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ELEMENTOS FINITOS Alencar Simulacao Fraturamento

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Apostila de elementos finitos

Text of ELEMENTOS FINITOS Alencar Simulacao Fraturamento

  • CARLOS VITOR DE ALENCAR CARVALHO

    SIMULAO BIDIMENSIONAL ADAPTATIVAPOR ELEMENTOS FINITOS

    DE PROCESSOS DE FRATURAMENTO POR FADIGA

    DISSERTAO DE MESTRADO

    Departamento de Engenharia CivilPONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO DE JANEIRO

    Rio de Janeiro, abril de 1998

  • RESUMO

    Este trabalho descreve um ferramenta computacional baseada no mtodo dos

    elementos finitos para a anlise de componentes estruturais e componentes de equipamentos

    sujeitos a fadiga. Foram implementados modelos empricos conhecidos na literatura para

    previso ou estimativa de vida til fadiga dos componentes solicitados por carregamentos de

    amplitude constante. Tambm foram implementadas teorias que determinam a direo de

    propagao das trincas, possibilitando a propagao automtica das trincas no modelo. Esta

    ferramenta genrica pois capaz de tratar problemas com qualquer tipo de geometria

    (modelos bidimensionais) e carregamento (amplitude constante). Ela precisa pois est

    baseada em um processo numrico adaptativo e robusto. E ela prtica pois dirigida pelo

    Engenheiro Projetista atravs de uma interface grfica interativa bastante flexvel e que permite

    em todos os instantes a visualizao do modelo e de seus resultados e respostas.

  • ABSTRACT

    This work describes a computational tool, based on the finite element method, for the

    analysis of structural and equipament components subjected to fatigue. Well-known empiric

    models were implemented for the fatigue life estimation of these components subjected to

    constant amplitude loading. In addition, three theories that determine the direction of

    propagation of the crack were implemented, allowing an automatic fracture propagation. The

    resulting system is generic in the sense that it can treat problems of arbritary geometry (2D)

    with generic loading (constant amplitude). It is precise in that it is based on a robust self-

    adaptive numerical procedure. And it is practical in that it is driven by the Engineer through a

    flexible interactive graphics interface that allows the visualization of the model and its results

    and responses at any time during the simulation.

  • IV

    SUMRIO

    LISTA DE FIGURA .........................................................................................................VLISTA DE TABELAS .....................................................................................................VIIILISTA DE SMBOLOS ..................................................................................................... IX

    1. INTRODUO..................................................................................................... 1

    1.1 Propagao por Fadiga ........................................................................................41.2 Proposta da Dissertao.......................................................................................81.3 Organizao da Dissertao............................................................................... 10

    2. MODELOS DE PREVISO DA TAXA DE PROPAGAO DE TRINCAS PORFADIGA ......................................................................................................................11

    2.1 Mtodos para a Determinao do Fator de Intensidade de Tenses ....................112.1.1 Tcnicas de Correlaes dos Deslocamentos (TCD) .................................. 122.1.2 Mtodo de Fechamento da Trinca Modificado (FTM) ................................122.1.3 Mtodo de Integral de Domnio Equivalente (IDE) .................................... 13

    2.2 ConceitosBsicos da Propagao por Fadiga .....................................................152.2.1 Curva da/dN vs. DK...................................................................................152.2.2 Modelos Empricos ....................................................................................172.2.3 Estimativa de vida Fadiga para Carregamento com Amplitude Constante 19

    3. TEORIAS DE INTERAO PARA DETERMINAO DA DIREO DEPROPAGAO.......................................................................................................... 22

    3.1 Critrio da Mxima Tenso Circunferencial .......................................................223.2 Critrio da Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial .............................253.3 Critrio da Mmina Densidade de Energia de Deformao ................................. 273.4 Curvas de Interao ...........................................................................................293.5 Procedimento para Soluo do ngulo de Propagao ....................................... 29

    4. SISTEMA GRFICO INTERATIVO................................................................31

    4.1 Visualizao do QUEBRA2D ............................................................................ 344.1.1 Representao dos Resultados ................................................................... 344.1.2 Visualizao dos Grficos.......................................................................... 37

    5. EXEMPLOS........................................................................................................ 41

    5.1 Estratgia de Propagao ...................................................................................415.2 Exemplo1 .......................................................................................................... 425.2 Exemplo2 .......................................................................................................... 54

    6. CONCLUSES E SUGESTES........................................................................ 62

    6.1 Sugestes para Trabalhos Futuros ...................................................................... 63

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ...............................................................64

  • VLISTA DE FIGURAS

    Figura 1.1 - Modos de carregamento ................................ ................................ ..................2

    Figura 1.2 - Distribuio de tenses (syy) na ponta da trinca ................................ ............... 3Figura 1.3 - Zona Plstica na ponta da trinca ................................ ................................ ..... 3

    Figura 1.4 - Variao de K no ciclo de carregamento com amplitude constante.................. 6

    Figura 1.5 - Variao de K no ciclo de carregamento com amplitude varivel .................... 7

    Figura 2.1 - Contorno arbitrrio em torno da ponta da trinca ................................ ........... 13

    Figura 2.2 - rea para clculo da integral J................................ ................................ ...... 14

    Figura 2.3 - Experincia efetuada por Paris [1960] ................................ .......................... 16

    Figura 2.4 - Curva da/dN vs. DK................................ ................................ ...................... 17Figura 3.1 - Tenses nas proximidades da ponta da trinca em coordenada polares............ 23

    Figura 3.2 - Fratura no modo combinado para as trs teorias ................................ ........... 29

    Figura 3.3 - Procedimento para determinao do ngulo de propagao para Gqmx e Sqmin .. 30

    Figura 4.1 - Janela principal do QUEBRA2D................................ ................................ ... 35

    Figura 4.2 - Representao de resultados nodais suavizados ................................ ............ 37

    Figura 4.3 - Configurao deformada ................................ ................................ .............. 37

    Figura 4.4 - Grfico com o diagrama de campos escalares ................................ .............. 38

    Figura 4.5 - Nmero de ciclos para atingir o tamanho da trinca especificado.................... 39

    Figura 4.6 - Variao do fator de intensidade de tenses para o modo I ao longo da propagao

    ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 39

    Figura 4.7 - Variao do fator de intensidade de tenses para o modo II ao longo da

    propagao ................................ ................................ ................................ . 40

    Figura 5.1 - Modelo com a malha inicial, atributos e informaes geomtricas ................. 42

    Figura 5.2 - Modelo com a trinca inicial ................................ ................................ ........... 43

    Figura 5.3 - Malha de elementos finitos refinada pelo processo adaptativo com a trinca inicial

    ................................ ................................ ................................ ................... 44

    Figura 5.4 - Influncia das teorias de interao na propagao da trinca usando a IDE..... 44

  • VI

    Figura 5.5 - Influncia das tcnicas para o clculo da fator de intensidade de tenses na

    propagao da trinca usando a teoria sqmx................................ ................................ .................. 45

    Figura 5.6 - Histria do fator de intensidade de tenses para o modo I para a teoria sqmx 45

    Figura 5.7 - Histria do fator de intensidade de tenses para o Modo II para a teoria sqmx................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ........................... 46

    Figura 5.8 - Comparao entre as histrias do fator de intensidade de tenses entre o

    FRANC2D e QUEBRA2D para o Modo I (IDE e sqmx) ............................ 48Figura 5.9 - Comparao entre as histrias do fator de intensidade de tenses entre o

    FRANC2D e QUEBRA2D para o Modo II (IDE e sqmx) ........................... 48

    Figura 5.10 - Variao do ngulo para o FRANC2D e QUEBRA2D (IDE e sqmx) .......... 49Figura 5.11 - Modelo aps a propagao................................ ................................ ......... 50

    Figura 5.12 - Detalhe da regio afetada pela propagao ................................ ................. 50

    Figura 5.13 - Estimativa do nmero do ciclos para o FRANC2D e o QUEBRA2D.......... 51

    Figura 5.14 - Comparao entre o nmero de ciclos obtidos pelo FRANC2D e

    QUEBRA2D utilizando o mesmo processo de clculo .............................. 52

    Figura 5.15 - Nmero de ciclos para o modelo de Forman ................................ ............... 52

    Figura 5.16 - Nmero de ciclos para o modelo de Priddle ................................ ................ 53

    Figura 5.17 - Nmero de ciclos para o modelo de Walker................................ ................ 53

    Figura 5.18 - Exemplo 2 com atributos e informaes geomtricas ................................ .. 54

    Figura 5.19 - Trajetrias dos Exemplos 2.1 e 2.2 observadas em laboratrio.................... 55

    Figura 5.20 - Modelo com a malha inicial para o Exemplo 2.1 ................................ ......... 55

    Figura 5.21 - Exemplo 2.1 - Trajetrias obtidas para com incrementos de 1.0, 0.8 e 0.5,

    (IDE e sqmx) ................................ ................................ ............................ 56Figura 5.22 - Exemplo 2.2 - Trajetrias obtidas para com incrementos de 1.0, 0.8 e 0.5,

    (IDE e sqmx) ................................ ................................ ............................ 56Figura 5.23 - Exemplo 2.1 - Trajetrias obtidas para as trs teorias de propagao para IDE

    com incremento de 0.5 ................................ ................................ ................ 57

    Figura 5.24 - Exemplo 2.2 - Trajetrias obtidas para as trs teorias de propagao para IDE

    com incremento de 0.5 ................................ ................................ ................ 57

    Figura 5.25 - Exemplo 2.1- Modelo com a malha final obtida pelo QUEBRA2D ............. 58

  • VII

    Figura 5.26 - Exemplo 2.1 - Detalhe da trajetria da trinca obtida pelo QUEBRA2D....... 58

    Figura 5.27 - Exemplo 2.2- Modelo com a malha final obtida pelo QUEBRA2D ............. 59

    Figura 5.28 - Exemplo 2.2 - Detalhe da trajetria da trinca obtida pelo QUEBRA2D....... 59

    Figura 5.29 - Exemplo 2.1 - Nmero de ciclos obtidos com com modelo Walker e Paris.. 60

    Figura 5.30 - Exemplo 2.1 - Nmero de ciclos obtidos com o modelo de Forman ............ 60

    Figura 5.31 - Exemplo 2.1 - Nmero de ciclos obtidos com o modelo de Priddle ............. 61

  • IX

    LISTA DE SMBOLOS

    Smbolos Romanos

    K = fator de intensidade de tenses

    KI = fator de intensidade de tenses para o modo I

    KII = fator de intensidade de tenses para o modo II

    KIII = fator de intensidade de tenses para o modo III

    r = distncia da ponta da trinca ao ponto considerado

    iu = vetor de deslocamentos na direo i

    da/dN = taxa de propagao

    Ntotais = nmero de ciclos totais

    Niniciais = nmero de ciclos iniciais

    Npropagao = nmero de ciclos correspondentes a propagao

    a = tamanho da trinca

    DK = amplitude da variao do fator de intensidade de tenses

    DKth = variao do fator de intensidade de tenses limiar

    Kmin = fator de intensidade de tenses mnimo no ciclo

    Kmax = fator de intensidade de tenses mximo no ci clo

    Kmdio = fator de intensidade de tenses mdio no ciclo

    KIC = tenacidade a fratura (fator de intensidade de tenses crtico)

    R = razo do fator de intensidade de tenses no ciclo

    Jk = componente da integral J de contorno na direo k

    W = densidade de energia de deformao

  • Xt = espessura

    nk = componente do vetor unitrio normal ao contorno de integrao

    nj = componente do vetor unitrio normal ao contorno de integrao

    ti = presso externa nas faces das trincas

    m = constante do material usa para as leis impricas de propagao

    C = constante do material usa para as leis impricas de propagao

    p = constante do material usa para as leis impricas de propagao

    S = comprimento do arco ao longo do contorno

    Smbolos Gregos

    m = mdulo de cisalhamento

    syy = componente da tenso na direo y

    sxx = componente da tenso na direo x

    txy = tenso de cisalhamento na direo xy

    sr = componente da tenso na direo r

    sq = componente da tenso na direo q

    trq = componente da tenso na direo rq

    G = contorno de integrao

    G1 = contorno da rea anular na ponta da trinca

    G2 = contorno da rea anular na ponta da trinca

    q = ngulo de propagao

  • 1INTRODUO

    Neste sculo, com a sofisticao dos materiais e estruturas, falhas por fissurao ou

    trincamento causaram freqentes problemas em projetos nos diversos campos da engenharia,

    problemas estes muitas vezes catastrficos. Fissuras esto presentes de alguma maneira em

    todas as estruturas. Elas podem existir como um defeito bsico dos materiais constituintes,

    aparecer durante a construo ou surgirem atravs de uma concentrao de tenses.

    Desse modo, necessitou-se estudar mtodos que qualifiquem e, principalmente,

    quantifiquem os efeitos da presena de fissuras nos materiais, surgindo assim o

    desenvolvimento da teoria da Mecnica da Fratura. Vrios livros textos propem mtodos para

    avaliar esses efeitos [Broek, 1984; Barsom, 1987; Anderson, 1995].

    Essa nova metodologia se acrescentou aos conceitos tradicionais de projeto baseados

    em resistncia, escoamento e instabilidade, que so insuficientes quando existem defeitos.

    Um dos principais avanos iniciais dessa teoria foi a definio do fator de intensidade

    de tenses como um parmetro que permite se ter uma avaliao do campo de tenses nas

    proximidades da trinca.

    Tal fator tem como valor limite um parmetro do material chamado de tenacidade

    fratura, KIC. A importncia da definio do fator de intensidade de tenses est em se poder

    avaliar quando uma fratura ir romper o material, ou se propagar.

    A teoria da elasticidade, atravs das solues de Westergaard [Broek, 1984], relaciona

    o fator de intensidade de tenses, K, com as tenses e com os deslocamentos na ponta de

    trinca, que so dados pelas seguintes equaes:

    ( ) yxjifr

    Kijij ,,

    2== q

    ps (1.1)

  • Introduo 2

    ( )qpm iji

    grK

    u2/1

    2

    = (1.2)

    onde, ijs o tensor de tenses, iu o vetor dos deslocamentos, r a distncia da ponta da

    trinca ao ponto considerado, q o ngulo do plano da trinca, m o mdulo de cisalhamento,

    ( )qijf e ( )qijg so funes adimensionais de q e x e y so os eixos coordenados locais na

    ponta da trinca. As equaes que descrevem o estado de tenses na ponta da trinca, sempre na

    forma da equao (1.1), dependem do modo de carregamento (Figura 1.1):

    Modo I - Modo de abertura ou modo trao.

    Modo II - Modo cisalhamento (no plano).

    Modo III - Modo cisalhamento (fora do plano) ou modo rasgamento.

    modo I modo II modo III

    Figura 1.1 - Modos de carregamento.

    Existem fatores de intensidade de tenses para os trs modos de carregamento, KI, KII,

    KIII. Estes fatores caracterizam a distribuio de tenses na ponta da trinca. Esta distribuio

    exemplificada para tenses syy para o modo I na Figura 1.2.

  • Introduo 3

    Figura 1.2 - Distribuio de tenses (syy) na ponta da trinca.

    Observando a Figura 1.2, nota-se que a distribuio de tenses preve tenses infinitas

    na ponta da trinca, o que no corresponde realidade. Logo, deve existir uma regio prxima

    ponta da trinca com um comportamento no-linear, chamada de Zona Plstica (Figura 1.3).

    Para que os conceitos da Mecnica da Fratura Elstica-Linear sejam vlidos essa zona deve ser

    pequena em relao ao tamanho da trinca e distante o suficiente do contorno da estrutura

    [Anderson, 1995].

    Figura 1.3 - Zona Plstica na ponta da trinca.

    O fator de intensidade de tenses foi tabelado para uma grande quantidade de casos

    com diferentes configuraes de geometria e carregamento. No entanto, com o progresso da

  • Introduo 4

    cincia e com o aumento da complexidade das estruturas tornou-se invivel obter solues

    analticas para tal fator para todos os casos. Foi necessrio o desenvolvimento de tcnicas

    numricas, como o mtodo dos elementos finitos [Bathe, 1989; Cook, 1989] ou o mtodo dos

    elementos de contorno [Brebbia, 1989], para se obter uma soluo.

    Desde a dcada de 70, o mtodo dos elementos finitos vem sendo fortemente utilizado

    como uma ferramenta para solues numricas de problemas de engenharia. Para utilizao de

    tal mtodo na anlise de problemas de fratura, foram necessrios estudos e pesquisas sobre

    processos adaptativos, que possibilitem ao analista controlar a qualidade dos resultados da

    anlise numrica e buscar uma malha tima que atenda anlise do modelo em questo, e o

    desenvolvimento de elementos especiais para modelar o campo de tenses singulares nas

    proximidades da fissura.

    1.1 - Propagao por fadiga

    Um dos problemas importantes que podem ser tratados pela mecnica da fratura o

    fenmeno da fadiga (fratura provocada por solicitaes cclicas). O principal objetivo nestes

    casos a determinao da taxa de propagao (da/dN) de uma trinca submetida a tais

    solicitaes cclicas. Esta taxa indica quanto a trinca cresce por ciclo de carregamento e

    caracterizada pela variao do fator de intensidade de tenses no ciclo. O fenmeno da fadiga

    tambm depende de outros fatores tais como corroso e temperatura.

    As preocupaes com defeitos por fadiga tiveram incio no sculo XIX. Em 1852,

    Wohler conduziu experincias com eixos sujeitos flexo e toro, aplicados de forma

    cclica. Esses experimentos foram importantes porque formaram a base para montagem de um

    diagrama que foi o primeiro mtodo lgico para prever o comportamento de componentes

    mecnicos fadiga [Barsom, 1987]. Fadiga tem sido objeto de estudo em muitos projetos de

  • Introduo 5

    engenharia desde o final do sculo XIX. Contudo, o maior desenvolvimento ocorreu em 1960,

    com as experincias de Paris [1963].

    A maioria dos equipamentos e estruturas est sujeito a carregamentos repetidos que

    produzem fraturas com cargas bem menores do que aquelas que produzem fratura em

    solicitaes monotnicas. Exemplos dessas estruturas so:

    bombas, hlices e avies;

    pontes, navios e estruturas offshore.

    Na fadiga de alto ciclo as zonas plsticas so geralmente pequenas e, portanto, podem

    ser aplicados os conceitos da Mecnica da Fratura Linear Elstica (MFLE). Considerando-se

    que a previso da vida til de estruturas submetidas fadiga de grande importncia no

    projeto de uma obra ou equipamento, existe a necessidade de ferramentas prticas para a

    anlise de estruturas sujeitas a este fenmeno. Esta foi uma das principais motivaes para o

    desenvolvimento deste trabalho.

    O estudo de estruturas com possibilidade de fratura por fadiga, indica que seu

    comportamento depende da histria do carregamento cclico. Alm disso, Paris [1960]

    mostrou ser a variao do fator de intensidade de tenses no ciclo (D K), e no a variao de

    tenses, o parmetro que controla a propagao das trincas por fadiga. A mais simples histria

    do fator de intensidade de tenses a do carregamento com amplitude constante (Figura 1.4).

  • Introduo 6

    Figura 1.4 - Variao de K no ciclo de carregamento com amplitude constante.

    Neste tipo de carregamento tem-se um ciclo de tenses bem definido, assim como seus

    valores mais importantes para anlise. A seguinte nomenclatura usada para definio dos

    valores mais usuais:

    minK K mnimo do ciclo (1.3)

    mxK K mximo do ciclo (1.4)

    ( )min21 KKK mxmdio += K mdio do ciclo (1.5)

    minKKK mx -=D Amplitude da variao de K (1.6)

    mxKK

    R min= Razo de K no ciclo (1.7)

    No caso do carregamento com amplitude varivel (Figura 1.5), as funes so muitos

    complexas e a probabilidade da mesma amplitude ocorrer durante um particular intervalo de

    tempo muito pequena, tornando muito difcil a sua representao por uma funo analtica.

  • Introduo 7

    Exemplos desse tipo de carregamento so o vento em aeronaves, ondas em navios e

    plataformas, etc.

    Figura 1.5 - Variao de K no ciclo de carregamento com amplitude varivel.

    Para o clculo da taxa de propagao surgiram vrios modelos empricos [Paris, 1963;

    Forman, 1967; Walker, 1970; Priddle, 1976], cada um com sua aplicabilidade, vantagens e

    limitaes.

    Alm da determinao da taxa de propagao (da/dN) importante tambm a previso

    da direo de propagao das trincas. Para isso foram propostos alguns critrios, sendo trs os

    mais usuais. O primeiro, proposto por Erdogan e Sih et al. [1963] baseia-se na Mxima Tenso

    Circunferencial. De acordo com Sih, a trinca se propagar na direo perpendicular mxima

    tenso circunferencial. No segundo critrio, Hussain e Underwood et al. [1974] se basearam na

    Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial, estabelecendo que a trinca se propagar na

    direo em que provoca uma mxima liberao de energia potencial. E no terceiro critrio,

    novamente Sih et al. [1974] propuseram que a extenso da trinca ocorrer na direo em que a

    densidade de energia de deformao for mnima.

  • Introduo 8

    Hoje em dia (1998) esses critrios ainda so usados em programas de anlise e

    praticamente no foram modificados. As modificaes que ocorreram, como incluso de

    alguns termos no-lineares, certamente no influenciaram significativamente no valor numrico

    do clculo da direo de propagao.

    1.2 - Proposta da Dissertao

    Este trabalho prope a implementao de alguns modelos encontrados na literatura que

    tratam da previso ou estimativa de vida fadiga, bem como de modelos para a determinao

    da direo de propagao de trincas discretas. Essas implementaes foram feitas em um

    sistema grfico interativo, chamado QUEBRA2D, que apresenta uma estratgia auto-

    adaptativa confivel, robusta e eficiente para anlise de modelos bidimensionais de elementos

    finitos para processos de fraturamento [Arajo et al. 1997a]. Esta estratgia usa um estimador

    de erro a posteriori e um refinamento do tipo h, isto , baseado na variao do tamanho do

    elemento finito.

    O principal objetivo deste trabalho criar uma ferramenta computacional para o

    projeto de componentes estruturais e componentes de equipamentos submetidos ao fenmeno

    de fadiga que seja realmente genrica, precisa e prtica. Ela genrica, pois pode tratar de

    problemas com qualquer tipo de geometria (modelos bidimensionais) e carregamento. Ela

    precisa, pois est baseada em um processo numrico adaptativo. E ela prtica, pois dirigida

    pelo Engenheiro Projetista atravs de uma interface grfica interativa bastante flexvel e que

    permite em todos os instantes a visualizao do modelo e de seus resultados e respostas.

    Esta dissertao esta baseada nos trabalhos desenvolvidos pelo Grupo de Fratura de

    Cornell, liderado pelo Prof. Anthony Ingraffea. As principais contribuies deste trabalho,

    alm da interface grfica interativa, so as implementaes de vrios modelos para obteno

  • Introduo 9

    das curvas da vida til a fadiga. Como este trabalho trata apenas de casos bidimensionais sero

    considerados somente os modos I e II ou o modo combinado destes dois.

    Na simulao de propagao de trincas a geometria muda a cada passo de propagao,

    logo a malha de elementos finitos tem que ser atualizada. Existem trabalhos do Grupo de

    Fratura de Cornell que fazem essa atualizao apenas nos elementos que esto sob influncia

    da trinca [Wawzrynek, 1989; Bittencourt et al., 1992, 1996]. Neste trabalho toda a malha

    refeita. Isso s foi possvel devido eficincia do algoritmo de gerao de malhas de elementos

    finitos[Cavalcante, 1994]. As trincas podem ser introduzidas em qualquer parte do modelo e

    em qualquer momento, tanto na malha inicial como durante o processo adaptativo. Um cdigo

    de elementos finitos baseado em programao orientada a objetos [Martha et al., 1996]

    empregado para a anlise. Com o resultado desta anlise, so calculados os fatores de

    intensidade de tenses e determinados os ngulos de propagao das trincas e da nova posio

    da ponta da trinca. Este processo repetido at que um valor limite do fator de intensidade de

    tenses seja atingido ou at atingir o nmero de passos especificado pelo usurio.

    Portanto cada passo da simulao da propagao de trincas consiste de:

    Anlise de elementos finitos de uma malha inicial com as trincas iniciais definidas pelo

    usurio.

    Clculo dos fatores de intensidade de tenses;

    Determinao da direo e da posio da ponta trinca;

    Atualizao da geometria do modelo;

    Gerao automtica e adaptativa da nova malha.

  • Introduo 10

    1.3 - Organizao da Dissertao

    O trabalho est dividido em quatro captulos:

    No captulo I foi mostrado o objetivo da dissertao, bem como uma introduo dos

    fatores que motivaram este trabalho.

    O captulo II discute as hipteses, limitaes, vantagens e desvantagens dos modelos

    de previso da taxa de propagao de trincas discretas fadiga. Por ser a variao do fator de

    intensidade de tenses o principal parmetro que influencia a propagao de trincas por fadiga,

    esse captulo tambm resume alguns procedimentos para se calcular em numericamente fatores

    de intensidade de tenses em modelos de elementos finitos.

    O captulo III explica os critrios para determinao da direo de propagao das

    trincas submetidas a modo misto de fraturamento.

    O captulo IV fala sobre o sistema grfico interativo desenvolvido, mostrando

    principalmente sua funcionalidade e facilidades de modelagem e de visualizao dos resultados.

    A estratgia de gerao adaptativa de malhas de elementos finitos resumida.

    No captulo V so mostrados alguns exemplos da estratgia de simulao de

    propagao de trincas, fazendo comparaes entre os diversos modelos e critrios

    implementados.

    No captulo VI so apresentadas as concluses e sugestes para trabalhos futuros.

  • 2MODELOS DE PREVISO DA TAXA DE PROPAGAO DE

    TRINCAS POR FADIGA

    Este captulo descreve alguns conceitos bsicos sobre fadiga, sua definio e fatores

    que a influenciam. So mostrados alguns dos modelos empricos existentes na literatura (e que

    foram implementados neste trabalho) para a previso ou estimativa da taxa de propagao de

    trincas por fadiga (da/dN), mostrando suas hipteses, vantagens e limitaes. Como a variao

    do fator de intensidade de tenses de grande importncia para a estimativa da taxa de

    propagao, tambm feito um resumo dos principais mtodos para a determinao numrica

    deste fator em um modelo de elementos finitos.

    2.1 - Mtodos para Determinao do Fator de Intensidade de Tenses

    A determinao numrica do fator de intensidade de tenses em regime elstico linear

    pode ser feita atravs de mtodos que utilizam as tenses e deslocamentos resultantes de uma

    da anlise de elementos finitos e de mtodos que utilizam a taxa de liberao de energia

    potencial. Este trabalho determina o fator de intensidade de tenses atravs de trs mtodos

    (veja [Arajo et al. 1997b]):

    Tcnica de Correlao dos Deslocamentos (TCD).

    Mtodo via taxa de liberao de energia potencial calculada por uma tcnica de

    Fechamento da Trinca Modificado (FTM).

    Mtodo via integral J calculada pela Integral de Domnio Equivalente (IDE).

    2.1.1 - Tcnica de Correlaes dos Deslocamentos (TCD)

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 12

    A idia bsica desta tcnica para calcular numericamente fatores de intensidade de

    tenses correlacionar os deslocamentos em determinados pontos nodais da trinca, obtidos

    pela anlise de elementos finitos, com as solues analticas. Para modelos bidimensionais, esta

    tcnica possibilita o clculo de K para os modos I (abertura da trinca) e II (cisalhamento no

    plano). Esta tcnica utilizada quando elementos especiais esto presentes na ponta da trinca,

    e permite calcular separadamente os fatores de intensidade de tenses quando a estrutura est

    submetida ao modo misto de carregamento.

    Em geral os elementos especiais utilizados so elementos finitos quadrticos

    isoparamtricos com os ns de meio de lado prximos ponta da trinca deslocados para do

    lado, na direo da ponta da trinca. Este procedimento faz com que o elemento possa

    representar adequadamente o campo de deslocamentos prximo ponta da trinca, dado pela

    equao (1.2).

    Esta tcnica tem problemas de preciso numrica e dependente da discretizao da

    malha utilizada. Maiores detalhes sobre este mtodo pode ser encontrado em [Shih, 1976].

    2.1.2 - Mtodo de Fechamento da Trinca Modificado (FTM)

    Este mtodo, utilizado primeiramente por Rybicki e Kanninen et al. [1977], se baseia

    no modelo de Irwin da integral de fechamento da trinca. Este conceito supe que a abertura

    atrs da ponta de trinca no se altera entre dois pontos consecutivos de propagao.

    Considerando que o trabalho para fechar uma trinca igual energia gasta para abri-la, pode-

    se dizer que o trabalho necessrio para aumentar a trinca de a para a+da o mesmo que o

    necessrio para faz-la voltar ao comprimento original. Com isso Irwin obteve uma expresso

    para a taxa de liberao de energia potencial por incremento de trinca (G), que somente uma

    estimativa do trabalho realizado pelas tenses sobre os deslocamentos produzidos pelo

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 13

    aumento virtual da trinca. Em regime linear elstico possvel relacionar a taxa de liberao de

    energia com os fatores de intensidade de tenses para os modos I e II [Broek, 1984]. Maiores

    informaes sobre esse mtodo pode ser encontrado na referncia [Raju, 1987].

    2.1.3 - Mtodo da Integral de Domnio Equivalente (IDE)

    A taxa de liberao de energia potencial em regime elstico linear pode ser avaliada

    pela integral J, que tem como base a lei de conservao da energia. Quem primeiro estudou

    esta integral foi Rice [1968]. uma integral de contorno cujo valor no varia ao longo de

    qualquer caminho de integrao que rodeie a trinca. definida como 21 JJJ += , sendo:

    G

    -= dsxu

    nWnJk

    ijijkk s (2.1)

    Nesta expresso, k a direo de um dos eixos coordenados (x,y), G qualquer

    caminho que comece na face inferior da trinca, envolva a ponta da trinca e termine na face

    superior (Figura 2.1), W a densidade de energia de deformao, nk e nj so as componentes

    do vetor unitrio normal ao contorno de integrao e s o comprimento de arco ao longo do

    contorno.

    Figura 2.1 - Contorno arbitrrio em torno da ponta da trinca.

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 14

    Essa integral foi desenvolvida inicialmente para avaliar a tenacidade a fratura de

    materiais em regime elasto-plstico. Mas para o caso do regime elstico linear seu valor igual

    ao da taxa de liberao de energia.

    O clculo da integral de contorno J na forma mostrada pela equao (2.1) no

    adequado para ser feito numericamente atravs de um modelo de elementos finitos. Pode-se

    evitar isso utilizando o teorema da divergncia, transformando a integral de contorno em uma

    integral de domnio equivalente. O contorno C mostrado na Figura 2.1, substitudo por uma

    rea anelar mostrada na Figura 2.2. Para isso utilizada uma funo peso q(x,y), que assume

    um valor unitrio para G1 e zero para G2. Re-escrevendo a equao (2.1) tem-se:

    -

    -

    -

    -

    -=

    A S k

    ii

    k

    jij

    ikA jk

    iij

    kk qdSx

    utqdA

    xu

    xxW

    dAxq

    xu

    xq

    WJ ss (2.2)

    onde ti a presso externa nas faces da trinca.

    Figura 2.2 - rea para clculo da integral J.

    Assim como no Mtodo de Fechamento da Trinca Modificado, uma vez calculada a

    taxa de liberao de energia (aqui via integral J), pode-se avaliar os fatores de intensidade de

    tenses. Maiores informaes podem ser obtidas na referncia [Anderson, 1995].

    2.2 - Conceitos Bsicos da Propagao por Fadiga

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 15

    Fadiga um processo de defeito cumulativo causado por cargas cclicas em regies da

    estrutura onde existem alta concentraes de tenses. Este fenmeno tem como principal

    caracterstica a propagao paulatina de uma trinca, causada pelas repeties dos

    carregamentos aplicados sobre a pea. Em presena de um ambiente agressivo, conhecida

    como fadiga corrosiva. Depois de um certo nmero de repeties do carregamento, o defeito

    acumulado causa o incio e a subseqente propagao da fissura ou fissuras nas regies

    plasticamente defeituosas. Esse processo pode em muitos casos causar fratura dos

    componentes da estrutura. Quanto maior a concentrao de tenses na estrutura, menor ser

    nmero de ciclos para a inicializao da fissura por fadiga [Barsom, 1987].

    Muitos parmetros afetam a resistncia de componentes estruturais fadiga. Esses

    parmetros so relativos a solicitaes (carregamento), geometria, propriedades dos materiais

    e ambiente externo.

    Os parmetros de solicitao incluem estados de tenses, razo entre os fatores de

    intensidade de tenses mximo e mnimo, carregamentos constantes ou variveis, freqncias

    ou tenses mximas. A geometria da estrutura deteminante principalmente o gradiente das

    tenses e os fatores de intensidade de tenses, e as propriedades mecnicas e metalrgicas

    caracterizam o comportamento do material. Os parmetros do ambiente externo incluem

    temperaturas e agressividade do ambiente.

    2.2.1 Curva da/dN vs. DK

    Conforme dito anteriormente, no incio da dcada de 60, Paris mostrou

    convincentemente atravs de uma experincia ser a variao do fator de intensidade de tenses

    (DK), e no a tenso, o parmetro em si que controla a propagao das trincas por fadiga.

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 16

    Neste experimento, feito com a chapa mostrada na Figura 2.3, somente o modo I (abertura da

    trinca) est sendo considerado.

    Figura 2.3 - Experincia efetuada por Paris [1960].

    Foram utilizadas duas chapas idnticas, feitas do mesmo material e com uma trinca

    central de mesmo comprimento. A chapa 1 foi carregada nos bordos enquanto a chapa 2 foi

    carregada nas faces da trinca, mantendo-se a mesma tenso nas duas chapas. Na chapa 1 (DK)

    aumentava medida que a trinca crescia, enquanto na chapa 2 (DK) decrescia medida que a

    trinca crescia. Paris mostrou que apenas quando se relacionava a taxa de propagao da trinca

    por ciclos (da/dN) com DK, os pontos experimentais gerados tanto na chapa 1 quanto na chapa

    2 coincidiam.

    Plotando da/dN vs. DK, na forma logartmica, tem-se uma curva com 3 fases bem

    distintas (Figura 2.4). Esta curva de grande importncia na prtica, pois com esse tipo de

    informao pode-se obter previses sobre a vida til da estrutura. As trs fases so:

    Fase I: Tem como principal caracterstica o limiar abaixo do qual os carregamentos

    no causam danos pea trincada e a trinca no se propaga. Este limiar recebe o nome de

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 17

    limiar de propagao de trincas por fadiga, e caracterizado por um fator de intensidade de

    tenses limiar (DKth-threshold).

    Figura 2.4 - Curva da/dN vs. DK.

    Fase II: Nesta fase tem-se a propagao da trinca de forma estvel. Em muitos casos a

    quantificao da taxa de propagao desta fase suficiente para se projetar estruturas e

    componentes estruturais fadiga, uma vez que a trinca se propaga de maneira estvel,

    possibilitando uma estimativa da vida til da estrutura ou componente estrutural.

    Fase III: Nesta fase a propagao da trinca se d de forma instvel e o limite que

    marca esse comportamento e dado por Kmx = KIC (KIC a tenacidade fratura).

    2.2.2 - Modelos Empricos

    Existem alguns modelos empricos bem conhecidos que procuram avaliar o fenmeno

    de fadiga atravs de parmetros que so ajustados por resultados obtidos em testes

    experimentais. Estes modelos descrevem, pelo menos em parte, a forma da curva da/dN vs.

    DK, e consideram os efeitos de DKth, de KIC, da razo entre os fatores de intensidade de tenso

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 18

    mximo e mnimo R (ou por )1/( RKK mx -D= ). Dentre eles vale a pena iniciar com o mais

    clssico, chamado de modelo de Paris [1963]:

    mKCdNda D= (2.3)

    Este modelo descreve o comportamento a fadiga do material apenas na fase II e no

    leva em considerao a razo R. Os parmetros C e m so constantes empricas (obtidas

    experimentalmente) dependentes do material utilizado. O parmetro C representa o coeficiente

    linear do trecho reto da curva de Figura 2.4, enquanto m representa o coeficiente angular.

    Forman [1967] props um outro modelo emprico, mais sofisticado, que leva em

    considerao a razo R, modelando tanto a fase II como a fase III:

    -

    D=-

    1max

    1

    KK

    KCdNda

    IC

    m

    (2.4)

    Walker [1970] props um modelo similar ao modelo de Paris (Fase II) mas que

    incorpora os efeitos de R.

    ppm

    RKC

    dNda

    -D= +

    11)(

    (2.5)

    Esse modelo possui trs parmetros experimentais, C, m e p, sendo p um parmetro

    emprico adicional. Priddle [1976] props um modelo para modelar as trs fases da curva

    da/dN vs. DK, mas no inclui os efeitos da razo R.

    m

    mxIC

    th

    KKKK

    CdNda

    -D-D= (2.6)

    O valor de DKth funo de R e pode ser avaliado para metais conforme as regras

    abaixo [Barsom 1987]:

    ( ) mMpaR..K th 850146 -=D R>0.1

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 19

    ( ) inksiR..K th 8501047 -=D R>0.1

    inksi.K th 55=D R

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 20

    Como mostrado nos modelos descritos anteriormente, a taxa de crescimento da trinca

    da/dN dada como funo de DK e R, e pode ser representada na forma geral por

    ( )ICth K,K,R,KfdNda DD= (2.7)

    O nmero de ciclos para o crescimento da trinca pode ser calculado resolvendo a

    equao para dN. Integrando os dois lados da equao (2.7), tem-se:

    ( ) DD==-=j

    i

    j

    i

    a

    a ICthifif

    N

    N K,K,R,KfdaNNNdN (2.8)

    Esta integral fornece o nmero de ciclos necessrios para a trinca crescer de um

    tamanho inicial ai, correspondente a Ni, para um tamanho final af, correpondente a Nf. A

    variao do nmero dada por Nif. A integral pode ser avaliada analiticamente ou

    numericamente, desde que a variao do fator de intensidade de tenses seja conhecida.

    Desse modo, o procedimento para analisar o comportamento do crescimento de trincas

    submetidas fadiga mostrado abaixo:

    (a) Atravs de uma adequada inspeo no elemento estrutural com defeito estimar o

    tamanho inicial ao da trinca presente, bem como o nmero de ciclos necessrio para inici-la.

    Neste trabalho, a escolha das posies das trincas iniciais e dos tamanhos iniciais feita

    arbitrariamente pelo engenheiro analista.

    (b) Escolher o modelo emprico conveniente para a determinao da estimativa da vida

    fadiga.

    (c) Assumir um incremento Da para o crescimento de cada trinca para cada passo.

    (d) Escolher o mtodo para o clculo do fator de intensidade de tenses. Neste

    trabalho, estes fatores so calculados numericamente pelos mtodos citados anteriormente.

  • Modelos de previso da taxa de propagao de trincas por fadiga 21

    (e) Integrar a expresso do modelo de propagao escolhido para determinar o nmero

    de ciclos necessrio para cada trinca atingir um tamanho crtico. Neste trabalho, esta

    integrao feita numericamente.

    O nmero de ciclos totais (Ntotal) dado pela soma do nmero de ciclos estimados para

    a inicializao da trinca (Ninicial) e o nmero de ciclos da propagao da trinca (Npropagao).

    Ntotal = Ninicial + Npropagao (2.9)

    Vale ressaltar que o procedimento descrito acima baseado em uma

    propagao fundamentalmente de modo I de fraturamento. Isso porque os modelos empricos

    esto baseados apenas no modo de abertura. No entanto, neste trabalho, assim como nos

    trabalhos do grupo de Cornell, o procedimento estendido a modos mistos de propagao.

    Isso s tem validade porque permitido que as trincas propaguem mudando de direo. Como

    conseqncia da mudana de orientao das trincas, a ordem de grandeza do fator de

    intensidade de tenso para modo II ser bem menor do que para o modo I, isto , quando

    permitido que a trinca mude de direo, o seu comportamento pode ser considerado como

    fundamentalmente de modo I, o que justifica o uso desses modelos empricos.

    No captulo que se segue so descritos os procedimentos numricos utilizados para se

    determinar a direo de propagao de uma trinca em regime elstico-linear.

  • 3TEORIAS DE INTERAO PARA DETERMINAO DA

    DIREO DE PROPAGAO

    Este captulo descreve as hipteses e os critrios para a determinao da direo de

    propagao das trincas. Este trabalho est baseado fundamentalmente nos desenvolvimentos

    do Grupo de Fratura de Cornell [Bittencourt et al. 1992, 1996]. Existem trs critrios para o

    clculo numrico da direo de propagao de uma trinca: (1) Mxima Tenso Circunferencial

    (sqmx), (2) Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial (Gqmx) e (3) Mnima Densidade de

    Energia de Deformao (Sqmin). O critrio da mxima tenso circunferencial mais simples de

    ser deduzido, apresentando uma soluo fechada. Os outros dois critrios so resolvidos

    atravs de processos iterativos utilizando o resultado obtido no critrio (1) para incio das

    iteraes.

    3.1 Critrio da Mxima Tenso Circunferencial (sqmx)

    As tenses na ponta da trinca para o modo I e II so dadas pela soma das tenses

    obtidas para cada modo separadamente (solues de Westergaard) [Broek, 1984]. Como

    resultado so obtidas as seguintes equaes em coordenadas polares (Figura 3.1):

    ( ) ( )[ ] ( ){ }222321221 2 qqqqp

    s tgKsenKsenKcosr

    IIIIIr -++= (3.1)

    ( ) ( )[ ]qqqp

    sq senKcosKcosr

    III 23

    2221 2 -= (3.2)

    ( ) ( )[ ]13221 -+= qqqp

    t q scoKsenKcosr IIIr(3.3)

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 23

    Estas expresses so vlidas tanto para estado plano de tenses quanto para estado plano de

    deformaes.

    Figura 3.1 - Tenses nas proximidades da ponta da trinca em coordenada polares.

    O critrio da mxima tenso circunferencial, proposto por Erdogan e Sih et al. [1963],

    estabelece que:

    A extenso da fissura se iniciar na sua ponta na direo radial.

    A extenso da fissura se iniciar em um plano perpendicular direo onde sqmx

    mxima e, logo, trq = 0.

    A extenso monotnica (sem fadiga) ocorrer quando sqmx atingir um valor crtico

    correspondente a uma constante do material. (KIC para o modo I).

    Sabendo que trq = 0, tem-se que:

    ( ) ( )[ ] 0132 =-+ qqq scoKsenKcos III (3.4)Da equao (3.1):

    ( ) ( )[ ] rsenKcosKcos III psqqq q 22322 2 =- (3.5)Resolvendo as equaes, tem-se:

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 24

    Soluo trivial:

    q = p para ( )2qcos = 0. (3.6) Soluo no-trivial:

    0)13( =-+ qq cosKsenK III (3.7)

    Analisando a equao (3.7) para os dois modos puros, tem-se:

    Para o Modo I puro:

    KII = 0 (3.8)

    0=qsenK I (3.9)

    Da equao (3.9), tem-se:

    q = 0 (3.10)

    Para o modo II puro:

    0=IK (3.11)

    0)13( =-qcosK II (3.12)

    Resolvendo a equao (3.12) tem-se:

    q = 5.70 (3.13)

    Considerando o modo misto, pode-se resolver a equao (3.7), para q, encontrando-se:

    +

    = 8

    41

    412

    2

    II

    I

    II

    I

    KK

    KK

    arctgq (3.14)

    O sinal do ngulo nas expresses (3.13) e (3.14) dependende do sinal de KII.

    Se KII > 0 q < 0

    Se KII < 0 q > 0

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 25

    Pode-se observar que as equaes (3.10) e (3.13) mostram os limites inferior e superior

    (em mdulo), respectivamente, do ngulo de propagao da trinca, e seus valores

    intermedirios so dados pela expresso (3.14).

    3.2 Critrio da Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial (Gqmx)

    Este critrio se baseia na taxa de liberao de energia por crescimento da trinca, G, que

    mede a energia potencial que liberada durante o processo de fraturamento. Para propagaes

    colineares (que no mudam de direo) em regime elstico linear, o fator de intensidade de

    tenses pode ser facilmente relacionado com G atravs das seguintes espresses, onde

    III GGG += , sendo IG a taxa para modo I puro e IIG a taxa para modo II puro:

    2

    81

    II KkG

    m+= (3.15)

    2

    81

    IIII KkG

    m+= , (3.16)

    onde k :

    n43 -=k em estado de deformao plana, e

    nn

    +-=

    13k em estado de tenso plana

    e n o coeficiente de Poisson.

    Porm, nem sempre a propagao da fratura colinear, como, por exemplo, no

    fraturamento em modo misto. Neste caso a extenso da fissura ocorre em uma direo

    arbitrria. Hussain e Underwood et al. [1974] sugeriram que esta extenso ocorre na direo

    que provoca a mxima taxa de liberao de energia de fraturamento. Para isso estabeleceram

    uma equao em G (total) utilizando uma funo de mapeamento com variveis complexas,

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 26

    onde q define uma direo radial com respeito ponta da trinca corrente. Utilizando essa

    tcnica, Hussain e Underwood chegaram seguinte expresso:

    ( ) ( ) ( )[ ]22222

    259831

    1

    1

    314

    IIIIII KcosKKcossenKcoscosEG qqqq

    pq

    pq

    qq

    pq

    -+++

    +

    -

    += (3.17)

    Observa-se que a expresso resultante para G(q) no diferencia estado plano de tenses

    e estado plano de deformaes. Da mesma forma como G(q), os fatores de intensidade de

    tenses KI e KII tambm foram definidos como funes de q, conforme as equaes abaixo.

    ( )

    +

    +

    -

    += qq

    pq

    pq

    qq

    pq

    sinKcosKcos

    K IIII 23

    1

    1

    34

    2

    2(3.18)

    ( )

    -

    +

    -

    += qq

    pq

    pq

    qq

    pq

    sinKcosKcos

    K IIIII 21

    1

    1

    34

    2

    2 (3.19)

    Os fatores KI(q) e KII(q) representam os valores de KI e KII para uma direo de

    propagao dada por q, no limite quando o incremento de propagao tende a zero [Hussain e

    Underwood, 1974].

    Desse modo pode-se estender a interpretao das equaes 3.15 e 3.16, colocando GI,

    GII, KI e KII como funo de q, obtendo assim:

    )(8

    1)( 2 q

    mq II K

    kG

    += (3.20)

    )(8

    1)( 2 qm

    q IIII KkG += (3.21)

    A taxa de liberao total de energia dada por:

    G(q) = GI(q) + GII(q) (3.22)

    Logo o critrio da mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial (G(q)mx), estabelece

    que:

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 27

    A extenso monotnica (sem fadiga) da fissura ocorrer na direo q em que h uma

    mxima liberao de energia.

    A extenso ocorre quando a taxa de liberao de energia igual a um valor crtico Gc,

    onde Gc uma constante do material, dada por (veja expresso (3.15)):

    2

    81

    ICC KkG

    m+= (3.23)

    3.3 Critrio da Mnima Densidade de Energia de Deformao (Sqmin)

    Neste critrio, proposto por Sih et al. [1974], a direo do crescimento da trinca

    governada pelo valor da densidade de energia de deformao, S, nas proximidades da trinca. A

    Figura 3.1 mostra as tenses em coordenadas polares na ponta da trinca, que so dadas pelas

    equaes 3.1, 3.2 e 3.3.

    As componentes dos deslocamentos nas direes radial e circunferencial [Anderson,

    1995; Hussain e Underwood, 1974] so descritas por:

    ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }23321223212241 qqqqm sensenkKcoscoskKru IIIr -----= (3.24)

    ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }23321223212241 qqqqmq coscoskKsensenkKrv III ---+--= (3.25)

    A energia de deformao do elemento de rea dA = rdq dr dada por

    dAr

    vr

    vur

    vrr

    ur

    udW rr

    rrr

    -

    +

    +

    ++

    = qqqqq q

    tq

    ss 1121 (3.26)

    Substituindo as equaes 3.1, 3.2, 3.3, 3.24 e 3.25 na equao 3.26 e fazendo algumas

    operaes algbricas, chega-se expresso da energia de deformao na forma quadrtica

    mostrada na equao:

    ( )22212211 21 IIIIII KaKKaKardAdW ++= (3.27)

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 28

    onde os coeficientes aij (i,j = 1,2) so dados por:

    ( )( )[ ]qqm

    coskcosa11 -+= 1161 (3.28)

    ( )[ ]1216

    112 --= kcossena qqm

    (3.29)

    ( )( ) ( )( )[ ]1311116

    122 -++-+= qqqm

    coscoscoska (3.30)

    A expresso que multiplica o termo 1/r na equao 3.27 denominada de fator de densidade

    de energia de deformao que denominado S:

    ( ) 22212211 2 IIIIII KaKKaKaS ++=q (3.31)

    O valor de S representa a intensidade de dW/dA no interior do elemento infinitesimal, e

    deixa de ser vlido para valores de r muito pequenos, sendo limitado por um valor crtico ro.

    Sih et al. propuseram o seguinte critrio de propagao:

    A extenso monotnica (sem fadiga) da fissura ocorrer quando S(q) for igual a um

    valor crtico Scr que uma constante do material.

    A extenso ocorre na direo em que a densidade de energia de deformao for

    mnima.

    O valor crtico Scr pode ser facilmente relacionado com o fator de intensidade de

    tenses atravs da expresso 3.32 (para somente modo I). Isto resulta em:

    2

    81

    ICcr KkSmp-= (3.32)

    interessante observar a partir da equao (3.32) que este critrio faz uma distino

    entre estado plano de tenses e estado plano de deformaes.

    3.4 Curvas de Interao

    Pode-se representar as trs teorias para determinao da direo de propagao de

    trincas podem ser representadas atravs de curvas de interao. O lugar geomtrico de

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 29

    fraturamento em modo combinado para os trs critrios pode ser visto na Figura 3.2. Pelos

    critrios, uma fratura propagar quando KI e KII atingirem valores que ultrapassam as

    respectivas curvas de interao.

    Figura 3.2 - Fratura no modo combinado para as trs teorias.

    3.5 Procedimento para soluo do ngulo de propagao.

    Conforme dito anteriormente, o clculo do ngulo de propagao que maximiza Gqmx e

    minimiza Sqmin determinado utilizando processo iterativos a partir de uma estimativa inicial

    dada pela primeira teoria sqmx. Foi utilizado o seguinte procedimento: Postula-se que existe

    uma funo contnua f(q) no intervalo [q0, q1] e ( ) ( ) 010

  • Teorias de Interao para a determinao da direo de propagao 30

    Figura 3.3 - Procedimento para determinao do ngulo de propagao para Gqmx e Sqmin.

    A funo f(q) substituda por uma reta que passa por f(q0) e f(q1) e o valor qn+1

    (n=1,2,3,.....) usado como aproximao do valor qr. Essas aproximaes so obtidas pela

    seguinte frmula de recorrncia:

    ( )( )n

    nn

    nnnn

    f qqq

    qqqq1

    11

    -

    -+ -= (3.33)

    No caso em questo, escolhido um intervalo [q0, q1] que possua o ngulo q calculado

    em sqmx. Esse intervalo diminudo at que tolerncia especificada para o clculo de Gqmx e

    Sqmin seja satisfeita. A tolerncia utilizada foi de 0.001.

  • 4SISTEMA GRFICO INTERATIVO

    Este trabalho de pesquisa se insere na linha de pesquisa de Computao Grfica

    Aplicada do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Nesta linha so desenvolvidos

    diversas ferramentas computacionais, dentre as quais o sistema desenvolvido em parte por este

    trabalho, denominado QUEBRA2D.

    O QUEBRA2D um programa grfico interativo para simulao de processos

    bidimensionais de fraturamento estrutural, baseado em uma estratgia de gerao adaptativa de

    malhas de elementos finitos [Cavalcante, 1994]. O processo adaptativo primeiramente requer

    os resultados da anlise de uma malha inicial de elementos finitos, geralmente grosseira, com

    as descries geomtricas, as condies de contorno e seus atributos. Posteriormente feita

    uma discretizao do contorno das regies do domnio com base nas propriedades geomtricas

    e nos tamanhos caractersticos dos elementos de bordo (vizinhos s curvas do contorno)

    determinadas a partir da estimativa de erro calculada pelo mtodo de anlise.

    E importante verificar que uma das grandes vantagens dessa estratgia que a

    discretizao das curvas do contorno feita independente da discretizao do domnio do

    modelo, resultando em uma discretizao mais regular no contorno.

    Com o contorno discretizado feita a gerao da nova malha. Essa gerao baseada

    na tcnica de quadtree e por uma tcnica de triangularizao de Delaunay, onde a quadtree

    gera a malha no interior do modelo deixando uma faixa prxima ao contorno para ser gerada

    pela triangularizao de Delaunay. Esse processo repetido at que o erro de discretizao

    estimado atinja um valor pr-definido.

    Abaixo so destacadas algumas funcionalidades do programa:

    consulta dos atributos de um n e de um elemento;

  • Sistema Grfico Interativo 32

    obteno das isofaixas ou isolinhas de resultados escalares nos ns e em pontos de

    Gauss;

    disponibilidade do clculo do fator de intensidade de tenses por trs mtodos:

    Tcnica de Correlaes dos Deslocamentos

    Mtodo de Fechamento da Trinca Modificado

    Mtodo da Integral de Domnio Equivalente

    disponibilidade do clculo da direo de propagao da trinca pelas seguintes teorias:

    Mxima Tenso Circunferencial (sqmx)

    Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial (Gqmx)

    Mnima Densidade de Energia de Deformao (Sqmin)

    plotagem de barras (vetores) para a visualizao de resultados vetoriais;

    visualizao de configurao deformada do modelo;

    grficos com a histria dos resultados ao longo dos passos, para uma anlise dinmica

    ou no-linear;

    grficos ao longo de elementos finitos de interface;

    grficos de resultados escalares ao longo de uma linha de corte no modelo;

    grficos para anlise de problemas de fadiga, com possibilidade de escolha de vrios

    modelos de previso da vida til da estrutura;

    grficos com as histrias do fatores de intensidade de tenses para o modo I e II;

    resultado de integral de curva gerada nos grficos;

    especificao de zoom, distoro e translao;

    visualizao dos atributos dos ns e dos elementos;

    visualizao da animao do modelo ao longo de diversos passos.

  • Sistema Grfico Interativo 33

    O programa fornece informaes qualitativas e quantitativas sobre a malha e os

    resultados referentes mesma. A anlise quantitativa feita atravs de funes de consulta,

    que fornecem informaes tais como nmero de ns, incidncia do elemento ou restries de

    um n. A anlise qualitativa consiste basicamente na representao de resultados, que podem

    ser de dois tipos: resultados escalares, como componentes de tenso ou campo de temperatura,

    e resultados vetoriais, como campo de deslocamentos ou campo de velocidades. Os resultados

    de campos escalares podem ser fornecidos nos pontos nodais, de forma suavizada ou no, ou

    nos pontos de Gauss. De maneira a auxiliar na visualizao do modelo, existem funes para

    manipular a vista, tais como a possibilidade de mudar os limites da janela de vizualizao ou

    fazer um zoom em todo o modelo ou alguma regio do mesmo, conforme ser abordado

    adiante. O programa ainda permite visualizar a animao do modelo com a resposta de um

    determinado caso e campo ao longo de diversos passos. A entrada de dados de um modelo no

    programa feita atravs de um arquivo com um formato especial, chamado de arquivo

    neutro, especificado em [TeCGraf1, 1992], e dois arquivos que possuem a descrio das

    condies de contorno das curvas e atributos das regies [Cavalcante, 1992].

    O programa foi implementado em linguagem C, utilizando o sistema de interface

    IUP/LUA [TeCGraf2, 1995] e o sistema grfico CD [TeCGraf3, 1997]. Alm disso, o

    programa utiliza trs arquivos de interface (quebra2dfunc.lua, quebra2d.lua e icos.lua). Esse

    ambiente permite a portabilidade automtica, sem alterao de cdigo, para vrias plataformas,

    como as estaes de trabalho baseada no sistema operacional Unix (Sun Sparcstation, Silicon

    Graphics e IBM RS6000) e micro-computadores da linha PC (Windows 95).

    4.1 -Visualizao no QUEBRA2D

    Nesta seo faz-se uma descrio das funcionalidade visuais do programa. O mesmo

    possui uma interface que permite ao usurio abrir vrias janelas de resultados que podem ser

  • Sistema Grfico Interativo 34

    visualizados simultaneamente, favorecendo muito a anlise do modelo. Alm disso, possui

    janelas de grficos e de animao.

    4.1.1 -Representao dos Resultados

    Quanto visualizao dos resultados, o programa permite representar resultados

    escalares e vetoriais. O primeiro caracteriza-se por um valor escalar e o segundo por dois

    valores, referentes s componentes de um vetor. Para o programa no importa a natureza da

    grandeza que est sendo representada, ou seja, um campo escalar de temperatura

    representado da mesma maneira que, por exemplo um campo escalar de uma componente de

    tenso sx .

    A representao dos resultados (mapa de cores em forma de isofaixas ou isolinhas)

    pode ser visualizada na janela principal (Figura 4.1), onde os parmetros de resposta podem

    ser modificados atravs de elementos de interface disponveis no dilogo. Esses elementos so

    listas com caso, passo e campo de representao do resultado.

  • Sistema Grfico Interativo 35

    Figura 4.1 - Janela principal do QUEBRA2D.

    Duas observaes tornam-se relevantes a respeito dessas representaes de resultados.

    A primeira que cada janela de resultados aberta possui seus prprios parmetros

    especificados, o que possibilita a visualizao de duas ou mais janelas de resultados com

    respostas diferentes. A segunda a idia de nvel corrente existente para cada janela de

    resultados, ou seja, a priori existem valores previamente definidos para estes parmetros, e o

    usurio s precisa escolher os parmetros desejados na sua resposta; alm disso, para se alterar

    uma opo de resposta, necessrio apenas reescolher a opo desejada, pois as outras se

    mantm inalteradas. Como exemplo desse procedimento, pode-se supor que exista uma janela

    de resultados aberta representando um campo escalar de tenso na direo X, referente ao

    caso 1, passo 3, e com resultados em pontos de Gauss. O usurio pode, ento, visualizar o

    campo de tenso na direo Y selecionando apenas a tenso desejada no bloco de definio da

    representao escalar, sem precisar especificar novamente o caso, o passo e o tipo de

    representao. Do mesmo modo, considerando o exemplo dado, o usurio pode desejar

    visualizar a tenso na direo X nos pontos nodais e no nos pontos de Gauss. Para isso basta

    apenas escolher a opo do tipo de representao no bloco para definio da representao

    escalar, sem precisar modificar nenhum dos outros parmetros correntes.

    A visualizao dos resultados escalares, atravs das isofaixas ou isolinhas est baseada

    em trabalhos anteriores da linha de pesquisa [Guimares, 1992; TecGraf4, 1997], e pode ser

    visualizada em trs formas de resultados: resultados em pontos de Gauss, resultados no pontos

    nodais sem suavizao, ou nos pontos nodais suavizados. A forma suavizada (Figura 4.2)

    oferece uma imagem mais clara do modelo como um todo, enquanto a no-suavizada permite

    avaliar a qualidade da malha utilizada.

  • Sistema Grfico Interativo 36

    Figura 4.2 - Representao de resultados nodais suavizados.

    A configurao deformada do modelo pode ser visto na Figura 4.3.

    Figura - 4.3 Configurao deformada.

  • Sistema Grfico Interativo 37

    4.1.2 - Visualizao dos Grficos

    De uma janela com a representao dos resultados visveis pode-se abrir uma janela

    com grficos de respostas do modelo. Esses grficos podem ser de trs tipos: grficos para

    histria de resultados de um determinado ponto (n ou ponto de Gauss) ao longo de diversos

    passos, no caso de uma anlise dinmica ou no-linear; grficos para grandezas escalares ao

    longo de um caminho entre pontos selecionados pelo usurio, em caso de elementos de

    interface; e grficos para representao de resultados escalares, como por exemplo um

    diagrama de tenses onde o usurio passa uma linha arbitrria sobre o modelo e o programa

    apresenta o diagrama de tenses ao longo da linha fornecida. Os tipos de grficos disponveis

    so descritos a seguir:

    Grfico com a distribuio do campo corrente ao longo de uma linha definida

    interativamente pelo usurio (Figura 4.4).

    Figura 4.4 - Grfico com o diagrama de campos escalares.

  • Sistema Grfico Interativo 38

    Deve-se observar que sempre que uma janela de grfico aberta de uma janela de

    resultados, todas as modificaes na janela de resultados implicam em alteraes na janela do

    grfico. Por exemplo, se a janela de resultados mostra uma tenso sx e o grfico mostra a

    distribuio dessa tenso ao longo de uma linha do modelo traada pelo usurio, a modificao

    da tenso para sy, por exemplo, automaticamente implicar em uma atualizao do grfico,

    sem que o usurio precise abrir uma nova janela, ou traar novamente a linha que define o

    grfico mostrado.

    Outro tipo de grfico disponvel correspondente anlise de estruturas submetidas a

    processos de fadiga (Figura 4.5). Este grfico mostra o nmero de ciclos necessrio para a

    trinca atingir um determinado tamanho. Para essa anlise esto disponveis os quatro modelos

    de estimativa da vida til (captulo 2). Pode-se ainda visualizar como os fatores de intensidade

    de tenses variam com o tamanho da trinca (Figura 4.6 e 4.7).

    Figura 4.5 - Nmero de ciclos para atingir o tamanho da trinca especificado.

  • Sistema Grfico Interativo 39

    Figura 4.6 - Variao do fator de intensidade de tenses para o modo I ao longo da

    propagao.

    Figura 4.7 - Variao do fator de intensidade de tenses para o modo II ao longo da

    propagao.

  • 5EXEMPLOS

    Neste captulo sero apresentados alguns exemplos da simulao de propagao de

    trincas em modelos bidimensionais de elementos finitos. Os resultados obtidos so comparados

    com os resultados do programa desenvolvido pelo Grupo de Fratura de Cornell (FRANC2D) e

    com resultados experimentais tambm executados em Cornell [Ingraffea, 1991]. Para que as

    comparaes pudessem ser feitas, o sistema de unidades adotado nestes exemplos o sistema

    Americano.

    Alm da comparao com o programa FRANC2D, no so feitas neste trabalho

    comparaes entre os valores numricos calculados para fatores de intensidade de tenses e

    resultados analticos. Estas comparaes so feitas para o QUEBRA2D em [Arajo et al.

    1998] e para o FRANC2D em [Bittencourt et al. 1992].

    5.1 - Estratgia de Propagao

    Conforme mencionado anteriormente, na simulao de propagao de trincas a

    geometria muda a cada passo de propagao, logo necessria mudana da malha de

    elementos finitos e nova anlise da mesma. Desse modo, cada passo da simulao da

    propagao de trincas consiste de:

    Anlise de uma malha inicial de elementos finitos com as trincas iniciais definidas pelo

    usurio;

    Clculo dos fatores de intensidade de tenses;

    Determinao da direo e da nova posio da ponta da trinca;

    Atualizao da geometria do modelo;

  • Exemplos 42

    Gerao automtica da nova malha.

    No momento somente esto disponveis elementos triangulares quadrticos (T6) para o

    processo de propagao.

    5.2 - Exemplo 1

    A Figura 5.1, mostra o modelo do primeiro exemplo com seus atributos e informaes

    da geometria. A taxa de erro de discretizao mxima permitida no processo de gerao de

    malhas adaptativas foi de 5%.

    10

    1.0

    0.5

    0.5

    0.51.00.5

    E = 30000 Ksi

    n = 0.30

    t =1.0 in

    KIC = 70 Ksiin

    Figura 5.1 - Modelo com atributos e informaes geomtricas (unidades em polegadas).

    A trinca foi inserida na posio mostrada na Figura 5.2, com 0.05 in de tamanho inicial.

    O nmero de lados de elementos finitos ao longo da trinca para a malha inicial igual a dois, e

  • Exemplos 43

    em torno de sua extremidade foi utilizado uma roseta padro, uniforme, de elementos

    singulares quarter-points. A malha aps o processo adaptativo mostrada na Figura 5.3. A

    partir desse momento, o modelo est preparado para a propagao automtica da trinca

    utilizando os mtodos para o clculo de fator de intensidade de tenses e para a determinao

    do ngulo de propagao. A Figura 5.4 mostra a influncia dos mtodos para calcular a

    direo de propagao (captulo 3) na trajtoria da propagao da trinca. Os resultados

    obtidos nesta figura foram obtidos utilizando a tcnica da Integral do Domnio Equivalente

    (IDE - captulo 2) para o clculo dos fatores de intensidade de tenses. A Figura 5.5 mostra a

    influncia das tcnicas para calcular o fator de intensidade de tenses (captulo 2) na trajetria

    de propagao.

    Trinca inicial

    Figura 5.2 - Modelo com a trinca inicial.

  • Exemplos 44

    Figura 5.3 - Malha de elementos finitos refinada pelo processo adaptativo com a trinca inicial.

    -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10x(in)

    0.30

    0.40

    0.50

    0.60

    0.70

    y(in)

    Mxima Tenso Circunferencial

    Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial

    Mmina Densidade de Energia de Deformao

    Figura 5.4 - Influncia das teorias de interao na propagao da trinca usando a IDE.

  • Exemplos 45

    -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10x(in)

    0.30

    0.40

    0.50

    0.60

    0.70

    y(in)

    TCD

    FTM

    IDE

    Figura 5.5 - Influncia das tcnicas para o clculo da fator de intensidade de tenses napropagao da trinca usando a teoria sqmx.

    A Figuras 5.6 e 5.7 mostram respectivamente a histria do fator de intensidade de

    tenses para o modo I e para o modo II, para cada um dos mtodos utilizados na avaliao

    deste fator (captulo 2).

    0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50a(in)

    20.00

    40.00

    60.00

    80.00

    100.00

    KI(ksiin)

    TCD

    FTM

    IDE

    Figura 5.6 - Histria do fator de intensidade de tenses para o modo I para a teoria sqmx.

  • Exemplos 46

    0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50a(in)

    -8.00

    -6.00

    -4.00

    -2.00

    0.00

    KII(ksiin)

    TCD

    FTM

    IDE

    Figura 5.7 - Histria do fator de intensidade de tenses para o Modo II, para a teoria sqmx.

    Pode-se notar a partir das Figuras 5.4 e 5.5 que a trajetria de propagao da trinca

    pouco sensvel s tcnicas para determinar o fator de intensidade de tenses e que existe uma

    mnima diferena nas trajetrias obtidas pelas teorias de interao. A Tabela 5.1 mostra a

    diferena dos ngulos de propagao para as teorias de interao. Pode-se notar nas Figuras

    5.6 e 5.7 que para modo I a diferena entre os valores do fator de intensidade de tenses

    calculados pelos trs mtodos utilizados pequena quando comparada com os calculados para

    modo II. No entanto, como os valores de KII tambm so baixos em comparao com os de KI,

    essa maior discrepncia da histria de KII pode ser desconsiderada.

  • Exemplos 47

    Teorias de Interao (ngulos em graus)

    Passo sqmx Gqmx Sqmin1 29.94 29.01 29.95

    2 5.07 5.98 5.08

    3 2.24 7.40 3.24

    4 2.99 -0.01 3.11

    5 3.75 7.56 3.03

    6 4.88 3.66 4.48

    7 4.95 6.32 5.10

    total 53.83 59.92 53.99

    Tabela 5.1 - Valores dos ngulos para as trs teorias de interao.

    Nas Figura 5.8 e Figura 5.9 so feitas comparaes entre os resultados obtidos pelos

    programa FRANC2D e QUEBRA2D para o clculo dos fatores de intensidade de tenses,

    utilizando o critrio da sqmx e o mtodo da IDE. No primeiro grfico pode-se observar que as

    curvas so praticamente iguais e que no segundo tem-se uma ligeira diferena. A Figura 5.10

    mostra a vriao do ngulo de propagao ao longo dos passos para os dois programas

    citados acima e a Tabela 5.2 mostra que a diferena entre os valores desses ngulos muito

    pequena.

  • Exemplos 48

    0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50a(in)

    20.00

    40.00

    60.00

    80.00

    100.00

    KI(ksiin)

    FRANC2D

    QUEBRA2D

    Figura 5.8 - Comparao entre as histrias do fator de intensidade de tenses entre oFRANC2D e QUEBRA2D para o Modo I (IDE e sqmx).

    0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50a(in)

    -8.00

    -6.00

    -4.00

    -2.00

    0.00

    KII(ksiin)

    FRANC2D

    QUEBRA2D

    Figura 5.9 - Comparao entre as histrias do fator de intensidade de tenses entre oFRANC2D e QUEBRA2D para o Modo II (IDE e sqmx).

  • Exemplos 49

    0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

    a(in)

    0.00

    10.00

    20.00

    30.00

    40.00

    ngulo(graus)

    FRANC2D

    QUEBRA2D

    Figura 5.10 - Variao do ngulo para o FRANC2D e QUEBRA2D (IDE e sqmx).

    ngulo (graus)

    Passo QUEBRA2D FRANC2D1 29.94 31.402 5.07 4.373 2.24 2.454 2.99 3.585 3.75 3.236 4.88 4.047 4.95 6.43

    Tabela 5.2 - Valores do grfico da Figura 5.10.

    A Figura 5.11 mostra o modelo com a malha final aps o processo de propagao e a

    Figura 5.12 mostra um detalhe da regio afetada pela mesma.

  • Exemplos 50

    Figura 5.11 - Modelo aps a propagao.

    Figura 5.12 - Detalhe da regio afetada pela propagao.

  • Exemplos 51

    Para a comparao do clculo do nmero necessrio de ciclos para a trinca do modelo

    atingir um determinado tamanho, foi utilizado apenas a lei de Paris uma vez que o programa

    FRANC2D possui apenas este modelo para a anlise de fadiga. Os resultados obtidos so

    mostrados na Figura 5.13. Como exemplo foram utilizados os valores de C e m mostrados da

    Tabela 2.1.

    0 400 800 1200 1600

    a(in)

    0.00

    0.10

    0.20

    0.30

    0.40

    Nmero de Ciclos

    FRANC2D

    QUEBRA2D

    Figura 5.13 - Estimativa do nmero do ciclos para o FRANC2D e o QUEBRA2D.

    A discrepncia entres os grficos da Figura 5.13 se justifica pelo mtodo de clculo do

    nmero de ciclos. O FRANC2D utiliza como DK a mdia dos valores de KI em dois passos

    subseqentes e o QUEBRA2D calcula o valor de DK a partir da razo de K no ciclo. Foi

    observado tambm que, quando utilizando no QUEBRA2D o mesmo procedimento do

    FRANC2D, os resultados do nmero de ciclos so praticamente iguais, como mostra a Figura

    5.14. As Figuras 5.15, 5.16 e 5.17 mostram os nmeros de ciclos calculados pelo QUEBRA2D

    utilizando os modelos de Forman, Priddle e Walker, respectivamente, tambm utilizando os

    valores da Tabela 2.1.

  • Exemplos 52

    0 400 800 1200

    Nmero de Ciclos

    0.00

    0.10

    0.20

    0.30

    0.40

    a(in)

    QUEBRA2D

    FRANC2D

    Figura 5.14 - Comparao entre o nmero de ciclos obtidos pelo FRANC2D e QUEBRA2Dutilizando o mesmo processo de clculo.

    0 4000 8000 12000 16000 20000

    Nmero de Ciclos

    0.00

    0.10

    0.20

    0.30

    0.40

    a(in)

    Figura 5.15 - Nmero de ciclos para o modelo de Forman.

  • Exemplos 53

    0 4000 8000 12000 16000 20000

    Nmero de Ciclos

    0.00

    0.10

    0.20

    0.30

    0.40

    a(in)

    Figura 5.16 - Nmero de ciclos para o modelo de Priddle.

    0 400 800 1200 1600

    Nmero de Ciclos

    0.00

    0.10

    0.20

    0.30

    0.40

    a(in)

    Figura 5.17 - Nmero de ciclos para o modelo de Walker.

  • Exemplos 54

    5.2 - Exemplo 2

    Este segundo exemplo apresenta um modelo de uma viga que foi ensaiada nos

    laboratrios de Cornell [Ingraffea, 1991]. A Figura 5.18 mostra a viga com seus atributos e

    informaes geomtricas. A taxa de erro de discretizao mxima permitida foi de 16%. Foram

    consideradas duas hipteses para a posio inicial da trinca dadas na tabela 5.3. A Figura 5.19

    mostra os resultados obtidos experimentalmente.

    1

    1.01.0 18.0

    ab

    8.0

    0.5

    0.5

    0.5

    2.0

    2.0

    1.25 E = 300 Ksi

    n = 0.30

    t = 0.5 in

    Figura 5.18 - Exemplo 2 com atributos e informaes geomtricas (dimenses em polegadas).

    O nmero de subdivises da trinca igual a trs (trs lados de elementos finitos), e em

    torno de sua ponta foi utilizada uma roseta padro, uniforme, de elementos singulares quarter-

    points. A Figura 5.20 mostra o modelo com a malha inicial.

    a (in) b (in)

    Exemplo 2.1 5.0 1.5

    Exemplo 2.2 4.0 1.0

    Tabela 5.3 - Posio inicial da trinca.

  • Exemplos 55

    Exemplo 2.1 Exemplo 2.2

    Figura 5.19 - Trajetrias dos exemplos 2.1 e 2.2 observadas em laboratrio.

    Figura 5.20 - Modelo com a trinca inicial para o Exemplo 2.1.

    As Figuras 5.21 e 5.22 mostram a variao das trajetrias obtidas para os exemplos 2.1

    e 2.2, com tamanhos de incrementos diferentes (0.5, 0.8 e 1.0). Pode-se observar a

    convergncia para a trajetria observada experimentalmente quando se diminui o incremento

    de propagao da trinca.

  • Exemplos 56

    2.00 4.00 6.00 8.00x(in)

    0.00

    2.00

    4.00

    6.00

    y(in)

    incr = 0.5

    incr = 0.8

    incr = 1.0

    Figura 5.21 - Exemplo 2.1 - Trajetrias obtidas para com incrementos de 1.0, 0.8 e 0.5 in (IDEe sqmx).

    2.00 4.00 6.00 8.00x(in)

    0.00

    1.00

    2.00

    3.00

    4.00

    5.00

    y(in)

    incr = 0.5

    incr = 0.8

    incr = 1.0

    Figura 5.22 - Exemplo 2.2 - Trajetrias obtidas para com incrementos de 1.0, 0.8 e 0.5 in (IDEe sqmx).

  • Exemplos 57

    A Figuras 5.23 e 5.24 mostram as trajetrias de propagao para as trs teorias de

    interao no clculo da direo de propagao. Observando estas figuras, pode-se observar

    que, tanto para o exemplo 2.1 como para o exemplo 2.2, que as trajetrias previstas so

    bastante similares entre si.

    4.00 6.00 8.00x(in)

    0.00

    2.00

    4.00

    6.00

    y(in)

    Mxima Tenso Circunferencial

    Mxima Taxa de Liberao de Energia Potencial

    Mnima Densidade de Energia de Deformao

    Figura 5.23 - Exemplo 2.1 - Trajetrias obtidas para as trs teorias de propagao para IDEcom incremento de 0.5 in.

    2.00 4.00 6.00 8.00x(in)

    0.00

    1.00

    2.00

    3.00

    4.00

    5.00

    y(in)

    Figura 5.24 - Exemplo 2.2 - Trajetrias obtidas para as trs teorias de propagao para IDEcom incremento de 0.5 in.

  • Exemplos 58

    As Figuras 5.25, 5.26, 5.27 e 5.28 mostram as configuraes finais das malhas para os

    exemplos 2.1 e 2.2.

    Figura 5.25 - Exemplo 2.1- Modelo com a malha final obtida pelo QUEBRA2D.

    Figura 5.26 - Exemplo 2.1 - Detalhe da trajetria da trinca obtida pelo QUEBRA2D.

  • Exemplos 59

    Figura 5.27 - Exemplo 2.2- Modelo com a malha final obtida pelo QUEBRA2D.

    Figura 5.28 - Exemplo 2.2 - Detalhe da trajetria da trinca obtida pelo QUEBRA2D.

  • Exemplos 60

    Para efeito de exemplo, A anlise fadiga foi feita para o exemplo 2.1. Foram

    utilizados os valores mostrados na Tabela 2.1 considerando a razo R do ciclo igual a zero. As

    Figuras 5.29, 5.30 e 5.31 mostram o nmero de ciclos obtidos para os modelos

    implementados.

    0E+0 2E+5 4E+5 6E+5

    Nmero de Ciclos

    1.00

    2.00

    3.00

    4.00

    5.00

    a(in)

    Figura 5.29 - Exemplo 2.1 - Nmero de ciclos obtidos com com modelo Walker e Paris.

    0E+0 2E+5 4E+5 6E+5

    Nmero de Ciclos

    1.00

    2.00

    3.00

    4.00

    5.00

    a(in)

    Figura 5.30 - Exemplo 2.1 - Nmero de cilos obtidos com o modelo de Forman.

  • Exemplos 61

    0E+0 2E+5 4E+5 6E+5 8E+5

    Nmero de Ciclos

    1.00

    2.00

    3.00

    4.00

    5.00

    a(in)

    Figura 5.31 - Exemplo 2.1 - Nmero de ciclos obtidos com o modelo de Priddle.

    importante observar que tanto no exemplo 1 como no exemplo 2.1 a variao do

    nmero de ciclos para os modelos de propagao grande. Pode-se concluir que a escolha do

    modelo adequado para a previso do nmero de ciclos deve ser feita por um usurio

    especialista no assunto, isto , que entenda as particularidades de cada modelo.

  • 6CONCLUSES E SUGESTES

    Este trabalho descreve uma ferramenta computacional, baseada no mtodo dos

    elementos finitos, para a anlise de componentes estruturais e componentes de equipamentos

    sujeitos fadiga. As principais contribuies deste trabalho so as implementaes de vrios

    modelos empricos para obteno das curvas de vida til fadiga e de modelos para

    determinao da direo de propagao, possibilitando a propagao automtica da trinca. A

    simulao est baseada em um processo de gerao de malhas auto-adaptativas robusto,

    possibilitando resultados numricos confiveis. Esta ferramenta possui uma interface grfica

    interativa que bastante flexvel, permitindo ao usurio a visualizao do modelo e de seus

    resultados e respostas a todos os instantes.

    Com relao direo de propagao, foi observado que para relaes KII/KI no muito

    altas existe pouca diferena entre os ngulos computados por sqmx, Gqmx e Sqmin. Foi

    comprovado que, quando o processo de simulao permite que a trinca mude de direo, as

    relaes KII/KI so pequenas. Tambm foi observado que quanto menor for o incremento

    melhor ser o resultado da trajetria de propagao. Os trabalhos de Arajo et al. [1998] e

    Bittencourt et al. [1992] mostram que os mtodos IDE e FTM fornecem melhores resultados

    para o clculo de K. Neste trabalho isso tambm foi observado, indicando que esses mtodos

    devem preferencialmente ser usados no processo de propagao das trincas.

    Com relao aos modelos empricos de fadiga, observou-se que no existe um modelo

    sem limitaes, e, como foi dito anteriormente, a escolha deve ser feita por um usurio capaz

    de avaliar o uso de um ou de outro modelo.

  • Concluses e Sugestes 63

    6.1 - Sugestes para Trabalhos Futuros

    A anlise fadiga implementada leva em considerao apenas carregamentos cclicos

    com amplitude constante. Uma sugesto para trabalho futuro a considerao de

    carregamentos com amplitude varivel, onde seria possvel analisar aeronaves sobre a

    influncia de ventos e navios e plataformas sobre a influncia de ondas. Um outra sugesto

    seria fazer comparaes os resultados obtidos para os modelos implementados com resultados

    obtidos experimentalmente.

    A estratgia de propagao est baseada na existncia de uma malha inicial juntamente

    com um arquivo de descrio de regies, com suas curvas e seus atributos, que so gerados

    apartir de um pr-processador existente [TeCGraf5, 1997]. Uma sugesto seria a incluso de

    recurso de modelagem geomtrica no QUEBRA2D.

    Nos exemplos mostrados no neste trabalho foram considerados apenas modelos com

    um material. Uma sugesto seria o estudo da propagao de trincas em modelos com mais de

    um material.

    Outra sugesto seria expandir a estratgia de propagao para problemas

    tridimensionais, sendo necessria a gerao e a adaptatividade de malhas em trs dimenses.

  • REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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