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Cálculo Aplicado I Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 17 5 de julho de 2013 Parte 17 Cálculo Aplicado I 1

 · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

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  • Cálculo Aplicado I

    Humberto José Bortolossi

    Departamento de Matemática Aplicada

    Universidade Federal Fluminense

    Parte 17

    5 de julho de 2013

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 1

  • Limites

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 2

  • Limites

    limx→4

    x + 1x − 2

    =52.

    Se limx→p

    f (x) = 5 e limx→p

    g(x) = 2, então limx→p

    f (x)g(x)

    =52

    .

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 3

  • Limites

    limx→4

    x + 1x − 2

    =52.

    Se limx→p

    f (x) = 5 e limx→p

    g(x) = 2, então limx→p

    f (x)g(x)

    =52

    .

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 4

  • Limites

    limx→4

    x + 1x − 2

    =52.

    Se limx→p

    f (x) = 5 e limx→p

    g(x) = 2, então limx→p

    f (x)g(x)

    =52

    .

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 5

  • Limites

    limx→2+

    x + 1x − 2

    = +∞.

    Se limx→p+

    f (x) = L > 0 e limx→p+

    g(x) = 0+, então limx→p+

    f (x)g(x)

    = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 6

  • Limites

    limx→2+

    x + 1x − 2

    = +∞.

    Se limx→p+

    f (x) = L > 0 e limx→p+

    g(x) = 0+, então limx→p+

    f (x)g(x)

    = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 7

  • Limites

    limx→2+

    x + 1x − 2

    = +∞.

    Se limx→p+

    f (x) = L > 0 e limx→p+

    g(x) = 0+, então limx→p+

    f (x)g(x)

    = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 8

  • Limites indeterminados (a priori)

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    (indeterminação a priori)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 9

  • Limites indeterminados (a priori)

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    (indeterminação a priori)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 10

  • Limites indeterminados (a priori)

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    (indeterminação a priori)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 11

  • Limites indeterminados (a priori)

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    (indeterminação a priori)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 12

  • Limites indeterminados (a priori)

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    (indeterminação a priori)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 13

  • Limites indeterminados (a priori)

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    (indeterminação a priori)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 14

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 15

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 16

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    x + 1x − 2

    = limx→+∞

    x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    1 +1x

    1− 2x

    = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 17

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    7 x + 1x − 2

    = limx→+∞

    7 x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    7 +1x

    1− 2x

    = 7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 18

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    7 x + 1x − 2

    = limx→+∞

    7 x + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    7 +1x

    1− 2x

    = 7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 19

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    x2 + 1x − 2

    = limx→+∞

    x2 + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    x +1x

    1− 2x

    = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 20

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→+∞

    f (x) = +∞ e limx→+∞

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→+∞

    x2 + 1x − 2

    = limx→+∞

    x2 + 1x

    x − 2x

    = limx→+∞

    x +1x

    1− 2x

    = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 21

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x

    = 1. (limite fundamental)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 22

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x

    = 1. (limite fundamental)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 23

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x

    = 1. (limite fundamental)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 24

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x

    = 1. (limite fundamental)

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 25

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(2 x)x

    = limx→0

    [2

    sen(2 x)2 x

    ]= 2.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 26

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(2 x)x

    = limx→0

    [2

    sen(2 x)2 x

    ]= 2.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 27

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(2 x)x

    = limx→0

    [2

    sen(2 x)2 x

    ]= 2.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 28

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x3

    = limx→0

    [sen(x)

    x· 1

    x2

    ]= +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 29

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x3

    = limx→0

    [sen(x)

    x· 1

    x2

    ]= +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 30

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x)

    = ? .

    limx→0

    sen(x)x3

    = limx→0

    [sen(x)

    x· 1

    x2

    ]= +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 31

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→+∞

    [(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

    12 = 12.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 32

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→+∞

    [(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

    12 = 12.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 33

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→+∞

    [(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

    12 = 12.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 34

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→+∞

    [(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

    12 = 12.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 35

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→∞

    [x2 − x

    ]= lim

    x→∞x · (x − 1) = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 36

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→∞

    [x2 − x

    ]= lim

    x→∞x · (x − 1) = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 37

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→∞

    [x2 − x

    ]= lim

    x→∞x · (x − 1) = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 38

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→∞

    [x − x2

    ]= lim

    x→∞x · (1− x) = −∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 39

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→∞

    [x − x2

    ]= lim

    x→∞x · (1− x) = −∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 40

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x)− g(x)] = ? .

    limx→∞

    [x − x2

    ]= lim

    x→∞x · (1− x) = −∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 41

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x]= lim

    x→∞1 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 42

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x]= lim

    x→∞1 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 43

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x]= lim

    x→∞1 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 44

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x]= lim

    x→∞1 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 45

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [2x· x]= lim

    x→∞2 = 2.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 46

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [2x· x]= lim

    x→∞2 = 2.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 47

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [2x· x]= lim

    x→∞2 = 2.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 48

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x2]= lim

    x→∞x = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 49

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x2]= lim

    x→∞x = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 50

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    [f (x) · g(x)] = ? .

    limx→∞

    [1x· x2]= lim

    x→∞x = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 51

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    1x

    )x= e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 52

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    1x

    )x= e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 53

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    1x

    )x= e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 54

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    7x

    )x(x=7 u)= lim

    u→∞

    (1 +

    77 u

    )7 u= lim

    u→∞

    [(1 +

    1u

    )u]7= e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 55

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    7x

    )x(x=7 u)= lim

    u→∞

    (1 +

    77 u

    )7 u= lim

    u→∞

    [(1 +

    1u

    )u]7= e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 56

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    7x

    )x(x=7 u)= lim

    u→∞

    (1 +

    77 u

    )7 u= lim

    u→∞

    [(1 +

    1u

    )u]7= e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 57

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 1 e limx→p

    g(x) = +∞, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→∞

    (1 +

    7x

    )x(x=7 u)= lim

    u→∞

    (1 +

    77 u

    )7 u= lim

    u→∞

    [(1 +

    1u

    )u]7= e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 58

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    1e=

    1e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 59

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    1e=

    1e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 60

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    1e=

    1e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 61

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    1e=

    1e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 62

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    1e=

    1e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 63

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e7

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    1e7

    =1e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 64

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e7

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    1e7

    =1e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 65

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e7

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    1e7

    =1e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 66

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e7

    x2

    )x2= lim

    x→0

    1

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    1e7

    =1e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 67

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x4

    )−x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x4·(−x2)

    = limx→0

    1

    e−1

    x2= lim

    x→0e

    1x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 68

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x4

    )−x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x4·(−x2)

    = limx→0

    1

    e−1

    x2= lim

    x→0e

    1x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 69

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x4

    )−x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x4·(−x2)

    = limx→0

    1

    e−1

    x2= lim

    x→0e

    1x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 70

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x4

    )−x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x4·(−x2)

    = limx→0

    1

    e−1

    x2= lim

    x→0e

    1x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 71

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (1

    e1

    x4

    )−x2= lim

    x→0

    1

    e1

    x4·(−x2)

    = limx→0

    1

    e−1

    x2= lim

    x→0e

    1x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 72

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x2)x2

    = limx→0

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    e1 = e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 73

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x2)x2

    = limx→0

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    e1 = e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 74

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x2)x2

    = limx→0

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    e1 = e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 75

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x2)x2

    = limx→0

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    e1 = e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 76

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x2)x2

    = limx→0

    e1

    x2·x2

    = limx→0

    e1 = e.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 77

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    7x2)x2

    = limx→0

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    e7 = e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 78

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    7x2)x2

    = limx→0

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    e7 = e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 79

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    7x2)x2

    = limx→0

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    e7 = e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 80

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    7x2)x2

    = limx→0

    e7

    x2·x2

    = limx→0

    e7 = e7.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 81

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x4)x2

    = limx→0

    e1

    x4·x2

    = limx→0

    e1

    x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 82

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x4)x2

    = limx→0

    e1

    x4·x2

    = limx→0

    e1

    x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 83

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x4)x2

    = limx→0

    e1

    x4·x2

    = limx→0

    e1

    x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 84

  • Limites indeterminados (a priori)

    Se limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = 0, então limx→p

    f (x)g(x) = ? .

    limx→0

    (e

    1x4)x2

    = limx→0

    e1

    x4·x2

    = limx→0

    e1

    x2 = +∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 85

  • A regra de L’Hôpital

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 86

  • A regra de L’Hôpital

    Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis (deriváveis)e que g′(x) 6= 0 em uma vizinhança do ponto p. Suponhatambém que

    limx→p

    f (x) = 0 e limx→p

    g(x) = 0

    ou que

    limx→p

    f (x) = +∞ (ou −∞) e limx→p

    g(x) = +∞ (ou −∞).

    Então

    limx→p

    f (x)g(x)

    = limx→p

    f ′(x)g′(x)

    se o limite do lado direito existir (ou se ele é −∞ ou +∞).

    Teorema

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 87

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 88

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 89

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 90

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 91

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 92

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 93

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 94

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 95

  • Exemplo

    Encontre limx→1

    ln(x)x − 1

    .

    Solução. Uma vez que

    limx→1

    ln(x) = 0 e limx→1

    (x − 1) = 0,

    podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→1

    ln(x)x − 1

    = limx→1

    ddx

    [ln(x)]

    ddx

    [x − 1]= lim

    x→1

    1/x1

    = limx→1

    1x= 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 96

  • A regra de L’Hôpital

    A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igualao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É importanteverificar que as condições com respeito aos limites de f e g antes deusar a regra de L’Hôpital.

    A regra de L’Hôpital também é válida para limites laterais ou para limitesno infinito, isto é, “x → p” pode ser trocado por qualquer dos símbolos aseguir: x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 97

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 98

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 99

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 100

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 101

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 102

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 103

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 104

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 105

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 106

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ex

    x2.

    Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x.

    Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

    limx→∞

    ex

    x2= lim

    x→∞

    ex

    2 x= lim

    x→∞

    ex

    2=∞.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 107

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 108

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 109

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 110

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 111

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 112

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 113

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 114

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 115

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 116

  • Exemplo

    Encontre limx→∞

    ln(x)3√

    x.

    Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√

    x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3.

    Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

    limx→∞

    ln(x)3√

    x= lim

    x→∞

    1x

    13

    x−2/3= lim

    x→∞

    33√

    x= 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 117

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 118

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 119

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 120

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 121

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 122

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 123

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 124

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 125

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 126

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 127

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 128

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 129

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 130

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 131

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 132

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 133

  • Exemplo

    Encontre limx→0

    tg(x)− xx3

    .

    Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

    limx→0

    tg(x)− xx3

    = limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    .

    Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    .

    Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

    limx→0

    sec2(x)− 13 x2

    = limx→0

    2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    2 sec2(x) tg(x)6 x

    = limx→0

    4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

    =26

    =13.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 134

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 135

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 136

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 137

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 138

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 139

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 140

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 141

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 142

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 143

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 144

  • Cuidado!

    Encontre limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    .

    Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    = limx→π−

    cos(x)sen(x)

    = −∞.

    O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

    limx→π−

    sen(x)1− cos(x)

    =sen(π)

    1− cos(π)=

    01− (−1)

    = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 145

  • Produtos indeterminados

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 146

  • Produtos indeterminados

    Para usar a regra de L’Hôpital para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x) · g(x)]

    com limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = +∞ (ou −∞), basta reescrevê-lo em

    limx→p

    [f (x) · g(x)] = limx→p

    f (x)1/g(x)

    ou limx→p

    [f (x) · g(x)] = limx→p

    g(x)1/f (x)

    .

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 147

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 148

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 149

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 150

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 151

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 152

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 153

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 154

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 155

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 156

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 157

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    (x ln(x)).

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    .

    Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    ln(x)1x

    = limx→0+

    1x

    − 1x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 158

  • Observação

    No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    .

    Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    = limx→0+

    1

    − 1x (ln(x))2

    = limx→0+

    (−x (ln(x))2).

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 159

  • Observação

    No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    .

    Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    = limx→0+

    1

    − 1x (ln(x))2

    = limx→0+

    (−x (ln(x))2).

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 160

  • Observação

    No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    .

    Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    = limx→0+

    1

    − 1x (ln(x))2

    = limx→0+

    (−x (ln(x))2).

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 161

  • Observação

    No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    .

    Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    = limx→0+

    1

    − 1x (ln(x))2

    = limx→0+

    (−x (ln(x))2).

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 162

  • Observação

    No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    .

    Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

    limx→0+

    (x ln(x)) = limx→0+

    x1

    ln(x)

    = limx→0+

    1

    − 1x (ln(x))2

    = limx→0+

    (−x (ln(x))2).

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 163

  • Diferenças indeterminadas

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 164

  • Diferenças indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)− g(x)]

    com

    limx→p

    f (x) = +∞ e limx→p

    g(x) = +∞,

    é necessário converter a diferença em um quociente(usando um denominador comum ou racionalização)

    oucolocar algum fator comum em evidência.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 165

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 166

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 167

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 168

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 169

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 170

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 171

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 172

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 173

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 174

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 175

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 176

  • Exemplo

    Calcule limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)].

    Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

    limx→(π/2)−

    [sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

    [1

    cos(x)− sen(x)

    cos(x)

    ]= lim

    x→(π/2)−1− sen(x)

    cos(x)(∗)= lim

    x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)

    =−0−1

    = 0.

    Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 177

  • Potências indeterminadas

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 178

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 179

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 180

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 181

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 182

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 183

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 184

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 185

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 186

  • Potências indeterminadas

    Para estudar um limite na forma

    limx→p

    [f (x)]g(x)

    com

    1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

    2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

    3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

    basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

    limx→p

    [f (x)]g(x) = limx→p

    eln[[f (x)]g(x)] = lim

    x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 187

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    xx .

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

    limx→0+

    xx = limx→0+

    eln[xx ] = lim

    x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

    Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

    limx→0+

    [x · ln(x)] = limx→0+

    ln(x)1/x

    = limx→0+

    1/x−1/x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Assim,lim

    x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 188

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    xx .

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

    limx→0+

    xx = limx→0+

    eln[xx ] = lim

    x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

    Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

    limx→0+

    [x · ln(x)] = limx→0+

    ln(x)1/x

    = limx→0+

    1/x−1/x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Assim,lim

    x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 189

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    xx .

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

    limx→0+

    xx = limx→0+

    eln[xx ] = lim

    x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

    Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

    limx→0+

    [x · ln(x)] = limx→0+

    ln(x)1/x

    = limx→0+

    1/x−1/x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Assim,lim

    x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 190

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    xx .

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

    limx→0+

    xx = limx→0+

    eln[xx ] = lim

    x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

    Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

    limx→0+

    [x · ln(x)] = limx→0+

    ln(x)1/x

    = limx→0+

    1/x−1/x2

    = limx→0+

    (−x) = 0.

    Assim,lim

    x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

    Parte 17 Cálculo Aplicado I 191

  • Exemplo

    Calcule limx→0+

    xx .

    Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

    limx→0+

    xx = limx→0+

    eln[xx ] = lim

    x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

    Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

    limx→0+

    [x · ln(x)] = limx→0+

    ln(x)1/x

    = limx→0+

    1/x