Alexandre Andrade Brandão Soares Vibrações livres não ... Alexandre Andrade Brandão Soares Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional Dissertação

Alexandre Andrade Brandão Soares

Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio

Orientador: Prof. Paulo Batista Gonçalves

Rio de Janeiro Julho de 2013

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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1112015/CA


Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Paulo Batista Gonçalves Orientador

Departamento em Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Frederico Matins Alves da Silva Universidade Federal de Goiás

Profª. Deane Mesquita Roehl Departamento em Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 05 de Julho de 2013

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.


Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade da Amazônia, UNAMA (Belém do Pará), em Janeiro de 2011. Ingressou em Março de 2011 no curso de Mestrado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro (PUC-Rio), na área de Estruturas. Já desenvolveu trabalhos na área de barragens, métodos das diferenças finitas e mais atualmente na área de dinâmica das estruturas, abrangendo nesta última os temas cascas cilíndricas e materiais com gradação funcional.

Ficha Catalográfica

Soares, Alexandre Andrade Brandão Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas

com gradação funcional / Alexandre Andrade Brandão Soares; Orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2013.

v., 121 f.: il. (color); 29,7 cm 1.Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2013.

Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia Civil – Dissertações. 2. Cascas

cilíndricas. 3. Vibrações não lineares. 4. Material com gradação funcional. 5. Dinâmica I. Soares, Alexandre Andrade Brandão. II. Gonçalves, Paulo Batista. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

CDD: 624

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Dedico com amor a: Arthur, Celeste, Izaura, Regina, Verena, Erida e Alice.

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Agradecimentos

As pessoas mais queridas de minha vida que são: Arthur,

Celeste, Izaura, Regina, Verena, Erida e Alice. Agradeço-lhes pela

paciência, compreensão e esperança que depositaram em mim.

Ao orientador Professor Paulo Batista Gonçalves que muito

me ajudou nesta dissertação. Além de seus conhecimentos vastos e

precisos, seu caráter muito me engrandeceu no período que realizei o

Mestrado.

A instituição PUC-Rio, que é uma instituição de excelência.

Aos professores e funcionários do Departamento de

Engenharia Civil da PUC-Rio que me repassaram parte de seus

conhecimentos e muito me auxiliaram nesta jornada. Em especial a

funcionária Rita de Cassia.

Aos amigos(as) que fiz na PUC-Rio: Camyla Oliveira, Eliot

Pezo, Eulher Carvalho, Fabio Anderson, Julio Rueda, Lorena

Chamorro, Nicolas Papadopoulos, Martin Purizaga, Rafael Abreu,

Ricardo Amado e Tathiana Caram.

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Ao CNPq e CAPES;

Aos professores que participaram da comissão examinadora

desta dissertação que com suas competências elevaram meus

conhecimentos.

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Resumo

Soares, Alexandre Andrade Brandão; Gonçalves, Paulo Batista. Vibrações

livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional. Rio de Janeiro, 2013. 121p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Cascas cilíndricas são usadas em muitas aplicações de engenharia e, devido

a sua forma e capacidade de transporte de carga, são bastante usadas na indústria

aeroespacial e em estruturas civis. Elas minimizam a quantidade de material do

qual são fabricadas, tornando-se assim estruturas muito leves e esbeltas. Em

décadas recentes tem se procurado criar novos materiais que conjuguem

múltiplas propriedades como maior resistência, melhor proteção térmica,

proteção contra corrosão e adequado nível de amortecimento, dentre outras. Uma

classe de materiais que podem atender simultaneamente várias destas exigências

é o chamado material com gradação funcional, onde as propriedades do material

variam de forma contínua em uma ou mais direções. Materiais com gradação

funcional são particularmente indicados para a construção de cascas. Como a

maioria destas estruturas estão sujeitas a cargas dinâmicas, torna-se importante o

estudo do comportamento dinâmico de cascas fabricadas com materiais com

gradação funcional. O objetivo deste trabalho é estudar as vibrações não lineares

de cascas cilíndricas esbeltas com gradação funcional. Para isto utiliza-se a teoria

não linear de cascas de Sanders, considerada uma das teorias mais precisas para a

análise de cascas esbeltas. Inicialmente, derivam-se as equações de movimento

considerando um estado de tensões iniciais. Usando as equações linearizadas,

obtêm-se às frequências naturais e as cargas críticas, sendo estes resultados

comparados favoravelmente com resultados encontrados na literatura para

materiais homogêneos e com gradação funcional. A seguir, usando uma expansão

modal que atende as condições de contorno e continuidade, além de expressar os

acoplamentos modais característicos de cascas cilíndricas no regime não linear,

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as equações de movimento são discretizadas usando-se o método de Galerkin. As

equações algébricas resultantes são resolvidas pelo método de Newton-Raphson,

sendo assim obtida a relação não linear frequência-amplitude. Finalmente,

realiza-se uma análise paramétrica para estudar a influência da geometria da

casca, da gradação do material funcional e dos modos de vibração no grau e tipo

de não linearidade da casca cilíndrica, sendo esta a principal contribuição deste

trabalho de pesquisa.

Palavras-chave

Cascas cilíndricas; Vibrações não lineares; Material com gradação

funcional; Dinâmica.

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Abstract

Soares, Alexandre Andrade Brandão; Gonçalves, Paulo Batista (Advisor). Nonlinear free vibrations of functionally graded cylindrical shells. Rio de Janeiro, 2013. 121p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Cylindrical shells are used in many engineering applications and, due to its

shape and load carrying capacity, are frequently used in aerospace and civil

structures. They minimize the amount of material from which they are

manufactured, thus making it a very lightweight and slender structure. In recent

decades, there has been a search for new materials that combine multiple

properties such as increased strength, better thermal protection, corrosion

protection and appropriate damping level, among others. A material that can meet

several of these requirements simultaneously is the so called functionally graded

material, where the material properties vary continuously in one or more

directions. Functionally graded materials are particularly suitable for the

construction of shells. As most of these structures are subjected to dynamic loads,

it is important to study the dynamic behavior of shells made of functionally

graded materials. The objective of this work is to study the nonlinear vibrations

of slender functionally graded cylindrical shells. For this, the Sanders non-linear

shell theory, which is considered one of the most precise theories for the analysis

of slender shells, is adopted. Initially, the equations of motion are derived

considering an initial stress state. Using the linearized equations of motion, the

natural frequencies and critical loads are obtained. These results compare

favorably with results reported in the literature for homogeneous and functionally

graded shells. Then, using a modal expansion that satisfies the boundary and

continuity conditions and expresses the modal couplings characteristic of

cylindrical shells in the nonlinear regime, the equations of motion are discretized

using the Galerkin method. The resulting algebraic equations are solved by the

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Newton-Raphson method, thus obtaining the nonlinear frequency-amplitude

relation. Finally, a parametric analysis is conducted to study the influence of the

geometry of the shell, the gradient of the functional material and vibration modes

on the degree and type of nonlinearity of the cylindrical shell, which is the main

contribution of this research work.

Keywords

Cylindrical shells; Nonlinear vibrations; Functionally graded material;

Dynamics.

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Sumário

1 Introdução 23

1.1 Generalidades 23

1.2 Breve histórico bibliográfico 24

1.3 Objetivos específicos e metodologia 26

1.4 Descrição dos capítulos da dissertação 27

2 Casca cilíndrica delgada 29

2.1 Introdução 29

2.2 Formulação de casca 31

2.3 Esforços de membrana 33

2.4 Funcionais de energia 35

2.4.1 Energia interna de deformação elástica 36

2.4.2 Energia cinética 38

2.4.3 Energia potencial das cargas externe 38

2.4.4 Trabalho das forças de dissipação 39

2.5 Equações de equilíbrio 40

2.6 Estado de tensão inicial 41

2.7 Condições de contorno 43

3 Material com gradação funcional 44

3.1 Introdução aos materiais compósitos 44

3.2 Introdução aos materiais com gradação funcional 45

3.3 Propriedades do MGF 48

3.4 Formulação do problema 50

4 Análise linear 53

4.1 Introdução 53

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4.2 Frequência natural 60

4.2.1 Material homogêneo isotrópico 60

4.2.2 Material com gradação funcional 62

4.3 Carga crítica 65

4.3.1 Material isotrópico 66

4.3.2 Material com gradação funcional 67

5 Análise não linear 70

5.1 Introdução 70

5.2 Utilização do método de Galerkin 72

5.3 Implementação do método de Newton-Raphson 73

5.4 Análise das vibrações livres não lineares e não amortecidas 75

5.4.1 Material com gradação funcional para o caso não linear 80

5.5 Análise paramétrica 88

6 Conclusões e Sugestões 105

7 Referências bibliográficas 107

A1 Apêndice 113

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Lista de figuras

Figura 2.1 Estruturas cilíndricas aeroespaciais. 30

Figura 2.2 Exemplos de grandes estruturas cilíndricas civis. 30

Figura 2.3 Geometria da casca cilíndrica e seu sistema de

coordenada. 31

Figura 2.4 Elemento de casca cilíndrica na configuração

deformada. 32

Figura 2.5 Representação do carregamento aplicado à casca. 36

Figura 3.1 Variação gradual dos materiais constituintes. 46

Figura 3.2 Esquerda: Mostra a geração de um composto

metal/carboneto feito com feixe de laser. Direita: Mostra

um tubo com gradação funcional não na direção da

espessura da casca e sim na direção longitudinal. 47

Figura 3.3 Micrografia de um gradiente de liga de WC/Cu/Mn e

a distribuição espacial da correspondente concentração de

partículas WC. 47

Figura 3.4 Variação do volume de cerâmica ao longo da

espessura da casca cilíndrica. O sentido horizontal

representa a coordenada , e o sentido vertical a

espessura . 49

Figura 3.5 Representação esquemática da distribuição dos

materiais ao longo da espessura da casca cilíndrica. 51

Figura 4.1 Gráfico variando em função de . 67

Figura 4.2 Variação da carga axial crítica, e da carga lateral

crítica, em função do parâmetro de gradação 69

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Figura 5.1 Variação das amplitudes modais em função da

frequência de vibração -

e 77

Figura 5.2 Frequência natural em função das amplitudes

modais. ,

⁄ , , ⁄ , e

. 80

Figura 5.3 Frequencia natural em função das amplitudes

modais e . Gometria: , e

Modelo Prof Paulo com MGF_k=0,5. 83


modais sendo . Gometria: , e

85


modais sendo . Gometria: , e

. 87

Figura 5.6 (a)Variação do volume dos materiais aço e níquel ao

longo da espessura da casca cilíndrica com MFG. (b)

Variação da frequência natural para os valores de

considerados nas Figuras 5.3, 5.4 e 5.5. 88

Figura 5.7 Amostra genérica de um pedaço de casca cilíndrica

com MGF. O vermelho ( ) representa o níquel e o verde

( ) representa o aço. 89

Figura 5.8 Cilíndros estudados com suas respectivas variações

de e . 91

Figura 5.9 Frequências naturais para o . 94

Figura 5.10 Amplitudes modais para ⁄ e . 94





Figura 5.15 Variação do para as frequências lineares com

diferentes tipos de do modelo III. 99

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Figura 5.16 Frequências não lineares do Modelo III para o

. 100


. 100


. 101

Figura 5.19 Variação da frequência natural mínima em função

da carga axial para o Modelo III e três valores de (0,5, 1

e 5) (carga em Newtons – N). 102

Figura 5.20 Influência do carregamento na relação não linear

frequência-amplitude. (a, d, g) Carregamento axial

compressivo. (b, e, h) pressão lateral interna (tração). (c, f,

i) pressão lateral externa (compressão). 103

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Lista de tabelas

Tabela 4.1 Comparação das frequências naturais (

e ). 60

Tabela 4.2 Comparação das frequências naturais para

nas duas primeiras equações (

e ). 61

Tabela 4.3 Comparação das frequências naturais com diversos

trabalhos. 62

Tabela 4.4 Comparação das frequências naturais para MGF

com ( ⁄ ⁄ ). 63

Tabela 4.5 Comparação das frequências naturais para MGF

com ( ⁄ ⁄ ). 63

Tabela 4.6 Frequências para aço inoxidável na parte externa e

níquel na parte interna ( ⁄ ⁄ ). 64

Tabela 4.7 Frequências para material níquel na parte externa e

aço inoxidável na parte interna ( ⁄ ⁄

). 64

Tabela 4.8 Comparação das frequências naturais com MGF

( ⁄ ⁄ ). 65

Tabela 4.9 Carga crítica lateral (x10-4MPa) para casca

cilíndrica homogênea. 66

Tabela 4.10 Cargas críticas (MPa) da casca cilíndrica com

MGF ( ⁄ , ⁄ ). 68

Tabela 5.1 Propriedades dos materiais aço e níquel para uma

casca com MGF. 80

Tabela 5.2 Dimensões de cascas cilíndricas variando apenas o

e o , e h . 89

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Tabela 5.3 Frequências naturais mínimas para os modelos de I

a VII, com seus respectivos valores de . 90

Tabela A.1 Seis equações não lineares relativas ao

deslocamento axial, . 113

Tabela A.2 Quatro equações não lineares relativas ao

deslocamento circunferencial, . 116

Tabela A.3 Duas equações não lineares relativas ao

deslocamento radial, . 120

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Lista de símbolos

& -denominado ampersand (ou “e” comercial)

-Função de Lagrange

-Pressão hidrostática

-Carga crítica axial

-Força de dissipação

-Energia interna de flexão

-Energia interna de membrana

-Amplitude modal de vibração linear na direção

-Trabalho das forças externas



-Carga crítica lateral

-Coordenada adimensional em

-Vetor das forças equivalentes

-Coeficiente de amortecimento 1

-Coeficiente de amortecimento 2

-Deformação cisalhante

-Deformação específica

-Erro relativo

-Coeficiente de amortecimento viscoso

-Coeficiente de amortecimento do material

-Mudança de curvatura

-Tensão cisalhante

-Frequência natural

-Matriz de deformação

-Matriz de tensão

-Seta crescente

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-Seta decrescente

-Indicação de cor vermelha

-Indicação de cor verde

-Muito menor que

-Operador harmônico

-Menor ou igual a

Cu -Símbolo do elemento químico Cobre

-Espessura da casca cilíndrica

Mn -Símbolo do elemento químico Magnésio

-Energia potencial

-Amplitude modal na direção . Varia de 1 a 6


-Símbolo do elemento químico Carbono

-Rigidez de membrana

-Rigidez a flexão

-Módulo de elasticidade


-Símbolo do elemento químico Ferro

-Matriz geométrica

-Matriz hessiana ou matriz Jacobiana

-Matriz identidade

-Matriz de rigidez

-Comprimento longitudinal da casca cilíndrica

-Momento

-Esforço de membrana

-Símbolo do elemento químico Níquel

-Carga axial

-Raio médio do cilindro

-Energia cinética

-Energia interna de deformação

-Volume

-Autovetor

-Cerâmica

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-Volume da variação do material

-Gradiente

-Número imaginário

-Constante da lei de variação

-Metal

-Número de semi-ondas longitudinais

-Número de ondas circunferenciais

-Pressão lateral

-Tempo

-Campo de deslocamentos na direção



-Coordenada longitudinal

-Coordenada transversal

-Coordenada transversal gráfica

-Matriz constitutiva do material

-Campo de deslocamentos

-Carga crítica

-Rotação nas coordenadas e

-Deformação cisalhante

-Função peso

-Deformação linear em e

-Coordenada angular

-Coeficiente de Poisson

-Densidade do material

-Tensão normal em e

-Tensão transversal cisalhante

-Frequência natural

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Lista de abreviaturas

CC -Condição de contorno

CP - Condição de periodicidade

- Equilíbrio fundamental

- Equilíbrio incremental

MGF - Material com gradação funcional

NASA - Administração Nacional do Espaço e da Aeronáutica

NR - Newton-Raphson

PT - Presente trabalho

T - Trabalho comparado

- Vetor das variáveis

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“A sabedoria é baseada no

conhecimento. Mas o conhecimento nem

sempre é sabedoria. Não é um paradoxo.

Existe um conhecimento intuitivo, que é fonte

da sabedoria. E há o conhecimento objetivo,

que é uma coleção de fatos irrelevantes. O

homem sábio custa a dar sua opinião, pois

tem de descobrir os intangíveis. O homem que

só tem o conhecimento é muito rápido em

seus conceitos, pois não reconhece nem vê as

vastas forças imponderáveis que operam no mundo. É perigoso”.

Marco Túlio Cícero

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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 23

1

Introdução

Neste primeiro capítulo da dissertação encontra-se uma breve revisão

bibliográfica, além de uma descrição dos objetivos, metodologia e abrangência do

trabalho. Apresenta-se também uma pequena síntese dos capítulos desta

dissertação.

1.1

Generalidades

Assim como outros sistemas estruturais, o estudo de cascas cilíndricas é de

grande relevância e complexidade, fato este corroborado pela vasta literatura

sobre este tema.

Segundo Prado (2005):

Nos anos recentes, devido a fatores técnicos e econômicos,

além do grande desenvolvimento da engenharia estrutural em função de métodos numéricos eficientes e a utilização de novos

materiais, foram geradas mudanças sensíveis nas concepções

estruturais, tornando as estruturas cada vez mais leves e esbeltas.

Se em 2005 a citação de Prado já era cabível, hoje, em 2013, ela se torna

ainda mais oportuna devido aos avanços na engenharia através da busca de novos

materiais que conjugam múltiplas propriedades como maior resistência, melhor

proteção térmica, proteção contra corrosão e adequado nível de amortecimento,

dentre outros. Um material que pode atender a estas exigências é o chamado

material com gradação funcional, onde se conjugam dois ou mais materiais com

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propriedades distintas para se obter um material otimizado. Este é o caso da

maioria dos compósitos. Entretanto, o material com gradação funcional apresenta

certas vantagens sobre os compósitos laminados tradicionais, não apresentando

problemas de delaminação ou descontinuidades no campo de tensões.

Materiais com gradação funcional são particularmente indicados para a

construção de cascas. Como a maioria destas estruturas estão sujeitas a cargas

dinâmicas, torna-se a cada dia mais importante o estudo do comportamento

dinâmico de cascas feitas com materiais de gradação funcional. Dentre as diversas

geometrias de cascas usadas em aplicações industriais, destacam-se as cascas

cilíndricas esbeltas.

Silva (2008) afirma que o comportamento de cascas cilíndricas ainda não

está totalmente compreendido, em particular no regime não linear, o que justifica

o desenvolvimento desta pesquisa.

1.2

Breve histórico bibliográfico

São inúmeros os trabalhos que abrangem o estudo de cascas cilíndricas e

materiais com gradação funcional.

Historicamente, sabe-se que a estabilidade de cascas vem sendo estudada

desde o final do século XIX (Brush & Almroth, 1975). Algumas das soluções

mais antigas podem ser encontradas, por exemplo, em Lorenz (1911).

Em Southwell (1913) e von Mises (1914) se encontram pesquisas realizadas

sobre a flambagem de cascas submetidas a pressão lateral uniforme.

Donnell (1933) desenvolve suas formulações através do estudo de cascas

cilíndricas sujeitas a carga torsional. Segundo Brush & Almroth (1975), a

formulação proposta por Donnell, apesar de certas limitações, forma o alicerce

para análises da estabilidade e vibrações de cascas no regime não linear, sendo até

hoje a teoria mais utilizada.

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Posteriormente, Thurston & Holston (1966) desenvolveram um trabalho

para a NASA1, alusivo à flambagem de cascas cilíndricas sob pressão interna.

A partir da década de 1960 já se encontram trabalhos referentes à dinâmica

não linear de cascas cilíndricas, como o de Chu (1961) que analisou as vibrações

de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas, deduzindo que a não linearidade faz

com que a frequência cresça com o aumento da amplitude de vibração.

Nesta época, Sanders (1961) desenvolveu sua teoria não linear para análise

de cascas finas, sendo esta considerada como uma das melhores aproximações de

primeira ordem para análise de problemas de instabilidade e dinâmica.

Brush & Almroth (1975) apresentam um estudo detalhado da flambagem de

casca cilíndricas usando a teoria de Donnell. Na mesma época, Donnell (1976)

publica um estudo detalhado sobre a flambagem de cascas e outros elementos

estruturais sob diversos carregamentos.

Gonçalves (1987) realizou a análise dinâmica linear e não linear de cascas

cilíndricas delgadas em um meio fluido usando as teorias de Sanders e Donnell-

Mushatari-Vlasov.

Prado (2001) estudou a instabilidade dinâmica de cascas cilíndricas,

destacando os fenômenos de acoplamento e interação modal, demonstrando sua

importância no comportamento dinâmico não linear de cascas cilíndricas. O

estudo das vibrações não lineares foi baseado nas equações não lineares de

Donnell para cascas abatidas.

Silva (2008) pesquisou as vibrações não lineares e instabilidade dinâmica de

uma casca cilíndrica contendo um fluido e desenvolveu modelos de dimensão

reduzida, isto é, modelos com um número reduzido de graus de liberdade,

baseados em métodos de perturbação. Esse estudo também teve por base a teoria

de Donnell para cascas abatidas.

Estes estudos consideraram cascas cilíndricas de material homogêneo e

isótropo, como as cascas metálicas. Shen (2009) enfatiza que, apesar de haver um

elevado número de publicações sobre placas e cascas, não há um único livro

inteiramente dedicado ao problema de cascas com material de gradação funcional.

1 NASA: National Aeronautics and Space Administration (United States of America). Em

Português significa: Administração Nacional do Espaço e da Aeronáutica (Estados Unidos da

América).

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Não obstante, Silva et al. (2006) relatam que desde 1999 têm sido

publicadas pesquisas sobre placas e cascas de materiais com gradação funcional.

Exemplo disso, é o trabalho de Loy et al. (1999) que apresentam resultados

obtidos para vibração livre de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas e feitas

com material de gradação funcional.

Shen (2009) relata em seu livro que:

MGF foram inicialmente concebidos como materiais de

barreira térmica para aplicações estruturais aeroespaciais e

reatores de fusão. Eles agora são desenvolvidos para uso

geral em componentes estruturais em ambientes extremos

de alta temperatura. A capacidade de prever a resposta de

placas e cascas de MGF, quando submetidos a cargas

térmicas e mecânicas, é de interesse primordial para a

análise estrutural. De fato, muitas estruturas são sujeitas a

elevados níveis de carga que podem resultar em relações

não lineares de carga-deflexão devido a grandes

deformações. Um dos problemas importantes que

merecem uma atenção especial é o estudo da sua resposta

não linear sob grandes deslocamentos, comportamento

pós-flambagem e vibração não linear.

1.3

Objetivos específicos e metodologia

O objetivo deste trabalho é realizar uma análise paramétrica das vibrações

livres não lineares de cascas cilíndricas esbeltas com gradação funcional,

considerando um campo de tensões iniciais, preenchendo assim uma lacuna na

literatura técnica hoje existente. Para isto, utiliza-se a teoria não linear de cascas

de Sanders, considerada uma das teorias mais precisas para a análise de cascas

esbeltas. Inicialmente, derivam-se as equações de movimento considerando um

estado de tensões iniciais. Usando as equações linearizadas, obtêm-se as

frequências naturais e cargas críticas, sendo estes resultados comparados

favoravelmente com resultados encontrados na literatura para materiais

homogêneos e com gradação funcional. A seguir, usando uma expansão modal

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que atende as condições de contorno e continuidade, além de expressar os

acoplamentos modais característicos de cascas cilíndricas no regime não linear, as

equações de movimento são discretizadas usando-se o método de Galerkin. As

equações algébricas resultantes são resolvidas pelo método de Newton-Raphson,

sendo assim obtida a relação não linear frequência-amplitude. Finalmente, realiza-

se uma análise paramétrica para estudar a influência da geometria da casca, da

gradação do material funcional, dos modos de vibração e do estado de tensões

iniciais no grau e tipo de não linearidade da casca cilíndrica, sendo esta a principal

contribuição deste trabalho de pesquisa. Na análise paramétrica, estuda-se

especificamente a influência da gradação do material, da geometria da casca, dos

modos de vibração e de um carregamento estático inicial nas frequências naturais

e na relação não linear frequência-amplitude.

1.4

Descrição dos capítulos da dissertação

Esta dissertação está dividida em oito capítulos, sendo o primeiro este de

introdução.

No segundo capítulo há a apresentação do sistema estrutural casca

cilíndrica. Em seguida, apresenta-se o desenvolvimento da formulação de casca

cilíndrica, usando a teoria não linear de cascas de Sanders. A formulação

correspondente à teoria de Donnell para cascas abatidas pode ser obtida como um

caso particular da formulação de Sanders. Especificamente, apresenta-se o campo

de deslocamentos, a lei constitutiva, os esforços de membrana e flexão, os

funcionais de energia, as três equações de equilíbrio e as condições de contorno

para uma casca cilíndrica biapoiada e submetida a um estado inicial de tensão

devido a cargas axiais ou pressão lateral.

O terceiro capítulo contém uma breve introdução sobre materiais

compósitos e, de forma mais específica, sobre materiais com gradação funcional.

Em seguida, apresenta-se a lei constitutiva do material com gradação funcional.

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No quarto capítulo faz-se inicialmente a análise linear de casca cilíndrica

com material isotrópico, isto para validar as formulações, e, em seguida, se realiza

a análise linear com material de gradação funcional. Neste capítulo, calculam-se

as frequências do sistema e as cargas críticas para diversas geometrias de cascas e

materiais constitutivos.

O quinto capítulo trata da análise não linear de casca cilíndrica. Este

capítulo apresenta inicialmente o processo de discretização das equações não

lineares de movimento usando o método de Galerkin e como funções de

interpolação expansões modais que atendem as condições de contorno e

continuidade, além de expressar os acoplamentos modais característicos de cascas

cilíndricas no regime não linear. Para a análise do sistema de contínuo

discretizado, utiliza-se o método de Newton-Raphson, obtendo-se assim as

amplitudes modais. Finalmente, apresenta-se uma análise paramétrica onde se

estuda a influência da geometria da casca, da gradação do material funcional e dos

modos de vibração no grau e tipo de não linearidade da casca cilíndrica.

O último capítulo apresenta de forma sucinta as conclusões e sugestões.

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2

Casca cilíndrica delgada

Inicia-se este capítulo com uma pequena introdução sobre cascas e, em

seguida, apresenta-se a teoria de cascas cilíndricas de Sanders. São apresentadas

as expressões para as rotações, deformações, mudanças de curvatura, esforços

normais e momentos, funcionais de energia e equações de equilíbrio, juntamente

com a formulação da estrutura sujeita a um estado de tensões inicial. Por fim,

mostra-se as condições de contorno

2.1

Introdução

Brush & Almroth (1975) afirmam que os cilindros são uma das

configurações mais comuns de cascas em aplicações estruturais. Afirmam também

que o estudo de cascas cilíndricas pode servir como uma introdução às

formulações para cascas com diferentes geometrias.

Cascas cilíndricas são usadas em muitas aplicações de engenharia e, devido

sua forma e capacidade de transporte de carga, são ideais para a indústria

aeroespacial e estruturas civis (Hrinda, 2012).

Ademais, são elementos estruturais que otimizam o material do qual são

fabricadas, tornando-se assim estruturas muito leves. De acordo com Hrinda

(2012), elas são projetadas para ter um peso mínimo e resistência máxima a várias

condições de carga.

Apresentam-se, respectivamente, nas Figuras 2.1 e 2.2 exemplos que

demonstram algumas das aplicações de cascas cilíndricas em estruturas

aeroespaciais e estruturas civis.

DBD



(a) Saturno V

(b) Ariane V

(b) Saturno V – Estágio S-

II

Figura 2.1 – Estruturas cilíndricas aeroespaciais. Fonte: Hrinda (2012).

(a) Armazenamento a

granel

(b) Silo de grãos

(b) Tanque de água

elevado

Figura 2.2 – Exemplos de grandes estruturas cilíndricas civis. Fonte: Hrinda (2012).

DBD



2.2

Formulação de casca

Seja uma casca cilíndrica esbelta de comprimento , espessura constante e

raio da superfície média Considera-se que a casca seja delgada de forma que

. Em geral, considera-se que a casca é esbelta quando:

Ademais, considera-se o material elástico, homogêneo e isotrópico,

possuindo densidade , módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson .

Adota-se um sistema de coordenadas cilíndrico , e (Figura 2.3), onde

, e denotam o campo de deslocamentos nas direções axial, radial e

circunferencial, respectivamente.

Figura 2.3 – Geometria da casca cilíndrica e seu sistema de coordenada. Fonte: Shah, Mahmood & Naeem (2009).

Na Figura (2.4) apresenta-se um elemento de casca cilíndrica em sua

configuração deformada com os esforços de membrana e de flexão. Na presente

dissertação, adota-se a teoria de Sanders. A escolha dessa teoria se deve ao fato da

mesma reter todos os termos não lineares essenciais à análise dinâmica de cascas

DBD



cilíndricas e de ser geralmente aceita como a melhor aproximação de primeira

ordem (Gonçalves, 1987).

Figura 2.4 – Elemento de casca cilíndrica na configuração deformada. Fonte: Gonçalves (1987).

Partindo da formulação geral de casca presente em Gonçalves (1987), as

rotações ( ) são dadas por:

(2.1a)

( ) (2.1b)

De forma análoga, as deformações específicas em um ponto da superfície

média da casca, segundo a teoria de Sanders, são dadas por:

(2.2a)

( )

( )

(2.2b)

( ) (2.2c)

DBD



Adicionalmente, as mudanças de curvatura são:

(2.3a)

( ) (2.3b)

(

) (2.3c)

Nas Equações (2.1) a (2.3) ao se considerar , tem-se as expressões das

deformações e rotações para a teoria de Donnell (1933), (1934) e (1976), presente

também em Brush & Almroth (1975), sendo esta uma teoria mais simples porque

desconsidera alguns termos associados à curvatura inicial da casca na direção

circunferencial.

As deformações específicas em um ponto qualquer da casca a uma distância

da superfície média, com ⁄ ⁄ , são:

(2.4a)

(2.4b)

(2.4c)

2.3

Esforços de membrana

De posse das deformações dadas pelas Equações (2.4) e da lei constitutiva,

obtêm-se as tensões da casca cilíndrica, a saber:

{ } [ ] { } (2.5)

onde { } e { } são respectivamente os tensores de tensão e deformação. A matriz

constitutiva [ ] depende do material adotado.

DBD



Os esforços de membrana e os esforços de flexão são obtidos (Equações

2.6) pela integração das tensões ao longo da espessura da casca (Brush &

Almroth, 1975; Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959). Tem-se, pois:

∫ (

)

⁄

⁄

(2.6a)

∫ ⁄

⁄

(2.6b)

∫ (

)

⁄

⁄

(2.6c)

∫ ⁄

⁄

(2.6d)

∫ (

)

⁄

⁄

(2.6e)

∫ ⁄

⁄

(2.6f)

∫ (

)

⁄

⁄

(2.6g)

∫ ⁄

⁄

(2.6h)

Os esforços são visualizados na Figura (2.4).

Nas Equações (2.6) o termo ⁄ é desprezado, pois é muito pequeno,

compreendido entre ⁄ ⁄ e, dividido por , torna-se insignificante.

Ao realizar as integrais supracitadas, chega-se aos esforços , , , , ,

, e , em termos dos deslocamentos da superfície média e suas

derivadas:

DBD



{[

] [

( )

( )

]} (2.7a)

{[

( )

( )

] [

]} (2.7b)

[

( )]

( )

(2.7c)

{

[ ]} (2.7d)

{[ ] } (2.7e)

{

[ ]} ( ) (2.7f)

onde e são respectivamente a rigidez de membrana e a rigidez à flexão, sendo

para o material isotrópico iguais a:

(2.8a)

(2.8b)

2.4

Funcionais de energia

Considere a casca cilíndrica perfeita da Figura (2.5), com suas extremidades

simplesmente apoiadas e submetida a carregamentos de borda ( ), pressão lateral

interna ( ) e pressão lateral externa ( ).

DBD



Figura 2.5 – Representação do carregamento aplicado à casca. Fonte: Silva (2008).

2.4.1

Energia interna de deformação elástica

A energia interna de deformação armazenada em um corpo elasticamente

deformado, , é dada por (Wang, 1953):

∭ ( )

(2.9)

Para o caso de uma casca cilíndrica delgada, Brush & Almroth (1975)

omitem os termos , e , e a Equação (2.9) reduz-se a:

∭( )

(2.10)

A relação das tensões com as deformações (Equações 2.11) para o caso

bidimensional advindas da lei generalizada de Hooke, são (Vlasov & Leont’ev,

1966):

DBD



( ) (2.11a)

( ) (2.11b)

( ) (2.11c)

O termo para a casca cilíndrica, equivale a um comprimento de arco

proveniente do produto do raio , e do ângulo ou seja:

(2.12)

Substituindo na Equação (2.10) as Equações (2.11), tem-se a Equação (2.13)

para a energia interna de deformação de uma casca cilíndrica:

( )∭(

) (2.13)

Ao realizar a integração desta equação com relação a , no intervalo de

⁄ a ⁄ , e substituindo na mesma as Equações (2.4), obtém-se:

( )∬{ [

( )

]

[

( )

]}

(2.14)

Observa-se que a energia interna de deformação pode ser escrita como a

soma de duas parcelas de energia, chamadas de energia de membrana ( ) e

energia de flexão ( ), dadas respectivamente por:

∬(

( )

) (2.15a)

∬(

( )

) (2.15b)

DBD



2.4.2

Energia cinética

Seja ( ) o campo de deslocamentos relativos à configuração

inicial de equilíbrio. Para um sistema submetido a um conjunto de forças

conservativas de superfície e de volume, mudando continuamente o seu estado de

equilíbrio entre os instantes e , tem-se a energia cinética dada por (Kraus,

1967):

∫

(2.16)

sendo a densidade da casca. Para uma casca cilíndrica homogênea isotrópica a

energia cinética é definida como:

∭ ( ) (2.17)

Integrando a energia cinética ao longo da espessura, tem-se:

∬( ) (2.18)

2.4.3

Energia potencial das cargas externas

A energia potencial, , das cargas externas é dada por:

∫

(2.19)

DBD



onde, para casca cilíndrica, é um vetor de forças conservativas por unidade de

área.

∬( ) (2.20)

Entende-se e , como as componentes de forças na direção axial ( ) e

circunferencial ( ), respectivamente, e é a componente normal à superfície na

direção .

Para o carregamento considerado na Figura (2.5), o trabalho das forças

externas ( ) é dado por:

∬( )

∫ (2.21)

onde e designam a pressão lateral interna e externa, respectivamente,

atuantes na casca, enquanto indica o carregamento axial uniformemente

distribuído ao longo das bordas.

2.4.4

Trabalho das forças de dissipação

As forças de dissipação podem ser calculadas a partir da função da

dissipação de Rayleigh, que, segundo Popov et al. (1998), pode ser escrita como:

∭[ (

)]

∭[

( )( ) ]

(2.22)

DBD



Integrando a Equação (2.22) em relação a , tem-se:

∬( )

∬( ) (2.23)

O primeiro termo representa as forças viscosas lineares decorrentes da

resistência do meio em que a casca está, enquanto o segundo termo designa as

forças viscosas elásticas do material da casca. Os termos e representam os

coeficientes de amortecimentos, dados por:

(2.24a)

(2.24b)

onde e são, respectivamente, os coeficientes de amortecimento viscoso e do

material e, é a menor frequência natural da casca cilíndrica, e o operador é

dado por:

(2.25)

2.5

Equações de equilíbrio

Após determinar os funcionais de energia nas seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e

2.4.4, tem-se a seguinte função de Lagrange ( ):

( ) (2.26)

onde é função de:

( )

DBD



As equações de Euler-Lagrange são, pois dadas por:

(

) [

(

)

(

)]

(2.27a)

(

) [

(

)

(

)]

(2.27b)

(

) [

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(2.27c)

Substituindo as Equações (2.15), (2.18) e (2.21) na Equação (2.26) e em

seguida nas Equações (2.27), chega-se às seguintes equações de movimento:

(2.28a)

( )

( )

(2.28b)

( )

( )

( )

( )

(2.28c)

2.6

Estado de tensão inicial

Considera-se agora a estrutura (Figura 2.3) inicialmente carregada quase

estaticamente até que atinja um estado de equilíbrio denominado fundamental ( ).

Posteriormente, carregando-a dinamicamente, o sistema passa a ocupar uma nova

configuração de equilíbrio denominado incremental ( ). Ademais, supõe-se

DBD



inicialmente, por simplicidade, que a casca cilíndrica está submetida a um estado

inicial de membrana (Brush & Almroth, 1975).

Partindo das Equações (2.28) de movimento e realizando simplificações

para que as mesmas atendam a um estado inicial de membrana, chega-se aos

esforços fundamentais de membrana:

(2.29a)

( ) (2.29b)

(2.29c)

Os novos esforços atuantes na casca são a soma dos esforços fundamentais

com os esforços incrementais (Brush & Almroth, 1975):

(2.30)

Por fim, substituindo as Equações (2.29) e (2.30) nas Equações (2.28),

chega-se às equações não lineares de movimento mostradas a seguir.

(2.31a)

{[ ( )

] ( ) }

(

)

(2.31b)

( )

[(

) ]

{[ ( )

] }

(

)

(

)

(2.31c)

DBD



2.7

Condições de contorno

Sabe-se que a casca cilíndrica é completa na coordenada . Por conseguinte,

nesta direção, sua condição de contorno será substituída pela condição de

periodicidade (CP). Na direção axial se aplicam as condições de contorno (CC)

em .

A condição de periodicidade dos deslocamentos circunferenciais implica

em:

( ) ( ) (2.32)

Para uma casca simplesmente apoiada, os deslocamentos circunferenciais e

radiais devem ser nulos nas extremidades da casca, ou seja:

( ) ( ) (2.33a)

( ) ( ) (2.33b)

Igualmente, o momento e o esforço normal axial devem ser nulos na

extremidade da casca, a saber:

( ) ( ) (2.34a)

( ) ( ) (2.34b)

DBD



3

Material com gradação funcional

O capítulo contém uma breve descrição sobre materiais compósitos e

Materiais com Gradação Funcional (MGF), além de apresentar algumas leis de

variação das propriedades dos materiais ao longo da espessura da casca.

3.1

Introdução aos materiais compósitos

Reddy (2004) afirma que materiais compósitos são dois ou mais materiais

que combinados entre si em escala macroscópica formam um único material.

Segundo Jones (1975), a vantagem dos compósitos é que comumente conjugam as

melhores qualidades dos materiais constituintes, e apresentam frequentemente

algumas qualidades que não estão presentes nos materiais isolados.

Algumas das propriedades que usualmente são melhoradas com a formação

de um compósito são descritas abaixo (Jones, 1975):

Rigidez;

Resistência à corrosão;

Resistência ao desgaste;

Peso;

Resistência à fadiga;

Condutividade térmica;

Isolamento acústico.

DBD



Naturalmente, nem todas as propriedades são melhoradas ao mesmo tempo.

A utilização dos materiais compósitos não tem sua utilização apenas

recentemente na história da humanidade. Jones (1975) afirma que sua origem é

desconhecida. Entretanto, em toda a história humana há referências a alguma

forma da utilização dos materiais compósitos.

Segundo Rezende & Botelho (2000), a partir da década de 1960, os

materiais compósitos de alto desempenho foram introduzidos na indústria

aeroespacial. Os mesmos autores relatam que o uso de compósitos está distribuído

a nível mundial nas seguintes proporções das indústrias:

Aeronáutica comercial 60%;

Defesa e espaço 20%;

Recreativo 10%;

Outras indústrias 10%.

3.2

Introdução aos materiais com gradação funcional

O conceito de Materiais com Gradação Funcional (MGF, ou FGM do inglês

Functionally Graded Materials) teve sua introdução em 1984 no Japão (Koizumi,

1997).

Segundo Albino (2011), os MGF são uma nova geração de compósitos

formados por duas ou mais fases constituintes, cuja principal característica é

possuir uma composição continuamente variável.

Na engenharia, especificamente, Albino (2011) relata que os MGF têm

melhores distribuições das tensões residuais, melhores propriedades térmicas, alta

tenacidade à fratura e reduzidos fatores de concentração de tensões, quando

comparados com outros compósitos ou materiais homogêneos.

Um esquema que mostra a microestrutura típica dos MGF com duas fases

constituintes (fase cerâmica e fase metálica) é apresentado na Figura 3.1. Percebe-

DBD



se que há uma variação gradual dos materiais constituintes. Na Figura 3.1, a cor

preta representa a fase metálica e a cor branca representa a fase cerâmica.

Figura 3.1 – Variação gradual dos materiais constituintes. Fonte: Modificada de Aboudi et al.(1999).

Segundo Sofiyev (2004), os MGF têm recebido considerável atenção como

uma classe de materiais compósitos avançados não homogêneos com a

possibilidade de ampla aplicação na engenharia.

Sofiyer (2009) explica que os MGF são feitos, genericamente, a partir da

mistura metal e cerâmica, por meio da variação gradual destes dois materiais,

embora outras misturas apareçam também na literatura. Wu et al. (2004) explicam

que há uma variação gradual na fração de volume dos materiais constituintes

(Figura 3.1) e desta mudança contínua de variação na composição resultam as

propriedades dos MGF.

Um dos processos mais comum de fabricação dos MGF, segundo Albino

(2011), dá-se pelo processo metalúrgico do pó em que materiais cerâmicos e

metálicos são misturados em um silo seguindo uma determinada fração de

volume. Essa mistura é então pulverizada sobre uma lamina e rapidamente

sintetizada usando-se laser2. A Figura 3.2 ilustra a explicação precedente.

2 Sigla em Inglês de light amplication stimulated emission of radiation. Em Português significa:

Amplificação de luz por emissão estimulada de radiação.

DBD



Figura 3.2 – Esquerda: Mostra a geração de um composto metal/carboneto feito com feixe de laser. Direita: Mostra um tubo com gradação funcional não na direção longitudinal. Fonte: Kieback et al. (2003).

Na Figura 3.3, exibe-se uma microestrutura real onde partículas de um

material denominado por Kieback et al. (2003) de WC são introduzidos, através

do processo de dispersão, na liga Cu/Mn (Cobre/Magnésio).

Figura 3.3 – Micrografia de um gradiente de liga de WC/Cu/Mn e a distribuição espacial da correspondente concentração de partículas WC. Fonte: Kieback .et al. (2003).

DBD



Atualmente, os MGF estão disseminados em vários ramos da indústria.

Como exemplo, pode-se citar a sua utilização na indústria offshore, mais

especificamente nas estruturas de risers (linhas flexíveis), as quais são estruturas

em formato de cascas que servem em geral para transportar óleo, desde a “cabeça”

do poço até as plataformas baseadas em sistemas flutuantes (Albino, 2011).

3.3

Propriedades do MGF

Para cascas cilíndricas com gradação funcional, autores distintos em

trabalhos anteriores consideram as propriedades materiais variando ao longo da

espessura. Assim, nesta direção há uma variação contínua do módulo de

elasticidade, coeficiente de Poisson e densidade do material.

Sofiyev (2004 e 2009) propôs para um material composto de cerâmica ( ) e

metal ( ) a seguinte lei de variação:

( ) (3.1a)

( ) (3.1b)

( ) (3.1c)

onde é o volume do material cerâmico, que pode variar na forma linear,

quadrática, quadrática inversa e cúbica, como detalhado a seguir:

(3.2a)

( ) (3.2b)

( ) (3.2c)

( ) ( ) (3.2d)

onde ⁄ é a coordenada adimensional da espessura ( ⁄ ⁄ ).

DBD



O volume relativo dos dois materiais obedece à relação:

(3.3)

A variação da porcentagem volumétrica de cerâmica através da espessura da

casca cilíndrica é mostrada na Figura 3.4, considerando as quatro Equações (3.2).

Figura 3.4 – Variação do volume de cerâmica ao longo da espessura da casca cilíndrica. O sentido horizontal representa a coordenada , e o sentido vertical a espessura .

Bahtui & Eslami (2005) escrevem a lei de variação dos materiais em função

do volume relativo de metal e de cerâmica, e , respectivamente, que são

determinados como:

(3.4a)

(3.4b)

com:

(3.5)

DBD



Os autores também propõem as expressões:

(

)

(3.6a)

(3.6b)

onde o índice representa a variação do material ao longo da espessura da casca

cilíndrica, sendo k igual ou maior que zero. O valor igual a zero representa um

material homogêneo (no caso metal). Quando tende ao infinito, há a

predominância de cerâmica (Bahtui & Eslami, 2005).

Para tal lei de variação dos volumes, Bahtui & Eslami (2005) estabelecem

que o módulo de elasticidade e a densidade variam segundo as relações:

( ) (3.7a)

( ) (3.7b)

Bahtui & Eslami (2005) não estabelecem, contudo, uma variação para o

coeficiente de Poisson.

3.4

Formulação do problema

Usar-se-á aqui as formulações propostas por Bahtui & Eslami (2005),

considerando adicionalmente a seguinte variação para o coeficiente de Poisson:

( ) (3.8)

Assim, tem-se que:

; ; ; em (3.9a)

; ; ; em (3.9b)

DBD



A Figura 3.5 ilustra uma distribuição esquemática dos materiais ao longo da

direção .

Figura 3.5 – Representação esquemática da distribuição dos materiais ao longo da espessura da casca cilíndrica.

Considerando um valor médio das propriedades da casca ao longo da

espessura, tem-se, a lei constitutiva:

{

}

[

( )]

{

} (3.10)

onde:

∫ ( )

⁄

⁄

(3.11a)

∫ ( )

⁄

⁄

(3.11b)

∫ ( )

⁄

⁄

(3.11c)

Entretanto, para levar em consideração a gradação de forma mais precisa,

deve-se modificar a matriz constitutiva. Deve-se, neste caso, substituir as

Equações (3.7) nas Equações (2.15), (2.18) e (2.21) e integrar os funcionais de

Cerâmica

+h/2

-h/2

+h/2

-h/2

Liga Metálica

Cerâmica

+h/2

-h/2

+h/2

-h/2

Liga Metálica

DBD



energia em . Isto gera um acoplamento entre os esforços de membrana e flexão,

adicionando novos termos às Equações (2.15), (2.18) e (2.21).

Assim, as relações entre os esforços e as deformações específicas passam a

ser dados por:

{

}

[ ]

{

}

(3.11)

onde

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

(3.12)

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

∫ ⁄

⁄

e

( ) (3.13)

Os termos Bij expressam o acoplamento entre os esforços de membrana e

flexão.

DBD



4

Análise linear

O presente capítulo apresenta a análise linear da casca cilíndrica, mostrando

as equações de equilíbrio linearizadas, o cálculo das frequências naturais e o

cálculo das cargas críticas. Além disso, mostram-se comparações das frequências

naturais e das cargas críticas, aqui calculadas, com diversos outros trabalhos

presentes na bibliografia. Estes cálculos serão realizados tanto para materiais

isotrópicos como para MGF.

4.1

Introdução

As três Equações (2.28) não lineares de movimento, vistas no Capítulo 2,

podem ser escritas em função do campo de deslocamentos , e , resultando

nas Equações (4.1). Estas equações são para um MGF, onde há algumas

modificações no funcional de energia e nos esforços de membrana e flexão, como

visto no capítulo anterior (Equação 3.11).

(4.1a)

DBD



(4.1b)

DBD



DBD



(4.1c)

DBD



DBD



Os modos de vibração para uma casca cilíndrica simplesmente apoiada ou

infinitamente longa, que atendem as condições de contorno especificadas no

Capítulo 2, são dados por:

(4.2a)

(4.2b)

(4.2c)

onde ⁄ , sendo o número de semi-ondas longitudinais, o número de

ondas circunferenciais, a frequência circular, √ e , e são

DBD



as amplitudes dos modos de vibração. Por fim, a expressão denota a função

harmônica ( ( )).

Ao substituir as Equações (4.2) e suas respectivas derivadas no tempo, em

e em nas Equações (4.1) linearizadas, chega-se à matriz de massa ,

sendo a matriz identidade, e a matriz de rigidez De posse destas matrizes,

obtém-se o problema de autovalor:

{[

] [

]} {

} { } (4.3)

onde:

(4.4a)

(4.4b)

(4.4c)

(4.4d)

(4.4e)

(4.4f)

Os autovalores da equação | | são as frequências naturais de

vibração da casca e os autovetores, os modos de vibração.

A seguir, estudam-se as frequências naturais e as cargas críticas.

DBD



4.2

Frequências naturais

4.2.1

Material homogêneo isotrópico

Na Tabela 4.1, comparam-se os valores das menores frequências naturais

( ) (que corresponde ao modo de vibração predominantemente radial, isto é, em

) obtidas neste trabalho utilizando-se tanto a teoria de Sanders ( ) quanto a

teoria de Donnell ( ), com os encontrados por Shah et al. (2009) e Gonçalves

& Ramos (1996) para uma casca com m, m e m.

Considera-se e valores crescentes de ( ). As propriedades do

material da casca são:

; ;

.

Tabela 4.1 – Comparação das frequências naturais ( e ).

Shah et al.

(2009)

Gonçalves & Ramos (1996)

Presente Trabalho

n (Hz) (Hz) (Hz)

( ) * ** ( ) * ** 7 301,60 305,22 303.35 0,58 -0,61 301.94 0,11 -1,07

8 278,64 281,31 280.94 0,83 -0,13 279.01 0,13 -0,82

9 286,02 288,24 288.71 0,94 0,16 286.38 0,13 -0,65

10 315,51 317,49 318.41 0,92 0,29 315.84 0,10 -0,52

11 360,36 362,20 363.33 0,82 0,31 360.65 0,08 -0,43

12 416,19 417,94 419.19 0,72 0,30 416.44 0,06 -0,36

Propriedades da casca:

; ;

.

*Diferença percentual entre Shah et al. e o presente trabalho (%) **Diferença percentual entre Gonçalves & Ramos e o presente trabalho (%)

A Tabela 4.1 omite as frequências naturais referentes às direções e da

casca.

A Tabela 4.2, apresenta as frequências naturais calculadas desprezando-se

os termos de inércia nas duas primeiras equações de movimento (4.1a, b),

DBD



hipótese usual quando se deseja obter apenas as menores frequências de vibração

da casca.

Tabela 4.2 – Comparação das frequências naturais para nas duas primeiras equações de movimento ( e ).

Shah et al.

(2009)


Presente Trabalho

n (Hz) (Hz) (Hz)

( ) * ** ( ) * ** 7 301,60 305,22 306,74 1,70 0,50 305,32 1,23 0,03

8 278,64 281,31 283,32 1,68 0,71 281,37 0,98 0,02

9 286,02 288,24 290,63 1,61 0,83 288,28 0,79 0,01

10 315,51 317,49 320,10 1,45 0,82 317,52 0,64 0,01

11 360,36 362,20 364,92 1,27 0,75 362,22 0,52 0,01

12 416,19 417,94 420,71 1,09 0,66 417,96 0,43 0,00


; ;

;

; ; . *Diferença percentual entre Shah et al. e o Presente Trabalho (%) **Diferença percentual entre Gonçalves & Ramos e o Presente Trabalho (%)

Constata-se que os valores presentes na Tabela 4.2 são maiores que os da

Tabela 4.1 e mais próximos dos valores encontrados por Gonçalves & Ramos

(1996). Todavia, os valores presentes na Tabela 4.1 são mais próximos dos

obtidos por Shah et al. (2009). Em ambos os casos a frequência fundamental

ocorre para e .

O cálculo do erro relativo, , é usado como forma de comparar a

proximidade dos resultados.

(

) PT-presente trabalho; e T-trabalho comparado (4.5)

Para melhor ratificar os resultados aqui obtidos com as equações de

Sanders, apresenta-se na Tabela 4.3 uma comparação das frequências naturais

com diversos trabalhos anteriores a este. Considera-se nesta tabela .

DBD



Tabela 4.3 – Comparação das frequências naturais com diversos trabalhos.

m n Gasser (1987)

Dym (1973)


Soares (2005)

Silva (2008)

Presente Trabalho

1 5 --- --- --- 479,45 476,97 471,92

1 6 --- --- --- 366,62 364,67 360,31

1 7 318 305,32 305,22 304,44 303,35 299,06

1 8 278 281,37 281,31 281,09 280,94 276,34

1 9 290 288,28 288,24 288,14 288,71 283,65

1 10 334 317,51 317,49 317,56 318,40 312,82

1 11 362 362,22 362,20 362,79 363,33 357,20

1 12 418 417,96 417,94 419,54 419,19 412,47

1 13 478 482,23 482,22 485,62 483,51 476,16

1 14 550 553,67 553,67 559,70 554,97 546,95


; ;

; ;

; .

Fonte: Silva (2008).

Vê-se que os valores encontrados neste trabalho de dissertação estão em

conformidade com as formulações para cascas cilíndricas isotrópicas. Já para

cascas cilíndricas com MGF, formulação presente no Capítulo 3 desta dissertação,

ver-se-á que também estão em conformidade com os valores obtidos em trabalhos

anteriores.

4.2.2


As frequências naturais para uma casca de material com gradação funcional

também são comparadas com aqueles obtidos por Shah et al. (2009). A Tabela 4.4

mostra os resultados para um expoente de gradação igual a 0,5.

DBD



Tabela 4.4 – Comparação das frequências naturais para MGF com ( ⁄ ⁄ ).

Shah et al.

(2009)

Presente Trabalho

, nas duas primeiras Equações.

, e , para

n (Hz) (Hz) (Hz)

( ) ( ) ( ) ( )

1 13,3210 19,0134 42,73 19,0077 42,69 13,3728 0,39 13,3688 0,36

2 4,5168 5,1753 14,58 5,0310 11,38 4,6261 2,42 4,4972 -0,43

3 4,1911 4,6447 10,82 4,2454 1,30 4,4058 5,12 4,0270 -3,92

4 7,0972 7,4035 4,32 6,9536 -2,02 7,1821 1,20 6,7457 -4,95

5 11,3360 11,4312 0,84 10,9761 -3,17 11,2090 -1,12 10,7628 -5,06

⁄

⁄

⁄

⁄

A Tabela 4.4 apresenta os resultados considerando somente a inércia em ,

fazendo nas duas primeiras Equações (4.1), e a inércia nas três direções ( ,

e ), tanto para a teoria de Sanders quanto para a teoria de Donnell.

Constata-se que na Tabela 4.4 os valores das frequências naturais são mais

próximos aos do trabalho de Shah et al. (2009) quando se considera o

(Sanders) e a inércia nas três direções ( , e ).

Tabela 4.5 – Comparação das frequências naturais para MGF com ( ⁄ ⁄ ).

Shah et al.

(2009)

Presente Trabalho

, nas duas primeiras Equações.

, e , para

n (Hz) (Hz) (Hz)

( ) ( ) ( ) ( ) 1 13,3210 18,5511 41,80 18,5455 41,75 13,0477 -0,62 13,0437 -0,65

2 4,5168 5,0494 14,60 4,9087 11,11 4,5136 2,40 4,3879 -0,72

3 4,1911 4,5318 14,61 4,1421 4,54 4,2986 8,71 3,9291 -0,85

4 7,0972 7,2235 8,87 6,7845 2,24 7,0075 5,61 6,5817 -0,82

5 11,3360 11,1533 -3,38 10,7092 -7,23 10,9365 -5,26 10,5011 -9,03

⁄

⁄

⁄

⁄

DBD



A Tabela 4.5 apresenta uma comparação semelhante à da Tabela 4.4,

considerando neste caso um valor de .

Nas Tabelas 4.6 e 4.7 comparam-se as frequências naturais aqui obtidas com

as apresentadas no trabalho de Arshad et al. (2011) para um material composto de

aço e níquel, considerando respectivamente o material aço inoxidável na parte

externa e o material níquel na parte interna da casca e o oposto. Nestas tabelas se

considera a inércia nas três direções ( , e ).

Tabela 4.6 – Frequências para aço inoxidável na parte externa e níquel na parte interna ( ⁄ ⁄ ).

n Arshad et al. (2011) Presente trabalho ( )

1 13,321 13,211 12,998 13,3688 13,2582 13,0437

2 4,5162 4,5162 4,4063 4,4972 4,460 4,3879

3 4,1903 4,1561 4,0884 4,0270 4,9937 3,9291

4 7,0967 7,0379 6,9247 6,7457 6,6899 6,5817

5 11.335 11,241 11,061 10,7628 10,6737 10,5011

⁄

⁄

⁄

⁄

Tabela 4.7 – Frequências para material níquel na parte externa e aço inoxidável na parte interna ( ⁄ ⁄ ).

n Arshad et al. (2011) Presente trabalho ( )

1 13,103 13,221 13,433 13,1499 13,2582 13,4817

2 4,4376 4,4736 4,5498 4,4235 4,4600 4,5352

3 4,1145 4,1478 4,2181 3,9610 4,9937 4,0610

4 6,9749 7,0325 7,1505 6,6352 6,6899 6,8026

5 11,145 11,237 11,425 10,5865 10,6737 10,8536

⁄

⁄

⁄

⁄

Finalmente, comparam-se as frequências naturais do presente trabalho com

as do trabalho de Iqbal et al. (2009). Tal comparação se encontra na Tabela 4.8.

DBD



Tabela 4.8 – Comparação das frequências naturais com MGF ( ⁄ ⁄ ).

n Iqbal et

al. (2009) Presente trabalho

Iqbal et al. (2009)

Presente trabalho

Iqbal et al. (2009)

Presente trabalho

1 13,321 13,369 13,211 13,258 12,933 12,978

2 4,5162 4,4972 4,479 4,460 4,383 4,366

3 4,1903 4,0270 4,156 3,994 4,065 3,909

4 7,0967 6,7457 7,0379 6,6899 6,885 6,549

5 11,335 10,7628 11,2407 10,6737 10,998 10.448

6 16,5935 15,7535 16,4549 15,6232 16,101 15,293

7 22,8258 22,6699 22,6349 21,4907 22,148 21,037

8 30,0225 28,5023 29,771 28,267 29,132 27,670

9 38,1811 36,2478 37,8615 35,9480 37,048 36,189

10 47,3005 44,9056 46,9046 44,5342 45,897 43,594

⁄ ⁄

⁄

⁄

4.3

Carga crítica

A matriz geométrica ( ) provém das Equações (2.32). Apresenta-se a seguir

a matriz geométrica para uma carga axial ( ) e a matriz geométrica para uma

carga lateral ( ), respectivamente.

[

] (4.5a)

[

]

(4.5b)

DBD



Ao fazer | | , encontram-se os autovalores que neste caso são as

cargas críticas.

4.3.1

Material isotrópico

Comparam-se na Tabela 4.9 os valores das cargas críticas laterais com as

encontradas no trabalho de Huang et al. (2011).

Tabela 4.9 – Carga crítica lateral (x10-4

MPa) para casca cilíndrica homogênea.

⁄ ⁄ Huang et al.

(2011) Presente ( ) Presente ( )

0,5 300 2809,31(1,16)

a 2849,291(1,15) 2831,316(1,15)

3000 7,94526(1,29) 8,04951(1,28) 8,03428(1,28)

1

300 1294,65(1,11) 1310,55 1294,69

500 353,781(1,13) 359,430 356,115

1000 61,3375(1,15) 62,3726 61,9674

1500 21,9684(1,17) 22,4337 22,3155

2000 10,6375(1,18) 10,8823 10,8328

3000 3,83065(1,20) 3,92663 3,91209

2 300 617,626(1,8) 629,506 614,824

3000 1,89097(1,14) 1,94469 1,93051

3 300 413,996(1,7) 424,150 409,944

3000 1,25669(1,12) 1,29214 1,27813

5 300 239,831(1,5) 246,466 232,778

3000 0,748563(1,9) 0,770329 0,756483

aOs números entre parênteses denotam o modo de flambagem (m,n)

Nota-se que os valores das cargas críticas laterais obtidos com a teoria de

Sanders ( ) são mais próximos dos valores encontrados em Huang et al.

(2011) que os obtidos com a teoria de Donnell ( ).

A Figura 4.1 apresenta para a primeira geometria de casca cilíndrica

presente na Tabela 4.9 a variação das cargas de bifurcação para valores crescentes

DBD



do número de semi-ondas axiais ( ) em função do número de ondas

circunferenciais ( ) para um material isotrópico.

Figura 4.1 – Gráfico variando em função de .

Constata-se que quanto maior o número de semi-ondas longitudinais ( ),

maior será a carga de bifurcação, ocorrendo sempre a carga crítica para m=1. O

valor de relacionado à carga crítica lateral depende da geometria da casca

cilíndrica.

4.3.2


Na Tabela 4.10 comparam-se as cargas críticas lateral e axial para uma

casca com MGF com os resultados obtidos por Huang et al. (2011). As

propriedades da casca cilíndrica estão logo abaixo da Tabela 4.10. Mostram-se

nesta tabela as cargas críticas para e para . Importante salientar que

DBD



os valores das cargas críticas, tanto para as cargas axial e lateral, são menores

quando a teoria de Sanders é considerada, ou seja, quando . Quanto maior o

valor do maior a quantidade de aço inoxidável comparada à de nitreto de silício.

Tabela 4.10 – Cargas críticas (MPa) da casca cilíndrica com MGF ( ⁄ , ⁄ ).

Huang et al. (2011)

Presente

Presente

Huang et al. (2011)

Presente

Presente

Nitreto de

silício 387,631

388,693 (1,8)

a 382,248

(1,8) 0,0272

0,0270 (1,9)

0,0265 (1,9)

361,612 362,872

(1,8) 356,895

(1,8) 0,0252

0,0251 (1,9)

0,0247 (1,9)

337,604 339,843

(1,8) 334,248

(1,8) 0,0235

0,0235 (1,9)

0,0231 (1,9)

316,294 319,654

(1,8) 314,354

(1,8) 0,0221

0,0222 (1,9)

0,0218 (1,9)

297,745 301,584

(1,8) 296,512

(1,8) 0,0209

0,0211 (1,9)

0,0207 (1,9)

279,521 282,454

(1,8) 277,644

(1,8) 0,0198

0,0199 (1,9)

0,0195 (1,9)

268,970 270,945

(1,8) 266,341

(1,8) 0,0191

0,0190 (1,9)

0,0187 (1,9)

261,163 262,493

(1,8) 258,064

(1,8) 0,0185

0,0184 (1,9)

0,0180 (1,9)

Aço inoxidável

249,933 253,366

(1,8) 249,145

(1,8) 0,0175

0,0176 (1,9)

0,0173 (1,9)

aOs números entre parênteses denota o modo de flambagem (m,n)

Percebe-se que os valores mostrados na tabela acima estão em concordância

com os valores obtidos por Huang et al. (2011), tanto para o como para o

.

A Figura 4.2 apresenta a variação da carga crítica axial e lateral com o valor

de k. Verifica-se que a carga crítica tende, à medida que k cresce, ao valor da

carga crítica de uma casca de aço inoxidável. A variação se deve basicamente à

diferença no módulo de elasticidade dos dois materiais (

).

DBD



0 10 20 30

k

240

280

320

360

400P

cr Variação da carga crítica axial

Huang et al. (2011)

alpha=1

alpha=0

(a)

0 10 20 30

k

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

qcr Variação da carga crítica lateral

Huang et al. (2011)

alpha=1

alpha=0

(b)

Figura 4.2 – Variação da carga axial crítica, e da carga lateral crítica, em função do parâmetro de gradação .

Nota-se que na Figura 4.2a a teoria de Sanders ( ) apresenta maiores

cargas críticas axiais em comparação com as de Huang et al. (2011), enquanto a

teoria de Donnell ( ) apresentam menores cargas críticas axiais. Já na Figura

4.2b, a teoria de Donnell ( ) distingue-se mais que a de Sanders ( ) dos

valores obtidos por Huang et al. (2011).

DBD



5

Análise não linear

Este capítulo apresenta os resultados da análise não linear da casca

cilíndrica sob vibração livre. Mostra-se o processo de discretização da casca

utilizado o método de Galerkin e como as equações discretizadas são resolvidas

pelo método de Newton-Raphson para se obter a relação frequência-amplitude.

5.1

Introdução

Após a análise linear de cascas cilíndricas, apresenta-se agora a análise não

linear do problema. Inicialmente, deve-se obter os modos de vibração não lineares

(Equações 4.2) para uma casca cilíndrica biapoiada e que atendam além das

condições de contorno, as condições de periodicidade.

A obtenção dos modos de vibração não lineares foi apresentada no trabalho

de Gonçalves (1987) e, de maneira mais geral, no trabalho de Silva (2008), a

partir do método de perturbação.

Gonçalves (1987) explica que existem dois tipos de modos, os clássicos

(principais) e os secundários, sendo estes últimos adotados para que se tenha uma

solução fisicamente consistente, ou seja, eles são os modos que se acoplam com

os modos principais. Ainda, segundo o autor, o acoplamento modal é

característico da não linearidade do problema. Aqui se usa a seguinte aproximação

para os modos não lineares de vibração:

DBD



(5.1a)

(5.1b)

(5.1c)

onde ⁄ e,

( ) [ ( )

( )] (5.2a)

( ) ( ) ( ) (5.2b)

( ) ( ) [ ( )

( )] (5.2c)

( ) ( ) ( ) (5.2d)

( ) ( ) ( ) (5.2e)

( ) [ ( )

( )] (5.2f)

( ) ( ) ( ) (5.2g)

( ) ( ) [ ( ) ] (5.2h)

( ) ( ) ( ) (5.2i)

( ) ( ) ( ) (5.2j)

( ) [ ( )

( )

] (5.2k)

( ) ( ) ( ) (5.2l)

Nota-se que nas expressões (5.2), os termos ,

e são iguais às

Equações (4.2) para o caso linear. Estes termos, como já mencionado, são os

modos clássicos. Os outros termos são os modos secundários.

DBD



5.2

Utilização do método de Galerkin

Sabe-se que o método de Galerkin é um caso particular do método de

resíduos ponderados, e pode ser aplicado a problemas de contorno que não podem

ser reduzidos aos variacionais (Rezende, 2005). O Método de Galerkin é aqui

utilizado para passar o sistema que é contínuo para um sistema discretizado. Para

tal, as funções de interpolação precisam atender a todas as condições de contorno

(ver seção 2.5.1.).

Para se obter as equações discretizadas, as Equações (5.1), juntamente com

suas derivadas, são substituídas nas três equações de equilíbrio (Equações 4.1)

que estão em função dos deslocamentos , e , e integra-se ao longo do

domínio e de um período natural (procedimento de Galerkin-Urabe), obtendo-se:

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3a)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3b)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3c)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3d)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3e)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3f)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3g)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3h)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3a)

DBD



∫ ∫ ∫

⁄

(5.3i)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3j)

∫ ∫ ∫

⁄

(5.3k)

onde as funções peso as funções mostradas nas Equações (5.2)

Ao se resolver as integrais das Equações (5.3), obtém-se um sistema com 12

equações algébricas não lineares. Estas equações estão em função das constantes

presentes nas Equações (5.1): , , , , , , , , , , e . O

passo seguinte consiste em calcular o valor destas constantes, que nada mais são

que as amplitudes modais do sistema, para um dado valor de frequência.

Devido o número de modos adotados e por se utilizar a teoria de Sanders, os

resultados das Equações (5.3) são excecivamentes longos. Elas são apresentadas

no Apêndice A1 para o caso isotrópico.

5.3

Implementação do método de Newton-Raphson

Para se chegar ao valor das constantes (amplitudes modais) mencionadas na

seção 5.2, usa-se o método de Newton-Raphson (NR). Esse método está baseado

na expansão das equaçõs não lineares em séries de Taylor (Venegas, 2007).

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

(5.4)

Truncando a Equação (5.4) na primeira derivada e fazendo ( ) ,

resulta na equação:

DBD



( )

( ) (5.5)

Passando a expressão (5.5) para o problema desta dissertação, tem-se a

Equação (5.6), que está na forma generalizada para aplicação no algoritmo de

Newton-Raphson.

( )

(5.6)

A expressão designa o vetor das variáveis, ou seja, das constantes que

se deseja obter. é a matriz hessiana, também chamada por Demidovich (1973)

de matriz Jacobiana, é o vetor gradiente e o índice indica a iteração. Tem-se,

pois:

{ } (5.7a)

[

]

(5.7b)

{ } (5.7c)

Entretanto, para o caso de vibração livre, a solução do sistema resulta

sempre na solução trivial. Para resolver este problema, considera-se a frequência

como uma variável e adotar-se-a como parâmetro de controle o deslocamento

radial . Tem-se, pois:

DBD



{ } (5.8a)

[

]

(5.8b)

{ } (5.8c)

A escolha de como parâmetro de controle mostra-se bastante eficiente,

pois sempre se obtém convergência com poucas iterações. O valor numérico

inicial para esta amplitude foi sempre de e variou-se a amplitude até 1, o que

corresponde a uma amplitude de vibração igual a espessura da casca.

5.4

Análise das vibrações livres não lineares e não amortecidas

Após empregar o método de Galerkin e resolver o sistema com NR,

utilizando como parâmetro de controle , obtém-se a relação não linear

frequência-amplitude. Apresenta-se na Figura 5.1 a variação de todas as

amplitudes modais em função da frequência de vibração. A geometria e as

propriedades do material isotrópico são as mesmas encontradas na Tabela 4.1.

Observa-se na Figura 5.1 que, conforme cresce a amplitude a frequência

natural aumenta, apresentando a casca um comportamento com ganho de rigidez

(hardening). Observa-se que , que corresponde à amplitude do modo de

vibração clássico na direção radial, é a maior amplitude modal, o que é esperado,

DBD



já que o modo é predominantemente radial. As outras amplitudes modais são bem

menores, mas todas são diferentes de zero, indicando a presença do acoplamento

modal não linear.

1708 1710 1712 1714 1716

w

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

A1

(a)

1708 1710 1712 1714 1716

w

-0.03

-0.02

-0.01

0

A2

(b)

1708 1710 1712 1714 1716

w

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

A3

(c)

1708 1710 1712 1714 1716

w

-0.00012

-8E-005

-4E-005

0

A4

(d)

1708 1710 1712 1714 1716

w

0

1E-005

2E-005

3E-005

4E-005

A5

(e)

1708 1710 1712 1714 1716

w

-1E-006

-8E-007

-6E-007

-4E-007

-2E-007

0

A6

(f)

DBD



1708 1710 1712 1714 1716

w

-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0B

1

(g)

1708 1710 1712 1714 1716

w

-0.0016

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

B2

(h)

1708 1710 1712 1714 1716

w

0

1E-005

2E-005

3E-005

4E-005

B3

(i)

1708 1710 1712 1714 1716

w

-3E-005

-2E-005

-1E-005

0

B4

(j)

1708 1710 1712 1714 1716

w

0

0.01

0.02

0.03

0.04

F1

(k)

1708 1710 1712 1714 1716

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

(l)

Figura 5.1 – Variação das amplitudes modais em função da frequência de vibração - e

DBD



Para efeito de verificação e ratificação dos resultados, considera-se agora a

mesma geometria e propriedades de uma casca cilíndrica esbelta analisada por

Gonçalves (1987), e aplica-se o mesmo processo descrito nas seções 5.2 e 5.3. Os

resultados são apresentados nas Figuras 5.2, que estão de acordo com o trabalho

tomado como referência. Contudo, ao contário do exemplo anterior, ocorre agora

um decréscimo na frequência natural à medida que amplitude modal cresce

(Figura 5.2l), indicando um corportamento com perda de rigidez (softening).

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

A1

(a)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-0.06

-0.04

-0.02

0

A2

(b)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

A3

(c)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-8E-005

-6E-005

-4E-005

-2E-005

0

A4

(d)

DBD



3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

0

4E-006

8E-006

1.2E-005

1.6E-005

2E-005A

5

(e)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-3E-007

-2E-007

-1E-007

0

A6

(f)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

B1

(g)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-0.0016

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

B2

(h)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

0

1E-005

2E-005

3E-005

B3

(i)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

-1.6E-005

-1.2E-005

-8E-006

-4E-006

0

B4

(j)

DBD



3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02F

1

(k)

3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

(l)

Figura 5.2 – Frequência natural em função das amplitudes modais. , ⁄ , , ⁄ , e .

5.4.1

Material com gradação funcional para o caso não linear

Para uma casca cilíndrica com MGF, utiliza-se como exemplo a mesma

geometria encontrada no trabalho de Gonçalves (1987), entretanto, não mais com

apenas um material e sim com dois, que são o aço e o níquel, cujas propriedades

são dadas na Tabela 5.1. Consideram-se os mesmos valores de (0,5, 1 e 5)

usados na Tabela 4.6. A predominância do aço está na parte externa da casca, já o

níquel predomina na parte interna, como apresentado no capítulo 3 desta

dissertação.

Vale lembrar que o níquel ( ) é classificado na tabela periódica como um

metal de transição, não obstante, aqui ele será denomindo genericamente com um

material cerâmico para distinguí-lo do material aço que é uma liga metálica entre

o ferro ( ), que também é classificado como metal de transição, e o carbono ( ),

que é não metálico.

Tabela 5.1 – Propriedades dos materiais aço e níquel para uma casca com MGF.

( ⁄ ) ( ⁄ )

Aço 2,07788x105

0,317756 8,166x10-9

Níquel 2,05098x105 0,31 8,900x10

-9

Fonte: Arshad et al. (2010).

DBD



Para o material com gradação funcional e a frequência natural

aumenta conforme a amplitude modal cresce (Figura 5.3), exibindo a casca

neste caso um ganho de rigidez, ao contrário da casca isotrópica cujos resultados

foram mostrados na Figura 5.2. Para este valor de o número de ondas associado

à frequência mínima não muda, ou seja, o número de ondas circunferênciais

permanesse o mesmo nesta estrutura independente do material ( e ).

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

A1

(a)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

A2

(b)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

A3

(c)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-5E-005

-4E-005

-3E-005

-2E-005

-1E-005

0

A4

(d)

DBD



3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

0

4E-006

8E-006

1.2E-005

1.6E-005

A5

(e)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-4E-007

-3E-007

-2E-007

-1E-007

0

A6

(f)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

B1

(g)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-0.0016

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

B2

(h)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

0

2E-006

4E-006

6E-006

8E-006

1E-005

B3

(i)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

-1.6E-005

-1.2E-005

-8E-006

-4E-006

0

B4

(j)

DBD



3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02F

1

(k)

3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

(l)

Figura 5.3 – Frequencia natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e e .

A Figura 5.4 mostra os resultados para , onde observa-se um

comportamento não linear semelhante ao da Figura 5.3, onde também se tem um

aumento da frequência natural. Todavia, as frequências naturias são menores em

termos absolutos.

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

A1

(a)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

A2

(b)

DBD



3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

A3

(c)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-5E-005

-4E-005

-3E-005

-2E-005

-1E-005

0

A4

(d)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

0

4E-006

8E-006

1.2E-005

1.6E-005

A5

(e)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-4E-007

-3E-007

-2E-007

-1E-007

0

A6

(f)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

B1

(g)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-0.0016

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

B2

(h)

DBD



3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

0

4E-006

8E-006

1.2E-005B

3

(i)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

-1.6E-005

-1.2E-005

-8E-006

-4E-006

0

B4

(j)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02

F1

(k)

3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

(l)

Figura 5.4 – Frequência natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e e .

Assim como as figuras anteriores 5.3 e 5.4, a Figura 5.5 apresenta um

aumento na não linearidade conforme se eleva o valor da constante para .

Contudo, os valores absolutos da frequência natural são menores em comparação

com os das variações para e .

DBD



3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0A

1

(a)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

A2

(b)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

A3

(c)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-5E-005

-4E-005

-3E-005

-2E-005

-1E-005

0

A4

(d)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

0

4E-006

8E-006

1.2E-005

1.6E-005

A5

(e)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-4E-007

-3E-007

-2E-007

-1E-007

0

A6

(f)

DBD



3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

B1

(g)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-0.0016

-0.0012

-0.0008

-0.0004

0

B2

(h)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

0

4E-006

8E-006

1.2E-005

B3

(i)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

-1.6E-005

-1.2E-005

-8E-006

-4E-006

0

B4

(j)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02

F1

(k)

3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

(l)

Figura 5.5 – Frequência natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e

DBD



Para melhor entedimento dos resultados, a Figura 5.6a mostra a variação dos

dois materiais componentes ao longo da espessura e a Figura 5.6b mostra a

relação frequência-amplitude para os três valores de usados nos exemplos

anteriores. Observa-se que, embora o valor de k tenha influência na frequência

natural, sua influência no grau e tipo de não linearidade da casca é muito pequena.

(a)

1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Variação de kk=0,5

k=1

k=5

(b)

Figura 5.6 – (a)Variação do volume dos materiais aço e níquel ao longo da espessura da casca cilíndrica com MFG. (b) Variação da frequência natural para os valores de considerados nas Figuras 5.3, 5.4 e 5.5.

5.5

Análise paramétrica

Prosseguindo-se com o mesmo material adotado no ítem anterior (MGF aço

e níquel), faz-se agora uma variação da geometria da casca cilíndrica. As

geometrias a serem analisadas são apresentadas na Tabela 5.2. Conserva-se o

valor da espessura ( ) da casca constante, variando-se os valores de e . Desta

forma, analisa-se um amplo espectro de relações geometricas ⁄ e ⁄ .

DBD



Tabela 5.2 – Dimensões de cascas cilíndricas variando os valores e o , e .

I II III IV V VI VII

(mm) 410 820 410 205 410 410 300

(mm) 300 300 600 300 150 410 300

(mm) 1 1 1 1 1 1 1

Para melhor entender a casca cilíndrica e seu material, apresenta-se a Figura

5.7, onde se mostra por meio das cores verde ( ) para o aço e vermelho ( ) para o

níquel a variação dos materiais ao longo da espessura de um elemento de casca

cilíndrica.

(a) Visualização interna da casca

(b) Visualização externa da casca

Figura 5.7 – Amostra genérica de um pedaço de casca cilíndrica com MGF. O vermelho ( ) representa o níquel e o verde ( ) representa o aço.

Antes de se efetuar a análise não linear para os exemplos de casca da Tabela

5.2, faz-se uma análise linear para se obter os valores das frequências naturais

para essas geometrias. Apresenta-se na Tabela 5.3 o valor da frequência mínima

para cada geometria e os três valores de aqui considerados bem como o número

de ondas circunferenciais do modo de vibração associado à frequência minima.

Em todos os casos as menores frequências ocorrem para .

DBD



Tabela 5.3 – Frequências naturais mínimas para os modelos de I a VII, com seus respectivos valores de .

I II III IV V VI VII

1687,89 832,02 1207,90 3395,03 2322,88 1452,92 2327,05

1673,58 824,95 1197,61 3366,23 2303,15 1440,61 2307,38

1645,85 811,22 1177,65 3310,35 2264,86 1416,74 2269,22

De imediato, observa-se na Tabela 5.3, que há um decréscimo no valor das

frequências naturais à medida que se aumenta o , em outras palavras, significa

dizer que, conforme se eleva o teor de níquel, a frequência natural diminui. O aço

tem maior módulo de elasticidade ( ) que o níquel, logo, quanto maior é o

módulo de elasticidade maior será a rigidez do sistema, e consequentemente maior

será a frequência natural, pois a frequência natural é diretamente proporcional à

rigidez da estrutura.

Ao defrontar as Tabela 5.2 e 5.3, percebe-se que, quando se aumenta o valor

de , o valor da frequência natural ( ) diminui assim como o valor do número de

ondas circunferenciais ( ). Já quando se aumenta o valor do , o valor de

aumenta, mas o valor da frequência natural diminui.

Para melhor elucidar o parágrafo precedente, apresenta-se na Figura 5.8 uma

visão comparativa das diversas geometrias analisadas bem como as conclusões

quanto aos valores de e (cresce ( ) ou decresce ( )), tomando como

referência o modelo I. Esta variação é similar para todos os .

DBD



Figura 5.8 – Cilíndros estudados com suas respectivas variações de e

A seguir, efetua-se a análise não linear, tendo como valores iniciais das

frequências naturais no método de Newto-Raphson os valores presentes na Tabela

5.3.

A Figura 5.9 exibe a relação entre a frequência e a maior e mais

significativa amplitude modal para cada modelo da Tabela 5.2 e para .

Para observar melhor a influência da geometria no grau de não linearidade,

apresenta-se na Figura 5.10 a variação da amplitude modal em função da

frequência adimensional ⁄ Para melhor entender a Figura 5.10 e as

posteriores, Figuras 5.12 e 5.14, deve-se ter em conta que para estes gráficos o

é a frequência não linear e o é a frequência linear.

Nos modelos III, IV e VII as frequências diminuem conforme a amplitude

modal aumenta, já os modelos I, II e III apresentam um comportamento não

linear com ganho de rigidez. O modelo VI apresenta um comportamento quase

linear. Enquanto o modelo II apresenta o maior ganho de rigidez, o modelo IV

apresenta a maior perda de rigidez. Estes resultados mostram a grande influência

da geometria na relação frequência-amplitude associada à frequência miníma.

Cabe lembrar que o número de ondas circunferênciais é diferente em cada caso.

Na verdade, o modelo VI, de certa forma, mescla as características dos

outros modelos, porque se inicia com a diminuição da frequência natural

DBD



conforme a amplitude cresce e, em um determinado momento, a frequência

deixa de diminuir e começa a crescer conforme mantem seu crescimento, como

mostra a Figura 5.9. Observa-se no modelo VI que para uma mesma frequência

natural pode haver duas amplitudes modais.

As relações geométricas escolhidas permitem algumas conclusões sobre a

influência da geometria sobre o grau e tipo de não linearidade da casca. Os

modelos I, II, IV e VII têm a mesma relação ⁄ ( ⁄ ) e diferentes

valores de ⁄ (veja Fig. 5.8). Observa-se que a casca mais curta ( ⁄ ,

modelo IV) apresenta a maior perda de rigidez. À medida que ⁄ cresce, ou seja,

a casca se torna mais longa, a não linearidade decresce e, a partir de certo valor,

passa a apresentar ganho de rigidez, sendo o modelo II ( ⁄ , casca longa)

aquele que apresenta maior ganho de rigidez. Ao se comparar as curvas para os

modelos II e V que apresentam o mesmo ⁄ ( ⁄ ), observa-se que

ambos os modelos apresentam ganho de rigidez sendo que a maior não linearidade

ocorre para o modelo com maior relação ⁄ . Comparando agora os modelos III

e IV que apresentam ⁄ , observa-se que ambos apresentam perda de

rigidez, sendo que o modelo com maior perda de rigidez é aquele com a menor

relação ⁄ . Conclue-se, pois, que para o mesmo ⁄ a curva tende para a direita

à medida que a relação ⁄ aumenta (a casca se torna mais fina, tendendo para

uma membrana). Cabe lembrar que a relação entre rigidez de membrana e flexão

( ⁄ ) é nas equações adimensionais proporcional a ( ⁄ ) (Gonçalves, 1987).

Estas conclusões idependem dos valores de utilizados neste estudo paramétrico

(0,5, 1 e 5) , ou seja, da gradação dos dois materiais ao longo da espessura, como

mostram os resultados das Figuras 5.11 a 5.14.

DBD



1686 1688 1690 1692 1694 1696

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo I para k=0,5

(a)

832 836 840 844 848

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo II para k=0,5

(b)

1202 1204 1206 1208

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo III para k=0,5

(c)

3300 3320 3340 3360 3380 3400

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo IV para k=0,5

(d)

2320 2330 2340 2350

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo V para k=0,5

(e)

1452.6 1452.7 1452.8 1452.9 1453

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo VI para k=0,5

(f)

DBD



2312 2316 2320 2324 2328

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo VII para k=0,5

(g)

Figura 5.9 – Relação não linear frequência-amplitude para o

0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Casca cilíndirca com MGF para k=0,5Modelo I

Modelo II

Modelo III

Modelo IV

Modelo V

Modelo VI

Modelo VII

Figura 5.10 – Relação não linear frequência-amplitude em função de ⁄ para

DBD



1672 1674 1676 1678 1680 1682

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo I para k=1

(a)

824 828 832 836 840

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo II para k=1

(b)

1192 1194 1196 1198

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo III para k=1

(c)

3280 3300 3320 3340 3360 3380

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo IV para k=1

(d)

2300 2310 2320 2330

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo V para k=1

(e)

1440.2 1440.4 1440.6 1440.8 1441

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo VI para k=1

(f)

DBD



2292 2296 2300 2304 2308

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo VII para k=1

(g)

Figura 5.11 – Relação não linear frequência-amplitude para

0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Casca cilíndirca com MGF para k=1Modelo I

Modelo II

Modelo III

Modelo IV

Modelo V

Modelo VI

Modelo VII


DBD



1644 1646 1648 1650 1652 1654

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo I para k=5

(a)

808 812 816 820 824

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo II para k=5

(b)

1172 1174 1176 1178

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo III para k=5

(c)

3220 3240 3260 3280 3300 3320

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo IV para k=5

(d)

2260 2265 2270 2275 2280 2285 2290

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo V para k=5

(e)

1416.4 1416.5 1416.6 1416.7 1416.8

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo VI para k=5

(f)

DBD



2256 2260 2264 2268 2272

w

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Modelo VII para k=5

(g)


0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

Casca cilíndirca com MGF para k=5Modelo I

Modelo II

Modelo III

Modelo IV

Modelo V

Modelo VI

Modelo VII

Figura 5.14 – Relação não linear frequência-amplitude para o

Deve-se ter em mente que, para uma dada geometria, a não linearidade

depende do modo de vibração. As Figuras 5.16 a 5.18 mostram, respectivamente,

DBD



para os modelos III e VI a influência do número de ondas circunferencias na

relação frequência-amplitude.

Considerando o modelo III, a Figura 5.15 mostra como varia a frequência

natural linear com número de ondas circunferenciais para diversos valores de

Observa-se nas Figuras 5.16 a 5.18 que à medida que diminui a perda de rigidez

e consequentemente o grau de não linearidade da resposta aumenta. Assim, a não

linearidade da estrutura sob vibração forçada depende da frequência da excitação.

12 13 14 15 16

n

1160

1200

1240

1280

1320

Frequência

MGFk=0,5

k=1

k=5

Figura 5.15 – Variação das frequência natural linear em função de para com

diferentes tipos de (modelo III).

DBD



0.992 0.994 0.996 0.998 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

MGF para k=0,5n=12

n=13

n=14

n=15

n=16

Figura 5.16 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear

frequência-amplitude para o Modelo III e

0.992 0.994 0.996 0.998 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

MGF para k=1n=12

n=13

n=14

n=15

n=16



DBD



0.992 0.994 0.996 0.998 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

MGF para k=5n=12

n=13

n=14

n=15

n=16



Verifica-se nas Figuras 5.16 a 5.18 que, conforme se aumenta o o grau de

não linearidade diminui, independente do valor de k.

A seguir estuda-se a influência de um carregamento estático inicial nas

frequencias naturais e na relação frequência-amplitude. Considera-se ou uma

carga crítica axial ou uma pressão lateral, carregamentos mais usuais em cascas

cilíndricas. O procedimento de cálulo é semelhante ao caso anterior. As cargas

críticas e frequências naturais são obtidas para três valores de parâmetros (0,5, 1

e 5). Empregando-se agora as Equações (2.32) no mesmo processo descrito ao

decorrer deste capítulo, calculam-se as frequências naturais para carregamentos de

0%, 20%, 40%, 60%, 80% e 100% das cargas crítica axial e lateral.

DBD



0 400 800 1200

w

0

40000

80000

120000

P

Modelo IIIk=0,5

Pcr=126111,1627

Rigidez nula (instável)

Rigidez máxima

(a)

0 400 800 1200

w

0

40000

80000

120000

P

Modelo IIIk=1

Pcr=125774,456


Rigidez máxima

(b)

0 400 800 1200

w

0

40000

80000

120000

P

Modelo IIIk=5

Pcr=125102,9874


Rigidez máxima

(c)

Figura 5.19 – Variação da frequência natural mínima em função da carga axial para o

Modelo III e três valores de (0,5, 1 e 5) (carga em Newton – N).

A Figura 5.19 mostra a variação da frequência natural mínima em função de

uma carga axial compressiva para o Modelo III e três valores de (0,5, 1 e 5).

Observa-se que, para cada , a frequência natural descresce à medida que a carga

axial compressiva cresce e torna-se zero quando se atinge a carga crítica e ocorre

a perda de estabilidade da estrutura. Este decréscimo deve-se à diminuição da

rigidez efetiva da casca (rigidez-rigidez geométrica) que diminui com a carga e se

torna nula quando a carga atinge o valor crítico.

DBD



0.94 0.96 0.98 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1F

2

k=0,50% Pcr

20% Pcr

40% Pcr

60% Pcr

80% Pcr

(a)

0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=0,50% qcr

20% qcr

40% qcr

60% qcr

80% qcr

(b)

0.992 0.994 0.996 0.998 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=0,50% qcr

20% qcr

40% qcr

60% qcr

80% qcr

(c)

0.94 0.96 0.98 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=10% Pcr

20% Pcr

40% Pcr

60% Pcr

80% Pcr

(d)

0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=10% qcr

20% qcr

40% qcr

60% qcr

80% qcr

(e)

0.992 0.994 0.996 0.998 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=10% qcr

20% qcr

40% qcr

60% qcr

80% qcr

(f)

0.94 0.96 0.98 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=50% Pcr

20% Pcr

40% Pcr

60% Pcr

80% Pcr

(g)

0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=50% qcr

20% qcr

40% qcr

60% qcr

80% qcr

(h)

0.992 0.994 0.996 0.998 1

w/wo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F2

k=50% qcr

20% qcr

40% qcr

60% qcr

80% qcr

(i)

Figura 5.20 – Influência do carregamento na relação não linear frequência-amplitude. (a, d, g) Carregamento axial compressivo. (b, e, h) pressão lateral interna (tração). (c, f, i) pressão lateral externa (compressão).

Na análise da Figura 5.20 o cilíndro está submetido a um carregamento

estático de compressão axial (Figuras a, d e g), pressão lateral interna (Figuras b, e

e h) e pressão lateral externa (Figuras c, f e i). Observa-se que um carregamento

que gere um estado de tensões de compressão, à medida que o carregamento se

aproxima do valor crítico, a não linearidade se torna mais acentuada. Já a pressão

lateral interna que gera um estado de tensões de tração tende inicialmente a

diminuir a não linearidade da resposta e, a partir de uma certa carga de tração, a

frequência passa a aumentar à medida que a amplitude modal aumenta. Verifica-

DBD



se que a inclusão do efeito de um pré-carregamento estático é essencial para

avaliar corretamente o comportamento não linear de cascas esbeltas.

DBD



6

Conclusões e sugestões

Estudou-se neste trabalho o comportamento linear e não linear de cascas

cilíndricas com gradação funcional.

A comparação dos resultados da análise linear com os resultados

encontrados na literatura para cascas de material homogêneo e com gradação

funcional demonstram a precisão dos resultados aqui obtidos usando as teorias de

Donnell e Sanders.

Para o material com gradação funcional, verifica-se que a gradação dos

materiais constituinte envolvidos tem grande influência no valor das frequências

assim como das cargas críticas, tanto para as cargas axiais quanto para as cargas

laterais. Esta variação é basicamente devida à diferença entre os módulos de

elasticidade dos dois materiais.

O método de Galerkin foi usado para discretizar o sistema contínuo e as

amplitudes modais foram obtidas pelo método de Newton-Raphson, o qual se

mostrou conveniente por permitir obter as respostas com poucas iterações.

Os resultados não lineares ratificam a importância do acoplamento modal

não linear na resposta da casca com os modos não clássicos apresentando

amplitudes diferentes de zero.

O estudo paramétrico mostra que a geometria tem influência significativa na

forma do modo de vibração da casca associado à frequência mínima, em particular

no número de ondas circunferenciais.

Verifica-se também que a geometria tem influência significativa na relação

não linear frequência-amplitude. Os resultados demonstram que, dependendo da

geometria, cascas cilíndricas podem apresentar uma diminuição das frequências

com a amplitude, ou seja, uma perda de rigidez à medida que sua amplitude de

vibração aumenta, ou um ganho de rigidez.

DBD



A casca quanto mais curta, mais apresenta perda de rigidez, sendo esta

relação governada pelo parâmetro adimensional ⁄ Logo, conclui-se que,

quanto menor esta relação, mais perda de rigidez a estrutura apresenta. Para

cascas longas, relação ⁄ alta, a relação não linear frequência-amplitude

monstra um ganho de rigidez. Caso duas cascas tenham a mesma relação ⁄ a

que terá mais ganho de rigidez será a que possuir a maior relação ⁄ . O valor de

tem pequena influência na relação não linear frequência-amplitude.

Para uma dada geometria, quanto menor o número de ondas

circunferenciais, mais a estrutura tende a perder rigidez, aumentando assim a não

linearidade do sistema.

Os resultados mostram que uma carga estática tem grande influência na

frequência natural e na relação não linear frequência-amplitude. Para cargas axiais

compressivas e pressão externa, quanto maior o carregamento, menor é a

frequência natural mínima, tornando-se esta nula quando a carga atinge o valor

crítico. A influência destes carregamentos também é grande no comportamento

não linear. Quanto mais próximo do valor crítico, maior é a perda de rigidez

estrutural.

Todavia, se a estrutura estiver submetida a uma carga de tração, tem-se um

ganho de rigidez com relação à estrutura descarregada.

Por fim, com base nesta pesquisa, podem-se sugerir alguns estudos

posteriores, como:

Estudo da vibração forçada de cascas com gradação funcional, com

ênfase no comportamento dinâmico não linear;

Análise da influência da temperatura em cascas cilíndricas com

MGF;

Analisar a estrutura sob condições de contorno diferentes;

A análise experimental das vibrações não lineares de cascas

cilíndricas com gradação funcional.

DBD



7

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DBD



A1

Apêndice

Tabela A1 – Seis equações não lineares relativas ao deslocamento axial, .

Começo da 1ª Equação

Fim da 1ª Equação



DBD







DBD







DBD



Tabela A2 – Quatro equações não lineares relativas ao deslocamento circunferencial, .



DBD





DBD





DBD





DBD



Tabela A3 – Duas equações não lineares relativas ao deslocamento radial, .



DBD





DBD


Documents

Alexandre Andrade Brandão Soares Vibrações livres não ... Alexandre Andrade Brandão Soares Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional Dissertação