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Aula 10
Regras de Derivação: Produto e quociente
Proposição
x xi f x e f x e x
São válidas as seguintes fórmulas de derivação
Para as funções abaixo:
1ln 0,ii f x x f x x
x
Regras de Derivação
(1) ( )f g p
Sejam e funções deriváveis em p
e seja uma constante. Então as
funções , e são deriváveis
em p e têm-se:
f g
k
f g kf f g
( ) ( )f p g p
(2) ( )kf p ( )kf p
(3) ( )f g p ( ) ( ) ( ) ( )f p g p f p g p
Demonstração Derivada da soma de suas
funções
(1) ( )f g p ( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x g x f p g p
x p
( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x f p g x g p
x p x p
( ) ( )
limx p
f x f p
x p
( ) ( )limx p
g x g p
x p
( )f p ( )g p
DemonstraçãoDerivada do produto de uma constante por uma função
(2) ( )kf p ( ) ( )
limx p
kf x kf p
x p
( ) ( )limx p
f x f pk
x p
( )kf p
DemonstraçãoDerivada do produto de duas
funções
(3) ( )f g p ( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x g x f p g p
x p
( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) ( )x p
f x f p g x g pg x f p
x p x p
( ) ( )f p g p ( ) ( )f p g p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )limx p
f x g x f p g x f p g x f p g p
x p
Função InjetoraRegra do Quociente
Se e forem deriváveis em p
e se g(p) 0, então a função
será derivável em p e têm-se:
f g
f
g
(4) ( )f
pg
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f p g p f p g p
g p
Demonstração Regra do quociente
(4) ( )f
pg
( ) ( )
( ) ( )limx p
f x f p
g x g p
x p
( ) ( ) ( ) ( ) 1lim ( ) ( )
( ) ( )x p
f x f p g x g pg p f p
x p x p g x g p
( ) ( ) ( ) ( ) 1lim
( ) ( )x p
f x g p f p g x
x p g x g p
Somando e subtraindo ( ) ( ) ao numerador resultaf p g p
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f p g p f p g p
g p
Exemplo
3 21) Seja ( ) 4 . Calcule: ) ( ) ) (1).f x x x a f x b f
Solução:
3 2) ( ) 4a f x x x
2b) Como ( ) 12 2 ,f x x x
3 24x x 3 24 x x
24(3 ) 2x x 212 2x x
2temos (1) 12 1 2 1f
2Ou seja, ( ) 12 2f x x x
12 2 14
Exemplo
42) Calcule ( ) onde ( ) 5 4. g x g x x
Solução:
4( ) 5 4g x x 45 4x 45 x
35(4 )x 320x
3Ou seja, ( ) 20f x x
4
0
Exemplo
2
2 33) Calcule f ( ) onde ( ) .
1
xx f x
x
Solução: Pela regra do quociente, temos:
2
2 3( )
1
xf x
x
2 2
22
(2 3) ( 1) (2 3)( 1)
1
x x x x
x
2
22
2( 1) (2 3)2
1
x x x
x
2 2
22
2 2 4 6
1
x x x
x
2
22
2 6 2( )
1
x xf x
x
Exemplo
24) Seja ( ) 3 1 . Calcule ( ). xf x x e f x
Solução: Pela regra do produto, temos:
( )f x
2Ou seja, ( ) 3 6 1 .xf x x x e
23 1x 23 1x
6x xe 23 1x xe
xe xe
Exemplo
a) Se , determine . Solução:
b) Encontre a n-ésima derivada,
( ) xf x xe ( )f x
( ) ( )nf x
Exemplo
Exemplo
Calcule a derivada de .Solução1:
Solução 2
Equivalente ao resultado da Solução 1
Exemplo
Se , onde e encontre .
Solução:
Exemplo
Seja , calcule .Solução:
Exemplo
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto .
Solução:
eq. da reta tangente
Graficamente
