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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS MESTRADO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS CAMILA ALEXANDRINO MOURA Aplicação de formulação baseada no Método dos Elementos Finitos Posicional na análise bidimensional elástica de compósitos particulados SÃO CARLOS 2015

Aplicação de formulação baseada no Método dos Elementos Finitos

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  • UNIVERSIDADE DE SO PAULO

    ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

    MESTRADO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

    CAMILA ALEXANDRINO MOURA

    Aplicao de formulao baseada no Mtodo dos Elementos Finitos

    Posicional na anlise bidimensional elstica de compsitos

    particulados

    SO CARLOS

    2015

  • CAMILA ALEXANDRINO MOURA

    Aplicao de formulao baseada no Mtodo dos Elementos Finitos

    Posicional na anlise bidimensional elstica de compsitos

    particulados

    VERSO CORRIGIDA

    A verso original encontra-se na Escola de Engenharia de So Carlos

    Dissertao apresentada ao Departamento de

    Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia

    de So Carlos, Universidade de So Paulo, como

    parte dos requisitos para obteno do ttulo de

    Mestre em Engenharia de Estruturas.

    Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Ribeiro Paccola

    So Carlos

    2015

  • Para meus pais Moura e Lzara, por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim. Para meus irmos Luiz e Carol, pela amizade e carinho.

  • AGRADECIMENTOS

    Ao professor Rodrigo Ribeiro Paccola pela orientao, solicitude,

    generosidade e apoio durante toda a realizao do mestrado.

    Aos professores Coda e Wladimir, e aos amigos de departamento Hugo,

    Socorro, Aref e Ketson pelas discusses e contribuies a esta dissertao.

    Aos funcionrios da biblioteca e do departamento de Ps-Graduao em

    Engenharia de Estruturas EESC-USP e ao suporte fsico e tcnico disponvel em

    ambos.

    Aos professores de engenharia civil da FACENS Milito e Usuda e aos demais

    professores que estiveram em alguma etapa da minha vida acadmica, pelos

    ensinamentos.

    A CNPQ e a CAPES, pela bolsa de estudos concedida.

    Aos meus amados avs (in memorian), a D.Hilda (in memorian), e a todos os

    familiares e amigos que no citei, mas que de alguma forma, sempre estaro em

    minha memria.

    A Deus, por esta conquista.

  • Que os vossos esforos desafiem as impossibilidades; lembrai-vos de que as

    grandes coisas do homem foram conquistadas do que parecia impossvel.

    Charles Chaplin

  • RESUMO

    MOURA, C. A. Aplicao de formulao baseada no Mtodo dos Elementos

    Finitos Posicional na anlise bidimensional elstica de compsitos

    particulados. Dissertao (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Departamento

    de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de

    So Paulo, So Carlos, 2015.

    A utilizao de materiais compsitos tornou-se uma alternativa importante em muitas

    aplicaes dentro de diversas reas da engenharia, pois seus constituintes podem

    agregar propriedades mecnicas, trmicas e acsticas ao compsito, garantindo

    eficincia e baixo custo. Com isso, faz-se necessrio um maior conhecimento do

    comportamento mecnico desses materiais diante das solicitaes, principalmente

    no que diz respeito aos campos de deslocamento, deformaes e tenses. O

    presente trabalho tem por finalidade a anlise, em nvel macroscpico, de estruturas

    bidimensionais elsticas constitudas de materiais compsitos particulados,

    utilizando formulao desenvolvida no contexto do Grupo de Mecnica

    Computacional (GMEC), do Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), da

    Escola de Engenharia de So Carlos (EESC), da Universidade de So Paulo (USP),

    no qual se insere a presente pesquisa. A formulao utilizada baseia-se no Mtodo

    dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) e foi desenvolvida em nvel mesoscpico

    por tratar da interao entre matriz e partculas. Tal formulao possibilita a

    considerao da interao partcula-matriz sem a necessidade de coincidncia entre

    as malhas da matriz e das partculas e sem o aumento do nmero de graus de

    liberdade dos problemas, admitindo-se aderncia perfeita entre as fases. A

    formulao considera material isotrpico e comportamento no-linear geomtrico

    das fases. A aplicao da formulao foi aqui proposta com o intuito de avaliar a

    influncia da geometria, tamanho, frao volumtrica, distribuio e propriedades

    mecnicas das partculas adotadas, no comportamento global da estrutura em nvel

    macroscpico. Foram desenvolvidos e apresentados exemplos de aplicao, com

    comparao dos resultados numricos das anlises com resultados de ensaios

    experimentais encontrados na literatura, bem como com resultados de modelos

    matemticos de homogeneizao e modelos numricos propostos por outros

  • autores, que utilizaram o mtodo dos elementos finitos e tcnicas de

    homogeneizao assinttica.

    Palavras-chave: Compsitos Particulados, Influncia das Partculas, Mtodo dos

    Elementos Finitos Posicional, Anlise No-Linear Geomtrica,

    Slidos Bidimensionais, Concreto.

  • ABSTRACT

    MOURA, C. A. Application of a Positional Finite Element Method based

    formulation on the elastic two-dimensional analysis of particulate composites.

    Dissertao (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Departamento de

    Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de

    So Paulo, So Carlos, 2015.

    The use of composite materials has become an important alternative in many

    applications in different areas of engineering, because their constituents can add

    mechanical, thermal and acoustic properties to the composite, ensuring efficiency

    and low cost. Thus, it is necessary a better understanding of the mechanical behavior

    of these materials, mainly regarding displacement, stress and strain fields. This study

    aims to analyze, in macroscopic scale, two-dimensional elastic structures made of

    particulate composite materials, using formulation developed in the context of the

    Grupo de Mecnica Computacional (GMEC), of Departamento de Engenharia de

    Estruturas (SET), of Escola de Engenharia de So Carlos (EESC), of Universidade

    de So Paulo (USP). The formulation is based on the Positional Finite Element

    Method and was developed in mesoscopic level, considering the matrix-particles

    interaction and neglecting the interface, by means of kinematic relations used to

    ensure adherence of the particles to the matrix without introducing new degrees of

    freedom in the problem. The formulation considers isotropic material and geometric

    non-linear behavior of the composite phases. The application of the formulation was

    proposed in this work in order to evaluate the influence of geometry, size, volume

    fraction, distribution and mechanical properties of the particles adopted in the global

    behavior of the structure in macroscopic level. Numerical examples were developed

    and presented in order to compare the numerical results of the analysis with results

    obtained in experimental studies found in the literature, as well as results of

    mathematical models and numerical models using finite element method and the

    asymptotic homogenization technique.

    Keywords: Particle Composite Materials, Influence of Particles, Positional Finite

    Element Method, Geometric Nonlinear Analysis, Two-Dimensional Solids, Concrete.

  • SUMRIO

    1. Introduo 19

    1.1. Contextualizao e justificativas 19

    1.2. Objetivo 23

    1.3. Objetivos especficos e metodologia 24

    2. Reviso Bibliogrfica 27

    2.1.Consideraes Iniciais 27

    2.2.Homogeneizao: Estudos analticos e numricos 32

    2.3.Estudos experimentais 33

    2.3.1. Concreto Natural 34

    2.3.2. Concreto Leve 35

    2.3.3. Concreto de alto desempenho 37

    2.4.Estudos numricos 39

    3. Anlise Bidimensional Elstica de Compsitos Particulados via MEFP 45

    3.1.Relaes cinemticas acoplamento partcula-matriz 45

    3.2.Energia de Deformao 48

    3.3.Equaes de Equilbrio: Mtodo de Newton-Raphson 50

    4. Exemplos 53

    4.1. Exemplo 01: Avaliao do mdulo de elasticidade de concretos com

    agregados leves

    54

    4.2. Exemplo 02: Mdulo de elasticidade de concretos de alto

    desempenho

    60

    4.3. Exemplo 03: Slido bidimensional com geometria trapezoidal 65

    4.4. Exemplo 04: Slido bidimensional com incluso de vazio 71

    5. Consideraes Finais 75

    5.1. Propostas de Trabalhos Futuros 76

    6. Referncias Bibliogrficas 77

  • 19

    1. INTRODUO

    Neste captulo apresentam-se os aspectos gerais sobre os temas que

    norteiam os estudos relacionados formulao utilizada na modelagem numrica do

    comportamento dos compsitos particulados. Com este propsito, so discutidos a

    natureza, o ambiente e a importncia dos materiais compsitos, do mtodo dos

    elementos finitos (MEF) e da no-linearidade geomtrica nas anlises realizadas,

    buscando localizar o trabalho no contexto geral dos temas envolvidos,

    apresentando-se ainda os objetivos e justificativas do presente trabalho.

    1.1. Contextualizao e Justificativas

    "Mais importante do que qualquer nova aplicao o prprio

    conceito dos novos 'materiais'. Ele marca uma mudana da preocupao

    com substncias preocupao com estruturas, uma mudana de arteso a

    cientista como inventor do homem, uma mudana de qumica para a fsica

    como a disciplina bsica, e uma mudana, sobretudo, a partir da

    experincia concreta da oficina de abstrair matemtica, uma mudana

    comeando com o que a natureza oferece para o que o homem quer

    realizar" (DRUCKER1, 1969 apud HERAKOVICH, 2012).

    Materiais compsitos so estruturas constitudas em escala macroscpica por

    no mnimo dois componentes ou fases, com propriedades fsicas e qumicas

    nitidamente distintas em sua composio. Os materiais constituintes de cada fase

    mantm suas caractersticas individuais, porm, quando combinados, formam um

    composto com propriedades difceis de obter usando apenas um dos componentes,

    Mendona (2005). A grande versatilidade de fabricao e manipulao aliada

    capacidade mecnica em aplicaes estruturais levam os materiais compsitos s

    mais diferentes aplicaes de engenharia, Guimares (2006).

    Em busca de melhores caractersticas fsicas e qumicas, aliando o design ao

    elevado desempenho mecnico, nota-se a crescente utilizao de materiais

    compsitos, nas mais diversas reas da engenharia, podendo-se citar aplicaes em

    transportes areos e navais, habitaes civis, comunicao, recreao,

    1 DRUCKER, P.F. The age of discontinuity. 1 edio. New York, Harper & Row, 1969

  • 20

    automobilismo, biomecnica, esportes e demais segmentos que requerem alto

    desempenho mecnico e estabilidade estrutural, Callister (2001). O autor destaca

    ainda que a capacidade do ser humano de produzir e manipular os materiais que

    atendam s suas necessidades est intimamente ligada ao desenvolvimento e ao

    avano das sociedades.

    A rea dos materiais compsitos pode ser considerada de abrangncia

    multidisciplinar, uma vez que no se restringe a um nico profissional; so qumicos,

    cientistas de materiais, engenheiros qumicos, engenheiros mecnicos e

    engenheiros estruturais que esto envolvidos com o desenvolvimento e aplicaes

    dos compsitos, aumentado cada vez mais em nmero e qualidade (REDDY, 2004).

    O potencial dos materiais compsitos, como comentado, pode ser constatado na sua

    ampla aplicabilidade: so indispensveis s indstrias aeroespacial, martima, de

    transporte, de infraestruturas civis, bem como em aplicaes de prteses mdicas,

    placas de circuitos eletrnicos e equipamentos esportivos (CALLISTER, 2001;

    BARBERO, 2008; VASILIEV e MOROZOV, 2001; HERAKOVICH, 1998; REDDY,

    2004). Sendo que importante para a aplicabilidade dos materiais compsitos,

    conhecer as propriedades de cada constituinte e a relao entre elas, a fim de obter

    maior controle sobre as propriedades do material compsito resultante (MEHTA e

    MONTEIRO, 2008; CALLISTER, 2001).

    Os materiais compsitos esto presentes desde o incio dos tempos

    (HERAKOVICH, 2012), seja no corpo humano, nas plantas ou nos animais,

    despertando interesse de alguns nomes ilustres da cincia que estiveram envolvidos

    no estudo desses materiais, como JC Maxwell2 (1873), Lord Rayleigh3 (1892) e

    Albert Einstein 4 (1906) apud Hashin (1983). E mesmo sendo um assunto de

    notoriedade h bastante tempo, os compsitos podem ser considerados novos

    materiais, uma vez que s a partir do incio da dcada de 1960 os engenheiros e

    2 MAXWELL, J.C. Treatise on Electricity and Magnetism. 1 edio. Oxford, Clarendon Press,

    1973, p. 365.

    3 LORD RAYLEIGH. On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the

    properties of a medium. Philosophical Magazine, vol 34, p. 1270-1275, 1892. 4 EINSTEIN, A. Eine Neue Bestimmung der Molekldimensionen, in Annalen der Physik, vol.19,

    1906, p. 289-306, vol. 34, 1911, p. 591-592 (errata). English translation in Investigations on the

    Theory of Brownian Motion, Dover, 1956, p. 36-62.

  • 21

    cientistas comearam a explorar o potencial dos materiais compsitos com maior

    rigor (HASHIN, 1983; HERAKOVICH, 1998).

    A simulao do comportamento mecnico dos materiais compsitos no

    simples. Para aplicao desses materiais com segurana nos projetos de

    engenharia, faz-se necessria a realizao de estudos com relao ao

    comportamento mecnico desses materiais diante das solicitaes, a fim de prever

    de forma adequada as distribuies de tenses a que o material ou elementos

    estruturais constitudos por sua aplicao possam estar submetidos durante sua

    utilizao.

    Com a utilizao e desenvolvimento de modelos numricos mais precisos e

    representativos dos materiais e estruturas possvel estimar, de forma mais prxima

    do real, o comportamento da estrutura durante sua vida til, quantificando a

    deteriorao dos componentes estruturais e determinando os carregamentos limite e

    em servio para serem usados em projetos.

    Com o objetivo de buscar a representao do comportamento mecnico

    desses materiais, vrios modelos numricos vm sendo propostos ao longo dos

    anos (ZIENKIEWICZ et. al., 2013). Na maioria das vezes esses modelos numricos,

    ou formulaes, baseiam seus desenvolvimentos em mtodos de energia, com

    aplicao direta do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) (LI e LIU, 2002;

    TOULEMOND et. al. 2008; WANG et. al. 1999b). A aplicao do MEF, atrelada a

    tcnicas de armazenagem de dados de problemas esparsos, apresenta vantagens

    para o tratamento de problemas com considerao de matrias compsitos com

    incluses, sejam de fibras ou de partculas, devido ao grande nmero de

    informaes geradas e necessrias obteno de resultados.

    Voltando um pouco origem do mtodo dos elementos finitos, que no est

    associado a uma poca ou apenas a um nico autor, possvel afirmar que foi com

    a rpida evoluo e expanso da cincia da computao que o mtodo dos

    elementos finitos passou a ser mais difundido e aplicado em diversas reas

    (ASSAN, 2003; ZIENKIEWICZ et. al., 2013).

    Na modelagem numrica de meios contnuos, em alguns casos mais

    especficos, desejvel que se considerem os efeitos das no-linearidades fsica e

    geomtrica nas anlises. A no-linearidade fsica est associada ao comportamento

    no-linear da lei constitutiva adotada para representao da relao tenso x

    deformao envolvida nos modelos, j a no-linearidade geomtrica est associada

  • 22

    importncia que a mudana da geometria ter na configurao equilibrada

    deslocada do corpo, no sendo conveniente adotar a configurao indeformada

    como configurao para determinao do equilbrio do problema (BONET e WOOD,

    1997). Em geral, os cdigos baseados no mtodo dos elementos finitos, usados na

    modelagem de estruturas esbeltas e com grandes deslocamentos e deformaes,

    utilizam as referidas no-linearidades em suas formulaes (SORIANO, 2003).

    Voltando aos compsitos, na maioria das vezes esses materiais se

    apresentam na forma de matrizes reforadas por fibras ou partculas, bem como na

    forma de laminados, reforados ou no por fibras e/ou partculas, podendo ser

    constitudos por camadas de diferentes materiais e com propriedades mecnicas

    distintas, proporcionando caractersticas especficas ao conjunto.

    O presente trabalho se destina anlise do comportamento, em nvel

    macroscpico, de matrias compsitos particulados, com nfase ao concreto,

    utilizando para tanto uma formulao baseada no mtodo dos elementos finitos

    posicional para meios elsticos bidimensionais. A formulao utilizada foi

    desenvolvida no contexto do Grupo de Mecnica Computacional (GMEC), do

    Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), da Escola de Engenharia de So

    Carlos (EESC), da Universidade de So Paulo (USP), no qual se insere a presente

    pesquisa.

    Por se tratar de formulao baseada no mtodo dos elementos finitos

    posicional, a no-linearidade geomtrica considerada naturalmente na formulao,

    porm, no sero considerados os efeitos da no-linearidade fsica nas anlises,

    limitando-se as aplicaes ao regime elstico. A formulao utilizada, que pode ser

    considerada como desenvolvida em nvel mesoscpico por tratar da interao entre

    matriz e partculas, segue a mesma ideia dos trabalhos desenvolvidos por Vanalli

    (2004), Baiocco et. al. (2013) e Sampaio (2014), onde compsitos reforados com

    fibras so analisados, sem necessidade de coincidncia entre as malhas da matriz e

    das partculas e sem o aumento do nmero de graus de liberdade dos problemas,

    sendo estas consideradas vantagens para a abordagem numrica de compsitos

    reforados.

    Por seguir a mesma estratgia dos trabalhos citados, uma terceira fase do

    compsito particulado, que a interface entre a matriz e as partculas,

    desconsiderada e a aderncia perfeita entre as duas fases assumida.

  • 23

    Nos captulos seguintes apresentam-se a reviso bibliogrfica e as

    formulaes do elemento bidimensional utilizado na modelagem tanto da matriz

    como das partculas, bem como a parcela da formulao responsvel pelo

    acoplamento entre as duas fases sem o acrscimo dos graus de liberdade. Essas

    formulaes so apresentadas resumidamente, sendo que os detalhes podem ser

    consultados diretamente nos trabalhos de Vanalli (2004), Baiocco et. al. (2013) e

    Sampaio (2014). So apresentados tambm os exemplos de aplicao da referida

    formulao, com as comparaes dos resultados numricos das anlises com

    resultados de programas experimentais encontrados na literatura, bem como com

    resultados de modelos matemticos de homogeneizao e modelos numricos

    propostos por outros autores, inclusive utilizando o mtodo dos elementos finitos e

    tcnicas de homogeneizao assinttica.

    O objetivo da presente proposta, que consiste ainda em validar a metodologia

    desenvolvida no GMEC/SET/EESC/USP para considerao de compsitos

    particulados, desperta interesse para engenharia de estruturas, uma vez que se

    apresenta mais econmica, no que se refere ao custo computacional, que as

    metodologias tradicionais para tratamento desses materiais, justificando assim o

    desenvolvimento de pesquisas e contribuies nesta rea.

    1.2. Objetivo

    O objetivo principal desta pesquisa consiste em modelar estruturas

    bidimensionais elsticas constitudas de materiais compsitos particulados,

    avaliando, entre outras coisas, a influncia da geometria, tamanho, frao

    volumtrica, distribuio e propriedades mecnicas das partculas adotadas, no

    comportamento da estrutura em nvel macroscpico. Sero realizadas tais

    verificaes tanto em anlises com clulas peridicas, para obteno de

    propriedades fsicas homogeneizadas, quanto em anlises de problemas com

    dimenses reais, que simulam estruturas compostas de partculas dispersas

    aleatoriamente para obteno dos campos de deslocamentos.

    Como dito anteriormente, ser utilizada formulao desenvolvida e

    implementada no contexto do GMEC/SET/EESC/USP para tais aplicaes. A

  • 24

    formulao se baseia no mtodo dos elementos finitos posicional, sem aumento dos

    graus de liberdade do sistema.

    1.3. Metodologia

    A metodologia adotada para atingir o objetivo principal da presente pesquisa

    pode ser dividida nas seguintes etapas:

    a. Levantamento bibliogrfico sobre os assuntos relacionados ao tema da

    dissertao;

    b. Familiarizao com a formulao desenvolvida e implementada no

    GMEC/SET/EESC/USP, inclusive com o cdigo resultante das

    referidas implementaes, permitindo sua utilizao nas anlises

    desejadas;

    c. Desenvolvimento de gerador de partculas, possibilitando a distribuio

    destas de forma aleatria ou estruturada em domnios bidimensionais.

    Nesta etapa tambm foi incorporada no gerador a possibilidade de

    gerao de partculas com geometrias pr-definidas ou aleatrias. Vale

    lembrar que as representaes das partculas so sempre compostas

    por elementos finitos triangulares com ordem de aproximao qualquer

    para as posies nodais;

    d. Estudo da estratgia utilizada para identificao das posies de

    insero da malha das partculas na malha da matriz. Neste ponto vale

    lembrar que o acoplamento matrizpartculas, com aderncia perfeita,

    para se simular o compsito foi obtido ao se inserir o elemento de

    chapa (que simula a partcula) dentro de outro elemento de chapa (que

    simula a matriz). O Mtodo adotado nesta etapa consiste em escrever

    as posies nodais da partcula em funo das posies nodais dos

    ns dos elementos finitos de chapa no meio onde esto imersas,

    processo anlogo ao adotado em Vanalli (2004); Sampaio et. al.

  • 25

    (2011); Baiocco et. al. (2013); Sampaio (2014) e Nogueira et. al.

    (2014), onde as fibras foram inseridas em uma posio qualquer do

    domnio sem aumentar o nmero de graus de liberdade do sistema e

    sem necessidade de coincidncia das malhas.

    e. Familiarizao com os programas de apoio, desenvolvidos no

    SET/EESC/USP, sendo um deles o AcadMesh2D, que consiste em

    CAD acoplado a um gerador de malhas que considera as informaes

    do domnio bidimensional slido modelado e as condies de contorno,

    possibilitando a gerao de arquivos de entrada de modelos de

    elementos finitos; e o outro AcadView, que consiste em programa para

    ps-processamento de resultados em elementos finitos;

    f. Familiarizao com o programa comercial Ansys, para gerao das

    malhas necessrias para as simulaes numricas;

    g. Escolha dos exemplos a serem modelados, de tal forma que a

    validao da metodologia adotada tenha como referncia outros

    modelos numricos, experimentais e tericos, seguida da montagem

    dos arquivos de entradas de dados para o programa desenvolvido no

    GMEC/SET/EESC/USP;

    h. Simulao numrica dos exemplos escolhidos, considerando diferentes

    tipos de concretos, discutindo-se a influencia da geometria, do

    tamanho, da porcentagem e das propriedades mecnicas das

    partculas inseridas no domnio, no que se refere ao comportamento

    macroscpico dos modelos, tanto para obteno de mdulos de

    elasticidade longitudinal do material homogeneizado, quanto para

    anlise do comportamento global em deslocamento da estrutura;

  • 26

  • 27

    2. REVISO BIBLIOGRFICA

    Neste captulo apresentam-se a definio e classificao de materiais

    compsitos, identificando os compsitos particulados em especial, bem como a

    escala de anlise adotada na presente pesquisa. Apresentam-se ainda os

    levantamentos bibliogrficos mais diretamente relacionados aos estudos tericos,

    numricos e experimentais de materiais compsitos, com destaque aos particulados,

    bem como aos estudos que apresentam formulaes que so relacionadas

    formulao utilizada na modelagem dos exemplos.

    2.1. Consideraes Iniciais

    Os compsitos, que so uma subdiviso dos materiais dentro da Engenharia

    dos Materiais, consistem na combinao, em escala macroscpica, de dois ou mais

    materiais diferentes. Um material composto concebido para apresentar

    propriedades melhores do que as encontradas isoladamente em cada material que o

    constitui (CALLISTER, 2001).

    Evitando que todo material tcnico seja considerado um compsito, a

    definio foi estendida, segundo Callister (2001) e Rosler (2007), como um material

    multifsico que exibe uma proporo significativa das propriedades de ambas as

    fases constituintes, em que o material feito artificialmente e as fases constituintes

    so quimicamente diferentes e separadas por uma interface distinta. Alm disso, a

    maioria dos compostos foi criada para melhorar as combinaes de caractersticas

    mecnicas, tais como a rigidez, a dureza e a resistncia ao ambiente e a altas

    temperaturas (CALLISTER, 2001).

    Diversas classificaes dos materiais compsitos so encontradas na

    literatura. Uma das que melhor distribui os diferentes tipos de compsitos a

    apresentada na Figura 2.1.

    Na literatura possvel encontrar estudos que tratam dos materiais

    compsitos como laminados, fibrosos, particulados e tambm como painis

    sanduiche (Barbosa et. al., 2012). Quanto aos laminados, algumas teorias e

    modelos associados a elementos finitos de estruturas compostas so discutidas em

    Reddy (2004), onde placas e cascas so analisadas.

  • 28

    Compsitos

    Fibras reforantes Partculas reforantes Hbridos

    Partculas grandes

    Partculas pequenas

    Contnua (alinhada)

    Descontnua (picada)

    Laminados Painis Sanduche

    Alinhadas Aleatrias

    Figura 2.1 Classificao de materiais compsitos.

    FONTE: adaptado de Callister (2001)

    No que diz respeito s anlises linear e no-linear geomtrica de estruturas

    laminadas, Zhang e Yang (2006) apresentaram uma formulao para placas

    compostas, utilizando elementos finitos planos quadrilaterais e triangulares, que

    consistem na combinao entre membrana e comportamento flexo. Os autores

    utilizaram uma abordagem Lagrangiana Total, baseando-se diretamente na teoria de

    primeira ordem de deformao de cisalhamento para placas de compsitos

    laminados. Como mtodo de obter elementos de placa laminado compsito,

    empregaram as funes de viga de Timoshenko, cujas funes de deslocamento

    podem ser aplicadas s placas grossas e finas.

    Por outro lado, a verso no-linear da teoria generalizada laminada de Reddy

    (2004) apresentada com a utilizao de elemento de placa em Barbero e Reddy

    (1990) e Petyt el. al. (1994) e com a utilizao de elemento de casca em Han el. al.

    (2008).

    Callister (2001) subdivide os compsitos de partculas de reforo em

    partculas pequenas e partculas grandes, que sero abordadas neste estudo.

    Lembrando ainda, que o termo ''grande'', ou particulado, indica que as interaes de

    partculas na matriz no podem ser tratadas como atmica ou de nvel molecular,

    como acontece com as partculas pequenas. Na maioria dos compostos de

    partculas grandes, a fase de partculas mais dura e mais rgida do que o da

    matriz, mas nem sempre isso ocorre. Essas partculas reforantes tendem a

    restringir o movimento da fase de matriz na vizinhana de cada partcula.

  • 29

    Alm disso, o grau de reforo ou melhoria do comportamento mecnico

    depende da ligao forte na interface matriz partcula. Na Figura 2.2, possvel

    notar a diferena entre fibras e partculas reforantes.

    (a) (b) (c)

    Figura 2.2 (a) Fibras longas, (b) fibras curtas e (c) compsitos particulados.

    (Fonte: KOLLR, 2003)

    O concreto um dos materiais compsitos mais populares (YANG et al.,

    1995; CALLISTER, 2001; Tu; Lu, 2011a), sendo o material mais largamente usado

    na construo civil. O consumo do concreto corresponde a dez vezes o consumo do

    ao em muitos pases e nenhum outro material consumido em tal quantidade, a

    no ser a gua (MEHTA e MONTEIRO, 2008). Composto de cimento, agregado

    mido, agregado grado e gua, ele fcil de moldar em qualquer forma, e

    altamente resistente a ambientes marinhos (YANG et al., 1995). Quanto ao

    agregado, ele no serve s para, moderadamente, aumentar a rigidez e resistncia

    fratura; mas, tem a adicional vantagem de agir como um material de enchimento.

    Dessa forma, ocorre a reduo do custo global do concreto, ao contrrio do cimento

    que relativamente caro (ROSLER, 2007; CALLISTER, 2001). Este um exemplo

    que a estrutura interna de um material deve ser levada em considerao, tanto no

    concreto, nas ligas metlicas ou ainda em outros compsitos.

    A maioria dos modelos clssicos baseada no pressuposto de que o material

    pode ser representado como contnuo homogneo, em que o comportamento

    descrito independente da estrutura do material. Nesse caso, os nicos componentes

    geomtricos so formados pelo tamanho e forma da estrutura considerada (VAN

    MIER, 1997). Mas, apesar da composio do concreto muitas vezes no ser

    considerada, o concreto um material de multiescala. Segundo Van Mier (1997);

    Zaitsev e Wittmann (1981), o concreto apresenta o nvel nano, micro, meso e macro

    de observao. Um diagrama apresentado na Figura 2.3, em que h trs escalas

    principais, que so destacadas para a investigao do concreto.

    http://link.springer.com/search?facet-author=%22Y.+B.+Zaitsev%22http://link.springer.com/search?facet-author=%22F.+H.+Wittmann%22

  • 30

    Figura 2.3 As diversas escalas de observao que devem ser consideradas, quando se

    estuda materiais e estruturas (Fonte: Van Mier, 1997)

    Os trs nveis de observao novamente so mostrados na Figura 2.4,

    distinguindo as caractersticas estruturais que so importantes em cada nvel, de

    acordo com Van Mier (1997). No nvel micro, a estrutura interna de cimento e pasta

    de cimento endurecido a caracterstica estrutural mais importante. No nvel meso,

    analogamente como ocorre no presente estudo, a estrutura da partcula mais

    importante, e a heterogeneidade do material o motivo do aparecimento de

    concentraes de tenso locais. No macro, nvel em que os engenheiros estruturais

    trabalham, em geral, a estrutura do material interno no reconhecida,

    desconsiderando-se os efeitos de interface entre as fases.

    (a) (b) (c)

    Figura 2.4 Definio da escala de cimento e concreto (a) micro (b) meso e (c) macro

    (Fonte: Van Mier, 1997)

    Assim, igualmente ao que foi adotado no presente estudo, o concreto pode

    ser considerado bifsico (MEHTA e MONTEIRO, 2008). As duas fases, compostas

    da matriz de cimento e de partculas de agregado, podem ser facilmente distinguidas

  • 31

    numa seo polida de um corpo-de-prova de concreto, conforme Figura 2.5,

    desprezando-se a influncia da interface matriz-partcula, considerando tal ligao

    como de aderncia perfeita.

    Figura 2.5 Partculas de agregado de tamanho e forma variados dispersas,

    aleatoriamente, no meio ligante de pasta endurecida. Fonte: Mehta e Monteiro (2008)

    Segundo Allen (2001), as perdas de preciso na anlise do dano, podem no

    ser significativas quando as escalas de anlise so significativamente diferentes.

    Zaitsev e Wittmann (1981), apontam como principal defeito de uma estrutura, as

    rachaduras advindas do vnculo entre incluses e matriz, situaes causadas por

    sedimentao e secagem de encolhimento. Em virtude disso, esses autores

    propem, como ideal, os parmetros de anlises na escala de comprimento anterior

    ao nvel que se objetiva explicar (WANG et. al. 1999a; ALLEN, 2001; ZAITSEV e

    WITTMANN, 1981; VAN MIER, 1997, TU e LU, 2011a). Sob o mesmo ponto de vista,

    o presente estudo considera os parmetros de anlise do nvel meso para se

    explicar o comportamento da estrutura no nvel macro.

    No que segue, apresentam-se no item 2.2 estudos tericos e numricos que

    adotam a tcnica de homogeneizao em materiais compsitos como estratgia

    para abordagem dos problemas. No item 2.3 apresentam-se estudos experimentais

    sobre o concreto natural, o concreto leve, o concreto permevel e o concreto de

    alta resistncia. No item 2.4 apresentam-se estudos numricos sobre a influncia da

    partcula no concreto e nas ligas metlicas, bem como estudos numricos que

    abordam formulaes relevantes para a presente proposta.

    http://link.springer.com/search?facet-author=%22Y.+B.+Zaitsev%22http://link.springer.com/search?facet-author=%22F.+H.+Wittmann%22

  • 32

    2.2. Homogeneizao: Estudos Analticos e Numricos

    Os processos de homogeneizao tomam como referncia a modelagem das

    estruturas em escalas menores que a macroscpica e so usados para avaliar as

    propriedades elsticas homogeneizadas do material compsito considerando as

    propriedades elsticas dos constituintes de cada fase, ou seja, matriz e reforos

    (Barbero, 2008).

    As tcnicas de homogeneizao so divididas por Milton (2004) em

    homogeneizao do ponto de vista intuitivo, homogeneizao peridica,

    homogeneizao em mdia aleatria e homogeneizao baseada em diferentes

    estratgias de convergncia, sendo esta diviso promovida em virtude dos diversos

    trabalhos com diferentes abordagens encontrados na literatura e apresentados pelo

    autor.

    De acordo com o trabalho de Willis5 (1983) apud Prado (2013), os diferentes

    mtodos propostos para estudo do comportamento mecnico dos compsitos esto

    divididos em quatro grandes categorias, a saber: mtodos assintticos, auto-

    consistentes, variacionais e mtodos de modelagem, sendo que os detalhes de cada

    uma dessas abordagens podem ser encontrados nos referidos trabalhos.

    Estudos analticos de homogeneizao foram realizados por Eshelby (1957);

    Eshelby (1959) e Hashin; Shtrikman (1963); Hill (1965); Mori e Tanaka (1973);

    Hashin (1983); Allaire (1992), sendo que os limites elsticos mdios para materiais

    compsitos foram obtidos em Voigt (VOIGT6, 1889 apud YANG et. al., 1995) para o

    limite superior e Reuss (REUSS 7 ,1929 apud YANG et. al., 1995) para o limite

    inferior. Entre esses autores, Yang e Huang (1996) realizaram um trabalho terico

    de homogeneizao de compsitos particulados fundamentado por Eshelby (1957) e

    Mori e Tanaka (1973), no qual um modelo terico para estudar o comportamento

    elstico do concreto, ao considerar um composto de trs fases distintas (dupla

    incluso), foi apresentado. Alm disso, os resultados obtidos das propriedades

    elsticas foram amplamente comparados com os resultados experimentais.

    5 Willis, J.R. The overall elastic response of composite materials. J. Appl. Mech.,v. 50, n. 4b, p. 1202-1209, 1983.

    6 W. Voigt, Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticittsconstanten isotroper Krper, Wied. Ann. 38

    (1889) 573-587.

    7 A, Reuss Berechnung der Fliegrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizittsbedingun fr Einkristalle, Z.

    Angew. Math. Mech.9 (1929) 49-58

  • 33

    Dentre os estudos numricos de homogeneizao (MICHEL at. al., 1999;

    ALLEN, 2001), o modelo de homogeneizao de meios aleatrios, utilizando

    mtodos variacionais foi realizado por Toulemond et al. (2008), que utilizou o mtodo

    dos elementos finitos com diferentes tamanhos de malhas de clula unitria dos

    elementos de incluso com geometria esfrica. Os autores tambm apresentaram os

    resultados das relaes entre as propriedades elsticas de matriz e incluses, que

    representam a argamassa e os agregados.

    Farage et. al. (2009) realizaram anlise numrica via mtodo dos elementos

    finitos e homogeneizao de expanso assinttica (AEH), que consiste numa tcnica

    multiescala que aplicada meios peridicos para estimar as propriedades

    mecnicas dos compsitos, no caso concretos, cuja formulao de problemas de

    elasticidade linear foi implementada em programa de manipulao simblica, com a

    adoo de elementos planos bidimensionais. Este estudo numrico considera

    concretos leves, homogeneizado num meio bifsico, fabricados com a mesma

    argamassa (matriz) composta de cinco tipos de agregados leves de argila

    expandida, com fraes volumtricas variadas, que correspondem a 12,5%, 25,0%,

    37,5% e 45,0%. A fim de verificar a influncia da geometria da incluso no resultado

    homogeneizado, foram adotadas no referido estudo trs formas geomtricas simples

    para modelar a incluso nas clulas peridicas. Ao comparar os resultados obtidos,

    de problemas simples, com estudos experimentais, os autores constataram

    potencialidade na tcnica empregada para a simulao do mdulo de elasticidade

    homogeneizado de concretos e resistncia compresso. Segundo os autores, mais

    estudos precisam ser feitos para verificar a influencia da geometria das partculas no

    concreto, visto que as trs geometrias diferentes parecem ter sido mais

    influenciadas por aspectos relacionados malha de elementos finitos adota nas

    anlises.

    2.3. Estudos Experimentais

    O mdulo de elasticidade pode descrever o comportamento mecnico do

    concreto (ABDELGADER, 2003) e tambm de outros compsitos. No projeto de

    concreto armado e protendido, os mdulos elsticos de materiais estruturais so

    parmetros muito importantes, particularmente no que se refere aos nveis de

  • 34

    deslocamentos (KLISZCZEWICZ e AJDUKIEWICZ, 2002) e na concepo de

    elementos estruturais com base na rigidez Yang et. al. (1995). Como resultado,

    muitos estudos experimentais foram desenvolvidos com o propsito de se analisar o

    mdulo de elasticidade, equivalente ou homogeneizado, do compsito a partir das

    propriedades elsticas dos constituintes da matriz e das partculas para diferentes

    tipos de concretos.

    2.3.1. Concreto Natural

    Yang et. al. (1995) realiza um ensaio experimental e compara atravs de

    previses tericas o efeito do agregado no mdulo de elasticidade de materiais

    compsitos a base de cimento. O autor utilizou diferentes tipos e formas de

    agregados, isto , ao esfrico, vidro esfrico, cascalho arredondado, pedra britada

    angular, para mostrar que os diferentes tipos e as fraes de volume, que variam em

    10%, 20% e 30%, afetam significativamente o mdulo de elasticidade dos materiais

    compsitos de concreto e os resultados experimentais se aproximam muito das

    previses tericas, onde o mdulo de elasticidade foi calculado baseado nos limites

    de Hashin-Shtrikman (HASHIN E SHTRIKMAN, 1963) e na micromecnica clssica.

    Os mdulos de elasticidade e coeficientes de poisson diminuem medida que a

    relao gua/cimento aumenta. Os resultados dos testes mostram ainda que quando

    o mdulo de elasticidade e a frao de volume do agregado aumentam, o mdulo de

    elasticidade do compsito melhora.

    Palmquist et. al. (2001) estudaram como as diferentes fraes de volume,

    15%, 33% e 50%, de agregados de solo vitrificados afetam o desempenho mecnico

    do concreto em relao ao concreto feito com agregado grado natural. Os

    resultados experimentais mostraram que para grandes fraes de volume a forma

    irregular do agregado vitrificado (alongada com extremidade afiada) e sua textura

    lisa tornam, consequentemente, o concreto rgido e a ligao entre as fases pobre, o

    que diminui a resistncia compresso. Por outro lado, o solo vitrificado, por possuir

    mdulo de elasticidade elevado, pode aumentar consideravelmente o mdulo de

    elasticidade do concreto. Enquanto que para o concreto de agregados naturais, com

    o aumento da frao de volume de 0% a 50%, no existe qualquer alterao

    perceptvel no mdulo de elasticidade.

  • 35

    Abdelgader (2003) realizou ensaios experimentais com trs tipos de

    agregados grados, sendo: arredondado, achatado e misto; e trs propores de

    misturas diferentes de argamassa para a anlise da relao tenso-deformao,

    mdulo de elasticidade e resistncia compresso do concreto intitulado dois

    estgios. A anlise revelou que curvas de tenso deformao obtidas para este

    concreto, onde os agregados grados (maior proporo) so colocados numa forma

    e posteriormente injetada argamassa para preencher os espaos vazios entre os

    agregados, so afetados principalmente pelas propriedades fsicas do agregado

    grado. possvel supor que a carga aplicada distribuda principalmente atravs

    do esqueleto total, o que impossibilita considerar este concreto como isotrpico. As

    observaes de ensaio e anlise mostram que a parte linear da curva de tenso-

    deformao pode atingir tanto 40% quanto 60% da resistncia compresso das

    amostras.

    2.3.2. Concreto Leve

    Crouch et. al. (2007) investigaram os efeitos que a gradao, a quantidade e

    o tamanho do agregado grado exercem sobre o mdulo de elasticidade esttico do

    concreto permevel de cimento portland (PCC), considerando quatro tipos de

    misturas diferentes. Atravs dos ensaios experimentais, os autores constataram que

    para este concreto, composto de cimento portland, gua, agregado grado, e, em

    alguns casos, aditivos qumicos ou materiais complementares de cimentao, o

    aumento do valor de agregado resultou em uma diminuio estatisticamente

    significativa na fora de compresso e mdulos de elasticidade esttico devido

    consequente diminuio da quantidade de pasta cimentcia. Entretanto, no houve

    diferena significativa entre o mdulo elstico esttico do concreto quando foram

    utilizados diferentes tamanhos de agregados, enquanto que para as misturas com

    agregados de tamanho menor as foras de compresso foram superiores.

    CUI et. al. (2012) realizaram um estudo experimental para verificar a

    influncia da frao de volume, que varia entre 30%, 40% e 50%, e as propriedades

    do agregado leve nas propriedades mecnicas e fragilidade do concreto. Para isso

    cinco diferentes tipos de agregados grados com diferentes densidades e origens

    foram considerados nos ensaios, isto , dois tipos de agregados de argila expandida

  • 36

    de forma esfrica, com dimenses diferentes, tambm foram considerados um tipo

    de argila expandida de forma alongada, um agregado de xisto expandido e por

    ltimo um agregado que consiste na mistura de xisto e cinza de combustvel

    pulverizado. Os resultados desta proposta de ensaio foram avaliados e os autores

    observaram que o formato dos agregados propostos exerce grande influncia sobre

    as propriedades mecnicas do concreto leve resultante da mistura. A influncia que

    o volume, a densidade e a tenso de esmagamento das partculas de agregados

    grados leves geram no pico de tenso, na deformao e no mdulo de elasticidade

    do concreto de agregados leves so avaliados. Conforme sugere a literatura, com o

    aumento do volume de agregados leves ocorre, em geral, uma diminuio do pico

    de tenso e do mdulo de elasticidade longitudinal.

    KE et. al. (2009) investigaram, atravs de um estudo experimental, a

    influncia que o volume e as caractersticas dos agregados leves, de diferentes

    locais de fabricao, exercem sobre as propriedades mecnicas do concreto, tal

    como resistncia compresso e mdulo de elasticidade. O estudo considera seis

    tipos agregados de argila e o xisto expandidos, considerando variadas fraes de

    volume e qualidade dos agregados. Aspectos como a densidade, a geometria, a

    espessura da casca, a porcentagem de poros dilatados e gros quebrados destes

    agregados tambm so considerados. Os agregados de argila chegam a ser

    nodulares a quase esfricos, j os agregados de xisto so mais irregulares e

    constitudos por vrios tipos de gros correspondentes a diferentes graus de

    extenso. A rigidez do agregado leve 3,5 a 4 vezes menor do que a matriz de

    cimento, assim, o mdulo de elasticidade do concreto de agregado leve diminui com

    o aumento da frao em volume de agregados leves, onde os valores so ainda

    menores para o agregado de xisto. O mdulo de elasticidade e a resistncia do

    concreto so efetivamente influenciados pela densidade do agregado. Para os

    agregados de densidade inferior a 1000 kg/m o mdulo de elasticidade e a

    resistncia compresso do concreto leve so fortemente afetados pela frao de

    volume de agregado. Por outro lado, os agregados com densidades de,

    respectivamente, 1430 kg/m e 1570 kg/m, o aumento da frao em volume diminui

    o mdulo de elasticidade de concretos, mas no ocorre a reduo da resistncia

    compresso.

  • 37

    2.3.3. Concreto de Alto Desempenho

    Zhou et.al. (1995) realizam um estudo experimental para verificar o efeito que

    o agregado grado gera no mdulo de elasticidade e na resistncia a compresso

    de concretos de alto desempenho. Para isso, os autores utilizaram seis tipos de

    materiais diferentes, a saber: Argila Expandida, Cinza Volante, Calcrio, Cascalho,

    Vidro e Ao; bem como empregaram uma porcentagem de volume fixa para

    argamassa, e agregados de 42,5%. Os autores realizaram ensaios experimentais

    para concluindo que o agregado grado reflete no mdulo de elasticidade do

    concreto e que aos 28 dias este concreto j apresentava 95% do seu valor de

    mdulo de elasticidade e teve pouca alterao nas idades posteriores. Com exceo

    de agregados de rigidez muito alta e muito baixa, os valores do mdulo de

    elasticidade foram bem previstos pelos modelos tericos apresentados no referido

    trabalho para comparao, sendo que os resultados experimentais se aproximaram

    mais dos obtidos no Modelo Terico de Couto (ZHOU et.al., 1995).

    Baalbaki et. al. (1991) realizaram um estudo experimental para verificar a

    Influncia do agregado grado nas propriedades elsticas do concreto de alto

    desempenho. Trs diferentes tipos de agregados grados foram usados, isto :

    calcrio dolomtico, quartzito e arenito. Dois tipos diferentes de cada agregado

    grado citado foram usados, fato que foi desprezado nas anlises finais devido

    semelhana de resultados que o mesmo tipo de agregado gerou no concreto. O

    mdulo de elasticidade do concreto de alto desempenho fortemente influenciado

    pelas propriedades elsticas dos agregados grados. A influncia do agregado

    grado na curva tenso-deformao para o concreto manifestada pela semelhana

    das curvas dos concretos e dos seus respectivos agregados grados. Assim, as

    curvas quase paralelas para o calcrio e quartzito produzem valores idnticos ao

    mdulo de elasticidade dos seus respectivos concretos, enquanto o concreto de

    arenito possui mdulo de elasticidade menor.

    Beshr et. al. (2003), atravs de ensaios experimentais, avaliaram o efeito de

    quatro agregados grados diferentes, isto , calcrio (mais fraco que o dolomite),

    dolomite, quartzticos (baixa capacidade de carga) e escria de ao, na resistncia

    compresso e trao e mdulo de elasticidade do concreto de alta resistncia. Os

    resultados obtidos nos ensaios mostraram que as resistncias compresso mais

    alta e mais baixa foram obtidas nas amostras de concreto preparadas com escria

  • 38

    de ao e agregados de calcrio, respectivamente; e a resistncia ruptura foi mais

    alta nos concretos de agregados de escria de ao, seguido pelo dolomite e

    quartzticos. A menor resistncia ruptura foi observada no concreto de calcrio. O

    tipo de agregado grado influencia no mdulo de elasticidade do concreto, pois ao

    contrrio dos agregados resistentes, os agregados mais fracos tendem a produzir

    um concreto mais dctil. Os resultados evidenciaram que, no concreto de alta

    resistncia, isto , no concreto preparado usando uma baixa relao de gua-

    cimento e elevado teor de cimento, a resistncia compresso dependente da

    qualidade do agregado.

    Kliszczewicz e Ajdukiewicz (2002) realizaram ensaios experimentais utilizando

    trs diferentes tipos de agregados grados para avaliar a influncia que o agregado

    grado exerce nas propriedades bsicas do concreto de alta performance e alta

    resistncia. Os agregados grados usados na elaborao dos corpos de prova

    cilndricos foram o basalto, granito, e cascalho natural (pedregulho). Com posse nos

    resultados, os autores concluram, ao analisar as caractersticas tenso-deformao,

    que para cada concreto com diferente tipo de agregado grado h tenses mximas

    diferentes e que a deformao de compresso foi a maior para o granito. Tambm

    concluram que o agregado grado tem um efeito significativo no mdulo de

    elasticidade, pois em comparao s recomendaes do Eurocode 2, os valores

    so, na realidade, para o cascalho arredondado natural 3% maior, 13% maior para o

    agregado basalto, enquanto para agregados de granito so menores cerca de 21%.

    O coeficiente de poisson tambm apresentou resultados diferentes para o concreto

    com agregados diferentes. O autor ainda ressaltou a necessidade de se obter dados

    mais reais dos concretos elaborados a partir do agregado grado disponvel em

    cada regio e que a norma apresenta valores grosseiros, quando particularmente

    comparado ao concreto de alta performance.

    Wu et. al. (2001) realizaram um estudo experimental para verificar o efeito

    que o agregado grado gera nas propriedades mecnicas, isto , resistncia

    compresso, resistncia diametral, energia de fratura, comprimento caracterstico e

    mdulo de elasticidade, do concreto de alto desempenho. Para isso, quatro tipos

    diferentes de agregado grado foram usados: partculas achatadas de quartzo e

    granito, partculas de calcrio e partculas speras de mrmore. Os autores

    concluram que um agregado grado com uma fora mais elevada e menor

    fragilidade, textura e adequadas caractersticas mineralgicas podem melhorar as

  • 39

    propriedades mecnicas do concreto. Como a relao gua-cimento reduzida para

    concreto de alta resistncia, a resistncia do concreto aumentada com o aumento

    da resistncia de agregado grado. Entretanto, para o concreto de resistncia

    normal, o efeito do tipo de agregado grado no significativo na resistncia

    compresso. Devido rigidez inerente e grande frao de volume que ele ocupa no

    concreto, o agregado exerce a maior influncia sobre o mdulo de elasticidade do

    mesmo. No apenas a rigidez global, mas tambm o tipo de agregado, afeta o

    mdulo de elasticidade.

    2.4. Estudos Numricos

    De maneira simples, o mtodo dos elementos finitos (MEF) consiste na

    diviso do domnio em um nmero finito de pequenas regies denominadas de

    elementos finitos. Conforme o tamanho dos elementos finitos, a malha alterada,

    como pode ser visto na Figura 2.6 (ASSAN, 2003).

    Figura 2.6 Rede de elementos finitos (Adaptado de (Assan 2003))

    O mtodo dos elementos finitos utilizado em vrios pacotes comerciais para

    a modelagem de uma infinidade de problemas da engenharia. Alm disso,

    elementos de reforo podem ser encontrados nas bibliotecas desses pacotes, em

    diferentes abordagens numricas.

    O pacote comercial ANSYS apresenta trs elementos de reforo que podem

    ser avaliados de forma no linear, conforme apresentado na Figura 2.7. O elemento

    (a) possui configurao tridimensional e permite que fibras possam ser inseridas

  • 40

    com orientao arbitrria no contexto deste elemento. Os elementos (b) e (c) utilizam

    um mtodo que adequado para modelar grupos de reforo de fibras que aparecem

    em camadas ou na forma de lminas, sendo que o elemento (b) usado para

    modelos bidimensionais ; enquanto que o elemento (c) usado para modelos

    tridimensionais

    (a) (b) (c)

    Figura 2.7 Elementos de Reforo (a) Primeiro tipo 3D com 8 e 20 ns (b)Segundo tipo 2D

    com 4 e 8 ns (c) Terceiro tipo 3D com 8 e 20 ns (Fonte: Ansys)

    Nos elementos apresentados na Figura 2.7, admite-se que as fibras de

    reforo esto rigidamente ligadas ao elemento de base. Assim, os graus de

    liberdade dos ns da camada interna (II, JJ, KK, LL, etc) podem ser expressos em

    funo dos graus de liberdade dos ns dos elementos externos (I, J, K, L, etc.). A

    diferena entre a opo disponibilizada pelo pacote e a formulao utilizada na

    presente pesquisa que os reforos no podem atravessar os elementos que

    discretizam o contnuo.

    Apesar do mtodo dos elementos finitos ser bem difundido nas modelagens

    numricas, outros mtodos tambm so usados para incluses nos domnios. A

    combinao do mtodo dos elementos de contorno e do mtodo dos elementos

    finitos (ZIENKIEWICZ et. al. 1977; BREBBIA e GEORGIOU, 1979; BEER e

    WATSON, 2002), empregada em Venturini e Leite (2005) usualmente utilizada

    para tratar os casos em que as propriedades elsticas do corpo so modificadas

    pelas incluses.

    Vanalli (2004) desenvolveu formulao que possibilita a anlise esttica de

    meios contnuos anisotrpicos viscoplsticos reforados ou no por fibras. Suas

    aplicaes englobam o mtodo dos elementos finitos (MEF) e o mtodo dos

    elementos de contorno (MEC). Na modelagem do domnio so adotados elementos

    finitos triangulares com aproximao cbica e quadrtica para os deslocamentos; e

  • 41

    na modelagem do reforo de fibras elementos finitos de barras simples so

    empregados.

    Nos trabalhos de Vanalli (2004), Baiocco et. al. (2013), Sampaio (2014),

    Paccola et. al. (2008) e Radtke et. al. (2011), os autores apresentam uma tcnica na

    qual as fibras so introduzidas por meio de relaes cinemticas simples que

    garantem sua aderncia matriz, sem a introduo de novos graus de liberdade no

    sistema de equaes resultante e sem a necessidade de coincidncia de ns na

    discretizao das fibras e da matriz.

    A anlise no-linear geomtrica de slidos elsticos bidimensionais

    reforados com fibras, via mtodo dos elementos finitos posicional, em que nenhum

    grau de liberdade adicional introduzido no sistema de elemento finito, foi

    apresentada por Sampaio et. al. (2011). O trabalho aborda o comportamento

    geometricamente no-linear, com formulao Lagrangiana total. Os elementos finitos

    de chapa utilizados para discretizar o slido bidimensional apresentam ordem de

    aproximao qualquer e as fibras (curtas e longas) so discretizadas atravs de

    barras simples.

    Com relao formulao posicional, Coda (2003) e Coda e Greco (2004)

    apresentaram uma formulao simples em situaes de no linearidade geomtrica,

    utilizando o mtodo do elemento finito posicional (MEFP) para resoluo de prticos

    planos. Ambos os trabalhos apresentam a anlise de problemas em estruturas

    bidimensionais estticas, atravs de uma formulao classificada como Lagrangiana

    total com cinemtica exata, ou seja, os parmetros de posio se referem a um

    sistema de coordenadas fixas durante toda a anlise. Tambm utilizam um espao

    no dimensional e o comprimento das barras calculado (no referencial e na

    situao deformada) para obteno da energia de deformao. Esses estudos

    propem uma formulao baseada no princpio da minimizao da energia potencial

    total (TAUCHERT, 1974).

    Diversos trabalhos desenvolvidos no contexto do GMEC/SET/EESC/USP

    seguiram o enfoque da formulao posicional de Coda (2003) e Coda e Greco

    (2004). Marques (2006) realizou um estudo e desenvolvimento de cdigo

    computacional baseado no MEFP para anlise dinmica no-linear geomtrica de

    slidos bidimensionais. Maciel (2008) realizou uma anlise no-linear de prticos

    planos e slidos tridimensionais via MEFP. Em ambos, os desenvolvimentos a

    formulao posicional Lagrangiana total baseada no potencial de energia total.

  • 42

    Marques (2006) e Maciel (2008) utilizaram um algoritmo de integrao temporal

    baseado na famlia de integradores temporais de Newmark. Na implementao do

    cdigo computacional, o elemento finito adotado o triangular com aproximao

    cbica QST em Marques (2006) e elementos finitos tretradricos de 20 ns com

    aproximao cbica em Maciel (2008).

    Alm disso, Coda e Paccola (2008) realizaram uma anlise no-linear

    geomtrica de cascas, via MEFP, onde se incorpora a taxa de variao da

    espessura diretamente na cinemtica que descreve o problema. O tensor de Piola-

    Kirchhof de Segunda Espcie e a deformao de Green so utilizados na

    formulao.

    Pascon (2008) implementou modelos constitutivos hiperelsticos no-lineares

    em um cdigo computacional que faz uma anlise no-linear geomtrica de casca.

    Tal programa, tambm baseado no MEFP, usa a formulao Lagrangiana total, o

    Princpio dos Trabalhos Virtuais e o mtodo iterativo de Newton-Raphson.

    O mtodo de Newton Raphson, que uma forma de resolver as equaes

    no-lineares de equilbrio que ocorrem em anlise no-linear, alm de ser utilizado

    nos trabalhos citados, pode ser visto em Luenberger (1989); Cook et. al. (1989);

    Bonet e Wood (1997) e Crisfield (2000). Em Ogden (1984); Holzapfel (2004) os

    autores apresentam formulaes relacionadas anlise de meios com considerao

    de grandes deslocamentos e grandes deformaes.

    No que se refere aos estudos numricos relacionados influncia das

    partculas no concreto, Wang et. al. (1999a), trataram o concreto como um

    compsito trifsico em uma anlise em nvel mesoscpico, utilizando a gerao de

    uma estrutura de agregados aleatria (RAS random aggregate structure), em que a

    forma (esfrica, cbica e poligonal), tamanho e distribuio das partculas de

    agregado podem se parecer com a encontrada no concreto real. Cada fase, que

    constituda por agregados grados, matriz de argamassa e zona interfacial entre o

    agregado e a matriz, recebeu uma malha independente de elementos finitos

    triangulares. Estes so combinados no linearidade do material, cuja metodologia

    e os resultados so apresentados em Wang et. al. (1999b).

    O mesmo procedimento proposto em Wang et. al. (1999a), em que os

    agregados podem ser gerados com forma e tamanhos aleatrios, localizados de

    forma aleatria dentro no concreto, foi adotado no trabalho de Tu e Lu (2011a). Os

    autores assumiram ainda que deve existir um espao mnimo entre agregados,

  • 43

    evitando sobreposies e interseces entre dois agregados, seguindo o princpio

    de amostragem aleatria de Monte Carlo. Tu e Lu (2011a) apresentam o

    desenvolvimento e a implementao de um modelo computacional bidimensional,

    para realizar uma anlise esttica e dinmica da modelagem em mesoescala do

    concreto, considerando a no-linearidade do material. Este estudo considera a

    estrutura composta de trs componentes distintas (fases), ou seja, agregado grado,

    matriz de argamassa e zona de transio interfacial, sendo considerados, no

    processo para a produo da malha de elementos finitos, dois esquemas

    alternativos para a zona de transio de interface. A gerao de uma estrutura

    geomtrica bidimensional mesoscpica realizada em programa de manipulao

    simblica. As informaes geomtricas sobre os agregados (forma, tamanho,

    localizao) e reas de argamassa obtidas no referido programa so gravadas em

    arquivo de comando macro, que ento importado pelo pacote comercial ANSYS

    para a gerao de malha de elementos finitos. J a anlise no-linear numrica

    realizada utilizando o pacote comercial LS-DYNA. Este estudo traz uma breve

    descrio das teorias e consideraes computacionais pertinentes anlise de

    compsitos, enquanto que em Tu e Lu (2011b) estas investigaes numricas

    utilizando o modelo de mesoescala sobre o comportamento esttico e dinmico do

    concreto so apresentados. Os autores, aps investigar o comportamento do

    concreto sob condies quase estticas e dinmicas de tenso, concluram que a

    distribuio no homognea das propriedades dos materiais no nvel sub-

    mesoescala, ou seja, dentro da argamassa e zona de transio, no parece afetar o

    comportamento dos corpos de prova de concreto de uma forma significativa. A

    aleatoriedade na distribuio de agregados, no entanto, tem um efeito considervel

    sobre o comportamento do concreto, apresentando uma variao da resistncia do

    concreto em termos de coeficiente de variao em torno de 1,0%. Quanto zona de

    transio, esta desempenha um papel significativo na determinao da resistncia

    do concreto. Com uma camada equivalente de elementos mais fracos para a zona

    de transio, o modelo de mesoescala razoavelmente reproduz a resistncia do

    concreto; por outro lado, negligenciar a zona de transio pode levar a uma

    superavaliao da fora em mais do que 10%.

    As ligas metlicas tambm so discutidas em estudos numricos de

    compsitos particulados. Nakasone et. al. (2000) apresentam um cdigo

    computacional, com formulao para o caso bidimensional, via mtodo dos

  • 44

    elementos finitos para anlise elstica de distribuio de tenses dentro das

    incluses, em forma de elipse, crculo, tringulo e retngulo, e na vizinhana da

    interface matriz-incluso. O ao foi escolhido como o material de matriz e o SiC e Ti-

    6Al-4V foram escolhidos como os materiais de incluso, a fim de examinar os efeitos

    do material da matriz e material de incluso. Os resultados obtidos pelo mtodo

    proposto pelos autores foram comparados e mostraram boa concordncia com os

    resultados tericos e numricos obtidos por anlises do MEF, exceto para os pontos

    de canto afiadas das incluses triangulares.

    Por outro lado, Chen et. al. (2000) utilizam o mtodo dos elementos finitos

    para analisar os efeitos da morfologia das partculas sobre a resposta mecnica

    local e global do compsito, empregando trs modelos de compsitos com 15% de

    volume de partculas de SiC no homogeneamente distribudos numa matriz elasto-

    plstica de Al-6061. No modelo A as partculas adotados foram angulares com

    cantos afiados, no modelo B as partculas angulares tiveram os cantos afiados

    suprimidos e no modelo C as partculas foram adotadas com formato circular. Assim,

    o tamanho das 13 partculas usadas em cada modelo ajustado de modo que a

    frao de volume seja a mesma para os trs tipos de geometria de partculas. As

    anlises foram realizadas assumindo estado plano de tenso e deformao e

    utilizam o elemento plano de 8 ns do pacote comercial software ANSYS. Os

    resultados numricos mostram que nos modelos B e C a reduo da curva tenso-

    deformao global pequena, ao contrrio da grande reduo de tenses locais que

    sofrem, quando comparados ao modelo A. Tambm mostram que a morfologia das

    partculas tem efeitos importantes sobre a carga transportada pelas partculas. Se a

    dimenso mais longa da partcula angular ao longo do eixo de carga, a partcula

    angular vai transportar mais carga do que a partcula circular. Enquanto que a

    excluso dos cantos das partculas pode, efetivamente, reduzir a possibilidade de

    fratura das partculas.

    A presente pesquisa, como dito anteriormente, utiliza formulao que segue

    a mesma ideia dos trabalhos desenvolvidos por Vanalli (2004), Baiocco et. al. (2013)

    e Sampaio (2014), onde compsitos reforados com fibras so analisados, sem

    necessidade de coincidncia entre as malhas da matriz e das partculas e sem o

    aumento do nmero de graus de liberdade dos problemas, sendo estas

    consideradas vantagens para a abordagem numrica de compsitos reforados.

  • 45

    3. ANLISE BIDIMENSIONAL ELSTICA DE COMPSITOS PARTICULAS VIA

    MEFP

    Este captulo se destina apresentao da formulao baseada no Mtodo

    dos Elementos Finitos Posicional para anlise de slidos elsticos bidimensionais

    reforados com partculas, possibilitando anlises tanto em grandes deslocamentos

    quanto em pequenos deslocamentos, sem o acrscimo de graus de liberdade ao

    problema por considerar aderncia perfeita entre as fases, partculas e matriz. As

    partculas so espalhadas no domnio sem a necessidade de coincidncia dos ns

    com os ns da malha do domnio (matriz).

    A formulao, aqui descrita resumidamente, utilizada no presente trabalho

    para realizao das simulaes numricas apresentadas no Captulo 4. Tal

    formulao foi desenvolvida e implementada no contexto do GMEC/SET/EESC/USP

    com base nos trabalhos de Vanalli (2004), Baiocco et. al. (2013), Sampaio et. al.

    (2011), Nogueira et. al. (2014) e Sampaio (2014), que tratam da anlise de slidos

    elsticos bidimensionais reforados com fibras. Os detalhes das formulaes que

    deram origem formulao aqui aplicada podem ser consultados diretamente

    nessas referncias citadas.

    3.1. Relaes cinemticas acoplamento partcula-matriz

    Para obteno de uma formulao para anlise no linear geomtrica de

    slidos elsticos bidimensionais reforados com partculas, sem a necessidade de

    coincidncia dos ns das partculas com os ns da malha do domnio (matriz), faz-se

    necessria a determinao das coordenadas adimensionais dos ns das partculas

    em relao aos elementos bidimensionais que representam a matriz.

    Com as coordenadas adimensionais, possvel relacionar as grandezas

    atribudas s partculas com as grandezas pertencentes matriz, compatibilizando-

    se assim os diferentes elementos, Figura 3.1.

    Para determinao das coordenadas adimensionais 1 2

    p p( , ) , Figura. 3.2,

    recai-se em um sistema de equaes que, a depender do grau de aproximao das

    variveis nodais dos elementos finitos da matriz, podem ser no lineares.

  • 46

    P P P li l 1 2 iX ( , )X 3.1

    Figura 3.1. Domnio bidimensional com partculas dispersas

    Figura 3.2. Coordenadas adimensionais dos ns das partculas

    Na Equao 3.1, l so as funes de forma dos elementos triangulares,

    P

    iX so as coordenadas dos ns das partculas na configurao inicial el

    iX so as

    coordenadas dos ns dos elementos triangulares utilizados para discretizar a matriz,

    tambm na configurao inicial.

    Caso se obtenha um sistema de equaes no lineares na Equao 3.1,

    procede-se com a expanso das referidas equaes em Srie de Taylor

    desprezando-se os termos de ordem superior e arbitrando-se um par de

  • 47

    coordenadas adimensionais tentativa 1 2

    pt pt( , ) para iniciar o processo de soluo,

    ou seja:

    Pt Pt1 2

    P Pt Pt l l 1 2i l 1 2 i j

    j ( , )

    ( , )X ( , )X

    ou P Pt

    i i ij jX X H

    3.2

    Na Equao 3.2, PtiX so as coordenadas tentativa dos ns das partculas

    calculadas com base nas coordenadas adimensionais tentativa e nas coordenadas

    dos elementos triangulares e ijH uma matriz 2x2. A correo das coordenadas

    adimensionais tentativa i calculada resolvendo-se o seguinte sistema linear de

    equaes:

    P Ptij j i iH X X 3.3

    O procedimento descrito nada mais do que a aplicao do Mtodo de

    Newton-Raphson, uma forma simples e rpida para soluo de sistemas no

    lineares de equaes, permitindo-se encontrar o par de coordenadas adimensionais

    1 2

    p p( , ) de todos os ns de partculas existentes na anlise.

    Pelo fato de se considerar aderncia perfeita entre partculas e matriz, as

    posies dos ns das partculas podem ser calculadas a qualquer momento em

    funo das posies dos ns dos elementos triangulares da matriz onde o n da

    partcula determinado, aplicando-se:

    P P P l

    i l 1 2 iY ( , )Y 3.4

    Na Equao 3.4, liY so as posies dos ns utilizados na discretizao do

    slido bidimensional (matriz) na configurao atual, ou seja, as incgnitas do

    problema.

    A energia de deformao do problema ser computada levando-se em

    considerao tanto os elementos triangulares utilizados na discretizao da matriz,

    quanto os elementos triangulares utilizados na discretizao das partculas. A

  • 48

    referida energia de deformao ser escrita apenas em funo das posies nodais

    dos elementos triangulares da matriz, ou seja, incgnitas da anlise, uma vez que

    para as partculas possvel escrever as posies nodais diretamente em relao s

    posies dos ns dos elementos triangulares da matriz nos quais os ns da partcula

    se inserem. Com isso, como comentado anteriormente, nenhum acrscimo de graus

    de liberdade acarretado no problema com esta abordagem utilizada para a

    considerao das partculas.

    3.2. Energia de Deformao

    A energia de deformao do sistema estrutural formado pelo composto

    partcula-matriz obtida somando-se as parcelas da energia de deformao de cada

    uma das fases, partcula e matriz. Desta forma, tm-se:

    matriz partculasU U U 3.5

    Na Equao 3.5, matrizU a parcela de energia de deformao acumulada

    nos elementos finitos triangulares utilizados para simular a matriz e partculasU a

    parcela de energia de deformao acumulada nos elementos finitos bidimensionais

    utilizados na representao das partculas.

    Para se determinar a magnitude da fora interna na direo de um dado

    n , pertencente aos elementos finitos triangulares da matriz, levando-se em conta

    a contribuio das duas fases do compsito, aplica-se o conceito de conjugado

    energtico, resultando em:

    matriz partculas partculasint matriz(U U ) UU

    FY Y Y

    3.6

    Na Equao 3.6, Y a posio do n na direo na configurao

    atual, lembrando-se novamente que as posies dos ns na referida configurao

    so os prprios graus de liberdade envolvidos na anlise.

  • 49

    Retomando a ideia dos desenvolvimentos, para incluso de fibras na matriz,

    apresentados em Vanalli, et. al., (2004), Baiocco et. al. (2013), Nogueira et. al.

    (2014) e Sampaio (2014), a energia de deformao acumulada nos elementos de

    partculas, partculasU , escrita em funo dos graus de liberdade das referidas

    partculas PiY . Aplicando-se a regra da cadeia, com base na Equao 3.4, obtm-se:

    P lP P P P P Pi i

    l 1 2 i l l 1 2 i 1 2

    Y Y( , ) ( , ) ( , )

    Y Y

    3.7

    Se o n da partcula pertencer ao elemento triangular da matriz cuja

    derivada em relao posio se realiza, e a direo for igual direo i do n

    da partcula, a Equao 3.7 resulta P P P

    i 1 2Y / Y ( , )

    , caso contrrio resulta

    valor nulo. Portanto, a parcela referente derivada da energia de deformao das

    partculas na Equao 3.6, caso o n da partcula pertena ao elemento triangular

    de referncia da matriz resulta:

    Ppartculas partculas partculasP Pi

    1 2P P

    i

    U U UY( , )

    Y Y Y Y

    3.8

    Usando as Equaes 3.6 e 3.8 escreve-se:

    matriz partculas partculasint P Pmatriz1 2 P

    (U U ) UUF ( , )

    Y Y Y

    3.9

    A segunda derivada da energia de deformao importante no processo de

    soluo do problema no linear, uma vez que fornece os termos da matriz Hessiana

    envolvida no mtodo de Newton Raphson. A obteno da segunda derivada segue a

    ideia da aplicao da regra da cadeia apresentada no desenvolvimento da Equao

    3.7.

    A formulao naturalmente no-linear geomtrica, pois utiliza lei

    constitutiva de Saint Venant-Kirchhoff, com tensor de deformaes de Green e

    tensor de tenses de Piola-Kirchhoff de Segunda Espcie (Ciarlet, (1993), Ogden,

    (1984)).

  • 50

    3.3. Equaes de Equilbrio: Mtodo de Newton-Raphson

    As equaes de equilbrio do problema so encontradas aplicando-se o

    Princpio da Estacionariedade ou da Mnima Energia Potencial Total, Tauchert

    (1974).

    A Energia Potencial Total, , do sistema obtida da seguinte expresso:

    matriz partculas(Y ) U (Y ) U (Y ) (Y ) 3.10

    Na Equao 3.11, o Potencial das foras externas aplicadas, dado por:

    j jF Y 3.11

    Na Equao 3.11, jF

    so as componentes do vetor das foras externas

    aplicadas nos ns do problema em anlise, ns estes pertencentes discretizao

    da matriz unicamente.

    O Princpio da Estacionariedade aplicado derivando-se a energia potencial

    total em relao s incgnitas do problema, ou seja, em relao s posies dos ns

    dos elementos triangulares da matriz. Com isso, obtm-se o sistema de equaes a

    ser resolvido:

    matriz partculas int

    j j j j

    j j

    matriz partculasint

    j

    j

    (U U )g F F F 0

    Y Y

    (U U )com F

    Y

    3.12

    Na Equao 3.12, int

    jF o vetor de foras internas ou gradiente da energia

    de deformao, calculado de acordo com a Equao. 3.6. Sendo as posies dos

    ns na configurao atual as incgnitas do problema, quando se adotam posies

    tentativas 0Y na Equao 3.12, jg

    no nulo tornando-se o vetor de

    desbalanceamento do procedimento de soluo de Newton-Raphson, Luenberger

    (1989).

  • 51

    0

    j0 2

    j j k j

    k

    gg ( ) g ( ) Y O 0

    Y

    Y

    Y Y 3.13

    A Equao 3.13 pode ser reescrita, desprezando-se termos de alta ordem

    como:

    0 0

    0

    112

    j matriz partculas0 0

    k j j

    k k j

    j

    kj

    k

    g (U U )Y g ( ) g ( )

    Y Y Y

    gcom H

    Y

    Y Y

    Y

    Y Y

    3.14

    Na Equao 3.14, kY a correo da posio nodal e

    0

    2

    kj

    k j

    UH

    Y YY

    a

    matriz Hessiana ou matriz de rigidez tangente do problema.

    A soluo tentativa atualizada, Equao 3.15, at que kY ou jg tornem-se

    suficientemente pequenos de acordo com uma tolerncia adotada na anlise.

    0k k kY Y Y 3.15

    A anlise pode ser dividida em passos de carga, com incremento do nvel de

    carregamento aplicado, possibilitando que se obtenha o caminho do equilbrio para

    os problemas analisados.

    A formulao descrita neste captulo foi implementada, no contexto do

    GMEC/SET/EESC/USP, em Delphi e encontra-se disponvel para utilizao no

    referido grupo de pesquisa.

  • 52

  • 53

    4. EXEMPLOS

    Neste captulo so apresentados quatro exemplos que foram simulados

    aplicando-se a formulao discutida no Captulo 3, buscando-se analisar o

    comportamento, em nvel macroscpico, de materiais compsitos particulados com

    nfase no concreto.

    Os dois primeiros exemplos tem como objetivo a verificao dos resultados

    aqui obtidos comparados a resultados numricos, apresentados em Farage et.

    al.(2009), e experimentais, apresentados nos trabalhos de Ke et. al. 8 (2006a,2006b)

    apud Farage et. al. (2009) e Zhou et. al. (1995).

    O primeiro exemplo consiste em simulao numrica do mdulo de

    elasticidade de concretos leves, sendo que os resultados so comparados aos

    obtidos tanto numericamente, considerando a tcnica de Homogeneizao por

    Expanso Assinttica (Farage et. al.(2009)), quanto experimentalmente (Ke et. al. 8

    (2006a,2006b) apud Farage et. al. (2009)).

    O segundo exemplo segue a mesma linha do primeiro, ou seja, obteno de

    mdulo de elasticidade de concretos para diferentes agregados grados de

    diferentes materiais, sendo que os resultados so comparados com os obtidos no

    programa experimental apresentado em Zhou et. al. (1995), bem como com

    resultados de modelos matemticos baseados em modelos reolgicos para

    representao do comportamento de compsitos, apresentados tambm em Zhou

    et. al. (1995). Os modelos reolgicos so os de Voigt, Reuss, Hirsch, Couto, PCouto

    e BNC.

    O terceiro exemplo foi proposto para apresentar as potencialidades do cdigo

    obtido no presente trabalho, verificando e validando a formulao em casos mais

    gerais que os discutidos nos dois exemplos anteriores, onde clulas peridicas

    foram consideradas nas anlises. Aborda-se a simulao do comportamento global

    de uma chapa onde so avaliados os deslocamentos no contnuo modelado

    segundo duas configuraes distintas: fase nica com propriedades

    homogeneizadas para o compsito; e diferentes fases, matriz e partculas

    8 Ke, Y., Ortola, S., Beaucour, A.L., Cabrillac, R., Dumontet, H. Influence of aggregates on mechanical behavior of lightweight aggregate concrete: experimental characterization and modeling, In: EURO MEDITERRANEAN CONGRESS IN ADVANCES ON GEOMATERIALS AND STRUCTURES, 1. Proceedings. Hammamet, 2006a. Ke, Y., Beaucour, A.L., Ortola, S., Dumontet, H., Cabrillac, R. Comportement mcanique des bton de granulats lgers; tude xperimentale et modlisation. In: RENCONTRES DU GNIE CIVIL ET URBAIN, COSTRUIRE, LES NOUVEAUX DFIS, 24. Proceedings ... Montpellier, 2006b.

  • 54

    representadas cada uma com suas propriedades individuais. As propriedades

    elsticas dos materiais utilizados neste exemplo foram extradas de Farage et. al.

    (2009).

    Aproveitando-se a geometria e carregamentos utilizados no terceiro exemplo,

    fazendo-se pequenas adaptaes, foram realizadas anlises para o quarto exemplo

    proposto. Neste ltimo caso analisado, foram testadas as potencialidades do cdigo

    no que diz respeito incluso de vazios no contnuo. As propriedades elsticas dos

    materiais utilizados neste exemplo foram extradas de Zhou et. al. (1995).

    As malhas de elementos finitos utilizadas nas discretizaes das matrizes e

    das partculas nas simulaes dos quatro exemplos foram geradas no Ansys com

    aproximao linear de posies e posteriormente adaptadas para aproximao

    cbica de posies. A nica exceo o caso das malhas que representam as

    partculas no quarto exemplo, sendo que estas foram geradas com aproximao

    linear diretamente em cdigo desenvolvido especificamente para gerao e incluso

    aleatria das referidas partculas na matriz. Os nmeros de ns e de elementos de

    cada discretizao esto apresentados com detalhes em cada um dos exemplos.

    4.1. Exemplo 01: Avaliao do mdulo de elasticidade de concretos com

    agregados leves

    Este primeiro exemplo foi proposto para verificar a influncia das

    propriedades, das geometrias e da frao volumtrica dos agregados grados na

    avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal de concretos leves, sendo que as

    anlises foram realizadas considerando-se clulas peridicas, tal como na tcnica

    de Homogeneizao por Expanso Assinttica. Os resultados so comparados com

    resultados numricos da referida tcnica de homogeneizao que foram obtidos em

    Farage et. al. (2009). Tambm so realizadas comparaes com resultados

    experimentais obtidos em Ke et. al. 8 (2006a, 2006b) apud Farage et. al. (2009).

    Foram realizadas anlises para diferentes fraes volumtricas de agregados, tal

    como proposto nas referncias citadas. As propriedades fsicas da argamassa

    (matriz) e dos diferentes agregados leves (partculas) utilizados so apresentadas na

    Tabela 4.1.

  • 55

    Tabela 4.1 Propriedades fsicas dos materiais (adaptada de Farage et. al. (2009))

    Material E (GPa)

    Argamassa (Em) 28.58

    0.2 Argila

    expandida (Ep)

    01 6.47

    02 7.50

    03 8.03

    04 10.23

    05 20.23

    Para cada tipo de agregado apresentado na Tabela 4.1, foram realizadas

    anlises para 4 diferentes fraes volumtricas de partculas e trs tipos de clulas

    peridicas, totalizando sessenta modelos numricos analisados. As fraes

    volumtricas de agregado utilizadas foram: 12.5%, 25%, 37.5% e 45%. As clulas

    peridicas esto apresentadas nas Figuras 4.1, 4.2 e 4.3. Foram utilizados

    elementos finitos triangulares com aproximao cbica para as posies nodais na

    discretizao das duas fases, ou seja, matriz e partculas. O nmero de ns e

    elementos utilizados nas malhas de cada fase esto apresentados na Tabela 4.2.

    Como pode ser observado nas referidas figuras, a malha das partculas se

    sobrepe malha da matriz, sem a necessidade de coincidncia dos ns e

    elementos. Em todos os casos analisados, o valor utilizado no programa para o

    mdulo de elasticidade longitudinal da matriz o nominal, apresentado na Tabela

    4.1. Porm, para as partculas, pelo fato do mdulo de elasticidade dessas ser

    menor do que o mdulo de elasticidade da matriz e para desconsiderar a

    sobreposio dos elementos/materiais, o valor utilizado nas modelagens a

    diferena entre o valor adotado para a matriz e o valor adotado para cada caso de

    partcula, resultando inclusive, em alguns casos, em valores negativos para serem

    fornecidos ao programa.

    Tabela 4.2 Nmero de ns e elementos utilizados nas malhas de cada fase

    Fase Frao volumtrica de partculas

    45% 37.5% 25% 12.5%

    Partcula Tipo A

    Ns 6193

    Elementos 1334

    Partcula Tipo B

    Ns 3349 2992 2029 1060

    Elementos 720 642 432 222

    Partcula Tipo C

    Ns 2003

    Elementos 404

    Matriz Ns 16585

    Elementos 3632

  • 56

    (a)

    (b)

    (c) 45% 37.5% 25% 12.5%

    Figura 4.1 Clula peridica A

    (a) discretizao das partculas; (b) clula peridica; (c) frao volumtrica

    (a)

    (b)

    (c) 45% 37.5% 25% 12.5%

    Figura 4.2 Clula peridica B

    (a) discretizao das partculas; (b) clula peridica; (c) frao volumtrica

    (a)

    (b)

    (c) 45% 37.5% 25% 12.5%

    Figura 4.3 Clula peridica C

    (a) discretizao das partculas; (b) clula peridica; (c) frao volumtrica

  • 57

    Para obteno dos valores de mdulo de elasticidade longitudinal do concreto

    (Ec) equivalente ao meio homogeneizado, em cada caso, as simulaes numricas

    foram realizadas com controle de deslocamento em uma das faces e vinculao, na

    mesma direo do carregamento, na face paralela oposta. Com os valores

    conhecidos do deslocamento, das dimenses da clula peridica e das reaes na

    face vinculada, foi possvel determinar o valor do referido mdulo de elasticidade

    homogeneizado para comparao com os resultados numricos e experimentais. Os

    valores de deslocamentos prescritos foram adotados de tal forma que as anlises

    fossem realizadas em regime de pequenos deslocamentos e pequenas

    deformaes, permitindo assim a aplicao direta da Lei de Hooke para

    determinao dos parmetros elsticos desejados.

    Os resultados obtidos para os sessenta modelos analisados esto compilados

    na Tabela 4.3, sendo tambm apresentados os erros relativos entre os valores

    obtidos no presente trabalho e os valores obtidos experimentalmente em Ke et. al. 8

    (2006a, 2006b) apud Farage et. al. (2009), alm dos valores numricos fornecidos

    em Farage et. al. (2009).

    Tabela 4.3 Resultados das anlises (adaptada de Farage et. al. (2009))

    N *Ep (Gpa)

    Fraovol. %

    **Ec (Gpa)

    Clula peridica A Clula peridica B Clula peridica C

    Presente Trabalho

    Farage et.al. (2009)

    Presente Trabalho

    Farage et.al. (2009)

    Presente Trabalho

    Farage et.al. (2009)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    1

    6.47

    12.5 23.54 23.66 0.51 23.79 1.06 23.71 0.72 23.81 1.15 23.46 0.34 23.49 0.21

    2 25.0 20.67 19.88 3.82 20.16 2.47 20.08 2.85 20.18 2.37 19.34 6.43 19.34 6.43

    3 37.5 16.74 16.82 0.48 16.93 1.14 17.04 1.79 17.20 2.75 16.01 4.36 15.96 4.66

    4 45.0 15.67 15.17 3.19 15.45 1.40 15.65 0.13 15.61 0.38 14.28 8.87 14.24 9.13

    5

    7.50

    12.5 24.90 24.06 3.39 24.17 2.93 24.10 3.19 24.19 2.85 23.86 4.17 23.92 3.94

    6 25.0 21.39 20.50 4.16 20.74 3.04 20.81 2.70 20.78 2.85 20.00 6.51 20.05 6.26

    7 37.5 17.29 17.56 1.56 17.67 2.20 17.76 2.74 17.92 3.64 16.86 2.47 16.86 2.49

    8 45.0 15.70 16.07 2.37 16.25 3.50 16.28 3.71 16.39 4.39 15.33 2.34 15.21 3.12

    9

    8.03

    12.5 26.16 24.25 7.28 24.35 6.92 24.28 7.17 24.38 6.80 24.10 7.89 24.12 7.80

    10 25.0 21.68 20.81 4.01 21.03 3.00 20.94 3.42 21.07 2.81 19.16 11.63 20.40 5.90

    11 37.5 17.90 17.95 0.29 18.03 0.73 18.13 1.28 18.29 2.18 17.30 3.35 17.30 3.35

    12 45.0 16.61 16.45 0.95 16.65 0.24 16.65 0.26 16.79 1.08 15.69 5.56 15.69 5.54

    13

    10.23

    12.5 25.14 24.98 0.62 25.08 0.24 25.02 0.49 24.90 0.95 24.87 1.06 22.17 11.81

    14 25.0 22.42 22.01 1.82 22.17 1.12 22.11 1.40 22.20 0.98 21.80 2.77 21.73 3.08

    15 37.5 19.43 19.49 0.30 19.49 0.31 19.60 0.89 19.72 1.49 19.02 2.12 19.01 2.16

    16 45.0 18.29 18.12 0.90 18.24 0.27 18.27 0.08 18.37 0.44 17.60 3.77 17.57 3.94

    continua ...

  • 58

    ... concluso

    N *Ep (Gpa)

    Fraovol. %

    **Ec (Gpa)

    Clula peridica A Clula peridica B Clula peridica C

    Presente Trabalho

    Farage et.al. (2009)

    Presente Trabalho

    Farage et.al. (2009)

    Presente Trabalho

    Farage et.al. (2009)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    Ec (Gpa)

    |erro| (%)

    17

    20.23

    12.5 27.37 27.33 0.15 27.35 0.07 27.34 0.11 27.35 0.07 27.32 0.18 27.33 0.15

    18 25.0 26.26 26.16 0.38 26.19 0.27 26.18 0.30 26.20 0.23 26.14 0.46 26.13 0.50

    19 37.5 25.28 25.07 0.83 25.01 1.07 25.08 0.79 25.11 0.67 25.01 1.07 25.00 1.11

    20 45.0 24.32 24.43 0.45 24.43 0.45 24.45 0.53 24.47 0.62 24.37 0.21 24.36 0.16

    * Ep Mdulo de elasticidade longitudinal do agregado - Ke et. al. 8 (2006a, 2006b) apud Farage et. al. (2009)

    ** Ec Mdulo de elasticidade longitudinal do concreto - Ke et. al. 8 (2006a, 2006b) apud Farage et. al. (2009)

    A variao dos valores de mdulo de elasticidade obtidos, para um mesmo

    concreto, considerando-se diferentes tipos de clulas peridicas indica que a

    geometria e a distribuio das incluses nas referidas clulas afetam

    significativamente as anlises numricas.

    De maneira geral, os resultados obtidos para os trs tipos de clulas

    peridicas so satisfatrios para a grande maioria dos sessenta casos analisados,

    Figura 4.4 (a,b,c). As maiores diferenas existentes podem ser atribudas s malhas

    utilizadas nas discretizaes, tanto da matriz quanto das partculas, onde se acredita

    que refinamentos nos modelos podero levar a melhores resultados.

    (a)

    0.00

    1.00

    2.00

    3.00

    4.00

    5.00