Caracterização de Filtros Acústicos Baseada no Método dos Elementos Finitos

António José Ferreira Mourão Cartaxo

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Júri

Presidente: Prof. Nuno Manuel Mendes Maia

Orientadores: Prof. José Luís Bento Coelho

Prof. Miguel António Lopes de Matos Neves

Vogais: Prof. Edgar Caetano Fernandes

Outubro de 2007

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iii

Agradecimentos

Agradeço aos orientadores Prof. Bento Coelho, do Centro de Análise e Processamento de Sinais

(CAPS-IST), pela supervisão do trabalho, sugestões de melhoria de ensaios experimentais e

equipamento laboratorial disponibilizado e ao Prof. Miguel Matos Neves, do Instituto de Engenharia

Mecânica (IDMEC-IST), pela orientação e apoio ao desenvolvimento das tarefas programadas no

plano de trabalhos.

Agradeço o apoio concedido pela Fundação para a Ciência e Tecnologia e FEDER, através do

Projecto FCT POCTI 44728/EME/2002 – “Técnicas de Análise Aplicadas ao Projecto Óptimo de

Estruturas Periódicas” (MMN).

Agradeço ao aluno de doutoramento Olavo Silva da UFSC (Brasil), que realizou parte da sua tese no

IST durante a realização deste trabalho, as sugestões dadas, referências bibliográficas

disponibilizadas e a colaboração durante a realização dos ensaios experimentais na câmara anecóica

do CAPS-IST.

Agradeço aos Eng.º Onofre Moreira e Rafael Serrenho pelo incomensurável apoio e disponibilidade,

aquando da realização dos ensaios experimentais na câmara anecóica.

Finalmente, gostaria de agradecer à minha esposa pelo apoio concedido nos momentos de maior

cansaço e pelo incondicional companheirismo...

iv

Resumo

Nesta dissertação apresenta-se o estudo de uma metodologia para caracterizar a propagação de

ondas sonoras através de elementos periodicamente espaçados, bem como através de silenciadores

de câmara de expansão, recorrendo ao método dos elementos finitos.

Para o caso dos elementos periodicamente espaçados, verificam-se os valores de soluções analíticas

com os obtidos por elementos finitos através de modelos bidimensionais e tridimensionais e ainda

com valores experimentais obtidos na literatura e em ensaios com um protótipo construído para o

efeito. No caso dos silenciadores, aplica-se a ferramenta computacional testada nos elementos

periodicamente espaçados para verificar os valores obtidos por elementos finitos através de modelos

bidimensionais e tridimensionais com as respectivas soluções analíticas.

As aplicações computacionais para os modelos de fluido acústico e os de interacção fluido-estrutura,

bidimensionais e tridimensionais, foram desenvolvidas em linguagem APDL no programa comercial

de elementos finitos Ansys®. Utiliza-se essencialmente a análise harmónica para avaliar o

desempenho dos dispositivos de filtragem e assumem-se as aproximações de fluido compressível,

invíscido, sem escoamento médio e com densidade e pressão média uniformes no fluido.

Apresentam-se exemplos de aplicação da metodologia que permitem verificar quanto às

concordâncias e discrepâncias entre os valores analíticos, numéricos e experimentais, concluindo-se

sobre os requisitos práticos para que tal aconteça. No caso dos elementos periodicamente espaçados

foi construído um protótipo com seis filas de cinco cilindros cada e que permitiu os primeiros ensaios

experimentais de verificação dos modelos numéricos.

Palavras-chave: Propagação de ondas sonoras, atenuação passiva, filtros periódicos, silenciadores,

banda de frequências proibidas, elementos finitos.

v

Abstract

In this dissertation a study of a methodology to characterize sound wave propagation through

periodically spaced elements is presented, as well as in single expansion chamber mufflers, recurring

to the finite element method.

For the periodically spaced elements case, analytical solution values are verified with those obtained

with two-dimensional and three-dimensional finite element models, and even with those obtained

experimentally in bibliographic references and with a prototype built and tested for that purpose. For

the simple expansion chamber mufflers case, the mentioned computational tool tested in the

periodically spaced elements, is applied to verify the values obtained by finite elements through two-

dimensional and three-dimensional models with the respective analytical solutions.

The computational applications for acoustic fluid models and fluid-structure interaction models, two-

dimensional and three-dimensional, were developed in APDL language in the finite elements

commercial program ANSYS®. It is used, essentially, harmonic analysis to evaluate the performance

of the filtering systems assuming the approximations: compressible fluid, inviscid fluid, no mean flow

and mean density and pressure uniform trough all fluid.

Methodology application examples are presented to verify the concordance and discrepancies

between the analytical, numerical and experimental values, concluding about the practical requisites

for what they happen. For periodically spaced elements case, a prototype was built with six lines of

cylinders, five cylinders each line, allowing the first experimental tests for verification of the numerical

models results.

Keywords: Sound wave propagation, passive attenuation, periodic filters, mufflers, band gap, finite

elements.

vi

Índice

AGRADECIMENTOS........................................................................................................................................III

RESUMO............................................................................................................................................................. IV

ABSTRACT...........................................................................................................................................................V

ÍNDICE................................................................................................................................................................VI

ÍNDICE DE FIGURAS....................................................................................................................................VIII

ÍNDICE DE TABELAS.................................................................................................................................... XII

1. INTRODUÇÃO............................................................................................................................................... 13

2. FUNDAMENTOS DE ACÚSTICA ............................................................................................................... 19

2.1. GRANDEZAS BÁSICAS DE ONDAS SONORAS................................................................................................ 19 2.2. EQUAÇÃO DE ONDA .................................................................................................................................... 22

2.2.1 Equação de Onda Acústica – Modelos Tridimensionais...................................................................... 22 2.2.2 Equação de Onda Acústica – Modelos Unidimensionais..................................................................... 23

2.3. PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM SILENCIADORES............................................................................................. 26 2.3.1 Propagação de Onda Acústica no Interior de um Tubo Uniforme ...................................................... 27 2.3.2 Atenuação em Silenciadores com Descontinuidades de Secção .......................................................... 30 2.3.3 Atenuação em Silenciadores com uma Câmara de Expansão.............................................................. 33

2.4. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS............................................................................................................. 34 2.5. ELEMENTOS FINITOS PARA A ANÁLISE ACÚSTICA ...................................................................................... 36

3. CARACTERIZAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE UMA ONDA SONORA PLANA NUM TUBO

CILÍNDRICO...................................................................................................................................................... 38

4. CARACTERIZAÇÃO ACÚSTICA DE FILTROS PERIÓDICOS ........................................................... 44

4.1. CONDUTA BIDIMENSIONAL ......................................................................................................................... 45 4.2. CONDUTA TRIDIMENSIONAL ....................................................................................................................... 49 4.3. ENSAIOS EXPERIMENTAIS ........................................................................................................................... 53

4.3.1 O Modelo.............................................................................................................................................. 53 4.3.2 A Câmara de Ensaios........................................................................................................................... 54 4.3.3 Esquema de Montagem do Equipamento ............................................................................................. 56 4.3.4 Ensaio com Protótipo Suspenso........................................................................................................... 56 4.3.5 Análise dos Modos de Vibração do Modelo......................................................................................... 57 4.3.6 Ensaio com Protótipo Apoiado Sobre a Rede ...................................................................................... 58 4.3.7 Campo Sonoro...................................................................................................................................... 59

5. CARACTERIZAÇÃO ACÚSTICA DE SILENCIADORES...................................................................... 62

5.1. RESULTADOS TEÓRICOS.............................................................................................................................. 62

vii

5.2. RESULTADOS NUMÉRICOS .......................................................................................................................... 65 5.2.1 Modelo de Elementos Finitos............................................................................................................... 65 5.2.2 Silenciador com uma Câmara de Expansão ........................................................................................ 67 5.2.3 Dois Silenciadores de Câmara Simples em Série................................................................................. 69 5.2.4 Silenciador com Tubos Estendidos....................................................................................................... 69 5.2.5 Silenciador com uma Divisão Interna.................................................................................................. 70 5.2.6 Silenciador com duas Divisões Internas .............................................................................................. 71

6. CONCLUSÕES E FUTUROS DESENVOLVIMENTOS ........................................................................... 74

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................................... 76

8. ANEXOS.......................................................................................................................................................... 78

8.1. DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO TEÓRICA NUM TUBO DE TOPO TOTALMENTE REFLECTIVO ............................. 78 8.2. DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO TEÓRICA NUM TUBO DE TOPO ANECÓICO....................................................... 78

viii

Índice de Figuras

Figura 1 – Representação de compressor em corte [22]...................................................................................... 16 Figura 2 – Esquema de silenciador de uma câmara de expansão........................................................................ 27 Figura 3 – Descontinuidades de área. Contracção súbita, a), e expansão súbita, b)........................................... 30 Figura 4 – Geometria de silenciador cilíndrico de uma câmara de expansão. .................................................... 33 Figura 5 – Geometria do elemento FLUID29....................................................................................................... 36 Figura 6 – Geometria do elemento FLUID30....................................................................................................... 37 Figura 7 – Geometria do elemento SHELL63....................................................................................................... 37 Figura 8 – Geometria do elemento SOLID45. ...................................................................................................... 37 Figura 9 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e reflexão total. ............... 38 Figura 10 – Representação do modelo de elementos finitos do tubo e do topo de aço (a vermelho), a), e malha

de elementos finitos de sólido e fluido do modelo numérico, b)............................................................................ 39 Figura 11 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de

pressão sonora para modelo com reflexão total, e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à direita).

.............................................................................................................................................................................. 39 Figura 12 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com

reflexão total e 80 elementos por comprimento de onda (valores em Pa). ........................................................... 40 Figura 13 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de

pressão sonora para modelo com reflexão total (com 12 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro

relativo (a verde - eixo secundário à direita)........................................................................................................ 40 Figura 14 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de

pressão sonora para modelo com reflexão total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro

relativo (a verde - eixo secundário à direita)........................................................................................................ 41 Figura 15 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e absorção total............. 41 Figura 16 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de

pressão sonora para modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro

relativo (a verde - eixo secundário à direita)........................................................................................................ 42 Figura 17 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com topo

anecóico e 80 elementos por comprimento de onda (valores em Pa). .................................................................. 42 Figura 18 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de

pressão sonora para modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro

relativo excluindo os valores na vizinhança de p=0 (a verde - eixo secundário à direita). ................................. 43 Figura 19 – Pormenor da malha de elementos finitos no contorno dos cilindros. ............................................... 46 Figura 20 – Variação da atenuação sonora em função do número de filas de cilindros para 1560Hz (em dB).. 46 Figura 21 – Distribuição da pressão sonora a 1560Hz (em dB). ......................................................................... 47

ix

Figura 22 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos

por Sánchez-Pérez et al e a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de elementos finitos. Na

figura interior apresenta-se uma comparação entre os resultados teóricos e experimentais da largura de banda

de frequências atenuadas, variando com a fracção volúmica de ocupação dos cilindros, obtidos por Sánchez-

Pérez et al. ............................................................................................................................................................ 47 Figura 23 – Representação da disposição quadrangular dos cilindros, a), e representação da disposição

triangular dos cilindros, b). .................................................................................................................................. 48 Figura 24 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma

quadrangular, para diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros. ..................................................... 48 Figura 25 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma triangular,

para diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros. ............................................................................. 49 Figura 26 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional com furos de ar a simular a

presença de cilindros. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação dos

furos de ar de 0.104. ............................................................................................................................................. 50 Figura 27 – Distribuição irregular da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros

encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de

ocupação de 0.104. ............................................................................................................................................... 50 Figura 28 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de

Ø40X250mm encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção

volúmica de ocupação de 0.104. ........................................................................................................................... 51 Figura 29 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de

Ø40X125mm encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção

volúmica de ocupação de 0.104. ........................................................................................................................... 51 Figura 30 – Modo de vibração a 1153Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos. 51 Figura 31 – Modo de vibração a 1795Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos. 52 Figura 32 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de

Ø40X125mm encastrados em ambos os topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção

volúmica de ocupação de 0.104. ........................................................................................................................... 52 Figura 33 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos

experimentalmente por Sánchez-Pérez et al, a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de

elementos finitos e a verde os resultados obtidos pelo modelo tridimensional de elementos finitos. ................... 53 Figura 34 – Cilindro de aço com chapas interiores furadas ao centro, atravessado por varão cilíndrico de

pontas roscadas, a), e modelo do protótipo com tubos apertados às chapas de suporte através de anilha e porca

b). .......................................................................................................................................................................... 54 Figura 35 – Modelo pronto para ensaios. ............................................................................................................ 54 Figura 36 – Vista geral da câmara anecóica, a), e vista inferior da câmara, abaixo da rede de suporte, b). ..... 55 Figura 37 – Apoio elástico da câmara montado num fixe independente do edifício e revestimento exterior de lã

de rocha, a), e revestimento inferior da câmara montado em carrinhos de suporte removíveis, b). .................... 55 Figura 38 – Esquema de montagem do equipamento utilizado nos ensaios na câmara anecóica. ...................... 56 Figura 39 – Protótipo suspenso ao tecto da câmara anecóica............................................................................. 56

x

Figura 40 – Comparação dos resultados experimentais obtidos para o protótipo suspenso (a azul) com os

resultados numéricos e de Sánchez-Pérez et al (Figura 33). ................................................................................ 57 Figura 41 – Modo de vibração associado às chapas de suporte a 1388Hz, a), e modo de vibração associado às

chapas de suporte a 1426Hz, b). ........................................................................................................................... 58 Figura 42 – Montagem do protótipo sob a rede a câmara anecóica.................................................................... 58 Figura 43 – Resultados da atenuação sonora obtidos para protótipo apoiado na rede da câmara anecóica; a

vermelho os resultados obtidos com dois microfones e a verde os resultados obtidos com sonómetro. .............. 59 Figura 44 – Localização dos pontos de medição da pressão sonora para a caracterização de campos. ............ 60 Figura 45 – Protótipo montado para medição dos campos sonoros: cilindros apertados em ambos os topos, a), e

cilindros apertados apenas num topo, b). ............................................................................................................. 60 Figura 46 – Protótipo de ensaios laboratoriais, após as modificações propostas. .............................................. 61 Figura 47 – Representação em corte do modelo de silenciador estudado............................................................ 63 Figura 48 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo

anecóico a jusante (resultados válidos até aos 2878Hz). ..................................................................................... 63 Figura 49 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo

anecóico a jusante (resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm). ..................................................... 64 Figura 50 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo

anecóico a jusante (resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm). ..................................................... 64 Figura 51 – Malha de silenciador modelado em ambiente ANSYS, a), e pormenor do total controlo de malha, b).

.............................................................................................................................................................................. 66 Figura 52 – Frequências dos modos de vibração do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz em função do

número de elementos por comprimento de onda e erro relativo entre os modelos de 24 e 36 elementos por

comprimento de onda............................................................................................................................................ 67 Figura 53 – Pressão sonora (Pa) obtida para o volume de ar contido dentro do silenciador para o 2º modo, a), e

12º modo, b). ......................................................................................................................................................... 67 Figura 54 – Atenuação sonora para silenciador de uma câmara de expansão simples....................................... 68 Figura 55 – Representação em corte do silenciador de uma câmara de expansão, a), e distribuição da pressão

sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b). ............................................................................... 68 Figura 56 – Representação em corte dos dois silenciadores de uma câmara de expansão montados em série, a),

e distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b)....................................... 69 Figura 57 – Atenuação sonora para dois silenciadores de uma câmara de expansão simples montados em série.

.............................................................................................................................................................................. 69 Figura 58 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão com tubos interiores

estendidos, a), e distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b)............... 70 Figura 59 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com tubos internos estendidos. ............... 70 Figura 60 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e uma divisão interna, a), e

distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).......................................... 71 Figura 61 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com uma divisão interna. ........................ 71 Figura 62 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e duas divisões internas, a), e

distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).......................................... 72

xi

Figura 63 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com duas divisões internas. .................... 72 Figura 64 – Comparação dos resultados da atenuação obtida nos vários modelos de silenciadores.................. 72

xii

Índice de tabelas

Tabela 1 – Resultados da atenuação sonora obtidos para modelo com cilindros apertados em ambos os topos,

a), e apertados apenas num dos topos, b), em dB. ................................................................................................ 60 Tabela 2 – Frequências dos modos de vibração do volume de ar do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz. 66 Tabela 3 – Frequências para as quais se verificam mínimas atenuações no silenciador de uma câmara de

expansão simples. ................................................................................................................................................. 68 Tabela 4 – Frequências para as quais se verificam máximas atenuações no silenciador de uma câmara de

expansão simples. ................................................................................................................................................. 69

13

1. Introdução

O ruído gerado por sistemas mecânicos é, actualmente, uma das principais fontes de poluição sonora

com impacto significativo na perda de qualidade de vida das populações. As fontes de ruído são

muito diversas, podendo dar-se como exemplos o gerado pelos meios de transporte, equipamentos

motorizados, condutas de ar condicionado e electrodomésticos.

Desde meados do século XX que a Organização Mundial de Saúde tem incentivado estudos

internacionais sobres os efeitos nocivos do ruído no Homem. Estes têm concluído que o ruído é

responsável, por exemplo, pela perda parcial (e em alguns casos total) da audição, por problemas

gastrointestinais e cardiovasculares decorrentes de sucessivas contracções musculares, por

problemas respiratórios e de secreções hormonais entre outros. No entanto, os mais preocupantes

são os associados aos distúrbios no sistema nervoso, responsáveis pelo aparecimento de

depressões, dores de cabeça, actos de violência e sensação generalizada de fadiga e

hipersensibilidade.

Trata-se de um problema essencialmente ligado às engenharias, pois é directamente sobre a fonte do

ruído que em geral mais se poderá fazer. Felizmente, recorrendo a técnicas apropriadas, o ruído

emitido pelos componentes mecânicos pode ser consideravelmente filtrado, quer directamente na

fonte, quer numa interface próxima entre esta e o meio envolvente.

Existem na literatura científica numerosos trabalhos científicos na área dos filtros acústicos

descrevendo métodos de análise e de optimização, permitindo o projecto de novos dispositivos

designados por filtros acústicos. Neste trabalho interessam-nos essencialmente os relacionados com

a propagação de ondas sonoras através de elementos periodicamente espaçados, bem como através

de silenciadores de câmara de expansão.

Uma descrição dos aspectos mais relevantes para a área da propagação de ondas sonoras através

de elementos periodicamente espaçados encontra-se em Sigalas et al [1], Kushwaha [2] e Vasseur et

al [3]. Neste último artigo encontra-se uma descrição dos aspectos relacionados com as curvas de

dispersão relativas ao meio de suporte da propagação, identificando-se, em alguns casos, zonas de

frequência para as quais a onda não se pode propagar (em inglês, band gaps). Este fenómeno tem

também aplicações importantes na área de ondas electromagnéticas, que designamos por bandas

fotónicas proibidas (ver trabalhos de Selamet et al [4], Joannopoulos et al [5] e Yablonovitch [6]) e tem

igualmente aplicações na área de ondas acústicas que designamos por bandas sónicas proibidas (ver

trabalhos de Joannopoulos et al [5] e Yablonovitch [6]). Estas metodologias de análise baseiam-se na

teoria de Ondas de Bloch (ver, por exemplo, em Brillouin [7]) quando se trata o caso de meios

periódicos com repetição infinita, ou então baseiam-se na análise modal e harmónica quando se trata

de casos onde a repetição é finita e até mesmo quasi-periódica.

Algumas aplicações recentes destas metodologias à optimização estrutural foram apresentadas por

Sigmund [8], Cox e Dobson [9], Sigmund e Jensen [10] e [11] e Barbarosie e Neves [12] recorrendo a

14

técnicas de optimização de topologia (para uma descrição destas técnicas ver, por exemplo, Bendsøe

e Sigmund [13]).

A verificação experimental dos resultados de bandas proibidas tem levado diversos investigadores

aos laboratórios em busca de confirmação do fenómeno, recorrendo a várias técnicas como, por

exemplo, as dos ensaios experimentais de Vasseur et al [3]. Uma das referências mais comuns nesta

área é a que foi a publicada por Sánchez-Pérez et al em 1998 [14] que, recorrendo a um modelo

bidimensional de ondas de Bloch, faz a determinação de bandas de frequências proibidas, tendo

ainda realizado alguns ensaios experimentais.

Destas experiências em meios com repetição finita da periodicidade, sabe-se que as previsões de

bandas proibidas traduzem-se em bandas de frequência com significativa atenuação e que esta é

tanto maior quanto maior o número de repetições da periodicidade.

No capítulo 4 apresentam-se mais detalhadamente os trabalhos de maior referência e que motivaram

a realização desta tese.

Uma descrição dos aspectos mais relevantes para a área da propagação de ondas sonoras através

de silenciadores de câmara de expansão pode ser encontrada em publicações científicas tais como,

por exemplo, Ver e Beranek [15], Munjal [16] ou em Mead [17], que descrevem os aspectos

essenciais relacionados com silenciadores de câmaras de expansão. Estes fenómenos interessam a

diversas aplicações industriais motivando estudos como, por exemplo, os apresentados por Gerges et

al [18] ou Davis et al [19].

No trabalho da dissertação que se apresenta, o foco esteve em desenvolver e testar metodologias e

as respectivas aplicações informáticas para caracterizar a propagação de ondas sonoras através de

elementos periodicamente espaçados, bem como através de silenciadores de câmara de expansão,

recorrendo ao método dos elementos finitos. Podemos observar nas referências já citadas que

existem diversos modelos teóricos na teoria dos filtros acústicos, só que em geral o seu

desenvolvimento só é possível para determinadas geometrias e com a hipótese de propagação de

ondas planas. Para permitir responder às actuais tendências de projecto com as mais diversas e

complexas geometrias, e continuar a ser capaz de prever a resposta mesmo em regiões onde a onda

deixa de ser plana, a tendência natural é procurar os métodos numéricos, e entre eles o método dos

elementos finitos. Ao ganho em generalidade, vêm associados alguns problemas típicos da precisão

da aproximação dos elementos finitos, como saber qual a necessária discretização do fluido e da

estrutura e qual a correcta escolha das condições de fronteira.

Para o caso dos elementos periodicamente espaçados, verificam-se, neste trabalho, os valores de

soluções analíticas obtidas por técnicas de ondas de Bloch, com os obtidos por elementos finitos

através de modelos bidimensionais e tridimensionais e ainda com valores experimentais obtidos na

literatura e em ensaios com um protótipo construído para a verificação. Com o trabalho experimental

aprendeu-se como é essencial associar a parte de análise numérica com a experimental. Por

exemplo, foi através da análise numérica que se preparou a parte experimental, tendo dessa forma

detectado alguns cuidados que seriam necessários tomar relativamente ao protótipo. Este aspecto

15

será referido mais adiante a propósito da onda deixar de ser plana por falta de rigidez nos tubos

periodicamente espaçados. Já durante a experiência, observou-se que os desvios entre os resultados

dos elementos finitos (depois de verificada a convergência numérica) relativamente aos

experimentais devem ser considerados com base nas simplificações assumidas, como por exemplo a

atenuação sonora ao longo da distância.

No caso dos silenciadores, aplica-se a ferramenta computacional utilizada nos elementos

periodicamente espaçados, agora com objectivo de verificar os valores obtidos por elementos finitos

através de modelos bidimensionais e tridimensionais com as respectivas soluções analíticas.

As aplicações computacionais para os modelos de fluido acústico e os de interacção fluido-estrutura

foram desenvolvidas em linguagem APDL no programa comercial de elementos finitos Ansys®,

assumindo as aproximações adoptadas por Kinsler et al. [20] de fluido compressível, invíscido, sem

escoamento médio e com densidade e pressão média uniformes no fluido.

Apresentam-se vários exemplos de aplicação da metodologia para verificação entre os valores

analíticos, numéricos e experimentais, concluindo-se sobre alguns requisitos práticos para que tal

aconteça (por exemplo, suficiente rigidez das inclusões periódicas). No caso dos elementos

periodicamente espaçados foi construído um protótipo com seis filas de cinco cilindros cada e que

permitiu os primeiros ensaios experimentais de verificação dos valores analíticos e numéricos.

Todo este trabalho foi também incentivado através de projectos científicos e de uma colaboração

industrial no grupo de investigação do orientador, com os quais foi possível perceber o interesse

industrial em obter competências na modelação numérica destes fenómenos para o melhor

desenvolvimento dos novos produtos, incluindo competências com metodologias de optimização.

O actual interesse do tema que motiva a primeira parte deste trabalho sobre os filtros acústicos de

elementos periodicamente espaçados pode ser avaliado pelo elevado número de referências em

bases de dados de artigos científicos ao artigo de Martinez-Sala et al [21] da revista Nature. O

fenómeno de existência de bandas de frequências proibidas já era bem conhecido de investigadores

físicos e matemáticos relativamente a meios periódicos infinitos, sendo designado por bandas de

frequências proibidas na propagação no referido meio. O que não era bem conhecido, era a evidência

experimental de significativa atenuação sonora da propagação de som através de um meio periódico

de repetição finita (neste caso, a verificada por medições com a escultura minimalista de Eusébio

Sempere, exposta na altura na Fundação Juan March em Madrid).

Apesar de existirem técnicas e materiais com elevada eficácia para praticamente as mais diversas

situações de controlo de ruído, estas envolvem tecnologias em geral dispendiosas. O que despertou

tanta atenção para os elementos periodicamente espaçados foi o seu baixo custo tecnológico,

embora também se deva aqui afirmar que dependendo das frequências envolvidas a solução pode

não ser suficientemente compacta.

Para sublinhar a importância actual do tema, apesar de entrar em pormenores que estão além do

âmbito da dissertação, descreve-se de seguida em poucas linhas o componente que motiva a

segunda parte deste trabalho que é um compressor hermético típico de sistemas de refrigeração (ver

16

Figura 1). Em geral, o compressor hermético representa a principal fonte de ruído e vibrações do

sistema de refrigeração. Este é formado por um conjunto interno (moto-compressor), apoiado em

molas metálicas helicoidais ligadas a uma carcaça onde, no fundo desta, existe uma camada de óleo

de lubrificação das partes móveis (pistão, biela e eixo). O gás de refrigeração ocupa o espaço entre o

moto-compressor e a carcaça, denominada cavidade, de onde é sugado para o interior do cilindro,

passando antes pelo filtro acústico que, por sua vez, tem a função de atenuar as pulsações do fluxo

de gás, causadas pela sucção. Depois de comprimido, é transferido para o exterior da carcaça pelo

tubo de descarga.

Figura 1 – Representação de compressor em corte [22].

O ruído provocado pela sucção do gás é uma importante fonte de excitação da cavidade. A fonte

primária de ruído está localizada próximo da válvula de sucção, propagando-se em direcção à

entrada de gás (em sentido oposto ao da velocidade de entrada do fluido). É neste troço do sistema

de compressão que se situa um pequeno silenciador acústico, precisamente para atenuar o ruído

gerado pela válvula de sucção. Por esta razão, é neste componente mecânico que se consegue a

mais significativa contribuição para a redução do ruído gerado pelo normal funcionamento do

compressor, e a possibilidade de modelar as suas respostas com rigor nas mais diferentes

configurações geométricas é um verdadeiro desafio para os projectistas destas empresas.

Em termos de principais resultados desta dissertação, validaram-se os modelos de elementos finitos

de fluido acústico, com e sem interacção fluido-estrutura, para a propagação de ondas sonoras ao

longo de inclusões cilíndricas periodicamente espaçadas. Os resultados obtidos foram

satisfatoriamente comparados com os correspondentes valores teóricos, confirmando-se as previsões

relativamente à disposição (quadrangular ou triangular das inclusões), à fracção volúmica ocupada e

ao número total de filas de inclusões.

Concluiu-se que o número de elementos finitos por comprimento de onda comummente utilizado em

engenharia (geralmente, 12 elementos) mostra-se ser insuficiente para as análises dos problemas de

acústica testados nesta dissertação.

17

Concluiu-se ainda que as inclusões cilíndricas periodicamente espaçadas, quando mal constrangidas,

podem dar origem a um campo sonoro completamente irregular.

Este trabalho permitiu verificar experimentalmente, mais qualitativamente que quantitativamente, a

existência de uma Banda de Frequências Atenuadas determinadas com modelos de elementos

finitos, validando o uso destas técnicas para o estudo deste tipo de problemas acústicos.

Verificou-se, ainda, para a propagação de ondas sonoras em silenciadores de uma câmara de

expansão, a concordância entre as soluções analíticas e as obtidas pelo método dos elementos

finitos (não houve tempo para continuar o estudo para análises de elementos finitos com geometrias

mais complexas). Por fim, observou-se ser possível caracterizar uma maior gama de frequências

atenuadas e respectivas atenuações, dividindo-se o interior da câmara. A realização de verificações

com modelos de geometrias mais complexas fica para futuros desenvolvimentos.

Objectivos e Estrutura da Tese

Os objectivos que guiaram este trabalho foram os seguintes:

1) Comparar os resultados da propagação de som obtidos recorrendo a modelos de elementos

finitos com os previstos teoricamente, e determinar um número suficiente de elementos finitos

por comprimento de onda, a utilizar nos modelos, que permita reproduzir, com uma margem

de erro aceitável, os fenómenos físicos envolvidos;

2) Caracterizar a propagação de ondas sonoras através de inclusões cilíndricas periódicas,

recorrendo a modelos bidimensionais e tridimensionais de elementos finitos, e respectiva

comparação com resultados obtidos com protótipo em câmara anecóica;

3) Caracterizar a propagação de ondas sonoras em silenciadores cilíndricos recorrendo a

modelos de elementos finitos, e estudar o efeito de alterações geométricas a silenciadores

cilíndricos de uma câmara de expansão, na propagação das ondas sonoras.

O conteúdo desta tese, por capítulos, é o indicado de forma breve nas linhas que se seguem:

No Capítulo 2 é feita uma breve apresentação das principais grandezas que permitem o estudo da

acústica, sendo ainda abordado o desenvolvimento teórico de onda sonora.

No Capítulo 3 comparam-se resultados da propagação de ondas sonoras em tubos cilíndricos obtidos

com modelos de elementos finitos com resultados teóricos obtidos na literatura [16]. É explorado, com

algum detalhe, o erro relativo e é identificado um número mínimo de elementos por comprimento de

onda recomendável nos modelos de elementos finitos.

No Capítulo 4 é caracterizada a propagação de ondas sonoras através do meio envolvente ao

conjunto de cilindros metálicos periodicamente espaçados, considerando diferentes configurações e

fracções volúmicas, modelos de elementos finitos a duas e a três dimensões, com e sem

acoplamento fluido-estrutura. Apresenta-se o protótipo construído para os ensaios experimentais,

descreve-se a câmara de ensaios, o esquema de montagem do equipamento para o ensaio e

18

comparam-se os resultados obtidos experimentalmente com os obtidos na bibliografia e

numericamente a duas e três dimensões.

No Capítulo 5 é estudada a propagação de ondas sonoras através modelos de silenciadores

construídos a partir de modelo de uma câmara de expansão.

No Capítulo 6 apresentam-se as conclusões e futuros desenvolvimentos.

19

2. Fundamentos de Acústica

Neste capítulo apresentam-se algumas das principais grandezas utilizadas no estudo da acústica,

sendo ainda abordado o desenvolvimento teórico da propagação de onda sonora.

2.1. Grandezas Básicas de Ondas Sonoras

O Som define-se como uma vibração, ou onda mecânica, gerada por um corpo em vibração, passível

de ser detectada pelo ouvido humano (sensível na gama 20Hz a 20000Hz). Partindo de uma fonte

sonora, o som propaga-se originando uma onda sonora segundo todas as direcções de forma

esférica necessitando, para isso, de um meio de propagação que pode ser sólido, líquido ou gasoso.

Dependendo do tipo de fonte, pode haver uma maior concentração de energia num determinado

sentido evidenciando-se, assim, a direcção do som.

A Onda Sonora resulta de oscilações de moléculas que se propagam num meio elástico. Ao imaginar-

se um corpo a vibrar ao ar, por exemplo, o seu movimento vai comprimir camadas de ar de um lado e

provocar uma depressão do outro, para onde o ar circundante aflui. O seu movimento vibratório

constante vai provocar sucessivas compressões e descompressões de camadas de ar, colocando-as

em movimento sob a forma de onda. A pressão do ar numa determinada área pode considerar-se

constante e, assim sendo, as variações de pressão impostas por uma fonte vibrante vão-se-lhe

sobrepor. Esta definição inclui as ondas ultra-sónicas, infra-sónicas e sónicas (aquelas que são

perceptíveis pelo ouvido humano). Uma onda sonora pode compreender um tom puro (uma

frequência simples, 1000Hz, por exemplo), contudo, é normalmente composta por várias frequências

simultaneamente.

A propagação de ondas sonoras no ar sofre uma particularidade associada às propriedades

mecânicas do meio gasoso: não suporta esforços de corte. Esta característica implica que o único

tipo de ondas sonoras possíveis de nele se propagar são as longitudinais. Em função do meio de

propagação, a onda sonora poderá sofrer reflexões que serão tanto maiores quanto maior a alteração

do mesmo, provocando menores transmissões de som.

As oscilações cíclicas de pressão e depressão características de uma onda sonora relacionam-se

com a Frequência de Propagação de onda, f , definida como o Número de Oscilações (Ciclos) por

unidade de tempo (segundo), sendo a sua unidade de grandeza o Hertz (Hz).

Conhecendo-se a frequência de propagação e as características do meio, é possível obter-se o

Comprimento de Onda, λ , sendo este definido como a distância percorrida pela onda sonora num

ciclo completo de pressão/depressão. O tempo que a onda demora a cumprir um ciclo completo de

pressão/depressão define-se por Período de Onda, T , e é inversamente proporcional à frequência de

propagação. A Velocidade de Propagação do Som num determinado meio, c , é obtida dividindo o

comprimento de onda pelo período de onda, obtendo-se assim as seguintes expressões equivalentes:

20

fc

f

cT

c =⇔=⇔= λλλ1

(m). (1)

A velocidade de propagação do som num determinado meio é independente da frequência de

propagação, dependendo apenas das propriedades do mesmo. Matematicamente esta grandeza é

calculada como:

0ργ ambP

c = (m/s), (2)

sendo γ a relação entre os calores específicos do ar a pressão e volume constantes, ambp a

pressão ambiente (N/m2) e 0ρ a massa específica do ar (kg/m3).

Uma pessoa saudável detecta, como som, qualquer vibração do tímpano na gama de frequências

audíveis, resultantes de uma variação incremental da pressão do ar junto ao ouvido. Uma variação de

pressão em torno da pressão atmosférica é chamada Pressão Sonora, p , cuja unidade é o Pascal

(Pa). Sendo o ouvido humano sensível a esta grandeza, é conveniente realizar as medições

associadas à amplitude sonora em termos de pressão, uma vez que as pressões detectadas pelo

tímpano também são detectáveis pelo diafragma de um microfone.

Quando se determina o valor médio de pressão de uma onda sonora (tendo esta, normalmente, um

comportamento periódico no tempo), o respectivo valor será nulo. Este resultado deve-se ao facto de

a parte positiva da onda ser igual à parte negativa. Um tipo de medição que permite contornar esta

questão é a do valor eficaz, rmsp , (em inglês, rms – root mean square), que é obtido fazendo a média

da soma dos quadrados da pressão em cada instante, ao longo de um período, ou seja:

Pprms 21

= (Pa), (3)

em que P é a amplitude máxima da pressão sonora instantânea.

A Intensidade Sonora, I , é outra grandeza usualmente medida e é definida como o fluxo de energia

emitida por unidade de tempo num determinado ponto, sendo igual à média temporal do produto da

pressão sonora pela velocidade de propagação da onda sonora, nv :

( ) ( )tvtpI n= (W/m2). (4)

Esta grandeza é importante por duas razões: primeiro, num ponto livre no espaço, está relacionada

com a potência total irradiada para o ar por uma fonte sonora; segundo, permite obter uma relação

fixa com a pressão sonora.

A intensidade sonora num ponto é uma quantidade vectorial, ao passo que a pressão sonora é uma

grandeza escalar. Por esta razão, a intensidade sonora deve ser considerada segundo a direcção de

propagação de onda.

21

Uma fonte sonora radia uma quantidade mensurável de energia para o ar circunvizinho, chamada de

Potência Sonora, W , sendo definida como a quantidade de energia acústica produzida por unidade

de tempo. O efeito da potência sonora é a pressão sonora detectável pelo ouvido humano.

Analisando-se a equação (4), conclui-se que esta grandeza é dada pelo produto da intensidade

sonora pela área envolvente da fonte. Tal como a pressão sonora, a potência sonora é uma grandeza

escalar cujas unidades são o Watt (W).

Para uma fonte sonora pontual a radiar uniformemente no espaço, por exemplo, a área de radiação

será a de uma superfície esférica, obtendo-se a seguinte expressão para o cálculo da potência

sonora [23]:

( )IrW 24π= (W). (5)

Alexander Graham Bell criou uma unidade de intensidade física relativa ao som, definida em relação

à pressão mínima detectada pelo ouvido humano. A essa grandeza foi dado o nome de Bel, em

homenagem ao seu inventor, sendo definida como:

2

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pp

, (6)

em que 0p é o nível mais baixo de pressão sonora detectável pelo ouvido humano (20 µPa). Como a

unidade Bel comprime demasiado a escala de pressões sonoras, é mais conveniente o uso do

Decibel, unidade logarítmica definida como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

2

0

2010pplogdB

pplogdB . (7)

Refira-se que esta não é uma escala absoluta, mas uma escala comparativa, relacionando dois

valores diferentes de pressão sendo, portanto, adimensional. O facto de a escala ser logarítmica,

justifica-se por se verificar que a percepção sonora é proporcional ao logaritmo dos estímulos

sonoros.

As unidades para a medição do som em unidades logarítmicas são, respectivamente:

a) Nível de Pressão Sonora ou Nível Sonoro

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×= −5102

20 rmsp

plogL (dB); (8)

b) Nível de Intensidade Sonora

121010 −=

IlogI I (dB); (9)

c) Nível de potência sonora

121010 −=

WlogLW (dB). (10)

22

Após esta breve síntese sobre as principais grandezas envolvidas na propagação sonora, passa-se a

apresentar uma formulação analítica de propagação de ondas.

2.2. Equação de Onda

2.2.1 Equação de Onda Acústica – Modelos Tridimensionais

Para obter a Equação de Onda Acústica combinam-se as equações de quantidade de movimento de

Navier-Stokes (11) a (13), a equação de continuidade (14), e introduzem-se simplificações utilizando

as aproximações adoptadas por Kinsler et al [20]:

1. Fluido compressível (variações de densidade do fluido devidas a variações de pressão);

2. Fluido invíscido (ausência de dissipações viscosas);

3. Ausência de escoamento médio do fluido;

4. Densidade e pressão média uniformes ao longo do fluido.

( ) ( ) ( )=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂zvv

yvv

xvv

tv xzxyxxx ρρρρ

xx

ex

ex

exx Tzv

zyv

yxv

xR

xpg +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

++∂∂

−= µµµρ

(11)

( ) ( ) ( )=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zvv

yvv

xvv

tv yzyyyxy ρρρρ

yy

ey

ey

eyy Tz

vzy

vyx

vx

Rypg +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

++∂∂

−= µµµρ

(12)

( ) ( ) ( )=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂z

vvy

vvx

vvtv zzzyzxz ρρρρ

zz

ez

ez

ezz Tzv

zyv

yxv

xR

zpg +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

++∂∂

−= µµµρ

(13)

onde xv , yv , zv , são as componentes cartesianas do vector de velocidade nas direcções x , y , z

(coordenadas cartesianas globais); t o tempo; zg , yg , zg são as componentes de aceleração da

gravidade; ρ a densidade do fluido; eµ a viscosidade efectiva (que no caso de escoamento laminar

é, simplesmente, a pressão dinâmica, uma propriedade do fluido); xR , yR , zR são as componentes

de resistência distribuída (utiliza-se, por exemplo, para modelar o efeito de algumas características

geométricas sem modelar a geometria); xT , yT , zT são os termos de perdas viscosas (nulos no caso

de fluido incompressível de propriedades constantes); p a pressão.

23

A equação de continuidade é expressa da seguinte forma:

( ) ( ) ( )0=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

zv

yv

xv

tzyx ρρρρ

. (14)

Atendendo às referidas simplificações, obtém-se a seguinte Equação de Onda:

01 22

2

2 =∇−∂∂ p

tp

c, (15)

onde o laplaciano, 2∇ , para sistemas de coordenadas cartesianas é dado por:

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ . (16)

É nesta equação de onda que se baseiam as metodologias desenvolvidas neste trabalho para simular

os problemas de propagação ao longo de um fluido acústico com determinadas fronteiras assumidas

rígidas ou semi-infinitas. Se houver interacção com fronteiras deformáveis elásticas o problema tem

de ser acoplado a equações de elasticidade. O método dos elementos finitos para problemas

acústicos é desenvolvido nestes termos.

Pelo interesse que tem para o estudo de alguns escoamentos, como em silenciadores de câmara de

expansão, por exemplo, apresenta-se ainda a equação reduzida para o caso unidimensional.

2.2.2 Equação de Onda Acústica – Modelos Unidimensionais

No caso particular de propagação do som ao longo de uma conduta contendo um fluido invíscido e de

paredes assumidas como rígidas, as ondas sonoras de pequena amplitude propagam-se como ondas

planas. É o caso em que a perturbação da pressão acústica, p , e a velocidade, zv , em qualquer

ponto de uma secção transversal é a mesma. A frente de onda (superfície de fase) é um plano normal

à direcção de propagação de onda, que no caso de um tubo se considera a direcção longitudinal z .

As equações linearizadas para este caso são:

a) Conservação de massa

00 =∂∂

+∂∂

zv

tzρρ

; (17)

b) Equilíbrio dinâmico

00 =∂∂

+∂∂

tv

zp zρ ; e (18)

24

c) Equação de energia (processo isentrópico, assumindo o ar como gás perfeito e tomando

apenas os termos de primeira ordem da expansão em série de Taylor, válido na propagação em

condutas de secção constante ou em transições de secção nos limites de (54)).

( ) 2

00

cPpPp ambamb

s

=≈++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ργ

ρργ

ρ; (19)

sendo z a coordenada longitudinal (ou axial), ambP a pressão ambiente, 0ρ a densidade do meio,

para 1<<ambPp

e 10

<<ρρ

.

A equação (19) implica que:

2cp

=ρ ; tp

ct ∂∂

=∂∂

2

1ρ;

zp

cz ∂∂

=∂∂

2

1ρ. (20)

Substituindo a equação (20) em (17), eliminando o campo de velocidades zv das equações (17) e

(18), diferenciando a primeira em relação a t , a segunda em relação a z e, por fim, substituindo a

primeira na segunda, obtém-se a equação de onda:

02

22

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂ p

zc

t. (21)

Esta equação diferencial parcial homogénea, unidimensional, de coeficientes constantes admite uma

solução geral dada por:

( ) ( ) ( )ctzgCctzfCt,zp ++−= 21 , (22)

onde que 1C e 2C são constantes.

Se a dependência no tempo for assumida como sendo do tipo exponencial, tje ω , a solução (22) é

expressa na seguinte forma:

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= cztj

cztj

eCeCt,zpωω

21 . (23)

A primeira parte desta solução é igual a 1C para 0== tz e, ainda, para ctz = . Assim sendo, o

primeiro termo representa uma onda progressiva a mover-se a jusante da fonte de ruído, sem

atenuação nem aumento de amplitude, com uma velocidade c . De forma semelhante, observa-se

que o segundo termo da equação representa uma onda progressiva movendo-se na direcção oposta

com a mesma velocidade c . Assim sendo, c é a velocidade de propagação de onda, a equação (21)

é uma equação de onda e a solução (23) representa a sobreposição de duas ondas progressivas com

amplitudes 1C e 2C movendo-se em direcções opostas.

A equação (21) é denominada por equação de onda unidimensional clássica e a velocidade de

propagação de onda, c , é denominada por velocidade do som.

25

O carácter de onda da equação (21) reside no operador diferencial

2

22

2

2

zc

tL

∂∂

−∂∂

≡ , (24)

que é denominado por operador de onda unidimensional clássico.

Factorizando este operador como se indica na seguinte igualdade,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

zc

tzc

tzc

t 2

22

2

2

, (25)

pode concluir-se que a onda acústica emitida (o primeiro termo da solução da equação (23)) é a

solução da equação

0=∂∂

+∂∂

zpc

tp

, (26)

e que a onda reflectida (o segundo termo da solução da equação (23)) é a solução da equação

0=∂∂

−∂∂

zpc

tp

. (27)

A equação (23) pode ser reescrita como

( ) [ ] tjjkzjkz eeCeCtzp ω+− += 21, , (28)

em que λπω 2

==c

k , sendo k o Número de Onda, ou a constante de propagação, e λ o

comprimento de onda.

Uma vez que a velocidade da partícula, zv , também satisfaz a mesma equação de onda, pode

escrever-se igualmente1:

( ) [ ] tjjkzjkzz eeCeCt,zv ω+− += 43 . (29)

Substituindo as equações (28) e (29) na equação de equilíbrio dinâmico (18) obtém-se

cCC

0

13 ρ= ,

cCC

0

24 ρ

−= , (30)

e, assim,

( ) [ ] tjjkzjkzz eeCeC

Zt,zv ω+− −= 21

0

1, (31)

1 Pode mostrar-se que, recorrendo ao potencial de velocidade φ :

zvz ∂

∂=

φ e

tp

∂∂

−=φρ0 .

26

onde cZ 00 ρ= é a Impedância Característica do Meio, definida como a razão da pressão acústica

pela velocidade da partícula de uma onda plana progressiva.

Segue-se uma breve revisão dos conceitos teóricos relevantes para a análise da propagação de

ondas em silenciadores.

2.3. Propagação de Ondas em Silenciadores

O ruído pode definir-se simplesmente como sendo um som indesejável. A subjectividade desta

definição é em geral aceite, uma vez que aquilo que para uns é considerado ruído (uma banda de

hard rock, por exemplo), para outros é um som agradável. Alguns tipos usuais de ruído são o

aeronáutico, o urbano, o industrial ou, mesmo, o ruído doméstico associado a electrodomésticos.

Existem várias metodologias utilizadas para a atenuação do ruído. Algumas são activas, como por

exemplo as que utilizam a emissão de ondas sonoras opostas às emitidas pela fonte de ruído, outras

são passivas, como por exemplo, as dos simples silenciadores reflectivos de uma câmara de

expansão da onda sonora.

Os silenciadores são, convencionalmente, classificados como dissipativos ou reflectivos, dependendo

da forma como a energia acústica é dissipada em calor (através de um material de absorção

acústica), ou reflectida para montante através de descontinuidades de área.

Os silenciadores dissipativos consistem em condutas contendo, no seu interior, um material de

absorção acústica. Em motores de combustão estes silenciadores tendem a perder a sua

performance por fenómenos como, por exemplo, a destruição do material dissipativo, devido a

partículas de carbono não consumidas na combustão virem a obstruí-lo, ou devido à propagação de

fendas de origem térmica.

Os silenciadores reflectivos consistem num determinado número de elementos tubulares, de

diferentes dimensões de secção transversal, juntos de forma a provocar em cada junção a reflexão

de uma parte substancial da energia acústica incidente de volta para a fonte. Isto é possível

combinando as diferentes impedâncias acústicas.

Para o estudo da atenuação sonora em silenciadores e a realização de ensaios experimentais em

acústica definem-se três grandezas comummente utilizadas: a redução de ruído (em inglês, noise

reduction – NR), a perda de inserção (em inglês, insertion loss – IL) e a perda de transmissão (em

inglês, transmission loss – TL).

A Redução de Ruído é simplesmente calculada pela diferença dos níveis de pressão sonora em dois

pontos do sistema de atenuação, sendo habitual tomar os valores relativos aos pontos de entrada e

saída do silenciador (vd. Figura 2), e calcula-se pela expressão (32).

27

21

Figura 2 – Esquema de silenciador de uma câmara de expansão.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

2

1

0

2

0

1

0

2

0

1 2020202021 p

plog

pppp

logpp

logpp

logLLNR pp (dB), (32)

A Perda de Inserção é definida como a diferença entre a potência acústica radiada sem qualquer filtro

e a radiada com a presença de um filtro acústico. Calcula-se da seguinte forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

−

−

−−2

1

122

121

122

121 10

10

101010

1010

1021 W

WlogW

W

logWlogWlogLLIL WW (dB), (33)

em que os subscritos 1 e 2 representam os sistemas sem e com filtro, respectivamente.

A Perda de Transmissão é independente da fonte de ruído e requer que o elemento em estudo tenha

um topo anecóico:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

t

iWWi W

WlogLLTLt

10 (dB). (34)

Esta grandeza descreve a performance do silenciador propriamente dito, sendo definida como da

diferença entre a potência incidente no silenciador, ( )iW , e a transmitida a jusante, ( )tW , em

direcção à terminação anecóica.

2.3.1 Propagação de Onda Acústica no Interior de um Tubo Uniforme

Para silenciadores acústicos cilíndricos, conduzindo gases de escape, é mais apropriado utilizar o

caudal mássico, SvQ zm 0ρ= (em que S é a secção transversal do tubo), em vez da velocidade das

partículas no cálculo da impedância característica do meio. Assim sendo, define-se Impedância

Característica, 0Y , como:

ScY =0 , (35)

Juntando o resultado anterior às equações (28) e (31) obtém-se:

jkzjkz BeAep += − , (36)

28

( )jkzjkzm BeAe

YQ −= −

0

1, (37)

em que o factor exponencial temporal foi absorvido nas constantes A e B.

A Impedância Acústica Específica em qualquer ponto de uma onda estacionária é, assim, definida

como:

( ) ( )( ) jkzjkz

jkzjkz

m BeAeBeAeY

zQzpz

−+

== −

−

0ζ , (38)

e representa a impedância equivalente do subsistema passivo completo a jusante deste ponto.

Os valores da impedância acústica em 0=z (início do tubo) podem ser relacionados com os

localizados em lz = (final do tubo), recorrendo à equação (38) e eliminando A e B da seguinte

forma:

( ) ( ) ( )BABA

YBABAY

BeAeBeAeY

−+

=⇔−+

=⇔−+

=0

000

00

0000 ζζζ ; (39)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

.kltan

BABAj

kltanjBABA

YklsinBAjklcosBAklsinBAjklcosBAYl

klsinjklcosBklsinjklcosAklsinjklcosBklsinjklcosAY

BeAeBeAeYl jkljkl

jkljkl

−+

−

−−+

=+−−−−+

=⇔

⇔+−−++−

=−+

= −

−

100

00

ζ

ζ

(40)

Substituindo o resultado da equação (39) na equação (40), obtém-se o seguinte resultado:

( )( ) ( )

( ) ( )kltanY

j

kltanjY

Yl

0

0

0 01

0

ζ

ζζ

−

−= , (41)

ou

( )( ) ( )

( ) ( )kltanY

lj

kltanjY

l

Y0

0

0 1

0ζ

ζζ

+

−= , (42)

29

ou, ainda,

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )klsin

Yljklcos

klsinjYklcosl

kltanY

lj

kltanjYl

0

0

0

0 01

0ζ

ζζ

ζζ

ζ+

+=⇔

+

−= .

(43)

De forma semelhante, a equação (41) pode ser reescrita como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )klsin

Yjklcos

klsinjYklcosl

0

0

00

ζζ

ζ−

−= .

(44)

Para um tubo com o topo rígido em lz = , o caudal mássico tende para 0, ( ) 0→lQm , logo a

impedância acústica específica tende para infinito, ( ) ∞→lζ , que, pela equação (44), implica ter o

denominador a tender para 0, permitindo concluir que no limite:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )klsinklcosjYklsin

Yklcosjklsin

Yjklcos 0

00

00000−=⇔=+⇔=− ζζζ

. (45)

Na realidade, ao utilizarem-se chapas metálicas finas para tapar tubos, não se pode garantir uma

impedância infinita, pelo que o resultado exacto da equação (43) deve ser utilizado em vez do

resultado da equação (45).

O comportamento acústico numa terminação é, normalmente, descrito em termos do Coeficiente de

Reflexão, R , definido como a razão da pressão de onda reflectida pela de onda incidente.

Recorrendo ao resultado da equação (36) chega-se à expressão:

jkz

jkz

AeBeR −= , (46)

de onde de obtém:

( )ABR =0 (47)

e, ainda,

( ) jkl

jkl

AeBelR −= . (48)

Substituindo o resultado de (47) em (39) tem-se:

RRY

−+

=11

0ζ , (49)

30

ou, alternativamente,

0

0

YY

R+−

=ζζ

. (50)

Num topo rígido, ( ) 0→lQm , ∞→ζ , logo a equação (49) requer:

1→R . (51)

Assim sendo, um topo rígido reflecte totalmente a onda incidente, com a mesma amplitude e a

mesma fase.

Outra terminação que é usualmente utilizada é a de topo anecóico, caracterizada por um coeficiente

de reflexão igual a zero,

0→R , (52)

e, assim sendo, utilizando a relação (49):

0Y→ζ . (53)

Este resultado mostra que a impedância de um tubo com uma terminação anecóica se iguala à

impedância característica do tubo em todos os pontos. Este resultado não é surpreendente, uma vez

que o campo acústico num tubo deste tipo consiste apenas numa onda progressiva, não existindo

onda reflectida.

Estamos, agora, em condições de estudar o que se passa quando ao longo do tubo se produz uma

transição de secções com diferentes dimensões.

2.3.2 Atenuação em Silenciadores com Descontinuidades de Secção

Dois tipos de descontinuidades de secção do tubo são apresentados na Figura 3, nomeadamente a

contracção súbita e a expansão súbita.

a) b)

Figura 3 – Descontinuidades de área. Contracção súbita, a), e expansão súbita, b).

Quando os diâmetros de ambos os tubos se encontram dentro dos limites impostos pela propagação

de ondas puramente planas, então a pressão acústica e o caudal mássico mantêm-se os mesmos

através de qualquer uma das duas descontinuidades. Se a frequência for suficientemente pequena

(ou o comprimento de onda suficientemente grande) de tal forma que se verifique:

12 ••12 ••

31

8410 .kr < ou D.841πλ < ou c

D.fπ841

< , (54)

em que D é o diâmetro 02r , então propagam-se apenas ondas planas [16]. Nos casos de transição

de diâmetros para além destes limites, não se mantêm as condições isentrópicas da equação (19),

devendo a expansão ser considerada como um processo adiabático.

No estudo de silenciadores de escape, as frequências de interesse são normalmente suficientemente

baixas de tal forma que os limites de secção transversal de condutas da equação (54) são satisfeitos.

Desta forma, as análises de atenuação em silenciadores considerando a aproximação de onda plana

têm demonstrado ser adequadas [16].

Assim sendo,

12 pp = , (55)

12 mm QQ = (56)

e, consequentemente,

11

1

2

22 ζζ ≡=≡

mm Qp

Qp

. (57)

Em termos das amplitudes complexas dos dois componentes de onda progressiva das ondas

estacionárias nos dois tubos através da junção, as equações (55) e (56) podem ser escritas como

1122 BABA +=+ , (58)

igualando a pressão em ambos os lados da descontinuidade, e, da mesma forma, igualando o caudal

mássico:

( ) ( )1

11

2

22

YBA

YBA −

=−

. (59)

Para o caso especial de um topo anecóico tem-se 01 =B e consequentemente:

112 Y== ζζ , (60)

e o coeficiente de reflexão do ponto anterior é dado por:

12

12

21

21

22

22

2

22 SS

SSYYYY

YY

ABR

+−

=+−

=+−

=≡ζζ

, (61)

sendo 1S e 2S as secções transversais dos tubos na secção 1 e na secção 2, respectivamente.

32

Perante os resultados anteriores, para uma contracção súbita ( )12 SS > , 2R tem um valor entre 0 e

1 e, para uma expansão súbita ( )12 SS < , 2R terá um valor entre -1 e 0.

Em termos de potências aplicam-se as seguintes expressões para

a) Potência incidente: ( )20

22

2 YA

Wi ρ= ; (62)

b) Potência transmitida: ( )10

21

2 YA

Wt ρ= ; e (63)

c) Potência reflectida: ( )20

22

2 YB

Wr ρ= . (64)

O fluxo de energia no tubo a montante é então calculado por:

20

22

22

2 2 Y

BAWWW ri ρ

−=−= (65)

e, no tubo a jusante é (assumindo-se 01 =B , ou seja, topo anecóico)

20

21

1 2 Y

AWW t ρ

== . (66)

Utilizando as equações (58) e (59), verifica-se que através de qualquer descontinuidade de área

12 WW = . (67)

Este resultado indica que, num estado estacionário, uma simples mudança de secção de um tubo não

resulta em qualquer perda de potência acústica, mas reflecte uma quantidade substancial da potência

incidente de volta para a fonte, criando uma descontinuidade de impedâncias características. Assim

sendo, descontinuidades de área são elementos reflectivos e constituem as bases elementares de

silenciadores reflectivos.

A perda de transmissão é obtida por:

( )

12

212

22 4

log101

1log10log10log10SSSS

RWWW

WW

TLri

i

t

i +=

−=

−== . (68)

Assim, a perda de transmissão para uma contracção súbita é a mesma que para uma expansão

súbita para a mesma relação de áreas.

33

2.3.3 Atenuação em Silenciadores com uma Câmara de Expansão

Na figura seguinte representa-se, esquematicamente, um silenciador de uma câmara de expansão de

comprimento el e secção 2S , com tubos de entrada e saída de iguais secções 1S .

3 421 S2 S1S1

le

Figura 4 – Geometria de silenciador cilíndrico de uma câmara de expansão.

Omitindo-se as constantes de tempo, as equações de continuidade de pressão e caudal volúmico na

transição de diâmetros onde ocorre expansão podem ser escritas como:

2211 BABA +=+ , (69)

( ) ( )222111 BASBAS −=− , (70)

ou, recorrendo à relação de áreas 1

2

SSm = ,

( )2211 BAmBA −=− . (71)

De igual modo, na transição de diâmetros onde ocorre a contracção, as expressões são:

322 AeBeA ee jkljkl =+− , (72)

( ) 322 AeBeAm ee jkljkl =−− . (73)

Se as equações (69) a (73) forem resolvidas em simultâneo para a razão 3

1

AA

, o resultado é

( ) ( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

e

ee

klsinm

mAA

klsinm

miklcosAA

22

3

1

3

1

1411

121

, (74)

e a perda de transmissão é dada por:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ekl

mmTL 2

2

10 sin1411log10 . (75)

34

O resultado da equação (75) é uma referência teórica para a verificação e validação de resultados,

quer obtidos experimentalmente, quer obtidos numericamente recorrendo a modelos de elementos

finitos.

2.4. Método dos Elementos Finitos

No item 2.2 apresentaram-se as equações de quantidade de movimento de Navier-Stokes (11) a (13)

e a equação de continuidade (14) bem como as aproximações adoptadas por Kinsler et al [20] que

combinadas permitiram obter a equação de onda acústica.

Definindo-se ( ) { } ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

==∇zyx

L. T , a equação (15) escreve-se em notação matricial da

seguinte forma:

{ } { }( ) 012

2

2 =−∂∂ PLL

tP

cT . (76)

As matrizes dos elementos são então obtidas discretizando a equação (76) utilizando o método de

Galerkin (ver descrição do método, por exemplo, em [28]). Multiplicando a equação por uma variação

virtual de pressão e integrando-a em torno do seu domínio de volume, após alguma manipulação

obtém-se:

( ) { }( ) { }( ) ( ) { } { }( ) ( )SdPLPnvoldPLPLvoldtPP

c vol S

TT

volδδδ ∫ ∫∫ =+

∂∂

2

2

2

1, (77)

onde vol é o volume do domínio; Pδ é uma variação virtual de pressão ( )( )t,z,y,xPδ ; S é a

superfície onde se aplica a derivada normal à superfície (condição de fronteira natural) e { }n é o

vector unitário normal à superfície S .

Nos problemas de interacção fluido-estrutura, a superfície S é tratada como sendo a interface. Para

as aproximações de simplificação feitas, as equações de momento do fluido produzem a seguinte

relação entre o gradiente de pressão normal e aceleração normal à estrutura na interface fluido-

estrutura S :

{ }{ } { } { }2

2

0 tu.nP.n

∂∂

−=∇ ρ . (78)

Na notação matricial a equação (78) é dada por:

{ } { }( ) { } { }⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= ut

.nPL.n TT2

2

0ρ . (79)

Substituindo a equação (79) em (77), o integral é dado por:

( ) { }( ) { }( ) ( ) { } { } ( )Sdut

nPvoldPLPLvoldtPP

cT

vol S

T

vol ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=+∂∂

∫ ∫∫ 2

2

02

2

2

1 δρδδ , (80)

35

Para descrever o problema de interacção fluido-estrutura, o carregamento correspondente à pressão

do fluido a actuar na face da estrutura, prF , é adicionado à equação de dinâmica estrutura

discretizada:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } { }pre

aeeeeeee FFuKuCuM +=++ &&& . (81)

onde [ ]M é a matriz de massas estrutural; [ ]C é a matriz de amortecimento estrutural; [ ]K é a matriz

de rigidez estrutural; { }u&& é o vector de aceleração nodal; { }u& é o vector de velocidade nodal; { }u é o

vector de deslocamentos nodais e{ }aF o vector de forças aplicadas. O vector de pressão do fluido

{ }preF na interface S é obtido integrando a pressão ao longo da área da superfície:

{ } { } { } ( )SdnP'NFS

pre ∫= , (82)

onde { }'N são as funções de forma dos elementos finitos utilizados para discretizar os domínios e

interpolar neles as componentes do deslocamento u , v e w (obtidas a partir do elemento estrutural)

e { }n é a normal à fronteira do fluido.

Substituindo em (82) a função de aproximação de elemento finito para pressão, e substituindo-a na

equação (80) vem, finalmente, a equação dinâmica da estrutura:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }eeeeeeeee FPRuKuCuM =−++ &&& . (83)

Ou evidenciando os acoplamentos tem-se:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡f

S

f

FSIS

P

u

fFSI

S

FF

pu

KKK

p

uC

C

p

uMM

M00

00.

.

..

..

. (84)

O método dos elementos finitos, MEF (em inglês Finite Element Method, FEM), tem provado ser uma

técnica numérica para o estudo de silenciadores de geometrias complexas. Ainda que este método

seja aplicável a qualquer configuração de silenciador, quando as formas deste se tornam complexas,

o MEF requer um grande número de nós e elementos. Isto resulta numa lenta e demorada

preparação de dados e computação. Para lidar com esta limitação, alguns investigadores têm

sugerido elementos finitos não convencionais, tais como, por exemplo, elementos finitos espectrais,

que se consideram fora do âmbito deste trabalho.

Ainda que existam máquinas computacionais de grande velocidade de processamento de cálculo e

capacidade de armazenagem de dados, o uso do MEF para projecto de silenciadores está restringido

a pessoal treinado e é comercialmente oneroso, em particular para avaliações preliminares de

projecto. A maioria dos fabricantes de silenciadores são pequenas ou médias empresas com

limitados recursos. Deste modo os fabricantes requerem rápidos e baratos métodos para o

anteprojecto de silenciadores pelo que deve ser bem ponderado o uso do MEF.

Embora fora do âmbito desta tese, para algumas configurações poderão definir-se princípios simples

de projecto baseados no MEF mas que dispensem o mesmo.

36

2.5. Elementos Finitos para a Análise Acústica

Neste item são apresentados os elementos finitos que se utilizam nesta dissertação. São utilizados

elementos finitos isoparamétricos bidimensionais quadrangulares de 4 nós e tridimensionais

hexaédricos de 8 nós, com e sem acoplamentos fluido-estrutura. Os elementos finitos utilizados foram

seleccionados entre os disponíveis no programa comercial de elementos finitos ANSYS (versão 10.0)

tendo sido utilizados os seguintes elementos finitos: o FLUID29, FLUID30, SHELL63 e o SOLID45 do

ANSYS.

De seguida apresenta-se uma breve descrição destes elementos finitos utilizados, podendo consultar-

se os detalhes da formulação utilizada na referência [28].

O elemento FLUID29, cuja geometria é apresentada na Figura 5, é utilizado para modelar o meio

fluídico e a interface em problemas com e sem interacção fluido/estrutura. Algumas aplicações típicas

incluem e propagação de ondas sonoras e a dinâmica de estruturas submergidas. A equação de

onda bidimensional foi discretizada tendo em conta o acoplamento de pressões sonoras e movimento

estrutural na interface. O elemento tem quatro nós com três graus de liberdade em cada canto:

translações nas direcções nodais x e y e pressão. As translações, contudo, são aplicáveis apenas

aos nós que se encontram na interface.

O elemento tem capacidade para incluir amortecimento de materiais com absorção de som na

interface; pode ser usado com elementos estruturais de duas dimensões para realizar métodos de

análise modal amortecida ou assimétrica, respostas estáticas, harmónicas e respostas transientes.

[28].

Figura 5 – Geometria do elemento FLUID29.

O elemento FLUID30, cuja geometria é apresentada na Figura 6, é semelhante ao elemento

FLUID29, mas formulado para análises tridimensionais. O elemento tem oito nós em cada canto,

cada um deles com quatro graus de liberdade: translações nas direcções nodais x, y, z e pressão,

contudo, à semelhança do elemento FLUID29, as translações aplicam-se apenas aos nós da

interface fluido/estrutura.

37

Figura 6 – Geometria do elemento FLUID30.

O elemento SHELL63, cuja geometria é apresentada na Figura 7, é um elemento adequado para o

estudo de estruturas lineares tipo casca, de espessura moderada. Tem capacidades de flexão e

membrana; permite que sejam aplicadas cargas no seu plano ou normais ao mesmo. O elemento

possui quatro nós, um em cada canto, com seis graus de liberdade cada: translações nas direcções

nodais x, y e z, e rotações em torno dos mesmos eixos. O elemento tem capacidade para encruar e

para responder a grandes deflexões [28].

Figura 7 – Geometria do elemento SHELL63.

O elemento SOLID45, cuja geometria é apresentada na Figura 8, é utilizado na modelação de

estruturas sólidas tridimensionais. O elemento é definido por oito nós, tendo três graus de liberdade

em cada um: translações nos eixos nodais x, y e z. O elemento possui capacidades de análise para

elasticidade, plasticidade, geração de fendas, encruamento e grandes deflexões e extensões [28].

Figura 8 – Geometria do elemento SOLID45.

38

3. Caracterização da Propagação de uma Onda Sonora Plana num Tubo Cilíndrico

Neste capítulo, avalia-se de forma breve o comportamento do método dos elementos finitos no

estudo da propagação de uma onda sonora num tubo cilíndrico Ø40mmx500mm, comparando os

resultados numéricos com os obtidos pela teoria de onda plana. Apresentam-se resultados para dois

modelos de tubos cilíndricos uniformes, um com o topo a montante completamente rígido (reflectindo

todas as ondas sonoras incidentes) e outro com o topo a montante anecóico (absorvendo todas as

ondas sonoras incidentes).

Para a frequência de 1500Hz, e para uma velocidade de propagação do som de 344m/s, obtém-se a

distribuição teórica de pressão sonora ao longo da direcção de propagação representada na Figura 9,

para [ ]500 .,z∈ (vd. anexo 8.1).

Figura 9 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e reflexão total.

No modelo de elementos finitos (vd. Figura 10 a)) foi omitido o acoplamento do fluido (modelado com

elementos FLUID30) à casca cilíndrica, mas impôs-se, no topo em lz = , uma tampa de aço com

4mm de espessura (modelada com elementos tetraédricos SOLID45), possibilitando a activação de

uma flag para criar uma interface fluido-estrutura e, assim, obterem-se diferentes condições de

fronteira. No modelo foi imposta uma onda sonora plana de 1Pa no topo em 0=z .

A malha do modelo foi totalmente construída com elementos hexaédricos para controlo paramétrico

de toda a malha, evitando excessivas distorções dos elementos (vd. Figura 10 b)), tendo-se corrido o

modelo com 80 elementos por comprimento de onda.

39

a) b)

Figura 10 – Representação do modelo de elementos finitos do tubo e do topo de aço (a vermelho), a), e malha de elementos

finitos de sólido e fluido do modelo numérico, b).

Na Figura 11 apresenta-se a comparação dos resultados teóricos e numéricos, da distribuição da

pressão sonora, e calcula-se o erro relativo.

Figura 11 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para

modelo com reflexão total, e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à direita).

Analisando-se a sobreposição das curvas e os resultados do erro relativo da Figura 11 constata-se

que a aproximação dos resultados numéricos aos teóricos é boa. No entanto, quando a pressão

sonora é aproximadamente 0Pa, o erro relativo cresce fortemente como já era previsível. Verifica-se

que, excluindo-se os pontos em tornos dos quais a pressão é nula, obtém-se globalmente um erro

relativo inferior a 5%.

O comportamento periódico ascendente da curva do erro relativo poderá estar associado a pequenos

desfasamentos nos pontos do cálculo da pressão entre os resultados teóricos e numéricos, sendo

que o pico do erro está directamente relacionado a problemas numéricos.

40

Figura 12 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com reflexão total e 80

elementos por comprimento de onda (valores em Pa).

Outro aspecto digno de referência é a não verificação da afirmação generalizada de que normalmente

um número de elementos finitos por comprimento de onda considerado aceitável na análise de

fenómenos oscilatórios por modelos de elementos finitos é 12! Para o estudo em análise, esse

número ainda produz erros relativos elevados, como se pode ver na Figura 13. Observe-se que

mesmo não considerando as vizinhanças dos pontos onde 0=P , ainda assim têm-se desvios

superiores a 20%.

Figura 13 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para

modelo com reflexão total (com 12 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à

direita).

Para estudos da atenuação sonora em intervalos de frequência com largura considerável, há que

tomar um compromisso entre qualidade dos resultados e rapidez no método de cálculo, porque para

41

manter o mesmo número de elementos por comprimento de onda, há que construir um novo modelo

sempre que se altera o valor da frequência.

Outra alternativa seria fazer os cálculos sempre com o maior número de elementos finitos necessário,

o que em geral é computacionalmente pesado e desnecessário.

Figura 14 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para

modelo com reflexão total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à

direita).

Permitindo no máximo um erro relativo de 10%, não considerando os valores numéricos na

vizinhança dos valores de pressão sonora próximos de 0Pa, chega-se à conclusão que é necessário

um número de 36 elementos por comprimento de onda (vd. Figura 14).

Figura 15 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e absorção total.

42

Alterando agora o modelo para topo anecóico, obtém-se a distribuição teórica de pressão sonora da

Figura 15, e obtêm-se os resultados e respectiva representação gráfica da Figura 16 e da Figura 17,

respectivamente.

Figura 16 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para

modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário

à direita).

Figura 17 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com topo anecóico e 80

elementos por comprimento de onda (valores em Pa).

Tendo o tubo um topo anecóico, seria de esperar que o valor máximo de pressão sonora obtido ao

longo de todo o tubo nunca ultrapassasse o valor máximo imposto (1Pa), nem o seu simétrico,

oscilando em torno de um valor nulo. Esse comportamento verifica-se na Figura 15 e Figura 16.

Tal como no modelo anterior evidencia-se um bom comportamento do modelo numérico quando

comparado com os resultados teóricos, contudo, constata-se que o erro relativo é mais significativo

43

que no modelo anterior, quando utilizado o mesmo número de elementos por comprimento de onda

(vd. Figura 14 e Figura 16). Tal deve-se ao facto de neste modelo a gama de pressões ser inferior,

Ao não existir a sobreposição da onda reflectida, a amplitude de pressão é menor, sentindo-se mais o

efeito dos valores próximos de 0 aquando do cálculo do erro relativo.

Representando novamente os resultados da Figura 16, mas excluindo os valores na vizinhança de

0Pa, obtêm-se os valores apresentados na Figura 18.

Figura 18 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para

modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo excluindo os valores na

vizinhança de p=0 (a verde - eixo secundário à direita).

Os resultados evidenciam uma boa concordância entre os resultados teóricos e os numéricos,

obtendo-se erros relativos inferiores a 10%, quando desprezados os valores na vizinhança de 0Pa.

Verifica-se que os modelos de elementos finitos deverão ser resolvidos para as máximas pressões

sonoras previstas, com um número mínimo de 36 elementos por comprimento de onda, para este tipo

de problemas.

44

4. Caracterização Acústica de Filtros Periódicos

Neste capítulo é caracterizada a propagação de ondas sonoras através do meio envolvente a um

conjunto de cilindros metálicos periodicamente espaçados, considerando diferentes configurações e

fracções volúmicas, modelos de elementos finitos a duas e a três dimensões, com e sem

acoplamento fluido-estrutura. Apresenta-se, no capítulo 4.3.1, o protótipo construído para os ensaios

experimentais, descreve-se a câmara de ensaios, o esquema de montagem do equipamento para o

ensaio e comparam-se os resultados obtidos experimentalmente com os obtidos na bibliografia e

numericamente a duas e três dimensões.

Para enquadrar a motivação para este estudo, referem-se trabalhos anteriores que foram relevantes.

Em 1998, Vasseur et al [3] estudou a transmissão de ondas acústicas através dum meio compósito

bidimensional, composto por inclusões de cilindros de duralumínio numa matriz de resina expoxídica.

Este artigo apresenta uma interessante exposição de resultados da transmissão sonora obtidos

experimentalmente, assim como a estrutura de banda teórica, para dois modelos com duas filas

periódicas de cilindros dispostos de forma quadrangular e em rede rectangular centrada. Em especial

apresenta uma previsão de frequências proibidas absolutas estendendo-se através das duas

primeiras zonas bidimensionais de Brillouin.

Em 1998, Sánchez-Pérez et al [14] apresentou uma análise experimental da transmissão acústica

através de filas periódicas de cilindros rígidos dispostos ao ar em duas configurações geométricas

bidimensionais diferentes: em malha quadrangular e em malha triangular (vd. Figura 23). Em ambas

as configurações, e acima de uma determinada razão volúmica de ocupação dos cilindros, observa-

se uma sobreposição na gama de frequências audíveis, entre os picos medidos ao longo de duas

direcções de alta simetria da zona de Brillouin. Este efeito é considerado como uma impressão digital

da existência de lacunas acústicas.

Em 1999, Rubio et al [26] determinou teórica e experimentalmente estruturas de bandas sonoras de

filas bidimensionais de cilindros rígidos ao ar. Foram apresentadas medições para disposições em

rede quadrangular e triangular. Foi utilizado um método variacional para calcular a relação da

dispersão acústica. Experimentalmente, uma técnica de transmissão e a análise do atraso de fase

entre a onda incidente e a onda difundida pela estrutura são usados para construir as bandas

acústicas. A comparação entre os resultados teóricos e experimentais permite caracterizar

completamente as bandas de frequências proibidas e demonstrou a existência de bandas surdas, ou

seja, bandas que não podem ser excitadas devido a razões de simetria. Para o caso da disposição

em rede quadrangular, demonstra-se que uma estrutura com uma fracção de ocupação dos cilindros

de 0.41 possui uma completa lacuna acústica.

Em 2004, Barbarosie e Neves [12] utilizaram uma ferramenta numérica cuja metodologia de análise

de propagação de ondas acústicas/elásticas é baseada na teoria de ondas de Bloch e no método dos

elementos finitos. No artigo foram apresentados resultados para diferentes tipos de células

periódicas. Estes ilustram a influência da distribuição de material no interior do elemento repetitivo na

45

obtenção de uma maior ou menor largura de banda de frequências nas quais fica impossibilitada a

propagação de ondas ao longo da estrutura repetitiva.

Em 2007, Cartaxo et al [27] utilizou técnicas de ondas de Bloch para caracterizar a resposta de

sólidos periódicos infinitos à propagação de ondas, assim como à estabilidade elástica e aos

fenómenos de vibração livre. É feita uma breve referência à técnica de ondas de Bloch para a

investigação das propriedades de estruturas repetitivas infinitas. É utilizado um modelo de elementos

finitos para caracterizar o comportamento de estruturas finitas em função do seu número finito de

repetição de células base. Os resultados incluem, para a propagação de ondas, um exemplo da

atenuação acústica obtida na propagação de ondas sonoras através de várias filas de cilindros

metálicos e, no caso da estabilidade elástica e das vibrações livres, uma comparação entre vários

painéis periódicos.

É neste contexto que se desenvolve o estudo cujos resultados se apresentam de seguida.

4.1. Conduta Bidimensional

Sánchez-Pérez et al [14] estudou experimentalmente a propagação em meios com um número finito

de elementos cilíndricos (entre 100 a 500). Os resultados obtidos mostram que a localização do pico

de atenuação é independente do número de elementos, enquanto a atenuação continua a aumentar

com o aumento do número de cilindros. Tendo por objectivo construir um modelo de uma conduta em

elementos finitos com um grupo de cilindros a trabalhar como filtro, interessa perceber para que

número de cilindros os resultados obtidos se aproximam dos resultados publicados em [14].

O modelo bidimensional desenvolvido é composto por filas de cilindros de aço de 40mm de diâmetro,

de espessura 2mm, com um espaçamento entre centros de 110mm, obtendo-se uma fracção

volúmica de ocupação dos cilindros de 0.104 (note-se que na bibliografia é documentado que nem o

material dos cilindros, nem o facto destes serem ou não ocos, influencia a atenuação), vd. Figura 21.

Os cilindros são encastrados em ambos os topos e os graus de liberdade dos elementos de ar que

não se encontram em contacto com a estrutura são igualados a zero. Na face dos elementos de ar

em contacto com a estrutura dos cilindros é (opcional) activada uma flag de interface fluido-estrutura.

É imposta uma onda plana de 1 Pa no topo esquerdo da conduta. No topo oposto é imposta absorção

sonora total (topo anecóico, MU=1). Para a definição do meio são necessários dois inputs: a

velocidade de propagação do som no meio (igual a 344m/s) e a pressão sonora de referência (20

µPa, limite inferior da audição humana). Quer antes, quer depois das filas de cilindros, modela-se a

conduta com comprimentos suficientemente grandes de forma a permitir que, no mínimo, se

desenvolva um comprimento de onda.

O modelo foi elaborado com elementos FLUID29 para o fluido de propagação e elementos SHELL63

para os cilindros, tendo sido feito um estudo da atenuação em função do número de filas de cilindros

a 1560Hz, para encontrar o número de filas de cilindros que permite uma comparação com os

resultados de Sánchez-Pérez et al [14]. Esta frequência justifica-se por ser em torno da qual se

verifica o pico máximo de atenuação (em torno dos 20dB [14]). De acordo com a comparação dos

46

perfis de pressão sonora obtidos analítica e numericamente, os modelos aqui apresentados têm, no

mínimo, 36 elementos por comprimento de onda, a que corresponde uma malha do tipo da Figura 19.

Figura 19 – Pormenor da malha de elementos finitos no contorno dos cilindros.

Figura 20 – Variação da atenuação sonora em função do número de filas de cilindros para 1560Hz (em dB).

Na Figura 20 apresentam-se os resultados da atenuação sonora em função do número de filas de

cilindros. Tal como referido na bibliografia, verifica-se que a atenuação aumenta continuamente com

o aumento do número de cilindros. Uma atenuação de 20dB é obtida para conjuntos de 6 filas de

cilindros (vd. Figura 21).

47

Figura 21 – Distribuição da pressão sonora a 1560Hz (em dB).

O modelo da Figura 21 foi testado na gama de frequências ensaiadas por Sánchez-Pérez et al, com

um incremento de frequência de 10Hz. Os resultados obtidos encontram-se na Figura 22.

Numericamente verifica-se uma gama de frequências com significativa atenuação entre os 1250Hz e

os 1750Hz, tal com previsto quer analiticamente, quer experimentalmente.

Figura 22 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos por Sánchez-

Pérez et al e a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de elementos finitos. Na figura interior apresenta-se

uma comparação entre os resultados teóricos e experimentais da largura de banda de frequências atenuadas, variando com a

fracção volúmica de ocupação dos cilindros, obtidos por Sánchez-Pérez et al.

Ate

nuaç

ão S

onor

a (d

B)

Frequência (Hz)

48

O procedimento anterior foi repetido para diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros,

assim como para uma disposição triangular (vd. Figura 23).

Os resultados mostram que se obtêm maiores atenuações para disposições quadrangulares, que as

atenuações aumentam com o aumento da fracção volúmica ocupada pelos cilindros e, ainda, que

esse aumento altera a posição da banda de frequências com significativas atenuações, atenuando,

preferencialmente, mais altas frequências (ver Figura 24 e Figura 25).

0.5a

aa

a

a) b)

Figura 23 – Representação da disposição quadrangular dos cilindros, a), e representação da disposição triangular dos

cilindros, b).

Figura 24 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma quadrangular, para

diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros.

0.104 0.18

0.36

0.56

49

Figura 25 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma triangular, para diferentes

fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros.

Perante os resultados obtidos, evoluiu-se naturalmente para o estudo de modelos de elementos

finitos tridimensionais, para estudar o efeito da terceira dimensão no fenómeno de atenuação

detectado.

4.2. Conduta Tridimensional

O modelo de conduta tridimensional de elementos finitos foi desenvolvido à semelhança do modelo

bidimensional do capítulo 4.1. (i. e., filas de cilindros de 40mm de diâmetro, 2mm de espessura,

espaçamento entre centros de 110mm, obtendo-se uma fracção volúmica de 0.104), sendo a terceira

dimensão de 500mm. O elemento utilizado na modelação do fluido foi o FLUID30 e para a modelação

dos cilindros o elementos SOLID45. Tantos os carregamentos como as condições de fronteira foram

mantidos.

Em Cartaxo e Neves [25] concluiu-se que considerar ou não o acoplamento fluido/estrutura a 2D não

alterava os resultados da distribuição da pressão sonora (veremos que a 3D já altera) nos modelos

de elementos finitos, pelo que o modelo tridimensional foi inicialmente estudado considerando apenas

furos no local dos cilindros (fronteira rígida, já que os nós estão impedido de se deslocarem), em vez

de cilindros e respectivo acoplamento fluido/estrutura.

Sujeitando o modelo de elementos finitos (sem acoplamento fluido/estrutura) a uma frequência de

1500Hz (sensivelmente a meio da banda de frequências atenuadas), verifica-se que a onda sonora

se mantém plana e obtém-se uma atenuação de aproximadamente 20dB (ver Figura 26), tal como a

2D.

0.18

0.360.56

50

Figura 26 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional com furos de ar a simular a presença de

cilindros. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação dos furos de ar de 0.104.

Modelando-se o acoplamento fluido/estrutura, encastrando-se um dos topos dos cilindros, deixando o

outro livre, e sujeitando o modelo à mesma frequência, observa-se uma distribuição irregular da

pressão sonora (vd. Figura 27), contudo, ao reduzir-se sistematicamente o comprimento livre dos

cilindros, verifica-se que a onda sonora tende a manter-se plana, à semelhança dos resultados

obtidos a duas dimensões (vd. Figura 28 e Figura 29).

Estes resultados, obtidos com acoplamento, sugerem que a falta de rigidez dos cilindros influencia

grandemente a distribuição sonora a jusante. Pôde observar-se que os modos de vibração e

respectivas frequências apresentam frequências naturais próximas dos limites da gama de

frequências atenuadas (1153 Hz, vd. Figura 30, e 1795 Hz, vd. Figura 31).

Figura 27 – Distribuição irregular da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros encastrados num dos

topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de 0.104.

51

Figura 28 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de Ø40X250mm

encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de 0.104.

Figura 29 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de Ø40X125mm

encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de 0.104.

Figura 30 – Modo de vibração a 1153Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos.

52

Figura 31 – Modo de vibração a 1795Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos.

Figura 32 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de Ø40X125mm

encastrados em ambos os topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de

0.104.

No modelo da Figura 27 foi modificado ao encastraram-se ambos os topos dos cilindros e repetiu-se

a análise, obtendo-se os resultados da Figura 32. Sujeitando o mesmo modelo a um intervalo de

frequência entre os 1000Hz e os 2000Hz, comparando os resultados com os obtidos para o modelo

bidimensional e com os resultados de Sánchez-Pérez et al [14], obtém-se a Figura 33. Verifica-se

uma concordância entre os resultados obtidos numericamente quer pelo modelo bidimensional, quer

pelo modelo tridimensional após a fixação de ambos os topos dos tubos, e destes com os resultados

experimentais de Sánchez-Pérez et al [14].

53

Figura 33 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos

experimentalmente por Sánchez-Pérez et al, a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de elementos finitos

e a verde os resultados obtidos pelo modelo tridimensional de elementos finitos.

De seguida apresenta-se uma verificação experimental deste modelo.

4.3. Ensaios Experimentais

No seguimento do estudo da atenuação da pressão sonora com modelos de elementos finitos

bidimensionais e tridimensionais, foram realizados ensaios experimentais com os seguintes

objectivos:

a) Criar um modelo (protótipo) que se aproxime do modelo numérico com 6 filas de cilindros

dispostos em malha quadrangular;

b) Confirmar os aspectos construtivos face ao modelo numérico, nomeadamente condições de

fronteira, tipos de fixação dos tubos e suspensão do protótipo;

c) Validar os resultados de atenuação da pressão sonora obtidos com modelos de elementos

finitos;

d) Validar os resultados obtidos para os campos sonoros.

Apresenta-se, de seguida, uma breve descrição do modelo construído para os ensaios experimentais.

4.3.1 O Modelo

O modelo desenvolvido consiste em 6 filas de 5 tubos cilíndricos de aço de Ø40mmx500mm e 2mm

de espessura, com duas chapas furadas ao centro, soldadas interiormente em cada topo, para a

passagem de um varão cilíndrico com pontas roscadas M10, dispostos em malha quadrangular. Para

Ate

nuaç

ão S

onor

a (d

B)

Frequência (Hz)

54

a correcta localização dos cilindros, furaram-se duas chapas metálicas 660mmx550mmx1.5mm,

estando os centros dos furos dispostos em malha quadrangular distanciados 110 mm. Os cilindros

são mantidos na posição correcta atravessando as chapas de suporte e os cilindros pelos varões

roscados, apertando-os com anilha cilíndrica e porca M10 (ver Figura 34 e Figura 35).

a) b)

Figura 34 – Cilindro de aço com chapas interiores furadas ao centro, atravessado por varão cilíndrico de pontas roscadas, a), e

modelo do protótipo com tubos apertados às chapas de suporte através de anilha e porca b).

Figura 35 – Modelo pronto para ensaios.

De seguida faz-se uma breve introdução sobre as condições no local de ensaio.

4.3.2 A Câmara de Ensaios

Os ensaios experimentais foram realizados na câmara anecóica do CAPS, situada no edifício do

Complexo Interdisciplinar do Instituto Superior Técnico. A câmara é uma estrutura paralelepipédica de

betão, de espessura aproximada 32cm, cujo interior, de dimensões aproximadas 7.0mx5.5mx5.5m,

se encontra dividido por uma rede paralela à base da câmara, a uma cota de 1.85m, permitindo a

montagem de protótipos 1m acima do isolamento (vd. Figura 36).

55

a) b)

Figura 36 – Vista geral da câmara anecóica, a), e vista inferior da câmara, abaixo da rede de suporte, b).

A câmara encontra-se isolada do edifício, quer de vibrações mecânicas (estando assente em apoios

elásticos montados num fixe independente do edifício), quer de vibrações acústicas, encontrando-se

o exterior da câmara revestido com lã de rocha (Figura 37 a)). O isolamento acústico interior é

realizado por cunhas de lã de vidro; o isolamento inferior pode ser removido, obtendo-se uma câmara

semi-anecóica, em condições semelhantes às encontradas na indústria, em que o ruído se reflecte no

pavimento (Figura 37 b)).

a) b)

Figura 37 – Apoio elástico da câmara montado num fixe independente do edifício e revestimento exterior de lã de rocha, a), e

revestimento inferior da câmara montado em carrinhos de suporte removíveis, b).

56

4.3.3 Esquema de Montagem do Equipamento

A montagem utilizada nos ensaios experimentais é a apresentada esquematicamente na Figura 38.

Amplificador 1

Microfone 2 Microfone 1

Pré-amplificador 1

Fonte sonora

Geradorde Sinais

OsciloscópioCanal 1

Canal 2

Pré-amplificador 2

Amplificador 2

Figura 38 – Esquema de montagem do equipamento utilizado nos ensaios na câmara anecóica.

Uma descrição mais detalhada do equipamento utilizado nos ensaios experimentais, os

procedimentos de calibração, leitura de resultados e a manipulação dos mesmos podem ser

consultados na referência [29].

4.3.4 Ensaio com Protótipo Suspenso

Com o objectivo de isolar o protótipo de interferências provocadas pela rede da câmara anecóica, o

memo foi suspenso ao tecto da câmara por meio de cordas e isolou-se a área inferior ao protótipo

com uma manta de lã de vidro (Figura 39).

Figura 39 – Protótipo suspenso ao tecto da câmara anecóica.

Entre o altifalante e o microfone anterior ao protótipo foi deixada uma distância de 350mm, permitindo

o desenvolvimento de pelo menos um comprimento de onda para a frequência mais baixa (a 1000Hz

obtém-se um comprimento de onda de 0.34m). Percorrendo-se a gama de frequências de 1000 Hz a

2000 Hz, com um incremento de 50Hz e sinais de 5V, obtiveram-se os resultados da Figura 40.

57

Figura 40 – Comparação dos resultados experimentais obtidos para o protótipo suspenso (a azul) com os resultados numéricos

e de Sánchez-Pérez et al (Figura 33).

Dos resultados obtidos verifica-se a existência de uma gama de frequências com atenuação

significativa dentro do intervalo de frequências esperado, mas com atenuações superiores às obtidas

numericamente.

Durante os ensaios verificaram-se oscilações do protótipo, sugerindo que o mesmo é excitado pelas

ondas sonoras. Por esta razão decidiu-se realizar a análise modal que se apresenta a seguir.

4.3.5 Análise dos Modos de Vibração do Modelo

Detectando-se uma possível excitação do protótipo aquando da sua suspensão no tecto da câmara

anecóica, construiu-se um modelo deste em elementos finitos tipo SHELL63, com o objectivo de

calcular os seus modos próprios e as respectivas frequências de vibração.

Após a análise dos resultados modais do protótipo na gama de frequências do ensaio, verifica-se

existirem vários modos de vibração das chapas de suporte dos cilindros, factor que poderá justificar

alguma má qualidade dos resultados dos ensaios experimentais (ver Figura 41 a) e b)).

Ate

nuaç

ão S

onor

a (d

B)

Frequência (Hz)

58

a) b)

Figura 41 – Modo de vibração associado às chapas de suporte a 1388Hz, a), e modo de vibração associado às chapas de

suporte a 1426Hz, b).

Com o objectivo de impedir a oscilação do protótipo, os ensaios foram repetidos apoiando-o sobre a

rede da câmara anecóica.

4.3.6 Ensaio com Protótipo Apoiado Sobre a Rede

Para eliminar as oscilações do protótipo, este foi colocado sobre uma manta de lã de vidro, sendo

suportado pela rede da câmara anecóica (vd. Figura 42). Percorreu-se a gama de frequências entre

os 1000Hz e os 2000Hz, com um incremento de 25Hz, tendo-se obtido os resultados da Figura 43.

Figura 42 – Montagem do protótipo sob a rede a câmara anecóica.

Os resultados obtidos evidenciam a existência de uma banda de frequência com atenuações

significativas entre os 1250Hz e os 1750Hz, embora estes continuem a ser de pouca qualidade. De

forma geral obtêm-se atenuações acima do esperado nos resultados obtidos pelos dois microfones,

nomeadamente uma atenuação negativa a meio do intervalo de frequências em estudo,

imediatamente seguida pelo pico de atenuação próximo dos 30dB. Este comportamento poderá ser

justificado por diferentes capacidades de resposta dos microfones a diferentes frequências;

59

verificaram-se também algumas perdas de qualidade das leituras das medições associadas a perdas

e atrasos de sinal devidas aos cabos de ligação dos pré-amplificadores aos amplificadores.

Figura 43 – Resultados da atenuação sonora obtidos para protótipo apoiado na rede da câmara anecóica; a vermelho os

resultados obtidos com dois microfones e a verde os resultados obtidos com sonómetro.

Na gama de frequências dos ensaios não são previsíveis reflexões da onda sonora na manta de lã de

vidro, embora esse fenómeno possa ocorrer a mais baixas frequências. Também não foram

identificados problemas relacionados com a rede da câmara anecóica; já o mesmo não se poderá

dizer das paredes metálicas de fixação dos cilindros, onde existirão significativas reflexões de onda

sonora, alterando os valores esperados de atenuação.

Não tendo estes testes sido totalmente controlados, nem totalmente rigorosos, cujos objectivos foram

apenas a detecção da existência de uma gama de frequências atenuadas, os resultados obtidos

serão investigados em futuros ensaios.

4.3.7 Campo Sonoro

As caracterizações dos campos sonoros foram realizadas recorrendo a uma grelha de 20 pontos de

medição quer a jusante, quer a montante do modelo, de acordo com a Figura 44, com o objectivo de

se verificarem os resultados obtidos no capítulo 4.2.

As medições foram realizadas quer para o modelo com os cilindros apertados em ambos os topos,

quer para cilindros apertados apenas num dos topos, à frequência da 1625 Hz (vd. Figura 45). A

selecção desta frequência deveu-se ao facto de ser o valor para o qual se encontraram maiores

atenuações nos ensaios, diminuindo os erros relativos de leitura.

Ate

nuaç

ão S

onor

a (d

B)

Frequência (Hz)

60

4321

1

3

2

4

5

550φ4055 110

500

72,5 145

100

Figura 44 – Localização dos pontos de medição da pressão sonora para a caracterização de campos.

a) b)

Figura 45 – Protótipo montado para medição dos campos sonoros: cilindros apertados em ambos os topos, a), e cilindros

apertados apenas num topo, b).

1 2 3 4 1 2 3 4 5 9.5 20.0 20.5 10.5 5 8.5 16.5 15.5 9.5 4 19.0 21.0 19.5 16.5 4 14.0 24.0 24.5 14.5 3 12.0 13.0 13.0 12.5 3 13.0 19.5 16.0 14.0 2 11.0 18.5 19.5 14.5 2 9.0 14.0 11.0 11.0 1 7.0 9.0 13.0 5.5 1 10.0 16.0 9.0 9.0

a) b)

Tabela 1 – Resultados da atenuação sonora obtidos para modelo com cilindros apertados em ambos os topos, a), e apertados

apenas num dos topos, b), em dB.

Os resultados dos ensaios encontram-se na Tabela 1 a) e b). Seria de esperar que, para o caso do

modelo com os cilindros apertados em ambos os topos, a atenuação fosse constante para todos os

pontos. Tal facto não se verificou devido, a priori, a alguns erros construtivos do protótipo, assim

como a algumas dificuldades com o equipamento experimental, anteriormente mencionado. Perante

estes resultados foram sugeridas algumas modificações ao protótipo que se apresentam a seguir.

61

4.3. Modificações aos Ensaios Experimentais

Os resultados dos itens anteriores evidenciam problemas de ruído associados à excitação de modos

de vibração das chapas metálica na gama de frequências ensaiadas. O objectivo da colocação das

chapas metálicas foi o de fixar correctamente os cilindros no espaço e aumentar a rigidez dos

mesmos, contudo, verifica-se que as mesmas podem ser uma fonte de ruído nas frequências do

ensaio.

Perante estes resultados foram feitas duas mudanças ao modelo de ensaios (vd. Figura 46):

a) Substituição das chapas metálicas por chapas de aglomerado de madeira;

b) Isolamento dos topos dos tubos com folha de cortiça.

As modificações feitas ao modelo têm os seguintes objectivos:

a) Manter uma rigidez dos tubos semelhante à obtida com as chapas de aço;

b) Atenuar a reverberação associada aos modos de vibração das chapas de aço;

c) Isolar os topos dos tubos.

Figura 46 – Protótipo de ensaios laboratoriais, após as modificações propostas.

Não foi possível até à data da escrita final deste documento realizar a repetição dos ensaios

anteriormente realizados. Estes estão previstos para breve recorrendo a um equipamento digital para

processamento leitura e processamento de dados, sendo a captação das ondas sonoras realizada

por dois microfones.

62

5. Caracterização Acústica de Silenciadores

Neste Capítulo é estudada a propagação de ondas sonoras através de silenciadores de uma câmara

de expansão, assim como a resposta dada pelo modelo de elementos finitos relativamente a algumas

alterações geométricas feitas ao modelo inicial.

O sucesso do método de elementos finitos na caracterização dos filtros periódicos anteriormente

apresentada incentivou a sua aplicação ao estudo de silenciadores. É o resultado desse estudo que

se apresenta de seguida.

Recorrendo ao desenvolvimento teórico para a atenuação obtida com um silenciador de uma câmara

de expansão (capítulo 2.3.3), verifica-se que os principais parâmetros que influenciam a atenuação

são as seguintes:

a) A relação de diâmetros dos tubos e da câmara de expansão, m ;

b) O comprimento da câmara de expansão, el ;

c) A gama de frequências em estudo, f ;

d) A velocidade de propagação do som no meio, c .

Embora as duas últimas variáveis não sejam de projecto, estas deverão ser identificadas a priori para

se evitarem más utilizações de silenciadores correctamente projectados para outros domínios de

frequência.

5.1. Resultados Teóricos

Para uma análise simplificada da influência dos vários factores do resultado da atenuação, apresenta-

se neste capítulo o efeito das quatro variáveis anteriormente identificadas, simplificando o modelo de

silenciador a uma única câmara de expansão, Ø70mmx85mm, ficando com uma distância entre os

topos do tubo de entrada e do tubo de saída (ambos Ø9mm) de 152mm (vd. Figura 47).

63

Figura 47 – Representação em corte do modelo de silenciador estudado.

Mantendo a relação de áreas de 970

=m , para uma velocidade do som de 344m/s e para uma

câmara de comprimento total igual a 85mm, a atenuação obtida em função da frequência de entrada

é a da Figura 48. Pelos resultados obtidos, baseados na equação (75), observa-se, tal como referido

no início deste capítulo, que um silenciador projectado para determinada gama de frequências (por

exemplo, em torno dos 1000Hz) pode ter um comportamento absolutamente ineficaz, numa

frequência de mesma grandeza (no caso 2000Hz).

Figura 48 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo anecóico a jusante

(resultados válidos até aos 2878Hz).

Aos 2034Hz, frequência à qual o comprimento de onda é igual a duas vezes o comprimento da

câmara, a atenuação sonora é mínima. Pelo contrário, aos 1012Hz, verifica-se uma atenuação

máxima, frequência à qual o comprimento de onda é igual a 4 vezes o comprimento da câmara.

64

Mantendo-se, agora, todas as variáveis à excepção do comprimento do silenciador, verifica-se que

este parâmetro permite máximas atenuações quando é da ordem de grandeza de um quarto do

comprimento de onda (ou somado de múltiplos de meio comprimento de onda) e nulo para múltiplos

de meio comprimento de onda (vd. Figura 49), à semelhança do que se tinha observado no parágrafo

anterior.

Figura 49 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo anecóico a jusante

(resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm).

Por último, relacionando a atenuação sonora com a relação das secções da câmara com o tubo,

verifica-se que existe uma clara tendência de aumento de atenuação com o aumento da relação de

áreas (vd. Figura 50).

Figura 50 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo anecóico a jusante

(resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm).

65

5.2. Resultados Numéricos

De estudos anteriormente desenvolvidos em silenciadores de compressores, sabe-se que os

silenciadores de uma câmara apenas respondem bem em baixas frequências (às quais estão

associados os modos estruturais de vibração do compressor) mas, nas mais elevadas (excitando-se

os modos de vibração da carcaça do compressor) essa performance perde-se. Por razões

geométricas, o protótipo da empresa onde foi feito o estudo apenas pode ser verificado com

resultados analíticos até aos 2878 Hz, frequência à qual a onda acústica deixa de ser considerada

plana. Criaram-se, assim, modelos numéricos baseados no referido silenciador, com algumas

simplificações: ausência de escoamento, estudo apenas de volumes de ar sem introdução do

acoplamento fluido-estrutura, introdução de onda plana e absorção total de onda no tubo de saída.

Para estes primeiros cálculos, considerou-se uma gama de frequência entre os 500Hz e os 2500Hz

procurando-se, assim, analisar a influência dos diversos parâmetros geométricos nas mais baixas

frequências. Este procedimento justifica-se porque ao aumentar-se a frequência, diminui-se o

comprimento de onda, implicando um aumento do número total de elementos finitos do modelo, para

garantir o mesmo número de elementos por comprimento de onda, aumentando de forma significativa

o tempo de resolução dos problemas.

5.2.1 Modelo de Elementos Finitos

A geometria do silenciador base para o qual foram desenvolvidos os modelos numéricos é a da

Figura 51. Trata-se de um silenciador de geometria cilíndrica, com tubos de entrada e saída ambos

de 40mm de diâmetro, com câmara de expansão de 180mm de diâmetro e 240mm de comprimento.

O tubo de entrada e o tubo de saída (ambos de 240mm de comprimento) termina e inicia-se,

respectivamente, na câmara de expansão.

Os graus de liberdade associados às translações dos nós do volume de ar foram igualados a zero.

Sendo a velocidade de propagação do som no fluido muito superior à velocidade do próprio fluido,

considerou-se velocidade nula para o mesmo, ou seja, as partículas apenas oscilam em torno da sua

posição de repouso. Como carregamento impôs-se uma onda plana de 1Pa (aproximadamente 94dB)

no topo esquerdo do tubo de entrada do silenciador e topo anecóico na extremidade oposta do tubo

de saída.

Não foi considerado o acoplamento do ar à estrutura do silenciador. Em função dos materiais,

espessura da estrutura e reforços exteriores, variáveis que condicionam os modos de vibração

estruturais do silenciador, deverão ser calculados a posteriori os modos e respectivas frequências de

vibração, devendo-se, ainda, verificar se as mesmas se encontram na gama de frequências de

funcionamento. Nesse caso deverão ser estudados os modelos com o respectivo acoplamento.

As malhas de elementos finitos construídas basearam-se em elementos finitos hexaédricos do tipo da

Figura 6, evitando excessivas distorções dos elementos e consequentes erros numéricos.

Sendo os modelos sujeitos a uma ampla gama de frequências, foi feito um estudo de convergência

de resultados com vista à diminuição do número de elementos por comprimento de onda, melhorando

66

a rapidez da resolução do problema, embora comprometendo alguma qualidade dos resultados. O

estudo baseou-se no cálculo dos modos de vibração do volume de ar contido no silenciador, na gama

1000Hz a 2000Hz.

a) b)

Figura 51 – Malha de silenciador modelado em ambiente ANSYS, a), e pormenor do total controlo de malha, b).

Na Tabela 2 apresentam-se os valores obtidos para as frequências associadas aos vários modos

próprios de vibração do volume de ar contido dentro do silenciador (cuja representação gráfica se

encontra na Figura 52).

Elementos por Comprimento de Onda Modo 12 24 36 48 60

1º 1031 1023 1017 1017 1015 2º 1177 1175 1126 1126 1117 3º 1177 1175 1126 1126 1117 4º 1350 1337 1330 1329 1325 5º 1378 1375 1333 1332 1325 6º 1378 1375 1333 1332 1327 7º 1460 1446 1442 1441 1441 8º 1725 1701 1688 1686 1683 9º 1857 1845 1813 1812 1806 10º - - 1882 1882 1857 11º - - 1882 1882 1857 12º - - 1997 1994 1988 13º - - - - 1990

Tabela 2 – Frequências dos modos de vibração do volume de ar do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz.

Os modelos com menos elementos por comprimento de onda não têm sensibilidade suficiente para

detectar determinados modos de vibração associados às frequências mais elevadas. Este resultado

deve-se ao facto de modelos com menos elementos por comprimento de onda serem mais rígidos,

não dando ao modelo a possibilidade de vibrar em determinados modos.

Na Figura 53 apresentam-se os 2º e 12º modos de vibração do volume de ar contido dentro do

silenciador. O segundo modo é detectado por todos os modelos, já o 12º modo apenas é detectado

pelo modelo com 60 elementos por comprimento de onda.

67

Figura 52 – Frequências dos modos de vibração do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz em função do número de

elementos por comprimento de onda e erro relativo entre os modelos de 24 e 36 elementos por comprimento de onda.

a) b)

Figura 53 – Pressão sonora (Pa) obtida para o volume de ar contido dentro do silenciador para o 2º modo, a), e 12º modo, b).

O erro relativo das frequências naturais do volume de ar calculadas com modelos de 24 elementos

por comprimento de onda apresenta um valor máximo, em relação aos valores obtidos com modelos

de 36 elementos, inferior a 5%. Este resultado permite encontrar um compromisso entre qualidade

dos resultados e rapidez na resolução dos problemas, que consiste em resolver os modelos para

contendo 24 elementos por comprimento de onda.

5.2.2 Silenciador com uma Câmara de Expansão

O modelo de câmara simples foi construído para comparação com os modelos modificados. A

atenuação sonora (vd. Figura 54) foi obtida calculando a diferença dos máximos de pressão sonora

(em dB) obtidos no tubo de entrada e no tubo de saída do silenciador (vd. Figura 55), recorrendo à

expressão (32).

Esta grandeza foi seleccionada por ser um output directo do programa de elementos finitos e, ao

mesmo tempo, por ser um parâmetro facilmente obtido em ensaios experimentais.

12 elementos

24 elementos

36 elementoserro

68

Os resultados obtidos demonstram um comportamento cíclico, qualitativamente semelhante ao

esperado pelos resultados analíticos (vd. Figura 48).

Figura 54 – Atenuação sonora para silenciador de uma câmara de expansão simples.

a) b)

Figura 55 – Representação em corte do silenciador de uma câmara de expansão, a), e distribuição da pressão sonora (dB) a

2230Hz para modelo de elementos finitos, b).

Tendo a câmara de expansão um comprimento de 240mm, os comprimentos de onda associados às

mínimas atenuações serão aqueles para os quais nela se desenvolvem múltiplos inteiros de meia

onda (Tabela 3).

Comprimento de onda (mm) Frequência (Hz) 0.5λ=240<=>λ=480 708 1.0λ=240<=>λ=240 1417 1.5λ=240<=>λ=160 2125

Tabela 3 – Frequências para as quais se verificam mínimas atenuações no silenciador de uma câmara de expansão simples.

De igual modo, as frequências para as quais se verificam máximas atenuações são aquelas para as

quais na câmara se desenvolve ¼ do comprimento de onda, somado a múltiplos inteiros de meio

comprimento de onda.

69

Comprimento de onda (mm) Frequência (Hz) 0.25λ=240<=>λ=960 354 0.75λ=240<=>λ=320 1063 1.25λ=240<=>λ=192 1771

Tabela 4 – Frequências para as quais se verificam máximas atenuações no silenciador de uma câmara de expansão simples.

5.2.3 Dois Silenciadores de Câmara Simples em Série

Para verificar o desempenho de dois silenciadores montados em série, desenvolveu-se um modelo

de elementos finitos montando o exemplo do capítulo 5.2.2 duas vezes em série (vd. Figura 56). Os

resultados traduzem um comportamento semelhante ao modelo original, verificando-se um aumento

de 10dB em torno dos picos de atenuação (vd. Figura 57).

a) b)

Figura 56 – Representação em corte dos dois silenciadores de uma câmara de expansão montados em série, a), e distribuição

da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).

Figura 57 – Atenuação sonora para dois silenciadores de uma câmara de expansão simples montados em série.

5.2.4 Silenciador com Tubos Estendidos

Com o objectivo de se estudar o efeito da extensão dos tubos de entrada e saída do silenciador para

dentro da câmara de expansão, aumentou-se o comprimento destes em 60mm, partindo do modelo

do capítulo 5.2.2 (vd. Figura 58).

70

a) b)

Figura 58 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão com tubos interiores estendidos, a), e

distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).

Figura 59 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com tubos internos estendidos.

Os resultados obtidos têm um comportamento semelhante aos obtidos no modelo original, à

excepção do pico de atenuação em torno dos 1063Hz, onde se verifica um aumento brusco e logo

uma perda acentuada de atenuação (vd. Figura 59).

5.2.5 Silenciador com uma Divisão Interna

Ao modelo do capítulo 5.2.2 introduziu-se uma divisão interna (câmara dupla) para verificar a

performance do silenciador (vd. Figura 60). Os resultados evidenciam o aumento da largura de banda

de frequências atenuadas aumentando, igualmente, as atenuações inicialmente obtidas (vd. Figura

61).

71

a) b)

Figura 60 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e uma divisão interna, a), e distribuição da

pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).

Figura 61 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com uma divisão interna.

Observa-se ainda na figura anterior uma descontinuidade antes da frequência limite teórica de onda

plana; esta descontinuidade poderá estar associada a uma sobreposição de resultados obtidos a

maiores frequências ocorrido no ficheiro de saída de dados programado pelo autor. Esta explicação

baseia-se no facto de se verificar que a segunda gama de frequências atenuadas é significativamente

menos larga que a primeira e por se verificar que a transição se dá num ponto singular de frequência.

Este resultado será analisado em futuros trabalhos.

5.2.6 Silenciador com duas Divisões Internas

Os resultados do capítulo anterior evidenciaram um claro incremento da performance do silenciador

do capítulo 5.2.2 quando se introduz a divisão interna. Com o objectivo de verificar o aumento desse

desempenho, incrementou-se o número de divisões para duas (câmara tripla, vd. Figura 62).

Tal como no capítulo 5.2.5, verifica-se um novo aumento da banda de frequências atenuadas,

acompanhado de um aumento de atenuação sonora (vd. Figura 63).

72

a) b)

Figura 62 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e duas divisões internas, a), e distribuição da

pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).

Figura 63 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com duas divisões internas.

Na Figura 64 apresentam-se os resultados da atenuação sonora obtidos nos cinco modelos de

silenciador, destacando-se os modelos com divisões internas.

Figura 64 – Comparação dos resultados da atenuação obtida nos vários modelos de silenciadores.

Analisando-se a figura anterior conclui-se que não há interesse significativo em considerar dois

silenciadores montados em série, nem em estender os tubos de entrada e saída para o interior da

73

câmara de expansão. Verifica-se, contudo, que a inclusão de divisões internas no silenciador

aumenta a banda de frequências atenuadas, assim como os respectivos valores de atenuação.

As atenuações em 80dB são suficientes para a generalidade das aplicações. Tal como se fez para o

filtro periódico, o passo seguinte é realizar ensaios experimentais para aferir estes resultados de

modelos numéricos. No entanto, tal já não foi possível nem estava previsto no plano inicial de

trabalhos.

As aproximações tomadas ao longo dos modelos desenvolvidos deverão ser tidas em conta na

interpretação dos resultados. Ao introduzir-se movimento do fluido, as descontinuidades de áreas

darão origem a ruído que provocará uma diminuição da performance dos silenciadores estudados.

Por último faz-se referência ao facto de existir já alguma distorção dos elementos dos modelos (vd.

Figura 51b)), recomendando-se que os mesmos sejam modificados para geometrias tetraédricas

(elementos de 4 nós) e os resultados comparados.

74

6. Conclusões e Futuros Desenvolvimentos

Neste trabalho o foco esteve no desenvolvimento e teste de metodologias e as respectivas aplicações

informáticas para caracterizar a propagação de ondas sonoras através de elementos periodicamente

espaçados, bem como através de silenciadores de câmara de expansão, recorrendo ao método dos

elementos finitos.

Podemos observar nas referências já citadas que existem diversos modelos teóricos na teoria dos

filtros acústicos, mas em geral o seu desenvolvimento só é possível para determinadas geometrias e

com a hipótese de propagação de ondas planas. Para permitir responder às actuais tendências de

projecto com as mais complexas geometrias e continuar a ser capaz de prever a resposta, mesmo

em regiões onde a onda deixa de ser plana, a tendência natural é procurar os métodos numéricos,

em particular o método dos elementos finitos.

Ao ganho em generalidade, vêm associados alguns problemas típicos da precisão da aproximação

dos elementos finitos, como saber qual a necessária discretização do fluido e da estrutura e qual a

correcta escolha das condições de fronteira.

Para o caso dos elementos periodicamente espaçados, verificaram-se com sucesso a concordância

entre os valores de soluções analíticas obtidas por técnicas de ondas de Bloch, com os obtidos por

elementos finitos através de modelos bidimensionais e tridimensionais e ainda com valores

experimentais obtidos na literatura e em ensaios com um protótipo construído para a verificação. Com

o trabalho experimental aprendeu-se como é essencial associar a parte de análise numérica com a

experimental. Por exemplo, foi através da análise numérica que se preparou a parte experimental,

tendo dessa forma detectado alguns cuidados que seriam necessários tomar relativamente ao

protótipo. Já durante a experiência, observou-se que os desvios entre os resultados dos elementos

finitos relativamente aos experimentais devem ser considerados com base nas simplificações

assumidas, como por exemplo a atenuação sonora ao longo da distância.

No caso dos silenciadores, aplicou-se a ferramenta computacional que fora testada nos elementos

periodicamente espaçados, verificando com sucesso os valores obtidos por elementos finitos através

de modelos tridimensionais com as respectivas soluções analíticas.

As aplicações computacionais utilizadas para os modelos de fluido acústico e os de interacção fluido-

estrutura assumem as aproximações adoptadas por Kinsler et al. [20] de fluido compressível,

invíscido, sem escoamento médio e com densidade e pressão média uniformes no fluido. Tal é

importante para a compreensão das respostas dos modelos.

Apresentaram-se vários exemplos de aplicação da metodologia para verificação entre os valores

analíticos, numéricos e experimentais. No caso dos elementos periodicamente espaçados foi

construído um protótipo com seis filas de cinco cilindros cada e que permitiu os primeiros ensaios

experimentais de verificação dos valores analíticos e numéricos.

75

As principais conclusões deste trabalho são:

1) O número de elementos finitos por comprimento de onda comummente utilizado em

engenharia (12 elementos) mostrou ser insuficiente para as análises de elementos finitos

realizadas com os problemas de acústica;

2) A introdução de inclusões cilíndricas periodicamente espaçadas na direcção de propagação

de onda sonora provoca significativas atenuações sonoras, tanto maiores quanto maior o

número de inclusões e maior a fracção volúmica ocupada pelas inclusões. Verifica-se que a

disposição quadrangular provoca maiores atenuações que a triangular;

3) Concluiu-se que o modelo de elementos finitos a duas dimensões reproduz muito

satisfatoriamente os resultados publicados na bibliografia;

4) Concluiu-se que as inclusões periódicas nos modelos tridimensionais, quando não possuem

rigidez suficiente, tornam irregular o campo sonoro, podendo, inclusive, tornarem-se em

fontes de ruído. Quando lhes é aumentada a rigidez, verifica-se que os resultados obtidos

considerando, ou não, o acoplamento são muito semelhantes;

5) Conclui-se que o modelo tridimensional de elementos finitos reproduz os resultados obtidos a

duas dimensões, desde que as inclusões apresentem suficiente rigidez;

6) Laboratorialmente conclui-se que os resultados obtidos com o protótipo apresentam

concordância com os resultados obtidos numericamente, contudo, algumas modificações ao

nível construtivo foram realizadas para futuros ensaios.

7) O trabalho permite evidenciar a existência de significativa atenuação (associada a uma banda

de frequências atenuadas entre os 1250Hz e os 1750Hz) para uma disposição quadrangular

das inclusões cilíndricas e para uma fracção volúmica de ocupação dos cilindros de 0.104.

8) Do estudo dos silenciadores de uma câmara de expansão, concluiu-se que a inclusão de

divisões internas permite simultaneamente aumentar a gama de frequências atenuadas e

respectivos valores de atenuação, para modelos sem escoamento de fluido.

Como futuros desenvolvimentos temos:

i. Repetir os ensaios experimentais do modelo de filtro periódico;

ii. Aprofundar os estudos numéricos sobre os silenciadores, nomeadamente, aumentar o

número de elementos por comprimento de onda, geometrias não cilíndricas, diferentes

distribuições das divisões e estudar gamas de frequências mais elevadas;

iii. Realizar ensaios experimentais com um modelo de silenciadores;

iv. Repetir os modelos numéricos introduzindo escoamento médio, dissipação viscosa no fluido

e interacção fluido-estrutura.

76

7. Referências Bibliográficas

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[10] O. Sigmund and J. S. Jensen, “Topology optimization of elastic band gap structures and waveguides”, Proceedings of the Fifth World Congress on Computational Mechanics, Vienna, Austria, 2002.

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[13] M. P. Bendsøe and O. Sigmund, “Topology Optimization – Theory, Methods and Applications”, Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2003.

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[15] I. L. Vér, L. L. Beranek, “Noise and Vibration Control Engineering”, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, USA, 2006.

[16] M. L. Munjal, “Acoustics of Ducts and Mufflers”, John Willey & Sons, New York, USA, 1987.

[17] D. J. Mead, “Passive Vibration Control”, John Wiley & Sons, 1998.

[18] S. N. Y. Gerges, R. Jordan, F. A. Thieme, J. L. Bento Coelho, J. P. Arenas, “Muffler Modelling by Transfer Matrix Method and Experimental Verification”, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering”, 27, 2005.

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[20] L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens, J. V. Sanders, “Fundamentals of Acoustics”, John Willey & Sons, Inc, USA, 2000.

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77

[22] A. de Oliveira, “Adição de Amortecimento Estrutural Usando Materiais Viscoelásticos”, Univerdidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2006.

[23] R. P. Carvalho, “Acústica Arquitectônica”, Thesaurus Editora, Brasília, Brazil, 2006.

[24] J. M. e Silva, N. Maia, “Vibrações e Ruído”, AEIST – Associação dos Estudantes do Instituto Superior Técnico, Lisboa, Portugal, 2001.

[25] A. J. Cartaxo, M. M. Neves, “Análise da Propagação de Ondas em Estruturas Periódicas Finitas e Validação de Resultados Obtidos com Técnicas de Ondas de Bloch”, Relatório 001/2006, IDMEC, Lisbon, Portugal, 2006.

[26] C. Rubio, D. Caballero, J. V. Sánchez-Pérez, R. Martínez-Sala, J. Sánchez-Pérez, F. Meseguer, F. Cervera, “The Existence of Full Gaps and Deaf Bands in Two-Dimensional Sonic Crystals”, Journal of Lightwave Technology, 17, 1999.

[27] A. Cartaxo, J. Almeida, O. Silva, M. Neves, J. Bento Coelho, “Numerical Study of Finite Periodic Structures and Validation of Results Obtained with Bloch Wave Techniques”, International Conference on Engineering Dynamics, Carvoeiro, Portugal, 2007.

[28] ANSYS, Inc. Theory Reference, “Release 10.0 Documentation for ANSYS”, United States of America, 2005.

[29] A. Cartaxo, M. M. Neves, “Validation of Band Gap Results Obtained with a 3D Numerical Model”, Departamento de Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Lisbon, 2006.

78

8. Anexos

8.1. Distribuição da Pressão Teórica num Tubo de Topo Totalmente Reflectivo

Recorrendo à equação (36) obtém-se para a pressão:

( ) ( ) ( ) BABABeAep jkjk −=⇔+=⇔+= − 110 00 . (85)

Substituindo o resultado de (45) em (39) calcula-se o valor de B:

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )22

12121121

111

0

0

kltanjBBkltanjB

klsinklcosj

klsinklcosj

BBBBB

klsinklcosj

BABA

YklsinklcosjY

−=⇔−=⇔−=−

⇔

⇔−=−

⇔−−+−

=−⇔−+

=−

; (86)

e, substituindo o resultado de (86) em (85) calcula-se o valor de A:

( )22

1 kltanjA += . (87)

Uma vez obtidas as constantes A e B , pode então recorrer-se à equação (36) para obter o perfil de

pressão sonora ao longo do tubo:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )kzsinkltankzcosp

klsinjklcoskltanjklsinjklcoskltanjp

ekltanjekltanjp jkzjkz

+=⇔

⇔+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇔

⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += −

221

221

221

221

. (88)

8.2. Distribuição da Pressão Teórica num Tubo de Topo Anecóico

Neste subcapítulo estuda-se um modelo semelhante ao do capítulo 8.1, cuja diferença reside no facto

de neste caso o topo oposto ao da emissão absorver todas as ondas incidentes, ou seja, 0=R .

De (85) obteve-se

AB −= 1 , (89)

e, de (47),

( ) 101100 =⇔=−⇔−

=⇔= AAA

AABR , (90)

implicando que 0=B .

79

A pressão sonora é, então, dada pela expressão:

( ) )kzsin(j)kzcos(ezp jkz −== − , (91)

contudo, sendo uma grandeza real,

( ) [ ] ( ) )kzcos(zp)kzsin(j)kzcos(Rezp =⇔−= . (92)