ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE … · Elementos finitos híbridos e híbrido-mistos de tensão com enriquecimento nodal Cadernos de Engenharia de Estruturas, São

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 51, p. 131-159, 2009

ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE TENSÃO COM ENRIQUECIMENTO NODAL

Wesley Góis1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o Trata-se do desenvolvimento de variantes não-convencionais do Método dos Elementos Finitos (MEF), para a elasticidade plana, tendo-se como base a combinação das Formulações Híbrida (FHT) e Híbrida-Mista de Tensão (FHMT) com a técnica de enriquecimento nodal de partições da unidade. Elementos planos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós foram implementados para avaliação numérica destas duas variantes formuladas. Ainda entre os desenvolvimentos realizados, destaca-se o estudo das condições necessárias e suficientes para convergência de soluções aproximadas para a classe de problemas lineares considerada. Finalmente, alguns exemplos numéricos são apresentados para ilustrar o desempenho de ambas as abordagens, especialmente quando a técnica de enriquecimento nodal é aplicada. Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizado. Formulação híbrida de tensão. Formulação híbrido-mista de tensão. Estabilidade do Método dos Elementos Finitos.

STRESS HYBRID AND HYBRID-MIXED FINITE ELEMENTS WITH NODAL ENRICHMENT

A b s t r a c t This work address the development of non-conventional variants of the finite element method for plane elasticity based on the combination of Stress Hybrid Formulation (SHF) and Stress Hybrid-Mixed Formulation (SHMF) with the technique of nodal enrichment of a partition of unity. Plane four-node quadrilateral and triangular three-node elements were implemented aiming numerical evaluation of the two variants formulated. Also among the developments conduced, a study on the necessary and sufficient conditions for the convergence of the approximate solutions to the class of linear problems considered is highlighted. Finally, some numerical examples are presented to illustrate the performance of both approaches, especially when the nodal enrichment technique is explored. Keywords: Finite Element Method. Generalized Finite Element Method. Stress hybrid formulation. Stress hybrid-mixed formulation. Finite Element Method Stability.

1 INTRODUÇÃO

O trabalho proposto tem por objetivo oferecer contribuições para o desenvolvimento e implementação computacional de duas formulações não-convencionais do Método dos Elementos Finitos (MEF), denominadas de Formulação Híbrida de Tensão (FHT) e Formulação Híbrido-Mista de Tensão.

O tema tem origem na idéia de aplicação da técnica de enriquecimento nodal de aproximações para a formulação Híbrido-mista de Tensão (FHMT), proposto em Pimenta, Proença e Freitas (2002) e Góis (2004). Os estudos incluindo a FHT com enriquecimento nodal tiveram continuidade em Góis e Proença (2005, 2006a, 2006b, 2007a, 2007b, 2007c).

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença


132

Vale ressaltar que na FHMT, três campos são aproximados de forma independente: tensões e deslocamentos no domínio e deslocamentos no contorno. Já para a FHT, dois campos são independentemente aproximados: as tensões no domínio e os deslocamentos no contorno.

O enriquecimento nodal pode ser definido como a ampliação das bases aproximativas envolvidas, sem a necessidade de introduzir novos nós na discretização. Essa estratégia difere, portanto, do processo p-adaptativo do MEF clássico, onde, para certa classe de elementos finitos, exige-se a inserção de pontos nodais extras nos elementos em correspondência ao aumento do grau de interpolação, Duarte e Oden (1995, 1996).

A análise numérica da FHMT e FHT com enriquecimento nodal foi desenvolvida utilizando-se dois elementos planos: o elemento quadrilateral de quatro nós e o triangular de três nós. Nas aproximações envolvidas na FHMT, aplica-se o conceito da partição da unidade (PU), para garantir continuidade em todos os campos da FHMT. O conceito da PU também é aplicado aos deslocamentos no contorno da FHT para, igualmente aos elementos da FHMT, garantir continuidade dos deslocamentos entre elementos do contorno. As aproximações das tensões no domínio da FHT não estão atreladas a nós e não contemplam o conceito da PU.

Para enriquecer nodalmente as aproximações envolvidas na FHMT foram utilizadas funções polinomiais. Como as aproximações das tensões no domínio para a FHT não estão vinculadas aos nós do domínio, desenvolveu-se uma metodologia original que possibilita o enriquecimento nodal das aproximações das tensões no domínio da FHT que originalmente não estão atreladas a nós. Na FHT ambos os campos foram também enriquecidos com funções polinomiais.

Mas um questionamento pode ser levantado no tocante à aplicação dessas formas não-convencionais do MEF: elas sempre possibilitarão soluções convergentes?

Assim, o estudo detalhado das condições necessárias e suficientes para convergência das soluções obtidas com as FHT e FHMT com enriquecimento nodal é um aspecto complementar abordado neste trabalho.

Dessa forma, a análise dos aspectos matemáticos relacionados às condições necessárias e suficientes para estabilidade e convergência das soluções obtidas para a FHT e FHMT com enriquecimento nodal, fundamenta-se na implementação numérica da condição de Babuška-Brezzi (Babuška,1971,1973; Brezzi, 1974).

2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA E HÍBRIDO-MISTA DE TENSÃO PARA ELASTICIDADE

Baseando-se em Freitas, Almeida e Pereira (1996), com oportuna escolha de funções peso, realizam-se as seguintes ponderações de Galerkin das equações de compatibilidade, equilíbrio e da condição de contorno de Neumann:

( )T T

Ωδσ L u fσ dΩ 0− =∫ (1)

( )T

Ωδu Lσ b dΩ 0+ =∫ (2)

( )t

t

TΓΓ

δu t Nσ dΓ 0− =∫ (3)

Nas Eq. (1), (2) e (3) Ω é um domínio de contorno Γ e tΓ é a parte do contorno Γ onde são impostas as forças de superfícies.

Da Eq.(1), com u u 0− = , em uΓ (parte do Γ onde são impostos os deslocamentos) e com o auxílio do teorema do Divergente, vem:

( ) ( )T TT

Ω Ω Γδσ fσdΩ Lδσ udΩ Nδσ udΓ 0+ − =∫ ∫ ∫ (4)

Elementos finitos híbridos e híbrido-mistos de tensão com enriquecimento nodal


133

O contorno Γ para as formas híbridas é por definição i u tΓ = Γ Γ Γ+ + e considerando a nulidade dos deslocamentos prescritos no contorno uΓ , a Eq.(4) assume a seguinte forma:

( ) ( ) ( )t i

t i

T T TTΓ ΓΩ Ω Γ Γ

δσ fσdΩ Lδσ udΩ Nδσ u dΓ Nδσ u dΓ 0+ − − =∫ ∫ ∫ ∫ (5)

onde e u tΓ =Γ Γ+ é o contorno externo e iΓ é definido como contorno interno entre elementos, quando se introduz uma discretização do domínio Ω em elementos finitos.

Aqui será admitida a continuidade dos deslocamentos iΓ

u entre as fronteiras iΓ , e assim, estas serão interpretadas como fronteiras estáticas.

Dessa forma, é necessário estender a ponderação de Galerkin da equação de equilíbrio Eq.(3) para incluir a fronteira iΓ . Com a consideração que não existem forças de superfícies t aplicadas no

contorno interno iΓ , soma-se à eq.(3) a parcela ( )i

i

TΓ

Γ

δu Nσ dΓ∫ referente ao equilíbrio na fronteira iΓ ,

assim:

( ) ( ) ( )t i t

t i t

T T TΓ Γ ΓΓ Γ Γ

δu Nσ dΓ δu Nσ dΓ δu t dΓ 0+ − =∫ ∫ ∫ (6)

As Eq.(2), (5) e (6) governam o Modelo Híbrido-Misto de Tensão e envolvem três campos independentes: as tensões σ e deslocamentos u incompatíveis definidas no domínio Ω e os deslocamentos

tΓu e

iΓu sobre o contorno. Nas Eq.(2), (5) e (6) assume-se que: N é a matriz

constituída com as componentes do vetor normal tanto para o contorno interno iΓ quanto para o contorno externo eΓ , f representa a matriz de flexibilidade para materiais elásticos lineares isótropos,

t é o vetor de forças superficiais aplicadas na parte tΓ do contorno externo e b é o vetor de forças volúmicas. Ainda nas Eq.(2), (5) e (6), por simplificação, admite-se a seguinte consideração: deslocamentos no contorno uΓ prescritos com valor nulo.

As seguintes aproximações para os campos de tensão σ e deslocamento u no domínio Ω e deslocamentos

tΓu e

iΓu nos contornos tΓ e iΓ , respectivamente, podem ser introduzidas:

%Ω Ωσ S s= (7)

Ω Ωu U q=% (8)

t t tΓ Γ Γu U q=% (9)

i i iΓ Γ Γu U q=% (10)

Onde ΩS , ΩU , tΓ

U e iΓ

U são, respectivamente, matrizes que guardam aproximações das

tensões e deslocamentos no domínio, deslocamentos no contorno de Neumann e interno. Já Ωs , Ωq ,

tΓq e

iΓq são, respectivamente, vetores que guardam os pesos das aproximações das tensões e

deslocamentos no domínio, deslocamentos no contorno de Neumann e interno. Vale ressaltar que todas as aproximações envolvidas na FHMT são construídas pela técnica

do MEF e consequentemente estão atreladas a nós, no caso da utilização de uma malha de cobertura em elementos finitos.

Aplicando-se as aproximações das Eq. (7) a (10) nas Eq.(2), (5) e (6), gera-se o sistema de equações lineares que governa a FHMT:



134

t i

t tt

ii

Ω Γ Γ ΩT

Ω ΩΩT

Γ ΓΓ

TΓΓ

F A A A s 0q QA 0 0 0q QA 0 0 0q 0A 0 0 0

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ −− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

(11)

Na Eq.(11) foram introduzidas as seguintes matrizes:

TΩ ΩΩ

F S fS= ∫ (12)

( )T

Ω Ω ΩΩA LS U dΩ= ∫ (13)

( )t t

t

T

Γ Ω ΓΓA NS U dΓ= ∫ (14)

( )i i

i

T

Γ Ω ΓΓA NS U dΓ= ∫ (15)

T

Ω Ω ΩQ U bdΩ= ∫ (16)

t tt

TΓ ΓΓ

Q U tdΓ= ∫ (17)

Especificamente para a FHT, as funções aproximativas das tensões no domínio ΩS devem satisfazer localmente a equação de equilíbrio, ou seja, as aproximações das tensões são auto-equilibradas. Considerando-se que a equação de equilíbrio correspondente é identicamente satisfeita na hipótese de forças volúmicas nulas, tem-se:

ΩLS 0= (18)

Nessa condição, as matrizes ΩA e ΩQ se anulam e a Eq.(11) se simplifica e assume a seguinte forma:

t i

t t t

i i

Γ Γ ΩTΓ Γ Γ

TΓ Γ

F A A s 0A 0 0 q Q

A 0 0 q 0

⎡ ⎤ ⎧ ⎫− − ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪− = −⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(19)

3 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE TENSÃO COM ENRIQUECIMENTO NODAL

Como na FHMT e FHT há aproximações definidas no domínio e contorno dos elementos, para aplicação do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) definem-se suportes ou nuvens associadas tanto ao domínio quanto ao contorno do elemento. Assim, considere-se uma malha de elementos finitos como apresenta a Figura 1.



135

Figura 1 – Nuvens de influência para as malhas de cobertura: domínio (bidimensional) e contorno (unidimensional).

A malha de cobertura é utilizada para definir as nuvens de domínio jω e as nuvens de

contorno Γj

ω . As nuvens de domínio e contorno em destaque na Figura 1 são formadas,

respectivamente, por elementos eΩ e iΓ que possuem nós em comum de domínio jx e contorno Γj

x .

Nesta pesquisa os elementos quadrilaterais de quatro nós (ver Figura 2) e os triangulares de três nós (ver Figura 3) são os elementos utilizados para composição das nuvens de domínio da FHT e da FHMT. Os elementos das nuvens de contorno são definidos nos lados de cada um dos elementos quadrilaterais e triangulares de domínio.

Em ambas as formulações a geometria do elemento quadrilateral (ver Figura 2) é construída com a utilização de funções bilineares Lagrangianas convencionais, definidas nas Eq.(20) a Eq.(23).

Figura 2 – Elemento quadrilateral de quatro nós.

( )( )11φ ξ 1 η 14

= − − (20)



136

( )( )21φ ξ 1 η 14

= − + − (21)

( )( )31φ ξ 1 η 14

= + + (22)

( )( )41φ ξ 1 η 14

= − − + (23)

onde ξ e η são as coordenadas adimensionais entre -1 e 1.

Para a construção da geometria do elemento triangular (ver Figura 3) é comum a utilização das coordenadas triangulares normalizadas, como mostram as Eq.(24) a Eq.(26).

Figura 3 – Elemento triangular de três nós.

11

e

AξA

= (24)

22

e

AξA

= (25)

33

e

AξA

= (26)

onde 1A , 2A e 3A são as áreas identificadas na Figura 3 e eA é a área total do triângulo desta mesma figura.

A geometria dos elementos de contorno da FHT/FHMT é desenvolvida com as funções lineares Lagrangianas clássicas. Para os elementos do contorno nos lados dos elementos quadrilaterais, escreve-se:

( )11ψ ξ 12

= − − (27)



137

( )21ψ ξ 12

= + (28)

Já para os elementos do contorno nos lados dos elementos triangulares, tem-se:

( )1ψ 1 ξ= − (29)

2ψ ξ= (30)

onde ξ para as Eq.(27) e (28) varia entre -1 e 1 e nas Eq.(29) e (30) varia entre 0 e 1.

Para aproximações das variáveis de tensão e deslocamentos no domínio e deslocamentos no contorno dos elementos quadrilateral e triangular da FHMT serão adotadas as mesmas funções utilizadas na aproximação da geometria destes elementos, Eq.(20) a Eq.(30). Assim, as matrizes aproximativas definidas nas Eq.(12) a Eq.(17), são agora tomadas para os domínios eΩ e contorno Γ (

eΓttΓ ou

eΓiiΓ ) dos elementos.

O enriquecimento dos campos de domínio Ω da FHMT, que estão atreladas aos nós de uma malha de cobertura, pode ser conduzido com auxílio de funções polinomiais

ejnh , j 1,...,N= e

( )en 1,...,I j= . Aqui Né o número total de nós no domínio Ω e ( )I j é o contador para o número de funções adicionadas a cada nó de índice j . Assim, escreve-se a família de funções típicas do MEFG para as tensões no domínio:

( ) j j e

N N2N Ω Ω jn ej 1 j 1

S S h : j 1,...,N;n 1,...,I j= =

ℑ = ∪ = = (31)

utilizada para construir a seguinte aproximação:

e

j j

nN

Ω Ω ji jij 1 i 1

σ S s h b= =

⎧ ⎫= +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑ (32)

onde jΩS são as aproximações das tensões atreladas ao nó j ,

jΩs são os graus de liberdade de

tensões associadas às funções de forma originais e jib são os novos parâmetros nodais correspondentes a cada uma das parcelas de enriquecimento.

No que diz respeito ao enriquecimento dos campos de deslocamentos no domínio e contorno, aplica-se um procedimento análogo ao enriquecimento das tensões no domínio.

Assim, considerando especificamente o elemento quadrilateral de quatro nós, as matrizes de aproximação das tensões e deslocamentos no domínio são representadas, respectivamente, da seguinte forma:

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3 4 4S φ Δ φ Δ φ Δ φ Δ= (33)

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3 4 4U φ Δ φ Δ φ Δ φ Δ= (34)

onde jφ , j 1,...,4= são as funções bilineares Lagrangianas clássicas atrelada ao nó j de domínio. A

matriz de interpolação dos deslocamentos no contorno tΓ e iΓ é dada por:

i t 1 2Γ Γ 1 Γ 2 ΓU ou U ψ Δ ψ Δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (35)



138

onde Γj Γψ , j 1,2= são as funções lineares Lagrangianas clássicas atrelada ao nó Γj da malha de

contorno.

Nas Eq.(33) a (35), jΔ e jΓΓ

Δ são as matrizes de enriquecimento polinomial atreladas,

respectivamente, ao nó de domínio j e ao nó de contorno Γj .

Considere-se agora que as matrizes de enriquecimento polinomial sejam dadas por:

ej 3 11 3 jk 3 jn 3Δ I h I h I h I⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K (36)

quando do enriquecimento do campo de tensões no domínio;

ej 2 11 2 jk 2 jn 2Δ I h I h I h I⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K (37)

quando do enriquecimento do campo de deslocamentos no domínio; e

j Γ Γ eΓ ΓΓ 2 11 2 j k 2 j n 2Δ I h I h I h I⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K (38)

quando do enriquecimento do campo de deslocamentos no contorno.

Nas Eq.(36) a (38), 2I e 3I são as matrizes identidades de segunda e terceira ordem respectivamente, uma vez que em cada nó são definidos três graus de liberdade de tensão no domínio e dois de deslocamentos de domínio e contorno.

Claramente, se as funções ejnh e

eΓjnh são nulas, preserva-se, com as matrizes 2I e 3I , a

estrutura convencional do MEF.

Formas habituais para as funções bolhas ejnh e

eΓjnh (expressas em coordenadas naturais)

são: • x

( ) ( )ejn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ x φ x φ x φ x x= + + + − (39)

• y

( ) ( )ejn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ y φ y φ y φ y y= + + + − (40)

• xy

( ) ( ) ( )ejn 1 1 2 2 3 3 4 4 j 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ x φ x φ x φ x x φ y φ y φ y φ y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (41)

• 2x

( ) ( )e

2

jn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ x φ x φ x φ x x⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ (42)

• 2y



139

( ) ( )e

2

jn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ y φ y φ y φ y y⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ (43)

• x

( ) ( )e ΓΓ

jn 1 1 2 2 jh ξ,η ψ x ψ x x= + − (44)

• y

( ) ( )

e ΓΓjn 1 1 2 2 jh ξ,η ψ y ψ y y= + − (45)

Considerando agora o elemento triangular de três nós, as matrizes que guardam as

aproximações dos campos da FHMT podem ser escritas da seguinte forma:

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3S ξ Δ ξ Δ ξ Δ= (46)

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3U ξ Δ ξ Δ ξ Δ= (47)

i t 1 2Γ Γ 1 Γ 2 ΓU ou U ψ Δ ψ Δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (48)

onde Γj Γξ , j 1,...,3= e

Γj Γψ , j 1,2= são as funções lineares atreladas, respectivamente, ao nó j da

malha de domínio e ao nó Γj da malha de contorno.

Como já pontuado, as aproximações do campo de tensões para a FHT devem ser auto-equilibradas. No trabalho são utilizadas funções polinomiais para aproximação dos campos de tensões nos elementos planos quadrilaterais e triangulares que compõem as nuvens de domínio.

Para garantir que o conjunto de funções polinomiais empregadas são auto-equilibradas, foram adotadas convenientes funções de Airy ( )( )A x,y . Dessa forma, podem-se definir vários níveis de

aproximações das tensões eΩ

S nos elementos triangulares e quadrilaterais, como por exemplo:

Aproximação constante no elemento

eΩ

1 0 0S 0 1 0

0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(49)

Aproximação linear no elemento

eΩ

1 0 0 y x 0 0S 0 1 0 0 0 y x

0 0 1 0 y x 0=

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

M

M

(50)

Aproximação quadrática no elemento

e

2 2

2 2Ω

2 2

1 0 0 y x 0 0 y 2xy x 0 0S 0 1 0 0 0 y x 0 0 y 2xy x

0 0 1 0 y x 0 0 y 2xy x 0=

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

M M

M M

M M

(51)



140

A matriz de interpolação do campo de deslocamentos no contorno dos elementos (eΓt

tΓ ou eΓiiΓ )

é dada por:

[ ]1 2 2 2ψ I ψ I (52)

onde γψ , γ 1,2= são Partições da Unidade (PU) lineares apresentadas nas Eq.(27) a (30) e 2I é a matriz de identidade de segunda ordem, uma vez que em cada nó definem-se dois graus de liberdade de deslocamento.

Diferentemente das funções aproximativas para o campo de deslocamentos no contorno que estão atreladas a nós, as aproximações das tensões na FHT não estão atrelados a pontos nodais. Então, como aplicar a técnica de enriquecimento nodal às aproximações do campo de tensão, se elas não são interpoladas nodalmente?

Seja a função de Airy dada por:

3A g h= (53)

onde ( )g x,y tem suporte compacto dado pela malha de elementos finitos da malha de cobertura e h é uma função enriquecedora polinomial ou não. Assim:

22 2 22 3

x 2 2 2A g g g h hσ 3gh 2 g 6g g

y y y y y y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(54)

22 2 22 3

y 2 2 2A g g g h hσ 3gh 2 g 6g g

x x x x x x⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(55)

2 2 22 3

xyA g g g g h g h hτ 3gh 2 g 3g g

x y x y x y x y y x x y⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − = − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (56)

Como no trabalho as força volúmicas foram consideradas nulas, logo

3 3xyx

2 2

3 3xy y

2 2

τσ A Ax y x y x y 0τ σ 0A A

x y x yx y

∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦− ++⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(57)

Assim, os diferentes níveis de aproximações do campo de tensões nos elementos finitos

eΩS dadas pelas Eq.(49) a (51) podem ser ampliadas da seguinte forma:

e eΩ Ω 1 2 3 4S S Σ Σ Σ Σ∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , para o elemento quadrilateral (58)

ou

e eΩ Ω 1 2 3S S Σ Σ Σ∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , para o elemento triangular (59)

onde eΩ

S∗ é a matriz de interpolação das tensões enriquecidas e



141

( )

( )

2 2 22 3α α α α α

α α α α α2 2

2 2 22 3α α α α α

α α α α α α2 2α 1,...,4

ouα 1,...,3 2

2α α α α αα α α α

g g g h h3g h 2 g 6g gy y y y y

g g g h hΣ 3g h 2 g 6g gx x x x x

g g g g h3g h 2 g 3gx y x y x

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

23α α α

αg h hg

y y x x y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(60)

reúne as interpolações de suporte compacto com x,y centrados nos nós α ( ( )α 1,...4= - para o

elemento quadrilateral e ( )α 1,...3= - para o elemento triangular) da malha de elementos finitos

triangulares ou quadrilaterais. Nota-se que eΩ

S∗ também é auto-equilibrada.

4 ESTUDO DAS CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DA FHT E FHMT COM ENRIQUECIMENTO NODAL

Neste item a ênfase é inicialmente dada à solvabilidade dos sistemas de equações lineares, representados nas Eq.(11) e (19), como condição necessária para a convergência de soluções da FHT e FHMT com enriquecimento nodal. Essencialmente, adapta-se a técnica definida no trabalho de Zienkiewicz et al. (1986) que propõe condição algébrica simples para garantir a solvibilidade dos sistemas de equações de formulações mistas convencionais. Em seguida, um estudo numérico é proposto para avaliação da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup), que se caracteriza como condição suficiente para a convergência de soluções numéricas.

4.1 O ‘Teste por Inspeção’ aplicado à FHMT e FHT com enriquecimento nodal

Para aplicar os conceitos fundamentais do trabalho de Zienkiewicz et al. (1986) à FHT e FHMT sem enriquecimento nodal, considere-se o sistema de equações dado pelas Eq.(11) - FHMT e (19) - FHT. Assim, definem-se as seguintes condições algébricas necessárias para existência de uma solução numérica.

Ω Ωs q≥ (61)

tΩ Γs q≥ ou iΩ Γs q≥ (62)

As Eq.(61) e (62) são aplicadas a FHMT e para a FHT só a Eq.(62) faz sentido. Quando se considera o enriquecimento dos campos de tensão e deslocamento no domínio e

contorno do elemento, respectivamente, o ‘Teste por Inspeção’ é ampliado pela inclusão dos novos parâmetros de tensões no domínio jib (FHMT) e jb (FHT), deslocamentos no domínio jic (FHMT) e

deslocamentos no contorno jid (FHMT) e jld (FHT).

Assim as Eq.(61) e (62) passam a ser escritas da seguinte forma:

Ω ij Ω jis b q c+ ≥ + , para a FHMT (63)

tΩ ij Γ jis b q d+ ≥ + ou iΩ ij Γ jis b q d+ ≥ + , para a FHMT (64)

tΩ j Γ jls b q d+ ≥ + ou iΩ j Γ jls b q d+ ≥ + , para a FHT (65)



142

Deste modo, escolhidas as discretizações do problema, investigam-se as condições dadas nas Eq.(63) a (65) para essas malhas de elementos finitos. Vale ressaltar que esse teste é uma condição necessária, mas não suficiente para garantia da solvibilidade das Eq.(11) e (19). A condição suficiente para solvibilidade do sistema discreto da FHT e FHMT com enriquecimento é observada pela análise do significado físico dos autovalores da matriz dos coeficientes das Eq.(11) e (19).

4.2 Estudo da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) aplicada à FHT e FHMT

A condição de Babuška-Brezzi ou inf-sup, Babuška (1971, 1973) e Brezzi (1974), é condição necessária e suficiente para garantir convergência de aproximações numéricas, obtida com o MEF, de toda uma classe de problemas caracterizada por certo operador linear. Baseado em Babuška (1996) and Chapelle e Bathe (1993), desenvolve-se uma avaliação numérica desta condição aplicada a FHT e FHMT com enriquecimento nodal.

A condição de Babuška-Brezzi (inf-sup)

Seja um problema variacional geral caracterizado por uma forma bilinear ( )B φ,ψ definida em W W× , onde W é um espaço de Hilbert (um espaço vetorial, munido de um produto interno, e completo em relação à norma definida com esse produto interno, Bathe (1996), Schwab (1998) e Brezzi e Fortin (1991)).

O primeiro argumento da forma bilinear ( )B ,⋅ ⋅ é denominado função admissível ou solução e o segundo função peso ou teste.

Além disso, admita-se que para a classe de problemas a ser considerada, defina-se o espaço de Hilbert como:

( ) ( )2 2u

j

uW u u L Ω ; L Ω , j 1,2,3;u 0 em Γx

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= ∈ ∈ = =⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭ (66)

onde ( )2L Ω é o espaço das funções quadrado integráveis no domínio Ω do corpo considerado e se

assume que a condição de contorno de Dirichlet é zero em uΓ . Formalmente, representa-se o espaço

( )2L Ω como:

( ) ( )2

22 2L Ω

Ω

L Ω w w é definido em Ω e w dΩ w⎧ ⎫

= = < +∞⎨ ⎬⎩ ⎭

∫ (67)

Isto posto, dado um funcional linear contínuo ( )F ψ : W → , um problema de valor de contorno pode ser representado na seguinte forma:

Determinar φ W∈ tal que

( ) ( )B φ,ψ F ψ= ∀ ψ W∈ (68)

Admitindo-se que a abordagem adotada para gerar uma aproximação para a forma bilinear seja tipo Galerkin, então o espaço das funções admissíveis é igual ao espaço das funções peso. Além disso, o emprego do método dos elementos finitos para a geração das aproximações acaba por atribuir uma dimensão finita ao espaço solução.

Assim sendo, pode-se introduzir o subespaço de W , de dimensão finita, como:



143

( ) ( ) ( )( )m2 2nn n n n n n u

j

uW u u L Ω ; L Ω , j 1,2,3;u Q Ω ;u 0 em Γx

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= ∈ ∈ = ∈ =⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭ (69)

onde ( )( )mnQ Ω indica o caráter polinomial de grau “n ” da aproximação global un quando restrita ao

elemento m do domínio discretizado. Nessas condições, tem-se que a solução por Elementos Finitos da Eq. (68) é obtida resolvendo-se o seguinte problema:

Encontrar n nφ W∈ tal que

( ) ( )n n nB φ ,ψ F ψ= ∀ n nψ W∈ (70)

Para medir a qualidade da aproximação por Elementos Finitos, no sentido de erro em relação à solução exata, é necessário introduzir normas, representadas por:

S⋅ e

T⋅ nos espaços das

funções admissíveis e teste, respectivamente. Assim, como o auxílio das normas no espaço das funções admissíveis podem ser introduzidas as seguintes relações:

( )n Sφ φ− (71)

e

( )n n

n Sη Winf φ η∈

− , com n nη W∈ (72)

A norma representada pela Eq.(71) mede o erro entre a solução exata φ e uma solução aproximada nφ . Tal norma pode ser empregada como uma medida de convergência de uma

seqüência de soluções se: n Sφ φ 0 p / n− → →∞ .

Já a norma da Eq.(72) mede o menor erro possível entre todas as possíveis aproximações nη do espaço discretizado nW . Um aspecto importante que se pode demonstrar é que a solução por Elementos Finitos é aquela que apresenta o menor erro de aproximação. Assim sendo, uma vez adotado o MEF, a convergência passa a depender da ordem do espaço de aproximação adotado e da própria solução exata, isto é:

( )h h

nh Sη W

inf φ η Φ φ 0 para n∈

− = → →∞ (73)

Ao se aplicar uma alternativa numérica como o MEF a expectativa é que a metodologia de geração de aproximações produza soluções convergentes não somente em relação à certa solução exata, mas para todo conjunto de soluções exatas de uma classe de problemas. Assim sendo, a análise de convergência deve assumir um sentido mais amplo, passando a depender da capacidade de aproximação do espaço de funções escolhido e, também, da densidade da forma bilinear que rege a classe de problemas. Nesse sentido, Bathe (1996), Brezzi e Bathe (1990) e Brezzi e Fortin (1991), levam em conta a forma bilinear na definição da norma e demonstram a seguinte expressão que relaciona as medidas de convergência (71) e (72) mencionadas, envolvendo uma constante relacionada à classe de problemas:

n n

mn nS Sη W

kφ φ 1 inf φ ηλ ∈

⎛ ⎞− ≤ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(74)

onde mk vem da condição de continuidade da forma bilinear, que pode ser expressa por:



144

( ) m S TB η,ψ k η ψ≤ ∀ η,ψ W∈ (75)

Aliás, um requisito mínimo sobre ( )B η,ψ e F(ψ) , para que a Eq.(70) tenha sentido, é a sua continuidade.

Ainda na Eq.(74), a constante λ é obtida da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup), e se apresentar um valor positivo aponta para a densidade da forma bilinear. Para espaços de dimensão finita a condição inf-sup passa a ser definida por:

( )h h h h

h h

η W ψ W h hS T

B η ,ψinf sup λ 0

η ψ∈ ∈= > (76)

Claramente o valor de λ está associado à forma bilinear que rege a classe de problemas. Pode-se mostrar, ainda, que as Eq.(75) (continuidade) e Eq.(76) (condição inf-sup) implicam

na Eq.(74). Assim, se a Eq.(76) é atendida, conclui-se pela Eq.(74) que as soluções por elementos finitos apresentam-se convergentes pra toda solução exata da classe de problemas governada pela forma bilinear.

Ao contrário, se λ 0+→ a análise da Eq.(74) mostra que haverá convergência somente para

soluções em relação às quais ( )nΦ φ tenda a zero mais rapidamente do que o multiplicador mk1λ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

tender ao infinito. Isto não é sempre garantido, podendo haver ao menos uma solução φda classe de problemas para a qual essa situação se inverta e a solução por elementos finitos não apresente convergência.

Em termos do emprego prático das condições anteriores, numa primeira situação se a condição de Babuška-Brezzi indicar ( λ 0> ) para certa solução aproximada de um dado problema então a eq.(74) fornece uma medida do erro de aproximação. Numa segunda etapa a constatação de λ 0→ para sucessivas aproximações mais refinadas indica que pode haver problemas de convergência em relação à solução exata daquele problema.

Numa situação mais geral, pode-se, em última análise, comprovar, ou não, a robustez de determinado elemento finito, avaliando pela eq.(76) a evolução das constantes de estabilidade para as seqüências de soluções, de todos os problemas de uma classe, obtidas por discretizações realizadas com aquele elemento. Esta situação é, porém, impraticável, podendo ser conduzida parcialmente em termos operacionais, mas ainda assim em grau suficiente para oferecer um indicativo de robustez, conforme se mostra no capítulo de aplicações.

4.2.2 Determinação numérica de λ Babuška (1996) apresenta um desenvolvimento matemático provando que a determinação

numérica de λ corresponde à raiz quadrada do menor autovalor positivo do seguinte problema de autovalor:

T 1B T Bη μSη− = (77)

Na Eq.(77) S e T são matrizes simétricas positivo-definidas obtidas das normas

( )2 Tn Sη η Sη= e ( )2 T

n Tψ ψ Tψ= e a matriz B pode ser obtida da parte bilinear da Eq.(70), escrita da

seguinte forma:

( ) Tn nB η ,ψ ψ Bη= (78)

onde η e ψ são vetores que reúnem os valores nodais de nη e nψ .



145

4.2.3 O teste numérico da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) aplicado à FHMT e FHT com enriquecimento nodal

Sejam as equações que governam a FHMT escritas da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )t i

t i u

T T T T TΓ ΓΩ Ω Γ Γ Γ

δσ fσdΩ u Lδσ dΩ u Nδσ dΓ u Nδσ dΓ u Nδσ dΓ+ − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (79)

( )T T

Ω Ωδu Lσ dΩ δu bdΩ= −∫ ∫ (80)

( )t t

t t

T TΓ ΓΓ Γ

δu Nσ dΓ δu tdΓ=∫ ∫ (81)

( ) ( )i i

i i

T TΓ ΓΓ Γ

δu N σ dΓ δu Nσ dΓ 0+ + =∫ ∫ (82)

Baseado em Schwab (1998), para a FHMT, pode-se definir para as Eq.(79) a Eq.(82) uma forma bilinear B(.,.) e um funcional linear F(.) , como segue abaixo:

( ) ( )t

t

T T TΓΩ Ω Γ

B(η,ψ) δσ fσdΩ u Lδσ dΩ u Nδσ dΓ= + − +∫ ∫ ∫ L

( ) ( ) ( )t i

t i

T T TΓ ΓΩ Γ Γ

δu Lσ dΩ δu Nσ dΓ u Nδσ dΓ+ + − +∫ ∫ ∫L L (83)

( ) ( )i i

i i

T TΓ ΓΓ Γ

δu N σ dΓ δu Nσ dΓ++ +∫ ∫L

( ) ( )t

u t

T T TΓΓ Ω Γ

F ψ u Nδσ dΓ δu bdΩ δu tdΓ= − +∫ ∫ ∫ (84)

onde ( )t iΓ Γη σ,u,u ,u= e ( )t iΓ Γψ δσ,δu,δu ,δu= são definidos em de S × T com:

( ) ( ) ( ) t i t i

2 2Γ Γ Γ ΓS σ,u,u ,u :σ,u L Ω ;u ,u L Γ= ∈ ∈ (85)

( ) ( ) ( ) t i t i

2 2Γ Γ Γ ΓT δσ,δu,δu ,δu : δσ,δu L Ω ;δu ,δu L Γ= ∈ ∈ (86)

Pode-se, ainda, definir as seguintes normas:

( )t i t it i

22 2 2 2 2Γ Γ Γ ΓS Ω Ω Γ ΓS

η σ,u,u ,u σ dΩ u dΩ u dΓ u dΓ= = + + +∫ ∫ ∫ ∫ (87)

( )t i t it i

22 2 2 2 2Γ Γ Γ ΓS Ω Ω Γ ΓT

ψ δσ,δu,δu ,δu δσ dΩ δu dΩ δu dΓ δu dΓ= = + + +∫ ∫ ∫ ∫ (88)

Para aplicação do “teste inf-sup” a certa malha de cobertura com elementos finitos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós da FHMT com enriquecimento é preciso determinar todas as matrizes envolvidas na Eq.(77). Para isso, consideram-se as mesmas bases aproximativas para os campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno, apresentadas no capítulo 3.

A matriz de coeficientes da Eq.(11) é a matriz B da Eq.(77). As matrizes S e T são obtidas com auxílio das normas dadas nas Eq.(87) e (88). Assim, estão definidos todos os parâmetros da Eq.(77) necessários para o cálculo de nλ . Agora, para a determinação de S= T e B dentro das várias



146

condições de enriquecimento basta ampliar da forma desejada as bases aproximativas iniciais dos campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno.

Como a aplicação da condição inf-sup para avaliar a robustez dos elementos é impraticável, opta-se por verificar a estabilidade das soluções obtidas em cada um dos diferentes problemas, de uma mesma classe, abordados no capítulo de exemplos; nesse sentido, realiza-se uma espécie de “teste inf-sup”. Para tanto, a metodologia adotada é similar à sugerida no trabalho de Chapelle e Bathe (1993), isto é: em problema da FHMT com enriquecimento nodal será considerada uma seqüência de malhas com elementos quadrilaterais e triangulares. Para cada malha o valor de n minλ μ= será

calculado. Se os minμ não tenderem a zero, o elemento quadrilateral e triangular da FHMT com enriquecimento nodal será considerado estável.

A estabilidade em todos os problemas testados, se constatada pode ser interpretada como um bom indicativo da robustez dos elementos.

Para aplicar o “teste inf-sup” à FHT segue a mesma metodologia descrita anteriormente para a FHMT, com a consideração dada pela Eq.(18).

5 O TESTE “INF-SUP” APLICADO À FHT/FHMT COM ENRIQUECIMENTO NODAL: RESULTADOS NUMÉRICOS

5.1 Introdução

A aplicação do teste “inf-sup” exige a consideração de variações sobre as condições de contorno e seqüência de malhas utilizadas na discretização de uma classe de problemas. Isto implica que se os elementos finitos quadrilaterais e triangulares da FHT/FHMT com enriquecimento nodal satisfaz o teste “inf-sup” para certo conjunto de malhas, não é possível garantir que esses mesmos elementos finitos satisfaçam aquela condição para qualquer problema da classe discretizado com outras seqüências de malhas.

O teste “inf-sup” é, portanto, de difícil aplicação. No entanto, entende-se que é possível aplicá-lo para obter indicativos de desempenho dos elementos da FHT/FHMT avaliados aqui nesta pesquisa, considerando-se um número limitado de testes.

Por isso, para a análise da estabilidade do elemento quadrilateral e triangular da FHT/FHMT com o teste “inf-sup”, selecionaram-se dois casos:

O primeiro é uma chapa quadrada com a borda vertical esquerda engastada ( )x yu 0,u 0= = e

bordas horizontais com deslocamentos verticais nulos ( )yu 0= , ver Figura 4.

Figura 4 – Chapa tracionada.



147

O segundo modelo é uma chapa retangular com fenda central, como mostra a Figura 5. Devido à dupla simetria do problema, para efeitos do estudo do ‘Teste por Inspeção’, será analisado apenas ( )1

4 desta chapa (Figura 6).

Figura 5 – Chapa tracionada com fenda central.

Figura 6 – Simetria da chapa tracionada com fenda central.

Nos dois exemplos propostos, adota-se E 1000= para o módulo de Young, ν 0,3= para o coeficiente de Poisson e ainda regime de comportamento elástico-linear. Ambas as chapas são tracionadas por p 10= unidades de força distribuída por unidade de comprimento. Vale lembrar que para o teste “inf-sup” a carga p não tem influência alguma.

Figura 7 – Malhas quadrilaterais regulares – chapa tracionada.



148

Figura 8 – Malhas triangulares regulares – chapa tracionada.

Chapelle e Bathe (1993) sugerem que um elemento seja avaliado com o teste “inf-sup” utilizando-se malhas com refinamentos sucessivos. Ao menos três refinamentos são recomendados para prever se nλ será limitado inferiormente por uma constante positiva. Seguindo as recomendações daquele trabalho, para aplicação do teste “inf-sup” na FHT/FHMT com enriquecimento nodal considera-se em cada um dos problemas uma seqüência de malhas de elementos quadrilaterais e triangulares.

As malhas apresentadas nas Figuras 7 e 8 ( 1 1× , 2 2× , 4 4× , 8 8× e 16 16× ) serão utilizada na avaliação da chapa tracionada. Já para o problema da chapa com fenda adotam-se as malhas das Figuras 9 e 10 ( 3 3× ,6 6× , 12 12× e 24 24× ).

Figura 9 – Malhas quadrilaterais regulares – chapa tracionada com fenda central.

Primeiramente, considerou-se nos dois problemas a situação sem enriquecimento.

Posteriormente, as condições de enriquecimento sobre os campos envolvidos na FHT/FHMT com funções polinomiais foram avaliadas.



149

Figura 10 – Malhas triangulares regulares – chapa tracionada com fenda central.

Para cada uma das malhas regulares apresentadas (com ou sem enriquecimento) as matrizes S T= e B foram montadas e o valor de nλ (inf-sup) calculado. Os resultados obtidos estão aqui

plotados na forma de gráficos ( )log 1 N × ( )nlog λ (N é a soma do número total de parâmetros de

tensão e de graus de liberdade em deslocamentos). Se a curva ( )log 1 N × ( )nlog λ converge

assimptoticamente para um determinado valor nλ 0> , conclui-se que os elementos quadrilaterais e triangulares da FHT/FHMT satisfazem o teste “inf-sup”, indicando para a convergência da solução. Vale ressaltar que todas as combinações de enriquecimento utilizadas no teste “inf-sup” satisfazem as Eq.(63) a (65).

5.2 Chapa tracionada

Os resultados do teste “inf-sup” para o conjunto de malhas regulares quadrilaterais da FHT/FHMT sem enriquecimento, utilizadas na discretização deste problema, são apresentados nas Figuras 11 e 12.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00

-2,95-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem Enriquecimento

Figura 11 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT sem enriquecimento.



150

Na Figura 11, verifica-se que o elemento quadrático da FHT sem enriquecimento (em todos os níveis da aproximação das tensões no domínio) satisfaz o teste “inf-sup” com nλ 0> . Com o elemento quadrilateral da FHMT, igualmente ao da FHT, consegue-se claramente nλ 0> , ver Figura 12.

O elemento quadrilateral da FHT enriquecido, nos três níveis de aproximação do campo de tensão, satisfez o teste “inf-sup” para o problema da chapa tracionada, pois todas as curvas apresentam tendência de convergência para um nλ 0> , ver Figura 13. Ressalta-se que para este problema, os enriquecimentos foram realizados na totalidade dos nós de domínio e em todos os nós de contorno que não possuam condição de contorno essencial prescrita.

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHMT-Sem Enriquecimento

Figura 12 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT sem enriquecimento.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00

-2,95-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 13 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT com enriquecimento.

Com a seleção de algumas combinações de enriquecimento aplicada ao elemento quadrilateral da FHMT, manteve-se a tendência de nλ 0> apresentada por este mesmo elemento sem enriquecimento, como mostra a Figura 14.



151

-3,18

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHMT-Sem EnriquecimentoFHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 14 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT com enriquecimento.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00

-2,95-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 15 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT sem enriquecimento.

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 16 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT sem enriquecimento.



152

A Figura 15 mostra que, mesmo sem enriquecimento algum sobre as bases aproximativas do elemento triangular da FHT, é possível convergir nλ 0> para uma constante positiva.

Com o elemento triangular da FHMT sem enriquecimento também foi possível obter nλ 0> , como destaca a Figura 16.

O enriquecimento polinomial exclusivo sobre os deslocamentos no contorno ou simultâneo sobre as tensões no domínio e deslocamentos no contorno do elemento quadrilateral da FHT conduziu a resultados satisfatórios, nλ 0> , nos casos da aproximação constante, linear e quadrática do campo de tensão, ver Figura 17.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 17 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT com enriquecimento.

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)


FHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 18 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT com enriquecimento.



153

A Figura 18 destaca que as condições de enriquecimento testadas para ampliar os campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno do elemento triangular da FHMT foram suficientes para alcançar nλ 0> .

5.3 Chapa tracionada com fenda central

Neste exemplo, com relação à análise do teste “inf-sup”, são aplicados enriquecimentos seletivos sobre os campos envolvidos na FHT/FHMT. Os nós escolhidos para o enriquecimento seletivo deste exemplo são os nós sem condição de contorno essencial prescrita em torno da ponta da fenda.

A aproximação constante das tensões no domínio sem enriquecimento gerou resposta nλ 0→ . Nos demais níveis de aproximação do campo de tensão no domínio observaram-se

convergência assintótica do nλ para um valor positivo, ver Figura 19.

-3,2

-3,15

-3,1

-3,05

-3

-2,95-4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 19 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT sem enriquecimento.

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0-4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 20 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT sem enriquecimento.

A Figura 20 indica que o elemento quadrilateral da FHMT sem enriquecimento satisfaz o teste “inf-sup”, pois nλ tende para um valor positivo.



154

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 21 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT sem enriquecimento.

O elemento triangular da FHT (todas as bases aproximativas das tensões no domínio) sem enriquecimento satisfaz o teste “inf-sup” com nλ tendendo para uma constante positiva, como mostra a Figura 21.

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0-4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 22 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT sem enriquecimento.

Com o elemento triangular da FHMT sem enriquecimento claramente se alcança nλ 0> , ver Figura 22.

Como apresenta a Figura 23, para todas as combinações de enriquecimentos testados no elemento triangular da FHMT é possível à convergência para nλ 0> .

O elemento quadrilateral enriquecido da FHMT apresentou o mesmo comportamento do elemento triangular enriquecido da mesma formulação (Figura 23), ou seja, foi possível convergir nλ para uma constante positiva, ver Figura 24.



155

-3,18

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHMT-Sem EnriquecimentoFHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²+x²+y+x+xy) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 23 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT com enriquecimento.

-3,18

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4

log(

inf-

sup)

log(1/N)


FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²+x²+y+x+xy) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 24 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT com enriquecimento.

As Figuras 25 e 26 indicam que os elementos quadrilateral e triangular da FHT enriquecidos foram muito eficientes, pois em todas as possibilidades de enriquecimento testadas, conseguiu-se convergência para nλ 0> .



156

-3,2

-3,15

-3,1

-3,05

-3

-2,95-4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 25 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT com enriquecimento.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocmentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 26 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT com enriquecimento.

6 CONCLUSÕES

Os estudos realizados constituem uma contribuição ao desenvolvimento das formulações não-convencionais em elementos finitos, em particular aquelas fundamentadas em formulações Híbridas (FHT) e Híbrido-Mistas de Tensão (FHMT).

A aplicação do MEFG a FHT/FHMT foi constituído pela utilização de malhas formadas por elementos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós aliada à técnica de enriquecimento nodal. Especificamente para os elementos da FHT, as aproximações dos campos de tensão no domínio são auto-equilibradas e não estão atreladas a nós. Já as aproximações para o deslocamento no contorno são obtidas por interpolação de valores nodais, tanto na FHT como na FHMT. As aproximações dos deslocamentos no domínio (exclusivo da FHMT) também são obtidas por interpolação de valores nodais.



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Uma contribuição original do trabalho foi a inserção de uma estratégia de enriquecimento para as aproximações das tensões no domínio atreladas a malhas formadas da FHT. A metodologia de enriquecimento proposta possibilita a ampliação das aproximações do campo de tensão da FHT tendo por referência os nós da malha, já que originalmente estas não são atreladas a nós.

Todas as bases aproximativas envolvidas nas FHT/FHMT foram ampliadas via enriquecimento nodal por meio de funções polinomiais. A combinação dos elementos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós da FHT/FHMT com a técnica de enriquecimento nodal apresentou grande potencial para a solução, com precisão numérica e baixo custo computacional, dos problemas tratados neste trabalho, mesmo sob forte distorção de malha.

Por outro lado, objetivando garantir eficiência no processo de enriquecimento das aproximações dos campos envolvidos na FHT/FHMT, iniciou-se um estudo sobre as condições necessárias e suficientes para convergência de soluções aproximadas obtidas com os métodos propostos.

Primeiramente estas condições foram avaliadas com auxílio do ‘Teste por Inspeção’ consistindo, basicamente, em verificar se o vetor incógnito do sistema de equações lineares satisfaz as Eq.(63) a (65). Observou-se claramente que este teste é somente condição necessária para convergência, mesmo assim, o ‘Teste por Inspeção’ foi de grande valia na escolha de combinações de enriquecimento dos campos envolvidos na FHT/FHMT.

Finalmente, desenvolveu-se um teste numérico, baseado no trabalho de Chapelle e Bathe (1993), para análise da estabilidade do elemento quadrilateral e triangular da FHT/FHMT com enriquecimento nodal. Esse teste é outra contribuição original do trabalho. Desta contribuição original, conclui-se que os elementos quadrilateral e triangular da FHMT com enriquecimento nodal são estáveis. Já para a FHT, somente o elemento quadrilateral com enriquecimento nodal, mostrou-se estável.

7 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro concedido.

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