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Notas de Aula: Técnica de Elementos Finitos As notas de aula aqui apresentadas foram elaboradas a partir das referências bibliográficas listadas abaixo: 1. KIM, N., SANKAR, B. V. Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos, Editora LTC (Online no site: Minha Biblioteca). 2. SORIANO, H. Elementos Finitos – Formulação e Aplicação na Estática e Dinâmica das Estruturas, Editora Ciência Moderna. 3. ALVES, M., DRIEMEIER, L. Notas de aula: Introdução ao MEF aplicado a sistemas mecânicos (Site: www.GMSIE.USP.BR). 1 Modelo Matemático Sistemas físicos (por exemplo: estruturas e máquinas) têm comportamento muito complicado para uma perfeita compreensão. E a execução de experimentos físicos para o entendimento aproximado desses comportamentos é muito dispendiosa ou impossível. Dessa forma, são desenvolvidos estudos analíticos com a finalidade de entendimento do sistema físico e que resultam em equações matemáticas que regem o comportamento desse sistema. A solução dessas equações expressa uma forma aproximada adequada do comportamento do sistema. Engenheiros e cientistas ao longo dos anos tiveram enorme progresso no entendimento do comportamento físico dos materiais e das estruturas, e desenvolveram modelos matemáticos, ainda que aproximados, para descrever comportamento físico desses sistemas. Para exemplificar um modelo matemático, considere-se um sólido com uma dimensão preponderante em relação às demais, apoiado nas extremidades e sob a ação do seu peso próprio, como ilustrado na Figura 1. Figura 1 – Sólido sobre dois apoios (Ref. 2)

Tecnica de Elementos Finitos

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Page 1: Tecnica de Elementos Finitos

Notas de Aula: Técnica de Elementos Finitos

As notas de aula aqui apresentadas foram elaboradas a partir das referências bibliográficas listadas abaixo:

1. KIM, N., SANKAR, B. V. Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos, Editora LTC (Online no site: Minha Biblioteca).

2. SORIANO, H. Elementos Finitos – Formulação e Aplicação na Estát ica e Dinâmica das Estruturas , Editora Ciência Moderna.

3. ALVES, M., DRIEMEIER, L. Notas de aula: Introdução ao MEF aplicado a sistemas mecânicos (Site: www.GMSIE.USP.BR).

1 Modelo Matemático

Sistemas físicos (por exemplo: estruturas e máquinas) têm comportamento muito complicado para uma perfeita compreensão. E a execução de experimentos físicos para o entendimento aproximado desses comportamentos é muito dispendiosa ou impossível.

Dessa forma, são desenvolvidos estudos analíticos com a finalidade de entendimento do sistema físico e que resultam em equações matemáticas que regem o comportamento desse sistema. A solução dessas equações expressa uma forma aproximada adequada do comportamento do sistema.

Engenheiros e cientistas ao longo dos anos tiveram enorme progresso no entendimento do comportamento físico dos materiais e das estruturas, e desenvolveram modelos matemáticos, ainda que aproximados, para descrever comportamento físico desses sistemas.

Para exemplificar um modelo matemático, considere-se um sólido com uma dimensão preponderante em relação às demais, apoiado nas extremidades e sob a ação do seu peso próprio, como ilustrado na Figura 1.

Figura 1 – Sólido sobre dois apoios (Ref. 2)

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Também considerando as hipóteses de:

1. Pequenos deslocamentos e rotações; 2. Seção transversal plana; 3. E apoios indeslocáveis.

Idealiza-se esse sólido em uma viga bi-apoiada de seção transversal constante, onde p denota a intensidade da força distribuída por unidade de comprimento e em que u é o deslocamento no plano de flexão, como ilustrado na Figura 2.

Figura 2 – Viga bi-apoiada sob ação de uma carga distribuída (Ref. 2)

Recai-se em modelo unidimensional regido pela equação diferencial de equilíbrio (Ref.2 – Anexo I, Equação I.11).

���,���� � ��

E com as condições de contorno:

Condições geométricas de contorno: u = 0, em x=0 e em x=L.

Condições mecânicas de contorno: Momentos fletores nulos (M = 0) em x=0 e em x=L.

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2 Métodos dos Elementos Finitos

Na maioria das vezes, os modelos matemáticos resultam em equações algébricas, diferenciais ou integrais ou em suas combinações. Raramente essas equações podem ser resolvidas de uma forma fechada. Assim, também são usados métodos aproximados analíticos clássicos ou métodos numéricos para que possam ser obtidas soluções para um modelo matemático, como esquematizado na Figura 3.

Figura 3 – Esquema de análise de um sistema físico (Ref. 2)

Quando são usados métodos aproximados analíticos clássicos ou métodos numéricos na analise de um modelo matemático, é obtida uma solução aproximada, como ilustrado na Figura 4.

Figura 4 – Solução real x Solução aproximada (Ref. 3)

Contudo, os métodos aproximados analíticos clássicos (por exemplo: Variacionais e de resíduos ponderados) têm uma aplicação de uso limitada e em geral, são empregados métodos numéricos para achar solução de modelos matemáticos.

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O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um dos métodos numéricos

empregados para resolver equações diferenciais.

O princípio básico do MEF é:

1. Dividir ou discretizar o sistema em vários elementos menores, denominados elementos finitos; identificar os graus de liberdade (GLs) que descrevem o seu comportamento; e depois escrever as equações que descrevem o comportamento de cada elemento e sua interação com os elementos vizinhos.

2. As equações no nível do elemento são reunidas e organizadas a fim de que sejam obtidas as equações globais, um sistema linear de equações, que ao serem resolvidas fornecem os graus de liberdade (GLs) desconhecidos.

A Figura 5 ilustra uma discretização de elementos finitos para um problema de uma chapa fina com um furo engastada em uma extremidade e sob a ação de uma força distribuída na outra extremidade. Observe que nessa figura é mostrada uma discretização para o domínio da chapa e para as condições de contorno geométrica e mecânica, um elemento finito plano, pontos nodais e os graus de liberdades do problema.

Figura 5 – Discretização, elementos finitos, Graus de liberdade por nó (Adaptado da Ref. 2).

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Uma das características do método dos elementos finitos na solução de um modelo matemático é que quando adotada uma sequência de refinamento de malhas para análise do modelo, as soluções numéricas obtidas se aproximam da solução exata do respectivo modelo, como ilustrado na Figura 6.

Figura 6 – Resultados de discretizações de elementos finitos (Ref. 2)

2.1 Ilustração do Método dos Elementos Finitos

Para a estrutura de uma viga em balanço ilustrada na Figura 7, a sua deformada (solução no equilíbrio) quando da ação da carga P é um polinômio de 3º grau.

Figura 7 – Estrutura continua e sua deformada.

Adotando-se uma discretização para a estrutura da viga por quatro elementos finitos, como mostrada na Figura 8.

Figura 8 – Discretização em 4 elementos finitos.

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Os deslocamentos nodais ui (u1 a u5) são os graus de liberdade do modelo discreto.

Para cada elemento finito do modelo discreto, escolhe-se uma função aproximada (função de interpolação ou de forma) e de maneira a ter continuidade nas interfaces dos elementos, e definida por:

Figura 9 – Função de interpolação ou de forma (Ref. 3).

As funções aproximadas (ou de interpolação ou de forma) em geral têm as seguintes características como ilustrado na Figura 10.

Figura 10 – Funções de interpolação para um elemento finito unidimensional. (Adaptado da Ref. 3)

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Para cada elemento é obtida uma equação de equilíbrio do elemento (relação entre as forças no elemento e os deslocamentos), ou seja:

Ou

Onde [k](e) é a matriz de rigidez do elemento, {q(e)} é o vetor dos graus de

liberdade associados com o Elemento (e), e {f(e)} é o vetor das forças no elemento.

A matriz de rigidez da estrutura (Matriz Global) é obtida pela superposição das matrizes dos elementos, como ilustrado na Figura 11.

Figura 11 – Montagem da matriz de rigidez da estrutura (Matriz Global).

Isso resultará em um número ND de equações lineares (sistema de equações lineares) para o número ND de GLs:

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Pode-se expressar as equações anteriores em termos de uma forma matricial

Ou

Ou, em notação abreviada,

[KS]{QS} = {FS}

Onde [KS] é a matriz de rigidez estrutural, {QS} é o vetor de deslocamentos de

todos os nós, e {FS} é o vetor das forças externas, incluindo as reações

desconhecidas.

Aplicando as condições de contorno geométricas para o sistema matricial acima, os deslocamentos desconhecidos (graus de liberdades) são determinados resolvendo:

A partir do campo de solução aproximado de deslocamentos encontrado são obtidas soluções aproximadas para as demais variáveis dependentes no elemento (deformações e tensões, por exemplo) e as reações do modelo de elementos finitos.

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Na Figura 12 é ilustrada uma discretização da viga e uma aproximação numérica.

Figura 12 – Solução aproximada de elementos finitos