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ELEMENTOS FINITOS TEORIA BARRAS

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CALCULO DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Text of ELEMENTOS FINITOS TEORIA BARRAS

  • CAPITULO 1

    SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

    1.1 SISTEMAS DISCRETOS. ESTRUCTURAS DE BARRAS

    En numerosas ocasiones de la vida practica el tecnico se enfrenta con elproblema de analizar un sistema tipo malla compuesto de una serie de elementosdiferentes, fsicamente diferenciables, conectados por sus extremidades o nudosy sometidos a un conjunto de acciones, en el sentido mas amplio de lapalabra, normalmente externas al sistema. Ejemplos de dichos sistemas,que denominaremos discretos, abundan en ingeniera. Relacionados conlas estructuras, por ejemplo, podemos considerar sistemas discretos todas lasestructuras de barras, tales como porticos, simples y compuestos, celosas,entramados de edificacion, forjados, etc. En otras areas de la ingeniera tenemosejemplos de este tipo de sistemas en las redes hidraulicas y electricas, en losmetodos de optimizacion de la produccion (PERT, etc.), y en los sistemas deorganizacion del transporte. En la Figura 1.1 se han representado algunos dedichos sistemas discretos.

    Figura 1.1 Diferentes sistemas discretos.

    La mayora de los sistemas discretos pueden analizarse utilizando tecnicas decalculo matricial muy similares, y que a su vez guardan una estrecha relacioncon el metodo de elementos finitos. Concentrandonos en los problemas de

    1.1

  • Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

    calculo de estructuras presentaremos seguidamente de forma sucinta las ideasbasicas del calculo matricial de estructuras de barras, que seran de gran utilidadcomo introduccion a la metodologa del analisis de estructuras por el metodo deelementos finitos.

    1.1.1 Conceptos basicos del analisis matricial de estructuras de barras

    Los metodos de calculo de estructuras de barras mas potentes actualesutilizan tecnicas de analisis matricial [L2], [P8]. No obstante, en algunos casosparticulares es posible obtener una representacion analtica del comportamientode la estructura. Aqu consideraremos solamente el planteamiento matricial porser el que se utilizara a lo largo de todo el curso.

    Figura 1.2 Deformacion de una barra por fuerzas axiles.

    Las ecuaciones matriciales de una estructura de barras se obtienen a partir delestudio del equilibrio de las diferentes barras que la componen. Por ejemplo,para una barra e de longitud l(e) sometida unicamente a fuerzas axiles como la dela Figura 1.2, se deduce de la Resistencia de Materiales [T4,7] que la deformacionen cualquier punto de la barra es igual al alargamiento relativo de la misma, esdecir

    =l(e)

    l(e)=

    u(e)2 u

    (e)1

    l(e)(1.1)

    donde u(e)1 y u(e)2 son los desplazamientos de los extremos 1 y 2 de la barra,

    respectivamente.Por otra parte, la tension axial esta relacionada con la deformacion por la

    ley de Hooke [T3,4] y

    = E(e) = E(e)u(e)2 u

    (e)1

    l(e)(1.2)

    donde E(e) es el modulo de elasticidad del material de la barra. Por integracionde las tensiones sobre la seccion transversal de area A(e) se obtiene el esfuerzo axilN que se transmite a traves de los nudos a las barras adyacentes. Suponiendo queel material es homogeneo se tiene

    N = A(e) = (EA)(e)u(e)2 u

    (e)1

    l(e)(1.3)

    1.2

  • SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

    Finalmente, estableciendo el equilibrio de las fuerzas axilesR(e)1 y R(e)2 actuantes

    en los extremos de la barra, se tiene (ver Figura 1.2)

    R(e)2 = R

    (e)1 = N = (EA)

    (e)u(e)2 u

    (e)1

    l(e)= k(e)(u(e)2 u

    (e)1 ) (1.4)

    donde k(e) =(EAl

    )(e). El ndice e indica que los valores se refieren a una barra

    particular. La ec.(1.4) puede escribirse en forma matricial como

    q(e) =

    R

    (e)1

    R(e)2

    = k(e)

    [ 1 11 1

    ] u

    (e)1

    u(e)2

    = K(e)a(e) (1.5)

    donde K(e) se denomina matriz de rigidez de la barra y es funcion unicamente dela geometra de la misma (l(e), A(e)) y de sus propiedades mecanicas (E(e)), y a(e)

    y q(e) son los vectores de desplazamientos y de fuerzas de los nudos de la barra,respectivamente. La ec.(1.5) es la expresion matricial de equilibrio de la barraaislada. Si ademas actuara sobre la barra una fuerza uniformemente distribuidapor unidad de longitud de intensidad b(e), la ec.(1.5) se modifica repartiendo elefecto total de dicha fuerza en partes iguales en cada nudo como

    q(e) =

    R(e)1

    R(e)2

    = k(e)

    [1 11 1

    ]u(e)1

    u(e)2

    (bl)(e)

    2

    {11

    }= K(e)a(e)f (e) (1.6)

    donde f (e) = (bl)(e)

    2

    {11

    }es el vector de fuerzas que actuan en los nudos de la

    barra debidas a la carga distribuida La expresion de equilibrio de una estructuracompuesta de barras se obtiene a partir de la sencilla regla que expresa que la sumade las fuerzas en un nudo, debidas a las diferentes barras que en el concurren, esigual a la fuerza exterior que actua en dicho nudo. En forma matematica

    nee=1

    R(e)i = R

    exteriorj (1.7)

    donde la suma se extiende a todas las barras ne que concurren en el nudo denumeracion global j. Sustituyendo los valores de las fuerzas de extremo de cadabarra R(e)i en funcion de los desplazamientos de los nudos a traves de la ec.(1.6),se obtiene la ecuacion matricial de equilibrio global de la estructura

    K11 K12 K1nK21 K22 K2n......

    Kn1 Kn2 Knn

    u1u2......un

    =

    f1f2......fn

    (1.8a)

    Las matrices y los vectores columna se representaran por letras mayusculas y minusculas en negrita,respectivamente. El ndice T aplicando una matriz o un vector (ej. BT o qT ) indica transpuesta.

    1.3

  • Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

    Ka = f (1.8b)

    donde K es la matriz de rigidez de la estructura y a y f son, respectivamente,los vectores de desplazamientos y de fuerzas exteriores de todos los nudos de laestructura. El proceso de obtencion de las ecuaciones (1.8) recibe el nombrede ensamblaje. La resolucion de las mismas proporciona los valores de losdesplazamientos en todos los nudos de la estructura a partir de los cuales se puedenconocer los esfuerzos internos en las barras.

    1.1.2 Analoga con el analisis matricial de otros sistemas discretos

    Los pasos explicados entre las ecs.(1.1) y (1.8) son muy similares para la mayorade los sistemas discretos. As, por ejemplo, en el caso de una malla electrica, elestudio de un elemento aislado (resistencia) proporciona, de acuerdo con la ley deOhm, la siguiente relacion entre los voltajes y las intensidades que entran por cadanudo (Figura 1.3.a)

    I(e)1 = I

    (e)2 =

    1R(e)

    (V (e)1 V(e)2 ) = k

    (e)(V (e)1 V(e)2 ) (1.9)

    Se observa que dicha ecuacion es analoga a la (1.4) para la barra, sin mas queintercambiar los conceptos de intensidad y voltaje por fuerza y desplazamiento y el

    inverso de la resistencia R(e) por(EAl

    )(e). La regla de ensamblaje es la conocida

    ley de Kirchhoff que establece que la suma de las intensidades de corriente queconcurren en un nudo es igual a cero:

    nee=1

    I(e)i = I

    exteriorj (1.10)

    donde Iexteriorj es la intensidad que entra en el nudo de numeracion global j desdeel exterior de la red. Puede comprobarse la analoga de dicha ecuacion con la (1.7)para barras.

    Figura 1.3 a) Resistencia electrica. b) Tramo de tubera.Ecuaciones de equilibrio local.

    1.4

  • SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

    Las mismas analogas se encuentran en el estudio de redes de tuberas. Laecuacion de equilibrio entre caudales q y alturas piezometricas h en los nudos deuna tubera se puede escribir como ( Figura 1.3b)

    q(e)1 = q

    (e)2 = k

    (e)(h(e)1 h(e)2 ) (1.11)

    donde k(e) es un coeficiente que depende de la rugosidad de la tubera y de lasalturas piezometricas de los nudos, lo que implica que las matrices K(e) de laec.(1.5) no estan formadas por constantes sino por funciones conocidas de a(e).Por otra parte, la ec.(1.6) se escribe de manera identica para este caso, siendo lafuerza b(e) equivalente a una aportacion de caudal uniforme por unidad de longitudde tubera.La regla de ensamblaje se obtiene por la simple condicion de equilibrio entre

    los caudales que concurren en un nudo y el caudal aportado desde el exterior alnudo, es decir

    nee=1

    q(e)i = q

    exteriorj (1.12)

    Se puede deducir facilmente la analoga de las expresiones anteriores con lascorrespondientes para estructuras de barras y mallas electricas. Las ecuaciones deequilibrio global de una red hidraulica son por tanto identicas a las (1.8), teniendoen cuenta que la matrizK es de naturaleza no lineal y para su solucion es necesarioutilizar metodos iterativos [R2], [Z3].

    1.1.3 Etapas basicas del analisis matricial de un sistema discreto

    De todo lo anterior se deduce que en el analisis de un sistema discreto(estructura de barras) intervienen las siguientes etapas:

    a) Definicion de una malla de elementos discretos (barras) conectados entre spor nudos todos ellos convenientemente numerados. Cada elemento e tieneasignadas unas propiedades geometricas y mecanicas conocidas. Todas estascaractersticas constituyen los datos del problema y conviene definirlos de lamanera mas automatica posible (Etapa de preproceso).

    b) Calculo de las matrices de rigidez K(e) y los vectores de fuerzas nodales f (e)

    de cada elemento del sistema.c) Ensamblaje y resolucion de la ecuacion matricial de equilibrio global (Ka = f)para calcular los valores de las incognitas (desplazamientos) en los nudos a.

    d) A partir de los valores de las incognitas en los nudos obtener informacion sobreotros parametros de interes del sistema (ej. tensiones y deformaciones en lasbarras, voltajes, caudales, etc.).

    Todos los resultados deben presentarse con la mayor claridad, y de forma graficasi es posible para fac