Luiz Antonio Farani de Souza

31 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Conteúdo Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D ......................................................... 31

3.1 Introdução ......................................................................................................................... 32

3.2 Formulação de Elementos Finitos para treliça espacial .................................................... 34

3.3 Problema estrutural ........................................................................................................... 35

3.4 Programa de EF para treliça 3D ........................................................................................ 35

3.5 Exercícios resolvidos com o programa "trelica3D" .......................................................... 41

3.5.1 Exemplo 1 - Treliça espacial com quatro nós e seis barras ........................................ 41

3.5.2 Exemplo 2 - Domo treliçado em forma de estrela ...................................................... 43

3.6 Exercícios propostos ......................................................................................................... 46

3.6.1 Exercício 1.................................................................................................................. 46

3.6.2 Exercício 2.................................................................................................................. 47

Referências .............................................................................................................................. 47

Luiz Antonio Farani de Souza

32 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

3.1 Introdução

Um caso de aplicação das estruturas reticuladas espaciais são as treliças espaciais. Essas

estruturas são um sistema estrutural muito usado em edifícios, pontes, plataformas petrolíferas

em mar e torres de transmissão. Na Figura 3.1 aparece a cobertura do aeroporto da Portela,

situado em Lisboa, Portugal, formada por treliça espacial (BARRIGÓ, 2014).

Figura 3. 1 Cobertura do aeroporto da Portela formada por treliça espacial. Fonte:

Barrigó (2014).

Entre as características das treliças espaciais estão: grande rigidez, baixo peso próprio,

possibilidade de pré-fabricação, facilidade de transporte e de montagem. Essas características as

tornam muito competitivas quando comparadas a outras soluções estruturais (SAMPAIO;

2004). As treliças tridimensionais são formadas por meio da conexão de barras e nós no

espaço. Elas são um caso particular das estruturas reticuladas tridimensionais, sendo formadas

por duas ou mais malhas planas, em geral paralelas, conectadas por meio de diagonais e/ou

montantes (SOUZA, 2003).

Segundo Hibbeler (2005), adotam-se as seguintes hipóteses para os vários processos de

cálculo:

as barras da treliça são ligadas entre si por intermédio de pinos lisos (articulações sem

atrito);

todas as cargas (forças) são aplicadas aos nós da estrutura; e

as linhas centrais dos elementos ligados são concorrentes, coincidindo com os centros

das articulações.

Devido a essas hipóteses, os elementos desenvolvem apenas forças ao longo do seu

próprio eixo (forças axiais). As ligações são executadas por meio de rebites, soldas ou parafusos

e conferem uma pequena rigidez na ligação, transmitindo força cortante e momento fletor entre

as barras. Entretanto estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus

eixos no mesmo plano e que esses eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os

resultados reais diferem muito pouco.

É possível a execução de muitas formas em estruturas espaciais. As treliças espaciais

planas (Figura 3.2) são formadas por dois ou mais planos de barras. Os arcos treliçados

espaciais são obtidos pelo arqueamento da treliça espacial plana ao longo de uma direção, o

resultado é uma forma curva (Figura 3.3). Já as cúpulas treliçadas espaciais são treliças

espaciais formadas por um ou mais planos em forma de cúpula (Figura 3.4) (BARRIGÓ, 2014).

A análise do comportamento linear dessas estruturas é bastante simples. Desprezando o

pouco peso dos seus elementos, uma suposição bastante razoável e comum, os elementos estão

apenas sujeitos a esforços axiais e as equações de equilíbrio dos nós permitem resolver a

estrutura e determinar o esforço normal dos seus elementos. Contudo, o desempenho estrutural

da estrutura no regime linear leva ao perigo do dimensionamento de estruturas com elementos

muito esbeltos que, por sua vez, tornam-se bastante suscetíveis e vulneráveis a efeitos

geometricamente não lineares (BARRIGÓ, 2014).

Luiz Antonio Farani de Souza

33 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

Figura 3. 2 Treliças espaciais planas. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State

University (2011).

Figura 3. 3 Arcos treliçados espaciais. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State

University (2011).

Figura 3. 4 Cúpulas treliçadas espaciais. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State

University (2011).

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34 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

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3.2 Formulação de Elementos Finitos para treliça espacial

O elemento de treliça transmite somente forças axiais e tem área da seção transversal

constante A. As coordenadas (X1, Y1, Z1) e (X2, Y2, Z2) representam a configuração inicial do

elemento de barra (também conhecida como coordenadas globais). Após uma mudança de

configuração devido a deslocamentos da treliça, a barra passa a ter novas coordenadas (x1, y1,

z1) e (x2, y2, z2). O comprimento inicial (ou referencial) L0 e o comprimento atual L da barra são

calculados, respectivamente, por (ZIENKIEWICZ; TAYLOR; ZHU, 2005; BATHE, 2016;

YAW, 2011):

(3.1)

(3.2)

O vetor de deslocamentos nodais p no sistema global de coordenadas de um elemento

de treliça 3D é:

(3.3)

na qual ui, vi e wi, com i = 1, 2, são os deslocamentos nodais do nó i nas direções do sistema

global de coordenadas X, Y e Z, respectivamente. O eixo x do sistema de coordenadas local é

sempre definido ao longo da orientação atual do membro da treliça. Os ângulos de direção i,

com i =1, 2, 3, são definidos na configuração corrente em relação aos eixos globais por:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

A matriz de rigidez elementar Kel é determinada no sistema global de coordenadas por:

(3.7)

na qual B é uma matriz obtida por:

(3.8)

em que , com e

. A força normal N na barra é obtida por:

(3.9)

sendo E o módulo de elasticidade e E a deformação de engenharia dada por:

(3.10)

em que uli, com i = 1,2, são os deslocamento nodais no sistema local de coordenadas calculados

por:

Luiz Antonio Farani de Souza

35 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

(3.11)

O vetor de força interna elementar Fel é determinado no sistema global de coordenadas

por:

(3.12)

3.3 Problema estrutural

O sistema de equações de equilíbrio gerado pelo Método dos Elementos Finitos que

determina os deslocamentos nodais u de uma treliça com comportamento elástico linear e

supondo deformações infinitesimais é (ZIENKIEWICZ; TAYLOR; ZHU, 2005; BATHE,

2016):

(3.13)

na qual K é a matriz de rigidez global da estrutura e Fext é o vetor de forças externas.

A matriz de rigidez K é obtida por:

(3.14)

em que e é o elemento finito e n é o número total de elementos da treliça.

3.4 Programa de EF para treliça 3D

1. Fazer o download do programa Scilab disponível no endereço

https://www.scilab.org/download/6.1.0.

2. Criar uma pasta com o nome do programa (por exemplo, "trelica3D").

3. Dentro dessa pasta, criar no Scilab os arquivos programa principal (principal.sce) e

as funções, utilizando o SciNotes.

Importante: - as funções deverão ser salvas com a extensão .sci e o programa principal com a

extensão .sce; e

- salvar a função num arquivo com o mesmo nome.

programa principal principal.sce //Programa principal - treliça 3D

//Análise linear

//limpa da memória as variáveis

clear

//limpa a janela de comandos (console)

clc

funcprot(0)

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36 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

format("v",12); //formatação do valor numérico

//_____________________________________

//inicialização das funções (.sci)

exec('DKG.sci',-1);

exec('dkelem.sci',0);

exec('dfelem.sci',0);

exec('ensamkg.sci',-1);

exec('contkg.sci',-1);

exec('apontador.sci',-1);

exec('entrada_dados.sci',-1);

exec('ensamfg.sci',-1);

exec('contfg.sci',-1);

//_____________________________________

//entrada de dados

[NTNOS,NTEL,NNOSCC,NTGL,coord,inci,dofno,Fext,NOCC,E,A,itipo]=entrada_dados();

//_____________________________________

//Processamento

//Monta a matriz de rigidez K

[K]=DKG(NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord,E,A,itipo);

//Resolução do sistema de equações lineares

u=K\Fext;

//_____________________________________

//Saída de dados

//Imprime no console os deslocamentos nos nós da treliça:

for i=1:NTNOS

vu(i,1)=i;

vu(i,2)=u(3*i-2,1);

vu(i,3)=u(3*i-1,1);

vu(i,4)=u(3*i,1);

end

disp('1) Deslocamentos nos nós da treliça:')

disp(vu)

[N,eps,Sigma,R,FG,L]=dfelem(NTEL,NTGL,NOCC,E,A,inci,u,dofno,coord,itipo);

//Imprime no console as deformações, tensões e forças normais nas barras da treliça:

for i=1:NTEL

vm(i,1)=i;

vm(i,2)=eps(i);

vm(i,3)=Sigma(i);

vm(i,4)=N(i);

end

disp('2) Deformações, tensões e forças normais nas barras da treliça:')

disp(vm)

//Imprime no console as reações nos apoios:

disp('3) Reações nos apoios da treliça:')

for i=1:length(NOCC)/3

disp([i,R(3*i-2),R(3*i-1),R(3*i)]);

end

//Configuração deformada da treliça espacial

for i=1:NTNOS //determina os vetores com as coordenadas da treliça deformada e indeformada

vx(i,1)=coord(i,1);

vy(i,1)=coord(i,2);

vz(i,1)=coord(i,3);

vxd(i,1)=coord(i,1)+u(3*i-2,1);

vyd(i,1)=coord(i,2)+u(3*i-1,1);

vzd(i,1)=coord(i,3)+u(3*i,1);

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37 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

end

//Imprime uma figura com a posição deformada da treliça

//cor vermelha - compressão

//cor azul - tração

figure(1)

for i=1:NTEL

cx0(1,1)=vx(inci(i,2),1);

cx0(2,1)=vx(inci(i,3),1);

cy0(1,1)=vy(inci(i,2),1);

cy0(2,1)=vy(inci(i,3),1);

cz0(1,1)=vz(inci(i,2),1);

cz0(2,1)=vz(inci(i,3),1);

cx(1,1)=vxd(inci(i,2),1);

cx(2,1)=vxd(inci(i,3),1);

cy(1,1)=vyd(inci(i,2),1);

cy(2,1)=vyd(inci(i,3),1);

cz(1,1)=vzd(inci(i,2),1);

cz(2,1)=vzd(inci(i,3),1);

if eps(i)<0

set(gca(),"auto_clear","off","foreground",5,"thickness",2);

plot3d(cx,cy,cz);

else

set(gca(),"auto_clear","off","foreground",2);

plot3d(cx,cy,cz);

end

end

gca().grid=[1 1 1]; //Linhas de grade

a=gca();

a.axes_visible="on";

a.x_label.font_size=3;

a.y_label.font_size=3;

a.z_label.font_size=3;

a.hidden_axis_color=1;

a.foreground=1;

a.font_size=3;

xlabel('X (cm)')

ylabel('Y (cm)')

zlabel('Z (cm)')

função apontador.sci function [IPO, TAM]=apontador(m, itipo)

//Elemeno de barra 3D com 2 NÓS e 3GL/NÓ

if (itipo(m,2)==1) then

IPO(1)=1;

IPO(2)=2;

IPO(3)=3;

IPO(4)=4;

IPO(5)=5;

IPO(6)=6;

TAM=6;

end

endfunction

função contkg.sci function [KG]=contkg(NOCC, NNOSCC, NTGL, KG)

for J=1:NNOSCC

for I=1:NTGL

KG(NOCC(1,J),I)=0;

KG(I,NOCC(1,J))=0;

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38 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

end

KG(NOCC(1,J),NOCC(1,J))=1;

end

endfunction

função dfelem.sci function [N, eps, Sigma, R, FG, L]=dfelem(NTEL, NTGL, NOCC, E, A, inci, u, dofno, coord, itipo)

//Determina as deformações, tensões e forças normais nas barras e as reações nos apoios da treliça

//Determina o vetor de força interna global

//Determina os comprimentos deformados das barras

FG=zeros(NTGL,1);

for m=1:NTEL

for i=1:6

ug(i)=u(dofno(m,i),1); //seleciona os deslocamentos nos nós da barra m

end

X1=coord(inci(m,2),1);

X2=coord(inci(m,3),1);

Y1=coord(inci(m,2),2);

Y2=coord(inci(m,3),2);

Z1=coord(inci(m,2),3);

Z2=coord(inci(m,3),3);

L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2); //comprimento indeformado L0

L(m)=sqrt( (X2+ug(4)-X1-ug(1))^2 + (Y2+ug(5)-Y1-ug(2))^2 + (Z2+ug(6)-Z1-ug(3))^2 );

//comprimento deformado L

c1=(X2-X1)/L0(m);

c2=(Y2-Y1)/L0(m);

c3=(Z2-Z1)/L0(m);

r=[-c1;-c2;-c3;c1;c2;c3];

T=[c1 c2 c3 0 0 0; 0 0 0 c1 c2 c3];

ul=T*ug;

eps(m)=(ul(2)-ul(1))/L0(m); //deformação de engenharia da barra m

N(m) = E(m)*A(m)*eps(m); //força normal da barra m

Sigma(m)= E(m)*eps(m); //tensão normal da barra m

FELEM = N(m)*r; //vetor de força interna elementar

[FG]=ensamfg(m,FELEM,dofno,itipo,FG) //monta o vetor de força interna global (FG)

end

n=length(NOCC);

for j=1:n

R(j)=FG(NOCC(j)); //reações (forças) nos apoios

end

[FG]=contfg(NOCC,NNOSCC,FG); //impõe as condições de contorno no vetor FG

endfunction

função dkelem.sci function [KELEM]=dkelem(m, E, A, inci, dofno, coord)

//Determina matriz de rigidez elementar da barra m

KELEM=zeros(6,6);

X1=coord(inci(m,2),1);

X2=coord(inci(m,3),1);

Y1=coord(inci(m,2),2);

Y2=coord(inci(m,3),2);

Z1=coord(inci(m,2),3);

Z2=coord(inci(m,3),3);

L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2); //comprimento indeformado L0

c1=(X2-X1)/L0(m);

c2=(Y2-Y1)/L0(m);

c3=(Z2-Z1)/L0(m);

r=[-c1;-c2;-c3;c1;c2;c3];

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39 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

B = r*r';

KELEM = E(m)*A(m)/L0(m)*B; //matriz de rigidez da barra m no sistema global

endfunction

função DKG.sci function [K]=DKG(NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord, E, A, itipo)

//Determina a matriz de rigidez global (K)

K=zeros(NTGL,NTGL);

for m=1:NTEL

[KELEM]=dkelem(m,E,A,inci,dofno,coord);

[K]=ensamkg(m,KELEM,dofno,itipo,K);

end

[K]=contkg(NOCC,NNOSCC,NTGL,K);

endfunction

função ensamkg.sci function [KG]=ensamkg(m, KELEM, dofno, itipo, KG)

[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);

for I=1:TAM

for J=1:TAM

P=dofno(m,IPO(I));

Q=dofno(m,IPO(J));

if (P>0 & Q>0)

KG(P,Q)=KG(P,Q)+KELEM(I,J);

end

end

end

endfunction

função ensamfg.sci function [FG]=ensamfg(m, FELEM, dofno, itipo, FG)

//monta o vetor de força interna global

[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);

for I=1:TAM

P=dofno(m,IPO(I));

if (P>0)

FG(P,1)=FG(P,1)+FELEM(I,1);

end

end

endfunction

função contfg.sci function [FG]=contfg(NOCC, NNOSCC, FG)

//impõe as condições de contorno no vetor de força interna global

for I=1:NNOSCC

FG(NOCC(1,I))=0;

end

endfunction

função entrada_dados.sci function [NTNOS, NTEL, NNOSCC, NTGL, coord, inci, dofno, Fext, NOCC, E, A,

itipo]=entrada_dados()

//Informa os dados da malha de elementos finitos, vetor de força e propriedades materiais e geométricas

das barras

//NTNOS -> NÚMERO TOTAL DE NÓS

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40 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

//NTEL -> NÚMERO TOTAL DE ELEMENTOS

//NTGL -> NÚMERO TOTAL DE GRAUS DE LIBERDADE

//NNOSCC -> NÚMERO DE GRAUS RESTRITOS (CONDIÇÕES DE CONTORNO)

NTNOS=13; //informar

NTEL=24; //informar

NNOSCC=18; //informar

NTGL=NTNOS*3;

//Informa as coordenadas dos nós (informar a matriz)

//coord(i,1)= coordenada x

//coord(i,2)= coordenada y

coord = [43.3012702 86.6025404 86.6025404 43.3012702 0 0 30.8012702 55.8012702 68.3012702

55.8012702 30.8012702 18.3012702 43.3012702;

0 25 75 100 75 25 28.3493649 28.3493649 50 71.6506351 71.6506351 50 50;

0 0 0 0 0 0 6.216 6.216 6.216 6.216 6.216 6.216 8.216]'

//Informa a incidência dos elementos (informar a matriz)

//inci(i,1) = elemento

//inci(i,2) = nó i

//inci(i,3) = nó j

inci=[1:NTEL;1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12;

7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 7 8 9 10 11 12 7 13 13 13 13 13 13]'

//informa os graus de liberdade por nó

for i=1:NTEL

//elemento de treliça 3D

dofno(i,1)=inci(i,2)*3-2; // NÓ I

dofno(i,2)=inci(i,2)*3-1;

dofno(i,3)=inci(i,2)*3;

dofno(i,4)=inci(i,3)*3-2; // NÓ J

dofno(i,5)=inci(i,3)*3-1;

dofno(i,6)=inci(i,3)*3;

end

//elemento barra -> itipo(nel,2)==1

//elemento viga -> itipo(nel,2)==2

//material 1 -> itipo(nel,3)==1

//material 2 -> itipo(nel,3)==2

for i=1:NTEL

itipo(i,1) = i;

itipo(i,2) = 1;

itipo(i,3) = 1;

end

//propriedades materiais e geométricas das barras

for m=1:NTEL

if itipo(m,2)==1

E(m)=30000; //informar o módulo de elasticidade

A(m)=3.17; //informar a área da seção transversal da barra

end

end

//vetor de força externa Fext

Fext=zeros(NTGL,1);

//informar as forças (carregamento) nos graus de liberdade

Fext(3*13,1)=-120;

//informar as condições de contorno (graus de liberdade restringidos)

NOCC=[1:18]; //informar os graus de liberdade restringidos

Luiz Antonio Farani de Souza

41 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

endfunction

3.5 Exercícios resolvidos com o programa "trelica3D"

Nesta seção são apresentados exemplos numéricos de treliças espaciais, em que são

realizadas análises estáticas lineares (material no regime elástico linear e hipótese de

deformações infinitesimais) por meio do programa de Elementos Finitos desenvolvido no

programa Scilab versão 6.1.0 (ver seção 3.4). São considerados dois problemas numéricos:

treliça com quatro nós e seis barras; e domo treliçado em forma de estrela.

3.5.1 Exemplo 1 - Treliça espacial com quatro nós e seis barras

Seja a treliça espacial com quatro nós e seis barras na Figura 3.5, cujas barras têm

módulo de elasticidade E = 2,0 104 kN/cm

2 (= 2,0 10

8 kN/m

2) e área da seção transversal A

= 10 cm2 (= 0,001 m

2). A estrutura é solicitada por três forças Px = 37 kN, Py = -1 kN e Pz = 30

kN aplicadas no nó 4. Nos nós 1, 2 e 3 da estrutura as translações estão impedidas nas três

direções X, Y e Z.

Coordenadas dos nós (m) Incidência dos elementos

Nó X Y Z Elemento i j

1 0 0 0 1 1 2

2 0 0 0,75 2 1 3

3 1 0 0 3 1 4

4 0 1 0 4 2 3

5 2 4

6 3 4

Figura 3. 5 Modelo estrutural da treliça espacial com quaro nós e seis barras.

Dados de entrada (função entrada_dados.sci):

Dados da malha Coordenadas

dos nós

Incidência

dos

elementos

Tipo do elemento

Propriedades geométrica e

material das

barras NTNOS=4; NTEL=6;

NNOSCC=9;

coord=[0 0 0; 0 0 0.75;

1 0 0;

0 1 0];

inci=[1 1 2; 2 1 3;

3 1 4;

4 2 3;

5 2 4;

6 3 4];

for i=1:NTEL itipo(i,1) = i;

itipo(i,2) = 1;

itipo(i,3) = 1;

end

for m=1:NTEL if itipo(m,2)==1

E(m)=200000000;

A(m)=0.001;

end

end

Vetor força externa Graus de liberdade

restringidos Fext=zeros(NTGL,1);

Fext(3*4-2,1)=37; Fext(3*4-1,1)=-1;

Fext(3*4,1)=30;

NOCC=[1:9];

Luiz Antonio Farani de Souza

42 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

Solução

A Figura 3.6 apresenta os resultados numéricos no console do programa Scilab. Na

Tabela 3.1 aparecem os deslocamentos verticais no nós (em metros), na Tabela 3.2 são

apresentadas as forças reativas (em kN) nos apoios - nós 1, 2 e 3 da estrutura, e as forças

normais nas barras (em kN) são mostradas na Tabela 3.3, obtidos com o programa desenvolvido

e por Druzian (2015).

Figura 3. 6 Resultados no console do Scilab

Tabela 3. 1 Deslocamentos nos nós da treliça.

Nó Programa Druzian (2015)

u (m) v (m) w (m) u (m) v (m) w (m)

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

4 0.00090325902 0.00038 0.0010275 0.903259E-03 0.380000E-03 0.102750E-02

Tabela 3. 2 Reações nos apoios.

Nó Programa Druzian (2015)

Rx (kN) Ry (kN) Rz (kN) Rx (kN) Ry (kN) Rz (kN)

1 0 -76 0 0 -76 0

2 0 40 -30 0 40 -30

3 -37 37 0 -37 37 0

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43 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

Tabela 3. 3 Forças normais nas barras.

Barra Programa Druzian (2015)

N (kN) N (kN)

1 0 0

2 0 0

3 76 76

4 0 0

5 -50 -50

6 -52,32590 -52,3259

Observações:

1. Força normal positiva indica tração na barra e negativa indica compressão na barra; e

2. As forças reativas são positivas nos sentidos positivos dos eixos globais X, Y e Z.

3.5.2 Exemplo 2 - Domo treliçado em forma de estrela

Considere o domo treliçado em forma de estrela com 24 barras e com 13 nós

apresentado na Figura 3.7, analisado por Brito (2018). As barras têm área A = 3,17 cm2 e

módulo de elasticidade E = 3,0 104 N/cm

2. Nos nós mais externos (localizados no círculo

maior) as translações estão impedidas nas três direções X, Y e Z. Uma força vertical P = 120 N

é aplicada no ápice da estrutura (nó 13).

Figura 3. 7 Modelo estrutural do domo treliçado em forma de estrela.

Dados de entrada (função entrada_dados.sci):

Dados da malha Coordenadas dos nós Incidência dos

elementos

Tipo do

elemento

Propriedades

geométrica e

material das

barras

NTNOS=13;

NTEL=24;

NNOSCC=18;

coord = [43.3012702

86.6025404

86.6025404

43.3012702 0 0

30.8012702

inci=[1:NTEL;1 1 2 2

3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9

10 11 12 7 8 9 10 11

12;

7 8 8 9 9 10 10 11

for i=1:NTEL

itipo(i,1) = i;

itipo(i,2) = 1;

itipo(i,3) = 1;

end

for m=1:NTEL

if

itipo(m,2)==1

E(m)=30000;

A(m)=3.17;

Luiz Antonio Farani de Souza

44 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

55.8012702

68.3012702

55.8012702

30.8012702

18.3012702

43.3012702;

0 25 75 100 75 25

28.3493649

28.3493649 50

71.6506351

71.6506351 50 50;

0 0 0 0 0 0

6.216 6.216 6.216

6.216 6.216 6.216

8.216]'

11 12 12 7 8 9 10 11

12 7 13 13 13 13 13

13]'

end

end

Vetor força externa Graus de liberdade

restringidos

Fext=zeros(NTGL,1);

Fext(3*13,1)=-120;

NOCC=[1:18];

Solução:

Na Tabela 3.4 é mostrado o deslocamento vertical (em cm) no nó 13 do domo obtido

pelo programa desenvolvido e por Brito (2018). Os deslocamentos nodais aparecem na Tabela

3.5, as reações nos apoios (em N) são mostradas na Tabela 3.6 e as deformações (adimensional),

as tensões normais (N/cm2) e as forças normais nas barras (N) são apresentadas na Tabela 3.7.

Na Figura 3.8 é ilustrado o domo deformado com a indicação das barras tracionadas (na cor

azul) e barras comprimidas (na cor vermelha).

Tabela 3. 4 Deslocamento vertical no nó 13 (cm) do domo.

Programa Scilab -1,395367127

Brito (2018) -1,39

Tabela 3. 5 Deslocamentos nos nós do domo.

Nó u (cm) v (cm) w (cm)

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

6 0 0 0

7 -0,025120348 -0,043509718 0,062044283

8 0,025120348 -0,043509718 0,062044283

9 0,050240695 -6,52521D-18 0,062044283

10 0,025120348 0,043509718 0,062044283

11 -0,025120348 0,043509718 0,062044283

12 -0,050240695 -1,76023D-18 0,062044283

13 1,72327D-17 0 -1,395367127

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45 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

Tabela 3. 6 Reações nos apoios.

Nó Rx (N) Ry (N) Rz (N)

1 -1,06581D-13 91,21417281 20,00000001

2 -78,99379084 45,60708639 20

3 -78,99379084 -45,60708639 20

4 -4,61853D-14 -91,21417281 20,00000001

5 78,99379084 -45,60708639 20

6 78,99379084 45,60708639 20

Tabela 3. 7 Deformação, tensão normal e força normal nas barras.

Elemento Deformação Tensão (N/cm2) Força normal (N)

1 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364

2 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364

3 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638

4 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641

5 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641

6 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638

7 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364

8 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364

9 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638

10 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641

11 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641

12 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638

13 0,002009628 60,28883416 191,1156043

14 0,002009628 60,28883417 191,1156043

15 0,002009628 60,28883417 191,1156043

16 0,002009628 60,28883416 191,1156043

17 0,002009628 60,28883417 191,1156043

18 0,002009628 60,28883417 191,1156043

19 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241

20 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241

21 -0,002637211 -79,11631676 -250,7987241

22 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241

23 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241

24 -0,002637211 -79,11631676 -250,7987241

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46 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

Figura 3. 8 Domo treliçado deformado.

3.6 Exercícios propostos

Resolver os exercícios de treliças espaciais a seguir utilizando o código de Elementos

Finitos desenvolvido no programa Scilab (seção 3.4).

3.6.1 Exercício 1 Considere a treliça espacial que é utilizada para sustentar as três forças

verticais aplicadas nos nós 4, 5 e 6 (topo da estrutura). Cada elemento tem área da seção

transversal A = 200 mm2 e é feito de aço A-36 (E = 200 GPa). A base da treliça está apoiada (as

translações estão impedidas nas três direções) e as barras são conectadas por pinos lisos.

Determinar os deslocamentos no nó 5 (em mm), as forças normais nas barras 1-5, 3-5 e 1-6 (em

kN) e a configuração deformada da estrutura.

Luiz Antonio Farani de Souza

47 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D

Programa no Scilab

3.6.2 Exercício 2 Seja a treliça espacial com cinco nós cujas barras têm área da seção

transversal A = 100 mm2 e módulo de elasticidade E = 205 GPa. As translações estão impedidas

nas três direções nos nós 1, 3 e 4 (apoios) e as barras são conectadas por pinos lisos. Uma força

vertical (direção negativa do eixo z) de 6 kN é aplicada no nó 2. Determinar as forças normais

nas barras (em kN), os deslocamentos no nó 2 (em mm) e a configuração deformada da

estrutura.

Referências

BARRIGÓ, J. M B. C. Análise Não Linear de Treliças Espaciais. 2004. Dissertação

(Mestrado) - Técnico, Lisboa.

BATHE, K. J. Finite element procedures. 2ª Ed. Watertown, MA: Klaus-Jurgen Bathe, 2016.

BRITO, C. M. S. R. Modelagem e simulação numérica de treliças espaciais submetidas a

carregamentos estáticos e dinâmicos em regime elástico não linear. 2018. Trabalho de

Conclusão de Curso - Curso de Engenharia Civil, Escola Politécnica da Universidade Federal da

Bahia, Salvador.

DRUZIAN, B. M. Rotina computacional para análise de treliças espaciais. Trabalho de

Conclusão de Curso - Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Maria, 2015.

HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 10ª ed. São Paulo: Pearson, 2005.

SAMPAIO, T. S. Análise numérica, via MEF, de ligações em treliças metálicas espaciais.

2004. Tese de Doutorado. Dissertação (Mestrado) - Curso de Engenharia de Estruturas,

Universidade de São Paulo, São Carlos.

SCILAB, version 6.1.0. ESI Group, 2020.

SOUZA, A. S. C. Análise teórica e experimental de treliças espaciais. 2003. Tese

(Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.

Virginia Polytechnic Institute e State University. Structure and form analysis system, 2011.

Disponível em http://www.setareh.arch.vt.edu/safas/

ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L.; ZHU, J. Z. The finite element method: its basis and

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YAW, L. L. 3D Co-rotational Truss Formulation. Walla Walla: Walla Walla University,

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