Humberto José Bortolossi - professores.uff.br · Regras básicas de derivação com a regra da cadeia y = uc

Cálculo I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 12

16 de outubro de 2007

Aula 12 Cálculo I 1

A regra da cadeia


A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).


A regra da cadeia



(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).


A regra da cadeia



(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).


A regra da cadeia



d(f ◦ g)

dx(x) =

dfdu

(g(x)) · dgdx

(x).


A regra da cadeia



ddx

�f| {z }

função de fora

(g(x))| {z }calculada na

função de dentro

�= f ′| {z }

derivada da funçãode fora

(g(x))| {z }calculada na

função de dentro

· g′(x)| {z }derivada da função

de dentro

.


A regra da cadeia



ddx

[f (u)] =dfdu

(u) · dudx

(x).


Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x



y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x



y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x



y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x



y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x



y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x


Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx



y = uc ⇒ dydx


y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx


y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx



y = uc ⇒ dydx


y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx


y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx



y = uc ⇒ dydx


y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx


y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx



y = uc ⇒ dydx


y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx


y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx



y = uc ⇒ dydx


y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx


y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx


Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).


Exemplo




Assim:dydx

= eu · dudx



Exemplo




Assim:dydx

= eu · dudx



Exemplo




Assim:dydx

= eu · dudx



Exemplo




Assim:dydx

= eu · dudx



Exemplo




Assim:dydx

= eu · dudx



Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


Exemplo


�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


Exemplo


�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


Exemplo


�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


Exemplo


�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


Exemplo


�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


Exemplo


�x − 2

2 x + 1

�9.


y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .


A regra da cadeia para uma composição de 3 funções

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)

ou, usando a notação de Leibniz,

d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).






d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).






d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).






d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).


Exemplo


dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).


y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).


Exemplo


dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.




[cos(tg(x))]


[tg(x)]



Exemplo


dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.




[cos(tg(x))]


[tg(x)]



Exemplo


dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.




[cos(tg(x))]


[tg(x)]



Exemplo


dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.




[cos(tg(x))]


[tg(x)]



Exemplo


dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.




[cos(tg(x))]


[tg(x)]



Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Exemplo


Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Exemplo


Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Exemplo


Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Exemplo


Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Exemplo


Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Exemplo


Êx − 1x + 1

.


y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.


Aproximações lineares (afins)



y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).

y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.










Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo



xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..


Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.


Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



Exemplo



no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.



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