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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 3
10 de janeiro de 2014
Aula 3 Fundamentos de Matemática 1
Negação
Aula 3 Fundamentos de Matemática 2
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 3
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 6
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 7
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 12
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 17
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 18
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 19
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 20
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 21
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (∼ p) = p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 22
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (∼ p) = p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 23
Contrapositiva
Aula 3 Fundamentos de Matemática 24
Contrapositiva
Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 25
Contrapositiva
Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 26
Contrapositiva
Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 28
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 29
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 31
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 32
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 33
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 34
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 35
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 36
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 37
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 38
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 39
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 40
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 41
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 42
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 43
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 44
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 45
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 46
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 47
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 48
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 49
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 50
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 51
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 52
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 53
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 54
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 55
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 56
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 57
Quantificadores
Aula 3 Fundamentos de Matemática 58
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 59
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 60
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 61
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 62
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 63
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 64
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 65
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 66
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 67
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 68
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 69
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 70
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 71
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 72
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 73
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 74
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 75
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 76
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 77
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 78
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 79
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 80
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 81
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 82
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 83
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 84
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 85
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 86
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 87
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 88
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 89
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 90
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 91
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 92
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 93
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 94
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 95
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 96
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 97
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 98
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 99
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 100
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 101
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 102
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Dizemos que a expressão quantificada
∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Aula 3 Fundamentos de Matemática 103
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Dizemos que a expressão quantificada
∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.
Regras do Jogo
Aula 3 Fundamentos de Matemática 104
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 105
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 106
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 107
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 108
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 109
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 110
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 111
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 112
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 113
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 114
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 115
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 116
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 117
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 118
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 119
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 120
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 121
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 122
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 123
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 124
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 125
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 126
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 127
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 128
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4
A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2
1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 129
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4
A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2
1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 130
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4
A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2
1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 131
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4
A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2
1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 132
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 133
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 134
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 135
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 136
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 137
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 138
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 139
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 140
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 141
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 142
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 143
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 144
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 145
Cuidado: ordem dos quantificadores
∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 146
Cuidado: ordem dos quantificadores
∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 147
Cuidado: ordem dos quantificadores
∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 148
Cuidado: ordem dos quantificadores
∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 149
Cuidado: ordem dos quantificadores
∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 150
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 151
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 152
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 153
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 154
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 155
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 156
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 157
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 158
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 159
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 160
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 161
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 162
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 163
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 164
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Aula 3 Fundamentos de Matemática 165
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 166
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 167
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 168
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 169
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 170
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 171
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 172
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 173
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 174
Negação de uma implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Negação de Uma Implicação
Exemplos:
∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)
∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Aula 3 Fundamentos de Matemática 175
Seção de Exercícios
Aula 3 Fundamentos de Matemática 176
