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Limites de Funções
Bases Matemáticas
2o quadrimestre de 2018
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 1 /
91
Visão Geral
1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞
2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞
3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes
4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /
91
Visão Geral
1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞
2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞
3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes
4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /
91
Visão Geral
1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞
2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞
3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes
4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /
91
Visão Geral
1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞
2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞
3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes
4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /
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Limites Finitos
Limites Finitos
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores próximos a um valor fixado L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 3 /
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Limites Finitos
Limites Finitos
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores próximos a um valor fixado L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 3 /
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Limites Finitos
Limites Finitos
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores próximos a um valor fixado L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 3 /
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Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto
O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /
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Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto
O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /
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Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto
O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /
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Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto
O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /
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Limites Finitos Preliminares
Assim, para expressar
"a está suficientemente próximo de b"
dizemos∃ r > 0 | |a− b| < r .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 5 /
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Limites Finitos Preliminares
Assim, para expressar
"a está suficientemente próximo de b"
dizemos∃ r > 0 | |a− b| < r .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 5 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que
limx→a
f (x) = L
se:
f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que
x esteja suficientemente próximo de a
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que
limx→a
f (x) = L
se:
f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que
x esteja suficientemente próximo de a
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que
limx→a
f (x) = L
se:
f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que
x esteja suficientemente próximo de a
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que
limx→a
f (x) = L
se:
f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que
x esteja suficientemente próximo de a
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que
limx→a
f (x) = L
se:
f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que
x esteja suficientemente próximo de a
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que
limx→a
f (x) = L
se:
f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que
x esteja suficientemente próximo de a
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Em símboloslimx→a
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Em símboloslimx→a
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Em símboloslimx→a
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Em símboloslimx→a
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Definição de limite
Em símboloslimx→a
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Interpretação gráfica
(GeoGebra: LF ponto.ggb)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 8 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→2
(3x + 1) = 7
Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε
3 , então
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε
3= ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→2
(3x + 1) = 7
Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε
3 , então
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε
3= ε
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→2
(3x + 1) = 7
Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε
3 , então
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε
3= ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→2
(3x + 1) = 7
Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε
3 , então
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε
3= ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
@ limx→0
sen1x
Dado L ∈ R, tome ε = 12 .
Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π
2 + 2kπ > 1δ .
Logo,
x0 =1
π2 + 2kπ
< δ
esen
1x0
= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
@ limx→0
sen1x
Dado L ∈ R, tome ε = 12 .
Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π
2 + 2kπ > 1δ .
Logo,
x0 =1
π2 + 2kπ
< δ
esen
1x0
= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
@ limx→0
sen1x
Dado L ∈ R, tome ε = 12 .
Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π
2 + 2kπ > 1δ .
Logo,
x0 =1
π2 + 2kπ
< δ
esen
1x0
= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
@ limx→0
sen1x
Dado L ∈ R, tome ε = 12 .
Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π
2 + 2kπ > 1δ .
Logo,
x0 =1
π2 + 2kπ
< δ
esen
1x0
= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
@ limx→0
sen1x
Dado L ∈ R, tome ε = 12 .
Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π
2 + 2kπ > 1δ .
Logo,
x0 =1
π2 + 2kπ
< δ
esen
1x0
= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /
91
Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
@ limx→0
sen1x
Dado L ∈ R, tome ε = 12 .
Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π
2 + 2kπ > 1δ .
Logo,
x0 =1
π2 + 2kπ
< δ
esen
1x0
= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /
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Limites Finitos Preliminares
Limite para x → a
Exemplo
limx→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definição de limite lateral direito
limx→a+
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definição de limite lateral direito
limx→a+
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definição de limite lateral direito
limx→a+
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definição de limite lateral direito
limx→a+
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definição de limite lateral esquerdo
limx→a−
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definição de limite lateral esquerdo
limx→a−
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definição de limite lateral esquerdo
limx→a−
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definição de limite lateral esquerdo
limx→a−
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Interpretação gráfica
(GeoGebra: LF lateral direito.ggb, LF lateral esquerdo.ggb, LF laterais.ggb)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 14 /
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Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplos
limx→2+
|x − 2|x − 2
=x − 2x − 2
= 1
limx→2−
|x − 2|x − 2
=2− x
x − 2= −1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 15 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplos
limx→2+
|x − 2|x − 2
=x − 2x − 2
= 1
limx→2−
|x − 2|x − 2
=2− x
x − 2= −1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 15 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplos
limx→2+
|x − 2|x − 2
=x − 2x − 2
= 1
limx→2−
|x − 2|x − 2
=2− x
x − 2= −1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 15 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = L
e
limx→a−
f (x) = L = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = L
e
limx→a−
f (x) = L = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = L
e
limx→a−
f (x) = L = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /
91
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = L
e
limx→a−
f (x) = L = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /
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Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
ExemploDetermine o valor de c de modo que exista
limx→2
f (x)
onde
f (x) =
{−2x + 5 se x > 2x2 + c se x < 2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 17 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores próximos a um valor fixado L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 18 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores próximos a um valor fixado L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 18 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores próximos a um valor fixado L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 18 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definição de limite no infinito (positivo)
limx→+∞
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que
x > M ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 19 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definição de limite no infinito (positivo)
limx→+∞
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que
x > M ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 19 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definição de limite no infinito (positivo)
limx→+∞
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que
x > M ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 19 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definição de limite no infinito (negativo)
limx→−∞
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que
x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 20 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definição de limite no infinito (negativo)
limx→−∞
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que
x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 20 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definição de limite no infinito (negativo)
limx→−∞
f (x) = L
se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que
x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 20 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Interpretação gráfica
(GeoGebra: LF mais infinito.ggb, LF menos infinito.ggb)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 21 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Assíntotas horizontaisSuponha que
limx→±∞
f (x) = L
Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 22 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Assíntotas horizontaisSuponha que
limx→±∞
f (x) = L
Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 22 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /
91
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
limx→+∞
x
x + 1= 1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 24 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores tendendo a infinito.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 25 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores tendendo a infinito.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 25 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores tendendo a infinito.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 25 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definição de limite infinito (positivo)
limx→a
f (x) = +∞
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 26 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definição de limite infinito (positivo)
limx→a
f (x) = +∞
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 26 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definição de limite infinito (positivo)
limx→a
f (x) = +∞
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 26 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definição de limite infinito (negativo)
limx→a
f (x) = −∞
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 27 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definição de limite infinito (negativo)
limx→a
f (x) = −∞
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 27 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definição de limite infinito (negativo)
limx→a
f (x) = −∞
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 27 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Assíntotas verticaisSuponha que
limx→a
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 28 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Assíntotas verticaisSuponha que
limx→a
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 28 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Interpretação gráfica
(GeoGebra: LI ponto laterais)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 29 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
limx→0
1x2 = +∞
1x2 > M ⇔ x2 <
1M⇔ |x | < 1√
M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 30 /
91
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
limx→0
1x2 = +∞
1x2 > M ⇔ x2 <
1M⇔ |x | < 1√
M
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 30 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a+
Limite lateral direito infinito
limx→a+
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 31 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a+
Limite lateral direito infinito
limx→a+
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 31 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a+
Limite lateral direito infinito
limx→a+
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 31 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a−
Limite lateral esquerdo infinito
limx→a−
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 32 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a−
Limite lateral esquerdo infinito
limx→a−
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 32 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a−
Limite lateral esquerdo infinito
limx→a−
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 32 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a±
Assíntotas verticaisSuponha que
limx→a±
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 33 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a±
Assíntotas verticaisSuponha que
limx→a±
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 33 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Interpretação gráfica
(GeoGebra)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 34 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = +∞
e
limx→a−
f (x) = +∞ = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 36 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = +∞
e
limx→a−
f (x) = +∞ = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 36 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = −∞
e
limx→a−
f (x) = −∞ = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 37 /
91
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = −∞
e
limx→a−
f (x) = −∞ = limx→a+
f (x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 37 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores tendendo a infinito.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 38 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores tendendo a infinito.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 38 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores tendendo a infinito.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 38 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (positivo)
limx→+∞
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 39 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (positivo)
limx→+∞
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 39 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (positivo)
limx→+∞
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 39 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (negativo)
limx→−∞
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 40 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (negativo)
limx→−∞
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 40 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (negativo)
limx→−∞
f (x) = +∞ (−∞)
se∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 40 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Interpretação gráfica
(GeoGebra)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 41 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→+∞
2x = +∞
2 limx→−∞
2−x = +∞
3 limx→+∞
log2 x = +∞
4 limx→+∞
log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→+∞
2x = +∞
2 limx→−∞
2−x = +∞
3 limx→+∞
log2 x = +∞
4 limx→+∞
log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→+∞
2x = +∞
2 limx→−∞
2−x = +∞
3 limx→+∞
log2 x = +∞
4 limx→+∞
log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→+∞
2x = +∞
2 limx→−∞
2−x = +∞
3 limx→+∞
log2 x = +∞
4 limx→+∞
log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→+∞
2x = +∞
2 limx→−∞
2−x = +∞
3 limx→+∞
log2 x = +∞
4 limx→+∞
log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
1 limx→+∞
x2
x+1 = +∞
2 limx→−∞
x2
x+1 = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 44 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
1 limx→+∞
x2
x+1 = +∞
2 limx→−∞
x2
x+1 = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 44 /
91
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
1 limx→+∞
x2
x+1 = +∞
2 limx→−∞
x2
x+1 = −∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 44 /
91
Continuidade
Continuidade
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 45 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
limx→a
f (x) = f (a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 47 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
limx→a
f (x) = f (a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 47 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
limx→a
f (x) = f (a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 47 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
DefiniçãoAssim, f é contínua em a se
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 48 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
DefiniçãoAssim, f é contínua em a se
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 48 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 49 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 50 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 50 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 50 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 senx + a
2sen
x − a
2| = 2| sen x + a
2|| sen x − a
2|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|
2= |x − a|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 senx + a
2sen
x − a
2| = 2| sen x + a
2|| sen x − a
2|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|
2= |x − a|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 senx + a
2sen
x − a
2| = 2| sen x + a
2|| sen x − a
2|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|
2= |x − a|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 senx + a
2sen
x − a
2| = 2| sen x + a
2|| sen x − a
2|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|
2= |x − a|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 senx + a
2sen
x − a
2| = 2| sen x + a
2|| sen x − a
2|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|
2= |x − a|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /
91
Continuidade Resultados importantes
Resultados Importantes
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 53 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 4:
||x − 2| − 3|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 58 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 4:
||x − 2| − 3|
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 58 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 x
x2
∣∣∣∣+ cos2 xx2
assumindo que
limx→0
sen2 x
x2 = 1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 59 /
91
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 x
x2
∣∣∣∣+ cos2 xx2
assumindo que
limx→0
sen2 x
x2 = 1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 59 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que o polinômio p(x) = x4 +3x3 +1 possui ao menos uma raiz real.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 62 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 63 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que a equação cos x = x possui pelo menos uma solução nointervalo [0, π]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 64 /
91
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que a equação 3x = x2 + 4 possui pelo menos uma solução nointervalo [0, 2]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 65 /
91
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e inversível.Então f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 66 /
91
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e inversível.Então f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 66 /
91
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e inversível.Então f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 66 /
91
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 67 /
91
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 67 /
91
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 67 /
91
Cálculo de Limites
Cálculo de Limites
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 68 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressãolimx→a
f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
limx→a
f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 69 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressãolimx→a
f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
limx→a
f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 69 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressãolimx→a
f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
limx→a
f (x).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 69 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Proposição
Suponha que:1 lim
x→af (x) = b
2 g(x) é contínua em b
Então
limx→a
(g ◦ f )(x) = g(b).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 72 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Proposição
Suponha que:1 lim
x→af (x) = b
2 g(x) é contínua em b
Então
limx→a
(g ◦ f )(x) = g(b).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 72 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos1 lim
x→2cos(πx) = lim
x→2πcos x = 1
2 limx→3
ln(x2 − 2x − 2) = limx→1
ln x = 0
3 limx→4
√5x − 4 = lim
x→16
√x = 4
4 limx→4
arctan√
5x−4x = lim
x→1arctan x = π
4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos1 lim
x→2cos(πx) = lim
x→2πcos x = 1
2 limx→3
ln(x2 − 2x − 2) = limx→1
ln x = 0
3 limx→4
√5x − 4 = lim
x→16
√x = 4
4 limx→4
arctan√
5x−4x = lim
x→1arctan x = π
4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos1 lim
x→2cos(πx) = lim
x→2πcos x = 1
2 limx→3
ln(x2 − 2x − 2) = limx→1
ln x = 0
3 limx→4
√5x − 4 = lim
x→16
√x = 4
4 limx→4
arctan√
5x−4x = lim
x→1arctan x = π
4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos1 lim
x→2cos(πx) = lim
x→2πcos x = 1
2 limx→3
ln(x2 − 2x − 2) = limx→1
ln x = 0
3 limx→4
√5x − 4 = lim
x→16
√x = 4
4 limx→4
arctan√
5x−4x = lim
x→1arctan x = π
4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos1 lim
x→2cos(πx) = lim
x→2πcos x = 1
2 limx→3
ln(x2 − 2x − 2) = limx→1
ln x = 0
3 limx→4
√5x − 4 = lim
x→16
√x = 4
4 limx→4
arctan√
5x−4x = lim
x→1arctan x = π
4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /
91
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Corolário (Importante)
Se f e g são funções contínuas, então g ◦ f é contínua.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 74 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
NotaçãoNo que se segue, usaremos
limx→?
para denotar um dos tipos abaixo de limites:
limx→a
, limx→a+
, limx→a−
, limx→+∞
, limx→−∞
.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 75 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
NotaçãoNo que se segue, usaremos
limx→?
para denotar um dos tipos abaixo de limites:
limx→a
, limx→a+
, limx→a−
, limx→+∞
, limx→−∞
.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 75 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
NotaçãoNo que se segue, usaremos
limx→?
para denotar um dos tipos abaixo de limites:
limx→a
, limx→a+
, limx→a−
, limx→+∞
, limx→−∞
.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 75 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Limites de funções e operações algébricas
Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que
limx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 76 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Limites de funções e operações algébricas
Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que
limx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 76 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1
g(x) −1G | =
|g(x)−G ||g(x)||G |
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1
g(x) −1G | =
|g(x)−G ||g(x)||G |
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1
g(x) −1G | =
|g(x)−G ||g(x)||G |
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1
g(x) −1G | =
|g(x)−G ||g(x)||G |
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1
g(x) −1G | =
|g(x)−G ||g(x)||G |
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1
g(x) −1G | =
|g(x)−G ||g(x)||G |
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 limx→2
(2x3 + cos(πx)
log4 x
)2 lim
x→1−
(2 arcsen x + |x−2|
x+1 π)
3 limx→+∞
(2−x + arctan x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 limx→2
(2x3 + cos(πx)
log4 x
)2 lim
x→1−
(2 arcsen x + |x−2|
x+1 π)
3 limx→+∞
(2−x + arctan x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 limx→2
(2x3 + cos(πx)
log4 x
)2 lim
x→1−
(2 arcsen x + |x−2|
x+1 π)
3 limx→+∞
(2−x + arctan x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 limx→2
(2x3 + cos(πx)
log4 x
)2 lim
x→1−
(2 arcsen x + |x−2|
x+1 π)
3 limx→+∞
(2−x + arctan x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
limx→?
f (x)
g(x)
Denotandolimx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 81 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
limx→?
f (x)
g(x)
Denotandolimx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 81 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
limx→?
f (x)
g(x)
Denotandolimx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 81 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
limx→?
f (x)
g(x)
Denotandolimx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
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91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
limx→?
f (x)
g(x)
Denotandolimx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
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91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→3
x2−9x−3
2 limx→a
x2−a2
x−a (derivada de x2 em a)
3 limx→2
√x−√
2x−2
4 limx→a
√x−√a
x−a (derivada de√x em a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 82 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→3
x2−9x−3
2 limx→a
x2−a2
x−a (derivada de x2 em a)
3 limx→2
√x−√
2x−2
4 limx→a
√x−√a
x−a (derivada de√x em a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 82 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→3
x2−9x−3
2 limx→a
x2−a2
x−a (derivada de x2 em a)
3 limx→2
√x−√
2x−2
4 limx→a
√x−√a
x−a (derivada de√x em a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 82 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→3
x2−9x−3
2 limx→a
x2−a2
x−a (derivada de x2 em a)
3 limx→2
√x−√
2x−2
4 limx→a
√x−√a
x−a (derivada de√x em a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 82 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→3
x2−9x−3
2 limx→a
x2−a2
x−a (derivada de x2 em a)
3 limx→2
√x−√
2x−2
4 limx→a
√x−√a
x−a (derivada de√x em a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 82 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→2
3√x− 3√2x−2 (derivada de 3
√x em x = 2)
2 limx→1
√x−1√
2x+3−√
5
3 limx→2
x3−x2−x−2x2−4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→2
3√x− 3√2x−2 (derivada de 3
√x em x = 2)
2 limx→1
√x−1√
2x+3−√
5
3 limx→2
x3−x2−x−2x2−4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→2
3√x− 3√2x−2 (derivada de 3
√x em x = 2)
2 limx→1
√x−1√
2x+3−√
5
3 limx→2
x3−x2−x−2x2−4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→2
3√x− 3√2x−2 (derivada de 3
√x em x = 2)
2 limx→1
√x−1√
2x+3−√
5
3 limx→2
x3−x2−x−2x2−4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 limx→−1
3√x+2−1x+1 , tomando u = 3
√x + 2
2 limx→π
cos2 x+3 cos x+2cos x+1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 84 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 limx→−1
3√x+2−1x+1 , tomando u = 3
√x + 2
2 limx→π
cos2 x+3 cos x+2cos x+1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 84 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 limx→−1
3√x+2−1x+1 , tomando u = 3
√x + 2
2 limx→π
cos2 x+3 cos x+2cos x+1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 84 /
91
Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
TeoremaSe
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
elimx→?
f (x) = L = limx→?
h(x)
entãolimx→?
g(x) = L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 85 /
91
Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
TeoremaSe
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
elimx→?
f (x) = L = limx→?
h(x)
entãolimx→?
g(x) = L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 85 /
91
Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
TeoremaSe
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
elimx→?
f (x) = L = limx→?
h(x)
entãolimx→?
g(x) = L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 85 /
91
Cálculo de Limites Infinitésimos e Infinitos
Infinitésimos e Infinitos
limx→?
f (x) limx→?
1f (x)
0+ +∞0− −∞+∞ 0+
−∞ 0−
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 86 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites finitos e infinitos
Soma e Diferença
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
(f (x) + g(x))
F ±∞ ±∞
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
(f (x)− g(x)) limx→?
(g(x)− f (x))
F ±∞ ∓∞ ±∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 87 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites finitos e infinitos
Produto e Quociente
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
f (x).g(x) limx→?
f (x)g(x)
F > 0 ±∞ ±∞ 0±
F < 0 ±∞ ∓∞ 0∓
0 ±∞ Ind. 0
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 88 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites Infinitos
Soma e Diferença
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
(f (x) + g(x)) limx→?
(f (x)− g(x))
±∞ ±∞ ±∞ Ind.±∞ ∓∞ Ind. ±∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 89 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites Infinitos
Produto e Quociente
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
f (x).g(x) limx→?
f (x)g(x)
±∞ ±∞ +∞ Ind.±∞ ∓∞ −∞ Ind.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 90 /
91
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
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Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 91 /
91
