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Tecnica de Elementos Finitos

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  • Notas de Aula: Tcnica de Elementos Finitos

    As notas de aula aqui apresentadas foram elaboradas a partir das referncias bibliogrficas listadas abaixo:

    1. KIM, N., SANKAR, B. V. Introduo Anlise e ao Projeto em Elementos Finitos, Editora LTC (Online no site: Minha Biblioteca). 2. SORIANO, H. Elementos Finitos Formulao e Aplicao na Esttica e Dinmica das Estruturas, Editora Cincia Moderna.

    3. ALVES, M., DRIEMEIER, L. Notas de aula: Introduo ao MEF aplicado a sistemas mecnicos (Site: www.GMSIE.USP.BR).

    1 Modelo Matemtico Sistemas fsicos (por exemplo: estruturas e mquinas) tm comportamento muito complicado para uma perfeita compreenso. E a execuo de experimentos fsicos para o entendimento aproximado desses comportamentos muito dispendiosa ou impossvel.

    Dessa forma, so desenvolvidos estudos analticos com a finalidade de entendimento do sistema fsico e que resultam em equaes matemticas que regem o comportamento desse sistema. A soluo dessas equaes expressa uma forma aproximada adequada do comportamento do sistema.

    Engenheiros e cientistas ao longo dos anos tiveram enorme progresso no entendimento do comportamento fsico dos materiais e das estruturas, e desenvolveram modelos matemticos, ainda que aproximados, para descrever comportamento fsico desses sistemas.

    Para exemplificar um modelo matemtico, considere-se um slido com uma dimenso preponderante em relao s demais, apoiado nas extremidades e sob a ao do seu peso prprio, como ilustrado na Figura 1.

    Figura 1 Slido sobre dois apoios (Ref. 2)

  • Tambm considerando as hipteses de:

    1. Pequenos deslocamentos e rotaes; 2. Seo transversal plana; 3. E apoios indeslocveis.

    Idealiza-se esse slido em uma viga bi-apoiada de seo transversal constante, onde p denota a intensidade da fora distribuda por unidade de comprimento e em que u o deslocamento no plano de flexo, como ilustrado na Figura 2.

    Figura 2 Viga bi-apoiada sob ao de uma carga distribuda (Ref. 2)

    Recai-se em modelo unidimensional regido pela equao diferencial de equilbrio (Ref.2 Anexo I, Equao I.11).

    ,

    E com as condies de contorno:

    Condies geomtricas de contorno: u = 0, em x=0 e em x=L.

    Condies mecnicas de contorno: Momentos fletores nulos (M = 0) em x=0 e em x=L.

  • 2 Mtodos dos Elementos Finitos Na maioria das vezes, os modelos matemticos resultam em equaes algbricas, diferenciais ou integrais ou em suas combinaes. Raramente essas equaes podem ser resolvidas de uma forma fechada. Assim, tambm so usados mtodos aproximados analticos clssicos ou mtodos numricos para que possam ser obtidas solues para um modelo matemtico, como esquematizado na Figura 3.

    Figura 3 Esquema de anlise de um sistema fsico (Ref. 2)

    Quando so usados mtodos aproximados analticos clssicos ou mtodos numricos na analise de um modelo matemtico, obtida uma soluo aproximada, como ilustrado na Figura 4.

    Figura 4 Soluo real x Soluo aproximada (Ref. 3) Contudo, os mtodos aproximados analticos clssicos (por exemplo: Variacionais e de resduos ponderados) tm uma aplicao de uso limitada e em geral, so empregados mtodos numricos para achar soluo de modelos matemticos.

  • O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um dos mtodos numricos empregados para resolver equaes diferenciais.

    O princpio bsico do MEF :

    1. Dividir ou discretizar o sistema em vrios elementos menores, denominados elementos finitos; identificar os graus de liberdade (GLs) que descrevem o seu comportamento; e depois escrever as equaes que descrevem o comportamento de cada elemento e sua interao com os elementos vizinhos.

    2. As equaes no nvel do elemento so reunidas e organizadas a fim de que sejam obtidas as equaes globais, um sistema linear de equaes, que ao serem resolvidas fornecem os graus de liberdade (GLs) desconhecidos.

    A Figura 5 ilustra uma discretizao de elementos finitos para um problema de uma chapa fina com um furo engastada em uma extremidade e sob a ao de uma fora distribuda na outra extremidade. Observe que nessa figura mostrada uma discretizao para o domnio da chapa e para as condies de contorno geomtrica e mecnica, um elemento finito plano, pontos nodais e os graus de liberdades do problema.

    Figura 5 Discretizao, elementos finitos, Graus de liberdade por n (Adaptado da Ref. 2).

  • Uma das caractersticas do mtodo dos elementos finitos na soluo de um modelo matemtico que quando adotada uma sequncia de refinamento de malhas para anlise do modelo, as solues numricas obtidas se aproximam da soluo exata do respectivo modelo, como ilustrado na Figura 6.

    Figura 6 Resultados de discretizaes de elementos finitos (Ref. 2)

    2.1 Ilustrao do Mtodo dos Elementos Finitos

    Para a estrutura de uma viga em balano ilustrada na Figura 7, a sua deformada (soluo no equilbrio) quando da ao da carga P um polinmio de 3 grau.

    Figura 7 Estrutura continua e sua deformada.

    Adotando-se uma discretizao para a estrutura da viga por quatro elementos finitos, como mostrada na Figura 8.

    Figura 8 Discretizao em 4 elementos finitos.

  • Os deslocamentos nodais ui (u1 a u5) so os graus de liberdade do modelo discreto.

    Para cada elemento finito do modelo discreto, escolhe-se uma funo aproximada (funo de interpolao ou de forma) e de maneira a ter continuidade nas interfaces dos elementos, e definida por:

    Figura 9 Funo de interpolao ou de forma (Ref. 3).

    As funes aproximadas (ou de interpolao ou de forma) em geral tm as seguintes caractersticas como ilustrado na Figura 10.

    Figura 10 Funes de interpolao para um elemento finito unidimensional. (Adaptado da Ref. 3)

  • Para cada elemento obtida uma equao de equilbrio do elemento (relao entre as foras no elemento e os deslocamentos), ou seja:

    Ou

    Onde [k](e) a matriz de rigidez do elemento, {q(e)} o vetor dos graus de liberdade associados com o Elemento (e), e {f(e)} o vetor das foras no elemento.

    A matriz de rigidez da estrutura (Matriz Global) obtida pela superposio das matrizes dos elementos, como ilustrado na Figura 11.

    Figura 11 Montagem da matriz de rigidez da estrutura (Matriz Global).

    Isso resultar em um nmero ND de equaes lineares (sistema de equaes lineares) para o nmero ND de GLs:

  • Pode-se expressar as equaes anteriores em termos de uma forma matricial

    Ou

    Ou, em notao abreviada,

    [KS]{QS} = {FS} Onde [KS] a matriz de rigidez estrutural, {QS} o vetor de deslocamentos de todos os ns, e {FS} o vetor das foras externas, incluindo as reaes desconhecidas.

    Aplicando as condies de contorno geomtricas para o sistema matricial acima, os deslocamentos desconhecidos (graus de liberdades) so determinados resolvendo:

    A partir do campo de soluo aproximado de deslocamentos encontrado so obtidas solues aproximadas para as demais variveis dependentes no elemento (deformaes e tenses, por exemplo) e as reaes do modelo de elementos finitos.

  • Na Figura 12 ilustrada uma discretizao da viga e uma aproximao numrica.

    Figura 12 Soluo aproximada de elementos finitos