Metodos Dos Elementos Finitos

Relatrio 07-DEC/E-05

Data: Maro de 2007

N. de pginas: 27

Palavras chave: MEF, Estruturas Articuladas

Escola de

Engenharia

Departamento de

Engenharia Civil

Universidade

do Minho

Azurm, 4800-085 Guimares - Tel. 253 510 200 - Fax 253 510 217 - E-mail [email protected]pt

Mtodo dos Elementos Finitos

Estruturas Planas Articuladas

Exerccios Resolvidos

L. Loureno, J. Barros

Universidade do Minho

Departamento de Engenharia Civil

Mtodo dos Elementos Finitos Estruturas Articuladas Planas Exerccios Resolvidos - 2/27

Azurm 4800-058 Guimares Tel. (+351) 253 510200 Fax (+351) 253 510217

Resumo

No presente relatrio apresenta-se a aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) para o

clculo dos deslocamentos nodais, esforos nas barras e reaces dos apoios em estruturas planas

biarticuladas (trelias). Se o peso prprio destas barras for desprezado, estas ficam submetidas

apenas a esforos axiais, estando sujeitas a extenses segundo o seu eixo, isto , todos os pontos de

uma determinada seco da barra sofrem o mesmo deslocamento, paralelo ao eixo da barra.

A seleco dos exerccios apresentados visa a exemplificao e discusso de aspectos que os

autores julgam fundamentais para a aplicao do MEF em estruturas planas biarticuladas. Os

quatro exerccios apresentados tm diferentes objectivos:

1 - No primeiro exerccio uma estrutura plana, constituda por barras biarticuladas de seco

constante, discretizada por elementos de dois ns; expem-se os passos necessrios para a

obteno da matriz de rigidez de uma estrutura e do vector das foras nodais equivalentes s aces

actuantes. Da resoluo do sistema de equaes, obtm-se os deslocamentos nodais e reaces nos

apoios. Por ltimo, so obtidos os esforos nas barras.

2 No primeiro exerccio todas as barras so discretizadas pelo mesmo tipo de elemento finito.

Contudo, a discretizao de barras pode ser efectuada por intermdio de um maior nmero de

elementos ou de elementos com maior nmero de ns. O exerccio 2 tem por objectivo atender a

este assunto. Trata-se de uma estrutura constituda apenas por uma barra de seco constante, onde

se analisam os resultados obtidos atravs da discretizao da mesma recorrendo a um elemento de

dois ns, dois elementos de dois ns e um elemento de trs ns.

3 O exerccio 3 surge como complemento ao exerccio anterior. Contudo, o exerccio 3

dedicado ao caso de uma barra de seco varivel. Discute-se a necessidade de recorrer a uma

discretizao da barra por um maior nmero de elementos de forma a obter-se uma soluo mais

aproximada da exacta.

4 Por ltimo, e para uma estrutura plana constituda por barras biarticuladas, de seco constante

e varivel, sugere-se o clculo de alguns coeficientes da matriz de rigidez da estrutura, algumas

linhas do vector solicitao e o clculo dos esforos presentes numa das barra a partir dos

deslocamentos nos ns.





Exerccio 1

Considere-se a trelia plana representada na Figura 1, discretizada com um elemento de dois ns

em cada barra. Pretende-se conhecer os deslocamentos nodais, os esforos nas barras e as reaces

nos apoios (dados: mkNLEA /50000= ).

5

[A]

[B]

[C]

[D]

1

2

3

4

F

[E]

35

5 55

Figura 1 Trelia Plana

O primeiro passo para a resoluo do exerccio passa pela discretizao de cada uma das barras da

estrutura com elementos de dois ns, como sugerido. Estando perante uma estrutura articulada

plana discretizada em cinco elementos e quatro ns, e dado existirem dois graus de liberdade por

n, a estrutura apresenta oito graus de liberdade nodais. Na Figura 2 apresentam-se os graus de

liberdade nodais referidos, no referencial geral.

(5)

4

3

2

1

(4)

(3)

(2)

(1)

u31g

g41u

g21u

g11u

g32u

u12g

u22g

u42g

Figura 2 Graus de liberdade nodais





a) Clculo da matriz de rigidez da estrutura

Seguidamente procede-se ao clculo da matriz de rigidez da estrutura, sendo para isso necessrio

calcular a matriz de rigidez dos elementos que a constituem. A matriz de rigidez de um elemento

genrico de prtico plano constituda pela soma das matrizes de rigidez relativas deformao

axial, flexo e corte:

)()()()( ec

ef

ea

e KKKK ++= (1) em que

[ ]=)(

1)(

eLa

Ta

ea dlBEABK (2)

[ ]=)(

13)(

eLf

lTf

ef dlBEIBK (3)

[ ] ( )=)(

1*

2)(

eLc

lTc

ec dlBAGBK (4)

Dado estar-se a analisar uma trelia, a nica deformao possvel a axial, pelo que

)()( ea

e KK = (5) com,

11 2dsLdl = (6)

Assim,

[ ] 11

1

)(

2dsBEABLK a

Ta

e

= (7)

A matriz aB , para um n genrico de n ns dada por:

= 02...020211

2

1

1

dsdN

LdsdN

LdsdN

LB na (8)

pelo que, para o caso de um elemento de dois ns, (7) passa a apresentar o seguinte formato





1

1

1 1

2

1

1

1

2

1

1

)( 0202

0

20

2

2ds

dsdN

LdsdN

LEA

dsdN

L

dsdN

LLK e

= (9)

Para se concluir o clculo da matriz de rigidez do elemento de dois ns, ainda necessrio

conhecer as derivadas das funes de forma. A funo de forma para um n genrico i dada por

=

=

n

ijj ji

ji ss

sssN

)(1 11,

111)( (10)

Para um elemento Lagrangeano de dois ns, 111 =s e 121 +=s , pelo que se obtm

( ) ( )( ) ( )112111211

11 121

111 ss

sssssN =+

+== (11)

( ) ( )( ) ( )111121111

12 121

111 ss

sssssN +=

== (12)

Atendendo a (11) e (12), obtm-se

21

1

1 =dsdN

(13)

21

1

2 =dsdN

(14)

Substituindo (13) e (14) em (9) temos

1

1

1

)( 02120

212

0212

0212

2ds

LLEA

L

LLK e

= (15)

ou





1

1

1

)( 0210

21

021021

222

dsEALL

LK e

= (16)

Sendo o mdulo de elasticidade do material que constitui a barra e a rea da seco transversal

desta constantes, resulta

1

1

1

)( 0210

21

021021

2 dsLEAK e

= (17)

O clculo do integral presente em (17) ser efectuado por intermdio da integrao numrica de

Gauss Legendre. Pode, contudo, ser efectuado analiticamente.

O primeiro passo para a integrao numrica de Gauss Legendre passa por determinar o nmero de

pontos necessrios (pontos de integrao de Gauss) que permite calcular, de forma exacta, o

integral. Sabe-se que, com n pontos de Gauss, se integra, de modo exacto, um polinmio de grau

2n-1; sabe-se tambm que nos pontos de uma quadratura de Gauss-Legendre de ordem n, um

polinmio de grau n e outro de grau n-1 tomam o mesmo valor. Como a funo a integrar um

polinmio de grau zero, a utilizao de um nico ponto de integrao (PI) suficiente (a utilizao

de 1 ponto de integrao, n = 1, permite a integrao de um polinmio de grau 1 ou inferior,

2x1-1=1). A Tabela 1 inclui o nmero de pontos de integrao necessrios para a integrao de

funes polinomiais de grau 1 a 5, bem como as coordenadas normalizadas dos pontos de

integrao a adoptar e os respectivos pesos, Wi.

Tabela 1 Integrao Numrica de Gauss Legendre

Nmero de pontos de integrao

n

Grau do polinmio

2n-1

Coordenadas normalizadas dos pontos de integrao

si

Pesos Wi

1 1 0.0 2.0

2 3 31

31 1 1

3 5 53

0

53

5/9 8/9 5/9





A integrao numrica da funo a integrar efectuada atravs do somatrio de n parcelas

(relembra-se que n o nmero de pontos de integrao). As referidas parcelas so obtidas

multiplicando a funo a integrar (onde s1 substitudo pela coordenada normalizada do respectivo

ponto de integrao), pelo respectivo peso, Wi. Utilizando a integrao numrica de Gauss

Legendre para resolver a expresso apresentada em (17),

= 20210

21

021021

2 )()(e

e

LEAK (18)

Conclui-se, assim, que a matriz de rigidez de um elemento finito de dois ns, no seu referencial

local, considerando apenas a deformao axial e admitindo mdulo de elasticidade e seco

constantes ao longo da barra, dada por:

=0000010100000101

)()(

ele

LEAK (19)

Atendendo aos dados fornecidos no enunciado do problema,

lK )1( = lK )2( = lK )3( = lK )4( = lK )5( = 310

00000500500000050050

(20)

Dado existirem elementos com referenciais locais que no coincidem com o referencial geral da

estrutura, necessrio transformar a matriz de rigidez dos elementos para um nico referencial, o

geral. Para tal recorre-se matriz de transformao que relaciona deslocamentos e foras entre os

referenciais local do elemento e geral da estrutura. Para um elemento de uma estrutura articulada

bidimensional a matriz que converte estes dados do referencial local para o geral da estrutura tem o

seguinte formato (in Barros, 2005 - Mtodo dos deslocamentos - pginas 4.3 e 4.4):

= lg)(

2

lg)(1lg)(

00e

ee

TTT (21)

Em que





=

coscoslg)(sen

senT

ei (22)

a matriz que transforma os graus de liberdade do n i do referencial local para o geral.

Para os elementos da estrutura em estudo, as correspondentes matrizes de transformao tero o

seguinte formato:

==

22

2200

22

2200

0022

22

0022

22

lg)5(lg)1( TT (23)

=

1000010000100001

lg)2(T (24)

=

22

2200

22

2200

0022

22

0022

22

lg)3(T (25)

=

01001000

00010010

lg)4(T (26)

A matriz de rigidez de um elemento finito genrico e no referencial geral da estrutura obtida por

intermdio de

[ ]Teleege TKTK lg)()(lg)()( = (27) em que:





geK )( - a matriz de rigidez de um elemento finito no referencial geral;

lg)(eT - a matriz de transformao do referencial local do elemento para o geral da estrutura;

leK )( - a matriz de rigidez de um elemento finito no seu referencial local;

[ ]TeT lg)( - a transposta de leT )( . A matriz de rigidez do elemento finito que discretiza a barra 1, no referencial geral da estrutura,

obtida atravs de (27), atendendo a (20) e (23).

=

22

2200

22

2200

0022

22

0022

22

10

00000500500000050050

22

2200

22

2200

0022

22

0022

22

3)1( gK

3)1( 10

252525252525252525252525

25252525

=gK

(28)

A matriz de rigidez dos restantes elementos obtida de forma similar ao apresentado em (28).

3)2( 10

00000500500000050050

=gK (29)

3)3( 10

25252525252525252525252525252525

=gK (30)

3)4( 10

50050000005005000000

=gK (31)





3)5( 10

252525252525252525252525

25252525

=gK (32)

Seguidamente, procede-se ao espalhamento das matrizes de rigidez (28) a (32) dos elementos, no

referencial geral, na matriz de rigidez da estrutura. Com o intuito de simplificar o processo de

espalhamento, a matriz de rigidez do elemento no referencial geral decomposta em quatro

submatrizes, cujos coeficientes esto relacionados com o n esquerdo do elemento, e, e/ou com o

n direito, d, isto :

= gedd

gede

geed

geeege

KKKKK )()(

)()()( (33)

O espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura est

apresentado em (34).

+++

+++

=g

ddg

ddg

deg

de

ged

gee

gdd

gdd

gde

gde

ged

gee

gdd

gde

ged

ged

ged

gee

gee

gee

gE

KKKKKKKKKK

KKKKKKKKKK

K

)5()2()5()2(

)5()5()4()3()4()3(

)4()4()1()1(

)2()3()1()3()2()1(

0

0 (34)

Substituindo em (34) os valores apresentados em (28) a (32), e atendendo a (33), resulta

310

250250252500002502550252500050

252525502525025500252525252502525025002525005005025025252500000250252525002525252525025250250502525252525025255025

+++++

+++++

++++++

++++

=gEK

310

2525252500002575252500050252510005002525

252505000252500500752525250000252525250025252525500050252525250100

=gEK

(35)





A matriz de rigidez tem dimenso [8x8], isto , 8 linhas e 8 colunas, igual ao nmero de graus de

liberdade da estrutura.

b) O vector solicitao da estrutura

Como na estrutura em anlise desprezado o peso prprio da estrutura, a nica solicitao presente

a de uma carga pontual aplicada directamente num n, como apresentado na Figura 1. Assim:

[ ]kNQ gE

=

=

00

04.8687.122

0000

00

35sin15035cos150

0000

(36)

c) Os deslocamentos nodais da estrutura

O clculo dos deslocamentos nodais efectuado a partir da resoluo do seguinte sistema de

equaes de equilbrio:

gE

gE

gE

UKQ = (37) Para os graus de liberdade impedidos (apoios da estrutura), o deslocamento conhecido

(deslocamento nulo ou igual a um eventual assentamento de apoio), sendo no entanto desconhecido

o valor da reaco do respectivo apoio. Neste sentido, a equao (37) organizada de forma a

separar as equaes associadas a graus de liberdade livres (subndice l) das equaes

correspondentes a graus de liberdade fixos (subndice f).

=

+ g fEg

lEg

ffEg

flE

glfE

gllE

gE

gfE

glE

UU

KKKK

RQQ

,

,

,,

,,

,

, (38)

em que gER o valor das reaces. Desenvolvendo a primeira parte de (38) resulta:

gfE

glfE

glE

gllE

glE

UKUKQ ,,,,, += (39)

Da resoluo de (39) obtm-se o vector dos graus de liberdade livres, g lEU , . Substituindo em (39)

os valores apresentados em (35) e (36) e atendendo aos dados do problema relativamente aos

deslocamentos nos graus de liberdade impedidos, obtm-se:





010

100025250502525252550025250100

04.8687.122

00

,,3 g

lfEg

lE KU +

=

(40)

do qual resulta

[ ]mU g lE 3, 1017597.0

82626.382514.191257.0

= (41)

Assim, o vector dos deslocamentos dos ns da estrutura apresenta o seguinte formato

[ ]mU gE 310

00

17597.082626.3

00

82514.191257.0

= (42)

As reaces nos apoios da estrutura, gER , so obtidas atravs da resoluo da segunda equao de

(38).

gfE

gffE

glE

gflE

gE

gfE

UKUKRQ ,,,,, +=+ (43)

010

17597.082626.382514.191257.0

25250025250505002525002525

0000

,3

8

7

4

3

gffEK

RRRR

+

=

+

(44)

Com a resoluo do sistema de equaes obtemos as reaces nos apoios da estrutura.

[ ]kNRRRR

=

06.10068.145

02.1481.22

8

7

4

3

(45)





d) Os esforos na barra A

A tenso instalada num elemento obtida por intermdio da lei de Hooke, ou seja, multiplicando a

extenso, , pelo valor do mdulo de elasticidade do material, E. Por sua vez, o esforo axial

instalado num elemento obtido multiplicando a tenso, , pela rea da seco transversal do

elemento, A. A barra A foi discretizada pelo elemento 1. Para determinar a extenso na barra A

necessrio determinar os deslocamentos dos ns do elemento 1 no seu referencial local. No

referencial geral o vector dos deslocamentos dos ns nas extremidades do elemento tem o seguinte

formato:

[ ]mU g 3)1( 1000

82514.191257.0

= (46)

Os deslocamentos nodais do elemento no referencial local do prprio elemento obtm-se a partir da

seguinte equao

[ ] gTl UTU )1(lg)1( = (47) Substituindo (23) e (46) em (47)

[ ]mU l 33)1( 1000

93585.164528.0

10

00

82514.191257.0

22

2200

22

2200

0022

22

0022

22

=

= (48)

Assim, se os ns esquerdo e direito do elemento 1 sofreram deslocamentos axiais, respectivamente,

de leu)1( e ldu

)1( , a extenso ocorrida no elemento 1, de comprimento L1

53

1

)1()1()1(

1 101256.9501064528.0 ===

Luu le

ld (49)

A tenso no elemento 1 (admitindo E = 200 GPa)

kPaE 18251101256.910200 5611 === (50) Resultando para o esforo axial o valor seguinte:





AN 11 == kN26.32107677.118251 31 ==

(51)

Nota: 36 107677.11020050500005000050000 ==== E

LAL

EA m2.

Exerccio 2

Na Figura 3 est representada um barra biarticulada de seco transversal circular, solicitada por

uma fora pontual na extremidade direita da barra, na direco do seu eixo, e uma carga

uniformemente distribuda ao longo de toda a barra. Admitindo para mdulo de elasticidade, E, o

valor de 200 GPa, para raio da seco, r, o valor de 0.05 m, e considerando que a fora pontual

aplicada na extremidade direita da barra de 25 kN, e que a carga uniformemente distribuda, q1,

de 5 kN/m, pretende-se calcular os deslocamentos nodais e a reaco no apoio.

L

Seco ss1q

S

SQ x , u1 1

Figura 3 Barra biarticulada

Prope-se que o exerccio seja resolvido procedendo a trs nveis de discretizao da barra: 1 e 2

elementos finitos de dois ns e um elemento finito de trs ns.

a) Discretizao da barra biarticulada por um elemento de dois ns

Na Figura 4 apresenta-se a discretizao da barra articulada atravs de um elemento de dois ns.

Para a resoluo deste problema, adoptar-se-, agora de forma mais clere, os procedimentos

adoptados para a resoluo do exerccio 1, com as necessrias adaptaes.

q1 11x , uQ

g11u u21

g

1 2(1)

Figura 4 Barra biarticulada discretizada por um elemento de dois ns

Admitindo somente um grau de liberdade (na direco do eixo da barra) por cada n, a matriz de

rigidez do elemento dada por,





1

1

1 1

2

1

1

1

2

1

1

)(

222

2

2

dsLdsdN

LdsdN

LEA

dsdN

L

dsdN

LK ea

= (52)

Atendendo ao facto da estrutura ser discretizada apenas por um elemento, e dado que o

referencial local do elemento coincide com o referencial geral da estrutura, tem-se

)(eaE KK = (53)

Simplificando a expresso (52) e atendendo a (53), obtm-se a matriz de rigidez da estrutura.

=1111)1(

LEAK E (54)

Procede-se, seguidamente, ao clculo do vector das foras nodais equivalentes. Da mesma forma,

atendendo ao facto da estrutura ser discretizada apenas por um elemento, e dado que o referencial

local do elemento coincide com o referencial com o referencial geral da estrutura, tem-se que

)1(QQE= (55)

onde o vector das foras nodais equivalentes carga distribuda por unidade de comprimento, q1,

que actua num determinado elemento (e), obtm-se de

= 11 11)( dsJqNQ Te (56) ou seja

[ ] 11112

1)(

2dsLq

NN

Q e

= (57)

Atendendo a (11) e (12), (57) reduz-se a

( )E

QLqQ =

=11

2

)1(1)1(

(58)

Da resoluo do sistema de equaes apresentado em (37),





++

=

QLq

RLq

uu

LEA

2

21111

1

1

21

11)1(

(59)

resulta

011 =u ;

+=21

21LqQ

EALu ; ( )LqQR 1+= (60)

Atendendo aos dados fornecidos no enunciado,

011 =u ; 521 1091294.8 =u m; 45=R kN (61)

b) Discretizao da barra biarticulada por dois elementos de dois ns

Na Figura 5 apresenta-se a discretizao da barra articulada atravs de dois elementos de dois ns.

(1)31

g31uu11

g

Q x , u1 11q

(2)g21u

q12

Figura 5 Barra biarticulada discretizada por dois elementos de dois ns

A matriz de rigidez dos elementos finitos no referencial geral da estrutura (neste caso, o referencial

local dos elementos coincide com o referencial geral da estrutura) dada por (54). Contudo,

estando perante mais do que um elemento, necessrio proceder ao espalhamento das matrizes de

rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura. Procedendo a esse espalhamento, resulta:

+

=)2()2(

)2()2()1()1(

)1()1(

0

0

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

K E (62)

Espalhando o vector das foras nodais equivalentes de cada elemento no vector das foras nodais

equivalentes da estrutura resulta:





+

=)2(

1

)2(1

)1(1

)1(1

2

22

2

Lq

LqLq

Lq

QE

(63)

Da resoluo do sistema de equaes apresentado em (37):

+

+

+

=

+

QLq

LqLq

RLq

uuu

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

)2(1

)2(1

)1(1

)1(1

31

21

11

)2()2(

)2()2()1()1(

)1()1(

2

22

2

0

0

(64)

obtm-se

011 =u ;

+=4

32

121

LqQEALu ; ( )LqQ

EALu 131 22

+= ; ( )LqQR 1+= (65) Atendendo aos dados fornecidos no enunciado resulta

011 =u ; 521 1009311.5 =u m; 531 1091294.8 =u m; 45=R kN (66)

c) Discretizao da barra biarticulada por um elemento de trs ns

Na Figura 6 apresenta-se a discretizao da barra articulada atravs de um elemento de trs ns.

21q

u21g

11x , uQ

g11u u31

g

1 3(1)

Figura 6 Barra biarticulada discretizada por um elemento de trs ns

Estando a estrutura discretizada apenas por um elemento finito, e sendo o referencial local do

elemento coincidente com o referencial geral da estrutura, a matriz de rigidez da estrutura coincide





com a matriz de rigidez do elemento e o vector das foras nodais equivalentes da estrutura coincide

com o vector das foras nodais equivalentes ao elemento.

Atendendo ao facto de se tratar de um elemento finito de trs ns, necessrio definir as funes

de forma para um elemento deste tipo. Atendendo a (10), e sabendo que, para um elemento

Lagrangeano de trs ns, 111 =s , 021 =s e 131 +=s , temos

( ) ( )121

1111 = sssN (67)

( ) ( ) ( )1112 11 sssN += (68) ( ) ( )1113 12

1 sssN += (69)

A matriz de rigidez dada por:

1

1

1 1

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1

)(

2222

2

2

2

dsLdsdN

LdsdN

LdsdN

LEA

dsdN

L

dsdN

L

dsdN

L

K ea

=

(70)

Recorrendo a dois Pontos de Integrao de Gauss Legendre para efectuar a integrao numrica de

(70) resulta:

EKLEAK =

=1416216321621614

6

)1()1( (71)

O vector das foras nodais equivalentes dado por

[ ] 11113

2

1)(

2dsLq

NNN

Q e

= (72)

Substituindo por (67) a (69) em (72)





( )( ) ( )

( )[ ] 1111

11

11

11)(

21

21

11

121

dsLq

ss

ss

ss

Q e

++

= (73)

Efectuando a integrao obtm-se

E

e QLqQ =

=

313431

21)(

(74)

Com a resoluo do sistema de equaes (37),

+

+=

QLq

Lq

RLq

uuu

LEA

6

326

1416216321621614

61

1

1

31

21

11)1(

(75)

e atendendo aos dados fornecidos no enunciado, obtm-se:

011 =u ; 521 1009311.5 =u m; 531 1091294.8 =u m; 45=R kN (76) Salienta-se que os resultados obtidos recorrendo discretizao da barra biarticulada por um

elemento de trs ns so iguais aos obtidos atravs da discretizao por dois elementos de dois ns.

Exerccio 3

O Exerccio 3 muito semelhante ao exerccio anterior. Contudo, a barra biarticulada apresenta

seco varivel, como apresentado na Figura 7.

11x , uQS

S

Seco ss

L

0A = A exp(-x /L)1

Figura 7 Barra biarticulada de seco varivel





Prope-se, para a resoluo do problema, a discretizao da barra em um, dois e trs elementos de

dois ns, tendo cada elemento seco constante igual registada no centro do elemento.

a) Discretizao da barra biarticulada de seco varivel por um elemento de dois ns

Na Figura 8 apresenta-se a barra biarticulada de seco varivel discretizada por um elemento de

dois ns.

(1)21

g21uu11

g

Q x , u1 1

L/2 L/2

R

Figura 8 Barra biarticulada de seco varivel discretizada por um elemento de dois ns

A matriz de rigidez do elemento semelhante a (52). Na presente abordagem admite-se que a rea

da seco transversal do elemento constante ao longo do elemento, igual que se obtm no centro

do elemento. Assim,

=

=

1111

60653.01111 0

210)1(

LAE

LeAEK (77)

Sendo o vector solicitao do elemento,

=QR

Q )1( (78)

Da resoluo do sistema de equaes de equilbrio:

=

QR

uu

LAE

21

110

1111

60653.0 (79)

resulta

021 64872.1 AE

LQu = ; QR = (80)

b) Discretizao da barra biarticulada de seco varivel por dois elementos de dois ns

Na Figura 9 apresenta-se a barra biarticulada de seco varivel discretizada atravs de dois

elementos de dois ns.





L/4

11x , uQg11u u21

g u31g

321(1) (2)

L/4 L/4L/4

R

Figura 9 Barra biarticulada de seco varivel discretizada por um elemento de trs ns

Atendendo existncia de dois elementos, necessrio calcular a matriz de rigidez dos elementos

finitos que discretizam a estrutura. Admitir-se- que os elementos tm seco constante, igual

obtida no centro de cada um dos elementos, pelo que:

=1111

5576.10)1(LAEK (81)

=1111

9447.00)2(LAEK (82)

Procedendo-se ao espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos, obtm-se a matriz de

rigidez da estrutura:

+

=

9447.09447.009447.09447.05576.15576.105576.15576.1

0

LAEK E (83)

Do espalhamento do vector das foras nodais equivalentes de cada elemento no vector solicitao

da estrutura resulta:

=

Q

RQ

E0 (84)

Da resoluo do sistema de equaes de equilbrio:

=

+

Q

R

uuu

LAE 0

9447.09447.009447.09447.05576.15576.105576.15576.1

31

21

110 (85)

resulta





031 7005.1 AE

LQu = ; QR = (86)

c) Discretizao da barra biarticulada de seco varivel por trs elementos de dois ns

Na Figura 10 apresenta-se a barra biarticulada de seco varivel discretizada por trs elementos de

dois ns.

R (2)(1)1 2 4

g41ug21u

u11g

Q x , u1 1

L/6

3

L/6 L/6 L/6 L/6 L/6

(3)

u31g

Figura 10 Barra biarticulada de seco varivel discretizada por trs elementos de dois ns

Resolvendo de forma similar s alneas anteriores, obtm-se o seguinte sistema de equaes:

=

+

+

Q

R

uuuu

LAE

00

3028.13028.1003028.13028.18196.18196.1008196.18196.15394.25394.2005394.25394.2

41

31

21

11

0 (87)

Resultando da sua resoluo,

041 71036.1 AE

LQu = ; QR = (88)

A soluo exacta do problema passa pela considerao de que a barra tem seco varivel ao longo

do seu comprimento, pelo que no integral do clculo da matriz de rigidez, A deve ser substituda

pela correspondente funo, resultando,

( )( ) 10 1

2

1

110

1

2

1

1

22exp2

2

dxdxdN

LdxdN

LLxAE

dxdN

L

dxdN

LKL

E

= (89)

e

=QR

QE

(90)





pelo que, da resoluo do sistema de equaes de equilbrio resulta:

021 71828.1 AE

LQu = ; QR = (91)

Analisando os resultados verifica-se que a discretizao de uma barra biarticulada com um nmero

distinto de elementos leva a resultados diferentes. Contudo, verifica-se que, se a discretizao da

estrutura efectuada com um maior nmero de elementos, menor o erro cometido (ver

Figura 11).

1 elemento 0

21 64872.1 AELQu =

4.0%

2 elementos 0

31 7005.1 AELQu =

1.0%

3 elementos 0

41 71036.1 AELQu =

0.5%

Soluo exacta 0

21 71828.1 AELQu =

2

Erro do deslocamento da extremidade (%)

1

1

4

3

2

Nmero deelementos

3

0.5

Figura 11 Evoluo do erro do deslocamento da extremidade livre da barra com o nmero de

elementos

Exerccio 4

A Figura 12 representa uma estrutura constituda por duas barras biarticuladas [A] e [B].

4m

4m

[B]

[A]

3

21

10 kN

5 kN/

m

[A]Dimetro

0,20mDimetro

0,20m

E = 200 GPa

E = 200 GPa

0,10mDimetro

0,20mDimetro

[B]

Figura 12 Estrutura biarticulada





a) Utilizando um elemento finito de trs ns para discretizar cada uma das barras articuladas

[A] e [B] da estrutura, identifique os graus de liberdade dos ns da estrutura.

Os graus de liberdade considerados so os representados na Figura 13. Os graus de liberdade esto

no referencial geral da estrutura ( gjiu com j = 1,2, sendo i o nmero do n).

[B]

[A]

u11 u2112u u 22 32u

31u

u 41u 42

u51u52

Figura 13 Discretizao e identificao dos graus de liberdade nodais da estrutura

b) Calcule os termos da matriz de rigidez relativos aos graus de liberdade do n 2 da

estrutura, utilizando a integrao numrica de Gauss Legendre.

A funo de forma do n 3 de um elemento de trs ns dada por (69). A derivada da referida

funo de forma

21

11

3 += sdsdN

(92)

Admitindo (1), mas considerando que na presente estrutura apenas ocorre deformao axial nas

barras, obtm-se (7). Sendo somente pedido os termos da matriz de rigidez relativos ao n 2 da

estrutura, suficiente o clculo dos termos da matriz de rigidez no referencial local relativos ao n

da direita (n 3) de ambos os elementos. Assim,

11

31

1 1

3)(

3 00

2 dsdsdN

dsdN

LEAK lAa

=

[ ] 1111 126

)(3 010

14

10.0102002 dsss

K lAa +

+=

(93)





( ) 11

31

1

211

3)(

3 0025.0075.00

2 dsdsdNsds

dN

LEK lBa

=

( ) [ ] 1111 2116

)(3 01025.0075.00

14

102002 dssss

K lBa +

+= (94)

Utilizando a integrao numrica de Gauss Legendre (ver Tabela 1), e sabendo que lAaK)(

3 constitui

um polinmio de grau 2 e lBaK)(

3 um polinmio de grau 4, tem-se:

+

+

+

+

+

=101

31

0

13

1

1013

1

0

13

1

410.0102002 26)(

3lA

aK

+

=00014880338717.2

000551786327949.0

3141500)( 3lA

aK

(95)

Onde os termos da matriz de rigidez relativos ao n da direita do elemento [A] so,

[ ]mkNK lAa

=00033331.8377333)(

3 (96)

Adoptando procedimento idntico para o elemento [B],

( ) [ ]

+

+

+

+

+

+

+

+

=

9501

53

53025.0075.0

0

153

98010075.0

010

9501

53

53025.0075.0

0

153

32102002

2

2

2

6)(

3

lBaK

+

+

=0008810170122347.0

0000157075.0

000452560007895985.0

1187.70710678)( 3lB

aK

(97)

Onde os termos da matriz de rigidez relativos ao n da direita do elemento [B] so,





[ ]mkNK lBa

=00068336.2369467)(

3 (98)

A matriz de rigidez de um elemento finito genrico e no referencial geral da estrutura obtida por

intermdio de (27). Neste sentido,

+

=

00033331.8377333

45cos45sin45sin45cos

00068336.2369467


2,gEK (99)

[ ]mkNK gE

=

+

=8.11847338.11847338.11847332.9562067

00033331.8377333

8.11847338.11847338.11847338.1184733

2, (100)

c) Determine as foras no n 2 da estrutura equivalentes s aces actuantes

As foras no n 2 da estrutura equivalentes s aces actuantes so dadas por:

[ ]kNdsLqNTQ TB

+= 1002

1

1 1lg (101)

relativamente carga uniformemente distribuda na barra [B] e a carga pontual aplicada no n 2 da

estrutura.

+

= 1002320

50


1

1

13

33

dsN

NQg

E (102)

( )( )

+

++

= 10023205

1210

0121


1

1

111

11

3ds

ss

ssQg

E (103)

[ ]kNQgE

=

+

=

33333.1333333.3

100

33333.333333.3

3 (104)

d) Admita que, para um determinado carregamento, os deslocamentos dos ns do elemento

que discretiza a barra [A] so [ ] 31039.70366.619.35183.300 = TlAU (m). Calcule os esforos no ponto de integrao mais prximo do apoio (admita dois pontos de

integrao para efeito de clculo de esforos nesse elemento).

O esforo axial em qualquer ponto da barra dado por:





aAEN = (105) Com a extenso axial calculada atravs de (106). Nota: o clculo da extenso axial poderia ser

efectuado atravs de (49).

][ Aaa UB = (106)

Substituindo a matriz aB e admitindo os valores de deslocamento dos ns apresentados no

enunciado do exerccio, temos que

( ) ( ) ( ) ( ) 3111111 10366.6183.30

121111

21

++= ssssssa (107)

O ponto de integrao mais prximo do apoio, admitindo dois pontos de integrao, 3

11 =s .

Assim,

( ) 0015915.010366.6183.30

21222

212

31 3

111 =

+

=

sL

sL

sLa

(108)

O esforo axial no ponto de Gauss referido seria de 10.0 kN.

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