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Método dos Elementos Finitos 2014/15 (www2.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/Elementos_finitos) Corneliu Cismaşiu Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade Nova de Lisboa [email protected] MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 / 183

Método dos Elementos Finitos - dec.fct.unl.pt · Método dos Elementos Finitos 2014/15 Programa Apresentação Introdução: Mecânica computacional; Métodos de discretização;

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  • Mtodo dos Elementos Finitos2014/15

    (www2.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/Elementos_finitos)

    Corneliu Cismaiu

    Departamento de Engenharia CivilFaculdade de Cincias e Tecnologia

    Universidade Nova de Lisboa

    [email protected]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 / 183

  • Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15

    Programa

    Apresentao

    Introduo: Mecnica computacional; Mtodos dediscretizao; MEF; Problemas fsicos/Modelos Matemticos

    Introduo ao MEF: Modelos matemticos discretos;Modelos matemticos contnuos: Formulao diferencial,Formulao em resduos ponderados, Diferenas finitas

    Mtodo dos Elementos Finitos: Sistema governativo;Mtodo dos deslocamentos; Tipos de elementos finitos:elemento de barra, elemento plano; Uso de programas deelementos finitos (GiD + Calsef); Erros na anlise;Convergncia da soluo

    Aplicaes: Barras, estado plano de tenso, lajes

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  • Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15

    Bibliografia

    [1] K. J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall, 1996.(COTA: TA347.BAT)

    [2] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor and J. Z. Zhu. The finite element method. Volume 1: ItsBasis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann, 2005.(COTA: TA640.2.ZIE)

    [3] J. N. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. McGraw Hill, 1993.(COTA: TA347.RED)

    [4] A. F. M. Azevedo. Mtodo dos elementos finitos. FEUP, 2003.(http://www.alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed)

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  • Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15

    Avaliao de Conhecimentos - contnua sem exame ou trabalho final

    Havero ao longo do perodo lectivo trabalhos de grupo (2 elementos) aos quais ser atribudaclassificao. Ao fim do semestre, os alunos sero convocados para realizar uma prova oral emque tero de defender estes trabalhos, ao fim de obter a sua classificao final.

    ainda exigido que o nmero de faltas no justificadas s aulas no exceda um tero do nmerototal de aulas leccionadas respectiva turma. O no cumprimento desta condio implica areprovao na disciplina.

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  • Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15

    Estrutura dos trabalhosDeve seguir a estrutura de uma artigo cientfico: Ttulo; Autor(es); Resumo; Palavras-chave;Contedo (introduo, desenvolvimento e concluso); Referncias bibliogrficas.

    Assim NO!

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  • Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15

    Programa de clculo automtico

    CompassFEM-8.0.2R1

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  • Introduo reas da Mecnica

    Mecnica terica - Estuda as Leis Fundamentais e os Princpios daMecnica

    Mecnica aplicada - Transfere o conhecimento terico construo demodelos matemticos de fenmenos fsicos da rea de cinciae da engenharia

    Mecnica computacional - Resolve problemas especficos atravs dasimulao utilizando mtodos numricos implementados emcomputadores digitais

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  • Introduo reas da Mecnica

    Mecnica computacional - procura solues a dados problemas

    Mecnica aplicada - procura os problemas que admitem dadas solues

    Mecnica terica - prova a existncia de problemas e solues

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 8 / 183

  • reas da Mecnica Mecnica computacional

    Nano-mecnica e Micro-mecnica - Fenmenos a escala molecular eatmica - concepo de novos materiais e demicro-dispositivos

    Mecnica dos meios contnuos - Estudo de corpos a escala macroscpicautilizando modelos contnuos em que a micro-estrutura esthomogeneizada

    Mecnica dos slidos e das estruturasMecnica dos fluidosMecnica dos sistemas multi-fsicos

    Sistemas funcionais - Estudo de mecanismos estruturais, mecnicos,bio-mecnicos, etc.

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  • Mecnica computacional Mtodos dediscretizao

    Converter um modelo matemtico contnuo num modelo discreto com umnmero limitado de graus de liberdade.

    Mtodo dos Elementos Finitos (Finite Element Method)

    Mtodo dos Elementos de Fronteira (Boundary Element Method)

    Mtodo das Diferenas Finitas (Finite Difference Method)

    Mtodo dos Volumes Finitos (Finite Volume Method)

    Mtodo Espectral (Spectral Method)

    Mtodo sem Malha (Mesh-Free Method)

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  • Mtodos de discretizao Mtodo dosElementos Finitos

    Formulao do MEF

    DeslocamentosEsforos

    Mista - u e no domnio, ou u na fronteiraHbrida - u ou no domnio, ou u na fronteira

    Soluo do MEF

    RigidezFlexibilidade

    Mista

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  • Mtodos de discretizao Mtodo dosElementos Finitos

    Obter a soluo de um problema de engenharia utilizando o MEF significaessencialmente construir e resolver um sistema governativo de equaesalgbricas.

    Desenvolvimento dos computadores digitais

    MEF eficiente e confivel

    Grande desenvolvimento do MEF para aplicaes prticas de engenharia

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  • Mtodo dos Elementos Finitos Histria

    Origem do MEF - trs grupos de investigao nas reas de:

    Matemtica Aplicada - R. Courant (1952, 1953)

    Fsica - J. L. Synge (1957)

    Engenharia - J. H. Argyris e S. Kelsey (1954, 1955)

    Contribuies muito significativas na rea de engenharia - J. H. Argyris, S. Kelsey, M. J. Turner,R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp, O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung.

    Clough, R. W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Proceedings, Second ASCEConference on Electronic Computation, Pittsburg, PA, pp. 345-378, Sept. 1960.

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  • Anlise por Elementos Finitos

    Interpretaao dos resultadosProblema fsico

    Modelo matemticoGovernado por equaes diferenciais

    geometriacinemtica

    lei do materialcarregamento

    condies de fronteiraetc.

    Premissas sobre:

    Refinamento da malha,parmetros da soluo, etc.

    Soluo em Elementos FinitosEscolha:

    tipo de elementos finitosdensidade da malha

    parmetros da soluo

    Representao:carregamento

    condies de fronteira

    Avaliao da precisaoda soluo em

    elementos finitos domodelo matemtico

    Aperfeioamento da concepoOptimizao estrutural

    Refinamento da anlise

    Aperfeioamentodo modelo matemtico

    Alterao do problemafsico

    Soluo em Elementos Finitos do Modelo Matemtico

    A anlise por elementos finitos resolve o modelo matemtico.

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  • Modelos matemticos

    Propriedades do modelo matemtico:

    Eficcia - permite a obteno da soluo com a preciso desejada aum custo mnimo

    Confiabilidade - produz uma soluo que se sabe ser contida dentro deuma margem de erro escolhida a priori

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  • Problemas fsicos/Modelos matemticos

    Problema fsico

    pinos 2 cm

    1000 N

    10 cm 28 cm

    6 cm 2 cm

    4 cm

    4 cm

    8 cm

    2 cm

    2 cm

    E = 2 107 N/cm2 = 0.3 t = 0.4 cm

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  • Problemas fsicos/Modelos matemticos

    Modelo matemtico - Teoria de viga

    F

    L

    h

    F = 1000 N

    L = 28 cm A =5

    6A

    h = 6 cm t = 0.4 cm

    Mmx = F L = 28000 Ncm

    mx =FL3

    3EI+

    FL

    GA 0.053 cm

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  • Problemas fsicos/Modelos matemticos

    Modelo matemtico - Estado plano de tenso

    Mmx = 29448 Ncm mx = 0.070 cm

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  • Problemas fsicos/Modelos matemticos

    Mestado plano tenso MvigaMestado plano tenso

    100 5%

    estado plano tenso vigaestado plano tenso

    100 24%

    O modelo matemtico viga confivel para uma predio do momento flectormximo com um erro no superior a 5% e do deslocamento mximo comuma preciso de apenas 25% quando comparados com a soluo obtida numaanlise elstica linear em estado plano de tenso. Tambm eficiente, tendoem conta o esforo computacional necessrio.

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  • Problemas fsicos/Modelos matemticos

    Modelo matemtico - Estado plano de tenso

    Deformada e o campo das tenses tangencias

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  • Anlise por Elementos Finitos

    - A escolha do modelo matemtico deve ser em concordncia com a soluo queser prevista.

    - O modelo matemtico mais eficiente o que fornece uma resposta confivel como mnimo esforo computacional.

    - Uma soluo em elementos finitos pode resolver com a preciso desejada apenaso modelo matemtico escolhido, podendo prever apenas os fenmeno contidos nomodelo.

    - A confiabilidade do modelo matemtico tem a ver com a avaliao da precisoda soluo quando comparada com a soluo obtida com um modelo matemticomuito mais complexo.

    Na prtica refinamento (p ou/e h) e experincia em engenharia

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  • Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais

    Ateno! Os erros computacionais em situaes da vida real podem sairmuito caro. . .

    On February 25, 1991, during the Gulf War, an AmericanPatriot Missile battery in Dharan, Saudi Arabia, failed totrack and intercept an incoming Iraqi Scud missile. The Scudstruck an American Army barracks, killing 28 soldiers andinjuring around 100 other people.The Patriot Missile failure,is ultimately attributable to poor handling of rounding errors.

    Excerpted from the report of the General Accounting office GAO/IMTEC-92-26

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 22 / 183

  • Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais

    The explosion of the Ariane 5 rocket just after lift-off on its maiden voyage off French Guiana,on June 4, 1996, was ultimately the consequence of simple overflow.

    Excerpted from the report of the Inquiry Board ARIANE 5. Flight 501 Failure

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 23 / 183

  • Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais

    The sinking of the Sleipner A offshore platform in Grandsfjorden near Stavanger, Norway, onAugust 23, 1991, resulted in a loss of about 700 million dollars. The post accident investigationtraced the error to inacurrate finite element approximation using the popular finite elementprogram NASTRAN.

    Excerpted from SINTEF, Civil and Environmental Engineering

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 24 / 183

  • Introduo ao MEF

    Anlise de um problema de engenharia:

    Idealizao do problema

    Formulao do modelo matemtico

    Modelos discretos com massa concentradaModelos contnuos

    Resoluo do modelo matemtico

    Interpretao dos resultados

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  • Introduo ao MEF Modelos matemticosdiscretos

    O problema pode ser descrito com a preciso desejada por intermdio de umnmero finito (pequeno) de variveis.

    Idealizao do problema

    Equilbrio dos elementos

    Assemblagem dos elementos

    Clculo da resposta

    Tipo de problemas: estacionrios, de propagao, valores e vectores prprios.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 26 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios

    Sistema de molas elsticas - solicitao esttica

    k1

    k4

    k5

    R2

    R3R1

    u1 u2 u3

    k2

    k3

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 27 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios

    Equaes de equilbrio dos elementos

    u1

    k1 F1(1)

    k1 0 00 0 00 0 0

    u1u2u3

    =

    F(1)100

    u2

    F1(2)

    F2(2)k2

    u1

    k2 k2 0k2 k2 00 0 0

    u1u2u3

    =

    F(2)1

    F(2)20

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 28 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios

    Equaes de equilbrio dos elementos

    u2

    F1(3)

    F2(3)k3

    u1

    k3 k3 0k3 k3 00 0 0

    u1u2u3

    =

    F(3)1

    F(3)20

    u3

    F1(4)

    F3(4)k4

    u1

    k4 0 k40 0 0

    k4 0 k4

    u1u2u3

    =

    F(4)10

    F(4)3

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 29 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios

    Equaes de equilbrio dos elementos

    u3

    F2(5)

    F(5)k5

    u2

    3

    0 0 00 k5 k50 k5 k5

    u1u2u3

    =

    0

    F(5)2

    F(5)3

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 30 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios

    Assemblagem dos elementos

    F(1)1 + F

    (2)1 + F

    (3)1 + F

    (4)1 = R1

    F(2)2 + F

    (3)2 + F

    (5)2 = R2

    F(4)3 + F

    (5)3 = R3

    k1 + k2 + k3 + k4 (k2 + k3) k4(k2 + k4) k2 + k3 + k5 k5

    k4 k5 k4 + k5

    u1u2u3

    =

    R1R2R3

    K u = R

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 31 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemas depropagao

    Sistema de molas elsticas - solicitao dinmica

    k1

    k4

    k5

    u1 u2 u3

    R (t)2

    R (t)3R (t)1

    k2

    m3m2m1

    k3

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 32 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemas depropagao

    Assemblagem dos elementos

    F(1)1 + F

    (2)1 + F

    (3)1 + F

    (4)1 = R1(t) m1u1

    F(2)2 + F

    (3)2 + F

    (5)2 = R2(t) m2u2

    F(4)3 + F

    (5)3 = R3(t) m3u3

    Mu + K u = R(t) onde M =

    m1 0 00 m2 00 0 m3

    Condies iniciais:u(t = 0) = u0 u(t = 0) = u0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 33 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemas devalores e vectores prprios

    Sistema de molas elsticas - vibraes livres

    k1

    k4

    k5

    u1 u2 u3

    k2

    m3m2m1

    k3

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 34 / 183

  • Modelos matemticos discretos Problemas devalores e vectores prprios

    u = sin(t )

    M u + K u = 0

    2M sin(t ) + K sin(t ) = 0

    K = 2M

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 35 / 183

  • Modelos matemticos discretos

    Exemplos de anlises utilizando o mtodo dos elementos aplicados (AppliedElement Method)

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 36 / 183

  • Natureza das solues

    Sistema discreto e condies de carregamento

    r2k = kL

    2r1

    k = kL2

    L L

    P

    F

    2F

    m/2m

    kbarra rgida barra rgidaA BC

    Td

    tTd

    F = sin

    t t

    F P

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 37 / 183

  • Natureza das solues

    ku 2

    mu1kL

    2

    kL2

    kL2

    P

    F

    2u

    2F

    1u

    2

    mu2

    cos cos 1 sin u1L

    sin u2 u1L

    Mdt.B = P(u2 u1) + ku2L +mu2

    2L FL + kL2 u2 u1

    L= 0

    MA = Pu2 + ku22L +mu2

    22L F2L 2FL + mu1L + kL2

    u1

    L= 0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 38 / 183

  • Natureza das solues

    m 0

    0m

    2

    u1

    u2

    +

    (

    5k +2P

    L

    )

    (

    2k +P

    L

    )

    (

    2k +P

    L

    ) (

    2k +2P

    L

    )

    u1

    u2

    =

    2F

    F

    Mu + Ku = F

    Frequncia prprias do sistema

    (K 2M)u = 0

    1,2 =

    k

    m

    9

    2+ 2

    P

    kL

    33

    4+ 8

    P

    kL+ 2

    P2

    k2L2T1,2 =

    2

    1,2

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 39 / 183

  • Natureza das solues

    Frequncias prprias do sistema

    1

    (k/m)1/2

    2

    (k/m)1/2

    P/(kL) 0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    2 0 2 4 6 8 10

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 40 / 183

  • Natureza das solues

    Anlise esttica vs. Anlise dinmica

    u2, anlise dinmica

    u1, anlise dinmica

    u1, anlise esttica

    u2, anlise esttica

    t/Td

    m = 1k = 1L = 1P = 1

    T = 4 Td 10.2

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2

    1.4

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    0.0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 41 / 183

  • Natureza das solues

    Anlise esttica vs. Anlise dinmica

    m = 1k = 1L = 1P = 1

    u1, anlise esttica

    u1, anlise dinmica

    u2, anlise esttica

    u2, anlise dinmica

    T = (T + T )/2d 1 2 t/Td 0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 42 / 183

  • Natureza das solues

    Anlise esttica vs. Anlise dinmica

    m = 1k = 1L = 1P = 1

    t/Td

    u2, anlise esttica

    u1, anlise esttica

    u2, anlise dinmicau1, anlise dinmica

    T = T /4d 2 0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 43 / 183

  • Natureza das solues

    Analisando as frequncias prprias do sistema,

    1,2 =

    k

    m

    9

    2+ 2

    P

    kL

    33

    4+ 8

    P

    kL+ 2

    P2

    k2L2

    observa-se que

    1 = 0 Pcr = 2kL o sistema torna-se instvel

    importante:

    Verificar se o sistema pode tornar-se instvel

    Decidir se a anlise dever ser esttica ou dinmica, linear ou no-linear

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 44 / 183

  • Introduo ao MEFModelos matemticos contnuos

    O problema pode ser descrito por intermdio de um conjunto de equaesdiferenciais que so vlidas no domnio dos elementos.

    Juntam-se as condies de fronteira e as condies iniciais (para anlisedinmica).

    Formulao diferencial

    Formulao variacional

    Formulaes em resduos ponderados

    Diferenas finitas

    MEF

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 45 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

    Procura-se a soluo analtica de uma equao diferencial de tipo:

    A(x , y)2u

    x2+ 2B(x , y)

    2u

    xy+ C(x , y)

    2u

    y2=

    (

    x , y , u,u

    x,u

    y

    )

    sujeita a determinadas condies de fronteira e condies iniciais.

    B2 AC

    < 0 . . . eq. diferencial elptica (Eq. Laplace)= 0 . . . eq. diferencial parablica (Eq. do calor)> 0 . . . eq. diferencial hiperblica (Eq. das ondas)

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 46 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    d

    dx

    (

    EAdu

    dx

    )

    = 0 u|x=0 = 0 EAdu

    dx

    x=L

    = R

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 47 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    Para 0 x 100 :E

    d2u

    dx2= 0 u(x) = C0 + C1x

    E

    u(0) =C0

    E= 0 C0 = 0

    u(x) =C1x

    E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 48 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    Para 100 x 180 :

    Ed

    dx

    [(

    1 +x 100

    40

    )2du

    dx

    ]

    = 0 u(x) = C2E(x 60) +

    C3

    E

    E

    (

    1 +x 100

    40

    )2du

    dx

    x=180

    =C2

    1600= 100 C2 = 160000

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 49 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    O deslocamento e a extenso devem ser contnuos no x = 100 :

    u|x=100 100C1

    E= 4000

    E+

    C3

    E

    du

    dx

    x=100

    C1E

    =100

    E

    {

    C1 = 100C3 = 14000

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 50 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

    u(x) =

    100x

    E. . . 0 x 100

    14000

    E 160000

    E(x 60) . . . 100 x 180

    (x) = Edu

    dx=

    100 . . . 0 x 100

    160000

    (x 60)2 . . . 100 x 180

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 51 / 183

  • Formulao diferencial

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    25 50 75 100 125 150 175

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    100E

    Factor de escala:

    u(x)

    x

    25

    E

    50 75 100 125 150 175

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    du(x)

    dx

    x

    Factor de escala: 100

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 52 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    d

    dx

    (

    EAdu

    dx

    )

    = 0 u|x=0 = 0 EAdu

    dx

    x=L

    = R

    u =n

    i=1

    ai fi

    fi - funes de forma linearmente independentes

    ai - pesos a ser determinados

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 53 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderadosDefine-se o resduo

    =d

    dx

    [

    EAd

    dx

    (n

    i=1

    ai fi

    )]

    Soluo exacta = 0

    Resduos ponderados - determinar ai de tal modo que 0Mtodo Galerkin

    D

    fi dD = 0; i = 1, 2, . . . , n

    Mtodo dos mnimos quadrados

    ai

    D

    2 dD = 0; i = 1, 2, . . . , n

    Mtodo da colocao

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 54 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados

    Sejau(x) = a1x + a2x

    2 f1 = x e f2 = x2

    Utilizando o mtodo do Galerkin,

    L

    0fi

    d

    dx

    (

    EAdu

    dx

    )

    dx = 0

    Integrando por partes (Teorema da Divergncia),

    F (x) = u(x) v(x) dF = (uv + uv )dx b

    a(uv + uv )dx = [uv ]ba

    b

    auv dx =

    b

    auv dx + [uv ]ba

    L

    0

    (

    EAdu

    dx

    )dfi

    dxdx +

    [

    EAdu

    dxfi

    ]L

    0

    = 0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 55 / 183

  • Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados

    L

    0

    (

    EAdu

    dx

    )dfi

    dxdx = Rfi |x=L i = 1, 2

    100

    0(a1+2a2x) dx+

    180

    100

    [

    1+x100

    40

    ]2

    (a1+2a2x) dx =100 180

    E

    100

    0(a1+2a2x)2x dx+

    180

    100

    [

    1+x100

    40

    ]2

    (a1+2a2x)2x dx =100 1802

    E

    1340

    3115600

    115600102227200

    3

    {a1a2

    }

    =

    18000

    E

    3240000

    E

    a1 =128.596

    E

    a2 =0.341171

    E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 56 / 183

  • Formulao em resduos ponderados

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    25 50 75 100 125 150 175

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    100E

    Factor de escala:

    u(x)

    x

    Galerkin

    soluo analtica

    25 50 75 100 125 150 175

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2 du(x)

    dx

    Factor de escala: 100

    x

    Galerkin

    soluo analtica E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 57 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    dw

    dx

    i

    wi+1 wi12h

    1 1

    d2w

    dx2

    i

    wi+1 2wi + wi1h2

    1 12

    d3w

    dx3

    i

    wi+2 2wi+1 + 2wi1 wi22h3

    2 21 1

    d4w

    dx4

    i

    wi+2 4wi+1 + 6wi 4wi1 + wi2h4

    4 41 16

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 58 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    Operador de Laplace ou Laplaciano

    2w = 2w

    x2+

    2w

    y2

    2wi,i

    4wi,j + wi+1,j + wi,j+1 + wi1,j + wi,j1h2

    41

    1

    1

    1

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 59 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    Operador biharmnico

    4w = 2(2)w = 4w

    x4+

    4w

    y4+ 2

    4w

    x2y2

    4wi,i

    [20wi,j 8(wi+1,j + wi1,j + wi,j+1 + wi,j1)

    +2(wi+1,j+1 + wi1,j+1 + wi1,j1 + wi+1,j1)

    +wi+2,j + wi2,j + wi,j+2 + wi,j2]/h4

    208

    8

    8

    8 11

    1

    1

    22

    2 2

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 60 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    h h

    n1 n+1

    u, x

    n0 i1 i i+1

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 61 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    d

    dx

    (

    EAdu

    dx

    )

    = 0 E(

    dA

    dx

    du

    dx+ A

    d2u

    dx2

    )

    = 0

    u(0) = 0 EAdu

    dx

    x=L

    = R

    E

    [(Ai+1 Ai1

    2h

    )(ui+1 ui1

    2h

    )

    + Aiui+1 2ui + ui1

    h2

    ]

    = 0

    u0 = 0 EAnun+1 un1

    2h= R

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 62 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    h = 20 cm n = 9 {

    A0 . . .A5 = 1

    A6 . . .A10 =(

    1 + (i5)h40

    )2

    Para i = 1 . . . 9

    (Ai+1 + 4Ai Ai1)ui+1 8Aiui + (Ai+1 + 4Ai + Ai1)ui1 = 0

    Condies de fronteira

    u0 = 0 u10 u8 =2Rh

    EA9

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 63 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    8 44 8 4

    4 8 44 8 4

    2.75 8 5.256 18 12

    12 32 2020 50 30

    72 72

    u1u2u3u4u5u6u7u8u9

    =

    00000000F9

    F9 = 56000

    3E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 64 / 183

  • Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

    u =

    24.747549.494974.242498.9899123.737136.7

    143.182147.071149.663

    100

    E

    du

    dx=

    1.237371.237371.237371.237370.9427610.4861110.2592590.1620370.111111

    100

    E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 65 / 183

  • Diferenas finitas

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    25 50 75 100 125 150 175

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    100E

    Factor de escala:

    u(x)

    x

    soluo analtica

    diferenas finitas

    25 50 75 100 125 150 175

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2 du(x)

    dx

    Factor de escala: 100

    soluo analtica

    diferenas finitas

    E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 66 / 183

  • Modelos matemticos contnuos

    Diferenas finitas

    /* Exemplo de programao em Maxima (1/3) */

    R:100; /* Fora aplicada */

    E: 1; /* Mdulo de elasticidade */

    h:20; /* Dimenso da malha */

    Np:round(180/h); /* Nmero de pontos */

    /* Inicializao da rea da seco nos pontos da malha */

    for i:0 thru Np+1 step 1 do

    if i*h

  • Modelos matemticos contnuos

    Diferenas finitas

    /* Exemplo de programao em Maxima (2/3) */

    /* Inicializao do rhs */

    for i:1 thru Np-1 step 1 do rhs[i]:0;

    rhs[Np]:-2*R*h/E/a[Np]*(a[Np+1]+4*a[Np]-a[Np-1]);

    RHS: makelist(rhs[i],i,1,Np);

    /* Soluo em deslocamentos */

    load ("lapack"); /* Soluo alternativa sem LAPACK */

    U:dgesv(MAT,RHS); /* U:first(linsolve_by_lu(MAT,RHS,floatfield) */

    sol[Np+1,1]: 2*100*h/E/a[Np]+U[Np-1][1];

    sol[0,1]: 0;

    for i:1 thru Np step 1 do sol[i,1] : U[i][1];

    /* Soluo em extenso */

    for i:1 thru Np step 1 do sol[i,2] : (sol[i+1,1]-sol[i-1,1])/2/h;

    /* Soluo em deslocamentos e extenso */

    SOL: genmatrix(sol,Np,2);

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 68 / 183

  • Modelos matemticos contnuos

    Diferenas finitas

    /* Exemplo de programao em Maxima (3/3) */

    /* Plotar deslocamentos */

    xvals: makelist(i, i, 0, Np);

    uvals: makelist(sol[i,1], i, 0, Np);

    plot2d([discrete, xvals, uvals], [style, points]);

    /* Plotar extenso */

    x1vals: makelist(i, i, 1, Np);

    duvals: makelist(sol[i,2], i, 1, Np);

    plot2d([discrete, x1vals, duvals], [style, points]);

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 69 / 183

  • Mtodo dos elementos finitos

    u

    f

    f buk

    uk+1uk+2

    F

    elemento finito m

    ponto nodal j

    j

    Conhecendo a geometria do corpo, as cargas aplicadas, as condies de apoio e a lei domaterial,

    Detemine os deslocamentos e as respectivas extenses e tenses.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 70 / 183

  • Mtodo dos elementos finitos

    MEF formulao em deslocamentos obtida pelo PTV

    VT dV =

    VuT f b dV +

    uT f d +

    i

    u iTF i

    Tenses em equilbrio com as cargas aplicadasDeformaes virtuais correspondentes aos deslocamentos virtuais u

    As tenses que equilibram as cargas aplicadas assumam-se conhecidas

    As deformaes virtuais so obtidas derivando o vector dos deslocamentos virtuais u

    Os deslocamentos virtuais u devem representar um campo continuo, diferencivel.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 71 / 183

  • Mtodo dos elementos finitos

    Quando a equao do PTV est satisfeita para qualquer deslocamento virtual u, com as tenses obtidas a partir de um campo de deslocamentos continuo u que satisfaz as condies de fronteiracinemticas, ficam automaticamente satisfeitas as equaes:

    Equilbrio - a equao do PTV uma equao de equilbrio

    Compatibilidade - o campo de deslocamentos u continuo e satisfaz as condies de fronteira

    Constitutivas - as tenses foram calculadas utilizando as relaes constitutivas a partir dasdeformaes que foram obtidas a partir dos deslocamentos u

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 72 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

    u

    f

    f buk

    uk+1uk+2

    F

    elemento finito m

    ponto nodal j

    j

    Deslocamentos

    u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z)U

    UT = {u1 u2 . . . un}

    H(m) - matriz de interpolao dosdeslocamentos

    Deformaes(m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z)U

    E (m) - matriz de ligao entre as deformaes e os deslocamentos

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 73 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

    E (m) = DH(m)

    Para o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:

    D =

    /x 0 00 /y 00 0 /z

    /y /x 00 /z /y

    /z 0 /x

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 74 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

    Tenses

    (m)(x , y , z) = k(m) (m)(x , y , z)

    k(m) - matriz de elasticidadePara o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:

    k(m) =E

    (1 + )(1 2)

    1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 75 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

    VT dV =

    VuT f b dV +

    uT f d +

    i

    u iTF i

    m

    V (m)(m)T

    (m)

    dV (m) =

    m

    V (m)u(m)T f b(m) dV (m)+

    m

    (m)

    u(m)T f (m) d(m) +

    i

    u iTF i

    Para eficincia podem ser utilizados sistemas de coordenadas diferentes para cada elemento finito.

    Admitindo u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z) U (m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z) U

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 76 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

    Resulta

    UT

    m

    V (m)E (m)TkE (m) dV (m)U = U

    T

    m

    V (m)H(m)T f b(m) dV (m)+

    UT

    m

    (m)

    H(m)T f (m) d(m) + U

    TF

    K

    m

    V (m)E (m)TkE (m) dV (m)

    K (m)

    - matriz de rigidez global

    FB

    m

    V (m)H(m)T f b(m) dV (m)

    F(m)B

    - vector das foras de massa

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 77 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

    F

    m

    (m)

    H(m)T f (m) d(m)

    F(m)

    vector das foras distribudas

    F - vector das foras concentradas aplicadas nos ns dos elementos

    P FB + F + F vector das cargas aplicadas

    K U = P equao de equilbrio

    O sistema governativo obtm-se juntando equao de equilbrio as condies de fronteira:[K e i

    eTi 0

    ]{U

    }

    =

    {P

    u}

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 78 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    u1

    u2u3 u4

    u5u6 u7

    u8u9

    P

    L L

    p

    EI, EA2EI, 4EA

    1 2

    Dados numricos:

    EI = 103 kNm2 EA = 0.1EI L = 1 m p = 0.01 kN/m P = 1 kN

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 79 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    u1

    u2

    u3

    u4

    u5

    u6

    Anlise de Estruturas I a matriz de rigidez de uma barra bi-encastrada dada por:

    Ke=

    EAL

    0 0 EAL

    0 0

    0 12EIL3

    6EI

    L20 12EI

    L36EI

    L2

    0 6EIL2

    4EIL

    0 6EIL2

    2EIL

    EAL

    0 0 EAL

    0 0

    0 12EIL3

    6EI

    L20 12EI

    L3

    6EI

    L2

    0 6EIL2

    2EIL

    0 6EIL2

    4EIL

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 80 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    Elemento 1 u1

    u2u3 u4

    u5u6

    1

    K (1) =

    EAL

    0 0 EAL

    0 0 0 0 00 12EI

    L36EIL2

    0 12EIL3

    6EIL2

    0 0 00 6EI

    L24EIL

    0 6EIL2

    2EIL

    0 0 0EA

    L0 0 EA

    L0 0 0 0 0

    0 12EIL3

    6EIL2

    0 12EIL3

    6EIL2

    0 0 00 6EI

    L22EIL

    0 6EIL2

    4EIL

    0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 81 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    Elemento 2 u4

    u5u6 u7

    u8u9

    2

    K (2) =

    0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4EA

    L0 0 4EA

    L0 0

    0 0 0 0 24EIL3

    12EIL2

    0 24EIL3

    12EIL2

    0 0 0 0 12EIL2

    8EIL

    0 12EIL2

    4EIL

    0 0 0 4EAL

    0 0 4EAL

    0 00 0 0 0 24EI

    L3 12EI

    L20 24EI

    L3 12EI

    L2

    0 0 0 0 12EIL2

    4EIL

    0 12EIL2

    8EIL

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 82 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    A matriz de rigidez global dada por

    K =2

    i=1

    K (i)

    K=

    EAL

    0 0 EAL

    0 0 0 0 0

    0 12EIL3

    6EI

    L20 12EI

    L36EI

    L20 0 0

    0 6EIL2

    4EIL

    0 6EIL2

    2EIL

    0 0 0

    EAL

    0 0 5EAL

    0 0 4EAL

    0 0

    0 12EIL3

    6EI

    L20 36EI

    L36EI

    L20 24EI

    L312EI

    L2

    0 6EIL2

    2EIL

    0 6EIL2

    12EIL

    0 12EIL2

    4EIL

    0 0 0 4EAL

    0 0 4EAL

    0 0

    0 0 0 0 24EIL3

    12EI

    L20 24EI

    L3

    12EI

    L2

    0 0 0 0 12EIL2

    4EIL

    0 12EIL2

    8EIL

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 83 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    O vector das foras aplicadas

    PT ={

    0 P 0 0 pL/2 pL2/12 0 pL/2 pL2/12}

    u1

    u2u3 u4

    u5u6

    1

    P

    u4

    u5u6 u7

    u8u9

    2pL /12 pL /122

    2

    pL/2 pL/2p

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 84 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    As condies de fronteira u (u7 = u8 = u9 = 0) so impostas utilizando amatriz e1

    eT1 =

    0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

    uT =

    {

    0 0 0}

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 85 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    Sistema governativo

    EAL

    0 0 - EAL

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 12EIL3

    6EI

    L20 - 12EI

    L36EI

    L20 0 0 0 0 0

    0 6EIL2

    4EIL

    0 - 6EIL2

    2EIL

    0 0 0 0 0 0

    - EAL

    0 0 5EAL

    0 0 - 4EAL

    0 0 0 0 0

    0 - 12EIL3

    - 6EIL2

    0 36EIL3

    6EI

    L20 - 24EI

    L312EI

    L20 0 0

    0 6EIL2

    2EIL

    0 6EIL2

    12EIL

    0 - 12EIL2

    4EIL

    0 0 0

    0 0 0 - 4EAL

    0 0 4EAL

    0 0 -1 0 0

    0 0 0 0 - 24EIL3

    - 12EIL2

    0 24EIL3

    - 12EIL2

    0 -1 0

    0 0 0 0 12EIL2

    4EIL

    0 - 12EIL2

    8EIL

    0 0 -1

    0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

    u1u2u2u4u5u6u7u8u9789

    =

    0-P00

    - pL2

    - pL2

    12

    0

    - pL2

    pL2

    12

    000

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 86 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    U =

    0

    7pL4

    48EI

    3PL3

    2EIpL3

    12EI+ 5PL

    2

    4EI0

    pL4

    16EI

    5PL3

    12EIpL3

    12EI+ 3PL

    2

    4EI000

    U =

    0.000000.00150

    0.001250.00000

    0.000420.000750.000000.000000.00000

    [m]

    =

    0pL + P

    pL2

    2 2PL

    =

    0.0001.010

    2.005

    [kN][kN]

    [kNm]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 87 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

    1 kN0.01kN/m

    1.010 kN

    2.005 kNm

    1 m 1 m

    0.42 mm

    1.5 mm0.00075 rad

    0.00125 rad

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 88 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosTipos de elementos finitos

    Barras e vigas

    Estado plano de tenso/deformao

    Estado axissimtrico

    Cascas e lajes

    Elementos tri-dimensionais

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 89 / 183

  • Elemento de barra com 2 ns

    2 2

    22

    3

    100 cm 80 cm

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    R = 100 N

    y

    uu1 u2

    UT = {u1 u2 u3}

    u1 u2

    1 cm2

    1 cm2

    x100

    u2

    1 cm2

    u3

    x80

    9 cm2

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 90 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    Elemento finito 1

    u1 u2

    1 cm2

    1 cm2

    x100

    k(1) = E

    A(1) = 1 cm2

    u(1)(x) = H(1)U u(1)(0) = u1 u(1)(100) = u2

    H(1) ={(

    1 x100

    ) x

    1000}

    E (1) = DH(1) =

    {(

    1100

    )1

    1000

    }

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 91 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    K (1) =

    V (1)E (1)Tk(1)E (1) dV (1)

    K (1) = E

    100

    0

    1100

    1

    100

    0

    {

    1100

    1

    1000

    }

    dx

    K (1) =E

    100

    1 1 01 1 00 0 0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 92 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    Elemento finito 2

    u2

    1 cm2

    u3

    x80

    9 cm2

    k(2) = E

    A(2) =(

    1 +x

    40

    )2cm2

    u(2)(x) = H(2)U

    u(2)(0) = u2

    u(2)(80) = u3

    H(2) ={

    0(

    1 x80

    ) x

    80

    }

    E (2) = DH(2) =

    {

    0

    (

    180

    )1

    80

    }

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 93 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    K (2) =

    V (2)E (2)Tk(2)E (2) dV (2)

    K (2) = E

    80

    0

    0

    180

    1

    80

    {

    0 180

    1

    80

    }(

    1 +x

    40

    )2dx

    K (2) =13E

    240

    0 0 00 1 10 1 1

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 94 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    A matriz de rigidez global

    K =2

    i=1

    K (i) =E

    240

    2.4 2.4 02.4 15.4 13

    0 13 13

    O vector das foras aplicadas

    P =

    00

    100

    Condies de fronteirau1 = e

    T1 U = 0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 95 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    Sistema governativo[

    K e1eT1 0

    ]{U

    }

    =

    {P

    u}

    E/100 E/100 0 1E/100 77E/1200 13E/240 0

    0 13E/240 13E/240 01 0 0 0

    u1u2u3

    =

    00

    1000

    Resulta

    u1 = 0 u2 =10000

    Eu3 =

    154000

    13E

    = 100 . . . a reaco no apoio

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 96 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

    (m) = k(m)(m) = k(m)E (m)U

    (1) = E

    {1/100 1/100 0

    }

    010000/E

    154000/(13E)

    = 100

    (2) = E

    {0 1/80 1/80

    }

    010000/E

    154000/(13E)

    = 23.07

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 97 / 183

  • Elemento de barra com 2 ns

    2 2

    22

    100 cm 80 cm

    y

    R = 100 N

    A B C

    A = 1 cmA = (1+y/40) cm

    u, x

    25 50 75 100 125 150 175

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    100E

    Factor de escala:

    u(x)

    x

    soluo analtica

    MEF

    25 50 75 100 125 150 175

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0du(x)

    dx

    Factor de escala: 100

    soluo analtica

    x

    MEF

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 98 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    u1u2

    u3

    1

    2

    3

    x

    yu4

    u6

    u5

    u =

    {

    u(x , y)v(x , y)

    }

    = H U

    UT = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 }

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 99 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    {

    u(x , y) = 1 + 2x + 3yv(x , y) = 1 + 2x + 3y

    u =

    {

    u(x , y)v(x , y)

    }

    =

    =

    [

    1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

    ]

    T = { 1 2 3 1 2 3 }

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 100 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    Explicitando para todos os pontos nodais,

    1 x1 y1 0 0 01 x2 y2 0 0 01 x3 y3 0 0 00 0 0 1 x1 y10 0 0 1 x2 y20 0 0 1 x3 y3

    123123

    =

    u1u2u3u4u5u6

    A = U = A1 U

    Masu = = A1 U = H U H = A1

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 101 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    1

    2

    3

    4

    1

    2

    3

    4

    5

    4 cm

    4 cm

    P P

    t = 0.1 cm

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 102 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    Elemento 1

    u1

    u2

    u3

    u6

    u7

    u81 3

    1

    2

    y

    x

    A(1) =

    1 0 0 0 0 01 2 2 0 0 01 0 4 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 0 4

    . . . u1

    . . . u3

    . . . u2

    . . . u6

    . . . u8

    . . . u7

    (1) =

    [1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

    ]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 103 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    H(1) = (1)[

    A(1)]1

    H(1) =

    4 x y4

    x

    2

    x + y4

    0 0 0

    0 0 04 x y

    4

    x

    2

    x + y4

    D =

    x0

    0

    y

    y

    x

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 104 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    E (1) = DH(1) =

    1/4 1/2 1/4 0 0 00 0 0 1/4 0 1/4

    1/4 0 1/4 1/4 1/2 1/4

    K (1) =

    A(1)E (1)TkE (1) tdA(1)

    Admitindo estado plano de tenso,

    k =E

    1 2

    1 0 1 00 0 (1 )/2

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 105 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    K (1) = E (1)TkE (1)t

    A(1)dA(1)

    Dados os pontos (xi , yi ), i = 0, . . . ,N, com x0 = xN e y0 = yN , a rea do polgono plano definidopor estes pontos pode ser calculada (teorema de Green) pela seguinte frmula:

    A =1

    2

    N1

    i=0

    (xiyi+1 xi+1yi )

    No caso particular de um tringulo de vertices (a, b), (c, d) e (e, f ), a rea dada por:

    A =1

    2

    1 1 1a c eb d f

    =1

    2[(cf ed) + (eb af ) + (ad cb)]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 106 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    Resultando, para = 0.25,

    K (1) = E

    11/300 4/75 1/60 1/60 1/50 1/3004/75 8/75 4/75 1/75 0 1/751/60 4/75 11/300 1/300 1/50 1/601/60 1/75 1/300 11/300 1/50 1/601/50 0 1/50 1/50 1/25 1/501/300 1/75 1/60 1/60 1/50 11/300

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 107 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    Elemento 2

    u3

    u7

    u8

    u2

    2

    u10u5

    3

    2 5

    x

    y

    A(2) =

    1 0 4 0 0 01 2 2 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 0 40 0 0 1 2 20 0 0 1 4 4

    . . . u2

    . . . u3

    . . . u5

    . . . u7

    . . . u8. . . u10

    (2) =

    [1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

    ]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 108 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    H(2) = (2)[

    A(2)]1

    H(2) =

    x + y4

    4 y2

    4 + x + y4

    0 0 0

    0 0 0x + y

    4

    4 y2

    4 + x + y4

    E (2) = DH(2) =

    1/4 0 1/4 0 0 00 0 0 1/4 1/2 1/4

    1/4 1/2 1/4 1/4 0 1/4

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 109 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    K (2) =

    A(2)E (2)TkE (2) tdA(2)

    K (2) = E

    11/300 1/50 1/60 1/60 1/75 1/3001/50 1/25 1/50 1/50 0 1/501/60 1/50 11/300 1/300 1/75 1/601/60 1/50 1/300 11/300 4/75 1/601/75 0 1/75 4/75 8/75 4/751/300 1/50 1/60 1/60 4/75 11/300

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 110 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    Elemento 3

    u3

    u8

    u10u5

    u9

    u4

    3

    x

    y

    5

    4

    3

    A(3) =

    1 2 2 0 0 01 4 0 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 4 00 0 0 1 4 4

    . . . u3

    . . . u4

    . . . u5

    . . . u8

    . . . u9. . . u10

    (3) =

    [1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

    ]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 111 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    H(3) = (3)[

    A(3)]1

    H(3) =

    4 x2

    x y4

    4 + x + y4

    0 0 0

    0 0 04 x

    2

    x y4

    4 + x + y4

    E (3) = DH(3) =

    1/2 1/4 1/4 0 0 00 0 0 0 1/4 1/40 1/4 1/4 1/2 1/4 1/4

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 112 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    K (3) =

    A(3)E (3)TkE (3) tdA(3)

    K (3) = E

    8/75 4/75 4/75 0 1/75 1/754/75 11/300 1/60 1/50 1/60 1/3004/75 1/60 11/300 1/50 1/300 1/60

    0 1/50 1/50 1/25 1/50 1/501/75 1/60 1/300 1/50 11/300 1/601/75 1/300 1/60 1/50 1/60 11/300

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 113 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    Elemento 4

    u3

    u8

    u9

    u4u1

    u6 4

    3

    4

    y

    x1

    A(4) =

    1 0 0 0 0 01 4 0 0 0 01 2 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 4 00 0 0 1 2 2

    . . . u1

    . . . u4

    . . . u3

    . . . u6

    . . . u9

    . . . u8

    (4) =

    [1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

    ]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 114 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    H(4) = (4)[

    A(4)]1

    H(4) =

    4 x y4

    x y4

    y

    20 0 0

    0 0 04 x y

    4

    x y4

    y

    2

    E (4) = DH(4) =

    1/4 1/4 0 0 0 00 0 0 1/4 1/4 1/2

    1/4 1/4 1/2 1/4 1/4 0

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 115 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    K (4) =

    A(4)E (4)TkE (4) tdA(4)

    K (4) = E

    11/300 1/60 1/50 1/60 1/300 1/751/60 11/300 1/50 1/300 1/60 1/751/50 1/50 1/25 1/50 1/50 01/60 1/300 1/50 11/300 1/60 4/75

    1/300 1/60 1/50 1/60 11/300 4/751/75 1/75 0 4/75 4/75 8/75

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 116 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    A matriz de rigidez global

    K =4

    i=1

    K (i) =

    E

    11150

    160

    - 11150

    - 160

    0 130

    1300

    - 130

    - 1300

    0160

    11150

    - 11150

    0 - 160

    - 1300

    - 130

    130

    0 1300

    - 11150

    - 11150

    2275

    - 11150

    - 11150

    - 130

    130

    0 130

    - 130

    - 160

    0 - 11150

    11150

    160

    1300

    0 130

    - 130

    - 1300

    0 - 160

    - 11150

    160

    11150

    0 - 1300

    - 130

    1300

    130

    130

    - 1300

    - 130

    1300

    0 11150

    - 160

    - 11150

    160

    01

    300- 130

    130

    0 - 1300

    - 160

    11150

    - 11150

    0 160

    - 130

    130

    0 130

    - 130

    - 11150

    - 11150

    2275

    - 11150

    - 11150

    1300

    0 130

    130

    1300

    160

    0 11150

    11150

    160

    0 1300

    130

    1300

    130

    0 160

    11150

    160

    11150

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 117 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    O vector das foras aplicadas

    PT ={

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 P}

    As condies de fronteira u (u1 = u2 = u6 = u7 = 0) so impostas utilizando a matriz e1

    eT1 =

    1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0

    uT ={

    0 0 0 0}

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 118 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    O sistema governativo dado por

    [K e1

    eT1 0

    ]{U

    }

    =

    {P

    u}

    resultando

    UT ={

    0 0 - 75116

    - 217251392

    261251392

    0 0 - 27516

    - 499251392

    - 675251392

    } P

    E

    T =

    {1 1 55

    873287

    }P

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 119 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    P

    0.63P

    0.37PP

    P

    48.51P/E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 120 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    O campo das tenses dado por

    (m) = k(m)E (m)U

    (1)=

    - 10P29

    - 5P58

    - 55P16

    (2)=

    65P16

    - 3505P1392

    - 165P58

    (3)=

    10P29

    - 535P174

    - 25P16

    (4)=

    - 65P16

    - 895P1392

    - 125P58

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 121 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

    4P 3P 2P 1P 0 1P 2P 3P 4P

    xyyx

    4.063P

    0.345P0.345P

    4.063P

    2.518P 2.845P

    0.643P 2.155P

    0.086P 3.075P 1.563P3.438P

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 122 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    u1u2

    u3

    u61

    2

    4

    x

    yu5 3

    8u

    4u u7

    u =

    {

    u(x , y)v(x , y)

    }

    = H U

    UT = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 }

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 123 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    {

    u(x , y) = 1 + 2x + 3y + 4xyv(x , y) = 1 + 2x + 3y + 4xy

    u =

    {

    u(x , y)v(x , y)

    }

    =

    =

    [

    1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy

    ]

    T = { 1 2 3 4 1 2 3 4 }

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 124 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    Explicitando para todos os pontos nodais,

    1 x1 y1 x1y1 0 0 0 01 x2 y2 x2y2 0 0 0 01 x3 y3 x3y3 0 0 0 01 x4 y4 x4y4 0 0 0 00 0 0 0 1 x1 y1 x1y10 0 0 0 1 x2 y2 x2y20 0 0 0 1 x3 y3 x3y30 0 0 0 1 x4 y4 x4y4

    12341234

    =

    u1u2u3u4u5u6u7u8

    A = U = A1 UMas

    u = = A1 U = H U H = A1

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    1

    4

    2

    3

    4 cm

    4 cm

    P P

    t = 0.1 cm

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 126 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    Elemento 1

    u1u2

    u4 u3

    u5u6

    1

    u7u8

    1 2

    34

    x

    y

    A =

    1 0 0 0 0 0 0 01 4 0 0 0 0 0 01 4 4 16 0 0 0 01 0 4 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 4 0 00 0 0 0 1 4 4 160 0 0 0 1 0 4 0

    . . . u1

    . . . u2

    . . . u3

    . . . u4

    . . . u5

    . . . u6

    . . . u7

    . . . u8

    =

    [1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy

    ]

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 127 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    H = [A]1

    H =

    [

    1- x+y4

    + xy16

    x4- xy16

    xy16

    y4- xy16

    0 0 0 0

    0 0 0 0 1- x+y4

    + xy16

    x4- xy16

    xy16

    y4- xy16

    ]

    D =

    x0

    0

    y

    y

    x

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 128 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    E = DH =

    y416

    4y16

    y16

    y16

    0 0 0 00 0 0 0 x4

    16 x

    16x16

    4x16

    x416

    x16

    x16

    4x16

    y416

    4y16

    y16

    y16

    K =

    AETkE tdA

    Admitindo estado plano de tenso,

    k =E

    1 2

    1 0 1 00 0 (1 )/2

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 129 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    Admitindo = 0.25, resulta, por exemplo, para o elemento K11 da matriz de rigidez,

    K11 =E

    10

    A

    176 24x 64y + 3x2 + 8y21920

    dA

    Como neste caso particular o domnio do elemento rectangular,

    K11 =E

    10

    4

    0

    4

    0

    176 24x 64y + 3x2 + 8y21920

    dx dy =11E

    225

    Nos programas de elementos finitos, a integrao analtica costuma ser substituda por umaintegrao numrica, utilizando o Mtodo de Gauss-Legendre.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 130 / 183

  • Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre

    Mtodo de Gauss-Legendre para a integrao numrica consiste em aproximar o integral atravsde um somatrio.

    Para o caso uni-dimensional, 1

    1f (x) dx

    n

    i=1

    wi f (xi )

    onde xi so as coordenadas dos pontos de integrao e wi os pesos associados. A regra deintegrao de Gauss de n pontos permite integrar exactamente polinmios de grau inferior ouigual a 2n 1.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 131 / 183

  • Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre

    Pontos de integrao e pesos no intervalo [1, 1]n xi wi1 0.00000 00000 00000 2.00000 00000 000002 0.57735 02691 89626 1.00000 00000 000003 0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555

    0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88888

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 132 / 183

  • Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre

    Para o caso bi-dimensional,

    1

    1

    1

    1f (x , y) dx dy

    n

    i=1

    wi

    1

    1f (xi , y) dy

    n

    i=1

    m

    j=1

    wiwj f (xi , yj )

    x=0.577...

    y=0.577...

    y=0.577...

    x=0.577...

    y

    x

    Integrao no domnio quadrilateral (x , y [1, 1]) com 2 2 pontos, exacta para umpolinmio de grau 3:

    1x y

    x2 xy y2

    x3 x2y xy2 y3

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 133 / 183

  • Elemento plano com 4 nsMapeamento isoparamtrico

    Quando o domnio de integrao no definido entre -1 e 1 (ou, para o caso 2D, no rectangular), habitual proceder a um mapeamento isoparamtrico.

    1D, x s [1, 1]

    f (x) dx =

    1

    1f [x(s)]J ds

    2D, x , y s, t [1, 1]

    f (x , y) dx dy =

    1

    1

    1

    1f [x(s, t), y(s, t)]J ds dt

    onde J (Jacobiano) o determinanto da matriz da transformao (matriz Jacobiano)

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 134 / 183

  • Mtodo de Gauss-LegendreMapeamento isoparamtrico

    x

    y

    s

    t

    2

    34

    1

    3 (1,1)4 (1,1)

    2 (1,1)1 (1,1)

    Funes de forma:N1 = (1 s)(1 t)/4 N2 = (1 + s)(1 t)/4

    N3 = (1 + s)(1 + t)/4 N4 = (1 s)(1 + t)/4

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 135 / 183

  • Mtodo de Gauss-LegendreMapeamento isoparamtrico

    As coordenadas x e y podem exprimir-se em funo ao s e t,

    x =

    4

    i=1

    Nixi y =

    4

    i=1

    Niyi

    A matriz da transformao (matriz Jacobiano) define-se como

    J =

    x

    s

    y

    s

    x

    t

    y

    t

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 136 / 183

  • Mapeamento isoparamtricoExemplo 1D

    x1 x2

    x s

    1 1Funes de forma:

    N1 = (1 s)/2 N2 = (1 + s)/2

    Mapeamento isoparamtrico:

    x =2

    i=1

    Nixi =x1 + x2 + s(x2 x1)

    2

    Jacobiano

    J = det(J) =x

    s=

    x2 x12

    Por exemplo, 7

    3x3 dx =

    1

    1

    [3 + 7 + s(7 3)

    2

    ]3 7 32

    ds = 580

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 137 / 183

  • Mapeamento isoparamtricoExemplo 2D

    1 2

    3

    4

    x

    y

    s

    t

    (1,1) (1,1)

    (1,1)(1,1)

    Coordenadas dos ns:

    x1 = 0, y1 = 0 x2 = 1, y2 = 0 x3 = 2, y3 = 2 x4 = 0, y4 = 1

    Funes de forma:N1 = (1 s)(1 t)/4 N2 = (1 + s)(1 t)/4

    N3 = (1 + s)(1 + t)/4 N4 = (1 s)(1 + t)/4

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 138 / 183

  • Mapeamento isoparamtricoExemplo 2D

    Mapeamento isoparamtrico:

    x =4

    i=1

    Nixi = (1 + s)(3 + t)/4 y =4

    i=1

    Niyi = (3 + s)(1 + t)/4

    Matriz Jacobiano:

    J = det(J) = det

    [(3 + t)/4 (1 + t)/4(1 + s)/4 (3 + s)/4

    ]

    =4 + s + t

    8

    Por exemplo,

    x3 dx dy =

    1

    1

    1

    1

    [(1 + s)(3 + t)

    4

    ]3 4 + s + t

    8ds dt =

    23

    10

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 139 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    Regressando,

    K11 =E

    10

    4

    0

    4

    0

    176 24x 64y + 3x2 + 8y21920

    dx dy

    Sendo o as coordenadas do domnio de integrao,

    (0, 0) (4, 0) (4, 4) (0, 4)

    do mapeamento isoparamtrico resulta:

    x =4

    i=1

    Nixi = 2(1 + s) y =4

    i=1

    Niyi = 2(1 + t)

    J = det

    [2 00 2

    ]

    = 4

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 140 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    Com,f (x , y) = (176 24x 64y + 3x2 + 8y2)/1920 4

    0

    4

    0f (x , y)dx dy =

    1

    1

    1

    1g(s, t)ds dt

    ondeg(s, t) = f [x(s, t), y(s, t)]J

    Utilizando a regra de integrao de Gauss com 2 2 pontos,

    I =

    1

    1

    1

    1g(s, t)ds dt

    2

    i=1

    2

    j=1

    wiwjg(si , ti )

    coms1,2 = t1,2 = 1/

    3 e w1,2 = 1

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 141 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    Resulta

    I = g

    (13,1

    3

    )

    + g

    (13,

    13

    )

    + g

    (13,1

    3

    )

    + g

    (13,

    13

    )

    =22

    45

    E o termo da matriz de rigidez,

    K11 =E

    10

    22

    45=

    11E

    225

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 142 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    A matriz de rigidez global

    K = E

    11225

    13450

    11450

    1225

    160

    1300

    160

    1300

    13450

    11225

    1225

    11450

    1300

    160

    1300

    160

    11450

    1225

    11225

    13450

    160

    1300

    160

    1300

    1225

    11450

    13450

    11225

    1300

    160

    1300

    160

    160

    1300

    160

    1300

    11225

    1225

    11450

    13450

    1300

    160

    1300

    160

    1225

    11225

    13450

    11450

    160

    1300

    160

    1300

    11450

    13450

    11225

    1225

    1300

    160

    1300

    160

    13450

    11450

    1225

    11225

    O vector das foras aplicadas

    PT ={

    0 0 0 0 0 0 P 0}

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 143 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    As condies de fronteira u (u1 = u4 = u5 = u8 = 0) so impostas utilizando a matriz e1

    eT1 =

    1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1

    uT ={

    0 0 0 0}

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 144 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    O sistema governativo dado por

    [K e1

    eT1 0

    ]{U

    }

    =

    {P

    u}

    resultando

    UT ={

    0 - 276751474

    326251474

    0 0 - 28550737

    - 38450737

    0} P

    E

    T =

    {1 1 45

    672267

    }P

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 145 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    P

    P

    0.67P

    0.33P

    P

    52.17P/E

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 146 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns

    O campo das tenses dado por = kEU

    T =

    {15(246+11x134y)

    73715(123+88x67y)

    14745(2284+603x198y)

    2948

    }

    x y xy

    0 1 2 3 40

    1

    2

    3

    4

    0 1 2 3 40

    1

    2

    3

    4

    0 1 2 3 40

    1

    2

    3

    4

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 147 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosProgramas de elementos finitos

    IFER - Internet Finite Element Resources

    Domnio pblico

    Cdigo includo (Freeware): mais de 70 programas: ADVENTURE(ADVanced ENgineering analysis Tool for Ultra large REalworld), FELT, OpenSees (Open System for EarthquakeEngineering Simulation), . . .

    Cdigo no includo (Shareware): mais de 30 programas: CADRE, IMAGINE(Integrated Modelling and Analysis in Geotechnics),PlastFEM, . . .

    Programas comerciais : mais de 120 programas: ABAQUS, Adina, Algor, ANSYS, COSMOS,DIANA, PLAXIS, SAP2000, . . .

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 148 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosGiD + Calsef

    GiD - pr/ps-processador grfico, incluindo um gerador de malha, que pode serutilizado em conjunto com uma grande variedade de programas de anlisenumrica.

    AnliseComputacional

    (CALSEF)

    Definio da geometriaDefinio das cargas e das condies de fronteira

    Definio dos materiaisGerao da malha

    (GiD)

    Visualizao dosresultados

    (GiD)

    Calsef - cdigo (elementos finitos) para a anlise de slidos (2D e 3D), lajes e cascas.

    International Center for Numerical Methods in Engineering

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 149 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    4 cm

    4 cm

    P

    t = 0.1 cm

    = 0.25

    E = 1

    P = 1

    Definir o tipo do problema: Estado plano

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 150 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicaoEscolher um ttulo para o problema, escolher o estado plano de tenso, no considerar o pesoprprio, etc.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 151 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Verificar as propriedades dos materiais e as unidades do problema.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 152 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    A janela das coordenadas facilita a introduo dos ns.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 153 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Definir a geometria da estrutura: pontos e linhas.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 154 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Definir a geometria da estrutura : superfcies.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 155 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Definir as condies de fronteira: deslocamentos impostos, apoios elsticos e cargas aplicadas.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 156 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Definir os deslocamentos impostos.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 157 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Definir as cargas aplicadas.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 158 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicaoDefinir um novo material com as propriedades desejadas.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 159 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Atribuir o material aos elementos geomtricos.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 160 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Definir o tipo de elementos finitos a utilizar.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 161 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Gerar a malha de elementos finitos.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 162 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicaoComear a anlise.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 163 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicaoEntrar na fase de ps-processamento.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 164 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Campo de deslocamentos

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 165 / 183

  • GiD + CalsefExemplo de aplicao

    Campo de tensesx y xy

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 166 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosFontes de erros na anlise

    Discretizao - Funes de interpolao da geometria e da soluo

    Integrao numrica - Clculo dos elementos das matrizes utilizando mtodos numricosde integrao

    Relaes constitutivas - Uso de modelos de material com comportamento no-linear

    Soluo das eq. de equilbrio dinmico - Integrao numrica em tempo e/ousobreposio modal

    Soluo do sistema governativo por mtodos iterativos - Gauss-Seidel, mtodo dosgradientes conjugados, Newton-Raphson, . . .

    Arredondamentos - Preciso da mquina

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 167 / 183

  • Fontes de erros na anliseDistoro da malha

    a

    L L

    p

    L

    a/L [m] 0.00 0.25 0.5 0.75 1.00/0 1.000 0.897 0.749 0.644 0.551

    Na prtica, sendo usadas malhas com nmero relativamente reduzido de elementos e sendo poucohabitual fazer estudos extensos sobre a convergncia da soluo, recomenda-se o uso de malhasno-distorcidas e/ou de elementos poucos sensveis a distoro.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 168 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosConvergncia da soluo

    A convergncia da soluo numrica implica que, com o refinamento da malha, todas as condiescinemticas, estticas e constitutivas contidas no modelo matemtico utilizado ficam satisfeitas.

    Quando os elementos finitos so completos (as funes de aproximao dos deslocamentos podemrepresentar deslocamentos de corpo rgido) e tanto os elementos como a malha so compatveis(deslocamentos contnuos) a convergncia fica monotnica.

    Quando possvel, recomenda-se o uso da energia de deformao como grandeza para o estudo daconvergncia da soluo.

    U = 12

    V

    T dV = = 1

    2UTKU

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 169 / 183

  • Mtodo dos elementos finitosConvergncia da soluo

    6L

    L p

    A

    Elem.(g.d.l.) 12 (28) 46 (76) 188 (246) 836 (950) 352 (1550)

    Av 0.288 0.631 0.874 0.970 1.000

    Ax 0.000 1.802 1.366 1.025 1.000

    Ay -0.859 0.248 0.657 0.977 1.000

    Axy 2.066 1.802 1.366 1.025 1.000

    elementos triangulares com 6 ns

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 170 / 183

  • Trabalhos prticos

    Trabalho No1: Barras

    Trabalho No2: Estado plano de tenso

    Trabalho No3: Singularidades

    Trabalho No4: Lajes

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 171 / 183

  • Trabalho No1: Barras

    Considere a bara de homognea de seco varivel representada, sujeita s condies de fronteirae ao carregamento indicado. Determine os deslocamentos axiais e o esforo normal ao longo dabarra utilizando uma formulao:

    diferencial (soluo analtica);

    em resduos ponderados (o mtodo de Galerkin);

    diferenas finitas;

    elementos finitos (elementos de barra com 2 ns).

    Compare e comente as solues obtidas.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 172 / 183

  • Trabalho No1: Barras

    22A = (3y/40) cm22A = (1+x/50) cm

    R = 100 N

    A B C

    yx

    80 cm100 cm

    u

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 173 / 183

  • Trabalho No2: Estado plano de tenso

    Estime os deslocamentos e o estado de tenso dos pontos A, B, C , D, E e F da consolacurta representada sujeita a uma carga concentrada P na extremidade. Considere uma espessuraconstante t = 0.1 m, um mdulo de elasticidade constante e um coeficiente de Poisson = 0.3.Admite o estado plano de tenso e utilize:

    uma malha de elementos finitos triangulares com 3 ns;

    uma malha de elementos finitos rectangulares com 4 ns;

    Apresente a deformada da estrutura para os dois casos considerados. Compare e comente assolues obtidas.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 174 / 183

  • Trabalho No2: Estado plano de tenso

    3 m5 m

    A B

    F

    E

    D

    C

    1 m

    3 m

    2 m

    P

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 175 / 183

  • Trabalho No3: Singularidades

    Considere as seguintes placas planas homogneas, de espessura e mdulo de elasticidadeconstantes, unitrios e coeficiente de Poisson = 0.1, sujeitas ao carregamento indicado.Admitindo o estado plano de tenso, utilize os programas Gid + Calsef para estudar, em cada umdos casos, a convergncia da soluo. Apresente as malhas de elementos finitos utilizadas. Emseguida, analise cada uma das placas utilizando a melhor malha para deteminar:

    o estado de tenso no ponto P;

    a distribuio de tenses normais e tangenciais ao longo da fronteira esttica e cinemticada placa;

    o campo de deslocamentos.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 176 / 183

  • Trabalho No3: Singularidades

    P0.1

    0.1

    q=1

    1

    1

    1

    1

    Q=1

    1P0.3

    1.51.5

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 177 / 183

  • Trabalho No4: Lajes

    O comportamento estrutural das lajes depende dos seguintes factores:

    - tipo de apoios e cargas (condies de fronteira)

    - relao entre os vos (condiciona a direco de flexo dominante)

    - comportamento mecnico do material

    - relao da espessura com o menor dos vos (condiciona o tipo do modelo de anlise)

    lajes finas (Kirchhoff) - espessura/vo 1/5 (1/10), deslocamentotransversal mximo/espessura 1/5 (1/10)lajes espessas (Reissner-Mindlin)

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 178 / 183

  • Trabalho No4: Lajes

    Hipteses simplificativas:

    - linearidade fsica - material com comportamento elstico linear

    - linearidade geomtrica - pequenos deslocamentos e pequenas deformaes

    - homogeneidade e isotropia do material

    Admita-se ainda que:

    - fibras rectas normais ao plano mdio da laje permanecem rectas aps a deformao

    - fibras rectas normais ao plano mdio da laje so inextensveis

    - fibras rectas normais ao plano mdio da laje permanecem rectas aps a deformao eperpendiculares ao plano mdio - Kirchhoff

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 179 / 183

  • Trabalho No4: Lajes

    Laje de Kirchhoff

    4w(x , y) = q(x , y)Df

    Df =Eh3

    12(1 2)

    Df - rigidez flexo do elemento de laje

    (x,y)x

    (x,y)y

    x

    y

    z

    w(x,y)

    Campos de deslocamentos

    vy

    vx

    vx

    vy

    mx

    mx

    mxy

    mxy

    mxy

    my

    mxy

    my

    x

    y

    Campos de esforos

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 180 / 183

  • Trabalho No4: Lajes

    Considere a seguinte laje em beto armado, simplesmente apoiada nos pilares e nas paredesresistentes representadas. Admitindo que o nico carregamento o peso prprio, apresente:

    - o campo dos deslocamentos;

    - os campos dos esforos (Mx , My , Mxy , Vx , Vy );

    - os diagramas de momentos segundo as linhas de corte AA, BB e EE .

    Repita a anlise admitindo na anlise que a seco transversal dos pilares e das paredes desprezvel. Compare e comente os resultados obtidos nas duas anlises.

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 181 / 183

  • Trabalho No4: Lajes

    1.00 6.00 6.00 6.00 1.00

    P2(.40 x .40)

    P3(.60 x .40)

    P5(.60 x .40)

    P7(.60 x .40)

    P10(.60 x .40)

    P9(.40 x .60)

    P8(.40 x .60)

    P6(.40 x .60)

    P4(.40 x .60)

    P1(.40 x .40)

    .40.40 3.80

    2.60

    .40

    .40

    1.00

    3.00

    6.00

    0.60

    3.60

    .405.

    00.2

    0

    5.00

    .20

    e=0.22 m

    A

    B

    D E F G

    C C

    B

    A

    D E F G

    Beto Armado (Unidades: N,m,rad)

    Carga = peso especfico = 25000Poisson = 0.2Mdulo de elasticidade = 3.00E10

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 182 / 183

  • Anexo: FAQ - Maxima

    MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 183 / 183