VIBRAÇÕES MECÂNICAS

VII

CONTEÚDO

1 INTRODUÇÃO .........................................................................................1 1.1 Introdução a aspectos importantes da vibração e suas aplicações ...................................................................................1 1.2 Características dos sistemas vibratórios .......................................4 1.3 Considerações sobre a matemática dos sistemas vibratórios discretos ..................................................................14 1.3.1 Método da transformada de Laplace em vibrações mecânicas .....................................................15

2 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS COM UM GRAU DE LIBERDADE .............................................................................23 2.1 Vibrações livres sem amortecimento para um grau de liberdade ..............................................................................28 2.2 Vibrações livres com amortecimento para um grau de liberdade ..............................................................................32 2.3 Vibrações forçadas para um grau de liberdade ..........................39 2.4 Transmissibilidade à fundação e vibração com movimento de base com um grau de liberdade .........................48 2.5 Exemplos de sistemas livres com um grau de liberdade ..................................................................................52 2.5.1 Associação de molas em paralelo .................................52 2.5.2 Associação de molas em série ......................................53 2.5.3 Pêndulo simples — equação do movimento e freqüência natural ......................................................54 2.5.4 Pêndulo torcional .........................................................55 2.5.5 Equivalência entre o movimento do pêndulo simples e o de uma massa M com deslocamento horizontal .....................................................................56 2.5.6 Vibração torcional em sistema eixo/disco .....................57 2.5.7 Oscilação de líquido em tubo em forma de U .............................................................................58 2.5.8 Movimento vertical de corpo fl utuante .........................60 2.5.9 Vibração aproximada de massa apoiada em viga engastada ........................................................62

vibra00 VIIvibra00 VII 24.06.06 15:15:4224.06.06 15:15:42

VIII

3 VIBRAÇÕES COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE ..................................63 3.1 Vibrações livres sem amortecimento com dois graus de liberdade ..................................................................................63 3.2 Outros exemplos de sistemas livres com dois graus de liberdade ..................................................................................73 3.3 Vibrações livres com amortecimento para sistemas com dois graus de liberdade .............................................................76 3.4 Vibrações forçadas para sistemas com dois graus de liberdade ..................................................................................80 3.5 Sistemas acoplados em translação e rotação com dois graus de liberdade ....................................................................87 3.6 Sistemas semidefi nidos com dois graus de liberdade .................92

4 VIBRAÇÕES COM N GRAUS DE LIBERDADE ........................................95 4.1 Vibrações livres com n graus de liberdade ................................98 4.2 Vibrações forçadas com n graus de liberdade .........................104 4.3 Alguns exemplos .....................................................................106 Exemplo 1 ...............................................................................106 Exemplo 2 ...............................................................................107 4.4 Vibração com n graus de liberdade usando equações de Lagrange ............................................................................107

5 INTRODUÇÃO A VIBRAÇÕES DE SISTEMAS CONTÍNUOS ................125 5.1 Vibrações livres em uma corda tensa ......................................126 APÊNDICE I — TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................135 Corolários .........................................................................................136 Propriedades fundamentais ...............................................................136 Resolução de equações diferenciais lineares .....................................138 Funções singulares e transformadas ...................................................139

APÊNDICE II — INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DE LAGRANGE .................143 Vínculos ............................................................................................143 Coordenadas generalizadas ...............................................................146 Deslocamentos possíveis e virtuais no caso de sistemas holônomos ..147 Energia cinética em termos de variáveis generalizadas ......................150 Trabalho virtual .................................................................................150 Equação de D’Alembert ....................................................................151 Caso de forças conservativas .............................................................153

APÊNDICE III — ENVOLTÓRIA DAS CURVAS DE RESPOSTA E DECREMENTO LOGARÍTMICO NO CASO DE VIBRAÇÕES LIVRES, AMORTECIDAS, COM UM GRAU DE LIBERDADE .........................................................161 Caso subcrítico ..................................................................................161

BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................165

ÍNDICE ALFABÉTICO .....................................................................................167

vibra00 VIIIvibra00 VIII 24.06.06 15:15:4324.06.06 15:15:43

INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO 11.1 INTRODUÇÃO A ASPECTOS IMPORTANTES DA

VIBRAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES

As vibrações de natureza mecânica são fenômenos importantes do mundo físico, e suas manifestações ocorrem com freqüência no uni-verso que nos circunda, liberando muitas vezes grandes quantidades de energia, como ocorre nos tremores de terra na crosta terrestre. Fenômenos vibratórios na natureza são, portanto, anteriores à exis-tência do homem. Entretanto, é no cotidiano do mundo moderno que deparamos mais freqüentemente com inúmeros fenômenos físicos associados a vibrações mecânicas e suas manifestações. Assim, em aparelhos de uso doméstico, como o aparelho elétrico de barbear, o aspirador de pó, o secador de cabelo, a máquina de lavar roupa, etc., podemos vivenciar a sensação induzida pelo movimento mecânico de alta freqüência e de pequena amplitude de deslocamento, desa-gradável em geral, associado a ruído sonoro e que conduz à fadiga física após certo tempo de exposição.

No automóvel ou outros veículos de transporte urbano senti-mos, de modo semelhante, o efeito dos movimentos e acelerações in-duzidos em nosso corpo, causado pelas irregularidades (ondulações, cavidades ou protuberâncias) nas vias de tráfego. Na indústria, as máquinas de produção de bens, em geral compostas por inúmeros eixos e cilindros girando com rotação elevada, induzem movimentos

INTRODUÇÃO

Vibra01 1Vibra01 1 24.06.06 15:20:0424.06.06 15:20:04

6 INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Mancal A Eixo

L

L

Disco

Mancal B

F

O

FIGURA 1.2 Rotor desbalanceado, apoiado em dois mancais, girando com rota-ção constante. A força F(t) é a força dinâmica fonte da vibração induzida nos

mancais.

F

Eixo

L

LB

A

O

�

i j

H

V

FV

H

H

V

i

jH

FV

FIGURA 1.3 Forças e reações atuantes no rotor desbalanceado.

Observando o que ocorre nos mancais de apoio A e B, vamos ve-rifi car a existência de um movimento pulsante, de baixa amplitude, associado à força centrífuga atuante. A transmissão da força de des-balanceamento do rotor para os mancais só é possível devido a duas

Vibra01 6Vibra01 6 24.06.06 15:20:0624.06.06 15:20:06


T

0 1 2 3 4 5Tempo

T = período

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x = deslocamentoVA = força

x VA

FIGURA 1.7 Vibração forçada com um grau de liberdade. Excitação (força) e resposta (vibração da massa) em rotor girando com desbalanceamento de massa.

VA

X

FIGURA 1.8 Representação por fasores entre força excitadora e resposta (deslocamento da massa).

Tanto a intensidade do vetor que representa o deslocamento como o ângulo de fase entre os dois vetores no plano dos fasores mudam com o valor de ω, como será mostrado analiticamente no Cap. 2.

Vibra01 12Vibra01 12 24.06.06 15:20:0724.06.06 15:20:07

VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS COM UM GRAU DE LIBERDADE 23

CAPÍTULO 2VIBRAÇÃO DE SISTEMAS

MECÂNICOS COM UM GRAU DE LIBERDADE

Os esquemas das Figs. 2.1 a 2.9 exemplifi cam alguns sistemas com parâmetros concentrados que podem ser tratados com um grau de liberdade, isto é, quando apenas uma variável descreve completa-mente a vibração do conjunto.

g

K C

xM

FIGURA 2.1 Sistema vibratório com um bloco de massa M, com deslocamento vertical.

g

L

MMg

T

FIGURA 2.2 Pêndulo simples – exemplo de sistema com um grau de liberdade.

vibra02 23vibra02 23 24.06.06 15:23:3224.06.06 15:23:32


Seção Ag

Líquido,densidade ρL

FIGURA 2.6 Movimento de líquido no interior de tubo.

M

Keqv

X

X

EI

LM

FIGURA 2.7 Vibração de viga em fl exão, com massa concentrada numa extremidade.

KT

L

Atritog

R

O

J

MomentoM(t)

θ

FIGURA 2.8 Vibração de rotor horizontal sujeito a momento aplicado.

Sem atrito

M

xg

k1 k2

FIGURA 2.9 Massa em vibração sobre superfície horizontal lisa.

vibra02 25vibra02 25 24.06.06 15:23:3424.06.06 15:23:34


� = 0,0

� = 0,15

� = 0,3

� = 0,5

Mag

6

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 r

Magnitude - fator de amplificação dinâmica

0 1 2 3 4 5 r

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-160

-180

-200

Fase para o fator de amplificação dinâmicopara um grau de liberdade

� = 0,0� = 0,15

� = 0,3� = 0,5

FIGURA 2.20 Curvas de magnitude e fase em função da razão r das freqüências de excitação e natural para vibração forçada por função tipo senoidal.

vibra02 47vibra02 47 24.06.06 15:23:3924.06.06 15:23:39

VIBRAÇÕES COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE 63

No capítulo anterior tratamos de sistemas vibratórios em que apenas uma coordenada de deslocamento defi nia totalmente a vibração. Em termos analíticos a vibração fi cou caracterizada pela solução de uma única equação diferencial do tipo ordinária na variável independente t. Outra característica importante do que foi visto em sistemas com um grau de liberdade é a existência de uma única freqüência natural que tem um papel importante tanto na vibração livre como na força-da periódica.

Neste capítulo vamos tratar de sistemas vibratórios em que duas coordenadas de espaço (deslocamento de massas) são necessárias para caracterizar o sistema vibratório. De maneira análoga, vamos considerar também os casos vistos anteriormente, isto é, vibrações livres sem e com amortecimento e vibração forçada para dois graus

de liberdade.

3.1 VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE

Tomemos o exemplo mostrado na Fig. 3.1, em que dois blocos, de massas M1 e M2, unidos por uma mola de constante elástica K2, são levados a uma posição de equilíbrio estático no campo gravitacio-nal. Duas variáveis, correspondentes aos deslocamentos verticais das

CAPÍTULO 3VIBRAÇÕES COM DOIS

GRAUS DE LIBERDADE

vibra03 63vibra03 63 24.06.06 15:28:4524.06.06 15:28:45


O1

J1

O2

KT2

L2L1

KT1

g

�1

J2

�2

FIGURA 3.6 Sistema vibratório torcional com dois graus de liberdade.

A solução pelo método visto anteriormente conduz à equação ca-racterística:

ω ω4 1 2

1 2

22

2 1 2 2−+ +( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

++J K J K K

J J

K KT T T T TT T TK K

J J

1 2 1

2

1 2

0−

= .

(3.30)

Considerando momentos de inércia iguais a J, comprimentos L, e mesmas constantes elásticas torcionais KT, chegamos às freqüências naturais:

ω ω

nT

nT

K

J

K

J1 2

2 20 38 2 62= =

, ,.e

(3.31)

Podem-se determinar o modos naturais, que resultam em:

C

C

CC

C

C

( ) ( )1 11

12

2 21

22

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=⎡

⎣e ⎢⎢

⎢

⎤

⎦⎥⎥,

(3.32)

com C12 = 1,62C11 e C21 = – 0,62C22.

Notar que, nesse caso, a vibração do segundo modo natural na freqüência mais elevada ocorre com um nó entre os dois discos.

vibra03 75vibra03 75 24.06.06 15:28:4924.06.06 15:28:49


J1

O2KT

L

g

�1

J2

�2

MT1MT2

O1

FIGURA 3.16 Sistema semidefi nido, com discos em vibração torcional.

e inserindo em (3.72), resulta o sistema algébrico de equações:

J s K

K

K

J s K

C

C

T

T

T

T

12

22

1

2

0

0

+

−

⎡

⎣⎢⎢

−

+

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=⎡⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.

(3.74)

A solução de (3.74) exige a resolução da equação característica:

J J s J K J K s

T T1 24

1 22+ + = 0,( )

(3.75)

ou seja,

J J s J K J K s

T T1 22

1 22+ + = 0.( )⎡

⎣⎤⎦

(3.76)

Temos, portanto, duas soluções em s2:

− = =

− = =+( )

s

sK J J

J J

n

n

T

2 2

2 2 1 2

1 2

1

2

0ω

ω

,

.

(3.77)

Substituindo esses valores de volta em (3.74), para cálculo dos modos de vibrar, temos, para s2 = 0, C1 = C2; e, como nesse caso C1e

st = C1, resulta que essa solução representa o movimento do con-

junto em rotação pura, como se fosse um único corpo sólido.

vibra03 93vibra03 93 24.06.06 15:28:5324.06.06 15:28:53

VIBRAÇÕES COM N GRAUS DE LIBERDADE 95

Neste capítulo, são considerados sistemas vibratórios com mais de dois graus de liberdade. Trata-se da extensão de nossa exposição para sis-temas caracterizados por mais de duas coordenadas generalizadas.

A vibração será defi nida pela solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias na variável independente t. Em geral, será con-veniente a utilização de matrizes para o tratamento do problema.

Vamos proceder a uma breve introdução do conceito de graus de liberdade para um sistema mecânico, embora isso seja tratado com maior detalhe no Apêndice II.

O conceito de graus de liberdade está associado aos possíveis deslocamentos que um conjunto de corpos acoplados pode realizar no espaço físico. Assim, um ponto material totalmente livre pode efe-tuar deslocamentos nas três direções do espaço; tem, portanto, três graus de liberdade, que coincidem com o número de coordenadas necessárias para defi nir um deslocamento fi nito do ponto.

Chamam-se vínculos as restrições impostas ao deslocamento dos corpos móveis. Os vínculos sempre diminuem os graus de liberdade. Assim, se o deslocamento do ponto for restrito a um plano, o número de graus de liberdade passará a ser dois e, se for restrito a uma reta, terá apenas um grau de liberdade. É evidente que, se o ponto mate-rial por ação vincular não puder sofrer deslocamentos, então não terá nenhum grau de liberdade.

CAPÍTULO 4VIBRAÇÕES COM N GRAUS

DE LIBERDADE

vibra04 95vibra04 95 24.06.06 15:32:1224.06.06 15:32:12


A energia potencial total será

V

mg q qK OA a K O B a=

+( )+ − + −( )1 3 2

1

2

2

1

2

1

2( ) .

Para obter a parte quadrática dessa energia vamos calcular OA e O1B até os termos da ordem de q2, usando a série do binômio:

( ) ( ) ...1 1 1

2

2

+ = + + − +x mx m mxm

OA a aq q q

aaq q q

= − + +( ) =

= −− −

4 4

2 14

4

21 1

222

1 2

1 12

22

/

aa

aaq q q

a

aq

2

1 2

1 12

22

2

12 1

1

2

4

4

1

8

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈

≈ −− −

−−

/

qq q

a

aq

a

q

a

12

22

2

4

1 22

2

16

2 12 8

−( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥≈

≈ − +⎛

⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

Então

OA a q

q

aO q= − + + ( )2

4122

3 .

Decorre que

( )OA a a qq

aa aq q

q− ≈ − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − + +

⎛2

122

2

21 1

2 22

42

2⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ + ( )O q

3 .

A expressão de (O1B – a)2 é semelhante, bastando substituir q1 e q2, respectivamente por q3 e q4. Resulta, para V:

vibra04 116vibra04 116 24.06.06 15:32:1824.06.06 15:32:18

VIBRAÇÕES COM N GRAUS DE LIBERDADE 121

Exercício 4.4

Os vértices de uma placa retangular, homogênea, de lados a e b, es-tão apoiados em quatro molas idênticas, de constante elástica K.

Considerando pequenas oscilações da placa, e admitindo os des-locamentos dos quatro vértices aproximadamente verticais, calcular as freqüências naturais do sistema.

a(1) (2)

(3)

b

(4)

m

g

FIGURA 4.9 Placa retangular apoiada por molas nos vértices.

Solução

Na posição horizontal, de equilíbrio da placa, as quatro molas es-tão igualmente comprimidas, suportando, cada uma, ¼ do peso próprio mg.

Sejam z1, z2, z3 e z4 as cotas dos vértices, medidas a partir da posição na qual as molas não trabalham, no sentido da vertical ascen-dente.

A energia cinética da placa é

T mv J mv J J J

G

t

G G x y z= +( ) = + + +( )1

2

1

22 2

12

32

32ω ω ω ω ω ..

Chamando de z a cota do baricentro da placa, temos:

vibra04 121vibra04 121 24.06.06 15:32:1924.06.06 15:32:19

INTRODUÇÃO A VIBRAÇÕES DE SISTEMAS CONTÍNUOS 125

Nos capítulos anteriores os sistemas vibratórios foram tratados por modelos conhecidos como sistemas com parâmetros concentrados (lumped parameter systems). Há sistemas, contudo, que admitem soluções analíticas que mais se aproximam da realidade, utilizando uma modelagem um pouco mais complexa. Resultam modelos conhe-cidos como sistemas com parâmetros distribuídos.

Exemplos desses sistemas podem ser extraídos de vibrações de elementos estruturais simples (placas, cascas, vigas, cordas, etc.) ou elementos compostos (painéis estruturais reforçados, comuns em instalações industriais e veículos).

As grandezas fundamentais que intervêm na vibração de sistemas distribuídos, como massa, rigidez ou fl exibilidade e amortecimentos, passam a ser funções contínuas de variáveis espaciais. Em problemas unidimensionais, como no caso de vigas simples, essas grandezas se-rão funções da distância x, medida ao longo da viga.

Já em problemas bidimensionais, como é o caso de vibrações de placas, essas grandezas serão função de duas variáveis espaciais: x e y, por exemplo.

Há diferenças fundamentais no equacionamento do problema de vibração de sistemas contínuos, pois é necessário explicitar as con-

CAPÍTULO 5INTRODUÇÃO A

VIBRAÇÕES DE SISTEMAS CONTÍNUOS

vibra05 125vibra05 125 24.06.06 15:34:3924.06.06 15:34:39

INTRODUÇÃO A VIBRAÇÕES DE SISTEMAS CONTÍNUOS 127

w

Tensão F0

w(t,x)

�(x) - densidade linear

x = 0 x = L

x

FIGURA 5.1 Vibração livre de uma corda tensa, fi xa nas extremidades.

F

dxF

�(x)

w(x, t)

�(x)- densidade linear

+dxd�

dx�(x)

FIGURA 5.2 Equilíbrio de um elemento de corda de comprimento dx.

Fazendo o equilíbrio de forças na direção vertical e partindo de uma posição de equilíbrio em que a corda está esticada horizontal-mente, pelo diagrama de corpo livre, teremos:

F

xdx F dx

w

tφ φ φ ρ+ ∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟− = ∂

∂( ) ,

2

2

(5.2)

ou

Fx

w

t

∂∂

= ∂∂

φ ρ2

2.

Admitindo vibrações de pequenas amplitudes, os valores do ângulo φ serão pequenos e

resultando

∂∂

= ≈

∂∂

= ∂∂

w

x

w

x c

w

t

tan ,

,

φ φ

2

2 2

2

2

1 (5.3)

vibra05 127vibra05 127 24.06.06 15:34:4024.06.06 15:34:40


Costuma-se dizer que os sistemas com parâmetros distribuídos têm infi nitos modos de vibrar e infi nitas freqüências naturais. Em termos de número de graus de liberdade, apresenta infi nitos graus de liberdade se, em comparação aos sistemas com parâmetros concen-trados, que têm graus de liberdade em número fi nito.

Meio ciclo de senóide

Primeiro modo de vibrar

Nó

Nó

x = 0 x = L Nó

x

w

w NóSegundo modo de vibrar

x = L

x

Nóx = 0 Um ciclo de senóide

FIGURA 5.3 Modos de vibrar de uma corda tensa, presa nas extremidades.

Observar que as vibrações naturais ocorrem de modo a formar nós, ou seja, pontos sem nenhuma vibração ou deslocamento verti-cal, ao longo da corda. No segundo modo de vibrar, além das extremi-dades, o ponto médio da corda permanece fi xo em todos os instantes, conforme mostrado no segundo gráfi co da Fig. 5.3.

Notar que, se fi xarmos um valor de x = xP, isto é, a posição de um ponto P ao longo da corda, o termo

B

n

Lx

P1 senπ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

na Eq. (5.16) funcionará como uma amplitude fi xa para o restante da função que depende apenas de t e tem um movimento harmônico puro na direção vertical.

Notar também que, no primeiro modo de vibrar, os movimentos de todos os pontos da corda estão em fase; isto é, em todos os ins-tantes, os deslocamentos são todos positivos ou todos negativos. Já

vibra05 132vibra05 132 24.06.06 15:34:4224.06.06 15:34:42

TRANSFORMADA DE LAPLACE 135

A transformada de Laplace da função f, definida no intervalo (0, ∞), é a função de variável complexa s defi nida por

L f t F s f t e dt

st( ) ( ) ( ) ,{ } = =∞ −∫0

(AI.1)

numa certa região do plano complexo, na qual a integral converge. A região chama-se região de convergência da transformada.

Verifi ca-se, imediatamente, a propriedade da linearidade:

L af t bg t aF s bG s( ) ( ) ( ) ( ),+{ } = +

(AI.2)

sendo a e b constantes.

Procuremos a transformada da função tpect, p > – 1, supondo s – c com parte real positiva e z = (s – c)t. Decorre

L t e t e e dt t e dts

p ct p ct st p s c t{ } = = =∞ − ∞ − −∫ ∫0 0

1( )

( −− +

∞ −∫c

z e dzp

p z

).

1 0

(AI.3)

APÊNDICE ITRANSFORMADA

DE LAPLACE

vibra06-I 135vibra06-I 135 24.06.06 15:35:4524.06.06 15:35:45


COROLÁRIOS

11

21

1 0 1)

!;

)(

L ts

z e dzp

s

L es

p

p

p z

p

ct

{ } = =

{ } =

+

∞ −+∫

−−=

−

{ } =−

++

−∞∫c

e dzs c

L ats a s a

z

);

)( ) ( )

0

1

31

2

1 1ch

⎡⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

{ } =−

−

s

s a

L ats a

2 2

1

2

1 1

e

sh( ) (ss a

a

s a

L ats aj s

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

{ } =−

+

);

) cos( ) (

2 2

41

2

1 1

++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+

{ } =−

aj

s

s a

L atj s aj

);

( )

2 2

1

2

1sen −−

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+1

2 2( ).

s aj

a

s a

(AI.4)

Nota: ch e sh são, respectivamente, as funções co-seno e seno hiper-bólicos.

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS

a) Deslocamento da função no domínio de t

Seja f+(t) a função defi nida por:

f t f t+ = ≤( ) ( ) .0 0se

e

f t f t t+ =( ) ( ) .se > 0

Procuremos a transformada da função deslocada em t, isto é,

f t a a+ >( – ), .com 0

Temos

f t a e dt f t a e dt f x e

st st s

+∞ − ∞ − ∞ −− = − =∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )0 0 0

(( ) ,x adx

+

vibra06-I 136vibra06-I 136 24.06.06 15:35:4724.06.06 15:35:47

TRANSFORMADA DE LAPLACE 141

TABELA AI.1 Transformadas de Laplace

f(t) F(s)

δ(t) – impulso 1

dδ(t)/dt s

u1(t) – degrau 1/s

u2(t) – rampa 1/s2

tn n!/sn+1

e–at 1/(s + a)

te–at 1/(s + a)2

tne–at n!/(s + a)n+1

sen βt β/(s2 + β2)

cos βt s/(s2 + β2)

sh βt β/(s2 – β2)

ch βt s/(s2 – β2)

e–at sen βt β/[(s + a)2 + β2]

e–at cos βt (s + a)/[(s + a)2 + β2]

t sen βt 2βs/(s2 + β2)2

t cos βt (s2 – β2)/(s2 + β2)2

te–at sen βt 2β(s + a)/[(s + a)2 + β2]2

te–at cos βt [(s + a)2 – β2]/[(s + a)2 + β2]2

f(t – T) e–Ts F(s)

vibra06-I 141vibra06-I 141 24.06.06 15:35:4824.06.06 15:35:48

INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DE LAGRANGE 143

Neste apêndice, fazemos uma abordagem introdutória às equações de Lagrange, que constituem um poderoso ferramental para obtenção dos modelos matemáticos da vibração mecânica. Iniciaremos pelos conceitos de vínculos, graus de liberdade, coordenadas generali-

zadas e trabalhos virtuais, da Mecânica Analítica. As equações de Lagrange são derivadas a partir da aplicação dos Trabalhos Virtuais e Princípio de D’Alembert.

VÍNCULOS

Consideremos um sistema S formado por n pontos materiais, Pi, mó-vel em relação a um referencial inercial. Vamos supor que esses pon-tos não estão totalmente livres, mas que existem vínculos, ou restri-ções, impostos às suas posições ou às suas velocidades.

Assim, se um corpo P, de coordenadas x e y, puder se mover apenas na reta de maior declive de um plano inclinado, cuja equa-ção é, por exemplo, y = 2x + 3, o plano se constitui num vínculo, e a equação será uma equação vincular, ou vínculo, para a descrição matemática do movimento do corpo.

Relações matemáticas do tipo

F P P t

i i( , , )� = 0

(AII.1)

APÊNDICE IIINTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES

DE LAGRANGE

vibra07-II 143vibra07-II 143 24.06.06 15:37:3624.06.06 15:37:36


defi nindo-se

Q

P

qj i

i

ji

n= ⋅∂∂=∑ F

1

como força generalizada correspondente à coordenada qj.

Finalmente, depois de algumas transformações, as equações an-teriores chegam às n equações de Lagrange:

dT

q

dt

T

qQ

j

j

j

∂∂

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟− ∂

∂

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

�.

(AII.8)

Antes de apresentar um exemplo completo das equações de La-grange, vamos ver alguns exemplos de cálculo de forças generaliza-das.

Exemplos

a) Coordenadas cartesianas no plano

P O x y q x q y F Fx y

= + + = = = +i j F i j, ( , ), ,1 2

∂∂∂

= ∂∂

= → = ⋅ ∂∂

= ⋅ =P

x

P

yQ

P

xF

x xi j F F i, e Q F

y y= .

b) Coordenadas polares no plano

P O r F F

P

r

r= + = +

∂∂

=

u F u

u

e

e

ϕ�,

e

∂∂

= ∂∂

=

= ⋅ ∂∂

= ⋅ =

P rr

QP

rF

r r

ϕ ϕu

F F u

�,

QQP

r r rFϕ ϕϕ= ⋅ ∂

∂= ⋅ = ⋅ =F F F� � .

vibra07-II 152vibra07-II 152 24.06.06 15:37:3924.06.06 15:37:39


b) Obtenção, por meio das equações de Lagrange, das equações di-ferenciais do movimento do pêndulo duplo apresentado na Sec. 3.2 (exemplo com dois graus de liberdade).

g

O

�

A

L

mgL

B

mg

�

�2

�1

FIGURA AII.6 Equações de Lagrange – exemplo (b).

Sendo v1 = Lθ̇ τ1 a velocidade vetorial no ponto A, e v2 = v1 +Lϕ̇ τ2

a velocidade vetorial no ponto B, podemos calcular a energia cinética T e a energia potencial V do sistema, conforme segue:

T mv mv V mg L L= + = − +1

221

222( ) ( cos cose θ ϕϕ).

Mas

v2 1 2= +L( ),� �θ ϕ� �

ou

v22 2 2 2

1 2

2 2 2

2

2

= + + ⋅

= + +

L

L

[ ( )],

[

� � � �

� � �θ ϕ θϕ

θ ϕ

� �

θθϕ ϕ θ� cos( )].−

vibra07-II 158vibra07-II 158 24.06.06 15:37:4024.06.06 15:37:40

ENVOLTÓRIA DAS CURVAS DE RESPOSTA E DECREMENTO LOGARÍTMICO 161

CASO SUBCRÍTICO

Tomemos a solução da equação diferencial das vibrações livres com amortecimento, dada por (2.33):

x t De tt

d( ) sen ( ),= +−ν ω φ0

em que, como vimos,

ν ζω ω ω ζ φ= = − =

n d n

A

B, [ ] , arctan ./1 2 1 2

0

Sendo A = x(0) = 0, consideremos nula a fase φ0. Os instantes em que o gráfi co de x(t) cruza o eixo t serão dados por

sen , , ,... (ω ω π π πd dt t n t= → = ≥0 0 2 para 0) e 1,2,...n =

Esses instantes ocorrem, portanto, a intervalos de tempo π/ωd.O intervalo

T

d n

= = − −2 21 2 1 2π

ωπ

ωζ[ ] ,/

(AIII.1)

é chamado de pseudoperíodo da função x(t).

APÊNDICE IIIENVOLTÓRIA DAS CURVAS DE RESPOSTA

E DECREMENTO LOGARÍTMICO NO CASO DE VIBRAÇÕES LIVRES,

AMORTECIDAS, COM UM GRAU DE LIBERDADE

vibra08-III 161vibra08-III 161 24.06.06 15:38:5024.06.06 15:38:50

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