31 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Conteúdo Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D ......................................................... 31
3.1 Introdução ......................................................................................................................... 32
3.3 Problema estrutural ........................................................................................................... 35
3.4 Programa de EF para treliça 3D ........................................................................................ 35
3.5 Exercícios resolvidos com o programa "trelica3D" .......................................................... 41
3.5.1 Exemplo 1 - Treliça espacial com quatro nós e seis barras ........................................ 41
3.5.2 Exemplo 2 - Domo treliçado em forma de estrela ...................................................... 43
3.6 Exercícios propostos ......................................................................................................... 46
32 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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3.1 Introdução
Um caso de aplicação das estruturas reticuladas espaciais são as treliças espaciais. Essas
estruturas são um sistema estrutural muito usado em edifícios, pontes, plataformas petrolíferas
em mar e torres de transmissão. Na Figura 3.1 aparece a cobertura do aeroporto da Portela,
situado em Lisboa, Portugal, formada por treliça espacial (BARRIGÓ, 2014).
Figura 3. 1 Cobertura do aeroporto da Portela formada por treliça espacial. Fonte:
Barrigó (2014).
Entre as características das treliças espaciais estão: grande rigidez, baixo peso próprio,
possibilidade de pré-fabricação, facilidade de transporte e de montagem. Essas características as
tornam muito competitivas quando comparadas a outras soluções estruturais (SAMPAIO;
2004). As treliças tridimensionais são formadas por meio da conexão de barras e nós no
espaço. Elas são um caso particular das estruturas reticuladas tridimensionais, sendo formadas
por duas ou mais malhas planas, em geral paralelas, conectadas por meio de diagonais e/ou
montantes (SOUZA, 2003).
Segundo Hibbeler (2005), adotam-se as seguintes hipóteses para os vários processos de
cálculo:
as barras da treliça são ligadas entre si por intermédio de pinos lisos (articulações sem
atrito);
todas as cargas (forças) são aplicadas aos nós da estrutura; e
as linhas centrais dos elementos ligados são concorrentes, coincidindo com os centros
das articulações.
Devido a essas hipóteses, os elementos desenvolvem apenas forças ao longo do seu
próprio eixo (forças axiais). As ligações são executadas por meio de rebites, soldas ou parafusos
e conferem uma pequena rigidez na ligação, transmitindo força cortante e momento fletor entre
as barras. Entretanto estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus
eixos no mesmo plano e que esses eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os
resultados reais diferem muito pouco.
É possível a execução de muitas formas em estruturas espaciais. As treliças espaciais
planas (Figura 3.2) são formadas por dois ou mais planos de barras. Os arcos treliçados
espaciais são obtidos pelo arqueamento da treliça espacial plana ao longo de uma direção, o
resultado é uma forma curva (Figura 3.3). Já as cúpulas treliçadas espaciais são treliças
espaciais formadas por um ou mais planos em forma de cúpula (Figura 3.4) (BARRIGÓ, 2014).
A análise do comportamento linear dessas estruturas é bastante simples. Desprezando o
pouco peso dos seus elementos, uma suposição bastante razoável e comum, os elementos estão
apenas sujeitos a esforços axiais e as equações de equilíbrio dos nós permitem resolver a
estrutura e determinar o esforço normal dos seus elementos. Contudo, o desempenho estrutural
da estrutura no regime linear leva ao perigo do dimensionamento de estruturas com elementos
muito esbeltos que, por sua vez, tornam-se bastante suscetíveis e vulneráveis a efeitos
geometricamente não lineares (BARRIGÓ, 2014).
Luiz Antonio Farani de Souza
33 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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Figura 3. 2 Treliças espaciais planas. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State
University (2011).
Figura 3. 3 Arcos treliçados espaciais. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State
University (2011).
Figura 3. 4 Cúpulas treliçadas espaciais. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State
University (2011).
34 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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3.2 Formulação de Elementos Finitos para treliça espacial
O elemento de treliça transmite somente forças axiais e tem área da seção transversal
constante A. As coordenadas (X1, Y1, Z1) e (X2, Y2, Z2) representam a configuração inicial do
elemento de barra (também conhecida como coordenadas globais). Após uma mudança de
configuração devido a deslocamentos da treliça, a barra passa a ter novas coordenadas (x1, y1,
z1) e (x2, y2, z2). O comprimento inicial (ou referencial) L0 e o comprimento atual L da barra são
calculados, respectivamente, por (ZIENKIEWICZ; TAYLOR; ZHU, 2005; BATHE, 2016;
YAW, 2011):
(3.1)
(3.2)
O vetor de deslocamentos nodais p no sistema global de coordenadas de um elemento
de treliça 3D é:
(3.3)
na qual ui, vi e wi, com i = 1, 2, são os deslocamentos nodais do nó i nas direções do sistema

(3.6)
A matriz de rigidez elementar Kel é determinada no sistema global de coordenadas por:
(3.7)
(3.8)
(3.9)
sendo E o módulo de elasticidade e E a deformação de engenharia dada por:
(3.10)
em que uli, com i = 1,2, são os deslocamento nodais no sistema local de coordenadas calculados
por:
35 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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(3.11)
O vetor de força interna elementar Fel é determinado no sistema global de coordenadas
por:
(3.12)
3.3 Problema estrutural
O sistema de equações de equilíbrio gerado pelo Método dos Elementos Finitos que
determina os deslocamentos nodais u de uma treliça com comportamento elástico linear e
supondo deformações infinitesimais é (ZIENKIEWICZ; TAYLOR; ZHU, 2005; BATHE,
2016):
(3.13)
na qual K é a matriz de rigidez global da estrutura e Fext é o vetor de forças externas.
A matriz de rigidez K é obtida por:
(3.14)
em que e é o elemento finito e n é o número total de elementos da treliça.
3.4 Programa de EF para treliça 3D
1. Fazer o download do programa Scilab disponível no endereço
https://www.scilab.org/download/6.1.0.
2. Criar uma pasta com o nome do programa (por exemplo, "trelica3D").
3. Dentro dessa pasta, criar no Scilab os arquivos programa principal (principal.sce) e
as funções, utilizando o SciNotes.
Importante: - as funções deverão ser salvas com a extensão .sci e o programa principal com a
extensão .sce; e
programa principal principal.sce //Programa principal - treliça 3D
//Análise linear
clear
clc
funcprot(0)
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//_____________________________________
[K]=DKG(NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord,E,A,itipo);
u=K\Fext;
for i=1:NTNOS
disp(vu)
[N,eps,Sigma,R,FG,L]=dfelem(NTEL,NTGL,NOCC,E,A,inci,u,dofno,coord,itipo);
//Imprime no console as deformações, tensões e forças normais nas barras da treliça:
for i=1:NTEL
disp('2) Deformações, tensões e forças normais nas barras da treliça:')
disp(vm)
disp('3) Reações nos apoios da treliça:')
for i=1:length(NOCC)/3
end
//Configuração deformada da treliça espacial
for i=1:NTNOS //determina os vetores com as coordenadas da treliça deformada e indeformada
vx(i,1)=coord(i,1);
vy(i,1)=coord(i,2);
vz(i,1)=coord(i,3);
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//cor vermelha - compressão
//cor azul - tração
a=gca();
a.axes_visible="on";
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.z_label.font_size=3;
a.hidden_axis_color=1;
a.foreground=1;
a.font_size=3;
xlabel('X (cm)')
ylabel('Y (cm)')
zlabel('Z (cm)')
//Elemeno de barra 3D com 2 NÓS e 3GL/NÓ
if (itipo(m,2)==1) then
for J=1:NNOSCC
for I=1:NTGL
38 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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end
endfunction
função dfelem.sci function [N, eps, Sigma, R, FG, L]=dfelem(NTEL, NTGL, NOCC, E, A, inci, u, dofno, coord, itipo)
//Determina as deformações, tensões e forças normais nas barras e as reações nos apoios da treliça
//Determina o vetor de força interna global
//Determina os comprimentos deformados das barras
FG=zeros(NTGL,1);
ug(i)=u(dofno(m,i),1); //seleciona os deslocamentos nos nós da barra m
end
L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2); //comprimento indeformado L0
L(m)=sqrt( (X2+ug(4)-X1-ug(1))^2 + (Y2+ug(5)-Y1-ug(2))^2 + (Z2+ug(6)-Z1-ug(3))^2 );
//comprimento deformado L
c1=(X2-X1)/L0(m);
c2=(Y2-Y1)/L0(m);
c3=(Z2-Z1)/L0(m);
r=[-c1;-c2;-c3;c1;c2;c3];
T=[c1 c2 c3 0 0 0; 0 0 0 c1 c2 c3];
ul=T*ug;
N(m) = E(m)*A(m)*eps(m); //força normal da barra m
Sigma(m)= E(m)*eps(m); //tensão normal da barra m
FELEM = N(m)*r; //vetor de força interna elementar
[FG]=ensamfg(m,FELEM,dofno,itipo,FG) //monta o vetor de força interna global (FG)
end
end
[FG]=contfg(NOCC,NNOSCC,FG); //impõe as condições de contorno no vetor FG
endfunction
função dkelem.sci function [KELEM]=dkelem(m, E, A, inci, dofno, coord)
//Determina matriz de rigidez elementar da barra m
KELEM=zeros(6,6);
X1=coord(inci(m,2),1);
X2=coord(inci(m,3),1);
Y1=coord(inci(m,2),2);
Y2=coord(inci(m,3),2);
Z1=coord(inci(m,2),3);
Z2=coord(inci(m,3),3);
L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2); //comprimento indeformado L0
c1=(X2-X1)/L0(m);
c2=(Y2-Y1)/L0(m);
c3=(Z2-Z1)/L0(m);
r=[-c1;-c2;-c3;c1;c2;c3];
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B = r*r';
KELEM = E(m)*A(m)/L0(m)*B; //matriz de rigidez da barra m no sistema global
endfunction
função DKG.sci function [K]=DKG(NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord, E, A, itipo)
//Determina a matriz de rigidez global (K)
K=zeros(NTGL,NTGL);
[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);
KG(P,Q)=KG(P,Q)+KELEM(I,J);
//monta o vetor de força interna global
[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);
função contfg.sci function [FG]=contfg(NOCC, NNOSCC, FG)
//impõe as condições de contorno no vetor de força interna global
for I=1:NNOSCC
função entrada_dados.sci function [NTNOS, NTEL, NNOSCC, NTGL, coord, inci, dofno, Fext, NOCC, E, A,
itipo]=entrada_dados()
//Informa os dados da malha de elementos finitos, vetor de força e propriedades materiais e geométricas
das barras
40 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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//NTGL -> NÚMERO TOTAL DE GRAUS DE LIBERDADE
//NNOSCC -> NÚMERO DE GRAUS RESTRITOS (CONDIÇÕES DE CONTORNO)
NTNOS=13; //informar
NTEL=24; //informar
NNOSCC=18; //informar
NTGL=NTNOS*3;
//coord(i,1)= coordenada x
//coord(i,2)= coordenada y
55.8012702 30.8012702 18.3012702 43.3012702;
0 25 75 100 75 25 28.3493649 28.3493649 50 71.6506351 71.6506351 50 50;
0 0 0 0 0 0 6.216 6.216 6.216 6.216 6.216 6.216 8.216]'
//Informa a incidência dos elementos (informar a matriz)
//inci(i,1) = elemento
//inci(i,2) = nó i
//inci(i,3) = nó j
inci=[1:NTEL;1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12;
7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 7 8 9 10 11 12 7 13 13 13 13 13 13]'
//informa os graus de liberdade por nó
for i=1:NTEL
dofno(i,2)=inci(i,2)*3-1;
dofno(i,3)=inci(i,2)*3;
dofno(i,5)=inci(i,3)*3-1;
dofno(i,6)=inci(i,3)*3;
for m=1:NTEL
if itipo(m,2)==1
A(m)=3.17; //informar a área da seção transversal da barra
end
end
Fext=zeros(NTGL,1);
Fext(3*13,1)=-120;
NOCC=[1:18]; //informar os graus de liberdade restringidos
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3.5 Exercícios resolvidos com o programa "trelica3D"
Nesta seção são apresentados exemplos numéricos de treliças espaciais, em que são
realizadas análises estáticas lineares (material no regime elástico linear e hipótese de
deformações infinitesimais) por meio do programa de Elementos Finitos desenvolvido no
programa Scilab versão 6.1.0 (ver seção 3.4). São considerados dois problemas numéricos:
treliça com quatro nós e seis barras; e domo treliçado em forma de estrela.
3.5.1 Exemplo 1 - Treliça espacial com quatro nós e seis barras
Seja a treliça espacial com quatro nós e seis barras na Figura 3.5, cujas barras têm
módulo de elasticidade E = 2,0 10 4 kN/cm
2 (= 2,0 10
= 10 cm 2 (= 0,001 m
2 ). A estrutura é solicitada por três forças Px = 37 kN, Py = -1 kN e Pz = 30
kN aplicadas no nó 4. Nos nós 1, 2 e 3 da estrutura as translações estão impedidas nas três
direções X, Y e Z.
Coordenadas dos nós (m) Incidência dos elementos
Nó X Y Z Elemento i j
1 0 0 0 1 1 2
2 0 0 0,75 2 1 3
3 1 0 0 3 1 4
4 0 1 0 4 2 3
5 2 4
6 3 4
Figura 3. 5 Modelo estrutural da treliça espacial com quaro nós e seis barras.
Dados de entrada (função entrada_dados.sci):
Dados da malha Coordenadas
NNOSCC=9;
1 0 0;
0 1 0];
3 1 4;
4 2 3;
5 2 4;
6 3 4];
itipo(i,2) = 1;
itipo(i,3) = 1;
E(m)=200000000;
A(m)=0.001;
restringidos Fext=zeros(NTGL,1);
Fext(3*4,1)=30;
42 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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Solução
A Figura 3.6 apresenta os resultados numéricos no console do programa Scilab. Na
Tabela 3.1 aparecem os deslocamentos verticais no nós (em metros), na Tabela 3.2 são
apresentadas as forças reativas (em kN) nos apoios - nós 1, 2 e 3 da estrutura, e as forças
normais nas barras (em kN) são mostradas na Tabela 3.3, obtidos com o programa desenvolvido
e por Druzian (2015).
Nó Programa Druzian (2015)
u (m) v (m) w (m) u (m) v (m) w (m)
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
4 0.00090325902 0.00038 0.0010275 0.903259E-03 0.380000E-03 0.102750E-02
Tabela 3. 2 Reações nos apoios.
Nó Programa Druzian (2015)
Rx (kN) Ry (kN) Rz (kN) Rx (kN) Ry (kN) Rz (kN)
1 0 -76 0 0 -76 0
2 0 40 -30 0 40 -30
3 -37 37 0 -37 37 0
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43 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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Barra Programa Druzian (2015)
N (kN) N (kN)
Observações:
1. Força normal positiva indica tração na barra e negativa indica compressão na barra; e
2. As forças reativas são positivas nos sentidos positivos dos eixos globais X, Y e Z.
3.5.2 Exemplo 2 - Domo treliçado em forma de estrela
Considere o domo treliçado em forma de estrela com 24 barras e com 13 nós
apresentado na Figura 3.7, analisado por Brito (2018). As barras têm área A = 3,17 cm 2 e
módulo de elasticidade E = 3,0 10 4 N/cm
2 . Nos nós mais externos (localizados no círculo
maior) as translações estão impedidas nas três direções X, Y e Z. Uma força vertical P = 120 N
é aplicada no ápice da estrutura (nó 13).
Figura 3. 7 Modelo estrutural do domo treliçado em forma de estrela.
Dados de entrada (função entrada_dados.sci):
Dados da malha Coordenadas dos nós Incidência dos
elementos
inci=[1:NTEL;1 1 2 2
3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9
10 11 12 7 8 9 10 11
12;
for i=1:NTEL
44 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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28.3493649
6.216 6.216 6.216
6.216 6.216 6.216
12 7 13 13 13 13 13
13]'
end
end
restringidos
Solução:
Na Tabela 3.4 é mostrado o deslocamento vertical (em cm) no nó 13 do domo obtido
pelo programa desenvolvido e por Brito (2018). Os deslocamentos nodais aparecem na Tabela
3.5, as reações nos apoios (em N) são mostradas na Tabela 3.6 e as deformações (adimensional),
as tensões normais (N/cm 2 ) e as forças normais nas barras (N) são apresentadas na Tabela 3.7.
Na Figura 3.8 é ilustrado o domo deformado com a indicação das barras tracionadas (na cor
azul) e barras comprimidas (na cor vermelha).
Tabela 3. 4 Deslocamento vertical no nó 13 (cm) do domo.
Programa Scilab -1,395367127
Brito (2018) -1,39
Nó u (cm) v (cm) w (cm)
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
6 0 0 0
7 -0,025120348 -0,043509718 0,062044283
8 0,025120348 -0,043509718 0,062044283
9 0,050240695 -6,52521D-18 0,062044283
10 0,025120348 0,043509718 0,062044283
11 -0,025120348 0,043509718 0,062044283
12 -0,050240695 -1,76023D-18 0,062044283
13 1,72327D-17 0 -1,395367127
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Nó Rx (N) Ry (N) Rz (N)
1 -1,06581D-13 91,21417281 20,00000001
2 -78,99379084 45,60708639 20
3 -78,99379084 -45,60708639 20
4 -4,61853D-14 -91,21417281 20,00000001
5 78,99379084 -45,60708639 20
6 78,99379084 45,60708639 20
Tabela 3. 7 Deformação, tensão normal e força normal nas barras.
Elemento Deformação Tensão (N/cm 2 ) Força normal (N)
1 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
2 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
3 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
4 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
5 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
6 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
7 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
8 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
9 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
10 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
11 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
12 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
13 0,002009628 60,28883416 191,1156043
14 0,002009628 60,28883417 191,1156043
15 0,002009628 60,28883417 191,1156043
16 0,002009628 60,28883416 191,1156043
17 0,002009628 60,28883417 191,1156043
18 0,002009628 60,28883417 191,1156043
19 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
20 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
21 -0,002637211 -79,11631676 -250,7987241
22 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
23 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
24 -0,002637211 -79,11631676 -250,7987241
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3.6 Exercícios propostos
Resolver os exercícios de treliças espaciais a seguir utilizando o código de Elementos
Finitos desenvolvido no programa Scilab (seção 3.4).
3.6.1 Exercício 1 Considere a treliça espacial que é utilizada para sustentar as três forças
verticais aplicadas nos nós 4, 5 e 6 (topo da estrutura). Cada elemento tem área da seção
transversal A = 200 mm 2 e é feito de aço A-36 (E = 200 GPa). A base da treliça está apoiada (as
translações estão impedidas nas três direções) e as barras são conectadas por pinos lisos.
Determinar os deslocamentos no nó 5 (em mm), as forças normais nas barras 1-5, 3-5 e 1-6 (em
kN) e a configuração deformada da estrutura.
Luiz Antonio Farani de Souza
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3.6.2 Exercício 2 Seja a treliça espacial com cinco nós cujas barras têm área da seção
transversal A = 100 mm 2 e módulo de elasticidade E = 205 GPa. As translações estão impedidas
nas três direções nos nós 1, 3 e 4 (apoios) e as barras são conectadas por pinos lisos. Uma força
vertical (direção negativa do eixo z) de 6 kN é aplicada no nó 2. Determinar as forças normais
nas barras (em kN), os deslocamentos no nó 2 (em mm) e a configuração deformada da
estrutura.
Referências
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48 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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