INTRODUO AO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Tecnlogo em Fabricao Mecnica

Projeto de Ferramentas II

Prof. Mauro Csar Rabuski GarciaAdapatado de D. A. Rade

Fundamentos do mtodo dos elementos finitos

DefinioO mtodo dos elementos finitos (MEF) uma tcnica de anlise numrica destinada obteno de solues aproximadas de problemas regidos por equaes diferenciais.

Aplicaes do MEF

Aplicado a uma grande variedade de problemas de engenharia:Mecnica dos SlidosMecnica dos FluidosTransmisso de CalorEletromagnetismo

Exemplos de pacotes comerciais existentes no mercado

ANSYSNASTRANABAQUSSYSTUSCOSMOSMOLDFLOW

O ProblemaEm todo problema formulado em domnios contnuos, as incgnitas do problema, denominadas variveis de campo (que podem ser grandezas escalares, como temperaturas ou vetoriais, como deslocamentos) podem assumir valores independentes em cada ponto do domnio. Conseqentemente, o problema tem nmero infinito de incgnitas, sendo caracterizado como um problema infinito-dimensional. Este tipo de problema geralmente modelado por equaes diferenciais parciais, cuja soluo analtica dada por funes que fornecem os valores das variveis de campo em funo das coordenadas espaciais para todos os pontos do domnio.

MEFO MEF essencialmente um processo de discretizao, que visa transformar um problema infinito-dimensional em um problema finito-dimensional, com nmero finito de incgnitas. O mtodo consiste em dividir o domnio sobre o qual o problema estudado em vrias regies interconectadas, denominadas elementos. Cada elemento dispe de um certo nmero de pontos (interiores e/ou limtrofes), denominados ns ou pontos nodais. O conjunto de elementos utilizados na discretizao denominado malha.

O QUE ACONTECE NOS ELEMENTOS E NS

Uma vez definidos os elementos e seus respectivos ns, no interior de cada elemento so admitidas solues aproximadas para as variveis de campo, expressas como funes arbitrrias dos valores que as incgnitas assumem nos ns (valores nodais). Estas funes so denominadas funes de interpolao ou funes de forma. So tambm impostas condies garantindo a continuidade da soluo nos ns compartilhados por vrios elementos. As incgnitas do problema, denominadas graus de liberdade (g.d.l.), passam a ser os valores das variveis de campo nos pontos nodais, sendo o nmero destas incgnitas (agora finito), denominado nmero de graus de liberdade do modelo. Dependendo da natureza do problema, aps a discretizao, o modelo matemtico regente resulta representado por um nmero finito de equaes diferenciais ordinrias ou de equaes algbricas, cuja resoluo numrica conduz aos valores das incgnitas nodais. Uma vez determinadas estas incgnitas, os valores das variveis de campo no interior dos elementos podem ser avaliados empregando as funes de interpolao.

VANTAGENS DO MEF elementos de diferentes formas e tamanhos podem

ser associados para discretizar domnios de geometria complexa.

a diviso do contnuo em regies facilita a modelagem de problemas envolvendo domnios no homogneos, onde as propriedades fsicas variam em funo das coordenadas espaciais.

o mtodo pode ser todo formulado matricialmente, facilitando sua implementao computacional.

PRINCIPAIS ETAPAS DO MTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

1) Discretizao do domnio.O primeiro passo a diviso do domnio em elementos. O tipo e nmero de elementos a serem utilizados devem ser escolhidos de modo a representar adequadamente a geometria do problema e caracterizar convenientemente as variaes da soluo ao longo do domnio.

Tipos de elementos do MEF

Elementos usados no MEF

2) Escolha das funes de interpolao.

Nesta etapa so escolhidas as funes de interpolao que representam as variveis de campo no interior de cada elemento. Freqentemente, mas nem sempre, funes polinomiais so escolhidas como funes de interpolao, devido facilidade que oferecem para derivao e integrao. Os graus dos polinmios utilizados esto relacionados ao nmero de incgnitas nodais de cada elemento, devendo tambm atender a certos requisitos de continuidade das variveis de campo a serem satisfeitos nos ns e nas fronteiras entre elementos imediatamente vizinhos.

3) Construo das matrizes elementares.

Uma vez escolhidos o tipo e nmero de elementos e as funes de interpolao, devemos estabelecer as relaes matriciais expressando o comportamento (relaes de causa-efeito), em termos de propriedades fsicas e geomtricas, para cada elemento, individualmente. Em outras palavras, procede-se formulao em nvel elementar.

4) Montagem das matrizes elementares para obteno das matrizes globais.

Para caracterizar o comportamento do sistema completo, resultante da associao dos vrios elementos, devemos agrupar as matrizes de cada um dos elementos de uma forma adequada. Em outras palavras, devemos combinar as equaes matriciais expressando o comportamento dos elementos individuais para formar as equaes matriciais que descrevem o comportamento do sistema em todo o domnio. Este processo conhecido como montagem das matrizes globais. No processo de montagem, impe-se a condio que em cada n onde vrios elementos esto interconectados, os valores das variveis de campo so os mesmos para cada elemento compartilhando aquele n.

5) Imposio dos carregamentos externos e das condies de contorno.

As equaes matriciais globais devem ser modificadas para satisfazer as condies de contorno do problema, que expressam o fato que alguns valores das incgnitas nodais so prescritos. Assim, por exemplo, em problemas de transferncia de calor, os valores da temperatura em alguns pontos do contorno podem ser previamente conhecidos. Da mesma forma, deve-se alterar as equaes globais para leva em conta que, em alguns ns, cargas externas conhecidas (foras, fluxos de calor, etc.) so aplicadas. Ao final deste processo, o nmero total de incgnitas nodais remanescentes define o chamado nmero de graus de liberdade do modelo.

6) Resolulo do sistema de equaes.As equaes matriciais globais devem ser modificadas para satisfazer as condies de contorno do problema, que expressam o fato que alguns valores das incgnitas nodais so prescritos. Assim, por exemplo, em problemas de transferncia de calor, os valores da temperatura em alguns pontos do contorno podem ser previamente conhecidos. Da mesma forma, deve-se alterar as equaes globais para leva em conta que, em alguns ns, cargas externas conhecidas (foras, fluxos de calor, etc.) so aplicadas. Ao final deste processo, o nmero total de incgnitas nodais remanescentes define o chamado nmero de graus de liberdade do modelo.

7) Realizao de clculos complementares.

Em vrias situaes, clculos complementares devem ser realizados para a determinao de grandezas dependentes das variveis de campo, determinadas na etapa precedente. Assim, por exemplo, nos problemas de Mecnica dos Slidos, uma vez determinados os deslocamentos, clculos adicionais so necessrios para a determinao das deformaes (utilizando as relaes deformao-deslocamento) e das tenses (utilizando as relaes tenso-deformao).

Domnios de aplicao do MEF problemas de equilbrio.

Esta a classe de problemas cuja soluo independente do tempo. So exemplos os problemas da Mecnica dos Slidos envolvendo a determinao de tenses e deformaes em elementos estruturais submetidos a carregamentos estticos e os problemas da Mecnica dos Fluidos tratando da determinao de distribuies de presso, velocidade em regime permanente e os problemas de Transferncia de Calor em regime permanente. Para este tipo de problema, o processo de discretizao atravs do MEF conduz a um modelo matemtico representado por um conjunto de equaes algbricas, que podem ser lineares ou no lineares.

Domnios de aplicao do MEFproblemas de autovalor. Nesta classe de problemas, o modelo matemtico obtido representado por um conjunto de equaes lineares homogneas, caracterizado pela dependncia em relao a um parmetro, cuja resoluo conduz a um conjunto de autovalores e autovetores. So exemplos os problemas que tratam da determinao de freqncias naturais e modos de vibrao de meios slidos e fluidos, alm de cargas de flambagem de elementos estruturais. No primeiro caso os autovalores correspondem s freqncias naturais e os autovetores associam-se aos modos naturais de vibrao; no segundo, os autovalores correspondem s cargas de flambagem e os autovetores dizem respeito aos campos de deslocamentos correspondentes.

Domnios de aplicao do MEF problemas de propagao.

Os problemas de propagao so aqueles em que se busca caracterizar a evoluo das variveis de campo em funo do tempo. o caso tpico de fenmenos que se desenvolvem em regime transitrio. Os seguintes exemplos podem ser mencionados: determinao do movimento de sistemas estruturais submetidos a cargas de impacto e determinao de distribuies de temperatura geradas por fluxos de calor variveis.

Limitaes do MEFAlgumas fontes de incerteza inerentes modelagem por EF so: a no considerao de certos tipos de efeitos fsicos, tais como no linearidades, histerese, amortecimento, etc. erros de discretizao, devidos impossibilidade de se obter uma perfeita representao de domnios de geometria complexa utilizando os tipos de elementos disponveis. conhecimento impreciso dos valores de alguns parmetros fsicos e/ou geomtricos que so utilizados na elaborao do modelo (ex.: mdulo de elasticidade, densidade, condutividade trmica, viscosidade, etc.) dificuldade de modelar efeitos localizados, tais como junes parafusadas e rebitadas. erros oriundos do processo de resoluo numrica.