Introdução ao Método dos Elementos Finitos: Estruturas ...luis/ae2/AE2_Barra_Final3.pdf · Análise de Estruturas II: Estruturas Articuladas 1 Introdução ao Método dos Elementos

Análise de Estruturas II: Estruturas Articuladas

1

Introdução ao Método dos Elementos Finitos:

Estruturas Articuladas

1. Introdução

O modelo de estrutura articulada, o mais simples dos modelos estruturais, é utilizado neste texto

para introduzir os conceitos em que se baseia o Método dos Elementos Finitos. Pode ser

desmotivador ilustrar o mais potente e o mais geral dos métodos de análise estrutural tomando

como exemplo de introdução uma aplicação que não só tem solução analítica como a

determinação dessa solução é trivial na maioria das situações. Esta opção justifica-se pela

vantagem de permitir centrar a apresentação sobre os conceitos básicos do Método dos

Elementos Finitos evitando as equações, e as generalizações, que caracterizam os problemas que

justificaram, de facto, o desenvolvimento do método, a análise de problemas estruturais planos e

tridimensionais, designadamente placas, lajes, cascas e sólidos.

O texto está organizado em três partes, sendo assinalados com um asterisco os assuntos que

não são essenciais para uma primeira leitura. Na primeira parte definem-se as hipóteses do

modelo de análise estrutural, identificam-se as variáveis necessárias e suficientes para

representar a resposta dos elementos estruturais e estabelecem-se as equações que regem essa

resposta. Recorre-se depois ao conceito mais intuitivo, que a estrutura responde desenvolvendo

uma energia interna que compensa a que lhe é transmitida pelas acções aplicadas, para introduzir

os conceitos básicos do Método dos Elementos Finitos. Essa introdução é feita recorrendo a um

exemplo simples, sendo os resultados obtidos posteriormente interpretados e escritos de uma

maneira mais geral e formal. Na última parte do texto apresenta-se a aplicação do Método dos

Elementos Finitos à análise de estruturas articuladas. Discute-se, fundamentalmente, como se

calculam as equações obtidas para uma barra e como se combinam essas equações, de uma

maneira fácil de automatizar, de modo a obter as equações que permitem analisar uma estrutura

formada por uma qualquer combinação de barras. O texto termina com uma recapitulação dos

principais conceitos e a sistematização do processo de aproximação adoptado no Método dos

Elementos Finitos.


2

2. Hipóteses

No contexto da teoria das peças lineares, uma barra é representada pelo seu eixo, ao qual se

associa um sistema de coordenadas cartesiano, como se indica na Figura 1. Sendo um referencial

directo, é suficiente orientar o eixo da barra para caracterizar o sistema de coordenadas.

O eixo da peça é recto, podendo a área da secção transversal ser variável, ( )A x . Admite-se

que o material é elástico linear (linearidade física), com módulo de elasticidade eventualmente

variável, ( )E x . Admite-se, ainda, que os deslocamentos e as deformações são infinitesimais

(linearidade geométrica). Relativamente ao carregamento, assume-se que são desprezáveis as

forças de inércia e de amortecimento (comportamento quase-estático) e que a peça está apenas

sujeita a cargas axiais.

L

x

z

( )y ( ); ( )A x E x

Figura 1: Geometria e sistema de coordenadas

3. Variáveis

Num problema de análise estrutural, são dados do problema as características geométricas e

mecânicas da peça, as cargas aplicadas no domínio da peça (o vão da barra) e as condições de

fronteira (as forças aplicadas nas secções extremas da barra ou os deslocamentos aí impostos).

São incógnitas do problema os esforços, que permitem determinar o campo de tensões, as

deformações, que medem a mudança de forma da peça, e os deslocamentos, que definem o

movimento de cada um dos seus pontos durante o carregamento.

Variáveis estáticas Variáveis cinemáticas

Esforço, ( )N x Deformação, ( )xε

Forças, ( )f x , iF Deslocamentos, ( )u x , iu

Quadro 1: Variáveis correspondentes

Em consequência destas hipóteses acima resumidas, as quantidades que são necessárias e

suficientes para caracterizar o comportamento de uma barra são as ilustradas nas Figuras 2 e 3,

sendo conveniente agrupá-las em pares de variáveis correspondentes:

• A força de vão na secção de abcissa x , ( )f x , e o deslocamento correspondente, ( )u x ;

• As forças de extremidade, iF , e os deslocamentos correspondentes, iu , com 1, 2i = ;

• O esforço axial na secção de abcissa x , ( )N x , e a deformação correspondente, ( )xε .


3

( )u x x

1u 2u

2F

1F ( )f x

x

1u

1F ( )N x

( )xε

Figura 2: Forças e deslocamentos Figura 3: Esforço e deformação axial

4. Balanço Energético

O termo correspondente usado anteriormente na identificação das variáveis necessárias e

suficientes para caracterizar o comportamento da barra associa uma par de variáveis que realiza

trabalho, sendo portanto uma de natureza estática (esforço ou força) e outra de natureza

cinemática (deformação ou deslocamento).

Assim, e no presente contexto, são as seguintes as definições do trabalho realizado pelas

forças exteriores e interiores, respectivamente,

2

01

( ) ( )L

e i ii

W u x f x dx u F=

= +∑∫ (1)

0

( ) ( )L

i AW x x dA dxε σ= ∫ ∫ (2)

em que ( )xσ representa o campo da tensão axial na secção de abcissa x . Das hipóteses acima

enunciadas decorre que tanto a tensão como a deformação axiais são constantes ao longo de cada

secção, o que permite escrever a equação (2) na forma,

( )0( ) ( )

L

i AW x x dA dxε σ= ∫ ∫

e utilizar a definição do esforço axial, a resultante das tensões axiais numa dada secção, ficando:

0

( ) ( )L

iW x N x dxε= ∫ (3)

Como se admite que o sistema é conservativo, deve-se assegurar que:

• O trabalho realizado pelas forças exteriores é igual ao trabalho realizado pelas forças

interiores:

2

0 01

( ) ( ) ( ) ( )L L

i ii

x N x dx u x f x dx u Fε=

= +∑∫ ∫ (4)

Para além disso, os grupos de variáveis não podem ser independentes entre si. A variação do

esforço tem de equilibrar as forças aplicadas e a variação do deslocamento altera as dimensões

da barra, pelo que tem de ser relacionada com a medida usada para caracterizar a mudança de

forma, a deformação axial. Acresce que as características elásticas do material estabelecem uma

relação de causa-efeito entre essa deformação e o esforço que se desenvolve na barra. São essas

relações que a seguir se apresentam.


4

5. Equações Básicas

As variáveis que descrevem o comportamento de um elemento estrutural estão sempre

relacionadas por três grupos de equações, designadamente as equações de equilíbrio e de

compatibilidade e as relações constitutivas, como se resume no Quadro 2 para o caso da barra,

em que se usa a seguinte notação:

( ) ( )x x

∂∂ ≡∂

i i

A condição de equilíbrio no domínio da barra, a equação (5), assegura que a variação do

esforço axial equilibra, em todas as secções interiores, a carga aplicada no vão, enquanto que a

condição de equilíbrio na fronteira, a equação (8), assegura que o esforço axial nas secções

extremas equilibra as forças exteriores aí aplicadas.

Também se distinguem dois tipos de equações de compatibilidade. A condição de

compatibilidade no domínio da barra, a equação (7), define a medida de deformação, a extensão

axial em qualquer secção interior, como a taxa de variação do deslocamento axial. A condição de

compatibilidade na fronteira, a equação (9), assegura que o deslocamento medido nos limites do

domínio é coerente com os deslocamentos nas secções extremas.

As relações constitutivas reduzem-se nesta aplicação à condição de elasticidade (6), definida

apenas no domínio da barra e estabelecendo a relação de causalidade entre o esforço axial e a

deformação axial, a qual depende apenas da rigidez axial da secção:

( ) ( ) ( )D x E x A x=

Exercício 1: Generalize as equações que caracterizam o comportamento da barra para incluir

uma variação de temperatura, ( )xθ , ao longo do eixo da barra, sendo α o coeficiente de

dilatação térmica.

Equilíbrio Elasticidade Compatibilidade

Domínio (5) Domínio (6) Domínio (7)

0 0 < <x N f x L∂ + = 0 < <N D x Lε= 0 < <xu x Lε = ∂

1

2

0

/

N F x

e ou

N F x L

− = =

+ = =

1

2

0

/

u u x

e ou

u u x L

= =

= =

Fronteira (8) Fronteira (9)

Quadro 2: Equações da barra


5

6. Soluções Exactas e Aproximadas

Os conceitos definidos a seguir são úteis para organizar a informação contida nas equações

básicas e, principalmente, para apoiar a aplicação do Método dos Elementos Finitos a qualquer

tipo de modelo estrutural:

• Uma variação do esforço axial, ( )N x , que satisfaz as condições de equilíbrio no domínio

(5) e na fronteira (8) é, por definição, uma solução estaticamente admissível;

• Uma variação do deslocamento axial, ( )u x , que é contínua no domínio da barra e que

satisfaz as condições de fronteira (9) é, por definição, uma solução cinematicamente

admissível, sendo a deformação compatível correspondente, ( )xε , definida pela condição

de compatibilidade no domínio (7);

• A solução exacta é a solução que para além de ser estática e cinematicamente admissível

satisfaz também a relação de elasticidade (6).

• A solução exacta existe sempre, e é sempre única, mas pode não ter expressão analítica.

Quando tal sucede, torna-se necessário recorrer a um método de solução aproximada que

convirja para a solução exacta do problema (ou, pelo menos, que não seja divergente) à medida

que se melhora a qualidade da aproximação. O Método dos Elementos Finitos tem essa

propriedade, baseando o modelo de deslocamento desse método no seguinte critério:

• Definir uma solução aproximada cinematicamente admissível, impor a relação constitutiva

e obrigar essa solução a satisfazer aproximadamente a condição de admissibilidade

estática.

Ou seja, as relações de elasticidade (6) e as condições de admissibilidade cinemática (7) e (9)

são verificadas ponto a ponto: diz-se que são satisfeitas localmente ou impostas de maneira

forte. A condição (5) de equilíbrio no domínio e/ou qualquer uma das condições (8) de equilíbrio

na fronteira são violadas, geralmente. Quando tal se verifica em pelo menos um ponto, diz-se

que as condições de admissibilidade estática são satisfeitas aproximadamente ou impostas de

maneira fraca.

7. Equação Resolvente

A vantagem de apresentar as equações que permitem simular o comportamento da barra na

forma apresentada no Quadro 2 é a de esclarecer as relações fundamentais entre as variáveis que

são utilizadas para descrever esse comportamento.


6

No entanto, para resolver um problema específico é conveniente eliminar da formulação

tantas variáveis quanto o permitido pelas equações básicas. O processo mais corrente consiste

em eliminar as deformações nas relações de elasticidade (6) recorrendo à condição de

compatibilidade (7), e utilizar a expressão que daí resulta para o esforço axial para o eliminar na

condição de equilíbrio (5), obtendo-se a seguinte equação diferencial:

( ) 0x xD u f∂ ∂ + = (10)

ou, se a rigidez axial for constante,

( ) 0xxD u f∂ + = (11)

concluindo-se que:

• A equação diferencial (10) define a condição de equilíbrio no domínio e assegura que as

condições de elasticidade e de compatibilidade no domínio são impostas de maneira forte.

Sendo uma equação de segunda ordem, a sua resolução exige a determinação de duas

constantes de integração. As constantes de integração são calculadas recorrendo a duas das

quatro condições de fronteira (8) e (9). No entanto, do conjunto das seis combinações possíveis

devem ser eliminadas as que são fisicamente inconsistentes, designadamente, a imposição

simultânea de uma força e de um deslocamento numa mesma secção de extremidade.

1 10 :x N F ou u u= − = = (12)

2 2:x L N F ou u u= = = (13)

Se a equação resolvente (10) for linear (11), a solução geral é da forma,

0( ) ( ) ( )cu x u x u x= + (14)

em que o termo cu (a solução complementar) define a solução da forma homogénea da equação

diferencial,

( ) 0x x cD u∂ ∂ =

0 1( )cu x c c x= + (15)

e 0u (a solução particular) representa uma qualquer solução particular do problema,

( )0 0x xD u f∂ ∂ + =

que satisfaz as condições de fronteira cinemáticas homogéneas:

0 0(0) ( ) 0u u L= = (16)

As duas constantes de integração presentes na definição da solução complementar (14) são

determinadas pelas condições de fronteira do problema.


7

p

L

.D EA const= = F

Figura 4: Barra sujeita a carga uniforme e a força de extremidade

Para o exemplo representado na Figura 4, com condições de fronteira,

10 : (0) 0x u u= = = (17)

2: ( )x L N L F F= = = (18)

sendo as seguintes as definições para as soluções complementar e particular do problema, de

modo a satisfazer as condições de fronteira (16) e(17):

1( )cu x xc=

0( ) ( )2

pu x x L x

D= − (19)

A constante de integração que subsiste, 1c , é determinada impondo a condição de fronteira

(18),

( )0( ) x c x LN L D u u F

== ∂ + =

1 2

F pLc

DL D= +

encontrando-se a seguinte solução para o problema:

( ) (2 )2

F pu x x x L x

D D= + − (20)

Exercício 2: Sabendo que as equações resumidas no Quadro 2 são válidas para barras sujeitas

a variações de temperatura, sendo a relação constitutiva (6) corrigida para incluir o efeito da

componente térmica da deformação, ( )N D θε ε= − , determine a solução que define a

resposta da barra representada na Figura 5 sujeita a uma variação linear da temperatura,

1 2( ) (1 / ) ( / )x x L x Lθ θ θ= − + , admitindo serem constantes as propriedades termomecânicas.

L

1θ

2θ

x

Figura 5: Barra sujeita a variação de temperatura


8

8. Método dos Elementos Finitos

Apesar de se tratar do mais simples dos problemas estruturais, uma barra com um

comportamento física e geometricamente linear, pode não existir uma solução analítica para o

problema, bastando para isso que a rigidez axial varie ao longo do vão. O mesmo problema se

põe quando se generaliza a hipótese sobre a geometria do modelo estrutural, de unidimensional

(barras e vigas), para bi- e tridimensional, (placas, lajes, cascas e sólidos), ou quando se relaxam

as hipóteses sobre o comportamento (física e/ou geometricamente não linear, contemplando ou

não o efeito de forças de inércia e de amortecimento).

Daí resulta a importância de dispor de um método que permita obter soluções aproximadas

para os problemas às derivadas parciais, lineares ou não lineares, que caracterizam todos os

modelos de análise estrutural. Esse método deve ser geral, aplicável a todos os modelos

estruturais, ser relativamente fácil de aplicar e produzir soluções com os níveis de precisão

exigidos pelos critérios de dimensionamento da estrutura.

Existem várias famílias de métodos para a solução aproximada de problemas às derivadas

parciais e, para cada família, existem diferentes variantes. Utiliza-se aqui a variante (ou modelo)

de deslocamento do Método dos Elementos Finitos, a qual corresponde à generalização do

Método dos Deslocamentos desenvolvido para a análise de estruturas reticuladas.

Como já se referiu, a opção básica do método consiste em aproximar directamente os

deslocamentos, por ser sempre fácil definir uma solução cinematicamente admissível. Essa

condição é satisfeita utilizando funções contínuas e escrevendo-as de maneira a ser fácil impor as

condições de compatibilidade na fronteira (9), por exemplo na forma polinomial:

1 2( ) (1 / ) ( / )u x x L u x L u= − + (21)

Para impor a condição de compatibilidade no domínio de maneira forte (isto é, localmente,

em todas as secções da peça), basta calcular a deformação aplicando a definição (7):

1 2( ) ( 1/ ) ( 1/ )x L u L uε = − + + (22)

É igualmente trivial impor de maneira forte a condição de elasticidade (6), utilizando-a para

determinar o esforço axial coerente com a aproximação da deformação, seja a rigidez da barra

constante ou variável:

1 2( ) ( / ) ( / )N x D L u D L u= − + + (23)

Duas situações podem agora ocorrer relativamente às condições de admissibilidade estática no

domínio (5) e na fronteira (8). Estas condições serão satisfeitas também de maneira forte se a

aproximação (21) contém a solução exacta do problema. Caso contrário, a solução aproximada

que se obtém é desequilibrada, no domínio e/ou nas fronteiras da barra.


9

Esta última situação é a mais corrente, levantando duas questões que são analisadas na secção

seguinte usando um exemplo de aplicação:

• Não sendo única a solução aproximada, como se escolhe a melhor das soluções

desequilibradas que se podem obter?

• Como se melhora a aproximação de maneira a diminuir o erro na imposição das condições

de equilíbrio?

9. Exemplo de Aplicação

O exemplo representado na Figura 4, com a solução analítica (20), é utilizado para ilustrar a

aplicação do método quando se admite a aproximação linear (21) para o deslocamento e,

consequentemente, uma deformação (22) e um esforço axial (23) constantes ao longo da peça.

9.1 Análise da Solução Exacta

A variação quadrática do deslocamento (20) ao longo do eixo da peça está representada na

Figura 6. A solução é cinematicamente admissível porque o deslocamento é contínuo e satisfaz a

condição de fronteira cinemática (17) e, ainda, porque a deformação, com uma variação linear, é

determinada impondo a condição de compatibilidade no domínio (7):

( ) ( )p F

x L xD D

ε = − +

O esforço axial é determinado impondo a relação de elasticidade (6),

( ) ( )N x p L x F= − +

sendo uma solução estaticamente admissível, pois satisfaz a condição de equilíbrio no domínio

(5) para o carregamento ( )f x p= e a condição de fronteira estática (18).

( )u x

x L=

2

(0) 0

( )2

u

FL pLu L

D D

=

= +

x L=

( )N x

(0)

( )

N F pL

N L F

= + =

Figura 6: Variação do deslocamento e do esforço axial

Portanto, a solução é exacta e única, no âmbito das hipóteses feitas para formular o modelo

estrutural de acordo com as equações resumidas no Quadro 2. Se se aplicarem as definições (1) e

(3) para o trabalho realizado pelas forças exteriores confirma-se o resultado (4):


10

2 213 ( ) ( )e i

LW W pL pL F F

D = = + + (24)

9.2 Definição da Solução Compatível Aproximada

Considere-se agora a definição de uma solução aproximada para o mesmo problema, baseada na

hipótese que o deslocamento varia linearmente ao longo do eixo da peça, como imposto pela

equação (21), em vez de quadraticamente como determinado pela solução exacta (20).

Para garantir que a solução aproximada é cinematicamente admissível, a condição

fundamental do modelo de deslocamento do Método dos Elementos Finitos, é obrigatório

satisfazer a condição de fronteira (17), permanecendo uma incógnita no problema, o

deslocamento nodal 2u ,

2( ) ( / )u x x L u= (25)

e utilizar a definição para a deformação que resulta de impor de maneira forte (isto é, em todas as

secções da peça) a condição de compatibilidade no domínio (7):

2( ) (1/ )x L uε = (26)

9.3 Imposição da Relação de Elasticidade

O esforço axial coerente com esta aproximação da deformação é determinado impondo, também

de maneira forte, a relação constitutiva (6):

2( ) ( / )N x D L u= (27)

A consequência de se ter imposto de maneira forte as condições de elasticidade e de

admissibilidade cinemática com base na aproximação linear do deslocamento é que todo o erro

dessa aproximação é transferido para as condições de equilíbrio do problema

9.4 Imposição das Condições de Equilíbrio

Se se tentar utilizar a aproximação (27) do esforço axial para impor também de maneira forte as

condições de equilíbrio no domínio (5) e na fronteira (18),

2( / ) 0x D L u p∂ + =

2( / )D L u F=

conclui-se que a primeira equação garante ser impossível satisfazer a condição de domínio, para

qualquer valor da incógnita, enquanto a segunda fixa o valor que a incógnita do problema deve

tomar para se satisfazer localmente a condição de fronteira.

Apesar destes resultados serem contraditórios, tem de ser possível chegar a uma solução

coerente baseada na aproximação linear do deslocamento. A única saída é desistir de impor as


11

condições de equilíbrio de maneira forte e tentar obter uma solução aproximada impondo essas

condições de maneira fraca, isto é, aproximada.

A maneira mais intuitiva de o fazer é substituir a carga de vão, que é impossível equilibrar

localmente, por um carregamento estaticamente equivalente, garantindo que, pelo menos, a

resultante da força aplicada é equilibrada na solução aproximada. O problema que se põe é como

se deve definir essa força estaticamente equivalente: qual o seu valor e onde deve ser aplicada.

O critério que se usa consiste em assegurar que, no modelo aproximado, o trabalho das forças

interiores seja compensado pelo trabalho das forças interiores, tal como acontece com a solução

exacta. Substituindo as aproximações (25) a (27) na equação (4) e impondo as condições do

problema, a carga de vão ( )f x p= e as condições de fronteira (17) e (18),

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]2 2 2 1 20 0(1/ ) ( / ) ( / ) 0

L LL u D L u dx x L u p dx F u F= + +∫ ∫

obtém-se a equação resolvente,

12 2( / )D L u pL F= + (28)

que permite determinar a incógnita do problema:

2

2 2

pL FLu

D D= +

9.5 Análise da Solução Aproximada

As soluções que são assim obtidas para o deslocamento e para o esforço axial recorrendo às

aproximações (25) e (27) são comparadas com as soluções exactas na Figura 7:

12( ) ( )

xu x pL F

D= +

12( )N x pL F= +

x L=

12( ) ( )

xu x pL F

D= +

( ) (2 )

2

p Fu x x L x x

D D= − + ( )u x

x L=

( )N x ( ) ( )N x p L x F= − +

12( )N x pL F= +

Figura 7: Aproximação da variação do deslocamento e do esforço axial


12

A solução é cinematicamente admissível e satisfaz a relação de elasticidade, porque assim foi

imposto, e continua a violar as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira:

12( ) 0x pL F p∂ + + ≠

12( )pL F F+ ≠

No entanto, a base da aproximação é já uma aproximação útil para o campo de

deslocamentos, recuperando até (o que não é uma conclusão geral) o deslocamento na secção

extrema da peça. Para além disso, a solução recupera o valor do esforço axial a meio-vão da

barra (o que também não é uma conclusão geral).

Na solução aproximada, o trabalho das forças interiores continua a compensar o trabalho

realizado pelas forças exteriores, porque assim foi imposto pela equação resolvente (28),

obtendo-se um valor relativamente próximo do obtido para a solução exacta (24):

2 214 ( ) ( )e i

LW W pL pL F F

D = = + +

9.6 Relação com o Método dos Deslocamentos

É fácil verificar que a equação (28) é a equação que se obteria se se resolvesse o problema pelo

Método dos Deslocamentos, a qual seria escrita na forma equivalente,

2 20 2K u F F+ =

pois / /K D L EA L= = representa a matriz de rigidez, 120 2F pL= − define a força nodal de

fixação e 2F F= é a força nodal correspondente ao deslocamento nodal independente, 2u .

Conclui-se, portanto, que a consequência do critério de equacionar o trabalho das forças

interiores e exteriores foi o de substituir a força distribuída por duas forças concentradas

aplicadas nas secções de extremidade, como se mostra na Figura 8, cuja resultante é igual à

resultante da carga de vão.

p

L

.D EA const= = 12 pL 1

2 pL

p

L

12 pL 1

2 pL

Figura 8: Forças nodais de fixação e forças nodais estaticamente equivalentes à carga de vão


13

Não surpreende que a carga de vão, que é impossível equilibrar com uma aproximação

constante para o esforço axial, tenha sido substituída pela sua resultante. O que não é óbvio é

onde essa resultante deveria ser aplicada, ou como ela deveria ser decomposta em duas ou mais

forças concentradas. Pode-se mostrar que o critério de igualar o trabalho interior ao trabalho

exterior que determinou a identificação das forças nodais equivalentes nesta aplicação é

equivalente a minimizar o trabalho realizado ou, o que também é equivalente, a minimizar a

energia potencial do sistema.

9.7 Recuperação da Solução do Método dos Deslocamentos

Tendo dois métodos conceptualmente idênticos conduzido à mesma equação resolvente (28) e,

portanto, à mesma solução para o deslocamento nodal, interessa esclarecer porque não

recuperam a mesma solução para os campos de deslocamento e esforço.

A aplicação do Método dos Deslocamentos, tal como formulado para a análise de estruturas

reticuladas, baseia-se na aplicação da solução exacta da barra, definida pela combinação (14) das

soluções complementar e particular, tal como expresso pelas equações (15) e (19) para o

exemplo de aplicação. O esforço axial é calculado da mesma maneira, somando ao esforço

causado pelos deslocamentos nodais (a solução complementar) o esforço que equilibra a carga de

vão quando esses deslocamentos são nulos (a solução particular).

A via adoptada na formulação do Método dos Elementos Finitos foi basear a aproximação na

definição (21) do deslocamento, sendo fácil verificar que essa aproximação corresponde à

solução complementar (15), com 0 1c u= e 1 2 1( ) /c u u L= − . Ou seja, a solução complementar está

contida na aproximação do campo de deslocamento e, consequente, a aproximação (23) do

esforço axial. Todavia, essa aproximação não contém a solução particular do problema. Para

recuperar a solução exacta do problema basta, portanto, somar a solução particular do problema

à solução fornecida pelo Método dos Elementos Finitos.

Esta via para corrigir a solução produzida pelo Método dos Elementos Finitos não é, no

entanto, generalizável. As definições para as soluções complementar e particular do problema a

analisar podem não ter expressão analítica e, quando a têm, como acontece em todos os

problemas de análise linear de estruturas, não é em geral possível defini-las de modo a

satisfazerem de maneira forte as condições de fronteira cinemáticas do problema, uma condição

fundamental da formulação do Método dos Elementos Finitos. Interessa, por isso, analisar como

convergem para a solução exacta as soluções aproximadas a que o método conduz.


14

10. Refinamento e Convergência

Existem fundamentalmente duas técnicas para melhorar a qualidade de uma aproximação,

geralmente designadas por refinamento-h e refinamento-p. Essas técnicas são a seguir ilustradas

usando o exemplo representado na Figura 9. A carga de vão varia linearmente e os apoios são

fixos, pelo que as condições de fronteira (17) e (18) são substituídas pelas seguintes,

10 : (0) 0x u u= = = (29)

2: ( ) 0x L u L u= = = (30)

sendo a seguinte solução exacta para o deslocamento e para o esforço axial:

2 2( ) ( )6

pu x x L x

DL= − (31)

2 2( ) ( 3 )6

pN x L x

L= − (32)

p

L

.D EA const= =

( ) /f x p x L=

Figura 9: Barra com apoios fixos sujeita a uma carga linear

10.1 Refinamento-h

O refinamento-h consiste em subdividir a barra mantendo o grau da aproximação do

deslocamento em cada segmento (h traduz dimensão). Para o problema em análise, esta técnica

consiste, portanto, em aproximar uma função cúbica (a solução exacta do problema) usando

funções lineares (as funções de aproximação).

Se se aplicar a aproximação linear (21) à solução deste problema obtém-se um resultado sem

utilidade prática, 1 2 0u u= = , pois o método exige que sejam satisfeitas as condições de fronteira

cinemáticas (29) e (30). Para se satisfazer estas condições e aproximar a solução cúbica (31)

usando uma aproximação linear torna-se necessário subdividir a barra em segmentos, ou

elementos finitos.

Se a barra for decomposta em dois elementos iguais, o que não é necessariamente o melhor

critério em termos da taxa de convergência do processo de solução, e se se admitir que em cada

elemento o deslocamento varia linearmente, de acordo com a aproximação (21), a equação

resolvente que se obtém usando o mesmo critério, de igualar o trabalho das forças interiores ao


15

trabalho das forças exteriores, é o seguinte, em que d é o deslocamento na secção de meio-vão

da barra, como se indica na Figura 10:

4 6

24

D pLd

L =

(33)

p

L/2 L/2 L/2 L/2

d

624F pL=

Figura 10: Barra discretizada em dois elementos

12 p 1

2 p p

L/2 L/2

124 pL 7

24 pL 224 pL 4

24 pL

Figura 11: Forças nodais equivalentes ao carregamento

Na Figura 11 indicam-se as forças nodais equivalentes à carga de vão, em cada elemento,

podendo verificar-se que são simétricas das forças nodais de fixação que se obteriam aplicando o

Método dos Deslocamentos.

O resultado obtido para a variação do deslocamento e do esforço axial está representado na

Figura 12:

212

212

( / ) 08( )

(1 / )8

pLx L para x L

Du xpL

x L para L x LD

≤ ≤=

− ≤ ≤

1 18 2

1 18 2

0 <( )

<

pL para x LN x

pL para L x L

+ ≤= − ≤

Confirma-se que a opção de dividir a barra em dois elementos idênticos não produz a melhor

aproximação linear possível para o deslocamento máximo. A aproximação conseguida para o

esforço axial é bastante mais fraca, apresentando a descontinuidade decorrente da substituição do

carregamento pela força nodal equivalente 624F pL= aplicada na secção de meio-vão.


16

( )u x

x L= 12x L=

2 2( ) ( )6

pu x x L x

DL= −

2

16

pLd

D=

x L= 18 pL

18 pL

2 2( ) ( 3 )6

pN x L x

L= −

13 pL

16 pL

( )N x

Figura 12: Aproximação da variação do deslocamento e do esforço axial (modelo linear)

Exercício 3: Para o exemplo representado na Figura 9, determine a subdivisão da barra que

minimiza o trabalho das forças e compare o resultado com o obtido dividindo a barra em dois

segmentos idênticos.

Os resultados que se obtêm repetindo este processo, por subdivisão sucessiva de cada

segmento, estão apresentados na Figura 13. As características gerais das soluções e do processo

de convergência são as seguintes:

• A convergência é relativamente rápida para o deslocamento mas muito lenta para o esforço

axial (a convergência para a função que se aproxima directamente é mais rápida do que a

convergência para a sua derivada);

• A solução é localmente compatível, no domínio e na fronteira, mas mais rígida que a

solução exacta (a estimativa para o deslocamento máximo é inferior ao valor da solução

exacta);

• A solução é localmente desequilibrada, no domínio e na fronteira, e não está do lado da

segurança (a estimativa para o esforço axial máximo é inferior ao valor da solução exacta).

10.2 Refinamento-p

O refinamento-p consiste em manter a dimensão da barra e aumentar o grau da aproximação,

geralmente polinomial (p traduz o grau do polinómio).

Para ilustrar o processo de convergência deste tipo de refinamento, admita-se que, em vez da

aproximação linear, se impõe uma aproximação quadrática para o deslocamento,

2

4( ) ( )

xu x L x d

L= − (34)

em que d continua a representar o deslocamento a meio-vão da barra, agora discretizada num

único elemento, sendo a seguinte a aproximação (linear) que se obtém para o esforço axial:

2

4( ) ( 2 )

DN x L x d

L= − (35)


17

Figura 13a): Convergência do deslocamento axial (modelo linear)


18

Figura 13b): Convergência do esforço

axial (modelo linear)


19

Repetindo o processo de determinar o deslocamento d , a única incógnita do problema,

exigindo que as forças interiores e exteriores dissipem o mesmo trabalho no modelo aproximado,

para as condições de fronteira (29) e (30):

[ ][ ] [ ][ ]1 1 1 1 22 2 20 0

4 4 4( 2 ) ( 2 ) ( ) 0 0

L LD x xL x d L x d dx L x d p dx F F

L L L L − − = − + + ∫ ∫ (36)

obtém-se a seguinte expressão para a equação resolvente:

16

3 3

D pLd

L =

(37)

De acordo com a equação (33), o valor que se obtém para o deslocamento a meio-vão,

2/16d pL D= , é o mesmo que o obtido com a aproximação linear e a discretização da barra em

dois elementos (uma conclusão que não é generalizável). No entanto, são melhores as

estimativas que se obtêm para a variação do deslocamento e, principalmente, do esforço axial,

como se mostra na Figura 14.

( )u x

x L= 12x L=

2 2( ) ( )6

pu x x L x

DL= −

2

16

pLd

D=

( ) ( )

4

pu x x L x

D= −

x L=

2 2( ) ( 3 )6

pN x L x

L= −

13 pL

16 pL

( )N x

( ) ( 2 )4

pN x L x= −

Figura 14: Aproximação da variação do deslocamento e do esforço axial (modelo quadrático)

Os resultados que se obtêm repetindo este processo, por subdivisão sucessiva de cada

segmento, estão apresentados na Figura 15. As características gerais do padrão de convergência

são análogas às obtidas com o modelo linear, verificando-se, no entanto, uma melhoria

substantiva nas taxas de convergência obtidas com o modelo quadrático.

Exercício 4: Aplique o procedimento anteriormente descrito para obter uma solução

aproximada da resposta da barra representada na Figura 5 à variação de temperatura linear,

utilizando uma discretização num único elemento quadrático.

10.3 Recuperação da Solução Exacta

Se se utilizar uma base de aproximação cúbica,

[ ]1 23

9( ) ( ) (2 3 ) ( 3 )

2

xu x L x L x d L x d

L= − − − − (38)


20

Esforço axial Deslocamento axial

Figura 15: Convergência do esforço e do deslocamento axial (modelo quadrático)


21

em que 1d e 2d representam agora os deslocamentos a terços do vão da barra, a condição de

balanço energético dá origem a um sistema de duas equações,

1

2

16 11 127 3

11 16 440 40

dD pL

dL

− = −

verificando-se que a substituição da solução desse sistema,

2

1

2

4

581

d pL

d D

=

na aproximação (38) do deslocamento recupera a solução exacta (31) do problema, assim como a

definição do esforço axial (32). Esta é uma conclusão geral:

• O método recupera a solução exacta do problema sempre que essa solução esteja contida

na base de aproximação.

A solução exacta continuaria a ser recuperada aplicando a base cúbica com refinamento-h ou

aumentando o grau da aproximação, isto é, usando elementos quárticos ou de grau superior.

11. Generalização da Aproximação

Apresenta-se nesta secção a generalização do processo de aproximação utilizado no exemplo de

aplicação referente à aproximação do deslocamento, da deformação e do esforço axial, deixando-

se para a secção seguinte a generalização do processo de solução, ou seja, a imposição das

condições de equilíbrio de maneira fraca ou aproximada.

11.1 Aproximação do Deslocamento

É usual, mas não necessário, aproximar o deslocamento usando funções polinomiais. Uma base

polinomial de grau p envolve 1p + termos, sendo essa a dimensão da base:

0

( )p

ii

i

u x c x=

=∑ (39)

Como os polinómios são funções contínuas, assegura-se implicitamente a primeira condição

para a aproximação ser cinematicamente admissível. Todavia, quando se usa a definição

monomial (39) torna-se difícil impor a segunda condição de admissibilidade cinemática, a

satisfação das condições de fronteira (9), a segunda das quais tomaria a forma:

20

( )p

ii

i

u L c L u=

= =∑


22

Para facilitar a imposição dessas condições, definem-se 1p + nós no elemento de barra,

necessariamente os nós de extremidade e, tipicamente, 1p − nós interiores igualmente

espaçados, definindo-se os 1p + polinómios de modo a tomarem um valor unitário num nó e

valores nulos nos restantes. Ou seja, a aproximação (39) é escrita na forma equivalente,

1

1

( ) ( )p

i ii

u x x dΨ+

=

=∑ (40)

em que os polinómios de aproximação, ( )i xΨ , são definidos de modo a satisfazer duas

condições, designadamente:

1

( )0i j

se i jx

se i jΨ

== ≠

(41)

1

1

( ) 1p

ii

xΨ+

=

=∑ (42)

A condição (41) assegura que o peso id da função de aproximação iΨ define o valor do

deslocamento no nó i, com coordenada ix ,

( )i iu x d=

como se ilustra na Figura 16 para elementos de dois nós (aproximação linear) e de três nós

(aproximação quadrática).

A vantagem desta definição das funções, que caracteriza a aplicação do método dos elementos

finitos, é a de simplificar a imposição das condições de fronteira (9), bastando agora escrever:

1 1 2 2/d u e ou d u= =

A função da condição (42) é assegurar que a aproximação (40) é capaz de representar o

deslocamento do corpo rígido da barra, isto é, a eventualidade do carregamento não causar a

deformação da barra, ( ) .u x const= quando id d= .

Pode verificar-se facilmente que as funções usadas nas linear (21), quadrática (34) e cúbica

(38) satisfazem as condições (41) e (42), reunindo-se na Tabela 1 a definição dessas funções e

das suas derivadas, usadas na aproximação da deformação.

A descrição matricial da definição (40) é a seguinte,

( ) ( )u x x= dΨΨΨΨ (43)

em que o vector-linha ΨΨΨΨ reúne as funções de aproximação,

{ }1 2 1( ) px Ψ Ψ Ψ +=ΨΨΨΨ ⋯

e o vector d os deslocamentos nodais correspondentes:


23

1

2

1p

d

d

d +

=

d⋮

1 1

�

L

� x

L

� � x�

1( ) (1 / ) (1 2 / )x x L x LΨ = − −

1

1

1( ) 1 /x x LΨ = −

2( ) /x x LΨ =

1

2( ) ( / ) (1 2 / )x x L x LΨ = − −

3( ) 4 ( / ) (1 / )x x L x LΨ = −

Figura 16: Funções de aproximação para elementos lineares e quadráticos

Elemento Linear Elemento Quadrático Elemento Cúbico

�

L

� x

� �

x�

12 L 1

2 L

� � x

�

13 L 1

3 L 13 L

�

1( ) 1x x/LΨ = − 1( ) (1 2 ) (1 )x x/L x/LΨ = − − 3

1 2( ) (1 3 ) (1 ) (1 )x x/L x/L x/LΨ = − − −

2( )x x/LΨ = 2( ) ( ) (1 2 )x x/L x/LΨ = − − 3

2 2( ) ( ) (1 3 ) (1 )x x/L x/L x/LΨ = − −

3( ) 4 ( ) (1 )x x/L x/LΨ = − 3

3 2( ) 9 ( ) (1 ) (1 )x x/L x/L x/LΨ = − −

94 2( ) ( ) (1 3 ) (1 )x x/L x/L x/LΨ = − − −

1( ) 1B x /L= − 1( ) (3 4 )B x x/L /L= − − 2 2

1( ) (11 36 54 ) 2B x x/L x /L / L= − − +

2( ) 1B x /L= + 2( ) (1 4 )B x x/L /L= − − 2 2

2( ) (2 18 27 ) 2B x x/L x /L / L= + − +

3( ) 4(1 2 )B x x/L /L= − 2 2

3( ) 9 (2 10 9 ) 2B x x/L x /L / L= + − +

2 294 2( ) (1 8 9 )B x x/L x /L /L= − − +

Tabela 1: Funções de aproximação do deslocamento, ( )i xΨ , e da deformação, ( )iB x


24

Exercício 5: Trace as funções da aproximação cúbica e verifique as condições (41) e (42).

11.2 Aproximação da Deformação e do Esforço Axial

Para garantir que a aproximação é cinematicamente admissível no sentido forte, a deformação

compatível com a aproximação (40) é determinada impondo a condição de compatibilidade no

domínio (7), ficando,

1

1

( ) ( )p

i ii

x B x dε+

=

=∑

ou, em notação matricial,

( ) ( )x xε = B d (44)

{ }1 2 1( ) px B B B +=B ⋯

sendo iB o modo de deformação devido ao deslocamento nodal 1id = ,

( )i x iB x Ψ= ∂ (45)

tal como se define na Tabela 1 para os elementos linear, quadrático e cúbico.

O esforço axial é determinado impondo a relação de elasticidade (6),

1

1

( ) ( ) ( )p

i ii

N x D x B x d+

=

= ∑

( ) ( ) ( )N x D x x= B d (46)

representando o termo iD B o esforço axial devido ao deslocamento nodal.

Como se mostrou anteriormente, esta aproximação poderá não satisfazer localmente as

condições de equilíbrio, tanto no domínio,

1

1

( ) ( ) ( ) 0p

x i ii

D x B x d f x+

=

∂ + ≠

∑ (47)

como na fronteira da barra:

1

11

(0) (0)p

i ii

D B d F+

=

− ≠

∑ (48)

1

21

( ) ( )p

i ii

D L B L d F+

=

+ ≠

∑ (49)

Antes de abordar a generalização do procedimento adoptado para impor essas condições de

maneira fraca, ou aproximada, interessa esclarecer as consequências em termos de continuidade

da solução obtida com a aproximação do deslocamento (43) e das aproximações (44) e (46) que

dela decorrem para a deformação e para o esforço axial, respectivamente.


25

11.3 Continuidade e Discretização em Elementos Finitos

O deslocamento axial deve ser representado por uma função contínua, pois uma descontinuidade

traduziria uma rotura na barra: duas secções vizinhas teriam deslocamentos diferentes. No

entanto, do ponto de vista estrutural, nada obriga a que a derivada do deslocamento seja também

contínua.

De acordo com a condição de compatibilidade (7), o que isso significa é que a deformação

pode ser descontínua. A relação de elasticidade (6) mostra que podem ser duas as causas da

ocorrência de descontinuidades no campo de deformações: porque existe uma descontinuidade

na variação da rigidez axial da barra, D E A= , e/ou porque se verifica uma descontinuidade na

variação do esforço axial.

De acordo com a condição de equilíbrio no domínio (5), a derivada do esforço axial será

contínua (descontínua) onde a carga de vão for contínua (descontínua), mas o esforço axial em si

só pode ser descontínuo onde estejam aplicadas forças axiais concentradas. Nessas secções, a

condição de equilíbrio (5) é complementada com a condição que estabelece que a variação do

esforço axial equilibra a força axial, F , aplicada na secção de abcissa x a= :

( ) ( )x a x alim N lim N F

− +→ →= + (50)

Ao aproximar o deslocamento na forma (43) usando funções de aproximação polinomiais,

satisfaz-se a condição fundamental de admissibilidade cinemática de continuidade dos

deslocamentos. Todavia, os polinómios não só são contínuos como têm derivada contínua, o que

implica que, no domínio de cada elemento finito, as aproximações (44) e (46) para a deformação

e para o esforço axial, respectivamente, são também contínuas, assim como as suas derivadas.

Se o problema contiver descontinuidades, com origem na rigidez da barra ou no carregamento

aplicado, o método de aproximação continua a ser capaz de convergir para a solução exacta, mas

geralmente com uma taxa de convergência muito baixa. Para evitar isso, discretiza-se a peça em

segmentos, garantindo que em cada segmento (e, portanto, em cada elemento finito em que possa

ser subdivido) tanto a rigidez axial é contínua como a carga aplicada é contínua e tem derivada

contínua, como se ilustra na Figura 17.

Figura 17: Discretização da peça em elementos com campos contínuos


26

Exercício 6: Resolva a barra sujeita a uma força axial representada na Figura 18 usando um

elemento quadrático e compare o resultado obtido para os campos de deslocamento e esforço

axial com a solução exacta obtida com dois elementos lineares, em que /4d FL D= :

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

2( / ) 0 0 <( ) ( )

2(1 / ) <

x L d para x L F para x Lu x N x

x L d para L x L F para L x L

≤ ≤ + ≤ = = − ≤ ≤ − ≤

L/2 L/2

F

.D EA const= =

Figura 18: Barra sujeita a uma força axial

12. Formulação da Equação Resolvente

De acordo com a aproximação (43) do campo de deslocamento, o trabalho realizado pelas forças

aplicadas tem a seguinte definição,

( )2

T

01

( ) ( )L

e i ii

W x f x dx d F=

= +∑∫ dΨΨΨΨ (51)

encontrando-se a seguinte expressão para o trabalho realizado pelas forças interiores, de acordo

com as aproximações (44) e (46):

( ) ( )T

0( ) ( ) ( )

L

iW x D x x dx= ∫ B d B d

O balanço energético mostra que é suficiente (mas não necessário) impor a condição,

0= +K d F F (52)

para assegurar que, no modelo aproximado, são idênticos os trabalhos realizados pelas forças

interiores e exteriores, sendo K a matriz de rigidez do elemento,

T

0

LD dx= ∫K B B (53)

0F o vector das forças nodais estaticamente equivalentes à carga de vão:

T0 0

Lf dx= ∫F ΨΨΨΨ (54)

A definição seguinte para o vector das forças nodais é escrita admitindo que não existem

forças concentradas aplicadas nos nós interiores do elemento, ou entre esses nós, para satisfazer

as condições de continuidade anteriormente referidas:

{ }T1 2 0 0F F=F ⋯ (55)

A formulação é aplicável, com a consequente generalização das definições (54) e (55), a

elementos com forças interiores aplicadas nos nós interiores ou em secções situadas entre eles.


27

A equação (52) representa, portanto, a equação do Método dos Deslocamentos desenvolvido

para a análise de estruturas reticuladas, estabelecendo uma condição de equilíbrio de forças,

1

i01

1, 2, , 1p

ij j ij

K d F F i p+

=

= + = +∑ … (56)

com três origens distintas. Como o coeficiente da matriz de rigidez,

0

L

ij i jK B DB dx= ∫ (57)

define a força nodal iF devida ao deslocamento nodal 1jd = , a i-ésima equação do sistema

estabelece que o somatório das forças nodais equivalentes devidas à deformação causada por

cada um dos deslocamentos nodais deve equilibrar a resultante da força nodal realmente aplicada

no nó i, iF , e da força nodal equivalente à carga de vão:

0 0

L

i iF f dx= Ψ∫ (58)

A definição (57) confirma que a matriz de rigidez é simétrica, ij jiK K= e que os termos

diagonais são necessariamente positivos, > 0,iiK pois a rigidez axial é positiva e o integral do

quadrado de uma função não nula também é positivo. A única diferença em relação à formulação

inicial do Método dos Deslocamentos está na substituição das forças nodais de fixação, obtidas

aplicando a carga de vão mantendo nulos os deslocamentos nodais, pelas forças simétricas que

são estaticamente equivalentes a essa carga.

Exercício 7: Verifique ser a seguinte a expressão da equação resolvente (52) para o elemento

quadrático, quando se admite que a carga de vão é linear, 1 2( ) (1 / ) ( / )p x x L p x L p= − + :

1 1 1

2 2 2

3 1 2 3

7 1 8

1 7 83 6

8 8 16 2( )

d p FD L

d p FL

d p p F

− − = + − − +

Exercício 8: Utilize o resultado do exercício anterior para resolver o exemplo definido na

Figura 9 e recuperar o resultado (37) e as aproximações (34) e (35), de acordo com a notação

usada na Figura 16.

Exercício 9: Verifique ser a seguinte a generalização da expressão (54) para o vector das

forças nodais equivalentes às cargas de vão quando se introduz o efeito de uma variação

térmica, ( )xθ , sendo ( ) ( ) ( )x x xθε α θ= a deformação e ( )xα o coeficiente de dilatação:

T T0 0 0

L Lf dx D dxθε= +∫ ∫ΨΨΨΨF B (59)


28

13. Forças Nodais Equivalentes(*)

O resultado (52) pode ser deduzido de diferentes maneiras, dependendo do critério que se toma

como ponto de partida. Os métodos de dedução mais utilizados são os que recorrem ao Teorema

do Mínimo da Energia Potencial ou ao Teorema dos Trabalhos Virtuais. O Método de Ritz,

desenvolvido para a resolução de problemas às derivadas parciais, é também frequentemente

utilizado para deduzir a equação resolvente do Método dos Elementos Finitos.

No entanto, a interpretação física dessa equação envolve sempre o conceito de força nodal

equivalente, independentemente do método de dedução utilizado. Interessa analisar esse conceito

com mais detalhe por ser um dos conceitos centrais do Método dos Elementos Finitos, o qual se

torna menos intuitivo quando se generaliza o método para resolver problemas bi- e

tridimensionais.

13.1 Deslocamentos e Forças Nodais

Quando se formula o problema através da equação resolvente (10) e das condições de fronteira

que sejam relevantes, está-se a tomar como dado o campo de forças, ( )f x , e a tomar como

incógnita o conjunto de funções que podem definir a expressão analítica do campo de

deslocamentos, ( )u x .

Ao assumir a aproximação (43) para o campo de deslocamentos introduz-se uma alteração

fundamental na formulação da solução do problema: as funções deixam de ser incógnitas, porque

são assumidas na aproximação, ( )i xΨ , passando os pesos dessas funções, os deslocamentos

nodais, id , a constituir o conjunto de incógnitas. O problema é discretizado, no sentido que se

substitui um conjunto de campos contínuos por um conjunto de variáveis discretas. Como se

deixa de falar em campos de deslocamento, ( )u x , para falar em deslocamentos em nós, id ,

torna-se necessário definir as forças concentradas correspondentes, iF , que são equivalentes ao

campo de forças dado, ( )f x .

13.2 Forças Nodais Equivalentes ao Campo de Forças

O resultado (54) mostra que as forças nodais são definidas exigindo, simplesmente, que realizem

sobre os deslocamentos correspondentes o mesmo trabalho que a aproximação do campo de

deslocamentos realiza sobre o campo de forças dado,

( )0 0 0

L LTT T Tf dx f dx= =∫ ∫d F d dΨ ΨΨ ΨΨ ΨΨ Ψ

como está implícito na definição (51) para o trabalho realizado pelas forças exteriores.


29

13.3 Forças Nodais Equivalentes ao Campo de Esforços

O método de solução baseia-se na aproximação (43) do campo de deslocamento, sob a condição,

estritamente necessária, de essa aproximação ser cinematicamente admissível. Daí resultou a

definição (44) para o campo de deformações compatível com essa aproximação, tendo-se depois

recorrido à relação de elasticidade para obter a definição (46) do campo de esforços.

No caso geral, esse campo de esforços não equilibra localmente a carga aplicada, ( )f x , tal

como exprime a equação (47). Todavia, essa equação serve para definir a carga de vão que seria

equilibrada pela aproximação do campo de esforços,

( )( ) xf x D= −∂ B d (60)

sendo a seguinte a definição das forças nodais equivalentes, de acordo com o resultado (54):

( )0 0

L Tx D dx= − ∂∫F B dΨΨΨΨ (61)

Analogamente, o campo de esforços não equilibra localmente, em geral, as forças de

extremidade, 1F e 2F , permitindo as equações (48) e (49) determinar as forças que seriam

equilibradas pela aproximação do campo de esforços, encontrando-se o seguinte resultado:

( )1 0xF D

== − B d (62)

( )2 x LF D

== + B d (63)

3 1d =

1 0d =

2 0d = 3( ) ( ) 4 ( ) (1 )u x x x/L x/LΨ= = − 3( ) ( ) 4(1 2 )N x DB x x/L D/L= = −

a) Aproximação do deslocamento, Eq. (43) b) Aproximação do esforço axial, Eq. (46)

16

30 3F D/L=

410 3F D/L= 4

20 3F D/L=

( ) 23( ) 8 /xf x D B D L= −∂ = ( )0 30

L

i i xF D B dxΨ= − ∂∫

c) Carga de vão, Eq. (60) d) Forças nodais equivalentes, Eq. (61)

1 4F D/L= −

2 4F D/L= −

813 3K D/L= − 8

23 3K D/L= −

1633 3K D/L= +

( ) ( )1 3 2 30

;x x L

F DB F DB= =

= − = − 3 0i i iK F F= +

e) Forças de extremidade, Eq. (62) e (63) f) Forças nodais resultantes, Eq. (65)

Figura 19: Forças nodais equivalentes ao campo de esforços


30

Estes resultados estão ilustrados na Figura 19 para o efeito do deslocamento no nó central do

elemento quadrático, de acordo com a notação definida na Figura 16 e as funções de

aproximação definidas na Tabela 1. Na Figura 19a) define-se o terceiro modo da aproximação do

campo de deslocamento e na Figura 19b) o esforço axial que provoca na barra. A carga de vão

que equilibra localmente o esforço axial e as forças nodais equivalentes estão definidas nas

Figuras 19c) e 19d), respectivamente, enquanto na Figura 19e) se define as forças que equilibram

o esforço axial nas fronteiras do elemento.

13.4 Equilíbrio Nodal

O que se pretende mostrar a seguir é o seguinte:

• Se o termo independente da equação resolvente (52) define a soma das forças nodais

equivalentes à carga aplicada no vão da barra, 0F , e das forças nodais aplicadas nas

secções extremas, F ;

• O primeiro termo dessa equação, definido pelo produto da matriz de rigidez pelo vector

das forças nodais, K d , deve definir as quantidades equivalentes devidas à aproximação,

isto é, a resultante das forças nodais equivalentes à carga de vão equilibrada pela

aproximação do esforço axial, 0F , e das forças nodais nas secções extremas que

equilibram essa aproximação, F , definidas pelas equações (61) a (63).

Para o fazer, pode recorrer-se à definição (45) para os modos de deformação para integrar por

partes a definição (53) da matriz de rigidez,

( ) ( )T T T

00 0 0

L L L LTx xD dx D dx D dx D = = ∂ = − ∂ + ∫ ∫ ∫Ψ Ψ ΨΨ Ψ ΨΨ Ψ ΨΨ Ψ ΨK B B B B B (64)

e utilizar as propriedades nodais (41) das funções de aproximação para concluir que o produto da

matriz de rigidez pelo vector dos deslocamentos nodais define, de facto, dois conjuntos de forças

nodais equivalentes,

0= +K d F F (65)

as forças nodais (61) equivalentes às cargas de vão que equilibram a aproximação do campo de

esforços e as forças de extremidade (62) e (63) que equilibram a aproximação do esforço axial.

É a soma dessas forças que a equação resolvente do Método dos Deslocamentos (52) exige

que equilibre a soma das forças nodais equivalentes à carga de vão e das forças de extremidade

realmente aplicadas ao elemento:

0 0+ = +F F F F (66)


31

O resultado (65) está ilustrado na Figura 19f) para o exemplo anteriormente descrito,

confirmando que se recupera a terceira coluna da matriz de rigidez do elemento quadrático,

definida no Exercício 7.

Exercício 10: Determine os resultados (61) a (63) para o exemplo representado na Figura 9

usando a aproximação linear (35) do esforço axial obtida para o elemento quadrático e

confirme o resultado (65), para qualquer valor do deslocamento nodal, d , utilizando a

definição da matriz de rigidez apresentada no Exercício 7.

Exercício 11: Interprete fisicamente a generalização (59) da definição do vector das forças

nodais equivalentes ao carregamento.

13.5 Equilíbrio Global

A condição (42) foi imposta sobre as funções de aproximação de modo a assegurar que se pode

simular o movimento de corpo rígido de uma barra. Analisa-se a seguir o reflexo que essa

condição tem sobre as condições de equilíbrio da barra, impostas na forma fraca que caracteriza

o Método dos Elementos Finitos.

A resultante das forças nodais é, por definição e independentemente da acção que as provoca:

1

1

p

ii

F F+

=

=∑ (67)

Substituindo a definição (58) para as forças nodais equivalentes à carga de vão e aplicando a

condição (42),

1 1 1

0 0 0 01 1 1

p p pL L

i i ii i i

F F f dx f dx+ + +

= = =

= = Ψ = Ψ

∑ ∑ ∑∫ ∫

conclui-se que:

• A resultante das forças nodais equivalentes à carga de vão é igual à resultante dessa carga,

independentemente da aproximação usada.

1

0 0 01

p L

ii

F F f dx+

== =∑ ∫ (68)

De acordo com a definição (67) e a identificação anteriormente feita para o coeficiente ijK da

matriz de rigidez, definido pela equação (57), é a seguinte a expressão da resultante das forças

nodais devidas aos deslocamentos nodais:

1 1 1

1 1 1

p p p

c ic ij ji i j

F F K d+ + +

= = =

= =

∑ ∑ ∑


32

Recorrendo ao resultado (65) e impondo a condição (42) conclui-se que:

• É nula a resultante das forças nodais equivalentes devidas aos deslocamentos nodais,


1

1

0p

c ici

F F+

=

= =∑ (69)

Da combinação dos resultados (68) e (69) com a definição (67) conclui-se que:

• A equação resolvente (56) assegura a condição de equilíbrio global da barra,


1

01

0pL

ii

F f dx F+

=

= + =∑∫ (70)

O resultado (68) pode ser verificado na ilustração apresentada na Figura 11, para o elemento

linear, e o resultado (69) pode ser confirmado para o elemento quadrático somando as linhas da

matriz de rigidez definida no Exercício 7.

Exercício 12: Demonstre a equação (69) usando a condição (42) e as definições (61) a (63).

Exercício 13: Mostre que é nula a resultante das forças nodais equivalentes a uma variação

térmica. Sugestão: Integre por partes o termo correspondente definido na equação (59),

tomando, ou não, em consideração que é auto-equilibrado o esforço residual devido a um

gradiente térmico.

14. Trabalho e Energia(*)

A equivalência do trabalho realizado pelas forças interiores e exteriores, expressa pela equação

(4), foi utilizada para estabelecer a formulação geral do Método dos Elementos Finitos. Para

apoiar a interpretação dessa formulação, apresentam-se a seguir os dois conceitos energéticos

que são mais utilizados para formular o mesmo método e, naturalmente, para estabelecer o

mesmo sistema de equações resolvente. Apresenta-se, também, os fundamentos do Método de

Ritz por ser frequentemente aplicado na dedução do Método dos Elementos Finitos.

14.1 Método da Energia Potencial

A energia potencial de uma estrutura é, por definição, a diferença entre a energia de deformação

e o trabalho realizado pelas forças impostas. Tem a seguinte expressão para a presente aplicação:

2

12 0 0

1

( ) ( ) ( ) ( )L L

i ii

E W x N x dx u x f x dx u FΠ ε=

= − = − −∑∫ ∫

O Teorema da Energia Potencial Mínima estabelece que a solução exacta é a solução

cinematicamente admissível que minimiza a energia potencial. Como se admite que as forças são


33

dadas, para garantir na expressão anterior que a solução é cinematicamente admissível é

necessário impor que o esforço axial seja calculado impondo a relação de elasticidade (6) sobre

um campo de deformações compatível:

2

12 0 0

1

( ) ( ) ( ) ( )L Lc c c c

i ii

Min x D x dx u x f x dx u FΠ ε ε=

= − −∑∫ ∫ (71)

Sendo o modelo de deslocamento baseado em aproximações cinematicamente admissíveis,

este teorema pode ser utilizado para determinar a equação resolvente anteriormente obtida.

Exercício 15: Substitua na equação (71) as aproximações (43) e (44) para os campos de

deslocamento e deformação e recupere os resultados (52) a (55), admitindo que a carga de vão

é contínua.

Exercício 16: Generalize a definição da energia potencial para incluir o efeito da deformação

térmica e recupere a definição (59).

14.2 Método do Trabalho Virtual

Já anteriormente se introduziu a condição do trabalho das forças interiores compensar o trabalho

realizado pelas forças exteriores, assumindo-se na equação (4) que o esforço axial, ( )N x , causa

a deformação axial, ( )xε , e as cargas de vão e de extremidade, ( )f x e iF , causam os

deslocamentos correspondentes, ( )u x e iu .

No entanto, essa relação mantém-se quando se exige apenas que o esforço axial e as forças

aplicadas definam uma solução estaticamente admissível e a deformação e os deslocamentos

definam uma solução cinematicamente admissível,

2

0 01

( ) ( ) ( ) ( )L Lc e c e c e

i ii

x N x dx u x f x dx u Fε=

= +∑∫ ∫ (72)

não havendo necessariamente uma relação de causalidade entre essas duas soluções, isto é,

independentemente das relações constitutivas serem ou não respeitadas.

A equação (72) define, evidentemente, o Teorema dos Trabalhos Virtuais, na forma de

deslocamentos virtuais quando se admite que a solução estaticamente admissível é a que

fisicamente se desenvolve na estrutura,

2

0 01

( ) ( ) ( ) ( )L L

i ii

x N x dx u x f x dx u Fδε δ δ=

= +∑∫ ∫ (73)

e na forma de forças virtuais quando se admite o inverso:

2

0 01

( ) ( ) ( ) ( )L L

i ii

N x x dx f x u x dx F uδ ε δ δ=

= +∑∫ ∫ (74)


34

Exercício 17: Mostre que o resultado (72) e, portanto, a equação (4) podem ser obtidos a

partir das equações básicas resumidas no Quadro 2.

Exercício 18: Generalize os resultados (4) e (72) para incluir o efeito de deformações

térmicas.

Como explora o conceito de admissibilidade cinemática, a equação (73) do Teorema dos

Deslocamentos Virtuais é também frequentemente utilizada para formular o modelo de

deslocamento do Método dos Elementos Finitos:

Exercício 19: Substitua na equação (73) as aproximações (43) e (44) para os campos de

deslocamento e deformação e recupere os resultados (52), (53), (55) e (59), admitindo que a

carga de vão é contínua. Mostre que não é possível recuperar esses resultados recorrendo à

equação (74) do Teorema das Forças Virtuais.

14.3 Método de Ritz

O Método de Ritz é um método clássico para resolver problemas às derivadas parciais. Consiste,

fundamentalmente, em resolver a equação diferencial que governa o problema sob a condição de

satisfazer localmente as condições de fronteira essenciais, isto é, as condições de fronteira que

incidem explicitamente sobre a variável da equação diferencial. A equação diferencial é

resolvida aproximadamente, assim como as condições de fronteira naturais do problema, isto é,

as condições que não são impostas directamente sobre a variável do problema.

No presente contexto, a equação diferencial que governa o problema é a equação (10), pelo

que as condições de fronteira essenciais são as condições de compatibilidade na fronteira (9). Se

essas condições são satisfeitas localmente, e a condição de compatibilidade no domínio (7) for

também imposta de maneira forte, a aplicação do Método de Ritz implica a utilização de

soluções cinematicamente admissíveis, o critério que distingue o modelo de deslocamento do

Método dos Elementos Finitos.

O Método de Ritz consiste, portanto, em encontrar uma solução aproximada para a condição

de equilíbrio no domínio (5), escrita na forma (10) para a aproximação do deslocamento,

( ) 0x xD f∂ ∂ + = ΨΨΨΨ d (75)

e para as condições de equilíbrio na fronteira (8), as condições de fronteira naturais do Método

de Ritz, também escritas em termos dessa aproximação:

( ) 10x xD F

=− ∂ = ΨΨΨΨ d (76)

( ) 2x x LD F

=+ ∂ = ΨΨΨΨ d (77)


35

Existem vários métodos para impor estas condições de maneira aproximada, ou fraca. A

equação resolvente (52) do Método dos Elementos Finitos é recuperada recorrendo ao Método de

Galerkin (uma variante do Método dos Resíduos Pesados), o qual consiste em impor a equação

(75) em média, ou ponderadamente, usando as funções de aproximação como coeficientes de

ponderação:

( ){ }T

0

L

x xD f dx∂ ∂ + = ∫ Ψ ΨΨ ΨΨ ΨΨ Ψ d 0000 (78)

A interpretação energética desta equação é a de anular o trabalho que a força interior

desequilibrada realiza sobre cada um dos modos de deslocamento assumidos na aproximação.

Exercício 20: Recupere os resultados (52) a (55) integrando por partes a equação (78) para

incluir as condições de fronteira (76) e (77), e recorrendo às definições (41) e (45).

15. Análise de Estruturas Articuladas

Tendo estabelecido as bases do Método dos Elementos Finitos para a análise de uma barra

solicitada axialmente, põe-se a questão de saber como pode ser o método aplicado na análise de

estruturas formadas por qualquer combinação de barras desse tipo, as estruturas articuladas ou

treliças. Essa aplicação põe dois problemas: como generalizar o resultado (52) para uma barra

com uma inclinação qualquer, como se ilustra na Figura 20 para o caso plano, e como combinar

esses resultados, escritos para cada barra isoladamente, de maneira a obter a equação

correspondente para a estrutura em análise.

α

1 1,q Q

2 2,q Q

3 3,q Q

4 4,q Q

α 1 1,d F

2 2,d F

x

*x

*y

Figura 20: Elemento de treliça plana

15.1 Elemento Finito de Treliça

Na maioria das aplicações práticas, as barras das treliças têm secção constante e não estão

sujeitas a cargas de vão. Nestas condições, o elemento de dois nós (aproximação linear do

deslocamento axial) recupera a solução exacta, sendo, por isso, o elemento que geralmente se

utiliza. É esse elemento, representado na Figura 20, que se adopta na apresentação seguinte, a

qual é facilmente generalizável para elementos de ordem superior, ou para elementos sujeitos a

cargas de vão ou com secção variável.


36

A equação resolvente (52) tem a seguinte expressão geral para o elemento de dois nós,

1011 12 1 1

2021 22 2 2

FK K d F

FK K d F

= +

sendo os coeficientes da matriz de rigidez calculados pela definição (57), obtendo-se os

seguintes resultados recorrendo às funções de aproximação resumidas no Quadro 3:

11 0( 1/ ) ( 1/ ) /

LK L D L dx D L= − − = +∫

22 0( 1/ ) ( 1/ ) /

LK L D L dx D L= + + = +∫

12 21 0( 1/ ) ( 1/ ) /

LK K L D L dx D L= = − + = −∫

Existindo cargas de vão, as forças nodais equivalentes são determinadas pela definição (58):

10 0(1 / )

LF x L f dx= −∫ (79)

20 0( / )

LF x L f dx= ∫ (80)

Para uma carga axial linear, 1 2( ) (1 / ) ( / )f x x L f x L f= − + , obtêm-se as seguintes definições

para as forças nodais equivalentes:

10 1 2

20 1 2

2

26

F f fL

F f f

+ = +

(81)

15.2 Mudança de Coordenadas

Quando se analisa uma treliça, torna-se necessário medir num mesmo referencial, o referencial

global da estrutura * *( , )x y representado na Figura 19, os deslocamentos e as forças nodais em

todos os elementos que a formam.

Para isso basta exprimir os deslocamentos e as forças nodais locais no referencial global,

encontrando-se expressões da forma,

=d T q (82)

T=Q T F (83)

que garantem a invariância do trabalho, ou seja, que o trabalho não depende do referencial em

que as forças e os deslocamentos são medidos:

T T=d F q Q

A equação resolvente expressa no referencial global da estrutura,

* 0= +K q Q Q (84)


37

é obtida substituindo o resultado (52) na definição (83) e eliminando depois os deslocamentos

medidos no referencial através da equação (82). Tem-se, pois:

T* =K T K T

T0 0=Q T F

A matriz de transformação tem a seguinte definição,

0 0

0 0

cos sen

cos sen

α αα α

=

T (85)

sendo a forma explícita da equação resolvente do elemento linear em coordenadas globais:

1 11

2 21

3 32

4 42

1 2 2 1 2 2

2 1 2 2 1 2

1 2 2 1 2 22

2 1 2 2 1 2

q Qcos Fcos sen cos sen

q Qsen Fsen cos sen cosD

q Qcos Fcos sen cos senL

q Qsen Fsen cos sen cos

αα α α ααα α α ααα α α ααα α α α

+ − − − − − − + = +

− − − + − − + −

(86)

Exercício 21: Generalize o resultado (85) para o elemento de treliça tridimensional

representado na Figura 21.

1 1,q Q

2 2,q Q

3 3,q Q

4 4,q Q

*x

*y

*z

5 5,q Q

6 6,q Q

Figura 21: Elemento de treliça tridimensional

15.3 Matrizes Elementares

O processo de reunião (ou assemblagem) dos elementos para constituir a estrutura é ilustrado

usando a estrutura reticulada isostática definida na Figura 22, onde se identificam os

deslocamentos independentes e as forças correspondentes. Sendo a estrutura três vezes

cinematicamente indeterminada, é a seguinte a expressão geral da equação resolvente (84),

11 12 13 1 10 1

21 22 23 2 20 2

31 32 33 3 30 3

K K K q Q Q

K K K q Q Q

K K K q Q Q

= +

(87)


38

sabendo-se que, de acordo com o carregamento:

{ } { }T

1 2 3 0 0Q Q Q F= (88)

*x

*y

L

L

.D EA const= =

p F

1 1,q Q

2 2,q Q

3 3,q Q

Figura 22: Treliça isostática, três vezes cinematicamente indeterminada

Os elementos que formam a estrutura e as forças e os deslocamentos nodais para o modelo

linear (elemento de dois nós) estão representados na Figura 23. De acordo com a notação

definida na Figura 20, a inclinação das barras é a seguinte: 1 12α π= ; 2 0α = ; 3 3

4α π= .

�

�

�

1 11 1,q Q

1 12 2,q Q

1 14 4,q Q

1 13 3,q Q

2 21 1,q Q

2 22 2,q Q

2 23 3,q Q

2 24 4,q Q

3 31 1,q Q

3 32 2,q Q

3 33 3,q Q

3 34 4,q Q

x x

x

Figura 23: Reunião dos elementos estruturais

A substituição desses valores, da rigidez axial e do vão na equação (86) define as condições

de equilíbrio nodal de cada elemento tomado isoladamente. É conveniente definir separadamente

as forças nodais equivalentes devidas aos deslocamentos nodais (a solução complementar),

1 11 11 12 21 13 31 14 4

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1c

Q q

Q qD

LQ q

Q q

− =

−

(89)


39

2 21 12 22 22 23 32 24 4

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0c

Q q

Q qD

LQ q

Q q

− =

−

(90)

3 31 13 32 23 33 33 34 4

1 1 1 1

1 1 1 12

1 1 1 14

1 1 1 1c

Q q

Q qD

LQ q

Q q

− − − − =

− − − −

(91)

e as forças nodais equivalentes à carga de vão (a solução particular) as quais são nulas nos

elementos 2 e 3, sendo calculadas para o elemento 1 recorrendo à definição (81):

1 2 310 10 101 2 320 20 201

21 2 330 30 301 2 340 40 40

0 0

1 0;

0 0

1 0

Q Q Q

Q Q QpL

Q Q Q

Q Q Q

= = =

(92)

15.4 Reunião de Elementos

A simulação do processo de reunião dos elementos consiste em impor duas condições:

• Os elementos que partilham um mesmo nó da estrutura devem ter aí deslocamentos

idênticos aos deslocamentos da estrutura (continuidade nodal);

• As forças num nó da estrutura são iguais às resultantes das forças nodais dos elementos

que partilham esse nó (equilíbrio nodal).

A aplicação deste critério para construir a estrutura combinando os elementos que a formam

realiza-se com base na seguinte tabela de incidências, que relaciona os deslocamentos e forças

nodais da estrutura com os deslocamentos e forças nodais nos elementos considerados

isoladamente, de acordo com a numeração definida nas Figuras 22 e 23:

Estrutura ( ,i iq Q ) 1 2 3 Elemento 1 ( 1 1,i iq Q ) 3 4 - Elemento 2 ( 2 2,i iq Q ) - - 3 Elemento 3 ( 3 3,i iq Q ) 3 4 1

Tabela 2: Incidência nodal (deslocamentos indeterminados e forças correspondentes)

Esta tabela tem duas leituras. A primeira é a que estabelece a condição de continuidade dos

deslocamentos nodais,


40

1 33 3 11 34 4 22 33 1 3

q q q

q q q

q q q

= = = = = =

(93)

e a segunda é a que define a resultante das forças nodais quando as barras são ligadas entre si:

1 31 3 3

1 32 4 4

2 33 3 1

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

= + = + = +

(94)

Exercício 22: Estabeleça as expressões equivalentes às condições de incidência (93) e (94)

para a barra com apoios fixos discretizada em dois elementos representada na Figura 10.

15.5 Equação Resolvente da Estrutura

Estando definido o vector das forças nodais aplicadas (88), ilustra-se a seguir a utilização das

condições de incidência (93) e (94) para obter a matriz de rigidez e o vector das forças

equivalentes à carga de vão da estrutura a partir dos termos correspondentes de cada elemento.

De acordo com a definição (94) para as forças nodais e o resultado (92), o vector das forças

nodais da estrutura estaticamente equivalentes à carga de vão tem a seguinte expressão:

{ } { }T 110 2 3 20 0Q Q Q pL= (95)

As definições (93) e (94) são usadas para determinar os coeficientes ijK da matriz de rigidez

da estrutura, presente na equação (87), em função dos coeficientes das matrizes de rigidez eijK

dos elementos, de acordo com as equações (89) a (91). Atendendo a que ijK representa a força

nodal iQ na estrutura devida ao deslocamento unitário jq e que eijK representa a força nodal eiQ

no elemento e devida ao deslocamento unitário ejq , conclui-se que, para o exemplo da Figura 22:

1 3 1 3 311 33 33 12 34 34 13 31

1 3 1 3 321 43 43 22 44 44 23 41

3 3 2 331 13 32 14 33 33 11

K K K K K K K K

K K K K K K K K

K K K K K K K

= + = + = = + = + = = = = +

(96)

O processo equivalente utilizado na aplicação do Método dos Deslocamentos à análise de

estruturas articuladas está ilustrado na Figura 24 para o efeito do deslocamento nodal 1 1q = , o

qual apenas provoca a deformação da barra 3. Portanto, 1 133 43 0K K= = , 3

33 /2 2K D L= e

3 343 13 /2 2K K D L= = − nas expressões acima definidas.

Exercício 23: Aplique o processo acima descrito para obter a equação resolvente (33) da

barra com apoios fixos discretizada em dois elementos representada na Figura 10.


41

2 0q =

3 0q =

1

2 2

D

L

1 1q =

1

2 2

D

L

112 2

DK

L=

212 2

DK

L= −

312 2

DK

L= −

Figura 24: Efeito do deslocamento nodal 1 1q =

Este processo assemblagem é fácil de automatizar, sendo executado elemento a elemento. A

matriz de rigidez e o vector das forças nodais equivalentes à carga de vão são calculados e a

tabela de incidência é definida e usada para atribuir, por acumulação, a contribuição de cada

elemento para os coeficientes da matriz de rigidez e do vector das forças equivalentes à carga de

vão da estrutura. A implementação em computador da análise de estruturas reticuladas, de que as

treliças são um caso particular, recorrendo ao Método dos Elementos Finitos é descrita no texto

que generaliza os resultados aqui apresentados para a modelação de peças lineares sujeitas à

flexão, ao corte e à torção.

Exercício 24: Generalize o resultado (87) para as situações seguintes: a) Assentamento

vertical do apoio móvel, δ; b) Substituição desse apoio por um apoio elástico, com rigidez k;

c) Variação uniforme da temperatura, θ, na barra 2; Aplicação de uma carga uniforme, p, à

barra 3. Notas: Sendo a estrutura isostática, as duas primeiras acções devem provocar

deslocamentos sem introduzir deformações nem provocar esforços. A carga uniforme provoca

a flexão da barra diagonal, pondo-se a questão de como equilibrar as forças nodais

equivalentes ao carregamento.

δ

( ) .x constθ =

p

Figura 24: Modelação de diferentes tipos de acção


42

16. Análise da Solução

Depois de resolvida a equação do Método dos Deslocamentos, o resultado obtido é utilizado para

traçar a deformada da estrutura e calcular as reacções de apoio e as deformações e os esforços

nos elementos. Quando a análise se baseia num método aproximado, é essencial estabelecer,

inequivocamente, os critérios que permitem distinguir os resultados que têm necessariamente de

satisfazer as condições do problema, mesmo que a solução seja aproximada, dos resultados que

podem violar algumas dessas condições, assim como estimar se esse erro é admissível, ou se

requer o refinamento da solução.

16.1 Determinação de Deslocamentos e Deformações

A solução da equação do Método dos Deslocamentos é utilizada para determinar a posição final

dos nós, como se ilustra na Figura 25 para o exemplo definido na Figura 22, em que:

( )2 2

1 2 32 1 2 ; ;2 2

pL FL pL FL FLq q q

D D D D D= + + = + =

Na mesma figura estão definidas as forças nodais (88) e (95) que foram, de facto, utilizadas

para determinar essa solução através do sistema resolvente (87). Na Figura 26 estão identificados

os deslocamentos impostos, 0iq = nesta aplicação, e as forças correspondentes, as reacções de

apoio iR . Esta informação é utilizada para relacionar esses deslocamentos e reacções com os

deslocamentos e as forças nodais de cada elemento, definidos na Figura 23, obtendo-se a Tabela

3, com a informação complementar da resumida na Tabela 2.

Estrutura ( ,i iq R ) 1 2 3 Elemento 1 ( 1 1,i iq Q ) 1 2 - Elemento 2 ( 2 2,i iq Q ) 1 2 4 Elemento 3 ( 3 3,i iq Q ) - - 2

Tabela 3: Incidência nodal (deslocamentos impostos e reacções correspondentes)

É com base nessas condições de incidência que se estabelece a informação complementar à

definida pelas equações (93) e (94):

1 21 1 11 22 2 22 34 2 3

0

0

0

q q q

q q q

q q q

= = = = = = = = =

(97)

1 21 1 1

1 22 2 2

2 33 4 2

R Q Q

R Q Q

R Q Q

= + = + = +

(98)


43

3q

2q

1q

12 pL

1 10 0Q Q F+ = +

12 20 20Q Q pL+ = +

3 30 0 0Q Q+ = +

Figura 25: Deslocamentos indeterminados e forças correspondentes

1 0q =

2 0q =

3 0q = 3R

2R

1R

Figura 26: Deslocamentos impostos e reacções correspondentes

A informação relativa aos deslocamentos nodais de cada elemento, medidos no referencial

global da estrutura, é retirada das equações (93) e (97) e substituída na relação (82) para obter os

deslocamentos nodais medidos no referencial de cada elemento.

Os resultados que se obtêm para a estrutura representada na Figura 22, de acordo com a

orientação definida na Figura 23, são os seguintes:

( )1 2 3

2

0 02

; ;1 2 2

22

FL

DFL FLpL FLD DD D

− = = = − ++

d d d

O deslocamento e a deformação em cada secção de um dado elemento são determinados

recorrendo às aproximações (43) e (44), obtendo-se os seguintes resultados para o exemplo de

aplicação:

1 2 31 12 2( ) ( ) / ; ( ) / ; 2 ( ) /u pL F x D u F x D u F L x D= + = = − +

1 2 312( ) / ; / ; 2 /pL F D F D F Dε ε ε= + = = −


44

16.2 Determinação de Esforços e Reacções

O campo de esforços é determinado pela relação de elasticidade (6) ou, o que é equivalente, pela

aproximação (46). O processo mais prático para calcular as reacções de apoio consiste em

recorrer à definição (98), calculando a contribuição de cada elemento a partir da equação

resolvente (86), pois são conhecidos os deslocamentos nodais de cada elemento, medidos no

referencial global, assim como os coeficientes do vector das forças nodais equivalentes às cargas

de vão.

Para o exemplo em análise, os resultados obtidos,

1 2 312 ; ; 2N pL F N F N F= + = = −

1 2 3; ;R F R pL F R F= − = − − = +

mostram o seguinte:

• As reacções recuperam a solução exacta (o que não constitui uma conclusão geral), pois a

estrutura é exteriormente isostática (o que é uma conclusão geral);

• Por se ter utilizado uma aproximação linear para o campo de deslocamento, a condição de

equilíbrio no domínio (5) é satisfeita localmente para os elementos 2 e 3 (sem carga de

vão) mas é violada para o elemento 1 (sujeito a uma carga de vão uniforme, sendo

1 ( )N p L x= − a solução exacta).

16.3 Critérios de Análise da Solução

Como o modelo de deslocamento do Método dos Elementos Finitos se baseia na utilização de

aproximações cinematicamente admissíveis a solução obtida tem também de o ser, ainda que a

solução seja aproximada, isto é:

• As condições de apoio devem estar impostas exactamente;

• Deve haver continuidade do deslocamento entre elementos que partilham um mesmo nó.

Estas condições são avaliadas analisando a deformada da estrutura produzida pelo programa

de cálculo, só podendo ser violadas se houver erro na introdução dos dados, sobre as condições

de apoio e sobre a incidência das barras, respectivamente.

Não deve ser necessário verificar se o deslocamento é contínuo em cada elemento, se a

deformação é compatível ou se a deformação e o esforço satisfazem localmente a relação de

elasticidade, pois essas condições estão implícitas na aproximação.

Relativamente às condições de equilíbrio, deve-se distinguir o equilíbrio no domínio de cada

elemento e o equilíbrio das forças nodais. Os critérios de análise são os seguintes:


45

• A condição de equilíbrio no domínio de cada elemento é necessariamente violada se a

aproximação não contém a solução exacta para a carga de vão que foi considerada;

• As reacções devem equilibrar as forças nodais dadas e as forças nodais equivalentes às

cargas de vão.

Relativamente ao equilíbrio das forças nodais, devem-se distinguir dois tipos de forças

nodais: as forças (conhecidas) correspondentes aos deslocamentos independentes e as forças

(desconhecidas, as reacções) correspondentes aos deslocamentos impostos.

Não deve ser necessário verificar o equilíbrio das forças nodais dadas e das forças nodais

equivalentes às cargas de vão, pois essa condição é explicitamente imposta pela equação

resolvente do Método dos Deslocamentos.

Qualquer desequilíbrio detectado entre as reacções e as resultantes, em cada nó, das forças

nodais dadas e das forças nodais equivalentes às cargas de vão indica (a menos de erros de

precisão numérica) existir um erro na introdução dos dados sobre o carregamento.

17. Sistematização

O processo de cálculo coincide, em linhas gerais, com o processo adoptado no anterior exemplo

sobre a análise de uma estrutura articulada, o qual é basicamente idêntico ao adoptado na

aplicação do Método dos Deslocamentos na análise de estruturas reticuladas.

Caracteriza-se pela execução de três grandes grupos de operações, designadamente a fase de

pré-processamento, em que se recolhe e armazenam os dados sobre a estrutura e o carregamento,

a fase de processamento, em que se monta e se determina a solução do sistema resolvente, e a

fase de pós-processamento, em que se caracteriza a resposta da estrutura ao carregamento dado.

A estrutura é caracterizada definindo os nós que partilham duas ou mais barras, as

coordenadas desses nós e as suas condições de ligação ao meio de fundação (as condições de

fronteira cinemáticas). Os deslocamentos independentes são facilmente identificados, tomando

como variáveis todas as componentes, medidas no referencial global da estrutura, que não estão

condicionadas pelas condições de apoio.

São depois identificadas as barras que formam a estrutura, caracterizando as propriedades

geométricas e mecânicas e indicando os nós de extremidade. É com base nessa informação que

posteriormente se definem as tabelas de incidência nodal. Para além disso, deve-se agora

escolher o tipo de elemento, isto é, o grau de aproximação a utilizar em cada elemento. Para

concluir a compilação dos dados sobre o problema estrutural, a fase de pré-processamento, é

necessário definir o carregamento, caracterizando as cargas de vão e definindo as forças nodais.


46

Inicia-se depois a execução da fase de processamento, com a montagem da equação

resolvente. O vector das forças nodais é definido usando directamente a informação dada na sua

caracterização, por identificação dos deslocamentos nodais correspondentes. Executa-se depois

um ciclo sobre todos os elementos, calculando a matriz de rigidez e o vector das forças nodais

equivalentes às cargas de vão e atribuindo esses valores à matriz de rigidez da estrutura e ao

vector das forças nodais equivalentes da estrutura, de acordo com o processo anteriormente

descrito.

A matriz de rigidez de uma estrutura articulada é, geralmente, uma matriz muito esparsa, isto

é, com uma percentagem muito alta de coeficientes nulos. Essa propriedade, assim como a sua

simetria, são normalmente exploradas para minimizar a informação a armazenar e,

principalmente, para optimizar a solução do sistema resolvente, a parte do processo de cálculo

que consome o maior tempo de execução.

A fase de pós-processamento pode também ser exigente em termos de tempos de execução,

pois visa representar graficamente a resposta da estrutura através da caracterização da

deformada, dos diagramas de esforços e das reacções de apoio, permitindo uma grande

flexibilidade na visualização e no acesso a informação detalhada.

Interessa referir, finalmente, que os integrais presentes nas definições elementares (57) e (58),

da matriz de rigidez e do vector das forças nodais equivalentes às cargas de vão,

respectivamente, são normalmente calculados numericamente, designadamente quando a rigidez

axial não é constante ou quando o elemento é de ordem superior, usando a regra de quadratura de

Gauss-Legendre. O integral de uma função,

0

( )L

I x dxϕ= ∫ (99)

é substituído por um somatório que envolve o cálculo da função em determinados pontos, os

pontos de Gauss, ix , e a sua multiplicação por pesos de integração, iw ,

1

( )N

i in

I w xϕ=

≈∑ (100)

os quais são definidos de modo a garantir que, a menos da precisão numérica, o resultado é

exacto se a função for polinomial com grau,

2 1p N= −

sendo N o número de pontos de Gauss: um ponto de Gauss é suficiente para integrar uma função

linear e dois integram exactamente um polinómio cúbico.


47

Os primeiros pontos e pesos de Gauss estão definidos na Tabela 4 para o intervalo de

integração 0 1ξ≤ ≤ , utilizando-se a mudança de coordenadas x Lξ= para resolver o integral

(99) na forma (100):

1

0 01

( ) ( ) ( )NL

i in

I x dx L L d L w Lϕ ϕ ξ ξ ϕ ξ=

= = ≈ ∑∫ ∫

N = 1 N = 2 N = 3

ξ1 0,5 0,21132 0,11270

w1 1,0 0,5 0,27778

ξ2 0,78868 0,5

w2 0,5 0,44444

ξ3 0,88730

w3 0,27778

Tabela 4: Pontos e pesos de Gauss

Exercício 25: Verifique o resultado (81), assim como o representado na Figura 11, integrando

numericamente as definições (79) e (80).

18. Conclusão

São as seguintes as ideias que interessa reter desta introdução ao modelo de deslocamento do

Método dos Elementos Finitos:

• A estrutura é decomposta em elementos (os elementos finitos) e o campo de deslocamentos

é aproximado em cada elemento (a aproximação primária), sob a condição de produzir uma

solução cinematicamente admissível;

• A aproximação do deslocamento é feita usando funções contínuas, escritas de maneira a

facilitar a imposição das condições de compatibilidade na fronteira (funções nodais);

• A aproximação (dependente) da deformação é calculada impondo localmente a condição

de compatibilidade no domínio do elemento e a aproximação (também dependente) do

esforço é calculada impondo localmente a condição de elasticidade, transferindo-se, assim,

o eventual erro da aproximação para as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira

do elemento;

• Essas condições são impostas exigindo apenas o equilíbrio dos nós do elemento,

recorrendo-se, para isso, à definição de forças nodais estaticamente equivalentes às forças

de vão aplicadas e às forças que equilibram a aproximação do esforço;


48

• As condições de equilíbrio nodal equivalente definem a equação resolvente do elemento, a

qual pode ser deduzida recorrendo a diferentes métodos, e são combinadas para obter a

equação resolvente da estrutura;

• Essa combinação é feita identificando os deslocamentos nodais dos elementos com os

deslocamentos nodais da estrutura e definindo, implicitamente, as forças nodais da

estrutura em função das forças nodais dos elementos;

• A solução que se obtém é (necessariamente) cinematicamente admissível e recupera

(necessariamente) a solução exacta do problema sempre que a aproximação em cada

elemento permita obter uma solução que é aí estaticamente admissível;

• Quando tal não sucede, as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira desses

elementos são violadas localmente mas impostas de maneira fraca, através de uma

condição de equilíbrio imposta sobre as forças nodais equivalentes;

• As forças nodais aplicadas e as forças nodais equivalentes satisfazem, necessariamente, as

condições de equilíbrio global da estrutura, mesmo que a solução não seja exacta;

• Uma solução aproximada pode ser sempre melhorada, convergindo para a solução exacta

(a qual pode não ter expressão analítica) quando se subdivide os elementos (refinamento-

h), se aumenta o grau da aproximação em cada elemento (refinamento-p), ou se combinam

os dois processos (refinamento-ph).

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Introdução ao Método dos Elementos Finitos: Estruturas ...luis/ae2/AE2_Barra_Final3.pdf · Análise de Estruturas II: Estruturas Articuladas 1 Introdução ao Método dos Elementos