UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CONSTRUO CIVIL

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

GIOVANE AVANCINI

FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA A

ANLISE ELSTICA LINEAR DE GRELHAS

TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO

CAMPO MOURO

2015

GIOVANE AVANCINI

FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA A ANLISE

ELSTICA LINEAR DE VIGAS DE TIMOSHENKO

Trabalho de Concluso de Curso de graduao,

apresentado disciplina de Trabalho de

Concluso de Curso 2, do Curso superior de

Engenharia Civil do Departamento Acadmico de

Construo Civil da Universidade Tecnolgica

Federal do Paran UTFPR, como requisito

parcial para obteno do ttulo de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Leandro Waidemam

CAMPO MOURO

2015

TERMO DE APROVAO

Trabalho de Concluso de Curso

FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA A ANLISE

ELSTICA LINEAR DE GRELHAS

por

Giovane Avancini

Este Trabalho de Concluso de Curso foi apresentado s 14h40min do dia 27 de Novembro de 2015

como requisito parcial para a obteno do ttulo de ENGENHEIRO CIVIL, pela Universidade

Tecnolgica Federal do Paran. Aps deliberao, a Banca Examinadora considerou o trabalho

aprovado.

Prof. Dr. Ronaldo Rigobello Prof. Me. Jeferson Rafael Bueno

( UTFPR )

( UTFPR )

Prof. Dr. Leandro Waidemam

(UTFPR)

Orientador

Responsvel pelo TCC: Prof. Me. Valdomiro Lubachevski Kurta

Coordenador do Curso de Engenharia Civil:

Prof. Dr. Leandro Waidemam

A Folha de Aprovao assinada encontra-se na Coordenao do Curso.

Ministrio da Educao

Universidade Tecnolgica Federal do Paran

Cmpus Campo Mouro

Diretoria de Graduao e Educao Profissional

Departamento Acadmico de Construo Civil

Coordenao de Engenharia Civil

A meus pais, Carlos e Luciana, e minha

namorada, Priscila, eu dedico este trabalho.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, gostaria de agradecer ao Pai Celestial por sempre se fazer presente

em minha vida, me dando foras para superar os obstculos e criando oportunidades para que

eu pudesse sempre buscar progredir e crescer.

Aos meus pais, Carlos e Luciana, por todo amor e carinho recebido ao longo de toda

minha vida. Obrigado por me colocar acima de todas as coisas, por fazer dos meus estudos

uma prioridade e pelo suporte imensurvel. Sem vocs nada disso seria possvel, e um dia

espero poder retribuir a altura este ato de amor.

Agradeo a minha namorada Priscila por me acompanhar, mesmo que de longe,

durante toda esta etapa da minha vida, por acreditar em mim e por sempre compartilhar dos

mesmos sonhos que eu. De nada valeria tudo isso se eu no tivesse voc ao meu lado. Te amo.

A todos os professores que de certa forma contriburam com o meu aprendizado, em

especial meu orientador Professor Dr. Leandro Waidemam, um dos melhores docentes a

quem eu admiro e me espelho. Obrigado por todo conhecimento compartilhado, pelas

orientaes, correes e amizade.

Agradeo ao meu tutor do grupo PET, Professor Dr. Jorge Lus Nunes de Ges, e sua

esposa Professora Dra. Fabiana Goia Rosa de Oliveira, pela amizade e disposio em me

ajudar durante todo o curso.

A todos meus familiares que compartilham da mesma alegria, e que em breve estaro

comemorando comigo.

Aos muitos amigos que pude ter o prazer de conhecer e de dividir os melhores dias

da minha vida ao longo destes anos. Tambm, aos amigos que me acompanharam durante

meu intercambio na Inglaterra. Sem vocs tudo seria mais difcil.

Por fim, agradeo ao governo do meu pas, que alm de proporcionar um ensino

superior de excelente qualidade, ainda me concedeu a oportunidade nica de aprimorar meus

conhecimentos na Inglaterra atravs do Programa Cincia sem Fronteiras.

RESUMO

AVANCINI, Giovane. Formulao do Mtodo dos Elementos Finitos para a anlise

elstica linear de grelhas. 2015. 91 f. Trabalho de Concluso de Curso (Graduao)

Engenharia Civil, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Campo Mouro, 2015.

Este trabalho teve como objetivo desenvolver e apresentar uma formulao do Mtodo dos

Elementos finitos baseada no princpio da conservao de energia, que possibilite analisar o

comportamento estrutural de grelhas submetidas a diferentes tipos de carregamento, dentro do

regime elstico linear. Com o intuito de obter o sistema de equaes algbricas do problema, a

estrutura foi discretizada utilizando elementos finitos lineares com dois ns, cada um com trs

graus de liberdade, a saber, deslocamento vertical, giro da seo transversal devido toro e

flexo. Foram adotadas funes interpoladoras de terceiro e primeiro grau para aproximar,

respectivamente, os campos de deslocamentos verticais e giros provenientes de toro,

resultando assim na matriz de rigidez elementar em coordenadas locais e globais, que

explcita ao longo deste trabalho. A fim de validar a formulao desenvolvida, foi elaborado

um programa computacional voltado para a comunidade acadmica, capaz de analisar o

comportamento estrutural dos elementos em estudo atravs de simulaes numricas. Por fim,

so apresentados alguns exemplos com o objetivo de comparar os resultados obtidos atravs

do software desenvolvido e aqueles provenientes de outros autores da mesma rea e tambm

de outros programas reconhecidos no mbito da anlise estrutural.

Palavras-chave: Mtodo dos Elementos Finitos. Anlise elstica linear. Grelhas.

ABSTRACT

AVANCINI, Giovane. Finite Element Method formulation for linear elastic analysis of

grids. 2015. 91 p. - Engenharia Civil, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Campo

Mouro, 2015.

This work aimed to develop and present a Finite Element Method equation based on the

principle of conservation of energy, which allows analysing the structural behaviour of grids

under different types of loads, within the linear elastic range. In order to obtain the algebraic

equations system, the structure was discretized using linear finite elements with two nodes,

which one with three degrees of freedom: vertical displacement, torsional rotation and

flexural rotation of the cross section. Were adopted cubic and linear interpolation functions to

approximate, respectively, the values of vertical displacements and torsional rotations, thus

resulting in the local and global stiffness matrix for a grid element, which is presented through

this work. Aiming to validate the developed equation, a computational program was

elaborated, which is able to analyse the structural behaviour of grid elements through

numerical simulations. Finally, a few examples are presented in order to compare the

outcomes obtained through the developed software and those provided by other authors of the

same field and from other recognized programs regarding to structural analysis as well.

Key words: Finite Element Method. Linear Elastic Analysis. Grids.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 - GRELHA (CONJUNTO DE VIGAS EM UM MESMO PLANO) .................... 18

FIGURA 2 - SISTEMA ESTRUTURAL COM VIGAS INDEPENDENTES ........................ 19

FIGURA 3 - GRELHA ESTRUTURAL .................................................................................. 19

FIGURA 4 - MALHA RETANGULAR .................................................................................. 20

FIGURA 5 - MALHA OBLQUA ........................................................................................... 21

FIGURA 6 - REFINAMENTO DE MALHA .......................................................................... 22

FIGURA 7 - ELEMENTO DE GRELHA ................................................................................ 25

FIGURA 8 - SEO TRANSVERSAL DE UM ELEMENTO FLETIDO ............................ 26

FIGURA 9 - DESLOCAMENTOS PERPENDICULARES E GIROS EM COORDENADAS

LOCAIS .................................................................................................................................... 27

FIGURA 10 - DEFORMAO POR CISALHAMENTO EM ELEMENTOS SUBMETIDOS

A TORO .............................................................................................................................. 30

FIGURA 11 - GIROS NODAIS EM COORDENADAS LOCAIS ......................................... 31

FIGURA 12 - ESFOROS EQUIVALENTES PARA UM ELEMENTO DE GRELHA

SUBMETIDO A CARREGAMENTO DISTRIBUDO .......................................................... 35

FIGURA 13 - ELEMENTO DE GRELHA ORIENTADO ARBITRARIAMENTE NO

PLANO X-Z ............................................................................................................................. 37

FIGURA 14 - ESQUEMA GERAL DE CLCULO ............................................................... 41

FIGURA 15 - GRELHA SUBMETIDA APENAS A UM CARREGAMENTO

CONCENTRADO .................................................................................................................... 49

FIGURA 16 - GRELHA SUBMETIDA A CARREGAMENTOS CONCENTRADOS E

DISTRIBUDOS ...................................................................................................................... 52

FIGURA 17 - GRELHA SUBMETIDA A CARREGAMENTOS DISTRIBUDOS ............. 54

FIGURA 18 - PONTOS ADICIONAIS PARA O DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR 55

FIGURA 19 - LAJE SIMPLESMENTE APOIADA PARA O EXEMPLO 4 ......................... 61

FIGURA 20 - MALHA (1M X 1M) ......................................................................................... 62

FIGURA 21 - MALHA REFINADA (0,5M X 0,5M) ............................................................. 65

FIGURA 22 - MALHA REFINADA (0,25M X 0,25M) ......................................................... 66

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - DESLOCAMENTOS E GIROS NODAIS PARA O EXEMPLO 1 .................. 50

TABELA 2 - ESFOROS INTERNOS: CORTANTE PARA O EXEMPLO 1 ..................... 50

TABELA 3 - ESFOROS INTERNOS: MOMENTOS PARA O EXEMPLO 1 .................... 50

TABELA 4 - DESLOCAMENTOS E GIROS NODAIS SEGUNDO LOGAN (2007) .......... 51

TABELA 5 - ESFOROS INTERNOS SEGUNDO LOGAN (2007) .................................... 51

TABELA 6 - DESLOCAMENTOS E GIROS NODAIS PARA O EXEMPLO 2 .................. 53

TABELA 7 - ESFOROS INTERNOS: CORTANTE PARA O EXEMPLO 2 ..................... 53

TABELA 8 - ESFOROS INTERNOS: MOMENTOS PARA O EXEMPLO 2 .................... 53

LISTA DE GRFICOS

GRFICO 1 - DIAGRAMA DE CORTANTE DA BARRA 1 UTILIZANDO AMBOS

MTODOS DE CLCULO ..................................................................................................... 56

GRFICO 2 - DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DA BARRA 1 UTILIZANDO

AMBOS MTODOS DE CLCULO ..................................................................................... 56

GRFICO 3 - DIAGRAMA DE MOMENTO TOROR DA BARRA 1 UTILIZANDO

AMBOS MTODOS DE CLCULO ..................................................................................... 57

GRFICO 4 - DIAGRAMA DE CORTANTE DA BARRA 2 UTILIZANDO AMBOS

MTODOS DE CLCULO ..................................................................................................... 57

GRFICO 5 - DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DA BARRA 2 UTILIZANDO

AMBOS MTODOS DE CLCULO ..................................................................................... 58

GRFICO 6 - DIAGRAMA DE MOMENTO TOROR DA BARRA 2 UTILIZANDO

AMBOS MTODOS DE CLCULO ..................................................................................... 58

GRFICO 7 - DIAGRAMA DE CORTANTE DA BARRA 3 UTILIZANDO AMBOS

MTODOS DE CLCULO ..................................................................................................... 59

GRFICO 8 - DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DA BARRA 3 UTILIZANDO

AMBOS MTODOS DE CLCULO ..................................................................................... 59

GRFICO 9 - DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR AO LONGO DE CD ..................... 63

GRFICO 10 - CAMPO DE DESLOCAMENTOS VERTICAIS AO LONGO DE AB ....... 64

GRFICO 11 - VERIFICAO DA INFLUNCIA DO REFINAMENTO DA MALHA AO

APROXIMAR A DEFLEXO DE UMA LAJE ATRAVS DE ELEMENTOS DE GRELHA

.................................................................................................................................................. 67

LISTA DE SMBOLOS E SIGLAS

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

eU Energia externa

iU Energia interna

F Fora vertical

* Deslocamento virtual

M Momento

* Giro virtual

Deslocamento

L Comprimento

q(x) Carregamento linear

yv Deflexo do elemento

Tenso normal

Deformao normal

* Variao da deformao normal

Tenso de cisalhamento

* Variao da deformao por cisalhamento

x , z Giros provenientes da toro e flexo.

E Mdulo de elasticidade

y Distancia entre o centro geomtrico da seo at o ponto em anlise

zI Momento de inrcia do eixo de flexo

Funo interpoladora

e

F Vetor de esforos elementar em coordenadas locais

ek

Matriz de rigidez elementar em coordenadas locais

e

Vetor de deslocamentos e giros elementares em coordenadas locais

G Mdulo de elasticidade transversal

Distancia do centro do eixo circular at o ponto considerado

Deformao por cisalhamento

J Momento polar de inrcia

A rea da seo transversal

1q Valor do carregamento distribudo no n inicial do elemento

2q Valor do carregamento distribudo no n final do elemento

f Vetor de esforos equivalente em coordenadas locais

ngulo entre o elemento e o eixo x

T Matriz de transformao de coordenadas locais para globais

e

F Vetor de esforos elementar em coordenadas globais

e

k Matriz de rigidez elementar em coordenadas globais

e

Vetor de deslocamentos e giros nodais em coordenadas globais

k Matriz de rigidez da estrutura em coordenadas globais

F Vetor de esforos da estrutura em coordenadas globais

Vetor de deslocamentos e giros nodais da estrutura em coordenadas locais

SUMRIO

1 INTRODUO ................................................................................................................... 14

1.1 OBJETIVOS ................................................................................................................................... 15

1.1.1 Objetivo Geral .............................................................................................................................. 15

1.1.2 Objetivos Especficos ................................................................................................................... 15

1.2 JUSTIFICATIVA ............................................................................................................................ 15

1.3 APRESENTAO ......................................................................................................................... 16

2 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................................................... 18

2.1 GRELHAS ...................................................................................................................................... 18

2.2 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ...................................................................................... 21

2.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AO ESTUDO DE GRELHAS ............... 23

2.3.1 Parcela do Trabalho Interno oriunda do momento fletor ............................................................. 25

2.3.2 Parcela do Trabalho Interno oriunda da toro ............................................................................ 29

2.3.3 Matriz de Rigidez do Elemento em Coordenadas Locais ............................................................ 33

2.3.4 Vetor de Esforos Equivalentes ................................................................................................... 34

2.3.5 Matriz de Transformao de Coordenadas ................................................................................... 37

3 ASPECTOS COMPUTACIONAIS ................................................................................... 40

3.1 ESQUEMA GERAL DE CLCULO ............................................................................................. 40

3.2 SUB-ROTINAS .............................................................................................................................. 42

3.2.1 Declarao de Variveis ............................................................................................................... 42

3.2.2 Abertura de Arquivos ................................................................................................................... 42

3.2.3 Leitura de Dados .......................................................................................................................... 42

3.2.4 Propriedades Geomtricas ............................................................................................................ 43

3.2.5 Montagem da Matriz .................................................................................................................... 43

3.2.5.1 Matriz de Transformao de Coordenadas ................................................................................ 43

3.2.5.2 Matriz de Rigidez do Elemento em Coordenadas Locais ......................................................... 43

3.2.5.3 Matriz de Rigidez do Elemento em Coordenadas Globais ........................................................ 44

3.2.5.4 Matriz de Rigidez da Estrutura em Coordenadas Globais......................................................... 44

3.2.6 Vetor de Esforos ......................................................................................................................... 45

3.2.7 Condies de Contorno ................................................................................................................ 45

3.2.8 Resoluo de Sistemas ................................................................................................................. 46

3.2.9 Reaes de Apoio ......................................................................................................................... 46

3.2.10 Esforos Internos ........................................................................................................................ 47

3.2.11 Sada de Dados ........................................................................................................................... 47

3.2.12 Fechamento de Arquivos ............................................................................................................ 48

4 RESULTADOS E DISCUSSES ...................................................................................... 49

4.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................... 49

4.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................... 52

4.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................... 54

4.4 EXEMPLO 4 ................................................................................................................................... 60

5 CONSIDERAES FINAIS .............................................................................................. 68

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 70

APNDICE A - CDIGO FONTE DO PROGRAMA COMPUTACIONAL

APRESENTADO .................................................................................................................... 73

APNDICE B - ARQUIVO DE ENTRADA EXEMPLO 1 (COMENTADO) ................. 90

14

1 INTRODUO

A construo civil est presente desde os primrdios da raa humana. Contudo, o

setor se desenvolveu e caminhou de acordo com as necessidades de cada populao ao longo

dos anos. Basicamente, a finalidade de uma construo era apenas de proporcionar abrigo

contra as intempries e proteo contra eventuais ataques. Atualmente, as funes de um

edifcio vo alm das de outrora.

No campo da Engenharia de Estruturas no foi diferente. Para suprir a demanda e o

alto nvel de exigncia, novas tcnicas com o intuito de analisar o comportamento das

estruturas surgiram, possibilitando assim a concepo de sistemas estruturais cada vez mais

complexos, visando sempre problemticas de custo, durabilidade e compatibilidade com o

projeto arquitetnico. Segundo Fontes (2005), a anlise de estruturas compreende a

determinao, atravs de um modelo matemtico, dos esforos solicitantes e dos

deslocamentos.

Esta evoluo se tornou notria com o advento dos computadores no fim do sculo

vinte, trazendo consigo mais rapidez na elaborao e diversas possibilidades. Antes, as

ferramentas de clculo existentes eram insuficientes para que se projetasse uma estrutura

complexa dentro de um prazo relativamente curto, tornando muitas vezes a elaborao de um

sistema estrutural inovador invivel.

Devido praticidade em ser programvel, o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF)

o mtodo numrico mais empregado no mbito da engenharia de estruturas, e sua modelagem

garante solues viveis e precisas para os mais diversos problemas do setor. Sua essncia

consiste em discretizar um elemento contnuo em diversos elementos finitos, interligados

atravs de ns com determinados graus de liberdade.

Uma grande parcela das construes utilizam grelhas como parte de seu sistema

estrutural, que so vigas interligadas em um mesmo plano, formando assim uma malha que

apresenta melhor distribuio de esforos e acrscimo de rigidez ao conjunto estrutural.

Neste contexto, o presente trabalho pretende apresentar e implementar

computacionalmente um cdigo baseado no Mtodo dos Elementos Finitos para a avaliao

elstica linear de grelhas.

15

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo Geral

Desenvolver um cdigo computacional baseado no Mtodo dos Elementos Finitos

capaz de avaliar o comportamento elstico linear de grelhas submetidas a diferentes

carregamentos.

1.1.2 Objetivos Especficos

Abordar terica e numericamente um modelo para a anlise linear de grelhas

tendo como base o mtodo dos elementos finitos;

Elaborar um programa computacional, em linguagem FORTRAN, que

contemple as diversas possibilidades de anlise elstica linear de grelhas;

Analisar o comportamento elstico linear de grelhas, de geometrias variadas e

submetidos a carregamentos diversos.

1.2 JUSTIFICATIVA

A aplicao de mtodos numricos na soluo de problemas ligados a engenharia,

especificamente no que se diz respeito modelagem do comportamento de elementos

deformveis, vista pelos pesquisadores e engenheiros como uma alternativa eficaz e muitas

vezes mais vivel comparada a anlises experimentais ou analticas. Surgido na metade do

sculo XX, o Mtodo dos Elementos Finitos ganhou destaque principalmente pela sua

versatilidade e facilidade em ser programvel, o que contribuiu com um grande avano

tecnolgico e cientfico no mbito da engenharia de estruturas. Estes softwares possibilitaram

a concepo e o projeto de estruturas cada vez mais arrojadas, econmicas e em um prazo

cada vez mais curto.

16

Neste contexto, o presente Trabalho de Concluso de Curso visa contribuir com os

estudos no campo da engenharia estrutural, mais especificamente com a aplicao do Mtodo

dos Elementos Finitos para a avaliao comportamental de slidos deformveis sob a ao de

esforos externos.

Buscando demonstrar a praticidade e eficcia do mtodo em questo, o objeto de

estudo ser a grelha, que possui diversas aplicaes na engenharia civil. Muito usada na

confeco de pisos e coberturas, este sistema estrutural permite criar vigas que alcancem vos

maiores, com sees transversais menores, utilizando do princpio de que os esforos so

distribudos por uma malha de vigas, fazendo com que todos os elementos contribuam na

resistncia do conjunto. Em particular, as grelhas pr-moldadas de concreto armado

constituem uma alternativa econmica e gil, uma vez que eliminam gastos gerados pela

necessidade de se usar formas de madeira e tambm racionaliza o tempo de execuo,

aumentando assim a produtividade. Outra aplicao interessante na utilizao de lajes

nervuradas, onde h uma grande economia de material, visto que o concreto que se localiza

abaixo da linha neutra eliminado, e o comportamento da laje pode ser estimado atravs de

analogia de grelhas, onde as barras da grelha so as prprias nervuras da laje.

Ainda, o estudo do desenvolvimento de uma rotina de clculo computacional, ao

invs de simplesmente aprender como manusear o software, possui a vantagem de

proporcionar ao usurio o verdadeiro entendimento do funcionamento daquilo que se deseja

modelar. Este conhecimento fundamental para que o projetista saiba verificar a

autenticidade dos resultados obtidos e presenciar eventuais erros decorrentes da utilizao do

programa.

Por fim, vale destacar a contribuio acadmica que este projeto proporcionar a

instituio, uma vez que o produto do trabalho ser um programa computacional que estar

disponvel a docentes e discentes da universidade de forma a auxiliar no aprendizado e

compreenso de disciplinas da rea de engenharia de estruturas.

1.3 APRESENTAO

Neste captulo foi apresentado o contedo do trabalho de uma maneira geral, com

uma breve introduo sobre o assunto.

17

No segundo captulo realizada uma reviso bibliogrfica contendo livros e artigos

cientficos de autores que abordam assuntos relacionados com o tema em questo, que foram

essenciais para a execuo deste trabalho. Nesta seo apresentado o desenvolvimento da

matriz de rigidez do elemento, assim como o vetor de esforos equivalentes.

O terceiro captulo aborda todos os aspectos computacionais que foram necessrios

para o desenvolvimento do programa, assim como a descrio detalhada de cada sub-rotina

presente no software elaborado. Este processo exemplificado atravs de um fluxograma

contendo o esquema geral de clculo.

No quarto captulo so apresentados os resultados obtidos atravs de simulaes

numricas realizadas com o software desenvolvido, assim como as comparaes destes

valores com aqueles presentes na literatura e tambm provenientes da anlise realizada com o

auxlio do programa GPLAN.

Por fim, o quinto captulo traz as consideraes finais do trabalho e tambm algumas

sugestes para trabalhos futuros.

18

2 REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 GRELHAS

No campo da Engenharia Estrutural, uma grelha constituda por elementos

estruturais lineares pertencentes a um mesmo plano, que esto sujeitos a esforos no

coplanares, formando assim uma malha de vigas (SALES et al, 2005). De uma forma

simplificada, a Figura 1 exemplifica uma grelha situada no plano (x,z), submetida a

carregamentos perpendiculares ao seu plano.

Figura 1 - Grelha (conjunto de vigas em um mesmo plano)

Fonte: Autoria prpria

De acordo com Engel (1997), este sistema estrutural reticulado denominado grelha

permite que os engenheiros de estruturas concebam e dimensionem vigas capazes de

vencerem vos maiores do que aqueles alcanados por vigas independentes entre si. Este fato

pode ser compreendido atravs da comparao entre uma viga isolada e uma grelha de vigas

ortogonais.

19

Figura 2 - Sistema estrutural com vigas independentes

Fonte: Engel (1997)

A Figura 2 ilustra um sistema estrutural composto por vigas independentes entre si.

Considerando que uma carga pontual seja aplicada no meio do vo da viga da extremidade,

conforme indicado, somente esta viga apresentar deflexo, enquanto que as outras vigas

paralelas no contribuem na resistncia a fora aplicada. Sendo assim, a viga dever ser

dimensionada de forma que resista sozinha ao esforo solicitado de flexo.

Figura 3 - Grelha estrutural

Fonte: Engel (1997)

J na Figura 3, pode-se observar a insero de uma viga transversal perpendicular as

vigas paralelas, formando assim uma grelha. Esta viga faz com que parte do carregamento

20

seja transmitida as vigas indiretamente carregadas, de modo que todas as vigas contribuam na

resistncia ao esforo solicitado, possibilitando assim a utilizao de vigas com menor seo

transversal e maiores vos.

Devido ao fato das interseces serem rgidas, as vigas perpendiculares transversal,

com exceo da viga da extremidade inferior, so torcidas pela ao do momento fletor

presente nas extremidades dos vos da viga transversal. A resistncia toro das vigas

perpendiculares pode ser comparada a uma situao de extremidade fixa, o que resulta em

uma diminuio da flexo na viga transversal. De uma forma simplificada, dado uma viga

qualquer, sua flexo causa o efeito de toro nas vigas concorrentes, sendo elas

perpendiculares ou no.

Isto faz com que as grelhas possuam uma alta aplicabilidade na construo civil,

sendo utilizadas principalmente em pisos e coberturas, como bases para lajes de concreto

armado macio ou pr-moldadas, podendo ser executadas em madeira, ao, concreto armado

ou protendido.

Em relao geometria, podem apresentar diversas formas de acordo com a

necessidade do projeto. Entretanto, comum utilizar malhas retangulares ou obliquas. As

figuras a seguir exemplificam os dois tipos de grelhas.

Figura 4 - Malha retangular Fonte: Adaptado de Engel (1997)

21

Figura 5 - Malha oblqua Fonte: Adaptado de Engel (1997)

Em pavimentos retangulares aonde um vo acentuadamente maior que o outro, as

vigas longitudinais das malhas retangulares apresentam menos eficincia em virtude da

diminuio da rigidez. Com o intuito de distribuir igualmente as cargas nas duas direes, as

vigas mais longas devem ser enrijecidas. J nas malhas oblquas este fenmeno no ocorre,

pois as vigas possuem comprimentos iguais, alm de que as vigas dos cantos possuem um

incremento de rigidez semelhante a um apoio fixo, devido aos vos serem menores nesta

posio. (ENGEL, 1997)

2.2 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) uma tcnica numrica amplamente

difundida no mbito da Engenharia de Estruturas, e utilizada para obter solues

aproximadas para problemas que envolvam condies de contorno, conhecidos como

problemas de campo. Estes problemas consistem em situaes matemticas em que uma ou

mais variveis dependentes devem satisfazer uma equao diferencial parcial em todos os

pontos pertencentes a um domnio previamente conhecido, formado por variveis

independentes, e devem tambm satisfazer condies especficas na fronteira deste domnio

(HUTTON, 2004).

22

Uma variedade de problemas concernentes a Engenharia pode ser descrita atravs de

equaes diferenciais parciais. Devido peculiaridade e complexidade de alguns casos

particulares, uma soluo analtica exata para o problema se torna invivel ou at mesmo

impossvel (LOGAN, 2007). Como forma de preencher esta lacuna, os mtodos numricos se

tornam uma alternativa bastante eficaz. Pereira (2004) relata que o Mtodo dos Elementos

Finitos o mtodo mais empregado por Engenheiros a fim de obter uma soluo aproximada

em ocasies onde uma soluo analtica se torna invivel. Ainda, Soriano (2003) afirma que o

MEF, dentre os outros mtodos numricos como de diferenas finitas e elementos de

contorno, o mtodo mais aplicvel e eficiente em anlise estrutural.

A ideia bsica por de trs deste mtodo a diviso ou discretizao de um corpo em

um nmero finito de partes, chamadas de elementos finitos, que so interligados por ns. Este

conjunto formado pelos elementos finitos d-se o nome de malha, que por sua vez est

diretamente relacionada com a exatido da soluo (FISH, 2007). Aumentando o nmero de

elementos de uma malha, a convergncia da soluo tambm aumenta. Este procedimento

conhecido como refinamento da malha, e ao passo que o nmero de divises tende a infinito,

a soluo do sistema de equaes diferenciais parciais converge para o valor exato

(HUTTON, 2004).

Figura 6 - Refinamento de malha

Fonte: Hutton (2004)

Segundo Assan (2003), a ideia de que todas as coisas eram compostas por inmeras

partculas menores j era utilizada por filsofos gregos h mais de dois mil anos. Eudxio

utilizou-se do pensamento de discretizar figuras contnuas para criar o mtodo da exausto,

que consiste em aproximar o valor da rea de figuras circulares atravs da inscrio e

circunscrio de figuras retilneas previamente conhecidas. Porm, a formulao do MEF s

foi desenvolvida em meados dos anos 50, quando Argyris e Kelsey, em 1955 e Turner,

Clough, Martin e Topp, em 1956, publicaram um dos primeiros artigos a respeito do tema,

analisando distribuies de tenso em chapas de asa de avio. Aps este fato, o estudo a cerca

23

do MEF se desenvolveu na dcada de 60, e devido a sua grande aplicabilidade a modelagem

computacional, se tornou comum anlise de estruturas de geometria arbitrria, constituda

por mltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento (AZEVEDO, 2003).

De acordo com Martha (2007), modelagem computacional simplesmente a criao

do modelo estrutural utilizando um software, cuja funo fornecer os deslocamentos,

deformaes, esforos externos e internos atravs de um mtodo numrico como o MEF. Com

o notvel aumento do uso de computadores na dcada de 90, diversos softwares com esta

finalidade foram programados, e hoje esto disponveis para as mais diversas anlises.

No mbito da Engenharia de Estruturas, diversos programas computacionais

baseados no MEF podem ser citados, dentre eles: ANSYS, SAP2000, AUTODESK ROBOT,

ABAQUS, STRAP, TQS entre outros. Com isto em mente, Azevedo (2003) alerta para as

consequncias do uso indiscriminado destes softwares e da importncia da compreenso e

entendimento do Mtodo para uma correta interpretao dos resultados obtidos.

Para que possa dar resposta em tempo til necessidade de justificao da segurana

de uma estrutura, um projetista que no conhea as tcnicas correspondentes

formulao do MEF ser tentado pela simples utilizao de um qualquer software de

clculo. Uma vez que no tem acesso aos modelos que esto programados, nem tem

bases para a sua compreenso, proceder utilizao do software de acordo com o

treino que recebeu ou com base em sucessivas improvisaes. A tentao para

aceitar os resultados provenientes do programa grande, quaisquer que sejam esses

resultados, uma vez que considera que o software escolhido tem elevada qualidade.

Os potenciais perigos de uma utilizao nestas condies so a no percepo de

eventuais erros na introduo dos dados, a ausncia de correspondncia entre o

modelo selecionado e a estrutura que est a ser analisada, o fato de serem

desprezadas importantes condicionantes, etc. Na ausncia de uma comparao dos

resultados provenientes do MEF com os oriundos de outros modelos, existe o srio

risco de a segurana de uma estrutura ser justificada com base em clculos

completamente inadequados (AZEVEDO, 2003, p. iii).

2.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AO ESTUDO DE GRELHAS

A fim de determinar o equilbrio de um elemento estrutural ou de uma estrutura

deformvel, diversos mtodos podem ser empregados. Nesta seo, a formulao matemtica

foi desenvolvida utilizando o Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Este princpio baseia-se

na lei da conservao da energia, a qual afirma que um corpo deformvel ao ser submetido

ao de cargas externas aplicadas gradualmente, tende a se deslocar, realizando assim

Trabalho externo eU . Este trabalho externo realizado pelas cargas armazena-se no corpo

24

como forma de energia de deformao, assim, transformando-se em trabalho interno iU

(HIBBELER, 2004).

Esta relao expressa matematicamente como:

* *e iU U (1)

Sendo,

*

eU : Trabalho externo virtual

*

iU : Trabalho interno virtual

Ambos os trabalhos externo e interno esto relacionados com deslocamentos e

deformaes virtuais de acordo com as seguintes equaes:

L

* * **

e0

U F. M. q(x (x) dx). (2)

* *

V V

*

i . dV+ .U dV (3)

A parcela de trabalho interno proveniente das tenses normais pode ocorrer devido a

esforos normais e de flexo, enquanto que a parcela oriunda das tenses cisalhantes

resultante dos esforos de fora cortante e toro. Neste caso, a parcela de trabalho

proveniente de esforos normais ser nula, uma vez que o elemento estrutural em estudo no

submetido a cargas axiais.

Ainda, segundo Beer e Johnston (1996) a parcela de energia de deformao referente

aos esforos cortantes em elementos cuja relao h L menor que 1/10, a porcentagem de

erro inferior a 0,9%, ou seja, insignificante comparada aos efeitos dos outros esforos,

podendo assim ser ignorada.

Logo, para facilitar o entendimento das formulaes, o trabalho interno ser dividido

em duas parcelas: uma proveniente do momento fletor e outra referente toro. A Figura 5

representa os esforos que atuam em um elemento de grelha e seus respectivos deslocamentos

e giros.

25

Figura 7 - Elemento de Grelha

Fonte: Adaptado de Logan (2007)

2.3.1 Parcela do Trabalho Interno oriunda do momento fletor

Considerando-se apenas as parcelas de tenso e deformao referentes ao momento

fletor na equao (3):

M*

i

*

MV . VU d (4)

Ainda, de acordo com a Lei de Hooke e a equao diferencial da linha elstica para

elementos submetidos flexo (BEER; JOHNSTON, 1996), tem-se:

2 *

y

M M 2

d vE E y

dx

(5)

2 *

y*

M 2

d vy

dx

(6)

Sendo,

yv : deflexo do elemento na direo perpendicular ao seu eixo longitudinal.

y : distancia entre o centro geomtrico da seo at o ponto em anlise.

26

Figura 8 - Seo transversal de um elemento fletido

Fonte: Autoria prpria

Substituindo as equaes (5) e (6) na equao (4), obtm-se:

2 2 * 2 2 *Ly y y y* 2

i 2 2 2 2V 0

d v d v d v d v U E y . y dV E y dA

dx dx dx dx

(7)

Considerando que:

2z dAI y (8)

A equao (7) pode ser expressa da seguinte forma:

2 2 *L y y*

i z 2 20

d v d vU EI dx

dx dx

(9)

Igualando a energia de deformao interna com a externa tem-se:

2 2 *L Ly y * *

z i,y y,i i,z

*

i2 20 0

d v d v (x) dxEI dx F v M q(x).

dx dx

(10)

A fim de definir a funo de aproximao utilizada para aproximar os valores das

deflexes na direo perpendicular ao eixo do elemento, apenas carregamentos nodais foram

considerados aplicados. Assim, de acordo com Hibbeler (2004):

27

4

y

4

d v0

dx (11)

Integrando a expresso obtm-se o seguinte polinmio de terceiro grau:

2 3

y v (x) a bx cx dx (12)

De acordo com a Figura 9, pode-se estabelecer as seguintes condies de contorno:

y

1zy 1y

y 2

y

zy 2

Para x 0 v v

Pa

dv ;

dx

dv ; r

a x

xv v

dL

(13)

Figura 9 - Deslocamentos perpendiculares e giros em coordenadas locais

Fonte: Autoria prpria

Substituindo as condies de contorno apresentadas na equao (13) no polinmio de

terceiro grau (12), e isolando as respectivas deflexes e giros nodais, possvel obter as

funes de aproximao a seguir:

2 3 22 3 3 2 3

2 3 42 2 3 21 2 3

2x x 3x 2x x x ; x

3x 2 ; ;

L L L L L

x

L L1

L

(14)

28

Uma vez que,

y 1 1y 2 1z 3 2y 4 2z v (x) v v (15)

Substituindo a equao (15) em (10), considerando que as funes de aproximao

so as mesmas (14) para o campo de deflexes virtuais e assumindo que estes sejam valores

no nulos, obtm-se:

L Lj ji i

z j,y j,z i,y i,z0 0

dxd dd d EI v + dx F M q(x) (x)

dx dx dx dx

(16)

A equao (16) pode ser escrita na forma matricial da seguinte forma:

Me ee

F k

(17)

Sendo,

e

F : Vetor de foras e momentos externos aplicados ao elemento em coordenadas

locais

Me

k

: Matriz de rigidez a flexo do elemento em coordenadas locais

e

: Vetor de deslocamentos e giros nodais do elemento em coordenadas locais

Com o intuito de obter a matriz de rigidez a flexo do elemento em coordenadas

locais, substitui-se as funes de aproximao em (16) e efetua-se o processo de diferenciao

e integrao.

2 2

1y1y

1z 1zz

2y2y2 2

2z e2z e

e

12 6 12 6

L L L L vF

6 64 2 M EI L L

v12 6 12 6LF

L L L L M

6 62 4

L L

(18)

29

Logo,

2 2

zM

e

2 2

e

12 6 12 6

L L L L

6 64 2

EI L Lk

12 6 12 6L

L L L L

6 62 4

L L

(19)

2.3.2 Parcela do Trabalho Interno oriunda da toro

Considerando-se apenas as parcelas de tenso e deformao referentes ao momento

toror na equao (3):

V

*

i

* . dU V (20)

A Figura 10 ilustra a deformao por toro de um elemento com seo transversal

circular. Por meio da Lei de Hooke que relaciona tenso e deformao e da relao cinemtica

(HIBBELER, 2004), tem-se que:

G (21)

xd

dx

(22)

Onde,

: Tenso de cisalhamento

G : Mdulo de elasticidade transversal do material

30

: Deformao por cisalhamento

: Distancia do centro do eixo circular at o ponto considerado

x : Giro da seo transversal devido toro

Figura 10 - Deformao por cisalhamento em elementos submetidos a toro

Fonte: Autoria prpria

Substituindo (21) e (22) na equao (20) obtm-se:

* * *L

2 2x x x x x x*

iV V 0 A

d d d d d dG dV G dV G dAdx

dx dx dx dx dx dxU

(23)

Considerando que:

2

AJ dA (24)

Onde J chamado momento polar de inrcia para elementos com seo transversal

circular, ou constante de toro para as demais sees.

E substituindo (24) em (23):

31

*

x*L

0i

x d d

dx dx d

U Jx

G

(25)

Com o intuito de obter a funo de aproximao do giro devido toro, assumindo

uma variao linear do ngulo de giro ao longo de seu comprimento, tem-se:

x (x) ax b (26)

De acordo com a Figura 11 pode-se estabelecer as seguintes condies de contorno:

x 1x 1x 1x

2x 1xx 2x 2x

Para x 0 a 0 b b

Para x L a L b

aL

(27)

Figura 11 - Giros nodais em Coordenadas Locais

Fonte: Autoria prpria

Logo,

2x 1xx 1x

(x) x

L

(28)

Isolando os giros 1

x e 2

x , as funes de aproximao so obtidas:

x 1x 2x x x (x) 1L L

(29)

32

Logo,

21

x ;

x1

L

L (30)

Derivando a equao (29) obtm-se:

x1x 2x

d 1 1 dx L L

(31)

Substituindo (31) na equao (25):

L

* *

1x 2xi 1

*

x 2x0

U G1 1 1 1 dxL L L

JL

(32)

A equao (32) tambm pode ser escrita na forma matricial, apresentada abaixo:

Te ee

F k

(33)

Sendo,

e

F : Vetor de foras e momentos externos aplicados ao elemento em coordenadas

locais

Te

k

: Matriz de rigidez a toro do elemento em coordenadas locais

e

: Vetor de deslocamentos e giros nodais do elemento em coordenadas locais

Assim, a matriz de rigidez do elemento, representada em coordenadas locais,

referente parcela de toro pode ser obtida resolvendo a equao (32):

1x 1x

e2x 2xe e

M 1 1GJ

1 1LM

(34)

33

Logo,

T

ee

1 1GJk

1 1L

(35)

2.3.3 Matriz de Rigidez do Elemento em Coordenadas Locais

A partir das matrizes de rigidez obtidas nos itens anteriores referentes s parcelas de

flexo (4.1.1) e toro (4.1.2), o sistema algbrico para o estudo de grelhas pode ser definido,

e a matriz de rigidez associada pode ser expressa em coordenadas locais.

3 2 3 2

1y

1x

2 21z

2y3 2 3 2

2x

2z e

2 2e

12EI 6EI 12EI 6EI0 0

L L L L

GJ GJF 0 0 0 0L L

M6EI 4EI 6EI 2EI

0 0M L L L L

12EI 6EI 12EI 6EIF 0 0L L L L

MGJ GJ

0 0 0 0ML L

6EI 2EI 6EI 4EI0 0

L L L L

1y

1x

1z

2y

2x

2z e

v

v

(36)

Logo,

34

3 2 3 2

2 2

e

3 2 3 2

2 2e

12EI 6EI 12EI 6EI0 0

L L L L

GJ GJ0 0 0 0

L L

6EI 4EI 6EI 2EI0 0

L L L Lk

12EI 6EI 12EI 6EI0 0

L L L L

GJ GJ0 0 0 0

L L

6EI 2EI 6EI 4EI0 0

L L L L

(37)

2.3.4 Vetor de Esforos Equivalentes

Devido ao fato do Mtodo dos Elementos Finitos relacionar deslocamentos e giros

nodais com cargas nodais, quando um elemento est submetido a carregamentos distribudos,

conveniente que este carregamento seja substitudo por parcelas equivalentes de esforos

aplicados nos ns do elemento. A Figura 12 exemplifica esta relao:

35

Figura 12 - Esforos equivalentes para um elemento de grelha submetido a carregamento distribudo

Fonte: Autoria prpria

Observando a figura anterior, nota-se que o carregamento distribudo foi substitudo

por uma parcela de fora e momento fletor equivalente para cada n do elemento, ou seja,

basta determinar o valor desta parcela.

Sendo 1q e 2q os valores do carregamento distribudo quando x 0 e x L ,

respectivamente, e tendo em mente que o carregamento linear:

q(x) a x b (38)

Aplicando as condies de contorno referente ao elemento da Figura 12 tem-se:

36

1 1

2 12

Para x 0 q(0) q b q

q qPara x L q(L) a

qL

(39)

Substituindo (39) em (38) obtm-se:

2 11

q q q(x) x q

L

(40)

Levando em considerao que o campo de deslocamentos verticais pode ser

aproximado conforme a equao (15) e que o carregamento linear pode ser descrito por (40),

substituindo-as no terceiro termo da equao (2) obtm-se:

L L* * * * *2 1

1 1 1y 2 1z 3 2y 4 2z0 0

q q q(x) x q . v dx v dxL

(41)

Logo, resolvendo a equao (41) possvel determinar as parcelas dos esforos

equivalentes para cada n do elemento em anlise:

2 1

1y

2 2

1x2 1

1z

2y2 1

2x

2z

2 2

2 1

3L 7Lq q

20 20

0f

m L Lq q

30 20mf

7L 3Lfq q

20 20m

0m

L Lq q

20 30

(42)

37

2.3.5 Matriz de Transformao de Coordenadas

Quando um elemento estrutural analisado separadamente do sistema em que ele

est inserido, por questes prticas, gera-se a matriz de rigidez do elemento finito em relao

ao seu sistema de coordenadas locais. Porm, ao analisarmos a estrutura como um conjunto, a

matriz de rigidez do elemento deve ser referenciada a um sistema global de coordenadas, ou

seja, necessrio que todos os elementos possuam um mesmo referencial (ASSAN, 2003).

A Figura 13 mostra um elemento de grelha, orientado arbitrariamente no plano x-z.

O ngulo entre o sistema global de coordenadas x, y, z e o sistema local x, y, z .

Figura 13 - Elemento de grelha orientado arbitrariamente no plano x-z

Fonte: Adaptado de Logan (2007)

Sendo yF a fora aplicada na direo do eixo y , xM e zM , respectivamente, os

momentos toror e fletor aplicados em torno dos eixos x e z , respectivamente, yF a fora

aplicada na direo do eixo y , e xM e zM os momentos aplicados respectivamente em torno

dos eixos x e z , as equaes que relacionam os esforos associados ao sistema local com o

sistema global de coordenadas podem ser escritas da seguinte forma:

y y

x x z

z x z

F F

M M cos M sen

M M sen M cos

(43)

38

Estas equaes so aplicadas para ambos os ns do elemento. Assim, a relao

matricial dos esforos nos sistemas local e global expressa como:

1y1y

1x 1x

1z 1z

2y2y

2x2x

2z e2z e

F F1 0 0 0 0 0

M M0 cos sen 0 0 0

M M0 sen cos 0 0 0

F0 0 0 1 0 0F

M0 0 0 0 cos senMM0 0 0 0 sen cos

M

(44)

Reescrevendo de uma forma compacta,

eeF T F (45)

Em que T representa a matriz de Transformao de Coordenadas ou Matriz de

Rotao.

1 0 0 0 0 0

0 cos sen 0 0 0

0 sen cos 0 0 0T

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 cos sen

0 0 0 0 sen cos

(46)

Como os deslocamentos se transformam de modo similar s foras, pode-se escrever:

ee T (47)

Considerando que os esforos nodais se relacionam com os deslocamentos e giros

nodais da seguinte maneira:

e ee

F k

(48)

39

Substituindo (45) e (47) em (48) obtm-se:

e ee

T F k T

(49)

Escrevendo a equao (49) de outra forma:

1

e ee

F T k T

(50)

Como a matriz de Transformao de Coordenadas T ortogonal, sua inversa

igual a sua transposta: 1 T

T T , onde o superescrito T representa sua transposta. Logo, a

matriz de rigidez expressa em coordenadas globais pode ser escrita da seguinte forma:

T

e e

k T k T

(51)

40

3 ASPECTOS COMPUTACIONAIS

Como mencionado anteriormente, neste trabalho foi elaborado um algoritmo

computacional em linguagem FORTRAN, embasado no Mtodo dos Elementos Finitos, com

a finalidade de estudar o comportamento elstico linear de grelhas submetidas a diferentes

tipos de esforos, determinando assim deslocamentos e giros nodais, esforos internos nos

elementos e as reaes nos apoios. De um modo geral, a estrutura do software desenvolvido

pode ser dividida em trs mdulos principais, denominados: entrada de dados, processamento

e sada de dados.

O primeiro tem por finalidade fornecer ao programa, atravs de um arquivo de texto

(.txt) previamente elaborado pelo usurio, todas as propriedades fsicas e geomtricas de

cada elemento, alm das vinculaes e carregamentos necessrios para a realizao dos

clculos matriciais da estrutura analisada.

Dando continuidade, o mdulo de processamento responsvel por realizar todos os

clculos necessrios para se produzir os resultados desejados. Dentre eles, vale ressaltar a

transformao de coordenadas, elaborao do vetor de esforos, montagem da matriz de

rigidez da estrutura em coordenadas globais, resoluo do sistema linear de equaes

algbricas, determinao de esforos e deslocamentos.

Por fim, a sada de dados tem como objetivo organizar e apresentar de uma forma

simples os resultados das anlises realizadas em um arquivo (.txt).

3.1 ESQUEMA GERAL DE CLCULO

Com o intuito de facilitar a compreenso e a organizao, o software desenvolvido

foi dividido em etapas e cada operao est representada no fluxograma a seguir. De uma

forma sistmica, cada processo mostrado na Figura 14 representa uma sub-rotina do

programa, de modo que ao final do procedimento o usurio obtenha os resultados esperados.

A descrio detalhada de cada sub-rotina ser apresentada na etapa seguinte do

trabalho.

41

Figura 14 - Esquema geral de clculo Fonte: Autoria prpria

42

3.2 SUB-ROTINAS

3.2.1 Declarao de Variveis

Antes da elaborao efetiva do algoritmo computacional faz-se necessrio a

declarao de todas as variveis contidas no projeto do programa. Logo, este mdulo contem

todas as variveis que foram utilizadas no cdigo fonte, sendo estas inteiras ou reais.

3.2.2 Abertura de Arquivos

Nesta sub-rotina o usurio define o nome do arquivo de texto que ser aberto durante

a execuo do programa, onde estar contida toda informao da estrutura analisada, como

propriedades fsicas, geomtricas, caractersticas dos esforos, e definio dos apoios.

Tambm escolhe o nome usado para o arquivo de sada contendo os resultados da anlise,

como esforos internos, deslocamentos e giros nodais e reaes nos apoios.

3.2.3 Leitura de Dados

Nesta etapa do algoritmo ser efetuada a leitura e o gerenciamento dos dados

contidos no arquivo de texto mencionado na etapa anterior, de forma a acoplar estes dados

com suas respectivas variveis de destino.

43

3.2.4 Propriedades Geomtricas

Uma vez que as variveis j receberam os dados corretos, a presente sub-rotina

responsvel por realizar os clculos das propriedades geomtricas de cada elemento, como o

comprimento, seno e cosseno diretores de acordo com a Figura 13.

3.2.5 Montagem da Matriz

Nesta sub-rotina realizada a montagem da matriz de transformao de coordenadas

locais para globais, a matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais, o clculo da

matriz de rigidez do elemento em coordenadas globais e, por fim, a matriz de rigidez da

estrutura em coordenadas globais.

3.2.5.1 Matriz de Transformao de Coordenadas

A partir dos cossenos e senos diretores provenientes dos clculos efetuados na seo

3.2.4 deste trabalho, possvel criar a matriz de transformao de coordenadas T conforme

a equao (46).

3.2.5.2 Matriz de Rigidez do Elemento em Coordenadas Locais

Com os dados referentes s propriedades fsicas e geomtricas de cada elemento,

possvel montar a matriz de rigidez e

k

de acordo com a equao (37).

44

3.2.5.3 Matriz de Rigidez do Elemento em Coordenadas Globais

Com o intuito de obter a matriz de rigidez da estrutura, primeiramente necessrio

que as matrizes de rigidez de cada elemento estejam expressas em funo de um mesmo

referencial. Sendo assim, a matriz de rigidez do elemento escrita em coordenadas globais

pode ser obtida segundo a equao (51).

3.2.5.4 Matriz de Rigidez da Estrutura em Coordenadas Globais

Uma vez que as matrizes de rigidez de cada elemento em coordenadas globais foram

obtidas, basta agrupa-las de maneira coerente para que a matriz de rigidez da estrutura em

coordenadas globais k tome forma. Para tanto, importante ter em mente que cada matriz

de rigidez elementar tem sua posio pr-definida na matriz de rigidez da estrutura, de modo

que os termos referentes aos ns comuns entre dois elementos se somem. Este processo

exemplificado a seguir, onde o ndice superior representa o elemento ao qual a matriz de

rigidez elementar pertence.

1 1 1 1 1 1

11 12 13 14 15 16

1 1 1 1 1 1

21 22 23 24 25 26

1 1 1 1 1 1

31 32 33 34 35 36

1 1 1 1 2 1 2 1 2

41 42 43 44 11 45 12 46 13

1 1 1 1 2 1 1 1 2

51 52 53 54 21 55 22 56 23

1 1 1 1 2 1 1 1

61 62 63 64 31 65 32 66

k k k k k k 0

k k k k k k 0

k k k k k k 0

k k k k k k k k k 0[k]

k k k k k k k k k 0

k k k k k k k k k

233

n

66

0

0 0 0 0 0 0 0 k

(52)

45

3.2.6 Vetor de Esforos

Nesta etapa ocorre a montagem do vetor de esforos externos F que consiste na

soma dos carregamentos nodais com a parcela de esforos equivalentes provenientes de

carregamentos distribudos, de acordo com a equao (42).

1y 1y

1x

1z 1z

2y 2y

2x

2z 2z

nz nz

F f

M

M m

F fF

M

M m

M m

(53)

3.2.7 Condies de Contorno

Uma vez que a matriz de rigidez global da estrutura k apresenta um determinante

igual a zero, ela no inversvel, o que resulta em um sistema de equaes algbricas

impossvel de se determinar os deslocamentos e giros nodais. Com o intuito de torna-la uma

matriz no singular, possibilitando assim a soluo do sistema de equaes e por

consequncia obter os deslocamentos e giros nodais, so introduzidas as condies de

contorno do problema.

Estas condies de contorno consistem em identificar os graus de liberdade

impedidos em cada n da estrutura, e assim transferir estas condies para a matriz de rigidez

k , de modo que na posio referente diagonal principal da linha correspondente ao grau

de liberdade restrito seja atribudo o nmero 1, e o restante da linha e coluna seja nulo.

Repete-se este processo para todos os ns da estrutura, inclusive para o vetor de esforos

46

externos, onde o carregamento responsvel pelo grau de liberdade restrito tambm deve ser

nulo. Este mtodo est representado de forma generalizada na equao (54):

11 12 14 15 1n 1y 1y

21 22 24 25 2n 1x 1x

1z

41 42 44 45 4n 2y 2y

51 52 54 55 5n 2x

2z

n1 n2 n4 n5 nn nz

k k 0 k k 0 k v F

k k 0 k k 0 k M

0 0 1 0 0 0 0 0

k k 0 k k 0 k v F.

k k 0 k k 0 k

0 0 0 0 0 1 0

k k 0 k k 0 k

2x

nz

M

0

M

(54)

3.2.8 Resoluo de Sistemas

Nesta sub-rotina realizada a resoluo de sistemas lineares de equaes algbricas

atravs do mtodo de eliminao de Gauss com pivoteamento parcial.

3.2.9 Reaes de Apoio

Uma vez que os deslocamentos e giros nodais foram obtidos atravs da etapa

anterior, basta multiplicar-se a matriz de rigidez global da estrutura sem o emprego das

condies de contorno com o vetor de deslocamentos e giros nodais, de acordo com a equao

(55).

F k . (55)

Cabe ressaltar que o vetor de esforos obtido atravs da equao anterior no

somente contm os valores das reaes de apoio como todos os esforos internos aplicados na

estrutura. Entretanto, so interessados apenas os valores contidos nas posies referentes aos

47

ns que apresentem algum tipo de restrio. Em seguida, necessrio subtrair o vetor de

esforos equivalentes proveniente do carregamento distribudo.

3.2.10 Esforos Internos

Esta etapa tem a finalidade de obter os esforos internos de cada elemento da

estrutura analisada, diga-se esforo cortante, momento toror e momento fletor. Logo, o vetor

de deslocamentos e giros nodais obtido atravs da resoluo do sistema linear de equaes

algbricas deve ser transformado de coordenadas globais para coordenadas locais, elemento

por elemento. Em seguida, deve-se multiplicar este vetor pela matriz de rigidez do elemento

em questo, em coordenadas locais, como representa a equao seguinte.

e e e F k . (56)

Aps isto, necessrio subtrair o vetor de esforos equivalentes proveniente do

carregamento distribudo, uma vez que as parcelas advindas de carregamentos distribudos

so consideradas nodais apenas para a determinao dos esforos externos da estrutura.

3.2.11 Sada de Dados

Aps o processamento da estrutura e de finalizado todos os clculos previamente

executados, esta sub-rotina responsvel por gerar um arquivo de texto (.txt) contendo

todos os resultados esperados, como deslocamentos e giros nodais, esforos internos (fora

cortante, momento toror e fletor) e reaes de apoio.

48

3.2.12 Fechamento de Arquivos

Semelhante ao explicado no item 3.2.2 deste trabalho, a sub-rotina Fechamento de

arquivos responsvel por encerrar o programa e fechar o arquivo de texto previamente

aberto. Para fins didticos e acadmicos, o cdigo fonte do software elaborado ao longo deste

trabalho se encontra disponvel em anexo.

49

4 RESULTADOS E DISCUSSES

4.1 EXEMPLO 1

A Figura 15 representa uma grelha simples proposta por Logan (2007) com as

unidades transformadas para unidades usuais em mbito nacional, composta por quatro ns e

trs elementos, todos com as mesmas propriedades fsicas e geomtricas: Mdulo de

Elasticidade Longitudinal 8 2E 2,07 10 kN m , Coeficiente de Poisson 0.25 , Momento

de Inrcia 7 4I 4,16 10 m e Momento Polar de Inrcia 5 4J 4,58 10 m . As condies de

carregamento e vinculaes e o comprimento de cada elemento esto contidos na figura

abaixo.

Figura 15 - Grelha submetida apenas a um carregamento concentrado

Fonte: Adaptado de Logan (2007)

50

Com o intuito de validar o software desenvolvido neste trabalho, foram realizadas

comparaes entre os resultados referentes aos deslocamentos, giros e esforos internos,

obtidos atravs do programa elaborado, com aqueles provenientes do programa GPLAN,

desenvolvido pelos professores Mrcio Roberto Silva Correa, Mrcio Antnio Ramalho da

EESC-USP e Luiz Henrique Ceotto da UFSCar, como mostram as Tabelas 1,2 e 3.

Tabela 1 - Deslocamentos e giros nodais para o Exemplo 1

Programa desenvolvido GPLAN

N Deslocamento

em y (m)

Giro em torno

de x (rad)

Giro em torno

de z (rad)

Deslocamento

em y (m)

Giro em torno

de x (rad)

Giro em torno

de z (rad)

1 -0,071753 0,029461 -0,016890 -0.071753 0,029461 -0,016890

2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

4 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

Fonte: Autoria prpria

Tabela 2 - Esforos Internos: Cortante para o Exemplo 1

Programa desenvolvido GPLAN

Elemento Cortante Inicial (kN) Cortante Final (kN) Cortante Inicial (kN) Cortante Final (kN)

1 -85,068526 85,068526 -85,068000 85,068000

2 32,148456 -32,148456 32,147000 -32,147000

3 -391,902089 391,902089 -391,902000 391,902000

Fonte: Autoria prpria

Tabela 3 - Esforos Internos: Momentos para o Exemplo 1

Programa desenvolvido GPLAN

Ele-

mento

Toror

Inicial

(kN,m)

Toror

Final

(kN.m)

Fletor Inicial

(kN.m)

Fletor Final

(kN.m)

Toror

Inicial

(kN,m)

Toror

Final

(kN.m)

Fletor Inicial

(kN.m)

Fletor Final

(kN.m)

1 -18,844882 18,844882 -280,133066 -299,654470 -18,845000 18,845000 -280,133000 -299,654000

2 -10,447987 10,447987 252,464583 -33,355645 -10,448000 10,448000 252,465000 -33,356000

3 20,992237 -20,992237 -264,385250 -930,132312 20,993000 -20,992000 -264,385000 -930,132000

Fonte: Autoria prpria

Em seguida, esto apresentados os valores obtidos pelo autor. Vale ressaltar que

Logan (2007) no utilizou um software para calcular o exemplo, mas sim o fez manualmente,

o que resulta em erros de arredondamento ao longo do processo de clculo.

51

Tabela 4 - Deslocamentos e giros nodais segundo Logan (2007)

Logan (2007)

N Deslocamento em y(m) Giro em torno de x (rad) Giro em torno de z (rad)

1 -0,071882 0,029500 -0,016900

2 0,000000 0,000000 0,000000

3 0,000000 0,000000 0,000000

4 0,000000 0,000000 0,000000

Fonte: Adaptado de Logan (2007)

Tabela 5 - Esforos Internos segundo Logan (2007) Logan (2007)

Elemento Cortante inicial

(kN)

Cortante Final

(kN)

Toror Inicial

(kN,m)

Toror Final

(kN.m)

Fletor Inicial

(kN.m)

Fletor Final

(kN.m)

1 -85,400000 85,400000 -18,900000 18,900000 -280,200000 -300,500000

2 32,200000 -32,200000 -10,400000 10,400000 253,100000 -33,300000

3 -391,900000 391,900000 21,0100000 -21,0100000 -264,300000 -930,100000

Fonte: Adaptado de Logan (2007)

De acordo com os resultados apresentados nas Tabelas 1, 2 e 3 possvel perceber

que a formulao do MEF foi desenvolvida de maneira correta, e sua implementao no

software elaborado se deu de forma eficaz, uma vez que os resultados obtidos de

deslocamentos e giros nodais foram exatamente iguais aos valores provenientes GPLAN, e

em relao aos esforos internos, se houver erros, estes esto a partir da quarta casa decimal,

uma vez que o GPLAN apenas exibe os resultados com ordem de trs casas decimais.

Com relao aos resultados expostos por Logan (2007), a diferena se d na ordem

da quarta casa decimal para os deslocamentos e giros, o que pode ser explicado pelo fato de

que o autor realizou manualmente os clculos matriciais, utilizando arredondamentos, o que

resultou em uma porcentagem de erro acumulada, porm nada significante.

Por fim, importante notar o fato de que o exemplo trata-se de uma grelha

hiperesttica, comprovando assim a eficincia do software no s para problemas isostticos,

mas sim para diferentes graus de hiperestaticidade.

52

4.2 EXEMPLO 2

O exemplo a seguir foi extrado do livro de Weaver e Gere (1990), o qual foi

analisado utilizando um programa computacional desenvolvido pelos autores. Trata-se de uma

grelha composta por sete ns e seis elementos, todos com as mesmas propriedades fsicas e

geomtricas: Mdulo de Elasticidade Longitudinal 8 2E 10 m2 kN , Coeficiente de Poisson

0.25 , Momento de Inrcia 3 4I 1 10 m e Momento Polar de Inrcia 3 4J 2 10 m . A

Figura 16 mostra um esboo do problema, assim como as condies de carregamento e

vinculaes e o comprimento de cada elemento.

Figura 16 - Grelha submetida a carregamentos concentrados e distribudos

Fonte: Adaptado de Weaver e Gere (1990)

Uma vez que o algoritmo implementado neste trabalho contempla a anlise de

elementos submetidos a carregamentos distribudos, torna-se desnecessrio um refinamento

da malha do elemento cinco para se obter uma aproximao da soluo exata. Com isto em

mente, a estrutura foi simulada usando o software proposto, e os resultados de deslocamentos

e giros nodais, assim como os esforos internos obtidos foram confrontados com aqueles

expostos pelos autores, de acordo com as tabelas a seguir.

53

Tabela 6 - Deslocamentos e giros nodais para o Exemplo 2

Programa desenvolvido Weaver e Gere (1990)

N Deslocamento

em y (m)

Giro em torno

de x (rad)

Giro em torno

de z (rad)

Deslocamento

em y (m)

Giro em torno

de x (rad)

Giro em torno

de z (rad)

1 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

3 -0,0012182 -0,0003560 0,0001498 -0,0012182 -0,0003559 -0,0001497

4 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

5 -0,0020993 0,0002886 -0,0001838 -0,0020993 0,0002885 -0,0001837

6 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

7 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

Fonte: Autoria prpria

Tabela 7 - Esforos Internos: Cortante para o Exemplo 2

Programa desenvolvido Weaver e Gere (1990)

Elemento Cortante Inicial (kN) Cortante Final (kN) Cortante Inicial (kN) Cortante Final (kN)

1 93.528030 -93.528030 93,528000 -93,528000

2 -56.471969 56.471969 -56,472000 56,472000

3 -34.452412 34.452412 -34,542000 34,452000

4 27.980443 -27.980443 27,980000 -27,980000

5 85.060210 214.939789 85,060000 214,940000

6 -57.079767 57.079767 -57,080000 57,080000

Fonte: Autoria prpria

Tabela 8 - Esforos Internos: Momentos para o Exemplo 2

Programa desenvolvido Weaver e Gere (1990)

Ele-

mento

Toror

Inicial

(kN,m)

Toror

Final

(kN.m)

Fletor Inicial

(kN.m)

Fletor Final

(kN.m)

Toror

Inicial

(kN,m)

Toror

Final

(kN.m)

Fletor Inicial

(kN.m)

Fletor Final

(kN.m)

1 9,493188 -9.493188 163.092146 117.491945 9,493000 -9,493000 163,092000 117,492000

2 9.493188 -9.493188 -117.491945 -51.923963 9,493000 -9,493000 117,492000 -51,924000

3 -14.239783 14.239783 -61.416907 -76.392742 -14,240000 14,240000 -61,417000 -76,393000

4 -13.340870 13.340870 23.732971 88.188800 -13,341000 13,341000 23,733000 88,189000

5 -11.542548 11.542548 -20.691407 -239.067750 -11,542000 11,542000 -20,691000 -239,068000

6 7.350536 -7.350536 -99.731349 -128.587720 7,351000 -7,351000 -99,732000 -128,588000

Fonte: Autoria prpria

Segundo Vaz (1973) a formulao apresentada por Weaver e Gere (1965)

desconsidera o efeito da parcela de energia de deformao proveniente do cisalhamento, ou

seja, utiliza a teoria de Euler-Bernoulli para simular a flexo dos elementos. Uma vez que o

presente trabalho tambm utiliza esta mesma teoria, era de se esperar obter resultados muito

54

prximos ou at iguais aos da literatura em anlise. De acordo com as Tabelas 6, 7 e 8

possvel identificar que os valores obtidos dos deslocamentos nodais foram exatamente os

mesmos, enquanto que os giros devido toro e flexo apresentaram diferenas

insignificantes, podendo tambm ser considerados iguais. Em relao aos esforos internos,

os autores tambm apresentam a soluo apenas com trs casas decimais, ou seja, se houver

algum erro, este pode ocorrer a partir da quarta casa decimal.

Logo, pode-se notar a preciso do algoritmo implementado para o clculo de

elementos submetidos a carregamentos concentrados e tambm distribudos.

4.3 EXEMPLO 3

A Figura 17 ilustra uma grelha composta por quatro ns e trs barras, todas com as

mesmas propriedades fsicas a seguir: Mdulo de Elasticidade Transversal 7 2E 10 m3 kN e

Coeficiente de Poisson 0.25 . As condies de carregamento e vinculaes, assim como o

comprimento de cada elemento e sua seo transversal esto mostradas abaixo.

Figura 17 - Grelha submetida a carregamentos distribudos Fonte: Autoria prpria

55

Com o intudo de se obter aproximaes exatas da soluo analtica, no exemplo

anterior foi dito que no h a necessidade do refinamento de malhas para a anlise de

elementos submetidos a carregamentos distribudos. Sendo assim, o exemplo 3 foi elaborado

com a finalidade de comparar os resultados dos esforos internos provenientes da simulao

utilizando o software desenvolvido com aqueles obtidos atravs da soluo analtica da

estrutura.

Por se tratar de uma grelha isosttica com uma extremidade livre, possvel

determinar os diagramas de cortante, momento fletor e toror para cada elemento, sem que

seja necessrio determinar as reaes no engaste. Uma vez que o carregamento constante, o

diagrama de momento fletor ser parablico, o que exige que seja calculado o valor do

esforo em um terceiro ponto para cada barra submetida ao carregamento distribudo. Sendo

assim, escolheu-se os seguintes pontos:

Figura 18 - Pontos adicionais para o diagrama do momento fletor Fonte: Autoria prpria

Aps isto, foram calculados os esforos internos em cada ponto, atravs do mtodo

analtico, e tambm atravs de simulao numrica realizada com o auxlio do software

56

desenvolvido. Uma vez determinado os esforos, foi possvel traar os diagramas de cortante

e momento fletor para cada barra, apresentados nos grficos a seguir.

Grfico 1 - Diagrama de cortante da barra 1 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

Grfico 2 - Diagrama de momento fletor da barra 1 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

85 85

1 2

Cortante (kN)

N

Soluo Analtica

Programa proposto

472,5

122,5

1 2

Fletor (kN.m)

N

Soluo Analtica

Programa proposto

57

Grfico 3 - Diagrama de momento toror da barra 1 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

Grfico 4 - Diagrama de cortante da barra 2 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

300 300

1 2

Toror (kN.m)

N

Soluo Analtica

Programa proposto

85

60

35

2 3 4

Cortante

(kN)

N

Soluo Analtica

Programa

proposto

58

Grfico 5 - Diagrama de momento fletor da barra 2 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

Grfico 6 - Diagrama de momento toror da barra 2 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: autoria prpria

118,75

300

2 3 4

Fletor (kN.m)

N

Soluo Analtica

Programa proposto

112,5 112,5

2 3 4

Toror (kN.m

N

Soluo Analtica

Programa proposto

59

Grfico 7 - Diagrama de cortante da barra 3 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

Grfico 8 - Diagrama de momento fletor da barra 3 utilizando ambos mtodos de clculo

Fonte: Autoria prpria

Pode-se observar pelos grficos que todos os valores dos esforos internos de

cortante, momento fletor e momento toror, para ambos os mtodos de clculo, so iguais.

Isto quer dizer que a formulao desenvolvida neste trabalho apresenta aproximaes exatas

da soluo real do problema, no necessitando assim de refinamento de malha. Tal fato pode

35

17,5

4 5 6

Cortante (kN)

N

Soluo Analtica

Programa proposto

122,5

30,625

4 5 6

Fletor (kN.m)

N

Soluo Analtica

Programa proposto

60

ser explicado atravs da anlise do campo de deslocamentos verticais do elemento e do giro

devido toro.

Na formulao aqui desenvolvida, foi optado por aproximar o campo de

deslocamentos perpendiculares ao eixo do elemento e o giro atravs de polinmios de terceiro

e primeiro grau, respectivamente, de acordo com as equaes (12) e (26). Em elementos

submetidos apenas a carregamentos concentrados, os valores reais de deflexo tambm so

representados por uma funo de terceiro grau, o que resulta em anlises precisas dos valores

de esforos internos, giros e deslocamentos. Porm, em elementos submetidos a

carregamentos distribudos, os valores reais da deflexo do elemento passam a ser regidos por

polinmios de grau maior que trs, ou seja, o grau da funo que interpola os valores dos

esforos nodais j no coincide com a real situao, resultando assim em erros.

Porm, neste trabalho, os carregamentos distribudos passam a ser tratados como

carregamentos nodais, usando a metodologia dos esforos equivalentes, como demonstrado na

seo 2.3.4. Ao adicionarmos aos ns uma parcela de fora e momento fletor proveniente do

carregamento distribudo, o campo real de deflexes passa a ser representado por um

polinmio de terceiro grau novamente, permitindo assim que o software desenvolvido

aproxime de maneira exata os valores reais dos esforos internos, giros e deslocamentos,

dispensando assim a necessidade de um refinamento de malha.

O mesmo vale para o giro devido toro, onde os valores assumem um

comportamento linear na ausncia de momentos distribudos ao longo do elemento, como o

caso deste trabalho, coincidindo assim com a formulao proposta.

4.4 EXEMPLO 4

Neste ltimo exemplo apresentada uma laje com espessura h m0,20

simplesmente apoiada em sua extremidade, conforme ilustra a Figura 19. Esta laje est

submetida a uma carga uniformemente distribuda em toda sua rea igual a 2 mq 10kN , e

constituda por um material estrutural cujo Mdulo de Elasticidade Longitudinal

7 2E 3,05 10 kN m e Coeficiente de Poisson 0, 20 .

61

Figura 19 - Laje simplesmente apoiada para o exemplo 4

Fonte: Autoria prpria

Com o intudo de verificar a preciso do mtodo da Analogia de grelhas aplicado a

anlise de placas, Castro (2001) comparou os valores dos momentos e deslocamentos

discretizando a laje atravs de elementos de grelha, com a soluo exata, esta obtida com

recurso soluo de Navier, presente no trabalho de Timoshenko e Woinowsky-Krieger

(1970).

Sendo assim, neste exemplo realizou-se uma comparao dos resultados

provenientes do software desenvolvido, com aqueles obtidos por Castro (2001), reforando

assim a preciso da formulao e o efeito do refinamento da malha ao analisar uma placa

atravs de elementos de grelha.

Optou-se inicialmente por discretizar a laje da mesma forma que Castro (2001): em

trinta e cinco ns, totalizando assim cinquenta e oito elementos, todos com as mesmas

propriedades fsicas especificadas anteriormente, e comprimento L 1,0m , de acordo com a

Figura 20. Desta maneira, possvel analisar no s o efeito do refinamento da malha, mas

tambm a preciso dos resultados fornecidos pelo programa proposto para uma mesma grelha

equivalente. Vale lembrar que os ns foram numerados sem levar em considerao a

interferncia no tamanho da matriz (tamanho/largura de banda).

62

Figura 20 - Malha (1m x 1m)

Fonte: Autoria prpria

As propriedades geomtricas referentes rigidez a flexo e a toro devem ser

consideradas diferentes para os elementos localizados na extremidade da laje, e o restante,

uma vez que os primeiros modelam faixas com 0,5 m de largura, enquanto que os segundos

modelam sees de 1 m da laje. Sendo assim, segundo Castro (2001), pode-se calcular o

Momento de Inrcia e o Momento Polar de Inrcia para ambos os casos.

Para vigas de borda:

3 34 4

2 2

h 0,2I b 0,5 3,4722 10 m

12 1 12 1 0,2

(57)

3 3

4 4h 0,2J b 0,5 6,6667 10 m6 6

(58)

Para os demais elementos:

63

3 34 4

2 2

h 0,2I b 6,9444 10 m

12 1 12 1 0,2

(59)

3 3

3 4h 0,2J b 1,3333 10 m6 6

(60)

Ainda, uma vez que a carga distribuda na laje de 210 kN m , considera-se que

cada n no centro da laje esteja submetido a um esforo concentrado vertical igual a:

yF 10 1 1 0 1 kN (61)

Os apoios do contorno foram considerados de primeiro gnero, ou seja, restringindo

apenas os deslocamentos verticais, com exceo dos quatro vrtices, que foram considerados

engastados.

Em posse de todas as consideraes realizadas, foi simulada a grelha equivalente

utilizando o software desenvolvido, e os resultados da aproximao dos valores de momento

fletor ao longo do corte AA so apresentados no grfico a seguir.

Grfico 9 - Diagrama de momento fletor ao longo de AA

Fonte: Autoria prpria

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Fletor (kN.m)

Comprimento (m)

Soluo Exata

Castro (2001)

Programa proposto

64

Verificam-se pelo grfico que os resultados obtidos atravs do programa

desenvolvido neste trabalho so praticamente os mesmos que Castro (2001) obteve ao analisar

a laje apresentada atravs da associao de grelha, sendo que ambas as solues aproximam-

se de maneira eficaz os valores reais calculados atravs da soluo de Navier. Vale ressaltar

que ao utilizar esta tcnica, o diagrama de momento obtido linear, enquanto a soluo real

se da atravs de um polinmio de um grau maior que um. Isto ocorre pelo fato de que foram

considerados apenas carregamentos concentrados aplicados nos ns da grelha.

Por outro lado, pode-se observar saltos no diagrama nas sees correspondentes aos

ns dos elementos, saltos estes que so inexistentes na soluo real, pois resultam do

equilbrio de momentos nos ns da grelha. Ou seja, para que o salto seja nulo, os momentos

torores nestes ns causados pelo efeito de flexo dos elementos perpendiculares ao corte AA

devem ser nulos tambm.

Em seguida sero comparados os valores do campo de deslocamentos ao longo de

BB, como mostra o grfico abaixo.

Grfico 10 - Campo de deslocamentos verticais ao longo de BB

Fonte: Autoria prpria

-1,00E-03

-8,00E-04

-6,00E-04

-4,00E-04

-2,00E-04

0,00E+00

0 1 2 3 4 5 6

Deslocamento (m)

Comprimento (m)

Soluo Exata

Castro (2001)

Programa proposto

65

Novamente possvel observar uma boa aproximao dos valores de deslocamentos

verticais obtidos atravs do programa desenvolvido com a soluo proposta pelo autor, sendo

que ambas apresentam um erro na faixa da quinta casa decimal em comparao a soluo

exata.

Com o intuito de analisar a influncia da malha neste tipo de problema, foi realizado

um refinamento na malha atual, ou seja, foi aumentado o numero de ns e por consequncia, o

nmero de elementos. Logo, o comprimento do elemento foi dividido em dois, e em sua

metade foi adicionado um novo n. Este procedimento foi executado duas vezes consecutivas,

e as malhas refinadas esto expostas nas Figuras 21 e 22. Uma vez que a malha foi refinada,

deve-se recalcular a rigidez a toro e a flexo das vigas da extremidade e do centro, assim

como o carregamento concentrado aplicado em cada n.

Figura 21 - Malha refinada (0,5m x 0,5m)

Fonte: Autoria prpria

66

Figura 22 - Malha refinada (0,25m x 0,25m)

Fonte: Autoria prpria

Aps isto, a simulao numrica foi realizada utilizando as duas malhas refinadas,

verificando assim, as deflexes ao longo de BB. Na sequncia, o Grfico 11 traz um

comparativo dos valores de deslocamentos utilizando a malha original (1m x 1m), as duas

malhas refinadas (0,5m x 0,5m e 0,25m x 0,25m), e a soluo exata.

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Grfico 11 - Verificao da influncia do refinamento da malha ao aproximar a deflexo de uma laje

atravs de elementos de grelha

Fonte: Autoria prpria

Neste exemplo pode-se perceber a tendncia que os valores tm de se aproximarem

da soluo exata medida que a malha vai sendo refinada. Vale ressaltar que a aproximao

obtida atravs da simulao utilizando a malha de 1m x 1m j bastante satisfatria, sendo

que a variao dos deslocamentos utilizando malhas mais refinadas no to expressiva.

Ainda, Castro (2001) afirma que a soluo obtida atravs da associao de grelhas nunca

chegar a igualar-se a soluo exata, mesmo que se considerem espaamentos muito pequenos

entre os elementos, pois o comportamento da laje bidimensional, e os elementos utilizados,

unidimensionais. Entretanto, pode-se afirmar que o dimensionamento da laje utilizando este

mtodo vai sempre a favor da segurana, sendo amplamente utilizado em diversos softwares

de anlise e dimensionamento estrutural.

-1,00E-03

-8,00E-04

-6,00E-04

-4,00E-04

-2,00E-04

0,00E+00

0 1 2 3 4 5 6

Deslocamento (m)

Comprimento (m)

Soluo Exata

Malha 1m x 1m

Malha 0,5m x 0,5m

Malha 0,25m x 0,25m

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5 CONSIDERAES FINAIS

Este trabalho teve como objetivo principal apresentar e desenvolver um cdigo

computacional baseado no Mtodo dos Elementos Finitos capaz de analisar o comportamento

de grelhas submetidas a diferentes tipos de carregamento, dentro do regime elstico-linear.

Com o intuito de alcanar este objetivo, primeiramente foi realizado o

desenvolvimento da formulao terica, englobando assuntos como o Princpio da

Conservao de Energia, Lei de Hooke e outros conceitos referentes mecnica dos

materiais, originando assim a matriz de rigidez de um elemento finito de grelha. Neste

trabalho foram utilizados polinmios de terceiro e primeiro grau para aproximarem,

respectivamente, o campo de deslocamentos verticais e giros devido ao efeito de toro

provocado por elementos transversais.

Uma vez obtida a matriz de rigidez do elemento, implementou-se

computacionalmente um algoritmo organizado em sub-rotinas seguindo uma ordem especfica

de processamento, como foi apresentado ao longo deste trabalho, capaz de executar todos os

clculos matriciais concernentes a resoluo do problema. Este processo deu origem a um

software modular, flexvel e de fcil manuseamento, voltado para a rea acadmica e que

pode ser facilmente adaptado a outros fins desejados.

A seguir, foram apresentados quatro exemplos de grelhas submetidas a diferentes

tipos de carregamentos, com propriedades fsicas e geomtricas distintas, com o intuito de

validar a formulao aqui desenvolvida. Os resultados obtidos atravs da simulao numrica

foram ento comparados com valores provenientes de solues analticas exatas, de pesquisas

previamente realizadas ou resultados fornecidos por programas de anlises estruturais j

existentes. Logo, atravs dos exemplos pode-se perceber o correto desenvolvimento e

implementao computacional do algoritmo, uma vez que os resultados aproximaram de

maneira eficaz os valores de deslocamentos, giros nodais e esforos internos.

Vale ressaltar que a formulao desenvolvida mostrou-se consistente para ambos os

carregamentos concentrados ou distribudos. Tal fato j era esperado, uma vez que foram

utilizadas funes cbicas para aproximar o campo de deflexo, e os carregamentos

distribudos foram sub