Metodos Dos Elementos Finitos

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Text of Metodos Dos Elementos Finitos

  • Relatrio 07-DEC/E-05

    Data: Maro de 2007

    N. de pginas: 27

    Palavras chave: MEF, Estruturas Articuladas

    Escola de

    Engenharia

    Departamento de

    Engenharia Civil

    Universidade

    do Minho

    Azurm, 4800-085 Guimares - Tel. 253 510 200 - Fax 253 510 217 - E-mail [email protected]

    Mtodo dos Elementos Finitos

    Estruturas Planas Articuladas

    Exerccios Resolvidos

    L. Loureno, J. Barros

  • Universidade do Minho

    Departamento de Engenharia Civil

    Mtodo dos Elementos Finitos Estruturas Articuladas Planas Exerccios Resolvidos - 2/27

    Azurm 4800-058 Guimares Tel. (+351) 253 510200 Fax (+351) 253 510217

    Resumo

    No presente relatrio apresenta-se a aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) para o

    clculo dos deslocamentos nodais, esforos nas barras e reaces dos apoios em estruturas planas

    biarticuladas (trelias). Se o peso prprio destas barras for desprezado, estas ficam submetidas

    apenas a esforos axiais, estando sujeitas a extenses segundo o seu eixo, isto , todos os pontos de

    uma determinada seco da barra sofrem o mesmo deslocamento, paralelo ao eixo da barra.

    A seleco dos exerccios apresentados visa a exemplificao e discusso de aspectos que os

    autores julgam fundamentais para a aplicao do MEF em estruturas planas biarticuladas. Os

    quatro exerccios apresentados tm diferentes objectivos:

    1 - No primeiro exerccio uma estrutura plana, constituda por barras biarticuladas de seco

    constante, discretizada por elementos de dois ns; expem-se os passos necessrios para a

    obteno da matriz de rigidez de uma estrutura e do vector das foras nodais equivalentes s aces

    actuantes. Da resoluo do sistema de equaes, obtm-se os deslocamentos nodais e reaces nos

    apoios. Por ltimo, so obtidos os esforos nas barras.

    2 No primeiro exerccio todas as barras so discretizadas pelo mesmo tipo de elemento finito.

    Contudo, a discretizao de barras pode ser efectuada por intermdio de um maior nmero de

    elementos ou de elementos com maior nmero de ns. O exerccio 2 tem por objectivo atender a

    este assunto. Trata-se de uma estrutura constituda apenas por uma barra de seco constante, onde

    se analisam os resultados obtidos atravs da discretizao da mesma recorrendo a um elemento de

    dois ns, dois elementos de dois ns e um elemento de trs ns.

    3 O exerccio 3 surge como complemento ao exerccio anterior. Contudo, o exerccio 3

    dedicado ao caso de uma barra de seco varivel. Discute-se a necessidade de recorrer a uma

    discretizao da barra por um maior nmero de elementos de forma a obter-se uma soluo mais

    aproximada da exacta.

    4 Por ltimo, e para uma estrutura plana constituda por barras biarticuladas, de seco constante

    e varivel, sugere-se o clculo de alguns coeficientes da matriz de rigidez da estrutura, algumas

    linhas do vector solicitao e o clculo dos esforos presentes numa das barra a partir dos

    deslocamentos nos ns.

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    Exerccio 1

    Considere-se a trelia plana representada na Figura 1, discretizada com um elemento de dois ns

    em cada barra. Pretende-se conhecer os deslocamentos nodais, os esforos nas barras e as reaces

    nos apoios (dados: mkNLEA /50000= ).

    5

    [A]

    [B]

    [C]

    [D]

    1

    2

    3

    4

    F

    [E]

    35

    5 55

    Figura 1 Trelia Plana

    O primeiro passo para a resoluo do exerccio passa pela discretizao de cada uma das barras da

    estrutura com elementos de dois ns, como sugerido. Estando perante uma estrutura articulada

    plana discretizada em cinco elementos e quatro ns, e dado existirem dois graus de liberdade por

    n, a estrutura apresenta oito graus de liberdade nodais. Na Figura 2 apresentam-se os graus de

    liberdade nodais referidos, no referencial geral.

    (5)

    4

    3

    2

    1

    (4)

    (3)

    (2)

    (1)

    u31g

    g41u

    g21u

    g11u

    g32u

    u12g

    u22g

    u42g

    Figura 2 Graus de liberdade nodais

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    a) Clculo da matriz de rigidez da estrutura

    Seguidamente procede-se ao clculo da matriz de rigidez da estrutura, sendo para isso necessrio

    calcular a matriz de rigidez dos elementos que a constituem. A matriz de rigidez de um elemento

    genrico de prtico plano constituda pela soma das matrizes de rigidez relativas deformao

    axial, flexo e corte:

    )()()()( ec

    ef

    ea

    e KKKK ++= (1) em que

    [ ]=)(

    1)(

    eLa

    Ta

    ea dlBEABK (2)

    [ ]=)(

    13)(

    eLf

    lTf

    ef dlBEIBK (3)

    [ ] ( )=)(

    1*

    2)(

    eLc

    lTc

    ec dlBAGBK (4)

    Dado estar-se a analisar uma trelia, a nica deformao possvel a axial, pelo que

    )()( ea

    e KK = (5) com,

    11 2dsLdl = (6)

    Assim,

    [ ] 11

    1

    )(

    2dsBEABLK a

    Ta

    e

    = (7)

    A matriz aB , para um n genrico de n ns dada por:

    = 02...020211

    2

    1

    1

    dsdN

    LdsdN

    LdsdN

    LB na (8)

    pelo que, para o caso de um elemento de dois ns, (7) passa a apresentar o seguinte formato

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    1

    1

    1 1

    2

    1

    1

    1

    2

    1

    1

    )( 0202

    0

    20

    2

    2ds

    dsdN

    LdsdN

    LEA

    dsdN

    L

    dsdN

    LLK e

    = (9)

    Para se concluir o clculo da matriz de rigidez do elemento de dois ns, ainda necessrio

    conhecer as derivadas das funes de forma. A funo de forma para um n genrico i dada por

    =

    =

    n

    ijj ji

    ji ss

    sssN

    )(1 11,

    111)( (10)

    Para um elemento Lagrangeano de dois ns, 111 =s e 121 +=s , pelo que se obtm

    ( ) ( )( ) ( )112111211

    11 121

    111 ss

    sssssN =+

    +== (11)

    ( ) ( )( ) ( )111121111

    12 121

    111 ss

    sssssN +=

    == (12)

    Atendendo a (11) e (12), obtm-se

    21

    1

    1 =dsdN

    (13)

    21

    1

    2 =dsdN

    (14)

    Substituindo (13) e (14) em (9) temos

    1

    1

    1

    )( 02120

    212

    0212

    0212

    2ds

    LLEA

    L

    LLK e

    = (15)

    ou

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    1

    1

    1

    )( 0210

    21

    021021

    222

    dsEALL

    LK e

    = (16)

    Sendo o mdulo de elasticidade do material que constitui a barra e a rea da seco transversal

    desta constantes, resulta

    1

    1

    1

    )( 0210

    21

    021021

    2 dsLEAK e

    = (17)

    O clculo do integral presente em (17) ser efectuado por intermdio da integrao numrica de

    Gauss Legendre. Pode, contudo, ser efectuado analiticamente.

    O primeiro passo para a integrao numrica de Gauss Legendre passa por determinar o nmero de

    pontos necessrios (pontos de integrao de Gauss) que permite calcular, de forma exacta, o

    integral. Sabe-se que, com n pontos de Gauss, se integra, de modo exacto, um polinmio de grau

    2n-1; sabe-se tambm que nos pontos de uma quadratura de Gauss-Legendre de ordem n, um

    polinmio de grau n e outro de grau n-1 tomam o mesmo valor. Como a funo a integrar um

    polinmio de grau zero, a utilizao de um nico ponto de integrao (PI) suficiente (a utilizao

    de 1 ponto de integrao, n = 1, permite a integrao de um polinmio de grau 1 ou inferior,

    2x1-1=1). A Tabela 1 inclui o nmero de pontos de integrao necessrios para a integrao de

    funes polinomiais de grau 1 a 5, bem como as coordenadas normalizadas dos pontos de

    integrao a adoptar e os respectivos pesos, Wi.

    Tabela 1 Integrao Numrica de Gauss Legendre

    Nmero de pontos de integrao

    n

    Grau do polinmio

    2n-1

    Coordenadas normalizadas dos pontos de integrao

    si

    Pesos Wi

    1 1 0.0 2.0

    2 3 31

    31 1 1

    3 5 53

    0

    53

    5/9 8/9 5/9

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    A integrao numrica da funo a integrar efectuada atravs do somatrio de n parcelas

    (relembra-se que n o nmero de pontos de integrao). As referidas parcelas so obtidas

    multiplicando a funo a integrar (onde s1 substitudo pela coordenada normalizada do respectivo

    ponto de integrao), pelo respectivo peso, Wi. Utilizando a integrao numrica de Gauss

    Legendre para resolver a expresso apresentada em (17),

    = 20210

    21

    021021

    2 )()(e

    e

    LEAK (18)

    Conclui-se, assim, que a matriz de rigidez de um elemento finito de dois ns, no seu referencial

    local, considerando apenas a deformao axial e admitindo mdulo de elasticidade e seco

    constantes ao longo da barra, dada por:

    =0000010100000101

    )()(

    ele

    LEAK (19)

    Atendendo aos dados fornecidos no enunciado do problema,

    lK )1( = lK )2( = lK )3( = lK )4( = lK )5( = 310

    00000500500000050050

    (20)

    Dado existirem elementos com referenciais locais que no coincidem com o referencial geral da

    estrutura, necessrio transformar a matriz de rigidez dos elementos para um nico referencial, o

    geral. Para tal recorre-se matriz de transformao que relaciona deslocamentos e foras entre os

    referenciais local do elemento e geral da estrutura. Para um elemento de uma estrutura articulada

    bidimensional a matriz que converte estes dados do referencial local para o geral da estrutura tem o

    seguinte formato (in Barros, 2005 - Mtodo dos deslocamentos - pginas 4.3 e 4.4):

    = lg)(

    2

    lg)(1lg)(

    00e

    ee

    TTT (21)

    Em que

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    =

    coscoslg)(sen

    senT

    ei (22)

    a matriz que transforma os graus de liberdade do n i do referencial local para o geral.

    Para os elementos da estrutura em estudo, as correspondentes matrizes de transformao tero o

    seguinte formato:

    ==

    22

    2200

    22

    2200

    0022

    22

    0022

    22

    lg)5(lg)1( TT (23)

    =

    1000010000100001

    lg)2(T (24)

    =

    22

    2200

    22

    2200

    0022

    22

    0022

    22

    lg)3(T (25)

    =

    01001000

    00010010

    lg)4(T (26)

    A matriz de rigidez de um elemento finito genrico e no referencial geral da estrutura obtida por

    intermdio de

    [ ]Teleege TKTK lg)()(lg)()( = (27) em que:

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    geK )( - a matriz de rigidez de um elemento finito no referencial geral;

    lg)(eT - a matriz de transformao do referencial local do elemento para o geral da estrutura;

    leK )( - a matriz de rigidez de um elemento finito no seu referencial local;

    [ ]TeT lg)( - a transposta de leT )( . A matriz de rigidez do elemento finito que discretiza a barra 1, no referencial geral da estrutura,

    obtida atravs de (27), atendendo a (20) e (23).

    =

    22

    2200

    22

    2200

    0022

    22

    0022

    22

    10

    00000500500000050050

    22

    2200

    22

    2200

    0022

    22

    0022

    22

    3)1( gK

    3)1( 10

    252525252525252525252525

    25252525

    =gK

    (28)

    A matriz de rigidez dos restantes elementos obtida de forma similar ao apresentado em (28).

    3)2( 10

    00000500500000050050

    =gK (29)

    3)3( 10

    25252525252525252525252525252525

    =gK (30)

    3)4( 10

    50050000005005000000

    =gK (31)

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    3)5( 10

    252525252525252525252525

    25252525

    =gK (32)

    Seguidamente, procede-se ao espalhamento das matrizes de rigidez (28) a (32) dos elementos, no

    referencial geral, na matriz de rigidez da estrutura. Com o intuito de simplificar o processo de

    espalhamento, a matriz de rigidez do elemento no referencial geral decomposta em quatro

    submatrizes, cujos coeficientes esto relacionados com o n esquerdo do elemento, e, e/ou com o

    n direito, d, isto :

    = gedd

    gede

    geed

    geeege

    KKKKK )()(

    )()()( (33)

    O espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura est

    apresentado em (34).

    +++

    +++

    =g

    ddg

    ddg

    deg

    de

    ged

    gee

    gdd

    gdd

    gde

    gde

    ged

    gee

    gdd

    gde

    ged

    ged

    ged

    gee

    gee

    gee

    gE

    KKKKKKKKKK

    KKKKKKKKKK

    K

    )5()2()5()2(

    )5()5()4()3()4()3(

    )4()4()1()1(

    )2()3()1()3()2()1(

    0

    0 (34)

    Substituindo em (34) os valores apresentados em (28) a (32), e atendendo a (33), resulta

    310

    250250252500002502550252500050

    252525502525025500252525252502525025002525005005025025252500000250252525002525252525025250250502525252525025255025

    +++++

    +++++

    ++++++

    ++++

    =gEK

    310

    2525252500002575252500050252510005002525

    252505000252500500752525250000252525250025252525500050252525250100

    =gEK

    (35)

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    A matriz de rigidez tem dimenso [8x8], isto , 8 linhas e 8 colunas, igual ao nmero de graus de

    liberdade da estrutura.

    b) O vector solicitao da estrutura

    Como na estrutura em anlise desprezado o peso prprio da estrutura, a nica solicitao presente

    a de uma carga pontual aplicada directamente num n, como apresentado na Figura 1. Assim:

    [ ]kNQ gE

    =

    =

    00

    04.8687.122

    0000

    00

    35sin15035cos150

    0000

    (36)

    c) Os deslocamentos nodais da estrutura

    O clculo dos deslocamentos nodais efectuado a partir da resoluo do seguinte sistema de

    equaes de equilbrio:

    gE

    gE

    gE

    UKQ = (37) Para os graus de liberdade impedidos (apoios da estrutura), o deslocamento conhecido

    (deslocamento nulo ou igual a um eventual assentamento de apoio), sendo no entanto desconhecido

    o valor da reaco do respectivo apoio. Neste sentido, a equao (37) organizada de forma a

    separar as equaes associadas a graus de liberdade livres (subndice l) das equaes

    correspondentes a graus de liberdade fixos (subndice f).

    =

    + g fEg

    lEg

    ffEg

    flE

    glfE

    gllE

    gE

    gfE

    glE

    UU

    KKKK

    RQQ

    ,

    ,

    ,,

    ,,

    ,

    , (38)

    em que gER o valor das reaces. Desenvolvendo a primeira parte de (38) resulta:

    gfE

    glfE

    glE

    gllE

    glE

    UKUKQ ,,,,, += (39)

    Da resoluo de (39) obtm-se o vector dos graus de liberdade livres, g lEU , . Substituindo em (39)

    os valores apresentados em (35) e (36) e atendendo aos dados do problema relativamente aos

    deslocamentos nos graus de liberdade impedidos, obtm-se:

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    Azurm 4800-058 Guimares Tel. (+351) 253 510200 Fax (+351) 253 510217

    010

    100025250502525252550025250100

    04.8687.122

    00

    ,,3 g

    lfEg

    lE KU +

    =

    (40)

    do qual resulta

    [ ]mU g lE 3, 1017597.0

    82626.382514.191257.0

    = (41)

    Assim, o vector dos deslocamentos dos ns da estrutura apresenta o seguinte formato

    [ ]mU gE 310

    00

    17597.082626.3

    00

    82514.191257.0

    = (42)

    As reaces nos apoios da estrutura, gER , so obtidas atravs da resoluo da segunda equao de

    (38).

    gfE

    gffE

    glE

    gflE

    gE

    gfE

    UKUKRQ ,,,,, +=+ (43)

    010

    17597.082626.382514.191257.0

    25250025250505002525002525

    0000

    ,3

    8

    7

    4

    3

    gffEK

    RRRR

    +

    =

    +

    (44)

    Com a resoluo do sistema de equaes obtemos as reaces nos apoios da estrutura.

    [ ]kNRRRR

    =

    06.10068.145

    02.1481.22

    8

    7

    4

    3

    (45)

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    d) Os esforos na barra A

    A tenso instalada num elemento obtida por intermdio da lei de Hooke, ou seja, multiplicando a

    extenso, , pelo valor do mdulo de elasticidade do material, E. Por sua vez, o esforo axial

    instalado num elemento obtido multiplicando a tenso, , pela rea da seco transversal do

    elemento, A. A barra A foi discretizada pelo elemento 1. Para determinar a extenso na barra A

    necessrio determinar os deslocamentos dos ns do elemento 1 no seu referencial local. No

    referencial geral o vector dos deslocamentos dos ns nas extremidades do elemento tem o seguinte

    formato:

    [ ]mU g 3)1( 1000

    82514.191257.0

    = (46)

    Os deslocamentos nodais do elemento no referencial local do prprio elemento obtm-se a partir da

    seguinte equao

    [ ] gTl UTU )1(lg)1( = (47) Substituindo (23) e (46) em (47)

    [ ]mU l 33)1( 1000

    93585.164528.0

    10

    00

    82514.191257.0

    22

    2200

    22

    2200

    0022

    22

    0022

    22

    =

    = (48)

    Assim, se os ns esquerdo e direito do elemento 1 sofreram deslocamentos axiais, respectivamente,

    de leu)1( e ldu

    )1( , a extenso ocorrida no elemento 1, de comprimento L1

    53

    1

    )1()1()1(

    1 101256.9501064528.0 ===

    Luu le

    ld (49)

    A tenso no elemento 1 (admitindo E = 200 GPa)

    kPaE 18251101256.910200 5611 === (50) Resultando para o esforo axial o valor seguinte:

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    AN 11 == kN26.32107677.118251 31 ==

    (51)

    Nota: 36 107677.11020050500005000050000 ==== E

    LAL

    EA m2.

    Exerccio 2

    Na Figura 3 est representada um barra biarticulada de seco transversal circular, solicitada por

    uma fora pontual na extremidade direita da barra, na direco do seu eixo, e uma carga

    uniformemente distribuda ao longo de toda a barra. Admitindo para mdulo de elasticidade, E, o

    valor de 200 GPa, para raio da seco, r, o valor de 0.05 m, e considerando que a fora pontual

    aplicada na extremidade direita da barra de 25 kN, e que a carga uniformemente distribuda, q1,

    de 5 kN/m, pretende-se calcular os deslocamentos nodais e a reaco no apoio.

    L

    Seco ss1q

    S

    SQ x , u1 1

    Figura 3 Barra biarticulada

    Prope-se que o exerccio seja resolvido procedendo a trs nveis de discretizao da barra: 1 e 2

    elementos finitos de dois ns e um elemento finito de trs ns.

    a) Discretizao da barra biarticulada por um elemento de dois ns

    Na Figura 4 apresenta-se a discretizao da barra articulada atravs de um elemento de dois ns.

    Para a resoluo deste problema, adoptar-se-, agora de forma mais clere, os procedimentos

    adoptados para a resoluo do exerccio 1, com as necessrias adaptaes.

    q1 11x , uQ

    g11u u21

    g

    1 2(1)

    Figura 4 Barra biarticulada discretizada por um elemento de dois ns

    Admitindo somente um grau de liberdade (na direco do eixo da barra) por cada n, a matriz de

    rigidez do elemento dada por,

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    1

    1

    1 1

    2

    1

    1

    1

    2

    1

    1

    )(

    222

    2

    2

    dsLdsdN

    LdsdN

    LEA

    dsdN

    L

    dsdN

    LK ea

    = (52)

    Atendendo ao facto da estrutura ser discretizada apenas por um elemento, e dado que o

    referencial local do elemento coincide com o referencial geral da estrutura, tem-se

    )(eaE KK = (53)

    Simplificando a expresso (52) e atendendo a (53), obtm-se a matriz de rigidez da estrutura.

    =1111)1(

    LEAK E (54)

    Procede-se, seguidamente, ao clculo do vector das foras nodais equivalentes. Da mesma forma,

    atendendo ao facto da estrutura ser discretizada apenas por um elemento, e dado que o referencial

    local do elemento coincide com o referencial com o referencial geral da estrutura, tem-se que

    )1(QQE= (55)

    onde o vector das foras nodais equivalentes carga distribuda por unidade de comprimento, q1,

    que actua num determinado elemento (e), obtm-se de

    = 11 11)( dsJqNQ Te (56) ou seja

    [ ] 11112

    1)(

    2dsLq

    NN

    Q e

    = (57)

    Atendendo a (11) e (12), (57) reduz-se a

    ( )E

    QLqQ =

    =11

    2

    )1(1)1(

    (58)

    Da resoluo do sistema de equaes apresentado em (37),

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    ++

    =

    QLq

    RLq

    uu

    LEA

    2

    21111

    1

    1

    21

    11)1(

    (59)

    resulta

    011 =u ;

    +=21

    21LqQ

    EALu ; ( )LqQR 1+= (60)

    Atendendo aos dados fornecidos no enunciado,

    011 =u ; 521 1091294.8 =u m; 45=R kN (61)

    b) Discretizao da barra biarticulada por dois elementos de dois ns

    Na Figura 5 apresenta-se a discretizao da barra articulada atravs de dois elementos de dois ns.

    (1)31

    g31uu11

    g

    Q x , u1 11q

    (2)g21u

    q12

    Figura 5 Barra biarticulada discretizada por dois elementos de dois ns

    A matriz de rigidez dos elementos finitos no referencial geral da estrutura (neste caso, o referencial

    local dos elementos coincide com o referencial geral da estrutura) dada por (54). Contudo,

    estando perante mais do que um elemento, necessrio proceder ao espalhamento das matrizes de

    rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura. Procedendo a esse espalhamento, resulta:

    +

    =)2()2(

    )2()2()1()1(

    )1()1(

    0

    0

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    K E (62)

    Espalhando o vector das foras nodais equivalentes de cada elemento no vector das foras nodais

    equivalentes da estrutura resulta:

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    +

    =)2(

    1

    )2(1

    )1(1

    )1(1

    2

    22

    2

    Lq

    LqLq

    Lq

    QE

    (63)

    Da resoluo do sistema de equaes apresentado em (37):

    +

    +

    +

    =

    +

    QLq

    LqLq

    RLq

    uuu

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    LEA

    )2(1

    )2(1

    )1(1

    )1(1

    31

    21

    11

    )2()2(

    )2()2()1()1(

    )1()1(

    2

    22

    2

    0

    0

    (64)

    obtm-se

    011 =u ;

    +=4

    32

    121

    LqQEALu ; ( )LqQ

    EALu 131 22

    += ; ( )LqQR 1+= (65) Atendendo aos dados fornecidos no enunciado resulta

    011 =u ; 521 1009311.5 =u m; 531 1091294.8 =u m; 45=R kN (66)

    c) Discretizao da barra biarticulada por um elemento de trs ns

    Na Figura 6 apresenta-se a discretizao da barra articulada atravs de um elemento de trs ns.

    21q

    u21g

    11x , uQ

    g11u u31

    g

    1 3(1)

    Figura 6 Barra biarticulada discretizada por um elemento de trs ns

    Estando a estrutura discretizada apenas por um elemento finito, e sendo o referencial local do

    elemento coincidente com o referencial geral da estrutura, a matriz de rigidez da estrutura coincide

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    com a matriz de rigidez do elemento e o vector das foras nodais equivalentes da estrutura coincide

    com o vector das foras nodais equivalentes ao elemento.

    Atendendo ao facto de se tratar de um elemento finito de trs ns, necessrio definir as funes

    de forma para um elemento deste tipo. Atendendo a (10), e sabendo que, para um elemento

    Lagrangeano de trs ns, 111 =s , 021 =s e 131 +=s , temos

    ( ) ( )121

    1111 = sssN (67)

    ( ) ( ) ( )1112 11 sssN += (68) ( ) ( )1113 12

    1 sssN += (69)

    A matriz de rigidez dada por:

    1

    1

    1 1

    3

    1

    2

    1

    1

    1

    3

    1

    2

    1

    1

    )(

    2222

    2

    2

    2

    dsLdsdN

    LdsdN

    LdsdN

    LEA

    dsdN

    L

    dsdN

    L

    dsdN

    L

    K ea

    =

    (70)

    Recorrendo a dois Pontos de Integrao de Gauss Legendre para efectuar a integrao numrica de

    (70) resulta:

    EKLEAK =

    =1416216321621614

    6

    )1()1( (71)

    O vector das foras nodais equivalentes dado por

    [ ] 11113

    2

    1)(

    2dsLq

    NNN

    Q e

    = (72)

    Substituindo por (67) a (69) em (72)

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    ( )( ) ( )

    ( )[ ] 1111

    11

    11

    11)(

    21

    21

    11

    121

    dsLq

    ss

    ss

    ss

    Q e

    ++

    = (73)

    Efectuando a integrao obtm-se

    E

    e QLqQ =

    =

    313431

    21)(

    (74)

    Com a resoluo do sistema de equaes (37),

    +

    +=

    QLq

    Lq

    RLq

    uuu

    LEA

    6

    326

    1416216321621614

    61

    1

    1

    31

    21

    11)1(

    (75)

    e atendendo aos dados fornecidos no enunciado, obtm-se:

    011 =u ; 521 1009311.5 =u m; 531 1091294.8 =u m; 45=R kN (76) Salienta-se que os resultados obtidos recorrendo discretizao da barra biarticulada por um

    elemento de trs ns so iguais aos obtidos atravs da discretizao por dois elementos de dois ns.

    Exerccio 3

    O Exerccio 3 muito semelhante ao exerccio anterior. Contudo, a barra biarticulada apresenta

    seco varivel, como apresentado na Figura 7.

    11x , uQS

    S

    Seco ss

    L

    0A = A exp(-x /L)1

    Figura 7 Barra biarticulada de seco varivel

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    Prope-se, para a resoluo do problema, a discretizao da barra em um, dois e trs elementos de

    dois ns, tendo cada elemento seco constante igual registada no centro do elemento.

    a) Discretizao da barra biarticulada de seco varivel por um elemento de dois ns

    Na Figura 8 apresenta-se a barra biarticulada de seco varivel discretizada por um elemento de

    dois ns.

    (1)21

    g21uu11

    g

    Q x , u1 1

    L/2 L/2

    R

    Figura 8 Barra biarticulada de seco varivel discretizada por um elemento de dois ns

    A matriz de rigidez do elemento semelhante a (52). Na presente abordagem admite-se que a rea

    da seco transversal do elemento constante ao longo do elemento, igual que se obtm no centro

    do elemento. Assim,

    =

    =

    1111

    60653.01111 0

    210)1(

    LAE

    LeAEK (77)

    Sendo o vector solicitao do elemento,

    =QR

    Q )1( (78)

    Da resoluo do sistema de equaes de equilbrio:

    =

    QR

    uu

    LAE

    21

    110

    1111

    60653.0 (79)

    resulta

    021 64872.1 AE

    LQu = ; QR = (80)

    b) Discretizao da barra biarticulada de seco varivel por dois elementos de dois ns

    Na Figura 9 apresenta-se a barra biarticulada de seco varivel discretizada atravs de dois

    elementos de dois ns.

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    L/4

    11x , uQg11u u21

    g u31g

    321(1) (2)

    L/4 L/4L/4

    R

    Figura 9 Barra biarticulada de seco varivel discretizada por um elemento de trs ns

    Atendendo existncia de dois elementos, necessrio calcular a matriz de rigidez dos elementos

    finitos que discretizam a estrutura. Admitir-se- que os elementos tm seco constante, igual

    obtida no centro de cada um dos elementos, pelo que:

    =1111

    5576.10)1(LAEK (81)

    =1111

    9447.00)2(LAEK (82)

    Procedendo-se ao espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos, obtm-se a matriz de

    rigidez da estrutura:

    +

    =

    9447.09447.009447.09447.05576.15576.105576.15576.1

    0

    LAEK E (83)

    Do espalhamento do vector das foras nodais equivalentes de cada elemento no vector solicitao

    da estrutura resulta:

    =

    Q

    RQ

    E0 (84)

    Da resoluo do sistema de equaes de equilbrio:

    =

    +

    Q

    R

    uuu

    LAE 0

    9447.09447.009447.09447.05576.15576.105576.15576.1

    31

    21

    110 (85)

    resulta

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    031 7005.1 AE

    LQu = ; QR = (86)

    c) Discretizao da barra biarticulada de seco varivel por trs elementos de dois ns

    Na Figura 10 apresenta-se a barra biarticulada de seco varivel discretizada por trs elementos de

    dois ns.

    R (2)(1)1 2 4

    g41ug21u

    u11g

    Q x , u1 1

    L/6

    3

    L/6 L/6 L/6 L/6 L/6

    (3)

    u31g

    Figura 10 Barra biarticulada de seco varivel discretizada por trs elementos de dois ns

    Resolvendo de forma similar s alneas anteriores, obtm-se o seguinte sistema de equaes:

    =

    +

    +

    Q

    R

    uuuu

    LAE

    00

    3028.13028.1003028.13028.18196.18196.1008196.18196.15394.25394.2005394.25394.2

    41

    31

    21

    11

    0 (87)

    Resultando da sua resoluo,

    041 71036.1 AE

    LQu = ; QR = (88)

    A soluo exacta do problema passa pela considerao de que a barra tem seco varivel ao longo

    do seu comprimento, pelo que no integral do clculo da matriz de rigidez, A deve ser substituda

    pela correspondente funo, resultando,

    ( )( ) 10 1

    2

    1

    110

    1

    2

    1

    1

    22exp2

    2

    dxdxdN

    LdxdN

    LLxAE

    dxdN

    L

    dxdN

    LKL

    E

    = (89)

    e

    =QR

    QE

    (90)

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    pelo que, da resoluo do sistema de equaes de equilbrio resulta:

    021 71828.1 AE

    LQu = ; QR = (91)

    Analisando os resultados verifica-se que a discretizao de uma barra biarticulada com um nmero

    distinto de elementos leva a resultados diferentes. Contudo, verifica-se que, se a discretizao da

    estrutura efectuada com um maior nmero de elementos, menor o erro cometido (ver

    Figura 11).

    1 elemento 0

    21 64872.1 AELQu =

    4.0%

    2 elementos 0

    31 7005.1 AELQu =

    1.0%

    3 elementos 0

    41 71036.1 AELQu =

    0.5%

    Soluo exacta 0

    21 71828.1 AELQu =

    2

    Erro do deslocamento da extremidade (%)

    1

    1

    4

    3

    2

    Nmero deelementos

    3

    0.5

    Figura 11 Evoluo do erro do deslocamento da extremidade livre da barra com o nmero de

    elementos

    Exerccio 4

    A Figura 12 representa uma estrutura constituda por duas barras biarticuladas [A] e [B].

    4m

    4m

    [B]

    [A]

    3

    21

    10 kN

    5 kN/

    m

    [A]Dimetro

    0,20mDimetro

    0,20m

    E = 200 GPa

    E = 200 GPa

    0,10mDimetro

    0,20mDimetro

    [B]

    Figura 12 Estrutura biarticulada

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    a) Utilizando um elemento finito de trs ns para discretizar cada uma das barras articuladas

    [A] e [B] da estrutura, identifique os graus de liberdade dos ns da estrutura.

    Os graus de liberdade considerados so os representados na Figura 13. Os graus de liberdade esto

    no referencial geral da estrutura ( gjiu com j = 1,2, sendo i o nmero do n).

    [B]

    [A]

    u11 u2112u u 22 32u

    31u

    u 41u 42

    u51u52

    Figura 13 Discretizao e identificao dos graus de liberdade nodais da estrutura

    b) Calcule os termos da matriz de rigidez relativos aos graus de liberdade do n 2 da

    estrutura, utilizando a integrao numrica de Gauss Legendre.

    A funo de forma do n 3 de um elemento de trs ns dada por (69). A derivada da referida

    funo de forma

    21

    11

    3 += sdsdN

    (92)

    Admitindo (1), mas considerando que na presente estrutura apenas ocorre deformao axial nas

    barras, obtm-se (7). Sendo somente pedido os termos da matriz de rigidez relativos ao n 2 da

    estrutura, suficiente o clculo dos termos da matriz de rigidez no referencial local relativos ao n

    da direita (n 3) de ambos os elementos. Assim,

    11

    31

    1 1

    3)(

    3 00

    2 dsdsdN

    dsdN

    LEAK lAa

    =

    [ ] 1111 126

    )(3 010

    14

    10.0102002 dsss

    K lAa +

    +=

    (93)

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    ( ) 11

    31

    1

    211

    3)(

    3 0025.0075.00

    2 dsdsdNsds

    dN

    LEK lBa

    =

    ( ) [ ] 1111 2116

    )(3 01025.0075.00

    14

    102002 dssss

    K lBa +

    += (94)

    Utilizando a integrao numrica de Gauss Legendre (ver Tabela 1), e sabendo que lAaK)(

    3 constitui

    um polinmio de grau 2 e lBaK)(

    3 um polinmio de grau 4, tem-se:

    +

    +

    +

    +

    +

    =101

    31

    0

    13

    1

    1013

    1

    0

    13

    1

    410.0102002 26)(

    3lA

    aK

    +

    =00014880338717.2

    000551786327949.0

    3141500)( 3lA

    aK

    (95)

    Onde os termos da matriz de rigidez relativos ao n da direita do elemento [A] so,

    [ ]mkNK lAa

    =00033331.8377333)(

    3 (96)

    Adoptando procedimento idntico para o elemento [B],

    ( ) [ ]

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    9501

    53

    53025.0075.0

    0

    153

    98010075.0

    010

    9501

    53

    53025.0075.0

    0

    153

    32102002

    2

    2

    2

    6)(

    3

    lBaK

    +

    +

    =0008810170122347.0

    0000157075.0

    000452560007895985.0

    1187.70710678)( 3lB

    aK

    (97)

    Onde os termos da matriz de rigidez relativos ao n da direita do elemento [B] so,

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    [ ]mkNK lBa

    =00068336.2369467)(

    3 (98)

    A matriz de rigidez de um elemento finito genrico e no referencial geral da estrutura obtida por

    intermdio de (27). Neste sentido,

    +

    =

    00033331.8377333

    45cos45sin45sin45cos

    00068336.2369467

    45cos45sin45sin45cos

    2,gEK (99)

    [ ]mkNK gE

    =

    +

    =8.11847338.11847338.11847332.9562067

    00033331.8377333

    8.11847338.11847338.11847338.1184733

    2, (100)

    c) Determine as foras no n 2 da estrutura equivalentes s aces actuantes

    As foras no n 2 da estrutura equivalentes s aces actuantes so dadas por:

    [ ]kNdsLqNTQ TB

    += 1002

    1

    1 1lg (101)

    relativamente carga uniformemente distribuda na barra [B] e a carga pontual aplicada no n 2 da

    estrutura.

    +

    = 1002320

    50

    045cos45sin45sin45cos

    1

    1

    13

    33

    dsN

    NQg

    E (102)

    ( )( )

    +

    ++

    = 10023205

    1210

    0121

    45cos45sin45sin45cos

    1

    1

    111

    11

    3ds

    ss

    ssQg

    E (103)

    [ ]kNQgE

    =

    +

    =

    33333.1333333.3

    100

    33333.333333.3

    3 (104)

    d) Admita que, para um determinado carregamento, os deslocamentos dos ns do elemento

    que discretiza a barra [A] so [ ] 31039.70366.619.35183.300 = TlAU (m). Calcule os esforos no ponto de integrao mais prximo do apoio (admita dois pontos de

    integrao para efeito de clculo de esforos nesse elemento).

    O esforo axial em qualquer ponto da barra dado por:

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    aAEN = (105) Com a extenso axial calculada atravs de (106). Nota: o clculo da extenso axial poderia ser

    efectuado atravs de (49).

    ][ Aaa UB = (106)

    Substituindo a matriz aB e admitindo os valores de deslocamento dos ns apresentados no

    enunciado do exerccio, temos que

    ( ) ( ) ( ) ( ) 3111111 10366.6183.30

    121111

    21

    ++= ssssssa (107)

    O ponto de integrao mais prximo do apoio, admitindo dois pontos de integrao, 3

    11 =s .

    Assim,

    ( ) 0015915.010366.6183.30

    21222

    212

    31 3

    111 =

    +

    =

    sL

    sL

    sLa

    (108)

    O esforo axial no ponto de Gauss referido seria de 10.0 kN.