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  • 3. Aproximações com Elementos Finitos

    Neste capítulo apresenta aproximações por elementos finitos, que consiste

    basicamente, em substituir um sistema contínuo por um sistema discreto de elementos

    equivalente. São apresentados exemplos de aproximações nodais, construção de funções

    de interpolação baseadas em elementos, transformações geométricas, de derivadas e de

    integrais.

    3.1 Generalidades

    3.1.1 Aproximação Nodal

    Define-se o erro de uma função )(xu aproximante de )(xuex como

    )()()( xuxuxe ex−= (3.1)

    Desta forma pode-se propor

    ∑ =

    =≅ N

    i iiex xPaxuxu

    1

    )()()( (3.2)

    Alguns exemplos serão apresentados a seguir.

    Exemplo 3.1: Aproximação da temperatura ao longo de uma barra, conhecidas as

    temperaturas em alguns pontos.

    x )(xTex

    0 20 oC

    0,5 25 oC

    1,0 22 oC

    Pode-se, no caso, propor uma interpolação de três coeficientes, na forma:

    2

    321)()( xaxaaxTxTex ++=≅ (3.3)

  • 36

    Substituindo os valores conhecidos das temperaturas na Eq. (3.3) obtém-se: Ca o201 = ;

    182 =a e 163 −=a , resultando a solução aproximante:

    2161820)( xxxT −+= (3.4)

    Exemplo 3.2: Solução de uma equação diferencial da forma.

    10)( )(

    2

    2

  • 37

    Tomando 2=N , obtém-se a expansão

    )2()()( 21 xsenaxsenaxu ππ += (3.8)

    Substituindo a função (3.5c) e (3.7b) na equação (3.5a) obtém-se

    21 1

    24 5

    π −=a ; 22

    1 32 3

    π −=a

    Em geral pode-se, como já foi visto, definir

    )()()()( 2211 xPaxPaxPaxu nn+++= L

    ou

    { }aP

    a

    a a

    xPxPxPxu

    n

    n >=<

      

      

      

      

    >=< ML 2

    1

    21 )()()()( (3.9)

    na qual )(),(),( 21 xPxPxP nL satisfazem as condições do capítulo 2. sia ′ são parâmetros gerais da aproximação. No contexto do método de elementos finitos sia ′ são

    os valores nodais da função ou variável que se quer conhecer

    nnexn

    ex

    ex

    uxuxu

    uxuxu

    uxuxu

    ==

    == ==

    )()(

    )()(

    )()(

    222

    111

    MMM (3.10)

    Assim,

    nn uxNuxNuxNxu )()()()( 2211 +++= L

    ou

  • 38

    { }n

    n

    n uN

    u

    u u

    xNxNxNxu >=<

      

      

      

      

    >=< ML 2

    1

    21 )()()()( (3.11)

    Na qual , agora, )(xN i são denominadas funções de interpolação e iu são valores

    nodais (em pontos do elemento, nós ou nodos) da variável u . As funções de

    interpolação devem satisfazer as seguinte propriedade:

      

    ≠ =

    = ji ji

    xN ij se 0 se 1

    )( (3.12)

    O erro definido pela equação (3.1) no ponto ix será, então,

    0)( =ixe (3.13)

    Exemplo 3.3: Aproximação de uma função conhecida em n pontos.

    ∑ =

    = N

    i ii uxNxu

    1

    )()(

    Para satisfazer a propriedade (3.12) as funções de interpolação podem ser da forma de

    polinômios de Lagrange

    ( ) ∏

    ≠ = −

    − =

    n

    ij j ji

    j i xx

    xx xN

    1

    )(

    No caso de 4=n , por exemplo, resultará

    ( )( )( ) ( )( )( )413121

    432 1 )(;1 xxxxxx

    xxxxxx xNi

    −−− −−−

    ==

  • 39

    ( )( )( ) ( )( )( )423212

    431 2 )(;2 xxxxxx

    xxxxxx xNi

    −−− −−−

    ==

    ( )( )( ) ( )( )( )432313

    421 3 )(;3 xxxxxx

    xxxxxx xNi

    −−− −−−

    ==

    ( )( )( ) ( )( )( )342414

    321 4 )(;4 xxxxxx

    xxxxxx xNi

    −−− −−−

    ==

    Se u é uma função de várias variáveis, por exemplo, se

    { }n

    n

    n uxN

    u

    u u

    xNxNxNxuzyxu >=<

      

      

      

      

    >==<

    3.1.2 Aproximação por Elementos Finitos

    A construção de uma função aproximante )(xu r

    é difícil quando o número nós e

    de parâmetros iu aumenta. O problema se complica ainda mais quando o domínio V é

    de forma complexa e se a função de aproximação )(xu r

    deve satisfazer as condições de

    contorno sobre sua fronteira.

    O método de aproximação nodal por subdomínio simplifica a construção de

    )(xu r

    e é muito fácil de ser implementado em computador. Esse método consiste em:

  • 40

    • identificar uma subdivisão (montagem) em subdomínios eV do domínio V ;

    • -definir uma função aproximante )(xu e r

    diferente sobre cada subdomínio pelo

    método de aproximação nodal. Cada função )(xu e r

    pode depender de variáveis

    nodais de outros subdomínios vizinhos como no caso de aproximação por

    splines.

    O método de aproximação por elementos finitos é um método particular de

    aproximação por subdomínios que apresenta as seguintes particularidades:

    • a aproximação sobre um subdomínio eV depende apenas dos valores nodais

    daquele subdomínio ou elemento;

    • a aproximação )(xu e r

    é requerida garantir um certo mínimo grau de

    continuidade sobre cada elemento e seus contornos inter-elementos.

    Definições

    - Os pontos do subdomínio onde a função é avaliada são chamados nós de interpolação

    ou simplesmente nós.

    - As coordenadas geométricas de tais pontos são chamadas coordenadas nodais.

    - Os valores da função )()( iexi e

    i xuxuu rr

    == nos nós são chamados variáveis nodais.

    Aproximações por elemento finito podem ser caracterizadas pelos seguintes

    passos distintos:

    - a geometria de todos os elementos deve ser definida analiticamente;

    - funções de interpolação apropriadas )(xN i r

    devem ser construídas para cada elemento.

    Veja Dhatt, G., Touzot, G. (1984) The Finite Element Method Displayed, John

    Wiley & Sons, Chichester, 509 p.

    3.2 Definição Geométrica dos Elementos

    3.2.1 Nós Geométricos

    Um conjunto de pontos é selecionado no domínio V para definir a geometria

    dos elementos. Estes pontos chamados nós geométricos podem algumas vezes coincidir

    com os nós de interpolação. O domínio V é então subdividido em um conjunto de

  • 41

    elementos eV de forma simples. Cada elemento é analiticamente e unicamente definido

    em termos dos nós geométricos pertencentes àquele elemento e seus contornos.

    3.2.2 Regras de Partição de um Domínio em Elementos

    A subdivisão de um domínio V em domínio de elemento finito eV deverá

    satisfazer os seguintes dois requerimentos:

    (a) dois elementos distintos podem ter pontos comuns apenas sobre seus contornos se

    tais contornos existem; nenhuma interseção ou superposição é permitida. Contornos

    comuns podem ser pontos, linhas ou superfícies.

    (b) os elementos montados não podem deixar nenhum buraco dentro do domínio e

    aproximar a geometria do domínio real tão próxima quanto possível.

    3.2.3 Forma de alguns Elementos Clássicos

    Veja Dhatt, G., Touzot, G. (1984) The Finite Element Method Displayed, John

    Wiley & Sons, Chichester, 509 p.

    3.2.4 Elemento de Referência

    O elemento de referência ou elemento mestre é utilizado para simplificar as

    expressões analíticas de elementos de forma complexa. Tal elemento rV é definido em

    um espaço abstrato adimensional com uma forma geométrica simples. A geometria do

    elemento referência é então mapeada na geometria do elemento real usando

    transformações geométricas, como ilustrado na Figura 3.1.

    Figura 3.1 Elemento referência mapeado no elemento real.

  • 42

    A transformação geométrica do elemento referência para um elemento real é do

    tipo:

    ( )ξξτ rrrr eee xx =→: (3.15)

    Assim para cada elemento tem-se, como ilustrado na Figura 3.2,

    ( )kjieee xxxxx ,,,: ξξτ rrrr

    =→ (3.16)

    Em geral, as coordenadas no elemento referência podem ser colocadas na forma:

    ( )[ ]{ }nee xNx ξξτ rrr

    =→: (3.17)

    Figura 3.2 Mapeamento de elementos reais diferentes num mesmo elemento mestre.

    Exemplo: Triângulo com 3 nós

    Num triângulo de 3 nós como ilustrado na Figura 3.1, as coordenadas dentro do

    elemento serão

    ( ) ( ) ( ) ( )  

     

     

     

    >=

  • 43

    ( ) ( ) ( ) ( )  

     

     

     

    >=