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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ MARCOS ARNDT O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO À ANÁLISE DE VIBRAÇÕES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS CURITIBA 2009

Método Dos Elementos Finitos Generalizados Aplicado à Vibrações Livre

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Text of Método Dos Elementos Finitos Generalizados Aplicado à Vibrações Livre

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

    MARCOS ARNDT

    O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO

    ANLISE DE VIBRAES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS

    CURITIBA

    2009

  • MARCOS ARNDT

    O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO

    ANLISE DE VIBRAES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS

    Tese apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paran, como requisito parcial obteno do ttulo de Doutor em Cincias, rea de Concentrao: Mecnica Computacional. Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado Co-orientador: Prof. Dr. Adriano Scremin

    CURITIBA

    2009

  • Lilian, minha esposa, e aos meus filhos

    Rafaela e Giovani que so as pessoas

    mais importantes na minha vida.

    Aos meus pais, Vitor e Zeni que me

    ensinaram os verdadeiros valores.

  • AGRADECIMENTOS

    Deus, pela vida, pela graa e misericrdia dirias.

    minha famlia por todo amor, pacincia e apoio.

    Ao professor Roberto Dalledone Machado, pela orientao, apoio, confiana,

    persistncia, amizade e principalmente pelo exemplo.

    Ao professor Adriano Scremin, pela orientao, apoio e pelas fundamentais

    idias e sugestes ao trabalho.

    Aos professores Sergio Scheer e Mildred B. Hecke pelo incentivo, amizade,

    apoio e confiana.

    Maristela Bandil pela amizade e, alegria e motivao em todas as

    ocasies.

    Aos amigos e professores do CESEC que me acolheram desde a

    graduao.

    Aos amigos Flvia e Claudio pelo apoio, companheirismo e amizade.

    Aos amigos e professores do curso de Engenharia Civil da Universidade

    Positivo pelo apoio e amizade.

  • Se no for o Senhor o construtor da casa, ser intil trabalhar na construo. Se no o Senhor que vigia a cidade, ser intil a sentinela montar guarda.

    Salmo 127:1 NVI

  • RESUMO O conhecimento do comportamento dinmico das estruturas civis e mecnicas tem se tornado cada vez mais importante para um projeto seguro e otimizado. O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) apresenta bons resultados para as primeiras frequncias, porm demanda elevado custo computacional para atingir melhor preciso para altas frequncias. O objetivo deste trabalho investigar a aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) na anlise de vibraes livres em estruturas reticuladas. O Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados, desenvolvido a partir do Mtodo da Partio da Unidade, permite a incluso de conhecimento prvio sobre a soluo da equao diferencial sendo resolvida, no espao de soluo aproximado. Neste trabalho so propostos e analisados diversos elementos generalizados para anlise da vibrao livre de barras, eixos, vigas de Euler-Bernoulli, trelias e prticos planos com diferentes funes enriquecedoras. So propostos refinamentos h, p e adaptativo para o MEFG. As funes enriquecedoras do MEFG Adaptativo so dependentes da geometria, das propriedades mecnicas dos elementos e das condies de contorno. O problema variacional de vibrao livre formulado e os principais aspectos do MEFG so discutidos. A eficincia e a convergncia do mtodo proposto na vibrao livre de estruturas reticuladas planas so verificadas. As frequncias obtidas pelo MEFG so comparadas com aquelas obtidas por solues analticas, pelo Mtodo Composto (MC), pelos refinamentos h e p do MEF, e por outros mtodos encontrados na literatura. O MEFG proposto permite a imposio das condies de contorno de forma direta, como no MEF, e apresenta taxas de convergncia maiores do que o refinamento h do MEF e refinamento c do MC, e no mnimo semelhantes s taxas de convergncia do refinamento p do MEF. O MEFG Adaptativo proposto converge muito rpido e permite aproximar a frequncia relacionada com o modo de vibrao desejado.

    Palavras-chave: Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados. Vibrao livre.

    Anlise dinmica. Partio da unidade.

  • ABSTRACT

    The knowledge about the dynamic behavior of civil and mechanical structures has become very important for a safe and optimized design. The Finite Element Method (FEM) presents good results for the lowest frequencies but demands great computational cost to work up the accuracy for the higher frequencies. The objective of this work is to study the application of the Generalized Finite Element Method (GFEM) in free vibration analysis of framed structures. The Generalized Finite Element Method, developed from the Partition of Unity Method, allows the inclusion of a priori knowledge about the differential equation being solved in the approximated solution space. In this work several generalized elements to free vibration analysis of bars, shafts, Euler-Bernoulli beams, and plane trusses and frames with different enrichment functions are proposed and investigated. The h, p and adaptive refinements of GFEM are proposed. The Adaptive GFEM enrichment functions are dependent on the geometric, mechanical properties of the elements and boundary conditions. The variational problem of free vibration is formulated and the main aspects of the GFEM are discussed. The efficiency and convergence of the proposed method in free vibration analysis of framed structures are checked. The frequencies obtained by the GFEM are compared with those obtained by the analytical solutions, the Composite Element Method (CEM), the h and p-versions of FEM, and other methods found in the literature. The GFEM allows to introduce the boundary conditions directly, as in the FEM, and presents convergence rates grater than h-version of FEM and c-version of CEM, and at least similar to the convergence rates of p-version of FEM. The proposed Adaptive GFEM converges very fast and is able to approximate the frequency related to the chosen vibration mode.

    Key words: Generalized Finite Element Method. Free vibration. Dynamic analysis.

    Partition of unity.

  • LISTA DE FIGURAS

    FIGURA 2.1 NMERO DE FREQUNCIAS CONVERGINDO COM PRECISO

    MNIMA DE 1% - VIGA SIMPLESMENTE APOIADA .........................52

    FIGURA 2.2 FATORES INTENSIDADE DE MOMENTO (K1) NORMALIZADOS EM

    RELAO LARGURA DA PLACA...................................................61

    FIGURA 2.3 SOLUO DA EQUAO LINEAR DA ONDA NO TEMPO t = 7,0 ..65

    FIGURA 2.4 SOLUO DA EQUAO DE BURGERS NO TEMPO t = 2,853 .....65

    FIGURA 2.5 TENSES xx (dyn/cm2) PARA UM PLANO SEMI INFINITO............66 FIGURA 2.6 ESQUEMA ITERATIVO .....................................................................67

    FIGURA 2.7 CURVAS DE CONVERGNCIA PARA PLACA EXCITADA A 2000 HZ

    .............................................................................................................69

    FIGURA 3.1 ESQUEMA DE ESPAOS DUAIS.....................................................75

    FIGURA 3.2 BARRA RETA COM DEFORMAO AXIAL......................................85

    FIGURA 3.3 ELEMENTO LINEAR DE BARRA ......................................................95

    FIGURA 3.4 ELEMENTO CBICO DE BARRA .....................................................96

    FIGURA 3.5 EIXO RETO COM DEFORMAO ANGULAR................................100

    FIGURA 3.6 VIGA RETA COM DEFORMAO LATERAL..................................104

    FIGURA 3.7 ELEMENTO DE VIGA ......................................................................113

    FIGURA 3.8 (a) FUNO B3-SPLINE TPICA; (b) BASE DE FUNES B3-

    SPLINE ..............................................................................................115

    FIGURA 3.9 TRANSFORMAO DE COORDENADAS PARA BARRA DE

    TRELIA............................................................................................120

    FIGURA 3.10 TRANSFORMAO DE COORDENADAS PARA BARRA DE

    PRTICO...........................................................................................123

    FIGURA 4.1 COBERTURA { }i DO DOMNIO ..............................................127

  • FIGURA 4.2 SUBDOMNIOS E FUNES PARTIO DA UNIDADE PARA

    MALHA DE ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS DO MEFG .............130

    FIGURA 4.3 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE APROXIMAO

    LOCAL DO MEFG-1 PARA O ELEMENTO DE BARRA RETA NO

    SUBDOMNIO (1,3), COM 1=ln .......................................................133 FIGURA 4.4 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE APROXIMAO

    LOCAL DO MEFG-2 PARA O ELEMENTO DE BARRA RETA NO

    SUBDOMNIO (1,3), COM 1=ln .......................................................135 FIGURA 4.5 FUNES PARTIO DA UNIDADE E ENRIQUECEDORAS DO

    ELEMENTO MESTRE DE BARRA RETA DO MEFG-2, PARA j = 1, Le

    = 1 E 1 = 3/2 ...................................................................................136 FIGURA 4.6 FLUXOGRAMA DO MEFG ADAPTATIVO ......................................139

    FIGURA 4.7 FLUXOGRAMA DO REFINAMENTO p ADAPTATIVO DO MEFG .141

    FIGURA 4.8 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE APROXIMAO

    LOCAL DO MEFG MC E MEFG MMA PARA O ELEMENTO DE VIGA,

    NO SUBDOMNIO (1,3).....................................................................145

    FIGURA 4.9 FUNES ENRIQUECEDORAS DO ESPAO DE APROXIMAO

    LOCAL DO MEFG TRIG PARA O ELEMENTO DE VIGA NO

    SUBDOMNIO (1,3) ...........................................................................146

    FIGURA 4.10 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE

    APROXIMAO LOCAL DO MEFG ADAPTATIVO PARA

    ELEMENTO DE VIGA, NO SUBDOMNIO (1,3) ...............................150

    FIGURA 4.11 FUNES PARTIO DA UNIDADE E ENRIQUECEDORAS DO

    ELEMENTO DE VIGA PARA j = 1, Le = 1 E 1 = 3/2.......................152 FIGURA 5.1 BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................157

    FIGURA 5.2 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO h

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................159

  • FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO h - BARRA

    UNIFORME FIXA-LIVRE...................................................................159

    FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO 3 AUTOVALOR REFINAMENTO h

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................160

    FIGURA 5.5 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR REFINAMENTO h

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................160

    FIGURA 5.6 ERRO RELATIVO DO 5 AUTOVALOR REFINAMENTO h

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................161

    FIGURA 5.7 ERRO RELATIVO DO 6 AUTOVALOR REFINAMENTO h

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................161

    FIGURA 5.8 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................163

    FIGURA 5.9 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................164

    FIGURA 5.10 ERRO RELATIVO DO 3 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................164

    FIGURA 5.11 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................165

    FIGURA 5.12 ERRO RELATIVO DO 5 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................165

    FIGURA 5.13 ERRO RELATIVO DO 6 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................166

    FIGURA 5.14 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR VARIAO DO

    PARMETRO DE FREQUNCIA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE

    ...........................................................................................................167

    FIGURA 5.15 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR VARIAO DO

    PARMETRO DE FREQUNCIA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE

    ...........................................................................................................168

  • FIGURA 5.16 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANLISE 1: 1 FREQUNCIA

    ALVO .................................................................................................170

    FIGURA 5.17 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANLISE 2: 2 FREQUNCIA

    ALVO .................................................................................................171

    FIGURA 5.18 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANLISE 3: 3 FREQUNCIA

    ALVO .................................................................................................171

    FIGURA 5.19 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANLISE 4: 4 FREQUNCIA

    ALVO .................................................................................................171

    FIGURA 5.20 ERRO RELATIVO PARA O 2 AUTOVALOR PARA DIVERSAS

    RELAES DE MALHA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE..........174

    FIGURA 5.21 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................175

    FIGURA 5.22 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................175

    FIGURA 5.23 ERRO RELATIVO DO 3 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................176

    FIGURA 5.24 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................176

    FIGURA 5.25 ERRO RELATIVO DO 5 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................177

    FIGURA 5.26 ERRO RELATIVO DO 6 AUTOVALOR REFINAMENTO p

    ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................177

    FIGURA 5.27 BARRA UNIFORME FIXA-FIXA......................................................178

    FIGURA 5.28 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA

    UNIFORME FIXA-FIXA .....................................................................179

  • FIGURA 5.29 BARRA UNIFORME LIVRE-LIVRE.................................................181

    FIGURA 5.30 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA

    UNIFORME LIVRE-LIVRE ................................................................182

    FIGURA 5.31 BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA

    NA EXTREMIDADE...........................................................................183

    FIGURA 5.32 ERRO RELATIVO DAS FREQUNCIAS ALVO BARRA

    UNIFORME FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...............185

    FIGURA 5.33 BARRA FIXA-LIVRE BIMATERIAL.................................................186

    FIGURA 5.34 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA-

    LIVRE BIMATERIAL ..........................................................................188

    FIGURA 5.35 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA-

    FIXA COM VARIAO DE REA SENOIDAL .................................191

    FIGURA 5.36 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA-

    FIXA COM VARIAO DE REA POLINOMIAL .............................194

    FIGURA 5.37 EIXO CIRCULAR UNIFORME FIXO-LIVRE COM MASSA

    CONCENTRADA...............................................................................197

    FIGURA 5.38 EIXO CIRCULAR UNIFORME COM MOLA TORCIONAL ............198

    FIGURA 5.39 VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE........................................200

    FIGURA 5.40 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................202

    FIGURA 5.41 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................202

    FIGURA 5.42 ERRO RELATIVO DO 3 AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................203

    FIGURA 5.43 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................203

    FIGURA 5.44 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................204

  • FIGURA 5.45 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................205

    FIGURA 5.46 ERRO RELATIVO DO 3 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................205

    FIGURA 5.47 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................206

    FIGURA 5.48 ERRO RELATIVO DO 5 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................206

    FIGURA 5.49 ERRO RELATIVO DO 6 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................207

    FIGURA 5.50 ERRO RELATIVO DO 7 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................207

    FIGURA 5.51 ERRO RELATIVO DO 8 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................208

    FIGURA 5.52 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANLISE 1: 1

    FREQUNCIA ALVO.........................................................................211

    FIGURA 5.53 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANLISE 2: 2

    FREQUNCIA ALVO.........................................................................212

    FIGURA 5.54 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANLISE 3: 3

    FREQUNCIA ALVO.........................................................................212

    FIGURA 5.55 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

    DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANLISE 4: 4

    FREQUNCIA ALVO.........................................................................212

    FIGURA 5.56 SEGUNDO MODO DE VIBRAO DA VIGA UNIFORME

    ENGASTADA-LIVRE NAS DUAS PRIMEIRAS ITERAES DO

    MEFG ADAPTATIVO ANLISE 2: 2 FREQUNCIA ALVO .........214

  • FIGURA 5.57 VIGA UNIFORME BI-ROTULADA .................................................215

    FIGURA 5.58 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................216

    FIGURA 5.59 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................217

    FIGURA 5.60 ERRO RELATIVO DO 3 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................217

    FIGURA 5.61 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................218

    FIGURA 5.62 ERRO RELATIVO DO 5 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................218

    FIGURA 5.63 ERRO RELATIVO DO 6 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................219

    FIGURA 5.64 ERRO RELATIVO DO 7 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................219

    FIGURA 5.65 ERRO RELATIVO DO 8 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

    UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................220

    FIGURA 5.66 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA UNIFORME

    SIMPLESMENTE APOIADA .............................................................221

    FIGURA 5.67 VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE COM MASSA

    CONCENTRADA NA EXTREMIDADE..............................................223

    FIGURA 5.68 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA

    ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA.....................225

    FIGURA 5.69 VIGA UNIFORME BI-ENGASTADA COM RTULA INTERNA .....227

    FIGURA 5.70 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA COM

    RTULA INTERNA ...........................................................................228

    FIGURA 5.71 VIGA ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL .............................230

    FIGURA 5.72 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA

    ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL .........................................233

  • FIGURA 5.73 VIGA CONTNUA BIMATERIAL......................................................234

    FIGURA 5.74 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES VIGA ENGASTADA-

    ROTULADA COM VARIAO POLINOMIAL DE REA E INRCIA

    ...........................................................................................................239

    FIGURA 5.75 TRELIA COMPOSTA POR 7 BARRAS........................................240

    FIGURA 5.76 QUARTO MODO DE VIBRAO DA TRELIA DE 7 BARRAS....242

    FIGURA 5.77 TRELIA COMPOSTA POR 15 BARRAS......................................243

    FIGURA 5.78 QUINTO MODO DE VIBRAO DA TRELIA DE 15 BARRAS ...244

    FIGURA 5.79 PRTICO PLANO...........................................................................245

    FIGURA 5.80 QUARTO MODO DE VIBRAO DO PRTICO ...........................248

  • LISTA DE TABELAS

    TABELA 2.1 TEORIAS PARA VIGAS......................................................................41

    TABELA 2.2 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU

    MELHOR BARRA LIVRE-LIVRE......................................................51

    TABELA 2.3 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU

    MELHOR VIGA SIMPLESMENTE APOIADA ..................................51

    TABELA 2.4 FREQUNCIAS NATURAIS PARA VIGA NO UNIFORME .............55

    TABELA 5.1 TAXAS DE CONVERGNCIA DOS REFINAMENTOS h BARRA

    FIXA-LIVRE .......................................................................................162

    TABELA 5.2 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DA BARRA UNIFORME

    FIXA-LIVRE .......................................................................................173

    TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA UNIFORME

    FIXA-FIXA..........................................................................................180

    TABELA 5.4 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA UNIFORME

    LIVRE-LIVRE.....................................................................................182

    TABELA 5.5 SOLUES ANALTICAS DAS FREQUNCIAS NATURAIS PARA

    BARRA FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA .....................184

    TABELA 5.6 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA FIXA-LIVRE

    COM MASSA CONCENTRADA........................................................185

    TABELA 5.7 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA BARRA FIXA-

    LIVRE BIMATERIAL ..........................................................................187

    TABELA 5.8 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA BIMATERIAL

    ...........................................................................................................189

    TABELA 5.9 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA

    COM VARIAO DE REA SENOIDAL ..........................................191

  • TABELA 5.10 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA

    COM VARIAO DE REA SENOIDAL MEF p COM

    QUADRATURA DE GAUSS..............................................................192

    TABELA 5.11 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA

    COM VARIAO DE REA POLINOMIAL.......................................195

    TABELA 5.12 RESULTADO DO MEFG ADAPTATIVO PARA BARRA FIXA-FIXA

    COM VARIAO DE REA POLINOMIAL E MALHA MAIS

    REFINADA.........................................................................................196

    TABELA 5.13 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE EIXO FIXO-LIVRE

    COM MASSA CONCENTRADA........................................................198

    TABELA 5.14 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE EIXO COM MOLA

    TORCIONAL......................................................................................199

    TABELA 5.15 AUTOVALORES PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE (8 GRAUS DE

    LIBERDADE) .....................................................................................209

    TABELA 5.16 AUTOVALORES PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE (12 GRAUS DE

    LIBERDADE) .....................................................................................210

    TABELA 5.17 ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA

    ENGASTADA-LIVRE COM DIFERENTES MALHAS .......................213

    TABELA 5.18 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA UNIFORME

    ENGASTADA-LIVRE.........................................................................214

    TABELA 5.19 ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA

    SIMPLESMENTE APOIADA COM DIFERENTES MALHAS............222

    TABELA 5.20 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA UNIFORME

    SIMPLESMENTE APOIADA .............................................................222

    TABELA 5.21 SOLUO ANALTICA DOS AUTOVALORES DA VIGA

    ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA.....................224

  • TABELA 5.22 ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA

    ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA PARA

    DIFERENTES MALHAS ....................................................................225

    TABELA 5.23 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA UNIFORME

    ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA.....................226

    TABELA 5.24 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA BI-

    ENGASTADA COM RTULA INTERNA ..........................................227

    TABELA 5.25 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA COM RTULA

    INTERNA ...........................................................................................229

    TABELA 5.26 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA

    ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL .........................................231

    TABELA 5.27 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA BIMATERIAL

    ENGASTADA-ROTULADA................................................................233

    TABELA 5.28 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA CONTNUA

    BIMATERIAL .....................................................................................236

    TABELA 5.29 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA

    ENGASTADA-ROTULADA COM VARIAO POLINOMIAL DE REA

    E INRCIA.........................................................................................238

    TABELA 5.30 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA ENGASTADA-

    ROTULADA COM VARIAO POLINOMIAL DE REA E INRCIA

    ...........................................................................................................238

    TABELA 5.31 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE TRELIA PLANA

    COM 7 BARRAS................................................................................241

    TABELA 5.32 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE TRELIA PLANA DE

    15 BARRAS .......................................................................................243

    TABELA 5.33 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE PRTICO PLANO.245

    TABELA 5.34 RESULTADOS DA ANLISE DO MEFG ADAPTATIVO PARA 1

    FREQUNCIA ALVO.........................................................................247

  • LISTA DE SIGLAS

    MC Mtodo Composto

    MEF Mtodo dos Elementos Finitos

    MEFG Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados

    MEFG Adaptativo - Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados Adaptativo

    MEFG MC MEFG com funes enriquecedoras baseadas no MC

    MEFG MMA MEFG com funes enriquecedoras baseadas no MMA

    MEFG Trig MEFG com funes enriquecedoras trigonomtricas

    MEF Fourier Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier

    MEFS Mtodo dos Elementos Finitos Spline

    MMA Mtodo dos Modos Admissveis

    MMT Mtodo da Matriz de Transferncia

    MPU Mtodo da Partio da Unidade

  • LISTA DE SMBOLOS

    a constante

    a1, a2 constantes das solues analticas

    aij, bij, cij, dij graus de liberdade de campo

    A operador linear compacto XA - operador adjunto de A

    A, A1, A2 rea da seo transversal

    A0 rea da seo transversal na extremidade esquerda da viga

    A1, A2 constantes das solues analticas

    Ad, Ae rea da seo transversal nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx b constante

    b1, b2, b3, b4 constantes das solues analticas

    B forma bilinear

    B1, B2 constantes das solues analticas

    c velocidade de onda

    c vetor de graus de liberdade de campo

    c1, c2 constantes

    cbi graus de liberdade de campo para deformao axial

    ci constante

    cvi graus de liberade de campo para deformao transversal

    C plano complexo

    Ck espao das funes contnuas at a derivada de ordem k

    C1, C2, C3, C4, C2r, C3r, C4r termos constantes da soluo analtica para vigas

    C , GC - constantes do MPU

    D(T) domnio do operador T

    e erro absoluto da soluo aproximada

  • erro erro relativo da soluo aproximada

    E, E1, E2 mdulo de elasticidade longitudinal

    Ed, Ee mdulo de elasticidade longitudinal nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx f funo integrvel arbitrria

    f funcional linear

    F forma bilinear associada ao operador Q

    Fr funo enriquecedora

    g funcional linear

    gk solues de 0=gAX G mdulo de elasticidade transversal

    h dimetro mximo dos elementos da malha

    h dimenso da subdiviso da viga no MEFS

    H, H1, H2 espaos de Hilbert )(hH - complemento ortogonal de hH em H

    I momento de inrcia da seo transversal

    I operador identidade

    I0, I0D, I0E inrcias rotacionais das massas

    I0f inrcia da seo transversal na extremidade esquerda da viga

    Id, Ie momento de inrcia da seo transversal nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx IMD, IME momento de inrcia de massa nas extremidades direita e esquerda

    Ip momento polar de inrcia

    J - funo de Bessel de primeiro tipo e ordem k grau da base polinomial

    k, kD, kE rigidez de mola longitudinal ou torcional

    kc constante caracterstica do subespao de aproximao eijk - coeficientes da matriz de rigidez elementar

    kRD, kRE rigidez de mola rotacional nas extremidades direita e esquerda

    kTD, kTE rigidez de mola transversal nas extremidades direita e esquerda

    K parmetro para estimativa de erro

  • K matriz de rigidez no sistema local

    KG matriz de rigidez no sistema global

    L, L1, L2, L3 comprimento

    Le comprimento do elemento

    L2 espao das funes quadrado integrveis

    m nmero de divises da viga no MEFS

    m nmero de funes enriquecedoras de viga

    m ordem do operador linear

    m, mD, mE massa concentrada eijm - coeficientes da matriz de massa elementar

    M constante de continuidade

    M momento fletor

    M subconjunto limitado de um espao normado X

    MS constante de sobreposio de subdomnios

    M matriz de massa no sistema local

    MG matriz de massa no sistema global

    n dimenso do espao

    n nmero de autovetores e autovalores aproximados

    n nmero de funes enriquecedoras de barra

    n potncia da distribuio polinomial de rea

    nl nmero de nveis de enriquecimento

    nl,max nmero mximo de nveis de enriquecimento

    ngl nmero de graus de liberdade

    N nmero de ns

    N nmero total de graus de liberdade

    N vetor de funes de forma

    p grau do polinmio interpolador

    P operador linear

    p(x,t) fora axial por unidade de comprimento da barra

  • p(x,t) fora transversal por unidade de comprimento da viga

    p(x,t) momento torsor por unidade de comprimento do eixo

    qIj deslocamentos nodais ou de interface

    q vetor de coordenadas generalizadas

    q vetor de graus de liberdade nodais

    qI vetor de deslocamentos nodais ou de interface

    Q esforo cortante

    Q operador linear

    R(u) quociente de Rayleigh

    R(T) operador resolvente

    s dimenso do espao de aproximao j

    is - funes de aproximao local do espao Si

    S espao de aproximao global

    Si espaos de aproximao local

    Sj modos estticos de interface

    S vetor de modos estticos de interface

    t tempo

    T matriz de transformao de coordenadas

    T operador linear XT - operador adjunto *T - operador Hilbert-adjunto

    T(M) imagem do operador T sobre o subconjunto M

    [T(M)] fechamento de T(M)

    T(t) parcela temporal do deslocamento

    Tf tempo final

    T operador linear

    u vetor de deslocamentos

    ur autovetor exato de ordem r

    u(x), ur(x) parcela espacial (modo natural) do deslocamento axial

  • ),( txu deslocamento axial (longitudinal)

    uh campo de deslocamentos transversais aproximado shu autovetor aproximado de ordem s

    ui graus de liberdade nodais (deslocamentos axiais)

    uI campo de deslocamentos de interface eENRIQu - campo de deslocamentos elementar enriquecido

    uMA campo de deslocamentos dos modos admissveis

    uMC campo de deslocamentos do MC

    uMEF campo de deslocamentos do MEF eMEFu - campo de deslocamentos elementar do MEF

    uMMA campo de deslocamentos do MMA

    uTC campo de deslocamentos analtico

    U vetor de coordenadas no sistema local

    U espao linear

    U vetor de coordenadas no sistema global

    v funo de projeo

    )(xv , )(xvr - parcela espacial (modo natural) do deslocamento transversal

    ),( txv - deslocamento transversal

    vh campo de deslocamentos transversais aproximado

    vh funes de projeo

    vi graus de liberdade nodais (deslocamentos transversais)

    V espao linear

    x coordenada cartesiana no plano

    x autovalor de T

    xi abscissa do n i

    x k solues de 0=Ax X espao da soluo analtica

    X espao normado

    X - espao dual de X

  • y coordenada cartesiana no plano

    y elemento do espao Y

    yi ordenada do n i

    Y espao normado

    Y - espao dual de Y w funes teste

    wh funes do espao Hh

    wh funes teste aproximadas

    wj funes admissveis

    W espao de Sobolev

    Y - funo de Bessel de segundo tipo e ordem z1, z2 variveis auxiliares

    Zi - amplitudes

    Z vetor de amplitudes

    - constante de coercividade - parmetro de acoplamento espao-tempo , i, r constantes v relao entre propriedades da viga j, r autovalor adimensional dj, ej autovalor adimensional nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx e autovalor adimensional analtico h autovalor adimensional aproximado r autovalor adimensional relativo frequncia r

    ij - delta de Dirac 1, 2 constantes - vetor de funes de forma enriquecidas - vetor de modos admissveis

    j funes de base globais ij funes enriquecedoras relacionadas s rotaes nodais do MEF

  • v relao entre propriedades da viga - constante i,ij, ijk funes enriquecedoras do MEFG T constante torcional

    i - funes partio da unidade - funes analticas de viga ij funes enriquecedoras do MEFG - contorno do domnio , r - autovalor, nmero de onda , r autovalor r autovalor exato de ordem r

    h autovalor aproximado sh autovalor aproximado de ordem s

    w comprimento de onda - taxa de convergncia - constante

    )(x - parcela espacial (modo natural) do deslocamento angular ),( tx - deslocamento angular

    i graus de liberdade nodais (rotaes) p ngulo de propagao de onda v relao entre propriedades da viga , 1, 2 - densidade d, e - densidade nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx (T) conjunto resolvente constante (T) espectro de T c (T) espectro contnuo de T p (T) espectro pontual ou discreto de T r (T) espectro residual de T

  • x, y, z tenses normais segundo os eixos coordenados i - funes com suporte i

    , i, r - frequncia natural alvo,i, alvo,MEF, alvo,MEFG - frequncia natural alvo h - frequncia natural aproximada - domnio

    i - subdomnios e - domnio do elemento mestre

    - coordenada local - funes de viga

    ei - funes de forma locais

    i modos admissveis v funo que descreve a variao da seo da viga matriz de modos admissveis - gradiente

  • SUMRIO

    1 INTRODUO........................................................................................................33

    1.1 OBJETIVO GERAL.............................................................................................36

    1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS ..............................................................................36

    1.3 JUSTIFICATIVA..................................................................................................36

    1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO...........................................................................36

    2 REVISO DA LITERATURA..................................................................................38

    2.1 MTODOS ANALTICOS ...................................................................................38

    2.2 MTODOS APROXIMADOS..............................................................................44

    2.2.1 Mtodo de Rayleigh-Ritz ..................................................................................44

    2.2.2 Mtodo dos Elementos Finitos .........................................................................46

    2.2.3 Mtodo dos Elementos Finitos Spline ..............................................................48

    2.2.4 Mtodo dos Modos Admissveis.......................................................................49

    2.2.5 Mtodo Composto e Mtodo do Modo Componente .......................................52

    2.2.6 Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier .........................................................56

    2.2.7 Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados.................................................58

    3 PROBLEMAS DE VIBRAO LIVRE DE ESTRUTURAS RETICULADAS........70

    3.1 ANLISE ABSTRATA DOS PROBLEMAS DE VIBRAO LIVRE...................70

    3.1.1 Conceitos da anlise funcional.........................................................................71

    3.1.2 Propriedades dos autovalores e autovetores...................................................77

    3.1.3 Estimativas de erro no processo de aproximao dos problemas de

    autovalores e autovetores ................................................................................79

    3.2 BARRA RETA COM VIBRAO AXIAL ............................................................85

    3.2.1 Soluo analtica ..............................................................................................86

    3.2.2 Formulao variacional ....................................................................................90

    3.2.3 Solues aproximadas .....................................................................................94

  • 3.2.3.1 Mtodo dos elementos finitos ......................................................................94

    3.2.3.1.1 Elemento linear ..........................................................................................95

    3.2.3.1.2 Elemento cbico.........................................................................................96

    3.2.3.1.3 Refinamento p hierrquico.........................................................................97

    3.2.3.2 Mtodos enriquecidos ..................................................................................98

    3.2.3.2.1 Mtodo dos modos admissveis.................................................................99

    3.2.3.2.2 Mtodo composto.......................................................................................99

    3.3 EIXO RETO COM VIBRAO TORCIONAL...................................................100

    3.3.1 Soluo analtica ............................................................................................101

    3.3.2 Formulao variacional ..................................................................................102

    3.3.3 Solues aproximadas ...................................................................................103

    3.4 VIGA DE EULER-BERNOULLI COM VIBRAO TRANSVERSAL ...............103

    3.4.1 Soluo analtica ............................................................................................104

    3.4.2 Formulao variacional ..................................................................................108

    3.4.3 Solues aproximadas ...................................................................................112

    3.4.3.1 Mtodo dos elementos finitos ....................................................................112

    3.4.3.1.1 Refinamento p hierrquico.......................................................................113

    3.4.3.2 Mtodo dos elementos finitos spline..........................................................114

    3.4.3.3 Mtodos enriquecidos ................................................................................115

    3.4.3.3.1 Mtodo dos modos admissveis...............................................................116

    3.4.3.3.2 Mtodo composto.....................................................................................118

    3.4.3.3.3 Mtodo dos elementos finitos p-Fourier...................................................118

    3.5 ESTRUTURAS RETICULADAS.......................................................................119

    3.5.1 Trelia plana ...................................................................................................119

    3.5.1.1 Solues aproximadas...............................................................................119

    3.5.1.1.1 Mtodo dos elementos finitos ..................................................................121

    3.5.1.1.2 Mtodos enriquecidos ..............................................................................121

    3.5.2 Prtico plano...................................................................................................122

    3.5.2.1 Solues aproximadas...............................................................................123

  • 3.5.2.1.1 Mtodo dos elementos finitos ..................................................................124

    3.5.2.1.2 Mtodos enriquecidos ..............................................................................125

    4 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO A

    PROBLEMAS DE VIBRAO LIVRE.................................................................126

    4.1 BASES MATEMTICAS DO MTODO DA PARTIO DA UNIDADE ..........126

    4.2 ELEMENTO GENERALIZADO DE BARRA RETA ..........................................131

    4.2.1 Refinamento adaptativo..................................................................................138

    4.2.2 Refinamento p adaptativo...............................................................................140

    4.3 ELEMENTO GENERALIZADO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI................141

    4.3.1 Refinamento adaptativo..................................................................................147

    5 VERIFICAES NUMRICAS E APLICAES DO MTODO DOS

    ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS........................................................155

    5.1 IMPLEMENTAO DO MEFG.........................................................................156

    5.2 VIBRAO LIVRE DE BARRAS RETAS.........................................................157

    5.2.1 Barra uniforme fixa-livre .................................................................................157

    5.2.1.1 Refinamento h ............................................................................................158

    5.2.1.2 Refinamento p ............................................................................................163

    5.2.1.3 Refinamento adaptativo .............................................................................168

    5.2.1.3.1 Verificao da estabilidade e convergncia do mtodo ..........................169

    5.2.1.3.2 Verificao do desempenho do mtodo ..................................................169

    5.2.1.4 Refinamento p Adaptativo..........................................................................174

    5.2.2 Barra uniforme fixa-fixa ..................................................................................178

    5.2.3 Barra uniforme livre-livre ................................................................................180

    5.2.4 Barra uniforme fixa-livre com massa concentrada na extremidade...............183

    5.2.4.1 Soluo analtica ........................................................................................183

    5.2.4.2 Soluo aproximada...................................................................................184

    5.2.5 Barra fixa-livre composta por dois materiais diferentes .................................186

    5.2.5.1 Soluo analtica ........................................................................................186

    5.2.5.2 MEFG Adaptativo .......................................................................................188

  • 5.2.6 Barras no uniformes .....................................................................................189

    5.2.6.1 Barra fixa-fixa com variao senoidal de rea...........................................189

    5.2.6.2 Barra fixa-fixa com variao polinomial de rea........................................193

    5.3 VIBRAO LIVRE DE EIXOS CIRCULARES RETOS....................................196

    5.3.1 Eixo uniforme fixo-livre com massa concentrada...........................................196

    5.3.2 Eixo uniforme fixo-livre com mola torcional....................................................198

    5.4 VIBRAO LIVRE DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI.................................199

    5.4.1 Viga uniforme engastada-livre........................................................................200

    5.4.1.1 Refinamento h ............................................................................................201

    5.4.1.2 Refinamento p ............................................................................................204

    5.4.1.3 Refinamento adaptativo .............................................................................211

    5.4.2 Viga uniforme simplesmente apoiada ............................................................215

    5.4.2.1 Refinamento p ............................................................................................216

    5.4.2.2 Refinamento adaptativo .............................................................................221

    5.4.3 Viga uniforme engastada-livre com massa concentrada na extremidade .....223

    5.4.3.1 Soluo analtica ........................................................................................223

    5.4.3.2 Soluo aproximada...................................................................................224

    5.4.4 Viga uniforme bi-engastada com rtula interna .............................................226

    5.4.4.1 Soluo analtica ........................................................................................227

    5.4.4.2 Soluo aproximada...................................................................................227

    5.4.5 Viga engastada-rotulada composta por dois materiais diferentes.................229

    5.4.5.1 Soluo analtica ........................................................................................230

    5.4.5.2 MEFG Adaptativo .......................................................................................232

    5.4.6 Viga contnua composta por dois materiais diferentes ..................................234

    5.4.7 Viga engastada-rotulada com variao polinomial de rea e inrcia ............236

    5.5 VIBRAO LIVRE DE ESTRUTURAS RETICULADAS..................................239

    5.5.1 Trelias planas...............................................................................................240

    5.5.1.1 Trelia composta por sete barras...............................................................240

    5.5.1.2 Trelia composta por 15 barras .................................................................242

  • 5.5.2 Prticos planos ...............................................................................................244

    6 CONCLUSO.......................................................................................................249

    REFERNCIAS.........................................................................................................255

  • 33

    1 INTRODUO

    O uso eficiente e racional dos recursos naturais e das riquezas uma

    necessidade mundial e tem conduzido os engenheiros a buscarem a otimizao

    estrutural nos seus projetos. Neste sentido, novos materiais e novas tcnicas de

    fabricao e construo tm surgido, e as estruturas civis e mecnicas tornam-se

    cada vez mais leves e esbeltas. Estas estruturas esto sujeitas a efeitos dinmicos

    gerados por fenmenos naturais como ventos, mars e terremotos, e tambm

    provocados pelo trfego de veculos e operao de equipamentos e motores, entre

    outros. Para o engenheiro responsvel pelo projeto, fabricao e manuteno destas

    estruturas torna-se imprescindvel conhecer o seu real comportamento dinmico. Em

    alguns casos o conhecimento prvio deste comportamento pode ser determinante

    no dimensionamento da estrutura.

    Por outro lado, os mtodos no destrutivos de deteco de falhas estruturais

    baseados na resposta dinmica tambm exigem a disponibilidade de mtodos

    precisos de anlise do comportamento dinmico.

    Somente os problemas de vibraes de estruturas com geometrias muito

    simples e com condies de contorno especficas tm soluo analtica conhecida.

    Logo, na anlise dinmica de sistemas estruturais reais, em geral muito complexos,

    necessria a utilizao de mtodos computacionais aproximados para soluo do

    problema. Muitos pesquisadores tm se dedicado ao desenvolvimento de mtodos

    eficientes para anlise de vibraes em estruturas.

    O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) (PETYT, 1990; BATHE, 1996),

    disponvel atravs de diversos softwares comerciais, largamente utilizado na

    anlise dinmica de estruturas. Na anlise de vibraes livres, ou seja, na

    determinao de frequncias e modos naturais de vibrao, o MEF apresenta bons

    resultados para as primeiras frequncias. Verifica-se entretanto a necessidade de

    um modelo com grande nmero de graus de liberdade quando se pretende obter

  • 34

    uma boa preciso nas frequncias e modos de vibrao mais elevados, gerando

    assim maiores custos computacionais. O refinamento p do MEF permite aumentar a

    preciso da soluo aproximada sem a necessidade de refinamento da malha,

    porm exige a determinao de novas funes de forma de grau mais elevado a

    cada etapa. Alm disso, o mau condicionamento de polinmios de ordem elevada

    relatado por alguns autores, tais como Leung e Chan (1998), e Ribeiro (2001).

    Como alternativa, nos ltimos anos tm sido desenvolvidos novos mtodos,

    aqui denominados de mtodos enriquecidos, que consistem no enriquecimento das

    funes de forma do MEF convencional pela adio de funes no polinomiais

    relacionadas soluo da equao diferencial governante do problema. Dentre

    estes mtodos destacam-se: o Mtodo dos Modos Admissveis (MMA) (ENGELS,

    1992, GANESAN; ENGELS, 1992), o Mtodo Composto (MC) (ZENG, 1998a, b e c)

    e o Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier (MEF Fourier) (LEUNG; CHAN, 1998).

    Estes mtodos permitem a imposio das condies de contorno de forma simples,

    utilizando os mesmos procedimentos do MEF, e tm se mostrado mais precisos e

    com menor custo computacional do que o refinamento h do MEF convencional na

    anlise de vibraes livres de barras, vigas e placas.

    Em 1996 foi desenvolvido o Mtodo da Partio da Unidade (MPU)

    (MELENK; BABUSKA, 1996), como uma tcnica otimizada de enriquecimento. Com

    base nas idias do MPU surgiram diversos mtodos, entre eles o Mtodo dos

    Elementos Finitos Generalizados (MEFG). No MPU, a base do subespao de

    aproximaes locais constituda de funes, no necessariamente polinomiais, que

    refletem informaes disponveis a priori sobre a soluo da equao diferencial

    governante. Esta tcnica garante boa aproximao local e global. As principais

    vantagens do MPU so: possibilidade de enriquecimento do espao de aproximao

    global com funes que refletem o comportamento local da soluo da equao

    diferencial governante, funes de forma obtidas mais facilmente do que no

    refinamento p do MEF, construo de espaos de aproximao com a regularidade

    desejada e refinamentos locais facilmente implementados. Entretanto, o MPU

  • 35

    apresenta alguns desafios que compreendem: a escolha adequada do espao de

    funes de aproximao local, a imposio das condies de contorno essenciais,

    uma vez que os graus de liberdade utilizados no correspondem diretamente aos

    graus de liberdade nodais do MEF, e a construo adequada do esquema de

    integrao dos coeficientes das matrizes de rigidez e massa.

    Recentemente, inmeras pesquisas tm comprovado a eficincia do MEFG

    e outros mtodos baseados no MPU em problemas tais como anlise de trincas

    (XIAO; KARIHALOO, 2007) e plasticidade (GRACIE; VENTURA; BELYTSCHKO,

    2007), entre outros. Portanto, justifica-se uma investigao apurada da

    aplicabilidade e eficincia do MEFG na anlise dinmica de estruturas.

    A aplicao do Mtodo da Partio da Unidade em problemas da dinmica

    estrutural no indita, uma vez que, embora poucos, existem alguns trabalhos

    apresentando a aplicao desta tcnica na vibrao livre e forada de placas (DE

    BEL; VILLON; BOUILLARD, 2005; HAZARD; BOUILLARD, 2007).

    A contribuio principal deste trabalho est na escolha de espaos de

    aproximao local para anlise de vibraes livres de estruturas reticuladas, que

    renem tanto as vantagens dos mtodos enriquecidos quanto do MPU. Sendo

    assim, os espaos de aproximao propostos, alm de incorporarem conhecimento

    prvio sobre a soluo da equao diferencial governante, permitem a imposio

    das condies de contorno atravs dos procedimentos clssicos do MEF, sem a

    necessidade do uso de outras tcnicas como o mtodo das penalidades ou o

    mtodo dos multiplicadores de Lagrange. Tambm proposto um mtodo iterativo

    adaptativo que permite refinar a soluo para uma determinada frequncia, com

    rpida convergncia e preciso equivalente, em alguns casos at superior, ao

    refinamento p do MEF. Este mtodo adaptativo ainda agrega a vantagem de permitir

    a construo de funes de forma dependentes das caractersticas mecnicas do

    elemento e que so mais facilmente obtidas que as funes de forma do refinamento

    p do MEF para estruturas reticuladas.

  • 36

    1.1 OBJETIVO GERAL

    O objetivo deste trabalho investigar a aplicao do Mtodo dos Elementos

    Finitos Generalizados (MEFG) na anlise de vibraes livres de estruturas

    reticuladas.

    1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

    Para alcanar o objetivo geral proposto pretende-se:

    Apresentar a formulao variacional dos problemas de vibrao de barras,

    eixos e vigas de Euler-Bernoulli, e desenvolver os respectivos elementos

    generalizados de modo a aplic-los tambm na anlise de trelias e prticos planos.

    Propor e desenvolver uma tcnica de refinamento p1 adaptativo do MEFG

    para determinao de frequncias naturais de vibrao.

    Buscar, apresentar e desenvolver solues analticas para problemas de

    vibraes livres de barras, eixos e vigas.

    1.3 JUSTIFICATIVA

    Atualmente, a preocupao mundial est voltada para a otimizao e

    racionalizao do uso dos recursos naturais cada vez mais escassos. Uma aplicao

    tima de recursos depende de anlises de modelos os mais prximos possveis dos

    sistemas fsicos reais analisados. Para tanto, o desenvolvimento de mtodos de

    anlise mais precisos, rpidos e confiveis imprescindvel.

    1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

    A estrutura deste trabalho a seguinte: no captulo 2 apresentada uma

    1 No presente trabalho, assim como nos trabalhos publicados por RIBEIRO (2001) e, CAMPION e

    JARVIS (1996), o refinamento p corresponde ao aumento de funes de forma na base aproximadora.

  • 37

    reviso da literatura sobre mtodos de anlise dinmica analticos e aproximados. O

    captulo 3 contm as formulaes variacionais e os principais mtodos de soluo

    analtica e aproximada dos problemas de vibrao livre de estruturas reticuladas. No

    captulo 4 apresentam-se as bases matemticas do Mtodo da Partio da Unidade

    e os elementos generalizados de barra e viga de Euler-Bernoulli. Tambm so

    apresentadas as propostas de refinamento e adaptatividade do mtodo. No captulo

    5 so apresentadas as verificaes numricas e aplicaes do mtodo. O captulo 6

    apresenta as concluses finais do trabalho e sugestes de continuidade.

  • 38

    2 REVISO DA LITERATURA

    O homem tem se interessado por entender os fenmenos de vibrao desde

    a antiguidade, quando foram inventados os primeiros instrumentos musicais.

    Segundo Dimarogonas (1996), o filsofo e matemtico grego Pitgoras (582-507

    a.C.) considerado o primeiro a investigar os sons musicais em bases cientficas.

    No estudo das vibraes em estruturas podem-se destacar alguns nomes

    importantes. A vibrao de vigas finas foi estudada pela primeira vez por Euler em

    1744 e Daniel Bernoulli em 1751, cuja teoria passou a denominar-se teoria das vigas

    finas ou teoria de Euler-Bernoulli. Em 1802, o cientista alemo Chladni observou a

    vibrao de placas e seus modos de vibrao. Sophie Germain foi premiada em

    1815, pela Academia Francesa, por apresentar a teoria de vibrao de placas. Mais

    tarde foi descoberto que a equao diferencial apresentada por ela estava correta,

    mas as condies de contorno eram errneas. As condies de contorno corretas

    para o problema de vibrao de placas foram obtidas por Kirchhoff em 1850.

    Muitos outros cientistas e estudiosos poderiam ser citados neste perodo,

    com destaque para Lord Baron Rayleigh, que em 1877 publicou seu livro sobre a

    teoria do som, ainda hoje considerado um clssico na teoria da vibrao. Rayleigh

    desenvolveu um mtodo, conhecido como Mtodo de Rayleigh, para obteno da

    frequncia natural de um sistema conservativo. (DIMAROGONAS, 1996)

    Os mtodos utilizados para soluo dos problemas de vibrao podem ser

    subdivididos em dois grandes grupos: mtodos analticos e mtodos aproximados.

    2.1 MTODOS ANALTICOS

    Os mtodos analticos de soluo de problemas de vibrao fornecem as

    solues analticas das equaes do movimento (equaes de equilbrio dinmico).

    Porm, estas solues so possveis apenas para geometrias e condies de

  • 39

    contorno muito particulares. J os problemas reais de engenharia apresentam

    geometrias e condies de contorno muito mais complexas. Entretanto, as solues

    analticas so muito importantes pois fornecem subsdios para um conhecimento

    mais aprofundado do comportamento fsico do fenmeno estudado, alm de permitir

    a verificao da eficincia e preciso dos mtodos numricos aproximados. Sendo

    assim, vrios pesquisadores tm se dedicado obteno de solues analticas de

    diversos problemas da dinmica.

    Os trabalhos de Clough e Penzien (1975), Meirovitch (1975), Craig (1981),

    Chopra (1995), Rao (1995) e Inman (1996) apresentam os conceitos fundamentais

    da anlise de vibraes de sistemas contnuos e as solues analticas para

    vibrao de cabos, vibrao axial e torcional de barras uniformes, vibrao lateral de

    vigas uniformes, incluindo ou no os efeitos de fora axial, deformao cisalhante e

    inrcia rotacional, e vibrao de membranas e placas.

    O estudo da vibrao axial de barras de seo transversal no uniforme

    importante para a compreenso do comportamento dinmico de estruturas que

    utilizam materiais compostos e de fundaes, e da propagao de ondas em tubos

    de seo varivel, entre outros. Alguns dos mais importantes trabalhos dedicados

    investigao da soluo analtica destes problemas so destacados a seguir.

    Abrate (1995) apresenta uma famlia de funes polinomiais de 2 grau para

    descrever variaes da seo transversal da barra e que permitem, depois de

    adequada mudana de variveis, a transformao da equao diferencial

    governante do problema em uma clssica equao da onda, cuja soluo bastante

    conhecida.

    Kumar e Sujith (1997) apresentam solues analticas para vibrao axial

    livre de barras com seo transversal tendo variaes polinomial e senoidal da rea

    (A), respectivamente nas formas ( )nbaxA += e ( )baxsenAA += 20 , sendo A0, a, b e n parmetros que definem a funo de variao ao longo do eixo x. Estes autores

    utilizam mudanas apropriadas de variveis para reduzir a equao do movimento

    equaes diferenciais com soluo analtica conhecida. As solues analticas

  • 40

    apresentadas por Kumar e Sujith (1997) aparecem na forma de funes

    trigonomtricas e funes de Bessel.

    Kumar e Sujith (1997) verificaram que nos casos de barras de seo no

    uniforme as frequncias mais baixas so mais afetadas pela variao da seo,

    enquanto as frequncias mais altas se aproximam da soluo de barra com seo

    uniforme equivalente. As barras com seo varivel polinomial apresentam tambm

    modos de vibrao com amplitudes decrescentes ao longo do comprimento do eixo

    da barra. Os autores sugerem que a utilizao de funes de Bessel como funes

    de forma nas solues aproximadas para a vibrao livre de barras de seo no

    uniforme pode gerar melhores resultados que os obtidos com o uso de funes

    trigonomtricas e polinomiais.

    Em muitos problemas prticos, como na anlise de vibraes axiais de

    edifcios altos, o problema pode ser entendido como a vibrao livre de uma barra

    composta por vrios trechos com diferentes distribuies de rigidez e massa.

    Buscando a soluo de tais problemas, Li (2000a e 2000b) apresenta mtodos

    analticos para determinao das frequncias e modos naturais de vibrao de

    barras no uniformes compostas por mltiplos trechos. A funo que descreve a

    distribuio de massa da barra arbitrria e a distribuio da rigidez axial

    expressa por um funcional relacionado distribuio de massa. Para relaes

    funcionais do tipo potncia e exponencial, a equao diferencial governante para

    uma barra constituda de um nico trecho reduzida a uma equao diferencial com

    soluo analtica conhecida. Frmulas de recorrncia apropriadas (LI, 2000a) ou o

    Mtodo da Matriz de Transferncia (MMT) (LI, 2000b) so ento empregados para

    obter solues analticas de barras de mltiplas sees no uniformes com as

    distribuies de massa e rigidez analisadas. Li, Li e Liu (2000) utilizaram a tcnica

    do MMT para apresentar a soluo analtica do problema de vibrao axial de um

    sistema composto por duas barras no uniformes com massas concentradas e

    acopladas por molas translacionais.

    Recentemente, Raj e Sujith (2005) apresentaram um mtodo geral para

  • 41

    determinao de uma famlia de funes para descrever as variaes de seo

    transversal que conduzem a solues analticas conhecidas para a vibrao axial de

    barras no uniformes.

    Como a vibrao torcional de eixos estacionrios matematicamente

    idntica ao problema de vibrao axial de barras, as solues analticas obtidas para

    estes problemas podem ser compartilhadas, com as devidas adaptaes. Solues

    analticas para vibrao torcional livre de eixos uniformes, com condies de

    contorno clssicas e no clssicas, so encontradas no trabalho de Gorman (1975).

    Recentemente, Chen (2006) utilizou o Mtodo da Montagem Numrica para

    determinar as frequncias e modos naturais analticos de eixos circulares uniformes

    carregando mltiplos elementos concentrados (massas com inrcia rotacional ou

    molas torcionais).

    Quanto s vigas uniformes, existem quatro diferentes teorias que descrevem

    a vibrao transversal destas estruturas, que so: Euler-Bernoulli, Rayleigh,

    Cisalhamento e Timoshenko. As equaes governantes, as expresses para as

    condies de contorno clssicas, as equaes caractersticas e suas razes, para

    estas quatro teorias aplicadas a vigas uniformes so apresentadas por Han,

    Benaroya e Wei (1999). Um resumo das principais caractersticas desta teorias

    apresentado na tabela 2.1.

    TABELA 2.1 TEORIAS PARA VIGAS

    Modelos Momento fletor

    Deslocamento lateral

    Deformao por cisalhamento

    Inrcia rotacional

    Euler-Bernoulli sim sim no no Rayleigh sim sim no sim

    Cisalhamento sim sim sim no Timoshenko sim sim sim sim

    FONTE: HAN, BENAROYA e WEI (1999)

    A teoria de Euler-Bernoulli, muitas vezes denominada de teoria clssica de

    vigas, teoria de vigas de Euler ou teoria de vigas de Bernoulli, a mais comumente

    empregada pois simples e fornece aproximaes razoveis para muitos problemas

    da engenharia. Esta a teoria de vigas utilizada neste trabalho. Sabe-se entretanto

  • 42

    que esta teoria tende a superestimar ligeiramente as frequncias naturais,

    especialmente para os modos de ordem mais elevada, e seus resultados so

    melhores para vigas esbeltas. (HAN; BENAROYA; WEI, 1999)

    A teoria de vigas de Euler-Bernoulli remonta ao sculo XVIII. Jacob Bernoulli

    (1654-1705) descobriu que a curvatura de uma viga elstica proporcional ao

    momento fletor. Posteriormente, seu sobrinho Daniel Bernoulli (1700-1782) formulou

    a equao do movimento de uma viga em vibrao. Em sua investigao sobre a

    forma de vigas elsticas submetidas a diversas combinaes de carga, Leonhard

    Euler (1707-1783) aceitou a teoria de Jacob Bernoulli.

    O problema de vibrao livre de vigas uniformes de Euler-Bernoulli tem sido

    abordado por diversos pesquisadores, entre eles: Chang e Craig (1969), Gorman

    (1975), Clough e Penzien (1975), Meirovitch (1975) e Craig (1981).

    A forma clssica da soluo espacial do problema de vibrao livre de vigas

    de Euler-Bernoulli apresenta termos trigonomtricos e hiperblicos. Verifica-se

    entretanto que as equaes caractersticas obtidas a partir desta soluo podem

    apresentar instabilidade numrica na determinao de altos modos de vibrao,

    devido s magnitudes excessivas dos termos hiperblicos. Gartner e Olgac (1982)

    apresentam uma forma alternativa para a soluo espacial da equao diferencial

    governante deste problema, que limita a magnitude de todos os termos da soluo

    ao intervalo aproximado de 1, reduzindo os erros no clculo das frequncias e

    modos naturais de vibrao. O trabalho de Gartner e Olgac (1982) apresenta as

    equaes caractersticas, os autovalores associados s 10 primeiras frequncias

    naturais e os coeficientes da soluo espacial para todas as combinaes de

    condies de contorno clssicas de vigas uniformes.

    Diversos pesquisadores tm se dedicado ao estudo das vigas no

    uniformes, uma vez que estas so frequentemente utilizadas em estruturas civis e

    navais, e em equipamentos.

    Abrate (1995) apresenta uma tcnica de reduo da equao diferencial

    governante de viga no uniforme a uma equao de viga uniforme equivalente, para

  • 43

    o caso da vibrao transversal de vigas de Euler-Bernoulli com variao polinomial

    de quarto grau para rea e inrcia da seo transversal. De Rosa e Auciello (1996)

    solucionaram, em termos de funes de Bessel, a equao do movimento vibratrio

    de vigas de Euler-Bernoulli com variao linear de seo transversal, com

    extremidades axial e rotacionalmente flexveis. J Auciello e Ercolano (1997)

    apresentaram a soluo analtica, utilizando funes de Bessel, para viga de Euler-

    Bernoulli com apoios genricos e com seo transversal retangular, sujeita

    variao linear da altura e da largura ao longo do comprimento. O resultado obtido

    foi utilizado na anlise de vigas com seo transversal descontnua, sendo uma

    parte constante e a outra parte com variao linear de seo.

    A anlise das frequncias naturais de vigas de Euler-Bernoulli com massas

    concentradas e condies de contorno clssicas foi realizada por Low (1997 e

    1998). As solues analticas constitudas por funes transcendentes foram

    comparadas com resultados obtidos pelo Mtodo de Rayleigh (LOW, 1998) e com

    resultados experimentais (LOW, 1997 e 1998). Recentemente, Maiz et al. (2007)

    apresentaram uma tcnica para determinao analtica de frequncias naturais de

    vibrao de uma viga de Euler-Bernoulli com condies de contorno gerais,

    carregando um nmero finito de massas em posies arbitrrias e levando em conta

    suas inrcias rotacionais. Como casos particulares deste problema, foram

    analisadas tambm vigas contnuas.

    Muitos outros trabalhos poderiam ser ainda citados. Aqueles aqui citados

    tm por objetivo mostrar um panorama geral das pesquisas realizadas sobre a

    soluo analtica de problemas de vibrao de barras e vigas, e salientar que a

    pesquisa nesta rea continua importante na atualidade. Embora a grande maioria

    dos problemas de engenharia no tenha soluo vivel pelo uso das tcnicas

    analticas, estas pesquisas so uma vasta fonte de subsdios para teste e verificao

    de novos mtodos aproximados.

  • 44

    2.2 MTODOS APROXIMADOS

    Diversos mtodos aproximados tm sido desenvolvidos para a anlise

    numrica de vibraes. Entre eles pode-se destacar: o Mtodo de Rayleigh-Ritz

    (CLOUGH; PENZIEN, 1975), o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) (PETYT, 1990;

    BATHE, 1996), o Mtodo das Tiras Finitas (CHEUNG; AU; ZHENG, 2000;

    FRIEDRICH, 2000), o Mtodo dos Elementos de Contorno (BREBBIA; NARDINI,

    1983; TANAKA; MATSUMOTO; SHIOZAKI, 1998) e os Mtodos Estocsticos

    (VANMARCKE; GRIGORIU, 1983; LEI; QIU, 1998; LI; FANG; LIU, 1999). Porm, o

    Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) continua sendo o mais empregado na soluo

    de problemas de vibraes em engenharia.

    Nesta reviso da literatura dedica-se ateno ao clssico mtodo de

    Rayleigh-Ritz, ao Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) e aos mtodos enriquecidos

    baseados no MEF, alm do Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG),

    que consiste no principal foco deste trabalho.

    2.2.1 Mtodo de Rayleigh-Ritz

    Segundo Clough e Penzien (1975), o Mtodo de Rayleigh-Ritz uma

    extenso do Mtodo de Rayleigh para problemas de vibraes livres e tem como

    hiptese bsica que o vetor de deslocamentos (u ) da estrutura pode ser expresso

    em termos de um conjunto de modos admissveis de amplitude como segue:

    u =+++= L332211 ZZZ (2.1)

    Para obter os melhores resultados com o menor nmero de coordenadas, cada uma

    das funes admissveis i deveria ser tomada como uma aproximao do modo de vibrao analtico correspondente. Porm, muitos outros esquemas tm sido

  • 45

    propostos para escolha das funes admissveis.

    No Mtodo de Rayleigh-Ritz, as funes que compem a soluo analtica

    do problema de vibrao livre de vigas uniformes de Euler-Bernoulli so amplamente

    utilizadas como funes admissveis na soluo aproximada de problemas

    estruturais complexos. Logo, frmulas de integrao para produtos destas funes

    admissveis por uma funo arbitrria integrvel so essenciais no Mtodo de

    Rayleigh-Ritz. Para este fim, Leung (1988) utiliza a forma alternativa de soluo do

    problema de vibrao livre de vigas uniformes proposto por Gartner e Olgac (1982)

    para estabelecer frmulas de integrao do tipo

    df (2.2)

    para o produto de funes e satisfazendo a equao governante do problema de

    vibrao de vigas uniformes, ou seja

    44

    4

    =dd , e (2.3)

    4

    4

    4

    =dd , (2.4)

    com uma funo arbitrria integrvel f.

    No trabalho de Leung (1988), o Mtodo de Rayleigh-Ritz foi aplicado na

    anlise de vibrao livre de uma viga no uniforme com variao polinomial cbica

    de rigidez e variao linear de massa, e foram obtidos os quatro primeiros

    autovalores associados s frequncias naturais, para diferentes parmetros de

    variao da rigidez e da massa. Tambm foi analisada a vibrao livre de um

    sistema de placas utilizando as funes de viga como funes admissveis. Os

    resultados do mtodo de Rayleigh-Ritz proposto, com 66 graus de liberdade, foram

    comparados com os resultados do Mtodo dos Elementos Finitos com 728 graus de

    liberdade. As 16 primeiras frequncias naturais obtidas pelo mtodo proposto foram

  • 46

    bastante precisas, apresentando valores prximos porm inferiores aos obtidos pelo

    MEF com nmero muito maior de graus de liberdade. Leung (1990) tambm discute

    em detalhes o mtodo para gerar as frmulas de integrao envolvendo produtos de

    funes admissveis obtidos a partir das solues analticas para vigas uniformes, e

    corrige os coeficientes de soluo para vigas com uma extremidade articulada fixa e

    outra livre, erroneamente indicados por Gartner e Olgac (1982).

    2.2.2 Mtodo dos Elementos Finitos

    O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) convencional, tambm considerado

    como uma generalizao do Mtodo de Rayleigh-Ritz (PETYT, 1990), um mtodo

    bem conhecido e poderoso na soluo de problemas com qualquer geometria e grau

    de complexidade. Porm, para atingir boa preciso em frequncias altas de vibrao

    o MEF geralmente exige um grande custo computacional. A anlise de vibraes em

    estruturas atravs do MEF apresentada e discutida por Petyt (1990).

    O MEF pode ter sua preciso aumentada atravs dos refinamentos: h, p, hp

    e adaptativos. A tcnica mais simples, denominada de refinamento h, corresponde

    ao aumento do nmero de elementos que compem a malha.

    Trabalhos recentes de Ribeiro (2001) e, Campion e Jarvis (1996) definem o

    refinamento p como sendo o aumento do grau e/ou do nmero das funes de forma

    no elemento sem alterar a malha. No caso de funes de forma polinomiais, como

    as utilizadas no MEF convencional, o refinamento p corresponde ao aumento do

    grau do polinmio interpolador da soluo. Vrios pesquisadores como Ganesan e

    Engels (1992), Zeng (1998a, b e c) e Ribeiro (2001) tm utilizado funes de forma

    no polinomiais ao proporem formas enriquecidas do Mtodo dos Elementos Finitos.

    O refinamento hp, por sua vez, consiste na combinao do refinamento da

    malha (refino h) simultaneamente com a variao na ordem do polinmio

    aproximador (refino p). Todas estas tcnicas podem ser adaptativas desde que a

    malha de elementos, as funes de forma, ou ambas, dependendo do tipo de

    refinamento, se ajustem durante o processo de anlise com o objetivo de melhorar a

  • 47

    soluo.

    Segundo Ribeiro (2001), Zienkiewicz, Gago e Kelly (1982) e, Carey e Oden

    (1984a), em um refinamento p, se o conjunto de funes de forma de uma

    aproximao de ordem p constitui um subconjunto do conjunto de funes de forma

    de uma aproximao de ordem p+1, este refinamento denominado hierrquico. As

    funes de forma hierrquicas foram introduzidas por Zienkiewicz, Irons, Scott e

    Campbell por volta do ano de 1971, conforme indica o trabalho de Zienkiewicz, Gago

    e Kelly (1982). Campion e Jarvis (1996) destacam como principais vantagens dos

    mtodos hierrquicos: a reteno dos coeficientes da matriz de rigidez quando a

    ordem da interpolao aumenta e a obteno de altas taxas de convergncia sem

    necessidade de refinar a malha, alm de resultar em melhora do condicionamento

    das equaes envolvidas.

    A utilizao de refinamentos hierrquicos na soluo de problemas de

    vibrao em estruturas permite que as matrizes de massa e rigidez j calculadas

    sejam mantidas e somente os termos destas matrizes relativos s novas funes de

    forma necessitem ser calculados. Esta propriedade reduz o esforo computacional

    necessrio para montagem das matrizes a cada etapa do refinamento. Entretanto,

    Leung e Chan (1998), e Ribeiro (2001) destacam que polinmios de alta ordem so

    mal condicionados, levando alguns pesquisadores a utilizarem funes

    trigonomtricas na interpolao dos deslocamentos em problemas de vibraes em

    estruturas.

    Segundo Solin, Segeth e Dolezel (2004), os melhores resultados do MEF

    podem ser atingidos usando refinamentos hp adaptativos orientados a uma meta.

    Estes autores apresentam os princpios bsicos do MEF de alta ordem e tcnicas de

    discretizao e refinamento adaptativos.

    O nmero de trabalhos publicados em que o MEF utilizado na anlise de

    vibraes bastante grande. Este fato pode ser comprovado, por exemplo, ao

    observarem-se as revises bibliogrficas do Mtodo dos Elementos Finitos aplicado

    anlise de vibraes de vigas, placas, cascas e outras estruturas entre os anos de

  • 48

    1994 e 1998 apresentadas por Mackerle (1999 e 2000). Recentemente, um

    elemento Lagrangiano de 4 ns para anlise de vibraes livres de vigas curvas

    atravs do MEF foi apresentado por Yang, Sedaghati e Esmailzadeh (2008).

    Ao longo dos ltimos anos tm surgido novos mtodos baseados no

    enriquecimento das funes de forma do MEF, como o Mtodo dos Modos

    Admissveis (MMA) (ENGELS, 1992, GANESAN; ENGELS, 1992), o Mtodo

    Composto (MC) (ZENG, 1998a, b e c) e o Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier

    (MEF Fourier) (LEUNG; CHAN, 1998), alm do Mtodo dos Elementos Finitos Spline

    (MEFS) (LEUNG; AU, 1990). As idias fundamentais destes mtodos e os principais

    resultados obtidos esto descritos nos prximos tpicos.

    2.2.3 Mtodo dos Elementos Finitos Spline

    O Mtodo dos Elementos Finitos Spline (MEFS), proposto por Leung e Au

    (1990), consiste na utilizao de funes B3-spline como funes de forma do campo

    de deslocamentos, na anlise de vibraes livres de vigas e placas. As funes B3-

    spline so computacionalmente eficientes e flexveis na modelagem de diferentes

    condies de contorno. Os parmetros destas funes sobre o contorno, ou fora

    dele, so totalmente eliminados atravs de transformao apropriada para garantir

    que a imposio das condies de contorno siga o mesmo procedimento do MEF

    convencional.

    O MEFS foi aplicado na anlise de vibrao livre de uma viga contnua com

    mudanas abruptas de seo e de placas com diferentes condies de contorno.

    As quatro primeiras frequncias naturais da viga foram determinadas

    utilizando o MEFS com 13 graus de liberdade efetivos e o MEF convencional com 22

    graus de liberdade. Apesar de tratar-se de discretizaes pobres, os resultados

    obtidos por ambos os mtodos apresentaram a mesma preciso, quando

    comparados soluo analtica. Observando o nmero de graus de liberdade

    empregados em cada anlise, verifica-se a maior eficincia do MEFS.

    Na anlise da vibrao livre de placas retangulares com vrias condies de

  • 49

    contorno homogneas, Leung e Au (1990) observaram que apenas 40 a 60% dos

    graus de liberdade utilizados na anlise pelo Mtodo das Tiras Finitas Spline eram

    necessrios ao utilizar o MEFS, para obter resultados com preciso similar.

    2.2.4 Mtodo dos Modos Admissveis

    O Mtodo dos Modos Admissveis (MMA) baseia-se na idia apresentada

    por Craig (1981) de que o campo de deslocamentos pode ser escrito como a

    combinao linear de funes representando modos admissveis de vibrao. O

    MMA para anlise de vibraes livres de barras, vigas e prticos proposto por

    Engels (1992) e, Ganesan e Engels (1992) consiste em descrever o campo de

    deslocamentos de um elemento genrico por:

    ( ) )()( MAIMMA uuu += (2.5)

    onde uI e uMA so os campos de deslocamentos de interface e dos modos

    admissveis, respectivamente. A interface definida como o conjunto de pontos,

    curvas e superfcies que a estrutura tem em comum com a sua vizinhana. Os

    modos admissveis devem ser linearmente independentes, suficientemente

    diferenciveis e satisfazer as condies de contorno geomtricas.

    O primeiro termo da equao (2.5) corresponde a um deslocamento esttico

    devido ao deslocamento da interface, e pode ser determinado por um sistema de

    coordenadas nodais utilizando o vetor de modos estticos de interface S, o vetor de

    deslocamentos nodais ou de interface qI e a coordenada local do elemento , como na equao:

    ( ) ( ) IqS TIu = (2.6)

    Os modos estticos de interface devem ser escolhidos de tal forma a capturar com

    preciso a deformao esttica causada pelos deslocamentos fsicos dados pelo

  • 50

    vetor de deslocamentos da interface. O modo esttico jS correspondente ao

    deslocamento nodal jIq definido como a deformao esttica do elemento para

    1 =jIq e 0 =iIq para todo ji . Verifica-se que as funes de forma do MEF convencional so idnticas aos modos estticos de interface, ou seja, o vetor de

    modos estticos corresponde ao vetor de funes de forma do MEF e os

    deslocamentos de interface aos deslocamentos nodais do elemento.

    O segundo termo do campo de deslocamentos MAu representa o restante do

    deslocamento total MMAu medido em relao a Iu por um observador absoluto. Logo,

    o campo de deslocamentos dos modos admissveis MAu se anula na interface do

    elemento e pode ser expresso como uma combinao linear de modos admissveis

    restritos na interface, atravs da equao:

    ( ) ( ) q MAu = (2.7)

    onde o vetor de modos admissveis e q o vetor de coeficientes ou

    coordenadas generalizadas.

    Existem muitos conjuntos de modos admissveis que podem ser utilizados,

    entre eles destacam-se os modos de vibrao normais restritos, que so obtidos da

    soluo analtica da vibrao livre do elemento com todos os deslocamentos de

    interface restritos. De fato, a nica restrio para os modos admissveis que sejam

    formados por funes que se anulem na interface do elemento.

    Substituindo as equaes (2.6) e (2.7) em (2.5) obtm-se:

    ( ) ( ) ( ) qqS I TMMAu += (2.8)

    Portanto, o campo de deslocamentos passa a ser escrito como uma combinao

    linear de dois conjuntos de modos admissveis: modos estticos e modos

    admissveis restritos na interface. Segundo Engels (1992) e, Ganesan e Engels

    (1992), esta representao do campo de deslocamentos completa no sentido de

    que qualquer grau de preciso teoricamente possvel desde que se acrescentem

  • 51

    diferentes modos admissveis restritos na interface em quantidade suficiente.

    O MMA apresenta trs importantes vantagens: possui alta taxa de

    convergncia, em princpio nenhuma subdiviso dos elementos base necessria e

    o modelo gerado hierrquico.

    Engels (1992) apresentou os elementos do MMA para barras e vigas de

    Euler-Bernoulli utilizando modos de vibrao normais analticos como modos

    admissveis. Tambm foram discutidas as formas de obter elementos para barras

    em toro e prticos planos e espaciais utilizando o MMA. O mtodo foi aplicado na

    anlise de vibrao livre de uma barra livre-livre, uma viga de Euler-Bernoulli

    simplesmente apoiada e um prtico plano. As tabelas 2.2 e 2.3 apresentam o

    nmero de frequncias com uma preciso de p% ou melhor em relao s solues

    analticas, em funo do nmero de graus de liberdade (ngl), com a utilizao do

    MMA e do MEF convencional implementado no software MSC/NASTRAN para

    anlise da barra e da viga. Os resultados obtidos mostram que as frequncias

    naturais obtidas pelo MMA so mais precisas que as obtidas pelo refinamento h do

    MEF convencional com um nmero maior de graus de liberdade.

    TABELA 2.2 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU MELHOR BARRA

    LIVRE-LIVRE ngl 6 16 26 36 51 p % MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF

    1 3 1 12 3 22 4 34 6 49 8 5 4 2 14 6 24 9 34 13 49 18 10 4 3 14 8 24 13 34 18 49 26

    FONTE: ENGELS (1992)

    TABELA 2.3 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU MELHOR VIGA

    SIMPLESMENTE APOIADA ngl 4 10 16 20 26 p % MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF

    1 2 1 8 3 14 5 18 6 24 8 5 2 1 8 4 14 7 18 9 24 12 10 2 1 8 4 14 7 18 9 24 12

    FONTE: ENGELS (1992)

    Ganesan e Engels (1992) desenvolveram elementos de viga de Euler-

    Bernoulli para o MMA utilizando dois diferentes tipos de modos admissveis restritos

  • 52

    na interface: modos de vibrao livre de viga bi-engastada (modos normais) e

    funes trigonomtricas. A figura 2.1 mostra o desempenho destas duas

    formulaes do MMA e do MEF convencional na anlise de uma viga simplesmente

    apoiada.

    FIGURA 2.1 NMERO DE FREQUNCIAS CONVERGINDO COM PRECISO MNIMA DE 1% -

    VIGA SIMPLESMENTE APOIADA FONTE: GANESAN E ENGELS (1992)

    2.2.5 Mtodo Composto e Mtodo do Modo Componente

    Outro mtodo para anlise de vibraes, denominado Mtodo Composto

    (MC) (Composite Element Method), foi apresentado por Zeng (1998a, b e c). Este

    mtodo basicamente uma combinao da versatilidade do MEF com a alta

    preciso das solues analticas. O MC obtido utilizando o elemento convencional

    do MEF, com o conjunto de funes de forma enriquecido pela adio de funes

    no polinomiais relacionadas s solues analticas do problema.

    Os novos graus de liberdade relacionados s funes enriquecedoras no

    tm significado fsico direto e foram denominados graus de liberdade c por Zeng

    (1998b). O MC pode ser refinado atravs do aumento de elementos da malha

    (refinamento h) ou atravs do aumento da base de funes de forma. O refinamento

    hierrquico obtido pelo aumento do nmero das funes analticas na soluo

    aproximada foi denominado refinamento c por Zeng (1998a e b).

    Zeng (1998a e b) desenvolveu elementos de barra, viga de Euler-Bernoulli e

  • 53

    prtico utilizando esta tcnica para anlise de vibraes livres. Shi e Zeng (2000)

    desenvolveram o elemento composto para vibrao de placa fina elstica. Machado

    et al. (2002) apresentam elementos compostos para vigas de Euler-Bernoulli, vigas

    de Timoshenko e placas de Mindlin.

    Alm do MC, outro mtodo, denominado Mtodo do Modo Componente,

    apresentado por Weaver Junior e Loh (1985), utiliza solues analticas na funo

    de interpolao de deslocamentos. O Mtodo do Modo Componente utiliza, na

    funo de interpolao de deslocamentos laterais do elemento, as solues

    analticas do problema de vibrao livre de uma viga bi-rotulada, com o objetivo de

    incluir o efeito dos modos locais de vibrao na anlise dinmica de trelias.

    No MC, o campo de deslocamentos descrito pela combinao de funes

    de forma polinomiais de elementos finitos, baseados nos valores nodais, e funes

    de forma obtidas das solues analticas. As funes analticas utilizadas so

    obti