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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO Paulo S. T. Miranda [email protected] Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Ceará Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil, Fortaleza - CE – Brasil Resumo. Trabalho apresentado à disciplina Método dos Elementos Finitos como requisito para obtenção de nota parcial. São apresentados definições e conceitos clássicos do dimensionamento do concreto armado. São abordados ainda, através de referências e citações, alguns modelos constitutivos e tipos de modelagens em elementos finitos de concreto, aço e do sistema de aderência entre os dois materiais. O objetivo deste trabalho é apresentar para o iniciante em modelagem de estruturas de concreto pelo Método dos Elementos Finitos uma revisão bibliográfica sobre o assunto e gerar confiança para a utilização do método através de uma aplicação e verificação bastante simples. Para tanto é feito uso do software de análise numérica Mtool. Esta aplicação consiste na verificação das tensões na região de furos que atravessam vigas de concreto na direção de sua largura. São adotados como parâmetro para a dispensa de verificação das tensões em torno dos furos as recomendações da NBR 6168 – Projeto de estruturas de concreto da ABNT. Os resultados confirmam as recomendações de Norma para a dispensa de verificação de furos (reforço). Palavras-chave: Concreto armado, Elementos Finitos, Furos em vigas

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  • MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO: REVISO BIBLIOGRFICA E EXEMPLO DE APLICAO DO MTODO

    Paulo S. T. Miranda [email protected] Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Cear Departamento de Engenharia Estrutural e Construo Civil, Fortaleza - CE Brasil Resumo. Trabalho apresentado disciplina Mtodo dos Elementos Finitos como requisito para obteno de nota parcial. So apresentados definies e conceitos clssicos do dimensionamento do concreto armado. So abordados ainda, atravs de referncias e citaes, alguns modelos constitutivos e tipos de modelagens em elementos finitos de concreto, ao e do sistema de aderncia entre os dois materiais. O objetivo deste trabalho apresentar para o iniciante em modelagem de estruturas de concreto pelo Mtodo dos Elementos Finitos uma reviso bibliogrfica sobre o assunto e gerar confiana para a utilizao do mtodo atravs de uma aplicao e verificao bastante simples. Para tanto feito uso do software de anlise numrica Mtool. Esta aplicao consiste na verificao das tenses na regio de furos que atravessam vigas de concreto na direo de sua largura. So adotados como parmetro para a dispensa de verificao das tenses em torno dos furos as recomendaes da NBR 6168 Projeto de estruturas de concreto da ABNT. Os resultados confirmam as recomendaes de Norma para a dispensa de verificao de furos (reforo). Palavras-chave: Concreto armado, Elementos Finitos, Furos em vigas

  • 1. INTRODUO Em determinadas situaes de carregamento, como no caso de vigas submetidas flexo, surgem tenses de trao para as quais o concreto simples no o material mais apropriado para combat-las. Segundo Leonhardt (1977) a resistncia trao do concreto depende de muitos fatores, especialmente da aderncia dos gros dos agregados com a argamassa de cimento. Esta resistncia pode ainda ser influenciada por tenses resultantes de dilataes volumtricas por variao de temperatura e retrao. A resistncia do concreto a esforos de trao bastante inferior sua capacidade resistente compresso. A NBR 6118 Projetos de estruturas de concreto em seu item 8.2.5 adota, na ausncia de ensaios para obteno dos valores das resistncias trao direta e na flexo, o seguinte valor para a resistncia mdia caracterstica do concreto trao:

    3/2, 21,0 fckf mct (MPa) (1)

    Devido a essa deficincia do concreto simples, so inseridas ento, armaduras no

    concreto para resistir aos esforos de trao. Segundo Leonhardt (1977) o aumento das tenses de trao na zona tracionada leva o concreto a atingir sua resistncia trao na flexo ao mesmo tempo em que faz surgir tenses de aderncia entre o ao e o concreto. Sendo assim, o correto funcionamento do concreto armado depende da firme ligao por aderncia (bond) entre o concreto e as barras da armadura. a aderncia entre os materiais que garante o mesmo alongamento das barras da armadura e o alongamento das fibras vizinhas de concreto. Como o alongamento trao do concreto pequeno, o concreto fissura na presena de maiores solicitaes de trao, e as barras da armadura devem, ento absorver as foras de trao. Segundo Fusco (1995) essa aderncia composta por diversas parcelas: Aderncia por adeso. Essa parcela ocorre devido s ligaes fsico-qumicas que se estabelecem na interface do ao e do concreto durante as reaes de pega do cimento. Esse efeito, isoladamente, no suficiente para uma boa ligao, pois destrudo no caso de pequenos deslocamentos. Aderncia por atrito. As foras de atrito dependem do coeficiente de atrito entre o ao e o concreto que funo da rugosidade superficial da barra. Aderncia mecnica. Esta parcela decorrente da presena de salincias na superfcie da barra que funcionam como peas de apoio, gerando tenses de compresso no concreto. 1.1 Comportamento mecnico do concreto armado Segundo Rocha (1986) ao ensaiar uma pea de concreto armado flexo, sob a ao de carga gradativamente crescente, observa-se que as tenses passam por 3 fases distintas durante o aumento da carga, sendo estas fases denominadas estdios. Estdio I. Corresponde ao estgio inicial de aplicao do carregamento. Observam-se pequenas solicitaes e a zona tracionada do concreto se mantm intacta. A resistncia do concreto trao considerada no clculo e so aplicadas as leis gerais da Resistncia, sendo as tenses calculadas pela Resistncia dos Materiais como mostra a Eq. (2):

  • cI

    M (2)

    Onde M o momento fletor, I o momento de inrcia da seo em relao linha neutra e c a distncia linha neutra do ponto onde se quer calcular a tenso. O diagrama de tenses linear. Com o aumento do carregamento, sem ruptura propriamente dita do concreto e antes de atingir o estdio II, na zona tracionada o concreto sai da fase elstica e entra na fase plstica, onde o material no obedece mais a Lei de Hooke. Esta fase conhecida como Estdio Ia. Estdio II. Fase em que a resistncia trao no concreto j foi ultrapassada e a resistncia compresso ainda se encontra no regime elstico obedecendo Lei de Hooke. Estdio III. Neste Estdio, o concreto comprimido est na fase plstica, no obedecendo mais Lei de Hooke. 2. MODELOS CONSTITUTIVOS

    Segundo Paliga et al (2007) para um bom desempenho da anlise numrica atravs dos Elementos Finitos de estruturas de concreto armado necessria uma representao consistente do comportamento mecnico do concreto, do ao e do sistema de aderncia entre os materiais. Essa representao estabelecida atravs das relaes constitutivas (leis tenso-deformao) dos materiais que devem modelar os seus comportamentos fsicos reais.

    O Mtodo dos Elementos Finitos permite analisar de forma mais racional os fenmenos gerados pelos diferentes comportamentos mecnicos do concreto armado quando submetido a crescentes nveis de carregamento. 2.1 Modelos constitutivos que retratam o comportamento do concreto composto por

    critrio de plastificao Segundo Gamino (2007) os modelos mais utilizados para retratar o comportamento do concreto so: os modelos elsticos no lineares, os modelos incrementais, os modelos elastoplsticos, os modelos de ruptura e os modelos de dano. So abordados neste trabalho os modelos elsticos no lineares, os modelos elastoplsticos e os modelos de ruptura.

    Modelos elsticos no lineares. Ainda segundo Gamino (2007) existem trs leis de

    aproximao aos modelos elsticos no lineares: as leis hiperelsticas, as leis hipoelsticas e as leis elsticas com runa. Dentro do campo das leis hiperelsticas pode-se citar o modelo isotrpico de Ottosen.

    Modelos elastoplsticos. So modelos combinados que procuram retratar o

    comportamento de um dado material quando solicitado, definindo dois trechos distintos na curva tenso-deformao, um elstico e outro plstico ocorrendo, portanto, deformaes elsticas e inelsticas (residuais). Vrias teorias foram concebidas por diversos pesquisadores tais como Tresca, Von Mises, Mohr-Coulomb, Drucker-Prager, entre outros, que desenvolveram analiticamente superfcies de plastificao que procuram delimitar atravs de uma fronteira os regimes elstico e plstico.

    Modelos de ruptura. Procura-se retratar a evoluo da fissurao em um corpo slido,

    estabelecendo superfcies de ruptura segundo a teoria clssica da mecnica da fratura.

  • Merecem destaque neste campo as superfcies de runa de Rankine, Mohr-Coulomb, Chen-Chen, Willam-Warnke, entre outros.

    2.2 Modelos constitutivos que retratam o comportamento do concreto composto por

    regra de fissurao

    Segundo Machado at al (2007) a fissura formada no plano ortogonal tenso principal mxima 1. Aps isso, considera-se o concreto ortotrpico, sendo desprezado o efeito de Poisson. A direo da fissura admitida permanecer fixa. Em estado plano de tenso, permite-se apenas uma nica fissura, para cada ponto no interior do elemento de concreto. Para um ponto j fissurado, verifica-se a formao de uma segunda fissura, que, por simplicidade, seria ortogonal primeira fissura. Se ocorrerem duas fissuras, supe-se que o concreto no colabora mais na resistncia da estrutura, tendo suas tenses anuladas no ponto em questo. Calcula-se a direo da fissura, resolvendo-se um problema de autovetores. Calculam-se tambm os co-senos diretores dos ngulos formados entre o autovalor equivalente tenso principal mxima 1 e o estado de tenso que originou a fissura.

    Segundo Ribeiro at al (2006) as direes principais se modificam, por mudanas no carregamento ou por no-linearidades da estrutura, produzindo deslocamentos relativos das faces rugosas da fissura, isto causa o surgimento de tenses de corte no plano da fissura. O valor destas tenses de corte depende das condies locais na fissura. O principal mecanismo de transferncia de esforos transversais o engrenamento dos agregados e as principais variveis envolvidas so o tipo e a granulometria dos mesmos.

    Segundo Machado at al (2007), o efeito de pino da armadura que cruza a fissura (dowell effect) tem tambm importncia na transferncia de esforos. Neste caso, as principais variveis envolvidas so o dimetro das barras, a taxa de armadura e a inclinao das barras em relao ao plano da fissura. Ambos mecanismos so controlados pela abertura da fissura, que, quando aumenta, faz com que se reduza a capacidade de transferncia de corte (shear transfer).

    Segundo Gamino (2007) existem vrios modelos tericos, que podem ser divididos, genericamente, em trs grupos: modelos semi-empricos; modelos com transferncia de tenso; e modelos baseados na mecnica da fratura. Nos modelos dos dois primeiros grupos, a fissurao do material governada pela resistncia trao do concreto; j nos modelos do terceiro grupo, a energia de fratura o parmetro governante.

    Modelos semi-empricos. So desenvolvidos atravs de valores obtidos em ensaios de

    peas de concreto armado. Como so baseados em valores experimentais, estes modelos apresentam a vantagem de poder simular no s os vrios fenmenos que acontecem durante a fissurao do concreto armado, tais como o amolecimento do concreto e a contribuio do concreto entre fissuras (tension-stiffening), mas tambm sua interao. Contudo, quando estes modelos so empregados, no se consegue analisar separadamente a influncia de cada um destes fenmenos na resposta global da estrutura.

    Modelos com transferncia de tenso. Baseiam-se na transferncia de tenso, por

    aderncia, entre o ao e o concreto. A formao de novas fissuras, at que uma configurao final seja estabelecida, est associada ao fato de se ter espao suficiente para transferir tenso por aderncia entre os materiais.

    Modelos baseados na mecnica da fratura. Baseiam-se em um critrio energtico para a

    propagao das fissuras. Segundo este critrio, para uma fissura se propagar, a taxa de

  • energia de deformao dissipada na propagao deve ser pelo menos igual taxa de energia requerida para a formao de novas superfcies livres (novas fissuras).

    Segundo Dvila (2003) a escolha de qual grupo utilizar est vinculada ao tipo de problema a ser analisado. Na anlise da fissurao de peas de concreto simples, onde normalmente se forma uma fissura predominante, a energia de fratura deve ser o parmetro governante. J em peas de concreto armado, pode-se obter bons resultados empregando os modelos semi-empricos ou os de transferncia de tenso por aderncia. Isto se deve ao fato que a presena da armadura ocasiona uma redistribuio de tenses, resultando o aparecimento de mltiplas fissuras ao longo da pea.

    2.3 Modelos constitutivos que retratam o comportamento do concreto composto por

    regra de endurecimento (tension stiffening)

    Segundo Ribeiro at al (2006) a regra de endurecimento define a maneira pela qual as superfcies de plastificao se movimentam (superfcies de carregamento) durante a deformao plstica. Admite-se que o concreto entre as fissuras suporta um certo nvel de tenses de trao, aderindo s barras de armadura e contribuindo ativamente para a rigidez total da estrutura. Este efeito conhecido como enrijecimento trao (tension stiffening) e este modelo pode ser incorporado modificando-se a curva tenso-deformao do concreto.

    2.4 Modelos constitutivos que retratam o comportamento do concreto composto por

    regra de amolecimento na trao (strain-softening)

    Segundo Gamino (2007) outro aspecto importante na anlise numrica de estruturas de concreto armado a escolha do modelo a ser utilizado na simulao do comportamento ps-fissurao do concreto armado, ou seja, os modelos de amolecimento na trao (softening). Segundo Machado at al (2007) essa curva de amolecimento aplicvel somente ao concreto e desconsidera-se o efeito de rigidez trao pela presena da armadura. Ainda Segundo Machado at al (2007) assim como a tenso normal ao plano da fissura, a tenso paralela ao plano da fissura tambm sofre uma modificao. Duas situaes possveis podem acontecer: a deformao nesta direo ser de compresso, onde, para este caso, sugere-se que a tenso correspondente se comporte de acordo com o diagrama de um ensaio uniaxial compresso, segundo o Cdigo Modelo CEB-FIP 1990. Por outro lado, se a deformao, na direo analisada, for de trao, adota-se uma relao tenso-deformao linear. O limite superior desta relao a resistncia trao do concreto. Se este limite for atingido, supe-se que o concreto esteja fissurado nas duas direes e as tenses, no ponto, passam a serem nulas. 2.5 Modelos constitutivos da armadura

    Um modelo constitutivo para as armaduras adotado por Gamino (2007) foi o modelo de

    plastificao de Von Mises. Segundo Paliga at al (2007) depois de atingida a deformao de escoamento do ao, possvel, ainda, considerar-se um certo enrijecimento do material at ser alcanada a deformao de ruptura. Por simplicidade, o comportamento do material em compresso simulado da mesma maneira que em trao. 2.6 Modelos constitutivos do sistema de aderncia

    Segundo Gamino (2007) vrios so os modelos de aderncia propostos por diversos pesquisadores com a finalidade de simular o mecanismo de ligao entre o concreto e as armaduras. O modelo bond-slip proposto pelo CEB traduz uma relao entre a tenso de

  • aderncia e o deslizamento (entre as armaduras e o concreto). Outro modelo para a representao do efeito de perda de aderncia entre os materiais o modelo de Homayoun.

    3. MODELAGEM DE ELEMENTOS FINITOS Segundo Paliga at al (2007) o procedimento inicial do Mtodo dos Elementos Finitos

    consiste em dividir a estrutura a ser analisada em pequenos elementos de superfcie (elementos finitos), que so conectados entre si por meio de pontos nodais. Na soluo em deslocamentos, as incgnitas do problema so os deslocamentos dos pontos nodais, e a partir destes, as deformaes so calculadas. Estabelecendo-se, ento, relaes constitutivas dependentes das deformaes, as tenses podem ser determinadas.

    3.1 Modelagem do concreto sem fissuras

    Segundo Ribeiro at al (2006) para se modelar o concreto sob estado plano de tenses usa-se elementos isoparamtricos bidimensionais. A formulao dos elementos isoparamtricos quadrticos permite gerar elementos com lados curvos e modelar mais adequadamente os contornos irregulares de peas a serem analisadas. Os elementos possuem dois graus de liberdade em cada n, correspondentes s translaes na direo dos eixos x e y.

    3.2 Modelagem do concreto fissurado

    Segundo Gamino (2007) devido natureza localizada, a correta modelagem da fissura um tpico difcil, pois trata da descontinuidade no campo de deslocamentos. Na simulao numrica de estruturas de concreto armado fissuradas via Mtodo dos Elementos Finitos, a escolha adequada do tipo de modelo a ser utilizado em cada situao determinante.

    Particularmente, trs aspectos tm especial importncia: como representar a fissura; como simular o comportamento do material fissurado e como representar a armadura.

    As fissuras podem ser modeladas de trs formas distintas: discreta, distribuda ou incorporada:

    Forma discreta. A fissura modelada pela separao das arestas dos elementos. No

    Mtodo dos Elementos Finitos, a menos que a trajetria da fissura seja conhecida antecipadamente, as fissuras discretas so modeladas alterando-se a malha para suportar a propagao. Esta redefinio de malha tem um custo computacional grande, o que dificulta a utilizao destes modelos quando se tem vrias fissuras espalhadas ao longo da pea, como no caso de estruturas de concreto armado.

    Forma distribuda. A descontinuidade do campo de deslocamentos causada pela fissura

    espalhada ao longo do elemento, que tem sua equao constitutiva alterada. Mesmo sabendo que a continuidade de deslocamentos assumida incompatvel com a descontinuidade real, modelos deste tipo foram os mais utilizados ao longo dos anos, devido ao fato de sua aplicao computacional ser bastante simples e conseguirem modelar bem o comportamento estrutural global de peas de concreto armado. Contudo, quando combinados com modelos baseados na mecnica da fratura para simular o comportamento do concreto fissurado, estes modelos ficam dependentes da malha de elementos finitos utilizada na anlise numrica.

    Forma incorporada. Renem os aspectos favorveis das duas tcnicas anteriores: no se

    necessita fazer uma redefinio de malha e os resultados obtidos so independentes da malha de elementos finitos utilizada. Estes modelos se baseiam no conceito de descontinuidades incorporadas dentro de elementos finitos padro.

  • 3.3 Modelagem da armadura Segundo Machado at al (2007) para se modelar as barras de armadura, utiliza-se um

    elemento finito tambm isoparamtrico mas unidimensional, permitindo-se modelar tanto barras retas, definidas por dois ns, ou curvas, definidas por trs ns.

    Segundo Gamino (2007) existem basicamente quatro formas de representao das armaduras em estruturas de concreto via mtodo dos elementos: discreta, incorporada, distribuda e axissimtrica.

    Modelo discreto. As armaduras devem estar posicionadas necessariamente sobre as

    arestas dos elementos finitos que representam a matriz de concreto, gerando portanto uma dependncia do posicionamento da armadura quanto malha de elementos finitos previamente definida.

    Modelo incorporado. Tambm conhecido como embedded reinforcement possui a

    vantagem da no dependncia da malha inicial quanto ao posicionamento das armaduras, podendo as mesmas transpor elementos finitos de concreto.

    Segundo Ribeiro at al (2006) o modelo incorporado, por suas inmeras vantagens, o mais empregado para a representao de barras de armadura em anlises por elementos finitos de estruturas de concreto. Atravs desta formulao, supe-se que a armadura resista apenas a esforos axiais em sua direo longitudinal e que os deslocamentos de um ponto qualquer da barra so iguais aos do elemento de concreto no qual ela est incorporada. Pode-se posicionar arbitrariamente as barras de armadura no interior dos elementos de concreto, sem gerar novas incgnitas para o problema.

    Modelo distribudo. Possui os atributos da representao incorporada porm com a

    vantagem de introduzir-se taxas de armaduras constantes, segundo eixos de orientao da estrutura, o que implica em produtividade no lanamento de armaduras de lajes, estribos de vigas e estruturas de concreto em geral que possuam conjuntos de armaduras espaadas igualitariamente.

    Modelo axissimtrico pontual. Armaduras de confinamento ou cisalhamento tais como

    estribos circulares e espirais podem ser representados por meio de elementos finitos axissimtricos pontuais.

    3.4 Modelagem do sistema de aderncia

    Segundo Gamino (2007), para modelagem de armaduras incorporadas utiliza-se na modelagem do sistema de aderncia os elementos de interface incorporados. A perda de aderncia utilizando elementos de mola deve ser utilizada no modelo de armaduras discretas. Neste sentido, a perda de aderncia tratada por meio de duas molas ortogonais que ligam os ns das armaduras com os ns do concreto cujo comportamento pode, por exemplo, seguir a lei de Homayoun. 4. PROGRAMA DIANA

    Um dos programas de anlise numrica pelo Mtodo dos Elementos Finitos bastante

    utilizados em estruturas de concreto armado o DIANA. Segundo Machado at al (2007) o DIANA (DIsplacement Method ANAlyser) um programa utilizado para a anlise no-linear de estruturas, desenvolvido pela TNO Building and Construction Research na Holanda.

  • O DIANA oferece vrias possibilidades de modelagem em estruturas de concreto armado como por exemplo: a possibilidade de se trabalhar com o modelo de fissurao discreta (discrete crack model) e com o modelo de fissurao distribuda (smeared crack model), possibilidade de combinar o modelo de fissurao distribuda para a trao e um modelo plstico para a compresso, utilizao do modelo tension stiffening para representar o comportamento do concreto armado fissurado na trao, utilizao do modelo clssico de ruptura de Mohr-Coulomb para o tratamento da compresso do concreto, utilizao de elementos tipo embedded reinforcement para modelar as armaduras e adoo do modelo de ruptura de Von Mises, com a equao constitutiva do material seguindo um modelo elasto-plstico perfeito para representar o comportamento do ao. 5. EXEMPLO DE APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Para efeito de aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos ser realizada a verificao das tenses em torno de furos que atravessam vigas na direo de sua largura. Para tal verificao so feitas as seguintes consideraes. A viga em concreto simples, sem armadura, sendo o concreto responsvel por combater as tenses de trao e compresso (diagrama de tenses linear). Neste modelo, as tenses obedecem Lei de Hooke e o clculo destas possvel pela Eq. (2) da Resistncia dos Materiais. Esta aplicao tem como objetivo iniciar a modelagem de vigas pelo Mtodo dos Elementos Finitos de forma a criar confiana no mtodo por parte dos iniciantes. 5.1 Programa de Elementos Finitos

    No desenvolvimento desta aplicao foi utilizado o software Mtool (Two-dimensional Mesh Tool). Um programa grfico interativo para a gerao de malhas de elementos finitos bidimensionais. Ele possui dois ambientes bem distintos. O primeiro, responsvel pela definio da geometria e topologia do modelo. Este ambiente suportado pela estrutura de dados topolgica half-edge, que permite assegurar a consistncia do modelo durante a sua criao. O segundo ambiente do Mtool apresenta uma representao nica de malhas de elementos finitos convencional, obtida a partir da converso das malhas do modelo de regies, definido no ambiente de edio do modelo. No segundo ambiente, o usurio pode realizar operaes tpicas de modelos de elementos finitos, como, por exemplo, consultar a incidncia nodal de cada elemento finito gerado na converso. No entanto, no existem funes para edio da malha, pois no se tem o suporte de uma estrutura de dados topolgica. Para isso, o usurio pode retornar ao ambiente de edio do modelo, realizar as alteraes necessrias e fazer uma nova converso para o Modelo de Elementos Finitos. 5.2 Modelos de Elementos Finitos A pea foi modelada sob o estado plano de tenses. O elemento utilizado foi um modelo isoparamtrico triangular de seis ns (T6). Este elemento possui dois graus de liberdade por n, deslocamentos na direo x e y. 5.3 Caractersticas da viga O concreto utilizado no modelo possui fck de 20MPa, mdulo de deformao de 10645 MPa e coeficiente de Poisson de 0.2. A viga possui dois vnculos de apoio, um com restrio translao nos eixos y e z e outro com restrio translao nos eixos x, y e z. A seo

  • transversal da viga 12cmx40cm e o vo livre de 4,00m. aplicado um carregamento monotnico uniformemente distribudo de 1500 kgf/m. 5.4 Verificao das tenses de compresso e trao do modelo Uma viga com as caractersticas descritas no item anterior foi modelada no Mtool usando os elementos finitos tambm aqui j descritos. A Figura 1 mostra a pea modelada, a Fig. 2 o esquema de distribuio das tenses xx de trao (em vermelho) e compresso (em azul) na pea, a Fig. 3 o diagrama de tenses xx no meio do vo e Fig. 4 a distribuio das tenses de cisalhamento xy . Aps o processamento do modelo as tenses de trao e compresso xx encontradas foram iguais em mdulo e de valor 94,00 kgf/cm2.

    Figura 1 Modelagem da viga no Mtool

  • Figura 2 Distribuio das tenses xx na viga

    Figura 3 Diagrama de tenses xx no meio do vo da viga

  • Figura 4 Distribuio das tenses xy na viga Tenses atravs da Resistncia dos Materiais. Usando a mesma viga modelada no Mtool, so calculadas as tenses no meio do vo da viga atravs da Eq. (2) da Resistncia dos Materiais com segue:

    cmkgfMMlqM 300000840015

    8

    22

    (Momento fletor) (3)

    433

    6400012

    401212

    cmIIhbI (Momento de inrcia) (4)

    2/75,932064000

    300000 cmkgfcI

    Mxxxxxx

    Avaliao da verificao. Algumas importantes concluses so extradas desta verificao:

    1. O modelo numrico por Elementos Finitos confirmam os valores das tenses xx calculadas pelas equaes da Resistncia dos Materiais;

    2. O diagrama de tenses linear; 3. Na regio prxima aos apoios, local de perturbao do campo de tenses, verifica-se a

    que a distribuio de tenses no se rege mais pelas leis elementares admitidas na anlise da estrutura, obedecendo ao Princpio de Saint Venant. Segundo Fusco (1995) a zona de regularizao possui a mesma ordem de grandeza que a dimenso caracterstica da seo de aplicao da fora concentrada;

    4. So observadas concentraes de tenses de cisalhamento xy na regio dos apoios.

  • 6. APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA VERIFICAO DAS TENSES NA REGIO DE FUROS QUE ATRAVESSAM VIGAS NA DIREO DE SUA LARGURA

    6.1 Vigas com aberturas

    Algumas situaes de compatibilidade de projetos obrigam os projetistas estruturais a prever furos e aberturas em vigas para passagem de tubulaes.

    Segundo Fusco (1995) o detalhamento das armaduras das vigas com aberturas feito com a hiptese de que as bielas diagonais de concreto possam ter inclinao entre arctg (3/5) e arctg (5/3) em relao ao eixo longitudinal da pea. Na verdade, as bielas podem ter inclinaes at na faixa de arctg 1/2 e arctg 2, mas no convm considerar as resultantes dessas tenses diagonais fora da faixa mais restrita de arctg 3/5 e arctg 5/3.

    As aberturas interferem tambm com as bielas de cisalhamento. Quando as aberturas se localizam em posies crticas ou quando h aberturas mltiplas prximas umas das outras, deve-se tratar o problema como se fosse o de uma grande abertura. No entanto, como de fato no se trata de uma grande abertura, preciso cuidar para que no ocorra fissurao exagerada das partes consideradas como no resistentes. 6.2 Verificao de furos que atravessam a viga na direo da sua largura segundo a

    NBR 6118 A NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto estabelece o seguinte: Furos e aberturas. Estruturas cujo projeto exige a presena de aberturas devem ser calculadas e detalhadas considerando as perturbaes das tenses que se concentram em torno dessas aberturas, prevendo, alm das armaduras para resistir aos esforos de trao, tambm armaduras complementares dispostas no contorno e nos cantos das aberturas. De maneira geral os furos tm dimenses pequenas em relao ao elemento estrutural enquanto as aberturas no. Um conjunto de furos muito prximos deve ser tratado como uma abertura. Furos que atravessam vigas na direo de sua largura. Em qualquer caso, a distncia mnima de um furo face mais prxima da viga deve ser no mnimo igual a 5 cm e duas vezes o cobrimento previsto para essa face. A seo remanescente nessa regio, tendo sido descontada a rea ocupada pelo furo, deve ser capaz de resistir aos esforos previstos no clculo, alm de permitir uma boa concretagem. Devem ser respeitadas, simultaneamente, para dispensa de verificao, as seguintes condies:

    a) furos em zona de trao e a uma distncia da face do apoio de no mnimo 2 h, onde h a altura da viga;

    b) dimenso do furo de no mximo 12 cm e h/3; c) distncia entre face de furos, num mesmo tramo, de no mnimo 2 h; d) cobrimentos suficientes e no seccionamento das armaduras.

    As Figuras a seguir mostram alguns exemplos de furos em vigas de concreto armado na

    direo de sua largura para passagem de tubulaes.

  • Figura 5 Passagem de tubulao atravs de furos em vigas

    Figura 6 Passagem de tubulao atravs de furos em vigas

  • Figura 7 Passagem de tubulao atravs de furos em vigas

    6.3 Verificao de um furo que obedece s recomendaes da NBR 6118 para dispensa

    de verificao de tenses

    So apresentadas a seguir as Fig. 8, 9, 10 e 11 que mostram respectivamente a pea modelada, o esquema da distribuio de tenses xx de trao (em vermelho) e compresso (em azul) na pea, o diagrama de tenses xx na regio do furo e a distribuio das tenses xy de cisalhamento.

    Figura 8 Modelagem da viga no Mtool

  • Figura 9 Distribuio das tenses xx na viga

    Figura 10 Diagrama de tenses xx na regio do furo

  • Figura 11 Distribuio das tenses xy na viga Avaliao da verificao. Algumas importantes concluses so extradas desta verificao:

    1. Observando o diagrama de tenses na regio do furo, percebe-se que surgem apenas tenses xx de trao em torno do furo. Estendendo, de forma simplificada, a anlise para peas de concreto armado, nesta regio a armadura a grande responsvel pelo combate de tenses de trao;

    2. O Mtodo dos Elementos Finitos confirma as recomendaes da NBR 6118. 6.4 Verificao de um furo a uma distncia menor que 2 h do apoio

    So apresentadas a seguir as Fig. 12, 13, 14 e 15 que mostram respectivamente a pea modelada, o esquema da distribuio de tenses xx de trao (em vermelho) e compresso (em azul) na pea, o diagrama de tenses xx na regio do furo e a distribuio das tenses xy de cisalhamento.

  • Figura 12 Modelagem da viga no Mtool

    Figura 13 Distribuio das tenses xx na viga

  • Figura 14 Diagrama de tenses xx na regio do furo

    Figura 15 Distribuio das tenses xy na viga

  • Avaliao da verificao. Algumas importantes concluses so extradas desta verificao:

    1. Observando o diagrama de tenses na regio do furo, percebe-se que surgem apenas tenses xx de trao em torno do furo. Estendendo, de forma simplificada, a anlise para peas de concreto armado, nesta regio a armadura a grande responsvel pelo combate de tenses de trao;

    2. O furo encontra-se numa regio de concentrao de tenses de cisalhamento xy sendo necessria uma avaliao mais detalhada;

    3. O Mtodo dos Elementos Finitos confirma as recomendaes da NBR 6118. 6.5 Verificao de um furo maior que o dimetro mnimo recomendado pela NBR 6118

    So apresentadas a seguir as Fig. 16, 17, 18 e 19 que mostram respectivamente a pea modelada, o esquema da distribuio de tenses xx de trao (em vermelho) e compresso (em azul) na pea, o diagrama de tenses xx na regio do furo e a distribuio das tenses xy de cisalhamento.

    Figura 16 Modelagem da viga no Mtool

  • Figura 17 Distribuio das tenses xx na viga

    Figura 18 Diagrama de tenses xx na regio do furo

  • Figura 19 Distribuio das tenses xy na viga Avaliao da verificao. Algumas importantes concluses so extradas desta verificao:

    1. Observando o diagrama de tenses na regio do furo, percebe-se que surgem tenses xx de compresso em torno do furo, sendo necessria uma avaliao mais detalhada;

    2. O Mtodo dos Elementos Finitos confirma as recomendaes da NBR 6118. 6.6 Verificao de um furo na regio comprimida da pea So apresentadas a seguir as Fig. 20, 21, 22 e 23 que mostram respectivamente a pea modelada, o esquema da distribuio de tenses xx de trao (em vermelho) e compresso (em azul) na pea, o diagrama de tenses xx na regio do furo e a distribuio das tenses

    xy de cisalhamento.

  • Figura 20 Modelagem da viga no Mtool

    Figura 21 Distribuio das tenses xx na viga

  • Figura 22 Diagrama de tenses xx na regio do furo

    Figura 23 Distribuio das tenses xy na viga

  • Avaliao da verificao. Algumas importantes concluses so extradas desta verificao:

    1. Observando o diagrama de tenses na regio do furo, percebe-se que surgem tenses xx de compresso em torno do furo, sendo necessria uma avaliao mais detalhada;

    2. O Mtodo dos Elementos Finitos confirma as recomendaes da NBR 6118. 7. ANLISE DE RESULTADOS E CONCLUSO Esta aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos no abordou muitos dos modelos constitutivos, nem os diferentes tipos de elementos que devem ser considerados nos diferentes comportamentos do concreto armado. O uso de uma das situaes mais simples de comportamento do material foi adotado para iniciar o estudo de modelagem atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. No que se diz respeito dispensa de verificao das tenses na regio de furos que atravessam vigas na direo de sua largura segundo a NBR 6118, as recomendaes da Norma foram confirmadas pelo modelo numrico. Para a elaborao de futuros trabalhos, sugere-se a avaliao do comportamento de furos que atravessam vigas na direo de sua largura quando h a necessidade de reforo de armadura e verificao mais detalhada das tenses. Nesta situao se faz necessrio o aprofundamento dos conceitos apresentados na reviso bibliogrfica deste trabalho e a validao do modelo numrico atravs de modelos experimentais como a srie de ensaios em vigas de concreto armado de Bresler e Scordelis (1963). REFERNCIAS ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR 6118: projetos de estruturas de concreto: procedimento: Rio de Janeiro, 2003. BRESLER, B., SCORDELIS, A.C., Shear strength of reinforced concrete beams. Journal of American Concrete Institute, 1963. DVILA, V.M.R., Estudo sobre modelos de fissurao de peas de concreto armado via mtodo dos elementos finitos, 2003. 259p. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul. FUSCO, Pricles Brasiliense. Tcnicas de armar estruturas de concreto. 1a. Edio. So Paulo: PINI, 1995. GAMINO, Andr Luis. Modelagem fsica e computacional de estruturas de concreto reforadas com CFRP, 2007. 259 p. Tese (Doutorado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes. LEONHARDT, Fritz & MNNIG, Eduard. Construes de concreto Vol. I. 1a. Edio. Rio de Janeiro: Editora Intercincia, 1977. MACHADO, Marcelo Augusto da Silva; TRAUTWEIN, Leandro Mouta; CAMPOS FILHO, Amrico & BITTENCOUT, Tlio Nogueira. Modelos de fissurao em estruturas de concreto armado via Mtodo dos Elementos Finitos. In CMNE/CILANCE, 2007. Porto. Anais.

  • PALIGA, C. M.; CAMPOS FILHO, A. & REAL, M. V. Modelo de Elementos Finitos para anlise numrica de estruturas de concreto armado reforadas, 2007. Disponvel em