Humberto José Bortolossi A função raiz quadrada · A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano cuja

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 6

Parte 6 Matemática Básica 1

A função raiz quadrada



f : [0,+∞) → [0,+∞)x �→ y = f (x) = x2

� Já demonstramos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é injetiva.

� Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

� Logo f : [0,+∞) → [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremosa notação √

x

para representarf−1(x).

� Note então que, se a ≥ 0, então√

a é o único número real ≥ 0 que, elevadoao quadrado, dá o número real a.


Explicando. . .Se a ≥ 0, então

√a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número

real a.

f : [0,+∞) → [0,+∞)x �→ y = f (x) = x2

f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)x �→ y = f−1(x) =

√x

� a ≥ 0, pois como vamos calcular√

a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, queé igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).

�√

a é único, pois se não fosse único, f−1 não seria uma função.

�√

a ≥ 0, pois√

a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual aodomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).

�√

a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois

(√

a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.



(Ir para o GeoGebra)


Propriedades

� ∀a ∈ R,√

a2 = |a|.

� ∀a, b ≥ 0,√

a · b =√

a ·√

b e ∀a, b ≤ 0,√

a · b =√−a ·

√−b.

� ∀a ≥ 0, ∀b > 0,√

ab=

√a√b

e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,√

ab=

√−a√−b.

� A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ √a <

√b.

� ∀a, b ≥ 0,√

a + b ≤ √a +

√b.


Propriedade: demonstração

∀a ∈ R,√

a2 = |a|.

Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale tambémque p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como

√a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao

quadrado é igual a a2, segue-se que√

a2 = p = |a|.



∀a, b ≥ 0,√

a · b =√

a ·√

b e ∀a, b ≤ 0,√

a · b =√−a ·

√−b.

Demonstração. Considere o número p =√

a · √b. Note que p =√

a · √b ≥ 0 comoproduto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (

√a · √b)2 = a · b. De fato:

p2 = (√

a ·√

b)2 = (√

a)2 · (√

b)2 = a · b.

Como√

a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-se que

√a · b = p =

√a · √b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0,

√a · b =

√−a · √−bfica como exercício.



∀a ≥ 0, ∀b > 0,√

ab=

√a√b

e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,√

ab=

√−a√−b.

Demonstração. Considere o número p =√

a/√

b. Note que p =√

a/√

b ≥ 0 comodivisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (

√a/

√b)2 =

a/b. De fato:

p2 =

(√a√b

)2

=(√

a)2

(√

b)2=

ab.

Como√

a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-se que

√a/b = p =

√a/

√b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,

√a/b =

√−a/√−b fica como exercício.



A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ √a <

√b.

Demonstração. Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,√

b > 0, b − a > 0 e√b +

√a > 0. Uma vez que

(b − a) = (√

b −√a) · (

√b +

√a),

podemos escrever que √b −√

a =b − a√b +

√a.

Assim,√

b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular,

√a <

√b.

Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então√

a ≤ √b.



∀a, b ≥ 0,√

a + b ≤ √a +

√b.

Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e√

a +√

b ≥ 0como soma de dois números ≥ 0. Note também que

√a · √b ≥ 0 como produto de dois

números ≥ 0. Agora

0 ≤ √a ·

√b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·

√b ⇒ a + b ≤ a + 2 · √a ·

√b + b ⇒ a + b ≤ (

√a +

√b)2.

Como 0 ≤ a + b ≤ (√

a +√

b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que

√a + b ≤

√(√

a +√

b)2.

Mas, pela primeira propriedade,√(√

a +√

b)2 = |√a +√

b| = √a +

√b.

Portanto, vale que√

a + b ≤ √a +

√b.



∀a, b ≥ 0,√

a + b ≤ √a +

√b.

Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, porexemplo, a = 9 e b = 16:

√a + b = 5 < 7 = 3+4 =

√a+

√b. Quando vale a igualdade?

Resposta:

a, b ≥ 0 e√

a + b =√

a +√

b ⇔ a = 0 ou b = 0.


Exercício

As funções f (x) =

√x − 1x − 2

e g(x) =√

x − 1√x − 2

são iguais?

Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, porexemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:

Df = (−∞, 1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).

Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções sãoiguais:

f∣∣∣∣(2,+∞)

= g∣∣∣∣(2,+∞)

.


A distância euclidiana entre dois pontosno plano


A distância euclidiana entre dois pontos no plano



A equação do círculo no plano


A equação do círculo no planoO círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) noplano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

0

x

y

1

(4, 3)

(x , y)


A equação do círculo no planoO círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) noplano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.

d((x , y), (4, 3)) = 1 ⇔√(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1

⇔(√

(x − 4)2 + (y − 3)2)2

= 12

⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.


Funções reais cujos gráficos sãosemicírculos


Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico de y = f (x) =√

a2 − x2 é o semicírculo superior decentro na origem e raio |a|.






















Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N



f : R → R

x �→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸︷︷︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!



f : R → R

x �→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0,+∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.



f : R → R

x �→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.


Proposição

Seja f : R → R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.


Revisão: funções da forma x elevado a n


A função raiz n-ésima


A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0,+∞) → [0,+∞)x �→ y = f (x) = xn , com n par.

� Já demonstramos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é injetiva.

� Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

� Logo f : [0,+∞) → [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n


� Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.


A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)x �→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

� Já demonstramos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é injetiva.

� Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

� Logo f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n


� Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√

a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.


A função raiz n-ésima



Cuidado!

Se n é par,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é [0,+∞).

Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é R.


Propriedades da função raiz n-ésima para n par

� Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

� Se n é par, ∀a, b ≥ 0, n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0, n√

a · b = n√−a · n

√−b.

� Se n é par, ∀a ≥ 0, ∀b > 0, n

√ab=

n√

an√

be ∀a ≤ 0, ∀b < 0, n

√ab=

n√−an√−b

.

� A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

� Se n é par, ∀a, b ≥ 0, n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.


Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

� Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

� Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

� Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab=

n√

an√

b.

� A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

� Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0, n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.


Observações

� As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−i bi .

� Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1 − 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3√−1.


Mais propriedades

� Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

� Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

� Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

� Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .


Funções da formax elevado a menos n


Funções da forma x elevado a menos n

y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x �= 0

(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.

(2) f é uma função decrescente no intervalo (0,+∞).

(3) Se 0 < x < 1, então1xn <

1xn+1 .

(4) Se 1 < x , então1

xn+1 <1xn .






Funções da forma x elevado a p/q(fração irredutível)


Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)

y = f (x) = xp/q, com p ∈ Z−{0}, q ∈ N e p/q fração irredutível

(1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição,

xp/q =q√

xp

para todo x ≥ 0.

(2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição,

xp/q =q√

xp

para todo x ∈ R.



y = f (x) = xp/q, com p ∈ Z−{0}, q ∈ N e p/q fração irredutível

(1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição,

xp/q =1

x−p/q =1

q√

x−p

para todo x > 0.

(2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição,

xp/q =1

x−p/q =1

q√

x−p

para todo x ∈ R− {0}.


Exemplos

x5/3 =3√x5, ∀x ∈ R. x3/8 =

8√x3, ∀x ≥ 0.

x−5/4 =1

x5/4 =1

4√

x5, ∀x > 0.

x−2/3 =1

x2/3 =1

3√

x2, ∀x �= 0.



Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível?

3/2 = 6/4 mas

2√x3 está definida para x ≥ 0

enquanto que

4√x6 está definida para x ∈ R.


E potências irracionais?


Como calcular f (x) = x√

2 para x = 3?

Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de√

2!

Aproximação de√

2 Aproximação de 3√

2

1.4 31.4 = 375 = 4.6555367217460790 . . .

1.41 31.41 = 3141100 = 4.7069650017165727 . . .

1.414 31.414 = 3707500 = 4.7276950352685357 . . .

1.4142 31.4142 = 370715000 = 4.7287339301711910 . . .

1.41421 31.41421 = 3141421100000 = 4.7287858809086143 . . .


Aplicações de Leis de Potência


A Lei de Zipf

http://www.uff.br/cdme/desktop/lpp/lpp-br.html


A Lei de Zipf: “Dom Casmurro” de Machado de Assis(A)

Posição (x) Frequência (y) Palavra1 2684 que2 2490 a3 2186 e4 1970 de5 1671 o6 1531 não...

......

26 341 Capitu...

......

141 56 Bentinho...

......

9262 1 zanguei9263 1 zás9264 1 zeloso

(B)x = log(x) y = log(y) Palavra0,00000. . . 3,42878. . . que0,30103. . . 3,39619. . . a0,47712. . . 3,33965. . . e0,60205. . . 3,29446. . . de0,69897. . . 3,22297. . . o0,77815. . . 3,18497. . . não

......

...

1,41497. . . 2,53275. . . Capitu...

......

2,14921. . . 1,74818. . . Bentinho...

......

3,96670. . . 0,00000. . . zanguei3,96675. . . 0,00000. . . zás3,96679. . . 0,00000. . . zeloso

Frequência das palavras em “Dom Casmurro” de Machado de Assis.


A Lei de Zipf: “Dom Casmurro” de Machado de Assis

y = 3,837 − 1,005 x ⇒ ln(y) = 3,837 − 1,005 ln(x) ⇒ y = 6870,684 x−1,005


A Lei de Zipf: “Romeo and Juliet” de Shakespeare(A)

Posição (x) Frequência (y) Palavra1 708 and2 688 the3 586 I4 540 to5 464 a6 396 of...

......

11 296 Romeo...

......

22 178 Juliet...

......

3781 1 yoke3782 1 yon3783 1 youngest

(B)x = log(x) y = log(y) Palavra0,00000. . . 2,85003. . . and0,30103. . . 2,83758. . . the0,47712. . . 2,76789. . . I0,60205. . . 2,73239. . . to0,69897. . . 2,66651. . . a0,77815. . . 2,59769. . . of

......

...

1,04139. . . 2,47129. . . Romeo...

......

1,34242. . . 2,25042. . . Juliet...

......

3,57760. . . 0,00000. . . yoke3,57772. . . 0,00000. . . yon3,57783. . . 0,00000. . . youngest

Frequência das palavras em “Romeo and Juliet” de William Shakespeare


A Lei de Zipf: “Romeo and Juliet” de Shakespeare

y = 3,674 − 1,070 x ⇒ ln(y) = 3,674 − 1,070 ln(x) ⇒ y = 4726,348 x−1,070


Leis de Potência


Leis de Potência


Voos de Levy


Voos de Levy


Voos de Levy


Leis de Potência

Cuidado: alguns fernômenos são, outros não são descritos por uma lei de potência!

Clauset, Shalizi and Newman: Power-Law Distributions in Empirical Data.SIAM Review, Vol. 51, No. 4, pp. 661-703, 2009.


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