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ESTÁTICA AULA • Análise de estruturas

treliça estatica

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ESTÁTICAAULA

• Análise de estruturas

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Estática

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Índice

• CAPÍTULO 6• Definição de uma treliça• Treliças simples• Análise de treliças pelo método dos nós• Nós sujeitos a condições especiais de carregamento• Análise de treliças pelo método das secções• Treliças copmpostas por várias treliças simples

• CAPÍTULO 7• Forças interiores em elementos• Vigas: tipos de carregamentos e apoios• Força de corte e momento flector numa viga• Diagramas de esforço transverso e momento flector

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Estática

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Estruturas

Estrutura – Sistema qualquer de elementos ligados, construído para suportar ou transferir forças e para resistir com segurança às cargas que nele actuam. Na análise das forças das estruturas, é necessário desmembrar a estrutura e analisar, separadamente, os diagramas de corpo livre dos elementos individuais ou da combinação dos elementos, de maneira a determinar as forças internas da estrutura.

Considere-se o guindastre:

Forças exteriores

Forças interiores

Em conformidade com a terceira lei de Newton que afirma que, as forças de acção e reacção entre corpos em contacto têm a mesma intensidade, a mesma linha de acção, e sentidos opostos.

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Treliças

Uma treliça é uma estrutura:

• Constituída por barras rectilíneas ligadas umas às outras por articulações (nós). Portanto, as forças actuantes nas extremidades de uma barra reduzem-se a uma única força sem binário.

• As barras de uma treliça ligam-se apenas através das suas extremidades; assim, nenhuma barra tem continuidade através de uma articulação.

• As únicas cargas aplicadas são forças concentradas e actuam sempre sobre os nós.

Tracção compressão

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Treliças

Uma treliça é uma estrutura:

• Constituída por barras rectilíneas ligadas umas às outras por articulações (nós). Portanto, as forças actuantes nas extremidades de uma barra reduzem-se a uma única força sem binário.

• As barras de uma treliça ligam-se apenas através das suas extremidades; assim, nenhuma barra tem continuidade através de uma articulação.

• As únicas cargas aplicadas são forças concentradas e actuam sempre sobre os nós.

• É suposto, que o peso da barra é pequeno quando comparado com a força que ele suporta. Em caso contrário se o efeito do peso tiver de ser levado em conta, o peso P, se a barra for uniforme, poderá ser suposto como duas forças, P/2, cada uma actuando nas extremidades da barra.

• Os únicos tipos de apoio possíveis são apoios fixos ou móveis, e estão sempre localizados nos nós.

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Treliças

Uma treliça poderá ser plana, quando todas as barras são complanares, ou espacial, no caso contrário.

Treliça Plana Treliça Espacial

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Treliças

Uma treliça poderá ser plana, quando todas as barras são complanares, ou espacial, no caso contrário.

Treliça Espacial

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Treliça Simples

• Uma treliça é considerada rígidaquando sujeita a determinado carregamento não perder a sua forma, ou seja não sofrer grandes deformações.

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Estática

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Treliça Simples

Considerando:

m – nº de barras da treliça

n – nº de nós da treliça

Uma treliça simples verifica sempre a igualdade

2n = m + 3

• Treliça Simples – é toda a treliça que pode ser construída ligando três barras em três nós, formando um triângulo, e adicionando em seguida sucessivos grupos de duas barras, ligadas a dois nós já existentes e a novo nó.

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Estática

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Análise de Treliças pelo Método dos Nós• Decompor a treliça da figura e traçar o DCL para cada

barra e articulação.

• Cada barra é submetida à acção de duas forças, uma em cada extremidade, essas forças têm a mesma intensidade a mesma linha de acção e sentidos opostos.

• As forças exercidas por uma barra nas duas articulações a que esta se liga têm de estar dirigidas segundo o eixo da barra e ser iguais e opostas.

• Se a treliça contiver n articulações, haverá, portanto, 2nequações disponíveis, que podem ser resolvidas em ordem a 2n incógnitas. Para uma treliça simples, temos 2n = m + 3 equações que podem ser resolvidas para mbarras e três reacções nos apoios.

• O facto de a treliça no seu conjunto ser um corpo rígido em equilíbrio pode ser usado para escrever três equações adicionais envolvendo somente as forças externas aplicadas e as reacções nos apoios, no entanto estas equações não são independentes das associadas as articulações.

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Estática

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Problema

Utilizando o método dos nós, determine o esforço instalado em cada uma das barras da treliça representada.

SOLUÇÃO:

• Com base no DCL da treliça inteira, resolver as 3 equações de equilíbrio para assim determinar as reacções nos apoios em E e C.

• Escolher um nó onde existam somente duas forças desconhecidas, ex. nó B. Determinar estas forças a partir das equações de equilíbrio no nó.

• De seguida determinar as forças desconhecidas a partir das equações de equilíbrio nos nós C, e D,.

• Todas as forças nas barras bem como as reacções nos apoios são agora conhecidas Uma verificação do equilíbrio pode ser efectuada para o nó A.

8 m

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Estática

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Problema

BxBy Cy

0 1800 2 2400 3,6 1,5 03360

0 1800 01800

0 2400 02400 3360

960

y

y

x x

x

y y y

y

y

M CC N

F BB N

F B CBB N

= ⇔ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

⇔ =

= ⇔ − =

⇔ =

= ⇔ − + =

⇔ = −

⇔ = −

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Estática

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Problema

By

FBA

FBC

α

2 53,130º1,5

tgα α= ⇔ =

( )

( )

0 53,13 960 0

1200

0 1800 cos 53,13º 0

2520

y BA

BA

x BC BA

BC

F F sen

F N T

F F F

F N C

= ⇔ ⋅ − =

⇔ =

= ⇔ − + ⋅ =

⇔ =

Bx

FCD

FCA

= 3360N

FCB=2520 N

( )

( )

0 3360 0

3360 3360

0 2520 0 2520

y CA

CA CA

x CD CD

F F

F N F N C

F F F N C

= ⇔ + =

⇔ = − ⇔ =

= ⇔ − = ⇔ =

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Estática

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Problema

FDA

FDC=2520 N

γ

2 43,6º2,1

tg γ = =

( )

( )

0 43,6º 2400 0

3480

0 2520 0 2520

y DA

DA

x CD CD

F F sen

F N T

F F F N C

= ⇔ − =

⇔ =

= ⇔ − = ⇔ =

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Estática

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Nós sujeitos a condições especiais de carregamento• Forças em barras opostas têm de ser iguais .

• Nesta situação as forças nas duas barras opostas têm de ser iguais, e a força na terceira barra tem de ser igual a P. Se P=0 então a força na barra AC é nula, e a barra AC diz-se um elemento sem esforço.

• A força em duas barras ligadas num nó éigual se as barras forem colineares e zero caso contrário.

Elementos sem esforço.

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Estática

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Nós sujeitos a condições especiais de carregamento

• A identificação prévia dos nós que estão sujeitos às condições especiais de carregamento anteriormente referidas tornará mais expedita a análise de uma treliça.

Elementos sem esforço.

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Estática

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Análise de Treliças pelo Método das Secções

• O método dos nós é muito utilizado quando se pretende determinar as forças em todos os elementos de uma treliça. Se, no entanto, somente se desejar conhecer as forças em um ou uns elementos, o método das secções émais indicado.

• Para determinar a força nos elementos, podemos passar uma secção através de três elementos da treliça dividindo-a em duas partes completamente separadas, no entanto esta secção não pode cortar mais do que três elementos. Cada uma das duas partes da treliça obtidas depois de os elementos cortados terem sido removidos pode ser utilizada como um corpo rígido.

Pretende-se determinar as forças nas barras BD, BE e CE.

a a a

b

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Estática

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Análise de Treliças pelo Método das secções

• O facto de o corpo rígido ABC estar em equilíbrio pode ser expresso escrevendo três equações que podem ser resolvidas para as três forças desconhecidas..

• Para a força FBD

( )

1 2

1 2

0 2 02

E BD

BD

M P a P a F bP a P aF T

b

= ⇔ ⋅ + ⋅ − ⋅ =

⋅ + ⋅⇔ =

• Para a força FCE

( )

10 0B CE

CE

M P a F bP aF C

b

= ⇔ ⋅ + ⋅ =

⋅⇔ = −

α

• Para a força FBE

( ) ( )

1 2

1 2

0 cos 0

cos

y BE

BE

F P P F

P PF C

α

α

= ⇔ + + ⋅ =

+⇔ = −

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Estática

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Análise de Treliças pelo Método das secções

Uma treliça de telhado de estádio é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos AE, FEe FJ.

AEF

FEF

FJF

• Para a força FFJ

( )0 2.4 4 2.4 8 6 8 10.2 4 14.4 0

82E FJ

FJ

M F

F kN C

= ⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ =

⇔ =∑

• Fazendo:( )

( ) ( )

0 cos 41.633º 82 4 8 8 4 058 77.601

cos 41.633º

y AE

AE

F F

F kN T

= ⇔ − ⋅ + − − − − =

⇔ = =

• Fazendo:

2.4 41.633º2.7

tgα α= ⇔ =

• Fazendo:

( )( )

0 77.601 41.633º 0

51.555x FE

FE

F sen F

F kN C

= ⇔ − ⋅ + =

⇔ =∑

α

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Estática

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Análise de Treliças

Problema de Equilíbrio Bidimensional

m - número de incógnitas que são os esforços nas barras.

r - número de reacções ou ligações ao exterior(do diagrama de corpo livre da treliça as 3 Eqs. de equilíbrio são utilizadas para calcular as reacções).

0; 0; 0;x yF F M= = =∑ ∑ ∑

n - número de nós(do diagrama de corpo livre para cada nó temos

2n equações = nº máximo de equações de equilíbrio independentes).

Nós(Particulas)

0; 0x yF F= = ⇒∑ ∑

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Estática

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Classificação de Treliças

Isostática ( m = 2n-3 ) Exemplo: Treliça simples2 32 3

Treliça simples m nTreliça simples m n

⇒ = −⇐ = −

Hiperestática ( m > 2n-3 ) Treliça obtida é indeformável

302 3 1

16m

m nn=

⇒ = − = →=

1 elemento redundante

Hipoestática ( m < 2n-3 ) Treliça obtida é deformável, barras insuficientes funcionamento de mecanismo

2626 2 15 3 27

15mn=

⇒ < ⋅ − ==

Análise Interior(m,n)

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Estática

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Classificação de Treliças

Análise Exterior(r - ligações ao exterior)

Hiperestática exterior ( r > 3 )

Hipoestática exterior (r < 3)(Ligações insuficientes)

Pode Mover-se

Ligações mal distribuídas

Não se Pode Mover

Isostática exterior (r = 3) ⇒

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Estática

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nº máx. de equações

independentesGlobalmente Isostática

Classificação de Treliças

0g > ⇒

0g = ⇒

Análise Global: (m,n,r)

Globalmente Hiperestática

Globalmente Hipoestática

( )2g n m r= − +

nº de graus de liberdade

nº total de incógnitas

0g < ⇒

( ) 2m r n+ < ⇒

Há menos incógnitas do que equações. Portanto algumas das incógnitas não podem ser satisfeitas a treliça éparcialmente vinculada.

( ) 2m r n+ > ⇒

Há mais incógnitas do que equações. Portanto algumas das incógnitas não podem ser determinadas a treliça éindeterminada.

( ) 2m r n+ = ⇒ Há tantas incógnitas como equações. Atenção !!!!

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Estática

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Classificação de Treliças

Globalmente Isostática

( ) 2m r n+ = ⇒ Há tantas incógnitas como equações. Atenção !!!!

Isto no entanto não significa que todas as incógnitas podem ser determinadas e que todas as equações podem ser satisfeitas. Esta é portanto uma condição necessária mas não suficiente.

=Treliça GlobalmenteIsostática

Treliça HipoestáticaInterior

Treliça HiperestáticaExterior+

3r <0g = 2 3m n< −

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Estática

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Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios

O guindaste analisado foi construído de tal modo que podia manter a mesma forma sem a ajuda dos apoios; considerou-se então o guindaste um corpo rígido.

Muitas estruturas, no entanto, colapsarão quando separadas de seus apoios; tais estruturas não podem ser consideradas rígidas.

0 0

0 2 0 1

0 4 2 2 0

1

x x x x

y y y

y

y

x A B B A

y A B A

A B

B

F R R R R

F R R R kN

M R

R kN

= ⇔ + = ⇔ = −

= ⇔ + − = ⇔ =

= ⇔ ⋅ − ⋅ =

⇔ =

∑A B

G D G

C E

4 incógnitas para 3 equações !!!!

xARryAR

ryBR

r

xBRr

1 2F kN=r

Vemos pois que as reacções não podem ser completamente determinadas a partir do diagrama de corpo livre da estrutura inteira. Em consequência énecessário desmembrar a estrutura e considerar o diagrama de corpo livre das suas partes componentes, mesmo quando estamos somente interessados em determinar as reacções externas. Isso ocorre porque as equações de equilíbrio obtidas para o corpo livre globalsão condições necessárias para o equilíbrio de uma estrutura não-rígida mas não são condições suficientes.

1m 1m 1m 1m

4m

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Estática

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Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios

A B

G D G

C E

xARr

yARr

yBR

xBR

DFFr

DEFr

1Fr

A B

G D G

C E

xARr

yARr

yBR

xBR

1Fr

DFFr

DEFr

α

0 2 4 0y xD A AM R R= ⇔ − ⋅ + ⋅ =∑

0.5xAR kN⇔ =

logo da primeira equação

0.5x xB AR R kN= − = −

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Estática

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Problema

Determine as componentes das forças actuantes em cada uma das barras da estrutura indicada.

Page 28: treliça estatica

Estática

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Problema

Considere o diagrama de corpo livre da estrutura completa :

:0=∑ EM

( )( ) ( ) 0m8.4m6.3N2400 =+− F N1800=F

:0=∑ yF

0N1800N2400 =++− yE NEy 600=

:0=∑ xF 0=xE

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Estática

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Problema

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Estática

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Problema

Considerando o membro BCD como um corpo livre:

:0=∑ BM( )( ) ( ) 0m4.2m6.3N2400 =+− yC N3600=yC

:0=∑ CM( )( ) ( ) 0m4.2m2.1N2400 =+− yB N1200=yB

:0=∑ xF 0=+− xx CB

Considerando o membro ABE como um corpo livre:

:0=∑ AM ( ) 0m4.2 =xB 0=xB

∑ = :0xF 0=− xx AB 0=xA

∑ = :0yF 0N600 =++− yy BA N1800=yA

Do membro BCD,

:0=∑ xF 0=+− xx CB 0=xC

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Estática

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Forças em Vigas

• Nos capítulos precedentes foram considerados dois problemas básicos envolvendo estruturas:

a) determinação das forças exteriores que actuam sobre a estrutura;

b) Determinação das forças que mantêm unidos os vários elementos que formam a estrutura;

Agora será também considerado o problema da determinação das forças interiores (tracção/compressão, corte, flexão) que mantêm unidas as várias partes de um dado elemento.

Neste estudo duas importantes estruturas merecem a nossa especial atenção:

a) Vigas – são habitualmente elementos compridos, prismáticos e de eixo rectilíneo, projectadas para suportar cargas aplicadas em vários pontos ao longo do seu comprimento;

b) Cabos – são elementos flexíveis com resistência apenas à tracção, projectados para suportar cargas concentradas ou distribuídas.

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Estática

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Forças interiores em elementos

Consideremos uma barra linear AB de eixo rectilíneo submetida à acção de duas forças F e –F.

Sabemos que as forças F e –F aplicadas em A e B, devem ser dirigidas segundo AB, com sentidos opostos e a mesma intensidade.

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Estática

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Forças interiores em elementos

Consideremos uma barra linear AB de eixo rectilíneo submetida à acção de duas forças F e –F.

Para que o equilíbrio dos corpo livres AC e CB seja mantido é necessário aplicar ao corpo AC uma força –F, igual e oposta a F, e ao corpo CB uma força F, igual e oposta a -F.

Conclui-se que no caso de barras lineares de eixo rectilíneo submetidas à acção de duas forças, as forças interiores que duas partes do elemento exercem uma sob a outra são equivalentes a forças axiais.

A intensidade comum F dessas duas forças não depende da localização da secção C e é denominada esforço normal no elemento AB.

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Estática

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Forças interiores em elementos

Torna-se claro que a acção das forças interiores no elemento AD não está limitada a produzir tracção nem compressão, as forças interiores produzem também corte e flexão.

A força F é uma força axial; a força V é denominada força de corte; e o momento M do binário é conhecido por momento flector.

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Estática

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Forças interiores em elementos

• Num elemento linear de eixo não rectilíneo submetido à acção de duas forças, as forças interiores são também equivalentes a sistemas força-binário.

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Estática

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Tipos de carregamento e de apoios

• Viga – elemento estrutural projectado para suportar cargas aplicadas em vários pontos ao longo do seu comprimento.

• O projecto de uma viga que se pretende suporte um dado carregamento é um processo com duas partes:

1) determinar as forças de corte e os momento flectores produzidos pelo carregamento;

2) seleccionar a forma e as dimensões da secção transversal mais convenientes para resistir às forças de corte e aos momentos flectores determinados na primeira parte.

• Uma viga pode estar submetida à acção de forças concentradas P1, P2 ,…,ou de uma carga distribuída, ou à acção combinada de ambas.

Forças concentradas

Forças distribuídas

Page 37: treliça estatica

Estática

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Tipos de carregamento e de apoios

• As vigas classificam-se de acordo com o modo como são apoiadas.

Vigas estaticamente determinada ou isostática

Viga simplesmente apoiada

Viga simplesmente apoiada com extremidade em consola

Viga em consola

Viga contínua

Vigas estaticamente indeterminada

ou hiperestática

Vão

• Note-se que as reacções serão estaticamente determinada se os apoios envolvem apenas três incógnitas. Se envolvem mais do que três incógnitas, as reacções são estaticamente indeterminadas.

Viga encastrada numa extremidade e simplesmente apoiada na outra

Viga biencastrada

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Estática

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Força de corte e momento flector numa viga

• Pretende-se determinar a força de corte e o momento flector em qualquer ponto da viga.

Primeiro há que determinar as reacções nos apoios escolhendo a viga inteira como um corpo rígido.

Forças internasCortar a viga em C e desenhar os diagramas de corpo livre para AC e CB. Assumir a convenção de sinais para o esforço transverso e momento flector.

A partir das equações de equilíbrio, determinar M e V ou M’ e V’.

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Estática

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Força de corte e momento flector numa viga

O esforço transverso V e o momento flector Mnum dado ponto de uma viga dizem-se positivos quando as forças e os binários interiores actuantes em cada uma das partes estão dirigidos como se representa em (a).

O esforço transverso em C é positivo quando as forças exteriores (forças aplicadas e reacções) que actuam na viga tenderem a cortar a viga em C.

Forças interiores na secção (esforço transverso e momento flector positivos)

Efeito das forças exteriores(esforço transverso positivo)

Efeito das forças exteriores(momento flector positivo)

O momento flector em C é positivo quando as forças exteriores que actuam na viga tenderem a flectir a viga em C.

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Estática

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Força de corte e momento flector numa viga

O esforço axial em C é positivo quando as forças exteriores (forças aplicadas e reacções) que actuam na viga tenderem a traccionar a viga em C.

Efeito das forças exteriores(esforço axial positivo)

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Estática

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Diagramas de esforço transverso e de momento flector• As variações do esforço transverso e do momento

flector podem ser graficamente representadas

• Determinar as reacções nos apoios.• Cortar a viga em C e considerar

o troço AC,

22 PxMPV +=+=

• Cortar a viga em E e considerar o troço EB,

( ) 22 xLPMPV −+=−=

• Para uma viga sujeita apenas a cargas concentradas, o esforço transverso toma valores constantes entre cargas, e o momento flector varia linearmente entre estas.

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Estática

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Problema

Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector da viga representada.

SOLUÇÃO:

• Do diagrama de corpo livre da liga inteira obtêm-se as reacções em B e D.

46 14B DR kN R kN= ↑ = ↑

Page 43: treliça estatica

Estática

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Problema

• Esforço transverso e momento flector

5 5

6 6

14 kN 28 kN m14 kN 0 kN m

V MV M

= − = ⋅= − = ⋅

Similarmente,

∑ = :0yF 120 kN 0V− − = ⇔ kN201 −=V

1 0 :M =∑ ( )( ) 120 kN 0 m 0M+ = ⇔ 01 =M

∑ = :0yF 220 0V− − = ⇔ 2 20 kNV = −

2 0 :M =∑ 220 2.5 0M⋅ + = ⇔ 2 50M kN= −

∑ = :0yF 320 46 0V− + − = ⇔ 3 26 kNV =

3 0 :M =∑ 320 2.5 46 0 0M⋅ − ⋅ + = ⇔ 3 50M kN= −

∑ = :0yF 420 46 0V− + − = ⇔ 4 26 kNV =

3 0 :M =∑ 420 5.5 46 3.0 0M⋅ − ⋅ + = ⇔ 3 28M kN=

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Estática

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Problema

• Resultados gráficos.

O esforço transverso tem valor constante entre cargas concentradas, e o diagrama de momento flector varia linearmente.