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Universidade Camilo Castelo Branco Campus Fernandópolis LUIS HENRIQUE DE REZENDE CROZARIOL ANÁLISE LINEAR DE ESTRUTURAS PELO METÓDO DOS ELEMENTOS FINITOS LINEAR ANALYSIS OF STRUCTURES BY FINITE ELEMENT METHOD Fernandópolis, SP 2014

Análise linear de estruturas pelo método dos elementos finitos

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No trabalho foi feita a revisão bibliográfica da base dos elementos finitos, composta por: resistência dos materiais, geometria analítica, álgebra linear e cálculo diferencial e integral. Após ter estudado a base, foi iniciado os estudos dos elementos finitos, via apostilas e livros reconhecidos no meio acadêmico, assim como técnicas computacionais para solução do sistema de equações algébricas.A partir da revisão das matérias o Método dos Elementos Finitos fica compreensível, por ser uma matéria ministrada em cursos de pós-graduação exige um conhecimento avançado da base, é também observado a superioridade do Método dos elementos finitos sobre o seu precursor, que é o método dos deslocamentos.

Text of Análise linear de estruturas pelo método dos elementos finitos

  • Universidade Camilo Castelo Branco

    Campus Fernandpolis

    LUIS HENRIQUE DE REZENDE CROZARIOL

    ANLISE LINEAR DE ESTRUTURAS PELO METDO DOS

    ELEMENTOS FINITOS

    LINEAR ANALYSIS OF STRUCTURES BY FINITE ELEMENT METHOD

    Fernandpolis, SP

    2014

  • Luis Henrique de Rezende Crozariol

    ANLISE LINEAR DE ESTRUTURAS PELO METDO DOS ELEMENTOS FINITOS

    Orientador: Prof. Me. Marcelo Rodrigo de Matos Pedreiro

    Trabalho de Concluso de Curso apresentada ao Curso de Graduao em Engenharia Civil da

    Universidade Camilo Castelo Branco, como complementao dos crditos necessrios para obteno

    do ttulo de Graduao em Engenharia Civil.

    Fernandpolis, SP

    2014

  • Autorizo, exclusivamente, para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou

    parcial deste TCC, dissertao (tese), por processos xerogrficos ou eletrnicos.

    Assinatura do aluno:

    Data:

    Crozariol, Luis Henrique de Rezende

    Cr953a Anlise Linear de Estruturas pelo mtodos dos

    Elementos Finitos / Luis Henrique de Rezende.

    Fernandpolis: [s.n.], 2014.

    XV, 111p. : il. ; 29,5cm.

    Trabalho de Concluso de Curso, apresentado ao

    Curso de Graduao em Engenharia Civil da Universidade

    Camilo Castelo Branco, como complementao dos crditos

    necessrios para obteno do ttulo de Graduao em

    Engenharia Civil.

    Orientador: Prof. Me. Marcelo Rodrigo de Matos

    Pedreiro.

    1. Mtodos dos Elementos Finitos. 2. Anlise de Estruturas. 3. Mtodos dos deslocamentos.

    I. Ttulo.

    CDD 624.1

  • v

    Dedicatria

    Dedico este trabalho aos meus pais,

    Luiz Carlos e Irene, pela sabedoria que

    me proporcionaram ao longo dos anos e

    meu irmo Luis Gustavo.

    Aos meus avs Jos Alcides e

    Osmria in memorian, Vicente e Nadir

    pelo carinho incondicional e por serem

    exemplos de vida para mim. V Isabel

    que infelizmente no conheci mas tenho

    certeza que me olha do cu.

    Minha namorada Mirian Matos e sua

    me pelo incentivo e por acreditarem nos

    meus objetivos.

    Meus tios que so meus pais mais

    novos, tio Adilson estou realizando um

    sonho seu e gostaria de erguer este trofu

    com voc.

    Meus primos, em especial Eloisa

    Rezende e Carlos Eduardo por serem

    meus irmos mais velhos.

    Aos meus amigos de infncia, ric,

    Igor, Rafael, Rodrigo, Henrique pelo DotA

    e pelos momentos felizes que passamos

    juntos. Willian Queiroz, poucas pessoas

    sabem, mas a maior rivalidade

    Flamengo x Palmeiras.

    A galera do futebol, na poca do Bagi

    e Edinaldo, saudades desse tempo.

  • vi

    Agradecimentos

    O autor agradece o professor e orientador Marcelo Pedreiro, pela confiana

    depositada em mim desde o incio, pacincia, dedicao, segurana e ensinamentos

    no decorrer deste trabalho.

    Aos professores Wilson Capanema, Edson Florentino e novamente Marcelo

    Pedreiro, pelas aulas de Clculo, Resistncia dos materiais e Anlise de estruturas,

    matrias essenciais ao meu Trabalho de Concluso de Curso.

    Ao meu amigo Jhonata Olentino, pela ajuda nos trabalhos da faculdade e

    formatao do TCC.

    Agradeo a todas as pessoas que direta ou indiretamente contriburam para

    este trabalho.

  • vii

    "Qualquer coisa que voc aprende se

    torna sua riqueza, uma riqueza que no

    pode se tomada de voc; seja se voc

    aprende em um prdio chamado escola

    ou na escola da vida. Aprender algo novo

    um prazer e um tesouro valioso. E nem

    todas as coisas que voc aprende so

    ensinadas a voc, mas muitas coisas que

    voc aprende voc percebe ter ensinado

    a si mesmo. - C. JoyBell C.

  • viii

    RESUMO

    Luis Henrique de Rezende Crozariol, Marcelo Rodrigo de Matos Pedreiro. Anlise

    linear de estruturas pelo mtodo dos elementos finitos. Fernandpolis,

    Universidade Camilo Castelo Branco, 2014, 107p. Trabalho de concluso de curso.

    No trabalho foi feita a reviso bibliogrfica da base dos elementos finitos, composta

    por: resistncia dos materiais, geometria analtica, lgebra linear e clculo diferencial

    e integral. Aps ter estudado a base, foi iniciado os estudos dos elementos finitos,

    via apostilas e livros reconhecidos no meio acadmico, assim como tcnicas

    computacionais para soluo do sistema de equaes algbricas.

    A partir da reviso das matrias o Mtodo dos Elementos Finitos fica compreensvel,

    por ser uma matria ministrada em cursos de ps-graduao exige um

    conhecimento avanado da base, tambm observado a superioridade do Mtodo

    dos elementos finitos sobre o seu precursor, que o mtodo dos deslocamentos.

    Palavras-chave: Mtodo dos elementos finitos, Anlise de estruturas, Mtodo dos

    deslocamentos.

  • ix

    ABSTRACT

    Luis Henrique de Rezende Crozariol, Marcelo Rodrigo de Matos Pedreiro. Linear

    analysis of structures by finite element method. Fernandpolis, University Camilo

    Castelo Branco, 2014, 107 pages. End of course work.

    Work in the bibliographical review of the finite element basis, comprising been made:

    strength of materials, analytical geometry, linear algebra and differential and integral

    calculus. After studying the basic, the study was initiated finite element, by handouts

    and books recognized in academia, as well as computational techniques for the

    solution of algebraic equations. From the review of the materials the Finite Element

    Method is understandable, because it is a given in courses of graduate field requires

    an advanced knowledge base; it is also observed the superiority of the finite element

    method over its precursor, which is the displacement method.

    Key words: Finite element method, analysis of structures, the displacement method.

  • x

    LISTA DE FIGURAS

    Figura 1 - Modelo de estrutura contnua discretizada pelo mtodo dos elementos

    finitos. ........................................................................................................................ 18

    Figura 2 - Viga elemento infinitesimal........................................................................ 21

    Figura 3 - Sistema de eixos da Esttica .................................................................... 22

    Figura 4 Trelia com 2 graus de liberdade. ............................................................ 24

    Figura 5 Equilbrio do n C. .................................................................................... 27

    Figura 6 Termos 11k e 21k da matriz de rigidez da trelia ....................................... 30

    Figura 7 Termos 12k e 22k da matriz de rigidez da trelia ....................................... 30

    Figura 8 Foras no n C para 1 1d e 2 1d .......................................................... 32

    Figura 9 Graus de liberdade no sistema global e local ........................................... 35

    Figura 10 Energia de deformao especfica 0U da barra m. ................................ 38

    Figura 11 Trabalho externo associado ao grau de liberdade i . ............................. 40

    Figura 12 Incremento de energia de deformao especfica 0,mU da barra m . ... 45

    Figura 13 Incremento de trabalho externo iW . ..................................................... 49

    Figura 14 Viga em balano de inrcia varivel. ...................................................... 56

    Figura 15 Diagrama de momentos na viga associado a v x definido em (135). .. 60

    Figura 16 Diagrama de momentos na viga associado a v x definido em (146). .. 62

    Figura 17 Elemento finito de viga. .......................................................................... 67

    Figura 18 Fora externa linearmente distribuda. ................................................... 76

    Figura 19 Viga em balano com fora uniforme distribuda .................................... 79

    Figura 20 Fora concentrada na extremidade ........................................................ 80

    Figura 21 Fora linearmente distribuda com P1=0 ................................................ 80

    Figura 22 Fora linearmente distribuda com P2=0 ................................................ 81

    Figura 23 Matriz de rigidez com caracterstica de banda. ...................................... 82

    Figura 24 Matriz de rigidez sem caracterstica de banda. ...................................... 82

    Figura 25 Numerao local dos deslocamentos do elemento. ............................... 83

    Figura 26 Perfil para armazenamento por altura efetiva de coluna. ....................... 86

    Figura 27 - Fluxograma de obteno do vetor IPOS. .............................................. 88

  • xi

    Figura 28 - Fluxograma da montagem da matriz de rigidez por altura efetiva da

    coluna. ....................................................................................................................... 89

    Figura 29 - Fluxograma da montagem do vetor de foras nodais global. .................. 91

    Figura 30 - Fluxograma Etapa de triangularizao. ................................................ 98

    Figura 31 - Fluxograma Etapa de substituio. ...................................................... 99

    Figura 32 - Fluxograma - Etapa de retro substituio.............................................. 100

    Figura 33 - Transformao dos deslocamentos nodais. .......................................... 102

    Figura 34 - Tela de abertura e seleo do modelo. ................................................. 103

    Figura 35 - Dados gerais. ........................................................................................ 104

    Figura 36 - Dados nodais. ....................................................................................... 104

    Figura 37 - Foras. .................................................................................................. 105

    Figura 38 - Estrutura Modelada no Programa Computacional SAP2000. ............... 105

    Figura 39 - Escolha do Tipo de Material. ................................................................. 106

    Figura 40 - Elementos e suas caractersticas. ......................................................... 106

    Figura 41 - Deslocamentos nodais - Parte 1. .......................................................... 107

    Figura 42 - Deslocamentos nodais - Parte 2. .......................................................... 107

    Figura 43 - Deslocamentos do N 4. ....................................................................... 108

  • xii

    LISTA DE TABELAS

    Tabela 1- Vetor auxiliar contendo as posies dos elementos da diagonal principal.

    .................................................................................................................................. 86

    Tabela 2 Comparao de deslocamentos e rotao entre SAP e MAPE ............. 109

  • xiii

    LISTA DE SMBOLOS

    A= rea

    i = incgnitas das funes aproximadoras

    id = deslocamentos nodais

    gd = deslocamentos nodais no sistema global

    ld = deslocamentos nodais no sistema local

    = deformao

    E = mdulo de elasticidade

    = varivel adimensional

    = energia potencial total

    f = matriz de foras nodais

    = giro

    I = inrcia

    k = matriz de rigidez

    L= comprimento da barra

    M = momento

    N = fora normal

    = potencial das foras externas

    P = carga

    R = matriz de rotao

    = incremento

    i = alongamento/encurtamento

    = tenso

    0mU = energia de deformao especfica

    v x = flecha

    'v x = rotao

    W = trabalho

  • xiv

    SUMRIO

    1 INTRODUO .................................................................................................... 17

    2 - OBJETIVO ........................................................................................................... 19

    3 METODOLOGIA .................................................................................................. 20

    4 ELEMENTOS ESTRUTURAIS RETICULARES VIGA PRISMTICA ............... 21

    5 - FORMULAO LOCAL ....................................................................................... 22

    5.1 - Deduo direta da equao diferencial regente do problema de viga

    prismtica .............................................................................................................. 22

    6 A EVOLUO DO MTODO DOS DESLOCAMENTOS .................................... 23

    6.1 Mtodo Bsico .............................................................................................. 24

    6.2 Mtodo clssico ............................................................................................ 29

    6.3 - Mtodo da anlise matricial ........................................................................... 34

    6.4 Mtodo de Castigliano .................................................................................. 38

    6.4.1 Energia de deformao .......................................................................... 38

    6.4.2 Trabalho Externo .................................................................................... 40

    6.4.3 Segundo teorema de Castigliano ........................................................... 40

    6.4.4 A aplicao do mtodo de Castigliano ................................................... 43

    6.5 Princpio dos deslocamentos virtuais ............................................................ 45

    6.5.1 Incrementos da energia de deformao ................................................. 45

    6.5.2 Incrementos do trabalho externo ............................................................ 48

    6.5.3 Formulao do princpio dos deslocamentos virtuais ............................. 51

    6.6 Mtodo da mnima energia potencial total .................................................... 51

    6.6.1 - O princpio da mnima energia potencial total ........................................ 52

    6.7 - Mtodo de Rayleigh-Ritz ............................................................................... 55

    7 O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .......................................................... 65

    7.1 - Deduo com utilizao da linguagem matricial ............................................ 66

    7.1.1 Exemplo ................................................................................................. 73

  • xv

    7.2 Energia potencial externa ............................................................................. 75

    7.3 Exemplos flechas ....................................................................................... 78

    8 TCNICAS COMPUTACIONAIS PARA AUTOMATIZAO DO MTODO DOS

    ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................. 81

    8.1 Organizao da montagem do sistema de equaes ................................... 81

    8.1.1 Generalidades ........................................................................................ 81

    8.1.2 Disposio dos coeficientes na matriz de rigidez global ........................ 81

    8.1.3 Processo de expanso e acumulao .................................................... 83

    8.1.4 Matriz de rotao .................................................................................... 84

    8.1.5 Armazenamento computacional da matriz de rigidez ............................. 85

    8.1.6 Armazenamento do vetor de foras nodais ............................................ 90

    8.2 Considerao das condies de contorno e dos deslocamentos prescritos . 92

    8.2.1 Introduo .............................................................................................. 92

    8.2.2 Tcnicas para considerao das condies de contorno dos vnculos .. 92

    8.2.3 Tcnica dos zeros e um ......................................................................... 93

    8.2.4 Tcnica do nmero muito grande ........................................................... 94

    8.2.5 Apoios Elsticos ..................................................................................... 95

    8.3 Soluo do sistema de equaes ................................................................. 96

    8.3.1 Generalidades ........................................................................................ 96

    8.3.2 - Procedimentos de soluo ...................................................................... 96

    8.3.3 - Implementao do mtodo de soluo para anlise esttica linear ........ 96

    8.4 - Informaes resultantes da anlise ............................................................. 100

    8.4.1 - Generalidades ....................................................................................... 100

    8.4.2 - Resultados da anlise esttica linear .................................................... 101

    8.4.3 - Deslocamentos nodais .......................................................................... 101

    8.4.4 - Esforos nos elementos ........................................................................ 101

    8.4.5 - Reaes dos apoios .............................................................................. 102

  • xvi

    9 RESULTADOS .................................................................................................. 103

    10 - CONCLUSO .................................................................................................. 110

    11 REFERNCIA BIBLIOGRFICA ..................................................................... 111

  • 17

    1 INTRODUO

    A engenharia estrutural trata basicamente do planejamento, projeto,

    construo e manuteno de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabalho

    e lazer. Sendo que o projeto e a execuo de estruturas sejam elas de concreto,

    madeira ou ao so subreas de conhecimento da engenharia civil onde

    engenheiros se especializam, sendo assim chamados engenheiros estruturais.

    A anlise estrutural a fase do projeto estrutural em que feita a idealizao

    do comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por

    diversos parmetros, tais como pelos campos de tenses, deformaes e

    deslocamentos na estrutura. De uma maneira geral, a anlise estrutural tem como

    objetivo a determinao de esforos internos e externos (foras e reaes de apoio),

    e consequentemente a obteno de tenses, deformaes e os correspondentes

    deslocamentos da estrutura que est sendo projetada. Essa anlise deve ser feita

    para os possveis estgios de carregamentos e solicitaes que devem ser

    previamente determinados. (MARTHA, LUIZ FERNANDO, 2010, p. 1)

    Os efeitos da constituio interna molecular dos materiais so levados em

    conta de forma macroscpica atravs das equaes constitutivas dos materiais, com

    base na lei de Hooke, onde considera-se o material solicitado dentro de limites que

    garantem seu comportamento elstico linear. (RIBEIRO, F. L. B. , 2004, p. 4).

    A primeira etapa de todo processo de modelagem computacional de um

    fenmeno fsico consiste da identificao dos fatores que podem influenciar de

    maneira relevante no problema. Isto implica na escolha adequada dos princpios

    fsicos e das variveis dependentes e independentes que descrevem o problema,

    resultando em um modelo matemtico constitudo por um conjunto de equaes

    diferenciais que geralmente so de difcil soluo, portanto a segunda etapa que

    consiste em obter a soluo do modelo matemtico, deve ser atribuda aos mtodos

    numricos, de modo a simplificar de forma altamente satisfatria a soluo do

    problema. (RIBEIRO, F. L. B. 2004, p. 4).

    Inmeros mtodos de preciso para soluo destes problemas so usados

    em engenharia entre eles pode-se destacar: mtodo dos elementos de contorno,

    mtodo das diferenas finitas, mtodo dos volumes finitos, mtodo de Galerkin,

    mtodo de Rayleigh-Ritz e o mtodo dos elementos finitos. (SILVA, S. Introduo ao

    Mtodo dos Elementos Finitos, 2009, P. 10)

  • 18

    O Mtodo dos Elementos Finitos - MEF que ser abordado neste trabalho foi

    idealizado com os trabalhos de Argyris e Kelsey (1954, apud RODRIGUES 1997,

    p.1) e de Turner et al (1956, apud RODRIGUES 1997, p.1). (Pedreiro, M. R. M.

    2011). Com isso, os pesquisadores passaram a ter uma ferramenta poderosa que

    permite a modelagem numrica dos fenmenos envolvidos na anlise estrutural.

    A ideia bsica do MEF realizar uma diviso do domnio de integrao de

    uma estrutura ou sistema de interesse em um conjunto de pequenas regies,

    chamadas de elementos finitos transformando o domnio de contnuo para discreto.

    Esta diviso do domnio conhecida como malha ou grid, que nada mais do que o

    conjunto de elementos finitos resultante da discretizao.

    Figura 1 - Modelo de estrutura contnua discretizada pelo mtodo dos elementos finitos.

    Fonte: SILVA (2009)

    A malha formada de elementos compostos de faces e ns, que so pontos

    de interseco e ligao entre os elementos. O grande mrito do MEF no buscar

    uma funo admissvel que satisfaa as condies de contorno para todo o domnio,

    o que pode ser praticamente impossvel em um problema complexo, e sim buscar

    estas solues em cada elemento de forma separada. (SILVA, S. Introduo ao

    Mtodo dos Elementos Finitos, 2009, P. 10 e 11)

    No mbito da Engenharia de Estruturas, o Mtodo dos Elementos Finitos

    (MEF) tem como objetivo a determinao do estado de tenso e de deformao de

    um slido de geometria arbitrria sujeito a aes exteriores. Este tipo de clculo tem

  • 19

    a designao genrica de anlise de estruturas e surge, por exemplo, no estudo de

    edifcios, pontes, barragens, etc. Quando existe a necessidade de projetar uma

    estrutura, habitual proceder-se a uma sucesso de anlises e modificaes das

    suas caractersticas, com o objetivo de se alcanar uma soluo satisfatria, quer

    em termos econmicos, quer na verificao dos pr-requisitos funcionais e

    regulamentares. (AZEVEDO, lvaro F.M. 2003, P. 1)

    2 - OBJETIVO

    O objetivo deste projeto apresentar de forma introdutria os aspectos mais

    relevantes do mtodo dos elementos finitos na soluo de sistemas estruturais

    composto por elementos lineares que constituem prticos bidimensionais, utilizando-

    se a linguagem de programao em Visual Basic no auxlio para elaborao de um

    cdigo computacional, que possibilite a soluo destes sistemas com a

    determinao de deslocamentos, tenses e deformaes em cada elemento, alm

    das reaes provenientes de vinculaes externas.

    A abordagem do MEF envolve conceitos elementares da teoria de funes,

    lgebra e clculo, os quais so abordados nas disciplinas bsicas geralmente

    desenvolvidas nos primeiros semestre dos cursos de engenharia.

    Ao longo de todo este trabalho consideram-se as seguintes hipteses:

    - Linearidade fsica

    - Linearidade geomtrica

    - Homogeneidade e isotropia do material estrutural

    Ser adotado como hiptese simplificadora o fato de que o material apresenta

    linearidade fsica que permite assumir um comportamento elstico linear. Este fato

    simplifica as relaes constitutivas, permitindo o estabelecimento de uma relao

    linear entre esforos e deformaes. Alm disso, tambm ser assumido que a

    estrutura apresenta linearidade geomtrica que inclui a hiptese dos pequenos

    deslocamentos e das pequenas deformaes, tal hiptese permite que as condies

    de equilbrio possam ser estabelecidas com base na configurao indeformada da

    estrutura.

  • 20

    3 METODOLOGIA

    Foi abordado a apresentao da conceituao de mtodos dos elementos

    finitos com a utilizao de exemplos de elementos estruturais simples (elementos

    estruturais reticulares), mesmo sabendo que para eles tambm possvel deduzir,

    de modo direto (e clssico) as equaes diferenciais regentes que tenham soluo

    analtica fechada; nesses casos, como sabido, tambm poderiam ser obtidos

    resultados imediatos de valores de deslocamentos de pontos particulares,

    alternativamente, com o emprego dos princpios dos trabalhos virtuais ou com o

    teorema de Castigliano, por exemplo.

  • 21

    4 ELEMENTOS ESTRUTURAIS RETICULARES VIGA

    PRISMTICA

    Inicia-se com a reviso dos aspectos principais do problema de viga

    prismtica, no mbito da teoria de primeira ordem, isto , quando ocorrerem

    pequenos deslocamentos angulares da estrutura e pequenas deformaes

    especficas no material elstico.

    A deformao relativa entre duas sees transversais separadas por um dx,

    admitida a hiptese da manuteno das sees planas, pode ser obtida conforme a

    seguir mostrado na figura 2.

    Figura 2 - Viga elemento infinitesimal.

    Sendo flexo normal simples:

    / .My I (1)

    Com hooke:

    .

    My

    E EI

    (2)

    Por semelhana de tringulos:

    .

    u Y

    x

    (3)

    Ento:

    .

    l M

    EI

    (4)

  • 22

    Alm disso:

    / .d dx (5)

    Ento:

    .M

    d dxEI

    (6)

    5 - FORMULAO LOCAL

    5.1 - Deduo direta da equao diferencial regente do problema de viga

    prismtica

    De acordo com a Teoria clssica da Resistncia dos materiais, o caso de viga

    prismtica sob fora distribuda p(x), estudado com base em elemento de

    comprimento infinitesimal e com a conhecida relao entre esforos (M) e

    deformaes (curvaturas k) tem a formulao local seguinte:

    Figura 3 - Sistema de eixos da Esttica

    (LABAKI, J; MESQUITA, E.)

    Figura 3b: Conveno de sinais da Resistncia

    dos Materiais (LABAKI, J; MESQUITA, E.)

    Do equilbrio de foras e de momentos, de elemento infinitesimal, resulta:

    ,dV

    pdx

    .dM

    Vdx

  • 23

    A relao entre esforos e deformaes, j obtida anteriormente, ser:

    l M

    p EI

    (7)

    Para compatibilizar convenes usuais sobre esforos solicitantes, e admitida

    a possibilidade de aproximar a curvatura (l/p) com a derivada segunda de v,

    resultar:

    d v M

    dx EI

    (8)

    A diferenciao sucessiva desta expresso e a utilizao das equaes de

    equilbrio levaro equao diferencial do problema, dada por:

    4

    4

    d v p

    dx EI

    (9)

    6 A EVOLUO DO MTODO DOS DESLOCAMENTOS

    O mtodo dos Elementos Finitos pertence famlia do Mtodo dos

    Deslocamentos ou Mtodo da Rigidez onde deslocamentos so escolhidos como

    incgnitas. Todos os membros dessa famlia se caracterizam por ter como equao

    fundamental a equao de equilbrio cujas incgnitas so deslocamentos

    generalizados. Entendem-se aqui por deslocamentos generalizados, grandezas

    cinemticas, tais como, deslocamentos lineares, rotaes etc.

    Os membros dessa famlia formam uma rvore genealgica, com novos

    mtodos gerados a partir dos mtodos mais antigos. De certa maneira, a evoluo

    do mtodo ao longo do tempo segue as leis da evoluo de Darwin, com mutao e

    seleo. Os novos membros da famlia desses mtodos herdam as caractersticas

    de seus antecessores, mas sofrem pequenas mudanas que s so bem sucedidas

    se forem bem adaptadas s condies existentes. Um exemplo disso que a

    Anlise Matricial de Estruturas (AME) e o MEF s tiveram larga aceitao quando os

    computadores atingiram uma fase de elevado grau de desenvolvimento, apesar de

    este ltimo ter surgido antes dessa fase.

  • 24

    Este captulo procura mostrar como se deu a evoluo do Mtodo dos

    Deslocamentos, desde as primeiras formulaes at o MEF. surpreendente

    verificar como as mudanas conceituais so pequenas em comparao ao enorme

    crescimento do potencial do mtodo. (VAZ, L. E. 2010)

    6.1 Mtodo Bsico

    A anlise de estruturas usa trs equaes bsicas, nomeadamente equaes

    de compatibilidade, de equilbrio e constitutivas, tambm chamadas de relao

    tenso-deformao. O mtodo dos deslocamentos caracteriza-se por usar a

    equao de equilbrio como equao fundamental, ou seja, aquela de onde so

    obtidas as incgnitas primrias do problema, a partir das quais, todas as outras

    respostas sero obtidas. As incgnitas primrias so os deslocamentos por meio

    dos quais possvel obter deformaes, tenses, resultantes de tenses etc.

    O mtodo bsico da famlia do mtodo dos deslocamentos consiste em

    manipular as trs equaes bsicas da anlise de estruturas de modo a colocar

    todas as informaes disponveis nas equaes de equilbrio com deslocamentos

    livres como incgnitas. O nmero de deslocamentos livres chamado grau de

    liberdade da estrutura.

    Neste item e em outros que seguem, a estrutura apresentada na figura 4

    utilizada para ilustrar a resoluo do mtodo. Trata-se de uma trelia plana simples

    com quatro barras e dois graus de liberdade, os deslocamentos horizontal e vertical

    do n C. (VAZ, L. E. 2010)

    Figura 4 Trelia com 2 graus de liberdade.

  • 25

    As equaes de compatibilidade relacionam grandezas cinemticas, nesse

    caso os deslocamentos nodais livres 1d e 2d na direo horizontal e vertical com

    alongamentos/encurtamentos i das barras i . Os deslocamentos so supostos

    positivos com os sentidos indicados na figura acima. Os alongamentos sero

    considerados positivos e os encurtamentos negativos. As expresses para os i das

    quatro barras so obtidas projetando-se os deslocamentos nodais nas direes das

    barras, assim:

    1 1 2 1 2

    2 1 2 1

    3 1 2 1 2

    4 1 2 1 2

    2 2( , ) d

    2 2

    ( , )

    ;2 2( , )

    2 2

    2 2( , )

    2 2

    d d d

    d d d

    d d d d

    d d d d

    (10)

    A segunda equao de compatibilidade relaciona os

    alongamentos/encurtamentos das barras i com as deformaes longitudinais i .

    Da resistncia dos materiais:

    i

    iL

    ;

    (11)

    Como os comprimentos das barras so:

    1

    2

    3

    4

    2

    2

    2

    L L

    L L

    L L

    L L

    (12)

  • 26

    Chega-se a:

    1 2

    1 1 2 1 2

    12 1 2

    1 2

    3 1 2 1 2

    1 2

    4 1 2 1 2

    2 2d

    12 2( , )22

    ( , )

    ;2 212 2( , )22

    2 212 2( , )22

    d

    d d d dLL

    dd d

    L

    d d

    d d d dLL

    d d

    d d d dLL

    (13)

    Para efeito de simplificao, a lei constitutiva usada nesse trabalho ser a lei

    de Hooke, assim, para cada barra, i vale:

    ;i iE (14)

    Ou, e termos de esforos normais Ni ,

    N ;i i

    i

    EA L

    (15)

    Onde E o mdulo de elasticidade do material, A, a rea da seo

    transversal (as duas grandezas supostas constantes para todas as barras),Ni o

    esforo normal e iL o comprimento da barra i .

    Substituindo-se para cada barra i , i dado em (10) em (15), obtm-se:

  • 27

    1 1 2 1 2

    2 1 2

    3 1 2 1 2

    4 1 2 1

    1

    2

    ( , )2

    ( , )

    ;

    ( , )2

    )

    ( ,

    2

    EAN d d d d

    L

    E AN d d

    L

    EN d

    d

    A

    L

    A

    d d d

    EN d d d d

    L

    (16)

    As equaes de equilbrio so obtidas para as direes horizontal e vertical

    no n C.

    Os sentidos das foras axiais Ni que atuam nas barras i , so admitidos a princpio

    de trao. Para se escrever as equaes de equilbrio, valem, no entanto os

    sentidos indicados na Figura 5.

    Figura 5 Equilbrio do n C.

    As equaes de equilbrio so:

    Na direo horizontal:

    1 2 3 4

    2 2 20 ; 0 ;

    2 2 2hF N N N N P

    (17)

    Na direo vertical:

    1 3 4

    2 2 20 ; 0 ;

    2 2 2vF N N N

    (18)

    Substituindo-se as expresses (16) em (18) e manipulando-as, obtm-se:

  • 28

    1 2

    1 2

    2,061 A 0,354

    0,354 E 1,061 0

    E E Ad d P

    L L

    A E Ad d

    L L

    (19)

    A expresso (19) a equao fundamental do mtodo dos deslocamentos

    para a anlise da trelia plana da Figura 4. Matricialmente, ela pode ser reescrita

    como:

    1

    2

    2,061 0,354 ;

    0,354 1,061 0

    d PE A

    dL

    (20)

    Cuja soluo :

    1

    2

    0,515 ;

    0,171

    d PL

    d E A

    (21)

    Com os deslocamentos 1d e 2d possvel obter agora todas as respostas da

    estrutura em termos de alongamento/encurtamento, na expresso (10), deformaes

    em (13), tenses em (14), e esforos normais Ni em (16). Tais valores esto

    indicados a seguir:

    1

    2

    3

    4

    0,243

    0,515 ;

    1,778

    0,243

    PL

    E A

    (22)

    1

    2

    3

    4

    0,172

    0,515 ;

    0,343

    0,172

    P

    E A

    (23)

  • 29

    1

    2

    3

    4

    0,172

    0,515 ;

    0,343

    0,172

    P

    A

    (24)

    1

    2

    3

    4

    0,172

    0,515;

    0,343

    0,172

    N

    NP

    N

    N

    (25)

    6.2 Mtodo clssico

    O mtodo clssico essencialmente o mesmo que o mtodo bsico. Sua

    contribuio foi no sentido de sistematizar, ou seja, organizar, ou ainda criar uma

    metodologia que possa ser aplicada da mesma forma a todas as estruturas.

    O mtodo usa os conceitos de estados auxiliares e de superposio de

    efeitos. Inicialmente, devem-se identificar os graus de liberdade da estrutura. Em

    seguida, um estado auxiliar j criado para cada grau de liberdade impondo-se um

    valor unitrio para o grau de liberdade jd , enquanto os outros so mantidos nulos.

    Resultantes das foras internas resistentes que atuam nas barras aparecem nas

    direes dos graus de liberdade. A fora interna na direo i devido ao

    deslocamento unitrio na direo na direo do grau de liberdade jd chamada de

    coeficiente ijk . Alm disso um estado auxiliar 0 criado para as cargas atuantes

    com todos os graus de liberdade mantidos fixos. As foras atuantes que atuam nos

    ns na direo do grau de liberdade jd nesse estado so denominadas cargas

    nodais jf .

    Como os estados auxiliares no so auto equilibrados o equilbrio

    conseguido com superposio de efeitos. Assim, somando-se os produtos das

    foras internas resultantes (nas direes dos graus de liberdade) correspondentes a

    cada estado auxiliar j por jd , a soma deve ser igual s foras aplicadas (nas

    direes dos graus de liberdade) no estado auxiliar 0. Em termos fsicos, isso

    significa que os deslocamentos que surgem na direo dos graus de liberdade jd

    devem ser tais que as foras internas equilibrem as foras aplicadas. (VAZ, L. E.

    2010)

  • 30

    A aplicao das ideias descritas no exemplo 6.1 ajuda a esclarecer o mtodo.

    Estado auxiliar 1, 1d = 1.

    Figura 6 Termos 11k e 21k da matriz de rigidez da trelia

    Estado auxiliar 2, 2d =1.

    Figura 7 Termos 12k e 22k da matriz de rigidez da trelia

    Para se obter os coeficientes ijk (fora interna resultante na direo i devida

    a um deslocamento unitrio na direo j ) procede-se da seguinte maneira :

    inicialmente, calculam-se os alongamentos/encurtamentos das barras ijd

    (alongamento/encurtamento na barra i devido a uma deslocamento unitrio na

    direo do grau de liberdade jd ) de forma anloga ao que foi feito para se obter os

    alongamentos/encurtamentos em (10).

  • 31

    Para o estado auxiliar 1.

    11

    21

    31

    41

    2

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    (26)

    Para o estado auxiliar 2.

    12

    22

    32

    42

    2

    2

    0

    2

    2

    2

    2

    (27)

    Utilizando-se a relao constitutiva possvel calcular os esforos normais

    nas barras Nij (esforo normal na barra i devido a uma deslocamento unitrio na

    direo do grau de liberdade jd ) com uma expresso anloga a (15).

    ;

    ij

    ij

    i

    N E AL

    (28)

  • 32

    Assim:

    Para o estado auxiliar 1.

    11

    21

    31

    41

    2

    ;

    2

    2

    EAN

    L

    E AN

    L

    EN

    EN

    A

    L

    A

    L

    (29)

    Para o estado auxiliar 2.

    12

    22

    32

    42

    2

    2

    2

    0

    ;A

    EAN

    L

    N

    EN

    NAE

    L

    L

    (30)

    Os coeficientes de rigidez ijk (esforo na direo i para um deslocamento

    unitrio na direo j ) so calculados utilizando-se as equaes de equilbrio no n

    C. Assim, das equaes de equilbrio na direo horizontal e vertical da Figura 8, da

    correspondente a 1 1d obtm-se, respectivamente, os coeficientes 11k e 21k .

    Figura 8 Foras no n C para 1 1d e 2 1d

  • 33

    Para o estado auxiliar 1, Figura 8.a.

    11

    21

    2,061

    0,354

    Ek

    L

    Ek

    L

    A

    A

    (31)

    Para o estado auxiliar 2, Figura 8.b.

    12

    22

    0,354

    ,

    1 061

    Ek

    L

    kL

    A

    AE

    (32)

    O estado auxiliar 0, fornece:

    1

    2 0

    f P

    f

    (33)

    A superposio de efeitos, que deve garantir o equilbrio das foras

    resistentes e aplicadas, pode agora ser escrita como:

    11 12 1 1

    21 22 2 2

    ;k k d f

    k k d f

    (34)

    ou com os valores da estrutura sendo analisada:

    1 1

    2 2

    2,061 0,354 0,515 ;

    0,354 1,061 0 0,171

    d dPE A PL

    d dL E A

    (35)

    A expresso (35) idntica expresso (20), como no poderia deixar de

    ser. Desse modo, as respostas das estruturas obtidas pelo mtodo bsico dadas

    pelas expresses de (21) a (25) sero as mesmas.

  • 34

    6.3 - Mtodo da anlise matricial

    A anlise matricial de estruturas reticuladas sistematizou as operaes

    matemticas da anlise de estruturas fazendo uso da lgebra matricial que opera

    com vetores e matrizes. Ela introduziu diversos conceitos novos na anlise de

    estruturas. Toda a sistematizao se baseia na ideia de sistema local e sistema

    global de coordenadas. Com esse conceito definido, possvel estabelecer matrizes

    de rigidez de elemento nos sistemas local e global, assim como vetores de foras

    nodais de elemento nos sistemas local e global. A partir das contribuies das

    matrizes de rigidez e dos vetores de foras nodais de elemento no sistema global,

    pode-se montar a matriz de rigidez bem como o vetor de foras nodais da estrutura.

    Deslocamentos nodais tambm so definidos nos sistemas local e global. Uma

    equao de equilbrio da estrutura no sistema global fornece os deslocamentos

    nodais. Uma vez obtidos os deslocamentos nodais da estrutura, as foras atuantes

    nas extremidades dos elementos podem ser determinadas. (VAZ, L. E. 2010)

    O sistema local de coordenada definido quando se escolhe os ns inicial e

    final do elemento. Na figura 9, os ns 1 e 2 so, respectivamente, o n inicial e o n

    final do elemento ou barra.

    A estrutura de trelia plana tratada at aqui tem dois graus de liberdade por

    n. Ao n 1 so associados os deslocamentos 1 e 2 e ao n 2, os deslocamentos 3

    e 4. A figura 9 indica os sentidos positivos dos 4 componentes do vetor de

    deslocamentos ld , no sistema local, e gd , no sistema global. O ngulo define a

    rotao do eixo da barra em relao ao sistema global. Associados aos vetores de

    deslocamentos, so criados tambm os vetores de foras nodais lf , no sistema

    local, e gf , no sistema global.

  • 35

    cosc

    s sen

    Figura 9 Graus de liberdade no sistema global e local

    Os vetores dos deslocamentos de elemento no sistema local ld e global gd podem

    ser relacionados pela matriz de rotao R, como indicado a seguir:

    11

    22

    33

    44

    0 0

    0 0

    0 0

    0 0

    gl

    gl

    gl

    gl

    dd c s

    dd s c

    dd c s

    dd s c

    (36)

    Ou, sucintamente:

    l gd Rd (37)

    Como o trabalho um escalar independente do sistema de coordenadas, ele

    deve ser o mesmo nos sistemas local e global.

    g lW W (38)

    t tg g l ld f d f (39)

    Substituindo (37) em (39), obtm-se:

    t

    t t t

    g g g l g ld f Rd f d R f (40)

  • 36

    tg lf R f (41)

    As expresses (37) e (41) formam o princpio da contragradincia que pode

    ser enunciado como: Se uma matriz transforma deslocamentos globais em locais,

    sua transposta transforma foras locais em globais. (VAZ, L. E. 2010)

    A matriz de rigidez do elemento de trelia plana no sistema local para o

    elemento m, ,l mK dada em (42). Ela obtida da definio dos coeficientes de

    rigidez , ( )l m ijK . O coeficiente , ( )l m ijK significa a fora na direo do deslocamento

    local i para um deslocamento unitrio aplicado na direo do deslocamento local j ,

    mantendo os outros deslocamentos locais nulos.

    1 0 1 0

    0 0 0 0

    1 0 1 0

    0 0 0 0

    m mlm

    m

    E Ak

    L

    (42)

    Onde mE o mdulo de elasticidade do matria, mA a rea da seo

    transversal e mL o comprimento da barra m . A equao de equilbrio da barra que

    relaciona deslocamentos, foras e a matriz de rigidez no sistema local de

    coordenadas dada por:

    1 1

    2 2

    3 3

    4 4

    1 0 1 0

    0 0 0 0

    1 0 1 0

    0 0 0 0

    m m

    m m

    m m

    m m

    l l

    l lm m

    l lm

    l l

    d f

    d fE A

    d fL

    d f

    (43)

    Ou sucintamente:

    dm mm l ll

    K f (44)

  • 37

    A matriz de rigidez do elemento m no sistema global de coordenadas mg

    K

    pode ser obtida como explicado a seguir. Substituindo-se (37) em (44), obtm-se:

    R dmm ml m g l

    K f (45)

    Multiplicando-se ambos os lados de (45) por Rt

    m , chega-se a:

    R R d R m m m

    t t

    m m g m llK f (46)

    Usando (41), obtm-se:

    m m mg g g

    K d f (47)

    Onde,

    R Rmm

    t

    g m mlKK (48)

    A partir da matriz de rigidez e das foras nodais de cada elemento k no

    sistema global feita ento a montagem da matriz de rigidez K e das foras nodais

    f globais da estrutura em funo da conexo entre os elementos (incidncia),

    obtendo-se a equao de equilbrio global da estrutura. (VAZ, L. E. 2010)

    K d f (49)

    Sendo d os deslocamentos da estrutura no sistema global de coordenadas.

    Uma vez obtido d , possvel calcular os deslocamentos nodais de cada

    elemento no sistema global mg

    d e girar esses deslocamentos para o sistema local

    mld via (37) e calcular as foras de extremidade finais em cada elemento no sistema

    local mlf via (44). (VAZ, L. E. 2010)

  • 38

    6.4 Mtodo de Castigliano

    O mtodo de Castigliano assim chamado em homenagem ao segundo

    teorema de Carlo Alberto Castigliano, que, em 1973, demonstrou que a derivada da

    energia de deformao de uma estrutura em relao ao deslocamento id igual a

    fora externa da estrutura na mesma direo. A demonstrao foi feita estruturas

    com comportamento linear elstico, mas ela vlida tambm para materiais

    elsticos no lineares. Nesse item, a demonstrao ser entendida a estruturas

    material elstico no linear.

    Esse teorema representou um importante passo no desenvolvimento da

    anlise de estruturas porque ele mostrou um novo caminho, baseado em teoremas

    de energia, para se formular um mtodo para anlise de estruturas. Esse caminho

    levou ao MEF. (VAZ, L. E. 2010)

    6.4.1 Energia de deformao

    Para efeito de simplificao, a apresentao do Segundo Teorema de

    Castigliano ser feita aqui para o caso de uma estrutura de trelia. Nesse tipo de

    estrutura, somente um componente de deformao e de tenso atua no elemento de

    barra, nomeadamente, a deformao e a tenso normal longitudinal, ou seja, trata-

    se de um problema unidimensional para efeito da relao tenso x deformao. Seja

    a relao tenso x deformao apresentada na figura 10. A solicitao externa levou

    a tenso atuante at o valor final m que corresponde deformao final m na

    barra m da trelia. (VAZ, L. E. 2010)

    Figura 10 Energia de deformao especfica 0U da barra m.

  • 39

    A energia de deformao especfica mo

    U da barra m definida como:

    0

    0

    m

    m m m mU d

    (50)

    O adjetivo especfica deve-se ao fato de 0mU ser, em termos de unidades,

    um trabalho por unidade de volume.

    A energia de deformao da barra m , mU , obtida integrando-se no volume

    da barra.

    0 mm

    m m m m

    V

    U U dV (51)

    Para se obter a energia de deformao U relativa a toda a trelia, somam-se

    os mU de todas as barras, de 1 a nb , onde nb o nmero de barras da estrutura.

    1 2 1, ,..., nb

    m m mmU U

    (52)

    Onde m a deformao final da barra m . Como a deformao final da barra,

    m depende do alongamento/encurtamento longitudinal final da barra m , como

    expresso em (11), que por sua vez, m depende dos deslocamentos nodais finais

    das extremidades da barra no sistema global de coordenadas id como

    exemplificado em (13), a expresso (52) pode ser reescrita como:

    1 2 1, d ,..., d nb

    n m mmU d U

    (53)

    Onde n o nmero de graus de liberdade da estrutura de trelia.

    A energia de deformao da estrutura corresponde fisicamente energia

    armazenada na estrutura quando ela se deforma, caso no haja perda de energia,

  • 40

    ou seja, para um sistema conservativo. Essa energia responsvel pela volta da

    estrutura a sua configurao inicial, antes da aplicao das cargas, quando estas

    so retiradas da estrutura. (VAZ, L. E., 2010)

    6.4.2 Trabalho Externo

    O trabalho externo total W em uma estrutura de trelia plana pode ser obtido

    somando-se os trabalhos externos iW referentes aos graus de liberdade i da

    estrutura.

    1 2 1 1

    0

    , d ,..., d ; ;id

    n n

    n i i i ii iW d W f u du

    (54)

    Onde n , como anteriormente, o nmero de graus de liberdade da estrutura.

    A figura 11 esclarece.

    Figura 11 Trabalho externo associado ao grau de liberdade i .

    6.4.3 Segundo teorema de Castigliano

    Substituindo doravante a notao do deslocamento final d por d para efeito

    de simplificao, a energia de deformao (53) e o trabalho externo (54) em uma

    estrutura de trelia plana, como visto nos itens 6.4.1 e 6.4.2, podem ser escritos

    como uma funo do vetor dos deslocamentos nodais finais da estrutura no sistema

    global de coordenadas d com n componentes.

  • 41

    Expandindo-se ( )W d em srie de Taylor at o termo de primeira ordem,

    possvel expressar o incremento de ( )W d como:

    tW d

    W d d W d dd

    (55)

    tW d

    W d W d d W d dd

    (56)

    Procedendo-se da mesma maneira para U d , obtm-se:

    tU d

    U d d U d dd

    (57)

    t

    U dU d U d d U d d

    d

    (58)

    Pelo princpio da conservao de energia em sistemas conservatrios, todo

    trabalho externo realizado armazenado na estrutura em termos de energia de

    deformao. (VAZ, L. E. 2010) Assim, o incremento de trabalho externo igual ao

    incremento de energia de deformao, logo:

    W d U d (59)

    Ou seja,

    t t

    W d U dd d

    d d

    (60)

    Ou, ainda, para uma variao arbitrria d ,

    i i

    W d U d

    d d

    (61)

  • 42

    O teorema da integral de Newton diz que:

    0

    a

    f a f x dxa

    (62)

    Logo, utilizando-se esse teorema, pode-se escrever:

    0

    id

    i i

    i i i ii dW d

    f ud d

    u f d f

    (63)

    Onde, como foi redefinido no incio desse item, id em (63) o valor final da

    varivel deslocamentos nodal iu e if a fora final associada ao deslocamento id .

    Com o uso de (61) e (63), obtm-se finalmente a expresso do Segundo

    Teorema de Castigliano:

    i

    i

    U df

    d

    (64)

    Ou, grupando-se todas as equaes (66) correspondentes aos n graus de

    liberdade em uma s equao:

    U df

    d

    (65)

    Observa-se que o termo esquerda da expresso (65) corresponde ao vetor

    das foras internas resistentes, doravante denominado rf d , e o termo direita,

    corresponde ao vetor das foras solicitantes, doravante denominado sf .

    r sf d f (66)

  • 43

    A expresso (66) fornece um mtodo de anlise de estruturas denominado

    mtodo de Castigliano. A expresso fornece n equaes que permitem obter as n

    incgnitas do problema, ou seja, os n deslocamentos nodais 1,..., ,i nd i . Se a

    estrutura tiver um comportamento linear, as equaes (66) fornecem um sistema de

    n equaes algbricas lineares, caso o comportamento seja no linear, n equaes

    no lineares so obtidas. O sistema de n equaes no lineares pode ser resolvido,

    por exemplo, pelo mtodo de Newton-Raphson para se obter as n incgnitas do

    problema, ou seja, os n deslocamentos nodais 1,..., ,i nd i .

    A aplicao do mtodo na anlise da trelia plana da figura 4 ajuda a

    esclarecer as expresses descritas anteriormente.

    6.4.4 A aplicao do mtodo de Castigliano

    A lei de hooke para materiais linear-elsticos permite escrever:

    E (67)

    A energia de deformao especfica 0U pode ser escrita em funo da

    deformao final da barra m . Empregando-se novamente a notao m para

    representar o valor final da grandeza m , chega-se a:

    2

    00 0

    2

    m m mm m m mU d E d E

    (68)

    A energia de deformao mU para a barra m vale:

    2 22

    00

    1

    2 2 2

    m

    m

    lm m

    m k m

    mV A

    EAU E dV E dA dx

    L

    (69)

    Usando as equaes de compatibilidade para a trelia da Figura 4 descritas

    em (10) e abandonando mais uma vez, para efeito de simplificao, o sobrescrito

    para representar valores finais das variveis, obtm-se:

  • 44

    1 1 2 1 2

    2 1 2 1

    3 1 2 1 2

    4 1 2 1 2

    2 2( , ) d

    2 2

    ( , )

    ;2 2( , )

    2 2

    2 2( , )

    2 2

    d d d

    d d d

    d d d d

    d d d d

    (70)

    E as expresses dos comprimentos das barras dadas em (12), podem-se

    escrever:

    2

    2

    1 1 2 1

    1

    21 1 2

    1 1,

    2 2d

    22 2,

    2 2

    EA EAU d d d d

    L Ld

    (71)

    2 2

    2 1 2 2 1 2 1

    2

    1 1, ,

    2 2

    EA EAU d d d d d

    L L

    (72)

    2

    2

    3 1 2 1

    3

    23 1 2

    1 1,

    2 2d

    22 2,

    2 2

    EA EAU d d d d

    L Ld

    (73)

    1 2

    2

    2

    4 1 2 4 1 2

    4

    1 1, ,

    2 2

    2 2d

    22 2

    EA EAU d d d d

    Ld

    L

    (74)

    Usando-se (53) para se obter a energia de deformao total da estrutura,

    obtm-se:

    2 2

    1 2 1 2 1

    2

    2

    1 2 21

    2 2 2 2 2 21, 2 d d d

    2 2 2 2 2 2( )

    2 2

    EAU d d dd d

    Ld

    (75)

    Aplicando-se agora a expresso (64) do Segundo Teorema de Castigliano,

    obtm-se:

    1 2

    1

    3 2 21

    4 4

    U d EAd d P

    d L

    (76)

  • 45

    1 2

    2

    2 3 20

    4 4

    U d EAd d

    d L

    (77)

    Ou, ainda,

    1 1

    2 2

    2,061 0,354 0,515 ;

    0,354 1,061 0 0,171

    d dPE A PL

    d dL E A

    (78)

    Que idntica a (35).

    6.5 Princpio dos deslocamentos virtuais

    6.5.1 Incrementos da energia de deformao

    O princpio dos trabalhos virtuais ser demonstrado neste item para estruturas

    de trelia. Uma barra de trelia m carregada at que a deformao final m seja

    atingida como indicado na Figura 12. A tenso atuante correspondente ( )m m . A

    energia de deformao especfica produzida na barra 0mU . Imagine agora que um

    incremento de tenso m seja aplicado barra a partir de m . Um incremento de

    deformao m correspondente ocorre na barra. (VAZ, L. E. 2010)

    Figura 12 Incremento de energia de deformao especfica 0,mU da barra m .

  • 46

    O incremento total da energia de deformao especfica 0mU correspondente

    aplicao m pode ser escrito como:

    0 0

    1 U

    2m mm m m m m mU erro

    (79)

    Ou,

    1 20 0 0 0Um m m m mU U U erro (80)

    Onde

    10m m m mU (81)

    20

    1

    2mm mU

    (82)

    Os termos 1

    0mU e 20mU so denominados incremento de primeira e de

    segunda ordem de 0mU , respectivamente. O termo de primeira ordem corresponde

    rea do retngulo vertical hachurado representado na figura 12. O termo de segunda

    ordem corresponde rea do tringulo maior na mesma figura. A rea em cinza

    corresponde ao erro cometido no clculo do incremento total 0U merro . (VAZ, L. E.

    2010)

    Como a energia de deformao da barra m da trelia mU obtida pela

    integrao no volume da barra da energia de deformao especfica, obtm-se:

    0

    0 m

    Vm

    m mU U dV (83)

    Logo,

    0

    0 0 0

    1

    2 m

    Vm Vm Vk

    m m m m m m m m m mU dV dV erroU dV (84)

  • 47

    Ou

    1 2 Um m m m mU U U erro (85)

    Onde

    10

    Vm

    m m m m mU dV (86)

    20

    1

    2

    Vm

    m m m mU dV (87)

    A energia de deformao de toda estrutura com m barras pode ser obtida

    somando-se a energia de deformao de todas as barras, assim:

    1

    nb

    mmU U

    (88)

    Logo,

    1 21 1 1

    Unb nb nb

    m m m mm m mU U U erro

    (89)

    Ou

    1 2 UU U U erro (90)

    Onde

    11 0

    Vmnb

    m m m mmU dV

    (91)

    21 0

    1

    2

    Vmnb

    m m mmU dV

    (92)

  • 48

    As expresses (91) e (92) pode ser generalizadas para o caso em que h

    vrias componentes de tenso, por exemplo, x , y e xy , e de deformao, por

    exemplo x , y e xy atuando em um elemento infinitesimal de elemento m da

    estrutura com n elementos.

    Nesse caso pode-se escrever:

    11 0

    Vmne t

    m m mmU dV

    (93)

    21 0

    1

    2

    Vmne t

    m m mmU dV

    (94)

    Onde m , m e m representam, respectivamente, os vetores das

    componentes de tenso atuantes, dos incrementos das componentes de tenso

    atuantes e dos incrementos das componentes de deformao no elemento m .

    6.5.2 Incrementos do trabalho externo

    Os incrementos do trabalho externo podem ser obtidos pelo raciocnio

    anlogo ao desenvolvido no item anterior para a energia de deformao.

    Uma fora aplicada em um dado grau de liberdade i at produzir um

    deslocamento final id como representado na figura 13. A fora atuante

    correspondente id if . O trabalho externo produzido correspondente ao grau de

    liberdade i iW . Imagine agora que um incremento de fora if aplicado fora

    if . Um incremento de deslocamento id ocorre no grau de liberdade

    correspondente. (VAZ, L. E. 2010)

  • 49

    Figura 13 Incremento de trabalho externo iW .

    O incremento total do trabalho externo iW correspondente aplicao de

    if no grau de liberdade i pode ser escrito como:

    1

    2i i i i i i iW f d f d erroW d

    (95)

    Ou

    1 2i i i i iW W W erroW d (96)

    Onde

    1i i iW f d

    (97)

    2 1

    2i i iW f d

    (98)

    Os termos 1

    iW e 2

    iW so denominados respectivamente incremento de

    primeira e de segunda ordem de iW . O termo de primeira ordem corresponde rea

    do retngulo vertical hachurado representado na figura 13. O termo de segunda

  • 50

    ordem corresponde rea do tringulo maior na mesma figura. A rea em cinza

    correspondente ao erro ao erro cometido no clculo do incremento total ierroW .

    O trabalho externo correspondente a toda a trelia com n graus de liberdade

    pode ser obtido somando-se o trabalho externo de todos os graus de liberdade,

    assim:

    1

    n

    iiW W

    (99)

    Logo,

    1 21 1 1

    n n n

    i i i ii i iW W W erroW d

    (100)

    Ou, ainda,

    1 2 iW W W erroW d (101)

    Onde,

    11

    n

    i iiW f d

    (102)

    21

    1

    2

    n

    i iiW f d

    (103)

    As expresses (102) e (103) podem ser escritas usando-se vetores:

    1 tW f d (104)

    2 1

    2 t dW f

    (105)

    Onde f , d e f representam, respectivamente, os valores das foras

    solicitantes nodais finais, dos incrementos dos deslocamentos nodais e dos

    incrementos das foras nodais.

  • 51

    6.5.3 Formulao do princpio dos deslocamentos virtuais

    O princpio dos deslocamentos virtuais baseia-se no princpio de conservao

    de energia. Seu enunciado o seguinte: Para toda estrutura, o incremento de

    primeira ordem da energia de deformao igual ao incremento de primeira ordem

    do trabalho externo. (VAZ, L. E. 2010). A aplicao do princpio no se limita a

    sistemas conservativos. Matematicamente, ele pode ser expresso por:

    1 1U W (106)

    Para o caso geral em que h vrias componentes de tenso e deformao

    atuando em um elemento infinitesimal de um elemento m de uma estrutura com n

    elementos, a expresso (106) pode ser escrita como:

    01

    ne Vm

    t

    m m

    m

    mdV f d

    (107)

    As grandezas m e d em (107) so cinemticas, virtuais e compatveis

    enquanto que as grandezas m e f so ditas estticas, reais e em equilbrio. O

    termo virtual sinnimo de potencial, ou seja, pode vir a acontecer, no real. As

    grandezas m e d esto relacionadas por equaes de compatibilidade j que as

    componentes de d produzem as componentes de m . As grandezas reais m e

    f esto relacionadas por equaes de equilbrio j que as tenses reais m so

    produzidas pelas foras reais f .

    6.6 Mtodo da mnima energia potencial total

    A energia potencial total d definida para sistemas conservativos como:

  • 52

    pd U d W d (108)

    Onde U d a energia de deformao da estrutura, como definido em (51) e

    (53), e pW d o trabalho potencial das foras externas, dado por:

    tpW d f d (109)

    Novamente, os sobrescritos -, utilizados para representar valores finais das

    variveis so retirados para efeito de simplificao. Em sistemas conservativos,

    U d a energia que traz a estrutura de volta configurao inicial caso as foras

    externas sejam retiradas da estrutura. pW d o trabalho potencial, ou seja, aquele

    que seria realizado caso a estrutura voltasse a sua configurao inicial e as cargas

    permanecem atuando sobre ela. Assim, d a energia total necessria para

    trazer de volta a estrutura a sua configurao inicial com as cargas atuando sobre

    ela. (VAZ, L. E. 2010)

    6.6.1 - O princpio da mnima energia potencial total

    O princpio da mnima energia potencial total enuncia que os deslocamentos

    d de uma estrutura em equilbrio estvel tornam mnima a energia potencial total da

    estrutura. Em outras palavras, uma estrutura que est em equilbrio estvel se

    deformou de modo a gastar o mnimo de energia potencial total. (VAZ, L. E. 2010)

    Matematicamente, a condio de primeira ordem de mnimo de uma funo dada

    por:

    0

    d

    d

    (110)

    Como j conhecido o esquema usualmente empregado para a utilizao do

    princpio dos trabalhos virtuais no clculo de deslocamentos em estruturas, ser

  • 53

    tratado tal assunto abordando-o sob forma mais adequada para o encaminhamento

    ao mtodo dos elementos finitos, segundo uma de suas formulaes.

    Seja uma estrutura real que, por exemplo, pode ser uma viga em balano sob

    fora concentrada de extremidade, como a Figura 14, deformada sob a ao real e

    em equilbrio.

    Imagine-se que essa viga seja levada a uma outra posio deformada

    prxima da real (por meio de uma ao virtual qualquer).

    Para que se possa aplicar o princpio dos trabalhos virtuais, exige-se que a

    nova posio exibida pela viga v v seja de estado de deslocamentos

    compatveis com os vnculos e que as foras externas dadas (no caso somente a

    fora P) e os consequentes esforos internos no variem.

    Nessas circunstncias, a fora externa, que tinha um certo potencial (em

    relao a um referencial que pode ser a prpria posio elstica real) perde o

    potencial *P f . (SAVASSI, W. 1996)

    Como se trata de perda de potencial ser indicado com a expresso:

    * P f (111)

    Do mesmo modo que a perda de potencial, correspondente passagem da

    posio indeformada para a posio deformada de equilbrio que se pretende

    determinar, deve ser indicada por:

    *Pf (112)

    Se o referencial fosse o nvel do eixo da viga indeformada.

    Correspondentemente, ocorrero variaes das deformaes que,

    multiplicadas pelos esforos internos reais, daro uma variao do trabalho interno.

    Essa variao de trabalho interno igual variao U da energia de deformao

    U.

    Ento, como *P f o trabalho virtual das foras externas isto :

    * eP f W (113)

  • 54

    E a variao da energia de deformao mede o trabalho virtual interno:

    iU W (114)

    Tem-se:

    U (115)

    Isto tambm pode ser escrito como

    0U (116)

    ou

    ( ) 0U (117)

    ou ainda,

    0p (118)

    onde p definido como a energia potencial total.

    A expresso 0p representa o princpio da mnima energia potencial total,

    porque pode ser demonstrado que a soluo obtida, a partir da imposio da

    validade de 0p , correspondente a uma situao de mnimo valor para p .

    Essa demonstrao deve incluir a prova de que 2 0p , isto , que a segunda

    variao de p sempre positiva (configuraes de equilbrio estvel). (SAVASSI,

    W. 1996)

    Resumindo, mostrou-se que se a estrutura est em equilbrio (estvel),

    conforme:

    0p e (2 0p )

    (119)

  • 55

    ou U (120)

    Pode ser mostrado, de modo inverso, que se 0p a estrutura est em

    equilbrio. Isso significar que da suposio U (ou 0p ) resultariam, por

    demonstrao, analiticamente, as expresses das equaes diferenciais de

    equilbrio, e equaes relativas a equilbrios no contorno. A realizao dessa

    demonstrao (considerando a expresso analtica de p , onde a funo v x ser

    incgnita, tanto quanto forma quanto amplitude, requeria o emprego de

    conhecimentos de Clculo das Variaes, que um tema no familiar ao estudante

    do curso de graduao em engenharia.

    Todavia, desde j salienta-se que, na maioria dos casos, no h interesse na

    obteno das equaes diferenciais de equilbrio, por meio da utilizao do caminho

    que tem a imposio de 0p como ponto de partida. Para as equaes

    diferenciais obtidas, como acontece com a maioria dos casos de estruturas bi e

    tridimensionais, poderia no haver soluo analtica fechada.

    Mas, no mbito das solues aproximadas e numricas a utilizao de

    princpio da mnima energia potencial total que permitir resolver, com sucesso

    muitos problemas. (SAVASSI, W. 1996)

    6.7 - Mtodo de Rayleigh-Ritz

    O mtodo de Rayleigh-Ritz representou um grande passo na evoluo do

    mtodo dos deslocamentos, pois contribuiu decisivamente para o aparecimento do

    MEF. O mtodo de Rayleigh-Ritz , na essncia, o mtodo do princpio da mnima

    energia potencial total, mas, a pequena modificao introduzida nesse ltimo

    permitiu um grande avano. Para uma melhor compreenso do mtodo, o exemplo

    da trelia usado at aqui vai ser substitudo por um novo exemplo de anlise de uma

    viga em balano representada na Figura 14.

  • 56

    Figura 14 Viga em balano de inrcia varivel.

    Para fazer anlise da viga da Figura 14 pelo mtodo do princpio da mnima

    energia potencial total preciso, inicialmente, obter a expresso para a energia de

    deformao de uma viga. A viga, supostamente, deve satisfazer a hiptese de

    Bernoulli (1705), a qual considera que sees transversais retas permanecem

    planas e normais tangente ao eixo fletido da viga. O deslocamento vertical do eixo

    da viga ao longo do comprimento descrito pela funo ( )v x . Da resistncia dos

    materiais, sabe-se que a deformao longitudinal ,x y no ponto da seo x e cota

    y dada por:

    , ''x y y v x (121)

    Sendo,

    22

    ''d v x

    v xdx

    (122)

    A energia de deformao especfica de um material linear elstico com

    mdulo de elasticidade E , dada por:

    20

    0 0

    1

    2U d E d E

    (123)

    Para um ponto da seo x e cota y da viga flexo:

  • 57

    2

    0

    1, ''

    2U y v x E y v x

    (124)

    A energia de deformao da viga pode ser obtida por:

    2

    0

    1 '' 2

    L

    AU v x E y v x dAdx

    (125)

    Ou

    2

    0

    1 '' 2

    L

    U v x E I v x dx (126)

    Onde L o comprimento da viga e I o momento de inrcia da seo da viga, dado

    por:

    2 A

    I y dA (127)

    Como no exemplo em estudo, a inrcia da seo varia ao longo do

    comprimento a energia potencial total da viga pode ser obtida por:

    0

    1

    105

    5 02 1 '' ''

    2

    1

    2b xa

    v x dx EI v x dxv x E Pv xI

    (128)

    Observando a expresso (128), verifica-se que a energia potencial total da

    viga funo da funo que descreve a deformao do eixo da viga v x , ainda

    desconhecida. Uma funo de funo denominada funcional.

    Do ponto de vista matemtico o problema anterior da trelia era um problema

    de minimizao de uma funo de duas variveis. O problema da viga um

    problema de minimizao de um funcional da funo v x . Trata-se agora de

  • 58

    encontrar a funo v x e no mais apenas as variveis 1d e 2d que minimizam .

    Esse um problema clssico de clculo variacional.

    Como ento resolver o problema da viga flexo? aqui que surge a ideia

    bsica do mtodo de Rayleigh-Ritz: a funo v x que representa a elstica da viga

    descrita por uma funo aproximadora.

    As funes aproximadoras devem satisfazer as seguintes condies:

    a. Devem ser funes polinomiais ou trigonomtricas que satisfaam s

    condies de contorno em deslocamento da viga.

    b. Devem ter derivadas contnuas at a ordem 1n , sendo n a maior ordem de

    derivao da funo no funcional (no caso 2n ).

    c. Devem ser definidas em todo o domnio do problema.

    A soluo exata para o deslocamento na extremidade livre da viga da Figura

    14 1875.

    Primeira tentativa:

    A primeira funo aproximadora adotada um polinmio de segundo grau.

    21v x x (129)

    Vale observar que a funo satisfaz s condies de contorno em

    deslocamento do problema:

    0

    ) 0x

    a v x (130)

    0

    b) ' 0x

    v x (131)

  • 59

    Substituindo

    1'' 2v x (132)

    Na expresso (128), e integrando-se, chega-se a:

    21 1 130 1000 (133)

    Vale observar que agora uma funo do parmetro 1 e no mais da

    funo v x . Isso significa que o problema a ser resolvido um problema de mnimo

    de funo e no mais de mnimo de um funcional. Essa a contribuio do mtodo

    aproximado de Rayleigh-Ritz.

    Aplicando-se agora o princpio da mnima energia potencial total, o qual

    afirma que a configurao deformada minimiza a energia potencial total de uma

    estrutura em equilbrio estvel, obtm-se:

    11

    1

    0 16,66d

    d

    (134)

    Logo

    216,66v x x (135)

    E, Portanto,

    10

    1666x

    v x

    (136)

    Observa-se que o erro no clculo de em relao soluo exata muito

    grande:

  • 60

    1875 166611,1%

    1875erro

    (137)

    Da resistncia dos materiais sabe-se que:

    ''M x El v x (138)

    Assim, no trecho (a),

    0 5

    2 2 16,66 66,66a xM x x x

    (139)

    5 10

    1 2 16,66 33,33b xM x x x

    (140)

    A Figura 15 compara os momentos da soluo aproximada e da soluo

    correta (viga isosttica). Os momentos so constantes ao longo de x nos dois

    trechos porque v x uma funo do segundo grau.

    Figura 15 Diagrama de momentos na viga associado a v x definido em (135).

    Observao: a soluo ruim tanto em termos de deslocamentos quanto em

    termos de momentos. A aproximao dos momentos ainda pior porque ela

    obtida de derivadas de funes aproximadoras.

    Segunda tentativa:

    No problema estudado a soluo muito simples porque a viga isosttica.

    No caso de uma viga altamente hiperesttica de vrios vos com inrcias diferentes

    em cada vo e cargas distribudas, a soluo no trivial e no estar disponvel

    para se saber se a soluo aproximada boa ou no. Nesse caso, o procedimento a

    seguir usar uma funo aproximadora mais rica e verificar a mudana na

  • 61

    resposta. Quando, ao se refinar a soluo, a resposta no melhora

    significativamente, a soluo anterior j pode ser considerada boa.

    Na segunda tentativa, a funo aproximadora um polinmio do terceiro grau

    dado por:

    2 31 2v x x x (141)

    Vale observar que a funo satisfaz s condies de contorno em

    deslocamento (130) e rotao (131).

    Substituindo

    1 2'' 2 6v x x (142)

    Em (128) e integrando-se, chega-se a:

    2 21 2 1 1 2 2 1 2, 30 750 6750 1000 10000 (143)

    Vale observar que P agora uma funo dos parmetros 1 e 2 . Aplicando-

    se o princpio da mnima energia potencial total, obtm-se:

    1 21

    ,0

    (144)

    1 22

    ,0

    (145)

    Que fornece,

    1 2

    800 20

    33 33e

    (146)

  • 62

    Logo,

    2 3

    800 20

    33 33v x x x

    (147)

    10

    1818x

    v x

    (148)

    Usando-se (138), chega-se a:

    0

    16002 97,0

    33a x

    M

    (149)

    5

    1600 120 52 60,6

    33 33a x

    xM

    (150)

    5

    1600 120 530,3

    33 33b x

    xM

    (151)

    10

    1600 120 1012,1

    33 33b x

    xM

    (152)

    A comparao entre os momentos da soluo aproximada e da soluo exata

    (viga isosttica) est apresentada na Figura 16.

    Figura 16 Diagrama de momentos na viga associado a v x definido em (146).

  • 63

    Observaes:

    1) A soluo melhorou significativamente em termos de deslocamentos, mas

    continua ruim em termos de momentos. No coincidncia que o

    deslocamento na extremidade livre seja inferior ao da soluo exata, pois a

    aproximao torna a estrutura mais rgida.

    2) O problema na descontinuidade no diagrama de momentos na soluo

    aproximada continua. A descontinuidade acontece porque v x e,

    consequentemente, sua segunda derivada, contnua no domnio enquanto

    que a rigidez EI descontnua em 5x .

    3) O problema identificado revela uma limitao do mtodo de Rayleigh-Ritz que

    o de trabalhar com apenas uma funo contnua no domnio. Para se

    superar o problema preciso usar duas funes, uma no trecho (a) e outra no

    trecho (b), impondo condies de continuidade em 5x para v x e para sua

    primeira derivada em relao a x , mas, liberando a curvatura para ser

    descontnua.

    Terceira tentativa:

    Sero usadas duas funes cbicas aproximadoras, uma para o trecho (a) e

    outra para o trecho (b):

    2 31 2 0 5av x x x x (153)

    2 33 4 5 6 5 10bv x x x x x (154)

    Vale observar que a funo av x satisfaz s condies de contorno em

    deslocamento definidas em (130) e (131). Alm disso, sero impostas as seguintes

    condies de continuidade em 5x .

    5 5a bx x

    v v (155)

  • 64

    5 5

    ' 'a bx xv v (156)

    Essas duas condies permitem reduzir o nmero de parmetros incgnitos

    de 6 para 4. Os parmetros 5 e 6 , por exemplo, podem ser escritos em funo

    dos outros parmetros.

    Aplicando-se o princpio da mnima energia potencial total, obtm-se:

    1 2 3 41

    , , ,0

    (157)

    1 2 3 42

    , , ,0

    (158)

    1 2 3 43

    , , ,0

    (159)

    1 2 3 44

    , , ,0

    (160)

    possvel obter os parmetros 1 , 2 , 3 e 4 que, substitudos em (153) e

    (154), fornecem:

    2 3

    1025

    12av x x x

    (161)

    2 2

    10 300 1000 800 10 1000 30025(10 25) 25 10

    12 4 4 16 6 4 4bv x x x x x x x

    (162)

    Nota-se que

    10

    1875b xv (163)

  • 65

    a soluo exata para o deslocamento na extremidade livre. O diagrama de

    momentos correspondentes s expresses (161) e (162) tambm exato.

    Observaes:

    1) O uso de duas funes aproximadoras av x e bv x permitiu obter a soluo

    exata do problema porque foi possvel representar a descontinuidade que

    existe na derivada segunda da funo elstica em 5x . O procedimento

    usado na terceira tentativa foi o de melhorar a preciso da soluo usando

    duas funes aproximadoras, uma para cada trecho da viga, em vez de

    continuar a aumentar o grau de polinmio da funo v x no domnio de 0 a

    L . Mesmo usando um polinmio do quarto grau para v x no se pode obter

    a soluo exata porque haver ainda uma descontinuidade na segunda

    derivada de v x o que causar uma descontinuidade no diagrama de

    momento, uma vez que h uma descontinuidade na rigidez EI da viga.

    2) Posto como est, o mtodo de Rayleigh-Ritz ainda no um mtodo dos

    deslocamentos, no sentido clssico, porque as incgnitas no so os

    deslocamentos.

    3) Com o uso de duas funes no domnio o mtodo deu um grande passo para

    se aproximar do mtodo dos elementos finitos. Na verdade o domnio foi

    discretizado em dois subdomnios, ou elementos.

    4) Para transformar definitivamente o mtodo de Rayleigh-Ritz no MEF, o

    mtodo de Rayleigh-Ritz precisa substituir as incgnitas i pelos graus de

    liberdade da estrutura id .

    7 O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

    Nessa fase do tratamento do problema ser mais cmodo trabalhar com

    parmetros nodais e no com parmetros generalizados ( )i . Parmetros nodais,

    conforme j acenado anteriormente, so valores da funo procurada, ou de suas

    derivadas, em pontos especficos do domnio ou fronteira do elemento.

  • 66

    Se o procedimento apresentado neste item for adotado, o resultado poder

    ser atendido como vlido no apenas para a viga toda mas, tambm, para trechos

    dessa viga, ou elementos finitos, para adotar nomenclatura que no os confunda

    com os elementos infinitesimais do tratamento clssico via equaes diferenciais. No

    caso do elemento finito associado aproximao cbica os parmetros nodais

    podero ser os seis da Figura 17, trs em cada n de extremidade. Note-se que

    nessa figura os deslocamentos lineares e angulares esto exageradamente

    ampliados, como acontecer ainda em outras figuras, apenas com o intuito e facilitar

    sua visualizao.

    Fica fcil observar que eN elementos desse tipo podero ser acoplados pelas

    extremidades, passando a ter nesses pontos de conexo valores comuns para v e

    . Desse modo, neste caso, a discretizao no estar violando a compatibilidade

    cinemtica entre elementos (deslocamentos e rotaes idnticas esquerda e

    direita do n). Uma viga assim composta no teria na sua discretizao a introduo

    de descontinuidades de v ou entre elementos adjacentes. No caso particular da

    viga, aqui utilizado apenas com a inteno de veicular conceitualmente as bases do

    mtodo dos elementos finitos, como j foi visto, a funo aproximadora a prpria

    funo exata para o estado de deslocamento do elemento sob aes de

    extremidade. Logo, neste caso, a resposta poder ser de boa qualidade. (SAVASSI,

    W. 1996)

    7.1 - Deduo com utilizao da linguagem matricial

    Agora ser feita a deduo do sistema de equaes lineares algbricas com a

    utilizao da linguagem matricial, muito apropriada para a correspondente

    elaborao de programas para computadores. O caso a considerar ser o de viga

    prismtica.

    Seja um elemento finito dessa viga, cujo comportamento pretende-se

    examinar com a adoo da mesma aproximao correspondente a polinmio cbico

    para a representao da linha elstica. (SAVASSI, W. 1996)

  • 67

    Figura 17 Elemento finito de viga.

    Adotando-se como polinmio:

    2 31 2 3( ) ov (164)

    Uma elstica elementar da barra de prtico plano isolada definida no

    sistema de eixos locais pelo deslocamento axial u(x) e pelo deslocamento

    transversal v(x), devido adoo da hiptese de pequenos deslocamentos, o

    comportamento axial e o comportamento transversal de uma barra so considerados

    independentes.

    Dessa forma, o deslocamento axial u(x) s depende das deslocabilidades axiais d1 e

    d4, e o deslocamento transversal v(x) fica definido somente pelas deslocabilidades

    d2, d3, d5 e d6.

    No nosso caso, os deslocamento axiais d1 e d4 no sero considerados, d2, d3, d5,

    d6 sero adotados como 1v , 1 , 2v , 2 respectivamente; para designar os ns na

    numerao local e por facilitar a identificao do deslocamento e giro.

    A funo pode ser escrita pela seguinte matriz

    0

    12 3

    2

    3

    ( ) 1v

    (165)

    onde a matriz (1x4) de funes monmias de e o vetor (4x1) de

    parmetros generalizados.

  • 68

    Para uso posterior, calcule-se:

    20 1 2 3dv

    d

    (166)

    2

    20 0 2 6

    d v

    d

    (167)

    prefervel passar a trabalhar com parmetros nodais nv , em lugar dos

    parmetros generalizados .

    defina-se nv como :

    . 1 1 2 2n tv v v (168)

    Procura-se agora determinar outra matriz:

    ( ) nv v (169)

    Sabe-se que:

    1

    0 0 01

    2

    2

    1 1 1

    (0)(0) (0)

    1

    (1) (1) (1)

    1

    n

    vv v

    v dvdv dv d

    l ddx d dxv

    v v v v

    dv dv d dv

    dx d dx l d

    (170)

    Ou

    1

    *1

    2

    2

    1 0 0 0

    0 1 0 0

    1 1 1 1

    0 1 2 3

    n

    v

    lv

    v

    l

    (171)

  • 69

    Para as deslocabilidades transversais, as equaes que definem as funes

    de forma so obtidas a partir da matriz v determinando os valores das constantes

    0 , 1 , 2 , 3 com base em condies de contorno adequadas.

    1v definida considerando (0)v ,

    1l definida considerando 1

    0

    dv

    d

    2v definida considerando (1)v

    2l definida considerando 2

    1

    dv

    d

    simbolicamente:

    *

    n

    v A (172)

    ento:

    *1

    n

    A v (173)

    Logo substituindo em:

    *1( )

    n

    v A v (174)

    onde a matriz inversa, dada por:

    1

    1 0 0 0

    0 1 0 0

    3 2 3 1

    2 1 2 1

    A

    (175)

    Resultando em:

  • 70

    0 1

    1 1

    2 1 1 2 2

    3 1 1 2 2

    3 2 3

    2 2

    v

    l

    v l v l

    v l v l

    (176)

    Sendo portanto:

    2 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 1 3 2 2 3 2 v v l v l (177)

    Obtm-se, sob forma explcita:

    1

    12 3 2 3 2 3 2 3

    2

    2

    1 3 2 2 3 2

    v

    lv

    v

    l

    (178)

    Ou

    * *

    n

    v v (179)

    Ou

    nv v (180)

    com

    2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 2 3 2 l l (181)

    Aplique-se agora

    0p U (182)

  • 71

    Define-se a energia de deformao especfica, ou energia por unidade de volume

    0 / 2u . Logo, a energia de deformao em um elemento estrutural de volume V

    ser:

    1 .2

    v

    U dV (183)

    Pela lei de Hooke, elemento fletido que foi visto em (2), .M

    yE EI

    Pela teoria da linha elstica:

    2

    2 .

    d v M

    dx EI

    (184)

    Logo

    2

    2 .

    d vydx

    (185)

    Ento a energia de deformao, como apresentado em 6.5.1 ser:

    1

    2v

    U E dv (186)

    Sendo dV dydzdx dAdx , e de acordo com Hibbeler (2004), o momento de inrcia

    para toda rea determinado por integrao, como visto em (127):

    2 A

    Ix y dA (187)

    ento:

    22 2

    2

    0 0

    1 1 .

    2 2

    l l

    A

    d vU Ey dAdx EIv dx

    dx

    (188)

    Para ser representada na linguagem matricial feito:

  • 72

    2

    2 .x x

    d vy ykdx

    (189)

    Levando-se em U:

    0

    1 k .

    2

    l

    t

    x xk E xI d (190)

    Fazendo DEI e lembrando-se que:

    2 2

    2 2 2 2

    1 1 ,x

    d v d vk k

    dx l d l

    (191)

    e calculando-se posteriormente k em funo de parmetros nodais:

    22

    2 2 . .n n

    dd vk v B v

    d d

    (192)

    Ento:

    1.t

    3

    0

    1 1 B D .2

    n t nv B d vUl

    (193)

    feita a integrao e chama-se o resultado de e ik ( o ndice ei indica o elemento i),

    tem-se que:

    .

    1 .2

    n t n

    e iU v k v (194)

    A variao da energia de deformao ser:

    .m

    m

    UvU

    v

    (195)

    Indicando mv um deslocamento nodal genrico, dentre os quatro de nv .

    A seguinte passagem de matrizes posteriormente ter um exemplo para facilitar a

    visualizao.

    Considerando-se apenas o primeiro termo do somatrio (sem o 1v ):

  • 73

    1 1

    1 1

    1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 21 1

    2 2

    1 1

    2 2e i e i

    v v

    Uv v k v v k

    v vv v v

    1

    1

    1 1 2 2

    2

    2

    1

    01 1 1 0 0 0

    02 2

    0

    e i e i

    v

    k v v kv

    11

    21 .

    11 12 13 14

    31

    41

    1 1 v v .2 2

    n n t

    k

    kk k k k

    k

    k

    (196)

    Como e ik simtrica, se 1k indicar a primeira linha de e ik :

    . . 1 1 1 1

    1

    1 1 v k .2 2

    n n t t n n tU k v k v v kv

    (197)

    Portanto:

    1 1 2 2 3 3 4 4 v v v v

    n n n n

    m

    m

    Uv k v k v k v k v

    v

    1

    2

    1 2 3 4

    3

    4

    n

    n

    n

    n

    k v

    k vv v v v

    k v

    k v

    1

    . . 2

    3

    4

    v .

    n

    n

    n t n n t n

    e in

    n

    k v

    k vv v k v

    k v

    k v

    (198)

    7.1.1 Exemplo

    Como temos:

  • 74

    1

    12 3 2 3 2 3 2 3

    2

    2

    1 3 2 2 3 2

    v

    lv

    v

    l

    (199)

    A derivada segunda dessa funo :

    1 1 2 2 12 6 6 4 12 6 6 2, .v l v lv (200)

    Sendo:

    12

    3

    0

    U , 2

    EIv d

    l

    (201)

    A nossa variao de energia de deformao U para os quatro parmetros nodais

    ser:

    1

    3

    1 0

    , , (12 6)

    ,

    vU EIv d

    v v l

    ,

    1

    3

    1 0

    , , (6 4)

    ,

    vU EIv l d

    v l

    1

    3

    2 0

    , , ( 12 6)

    ,

    vU EIv d

    v v l

    ,

    1

    3

    2 0

    , , (6 2)

    ,

    vU EIv l d

    v l

    (202)

    Fazendo-se a substituio de ,v , multiplicando e integrando resultar:

    1 1 2 23

    1

    , 12 6 12 6

    ,

    vU EIv l v l

    v v l

    ,

    1 1 2 232

    , 6 4 6 2

    ,

    vU EIl v l v l

    v v l

    1 1 2 231

    , 12 6 12 6

    ,

    vU EIv l v l

    v l

    ,

    1 1 2 232

    , 6 2 6 4

    ,

    vU EIl v l v l

    v l

    (203)

  • 75

    Esses resultados so os deslocamentos nodais representados por:

    1 1 2 2 3 3 4 4 v v v vn n n nk v k v k v k v na linguagem matricial.

    Finalmente se obtm a matriz de rigidez do elemento de viga:

    1

    2 2

    1

    3

    2

    2 2

    2

    12 6 12 6

    6 4 6 2

    12 6 12 6

    6 2 6 4

    vl l

    l l l lEI

    vl ll

    l l l l

    (204)

    Que representada como .

    n t n

    e iv k v na linguagem matricial.

    7.2 Energia potencial externa

    Como demonstrado em 6.5.2, as aes (foras e momentos) deformam o

    corpo, fazendo com que seus infinitos pontos passem da posio indeformada

    (posio inicial) para uma posio deformada (posio final). Em relao posio

    inicial, essas aes tm uma energia potencial que igual ao trabalho que elas

    realizariam para levar o corpo sua posio inicial sem carga.

    * eP f W (205)

    A essa energia chamamos de energia potencial externa, dada por:

    1

    n

    i i

    i

    Pw

    (206)

    onde iP representa as aes genricas, iw os deslocamentos genricos e n, o

    nmero de esforos. O sinal negativo indica que cada ao realiza trabalho negativo,

    ao retornar da posio carregada para a posio sem carga. Essa parcela da

    energia potencial no tem 1

    2 multiplicando o segundo membro da iguald