UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS DE SINOP

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Regras do Produto e do Quociente

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

CÁLCULO I

Regras do Produto e do Quociente

1.A regra do produto

2.A regra do quociente

3.Simplificação de derivadas

4.Uma aplicação: pressão sanguínea

3

1. A regra do produto

Na aula anterior, vimos que a derivada de uma soma ou a diferença de duas funções ésimplesmente a soma ou a diferença de suasderivadas. As regras para a derivada de um produto ou de um quociente de duas funções nãosão tão simples.

4

1. A regra do produto

A derivada do produto de duas funçõesdiferenciáveis é igual ao produto da primeirafunção pela derivada da segunda, mais o produtoda segunda função pela derivada da primeira.

[ ] ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x f x g x g x f xdx

= +

5

1. A regra do produto

Demonstração: Algumas demonstrações matemá-ticas, como a Regra da Soma, são imediatas. Outras envolvem sutilezas que podem parecerinjustificadas. A demonstração que se segue apresenta este último aspecto – soma e subtraçãoda mesma grandeza. Seja F(x) = f(x)g(x).

6

1. A regra do produto

'

0

0

0

0

( ) ( )( ) lim

( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

x

x

x

x

F x x F xF x

xf x x g x x f x g x

xf x x g x x f x x g x f x x g x f x g x

xg x x g x f x x f x

f x x g xx x

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −=∆

+ ∆ + ∆ −=∆

+ ∆ + ∆ − + ∆ + + ∆ −=∆

+ ∆ − + ∆ − = + ∆ + ∆ ∆

0 0 0 0

' '

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim lim ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( )

x x x x

g x x g x f x x f xf x x g x

x x

f x g x g x f x

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ − = + ∆ + ∆ ∆

= +

7

1. A regra do produto

Exemplo 1: Ache a derivada de

Aplicando a Regra do Produto, podemos escrever

2(3 2 )(5 4 ).y x x x= − +

( ) [ ]

( ) ( )

( )( )

Derivada da Derivada da segunda primeira

(Primeira) Segunda

2 2

2

2 2

2

3 2 5 4 (5 4 ) 3 2

3 2 (4) (5 4 )(3 4 )

12 8 (15 20 12 16 )

15 4 24

dy d dx x x x x x

dx dx dx

x x x x

x x x x x

x x

= +− + + −

= − + + −

= − + − + −

= + −

����� ������������

�����

8

1. A regra do produto

No exemplo seguinte, note que o primeiropasso para diferenciar consiste em escrever a função original sob nova forma.

9

1. A regra do produto

Exemplo 2: Ache a derivada de

Reescreva a função e aplique então a Regrado Produto para achar a derivada

1( ) 1 ( 1).f x x

x = + −

10

1. A regra do produto

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1

' 1 1

' 1 2

'2

'

( ) 1 1

( ) 1 1 1 1

( ) 1 1 1

1 1( ) 1

( )

f x x x

d df x x x x x

dx dx

f x x x x

xf x

x x

xf x

−

− −

− −

= + −

= + − + − +

= + + − −

−= + −

=2x x+ −

2

2'

2

1

1( )

xx

f xx

+

+=

11

1. A regra do produto

Temos agora duas regras de diferenciaçãorelativas a produtos – a Regra do MúltiploConstante e a Regra do Produto. A diferençadentre essas duas regras é que a Regra do MúltiploConstante se refere ao produto de uma constantee uma grandeza variável.

c é uma Constante( ) ( ), onde

f(x) = Grandeza VariávelF x cf x

=

12

1. A regra do produto

Enquanto que a Regra do Produto se refereao produto de duas grandezas variáveis

O próximo exemplo compara essas duasregras.

( ) ( ) ( ), onde f(x) e g(x) = Grandezas VariáveisF x f x g x=

13

1. A regra do produto

Exemplo 3: Ache as derivadas das funções

a. Pela Regra do Produto

2 2a. 2 ( 3 ) b. 2( 3 )y x x x y x x= + = +

[ ]2 2

2

2 2

2

(2 ) 3 ( 3 ) 2

(2 )(2 3) ( 3 )(2)

4 6 2 6

6 12

dy d dx x x x x x

dx dx dxx x x x

x x x x

x x

= + + +

= + + += + + += +

14

1. A regra do produto

Exemplo 3: Ache as derivadas das funções

b. Pela Regra do Múltiplo Constante

2 2a. 2 ( 3 ) b. 2( 3 )y x x x y x x= + = +

22 3

(2)(2 3)

4 6

dy dx x

dx dxx

x

= +

= += +

15

1. A regra do produto

A Regra do Produto pode ser estendida a produtos de mais de dois fatores. Por exemplo, se f, g e h são funções diferenciáveis de x, então

[ ] ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h xdx

= + +

16

2. A regra do quociente

Vimos que, aplicando a Regra da Constante, a Regra da Potência, a Regra do Múltiplo Constante e as Regras da Soma e da Diferença, podemosdiferenciar qualquer função polinomial. Combinandoessas regras com a Regra do Quociente, podemosagora diferenciar qualquer função racional.

17

2. A regra do quociente

A derivada do quociente de duas funçõesdiferenciáveis é igual ao produto do denominadorpela derivada do numerador, menos o produto do numerador pela derivada do denominador, tudodividido pelo quadrado do denominador.

[ ]' '

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0

( ) ( )

d f x g x f x f x g xg x

dx g x g x

−= ≠

18

2. A regra do quociente

Demonstração: Seja F(x) = f(x)/g(x). Tal como naRegra do Produto, a chave da demonstraçãoconsiste em somar e subtrair a mesma expressão.

19

2. A regra do quociente

'

0 0

0

0

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( )

lim( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim( ) ( )

(lim

x x

x

x

x

f x x f xF x x F x g x x g x

F xx x

g x f x x f x g x xx

g x g x x

g x f x x f x g x f x g x f x g x xx

g x g x x

g

∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −+ ∆ − + ∆= =

∆ ∆+ ∆ − + ∆

∆=+ ∆

+ ∆ − + − + ∆∆=

+ ∆

=

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

0

0

0 0 0 0

0

' '

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

lim ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim lim ( ) lim

lim ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

x

x

x x x x

x

x f x x f x f x g x x g x

x xg x g x x

f x x f x g x x g xg x f x

x xg x g x x

g x f x f x g

∆ →

∆ →

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

∆ →

+ ∆ − + ∆ −−

∆ ∆+ ∆

+ ∆ − + ∆ − ⋅ − ⋅ ∆ ∆ =+ ∆

−=[ ]2

)

( )

x

g x

20

2. A regra do quociente

Exemplo 4: Ache a derivada de 22 4 32 3

x xy

x− +=−

( ) [ ]( )

( )( )

2 2

2

2

2

2

(2 3 ) 2 4 3 2 4 3 2 3

2 3

(2 3 )(4 4) 2 4 3 ( 3)

2 3

8 8 12 12

d dx x x x x xdy dx dx

dx x

x x x x

x

x x x

− − + − − + − =

−

− − − − + −=

−

− − +=26 12x x+ −

( )

( )

2

2

2

9

2 3

6 8 1

2 3

x

x x

x

+−

− + +=−

21

2. A regra do quociente

Exemplo 5: Ache a derivada de

Comece escrevendo sob nova forma a funçãooriginal. Aplique então a Regra do Quociente e simplifique o resultado.

3 (1/ )5x

yx−=

+

22

2. A regra do quociente

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

3 (1/ ) 3 1 3 15 ( 5) 5

( 5 )(3) (3 1)(2 5)( 5 )

3 15 (6 15 2 5)

( 5 )

3 15 6 13 5

( 5 )

3 2 5

( 5 )

x x xy

x x x x x

dy x x x xdx x x

x x x x xx x

x x x xx x

x xx x

− − −= = =+ + +

+ − − +=+

+ − + − −=+

+ − − +=+

− + +=+

23

2. A regra do quociente

Nem todo quociente deve necessariamenteser diferenciado pela Regra do Quociente. Porexemplo, cada um dos quocientes no próximoexemplo pode ser considerado como o produto de uma constante e uma função de x. Em tais casos, a Regra do Múltiplo Constante é mais eficiente.

24

2. A regra do quociente

Exemplo 7: Escrevendo sob nova forma antes de diferenciar.

22 ' '

44

Função Original Nova Forma Diferenciar Simplificar

3 1 1 1 1a. ( 3 ) (2 3)

6 6 6 3 25 5

b. 8 8

x xy y x x y x y x

xy y x

+= = + = + = +

= = ' 3 ' 3

2' '

2 ' 3 '2 3

5 5 (4 )

8 23(3 2 ) 3 3 6

c. (3 2 ) ( 2) 7 7 7 7

9 9 9 18d. ( ) ( 2 )

5 5 5 5

y x y x

x xy y x y y

x

y y x y x yx x

− −

= =

− − − −= = − = − =

= = = − = −

25

3. Simplificação de derivadas

Exemplo 8: Ache a derivada de

Esta função contém um produto dentro de um quociente. Poderíamos primeiro multiplicar osfatores no numerador e aplicar então a Regra do Quociente. Entretanto, para adquirir prática nautilização da Regra do Produto dentro da Regra do Quociente, diferencie como segue.

(1 2 )(3 2)5 4x x

yx

− +=−

26

3. Simplificação de derivadas

[ ] [ ]

[ ]

'2

2

2

2

2

(5 4) (1 2 )(3 2) (1 2 )(3 2) 5 4

(5 4)

(5 4) (1 2 )(3) (3 2)( 2) (1 2 )(3 2)(5)

(5 4)

(5 4)(3 6 6 4) (1 2 )(15 10)

(5 4)

(5 4)( 1 12 ) (15 10 30 20 )

(5 4)

5

d dx x x x x x

dx dxyx

x x x x x

x

x x x x xx

x x x x xx

x

− − + − − + −=

−− − + + − − − +

=−

− − − − − − +=−

− − − − + − −=−

−=260 4 48 5x x x− + + + 2

2

2 2

2 2

10 30(5 4)

30 48 6 ( 6) (5 8 1)

(5 4) (5 4)

xx

x x x xx x

− +−

− + − − ⋅ − += =− −

27

4. Uma aplicação: pressão sanguínea

Exemplo 9: Na medida em que o sangue corre do coração pelas artérias principais para as capilarese de retorno pelas veias, a pressão sistólica caicontinuamente. Considere uma pessoa cuja pressãosanguínea P (em milímetros de mercúrio) é dada por

onde t é medido em segundos. A que taxa estávariando a pressão sanguínea 5 segundos após o sangue deixar o coração?

2

2

25 125, 0 t 10,

1t

Pt

+= ≤ ≤+

28

4. Uma aplicação: pressão sanguínea

Aplicando a Regra do Quociente,

2 2

2 2

3

( 1)(50 ) (25 125)(2 )( 1)

50

dP t t t tdt t

t

+ − +=+

=350 50t t+ −

2 2

2 2

250( 1)

200

( 1)

tt

tt

−+

= −+

29

4. Uma aplicação: pressão sanguínea

Quando t = 5, a taxa de variação é

Portanto, a pressão sanguínea está caindo a uma taxa de 1,48 mm Hg por segundo quando t = 5 segundos.

2

200(5)1,48 mm Hg/s

26dPdt

= − ≈ −