Portanto, (1− q) ·Sn =a1 · (1 − qn), de modo que Sn = a1 · (1 − qn)/(1 − q).


Progressões e séries geométricasProposição 3. Considere uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q = 1.Então:

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an = a1 · n.

Prova. Evidente.

Proposição 4. Seja q um número real tal que −1 < q < +1, então

qn → 0 quando n → +∞e, em particular,

Sn =n−1∑i=0

a1 qi = a1 + · · ·+ a1 · qn−1 → a1

1 − qquando n → +∞.

Escrevemos então∞∑

i=0

a1 qi =a1

1 − q(série geométrica convergente).

Prova. Intuitiva. A prova formal será feita em Análise Real.



1 +12+

(12

)2

+ · · · =∞∑

i=0

(12

)i

=1

1 − 1/2= 2.

Se − 1 < x < + 1, então: 1 + x + x2 + · · · =∞∑

i=0

xi =1

1 − x.

Se − 3 < x < + 3, então:∞∑

i=0

(x3

)i=

11 − x/3

=3

3 − x.


Folha 10


Se − 1 <3x< +1, isto é, se x < −3 ou x > +3, então

∞∑i=1

(x3

)−i=

∞∑i=1

(3x

)i

=3/x

1 − 3/x=

3x − 3

.

Pode-se demonstrar que uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q coma1 �= 0 é tal que Sn =

∑n−1i=0 a1 · qi “tem limite” se, e somente se,

−1 < q < +1.


O problema dos peixes voadores


Problema formulado originalmente porJohn Conway.

Adaptação do contexto sugerida porCarlos Tomei.


O cenário

0 0


Folha 11

Colocando um peixe no nível 1

0

1

0

1



0

1

2

0

1

2



0

1

2

3

0

1

2

3



0

1

2

3

4

0

1

2

3

4


Folha 12


0

1

2

3

4

5


Colocando um peixe no nível 5: não é possível!

0

1

2

3

4

5


Como provar?

0

1

2

3

4

5


Definindo uma grade de energia

0

1

2

3

4

5x0

0

1

2

3

4

5


Folha 13

A energia deste peixe é x5

0

1

2

3

4

5x0x1x2x3 x1 x2 x3

x4 x3 x1 x2x2 x4x3

x5 x4 x2 x3x3 x5x4

x6 x5 x3 x4x4 x6x5

x7 x6 x4 x5x5 x7x6

x8 x7 x5 x6x6 x8x7

x9 x8 x6 x7x7 x9x8

x10 x9 x7 x8x8 x10x9

x11 x10 x8 x9x9 x11x10

x12 x11 x9 x10x10 x12x11

x13 x12 x10 x11x11 x13x12

x14 x13 x11 x12x12 x14x13


A energia deste cardume é x5 + x6 + x7

0

1

2

3

4

5x0x1x2x3 x1 x2 x3

x4 x3 x1 x2x2 x4x3

x5 x4 x2 x3x3 x5x4

x6 x5 x3 x4x4 x6x5

x7 x6 x4 x5x5 x7x6

x8 x7 x5 x6x6 x8x7

x9 x8 x6 x7x7 x9x8

x10 x9 x7 x8x8 x10x9

x11 x10 x8 x9x9 x11x10

x12 x11 x9 x10x10 x12x11

x13 x12 x10 x11x11 x13x12

x14 x13 x11 x12x12 x14x13


Como devemos escolher o valor de x?

Antes Depois Diferença de Energia

xn+2 xn+1 xn

xn − xn+1 − xn+2

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn+2 − xn+1 − xn

1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√

52

ou x =−1 +

√5

2.




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√

52

ou x =−1 +

√5

2.


Folha 14



xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√

52

ou x =−1 +

√5

2.




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√

52

ou x =−1 +

√5

2.




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√

52

ou x =−1 +

√5

2.




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

x =−1 +

√5

2é > 0 e < 1.


Folha 15



xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

xn(1 − x − x2) = 0




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

−xn < 0




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

xn(x2 − x − 1)= xn(1 − x − x − 1)= −2 xn+1 < 0




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

xn(x2 − x − 1)= xn(1 − x − x − 1)= −2 xn+1 < 0


Folha 16



xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

xn(x2 − x − 1)= xn(1 − x − x − 1)= −2 xn+1 < 0




xn+2 xn+1 xn

xn(1 − x − x2)

xn+1 xn xn+1

−xn

xn xn+1 xn+2

xn(x2 − x − 1)

Moral: em cada jogada, a energia de um cardume nunca aumenta!


Qual é a energia de todo o oceano?

0

1

2

3

4

5

x8 x7 x5 x6x6 x8x7

x9 x8 x6 x7x7 x9x8

x10 x9 x7 x8x8 x10x9

x11 x10 x8 x9x9 x11x10

x12 x11 x9 x10x10 x12x11

x13 x12 x10 x11x11 x13x12

x14 x13 x11 x12x12 x14x13



x5 + x6 + x7 + · · ·+

2 ·(

x6 + x7 + x8 + · · ·)

+

2 ·(

x7 + x8 + x9 + · · ·)

+

...


Folha 17


x5 ·(

1 + x + x2 + · · ·)

+

2 x6 ·(

1 + x + x2 + · · ·)

+

2 x7 ·(

1 + x + x2 + · · ·)

+

...



x5 · 11 − x+

2 x6 · 11 − x+

2 x7 · 11 − x+

...



x5 · 11 − x

+ 2 x6 · 11 − x

+ 2 x7 · 11 − x

+ · · ·

=

x5

1 − x+

2 x6

1 − x· (1 + x + x2 + · · · )

=

x5

1 − x+

2 x6

1 − x· 1

1 − x

=

x5

x2 +2 x6

x2 · 1x2

=

x3 + 2 x2



x3 + 2 x2

=

x · x2 + 2 x2

=

x(1 − x) + 2 x2

=

x − x2 + 2 x2

=

x + x2

=

x + 1 − x

=

1


Folha 18

Não é possível colocar um peixe no nível 5!

0

1

2

3

4

5x0


Referência:

http://www.cut-the-knot.org/proofs/checker.shtml


Folha 19

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