Vibrações lineares

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Estudo dirigido sobre Vibrações Livres em Estruturas reticuladas.

Text of Vibrações lineares

  • ALEXANDRE DA SILVA GALVO

    ESTUDO DIRIGIDO

    Rio de Janeiro, 1o semestre de 2001

    ANLISE DE SISTEMAS RETICULADOS ESBELTOS

    PUC -RIOPONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO DE JANEIRO

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    Co-orientador: Ricardo Azoubel da Mota SilveiraESCOLA DE MINAS / UFOP

    Orientador: Paulo Batista GonalvesPUC - RIO

  • 21INTRODUO

    1.1 OBJETIVO DO TRABALHO

    O programa computacional que servir de base ao presente trabalho comeou a

    ser desenvolvido por Silveira (1995) que introduziu rotinas capazes de efetuar anlises

    lineares e no-lineares (no-linearidade geomtrica) de sistemas estruturais formados

    por elementos de prtico plano. Neste programa, para as anlises no-lineares, utilizou-

    se uma formulao de prtico plano baseada no trabalho de Alves (1993), foram

    tambm dadas ao usurio opes de estratgias de soluo no-linear (incremento de

    carga e de iterao) e impresso de resultados (arquivos de ps-processamento).

    Galvo (2000) implementou e estudou diferentes formulaes geometricamente

    no-lineares para prticos planos, fazendo um estudo comparativo dessas formulaes

    atravs de vrios exemplos numricos.

    Alem de possibilitar a anlise de estruturas reticuladas planas com forte no-

    linearidade como, por exemplo, o prtico em L (Galvo et.al, 2000), as citadas

    implementaes permitiram que Gentil (2000), em sua dissertao de mestrado, fizesse

    um estudo detalhado de diferentes estratgias de soluo no-linear.

    A continuidade natural do presente trabalho ser a expanso do programa para

    realizar anlises linear esttica e linear dinmica de trelias e prticos (2D e 3D), e

    anlise no-linear esttica e no-linear dinmica de trelias e prticos (2D e 3D);

    Por hora, o objetivo acrescentar ao programa as seguintes opes:

    (i) anlise linear esttica:

    (i.i) elementos de trelia 2D e 3D;

    (i.ii) elementos de prtico 2D e 3D.

    (ii) clculo das freqncias naturais e os respectivos modos de vibrao:

    (i.i) elementos de trelia 2D e 3D;

    (i.ii) elementos de prtico 2D e 3D.

  • 31.2 PROGRAMA COMPUTACIONAL

    Nesta seo ser apresentado, de forma esquemtica, o programa principal que

    responsvel pelo gerenciamento das diversas subrotinas implementadas. As subrotinas

    referentes ao presente trabalho sero mostradas detalhadamente no Captulo 3.

    A organizao do programa pode ser resumida conforme o esquema apresentado

    pela Figura 1.1.

    FIM

    SADA de RESULTADOS(Ps-processador)

    ANLISE do PROBLEMA(Subrotina SOLUC)

    ENTRADA de DADOSINCIO

    SOLUO NO-LINEAR(Subrotina SOLNL)

    Prtico

    SOLUO LINEAR(Subrotina SOLL)

    Esttica-trelia 2D-trelia 3D-prtico 2D-prtico 3D

    Dinmica-trelia 2D-trelia 3D-prtico 2D-prtico 3D

    Figura 1.1 Programa computacional.

    O primeiro procedimento realizado pelo programa principal a leitura do primeiro

    arquivo de dados de entrada. Esses dados definem a geometria do modelo estrutural

    com o nmero de pontos nodais, de elementos e condies de contorno; as propriedades

    fsicas dos materiais que compem a estrutura; e o carregamento externo atuante.

    Caso se deseje realizar uma anlise linear esttica, os passos seguintes so a

    montagem do vetor de foras externas F e da matriz de rigidez linear KL, podendo

    assim calcular os deslocamentos nodais atravs de KL u = F. Para a anlise linear

    dinmica, deve-se obter ainda a matriz de massa Km, e resolver o problema de auto-

    valor ( KL - 2Km )u, obtendo assim as freqncias naturais e os modos de vibrao da

    estrutura.

  • 4Caso a anlise no-linear seja escolhida pelo usurio, o passo seguinte a leitura

    dos dados de entrada complementares, onde esto as informaes necessrias a esse tipo

    de anlise, como, por exemplo, a formulao no-linear a ser empregada, a estratgia de

    soluo, o valor inicial do parmetro de carga, o nmero de incrementos, o critrio de

    convergncia, o nmero mximo de iteraes por incremento, e outros parmetros

    relativos estratgia de soluo escolhida.

    Aps a leitura dos dados chamada a subrotina LOADF para montagem do vetor

    de cargas de referncia Fr. Entra-se ento no processo incremental-iterativo de soluo,

    que resumido a seguir:

    chama a subrotina MATRIG para montar a matriz de rigidez K, de acordo com a

    formulao escolhida, e obtm-se os deslocamentos nodais tangenciais Tu ;

    calcula em SCALUP a soluo predita, 00 ue , de acordo com a estratgia de

    incremento de carga escolhida;

    corrige a soluo predita pelo processo iterativo na subrotina ITER;

    em NEXINC so feitas as atualizaes dos parmetros para o prximo incremento

    de carga;

    se o nmero de passos de carga menor do que o desejado recomea-se o processo.

    Os resultados so ento apresentados em arquivos de sada. O arquivo gerado com

    extenso (.dat) pode ser lido, por exemplo, pelo software GRAPHER, que possibilita a

    impresso das diversas curvas necessrias visualizao da anlise; o arquivo neutro

    DEPOS pode ser utilizado no ps-processador grfico, implementado em linguagem

    FORTRAN por Silveira (1995), para a visualizao das configuraes deformadas do

    sistema estrutural analisado; o arquivo de sada RELAT.S contm informaes sobre as

    ocorrncias do processo de soluo.

  • 51.3 ORGANIZAO DO TRABALHO

    No Captulo 2 sero apresentados os elementos finitos de trelia e de prtico,

    planos e espaciais. Neste Captulo sero definidas as matrizes de rigidez, de massa e de

    rotao para cada tipo de elemento.

    As implementaes computacionais do presente trabalho sero abordadas no

    Captulo 3, com um melhor detalhamento das principais subrotinas.

    No Captulo 4 sero analisados alguns exemplos numricos encontrados na

    literatura para validar as implementaes discutidas no Captulo 3.

  • 62ELEMENTOS FINITOS

    2.1 INTRODUO

    Com vista em estruturas reticuladas de comportamento linear-elstico, dois tipos

    de problemas sero abordados neste trabalho:

    i) Anlise Esttica: a soluo desse tipo de problema consiste em resolver

    um sistema de NGL equaes, onde NGL o nmero de graus de liberdade do sistema

    estrutural em questo. Para haver equilbrio esttico numa estrutura, a soma das foras

    externas Fi e o dos esforos internos Fii, correspondentes ao mesmo grau de liberdade

    genrico i, devem se anular. No mtodo da rigidez o problema colocado da seguinte

    forma:

    uKF L (1)

    onde F o vetor de foras externas, KL a matriz de rigidez linear e u so os

    deslocamentos nodais a serem obtidos.

    ii) Anlise Dinmica: no presente trabalho pretende-se obter as freqncias

    naturais i e os modos de vibrao correspondentes ui para os diversos tipos de

    elementos propostos. Para isso, basta resolver um problema de vibrao livre do tipo:

    0uMKL )-(2 (2)

    que um problema de auto-valor. Para esse problema, alem da matriz de rigidez KL,

    deve-se definir a matriz de massa M da estrutura analisada.

    Para permitir que um sistema estrutural genrico seja resolvido deve-se definir

    priori as matrizes de rigidez e de massa elementares num sistema local. As matrizes do

    sistema so montadas fazendo-se a somatria das matrizes elementares, devidamente

    transformadas para o sistema global atravs da matriz de rotao R, e levando-se em

    conta as restries de cada problema.

  • 7Uma forma de se obter as componentes da matriz de rigidez linear de um

    elemento finito atravs da energia interna de deformao atravs da expresso:

    ji

    L2

    L uuUk

    ij

    (3)

    Sendo que UL a parcela linear da energia de deformaes internas em termos dos

    deslocamentos nodais ui. Isto feito obtendo-se os deslocamentos em funo dos

    deslocamentos nodais atravs de funes de interpolao.

    A matriz de massa consistente pode ser obtida atravs da seguinte expresso:

    dvolTvol

    ffM (4)

    onde a densidade de massa do material e f a matriz que contm as funes de

    interpolao.

    A seguir sero apresentadas as matrizes de rigidez, de massa e de rotao para

    cada elemento finito considerado no estudo.

    2.2 TRELIA PLANA

    A Figura 2.1 ilustra o elemento de trelia plana, destacando os seus 6 graus de

    liberdade.

    34

    2

    yx

    Figura 2.1: elemento de trelia plana.

    Para aproximar os deslocamentos desse elemento so utilizadas funes de forma

    lineares, que so agrupadas em f da seguinte maneira:

    x0x-L0

    0x0x-Lf(5)

  • 82.2.1 Matriz de Rigidez

    0000010100000101

    LEA

    LK

    (6)

    2.2.2 Matriz de Massa

    2010020110200102

    6ALM

    (7)

    2.3 PRTICO PLANO

    O elemento de prtico plano sujeito a deformaes axiais e de flexo. Os 6 graus

    de liberdade desse elemento so mostrados na Figura 2.2.

    y x

    Figura 2.2: elemento de prtico plano.

    Para que haja continuidade de deslocamentos e rotao nos bordos dos elementos

    adjacentes, suficiente considerar, para aproximar o deslocamento axial, uma funo

    linear, enquanto para a componente transversal deve ser usada uma funo do terceiro

    grau.

    2L

    3x

    L

    2x-3L

    32x-2L

    23x02L

    3x+

    L

    22x-x3L

    32x+2L

    23x-10

    00L

    x00

    L

    x-1

    f

    (8)

  • 92.3.1 Matriz de Rigidez

    L

    EI4

    2L

    EI63L

    EI12

    00L

    EAS

    L

    EI22L

    EI60

    L

    EI4

    2L

    EI63L

    EI1202L

    EI63L

    EI12

    00L

    EA00

    L

    EA

    imtricaLK

    (9)

    2.3.2 Mat