IMPLEMENTAÇÃO DE UM MÉTODO DE VOLUMES FINITOS …objdig.ufrj.br/60/teses/coppe_d/EduardoMoreiraLemos.pdf · implementaÇÃo de um mÉtodo de volumes finitos de ordem superior com

IMPLEMENTAO DE UM MTODO DE VOLUMES FINITOS DE ORDEM

SUPERIOR COM TRATAMENTO MULTIBLOCO APLICADO SIMULAO DE

ESCOAMENTO DE FLUIDOS VISCOELSTICOS

Eduardo Moreira de Lemos

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Ps-graduao em Engenharia Qumica, COPPE,

da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessrios obteno do

ttulo de Doutor em Engenharia Qumica.

Orientadores: Evaristo Chalbaud Biscaia Junior

Argimiro Resende Secchi

Rio de Janeiro

Junho de 2011





TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE PS-GRADUAO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM

CINCIAS EM ENGENHARIA QUMICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Evaristo Chalbaud Biscaia Junior, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Argimiro Resende Secchi, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Pramo Albuquerque Melo Junior, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Nisio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Luiz Fernando Lopes Rodrigues Silva, D.Sc.

________________________________________________ Prof.a Mnica Feij Naccache, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2011

iii

Lemos, Eduardo Moreira de

Implementao de um Mtodo de Volumes Finitos de

Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado

Simulao de Escoamento de Fluidos Viscoelsticos/

Eduardo Moreira de Lemos. Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2011.

XXII, 267 p.: il.; 29,7 cm.



Tese (doutorado) UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Qumica, 2011.

Referencias Bibliogrficas: p. 259-267.

1. Fluidodinmica Computacional. 2. Mtodo de

Volumes Finitos. 3. Mtodos de Alta Ordem. 4.

Tratamento Multibloco. 5. Fluidos Viscoelsticos. I.

Biscaia Junior, Evaristo Chalbaud et al. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de

Engenharia Qumica. III. Ttulo.

iv

"Um homem precisa viajar. Por sua conta, no por

meio de histrias, imagens, livros ou TV. Precisa

viajar por si, com seus olhos e ps, para entender o

que seu. Para um dia plantar as suas rvores e dar-

lhes valor. Conhecer o frio para desfrutar o calor. E

o oposto. Sentir a distncia e o desabrigo para estar

bem sob o prprio teto. Um homem precisa viajar

para lugares que no conhece para quebrar essa

arrogncia que nos faz ver o mundo como o

imaginamos, e no simplesmente como ou pode

ser; que nos faz professores e doutores do que no

vimos, quando deveramos ser alunos, e

simplesmente ir ver.

Amyr Klink

v

Dedico este trabalho a todos que me

ajudaram e me apoiaram nos momentos

mais difceis. Sem vocs, concluir este

trabalho jamais seria possvel.

Tudo tem o seu tempo determinado e h tempo para todo propsito debaixo do cu: h

tempo de nascer e tempo de morrer; tempo de chorar e tempo de rir; tempo de abraar e

tempo de afastar-se; tempo de amar e tempo de aborrecer; tempo de guerra e tempo de

paz. Que proveito tem o trabalhador naquilo em que trabalha? Tenho visto o trabalho

que Deus deu aos filhos dos homens, para com ele os exercitar. Tudo fez formoso em

seu tempo; tambm ps o mundo no corao do homem, sem que este possa descobrir a

obra que Deus fez desde o princpio at ao fim.

Eclesiastes 3, 1-11

A meus pais Noberto e Diomarina:

Tudo o que sou devo ao amor incondicional de

vocs.

Obrigado por tudo!

vi

AGRADECIMENTOS

Aps longos anos de trabalho, em que por vrias vezes imaginei que este dia

nunca chegaria, enfim a tese est finalizada. Foram momentos muito difceis e tambm

muito felizes. O amadurecimento, o conhecimento, o crescimento e a superao neste

perodo foram enormes. E nada mais justo do que agradecer aqueles que tornaram este

sonho possvel. Minha eterna gratido a todos vocs, meus grandes amigos e minhas

mais sinceras desculpas aqueles que porventura eu esqueci.

Primeiramente agradeo a Deus Pai todo poderoso pela imensa graa de terminar

este trabalho. Neste momento onde me faltam palavras, cito a regra de So Bento que

diz: Pela graa de Deus sou o que sou e tambm Santa Tereza de vila Nada te

perturbe. Nada te espante. Tudo passa. S Deus no muda. A pacincia tudo alcana.

Quem tem a Deus nada lhe falta. S Deus basta. Obrigado meu Deus por todas as

graas realizadas em minha vida!

Agradeo aos meus pais, Noberto e Diomarina, meus maiores exemplos de vida,

que mesmo com as poucas oportunidades que tiveram na vida sempre buscaram me

proporcionar o melhor que podiam, muitas vezes abrindo mo de seus sonhos para

investir nos meus. Graas a vocs aprendi que amor, educao, dedicao, apoio e

amizade so capazes de levar uma pessoa a qualquer lugar. Aprendi que famlia a base

de tudo e que o amor capaz de tornar qualquer sonho real. Obrigado meu pai e minha

me pelo exemplo que so para minha vida e por tudo que conquistei graas ao amor

incondicional de vocs. Amo muito vocs! Agradeo a toda a minha famlia, em

especial a minhas tias: Guiomar e Osmarina, meus primos: Paulinho e Rogrio, minha

comadre Maira e meus afilhados que sempre estiveram junto a mim em todos os

momentos com seu apoio, carinho e oraes.

minha namorada Cristiane por todo amor, apoio, amizade, companheirismo e

compreenso. Foram muitos feriados e fins de semana separados e muitas

comemoraes onde no pude estar presente enquanto trabalhava na tese. Muito

obrigado, amor meu, por toda amizade e apoio nos momentos de dificuldade e por me

ajudar a construir este sonho.

Aos meus orientadores Evaristo e Argimiro, pela oportunidade de realizar este

trabalho. Obrigado por todo conhecimento compartilhado, por todas as opinies,

vii

sugestes, crticas e conselhos que tanto contriburam para o meu crescimento

profissional e pessoal. Muito obrigado pela orientao e amizade ao longo dessa tese e

acima de tudo por acreditar no meu trabalho.

Aos amigos do LMSCP, o eterno lar dos trogloditas, local onde o

conhecimento e a amizade caminham lado a lado. Dividimos por longos anos nossos

sonhos e pesadelos, nossas vitrias e fracassos, nosso conhecimento e ignorncia. Meu

agradecimento a Fabiano, Helosa, Castoldi, Schwaab, Diego, Andr, Joo, Fabrcio,

Kese, Pedro, Cau, caro, Willian e Isaas. Agradeo em especial a Rogrio Pagano e a

Eduardo Lima. Cursamos praticamente as mesmas disciplinas, fizemos muitas listas e

trabalhos juntos. O compartilhamento de conhecimento e informaes ajudou em meu

crescimento.

Estes anos de PEQ me proporcionaram o privilgio de conhecer pessoas

fantsticas, grande amigos e excelentes profissionais, gente de bom corao, sempre

dispostas a ajudar e compartilhar o conhecimento, pessoas as quais agradeo muito pois

sem sua ajuda, incentivo e apoio jamais teria concludo este trabalho. Rogrio Pagano,

uma pessoa simples, de pacincia e conhecimento fantsticos, que me socorreu vrias e

vrias vezes nos momentos de dificuldades. Joo Batista (Dr. Chuchuzinho), um

irmo de todas as horas e momentos, devo muito a voc meu amigo. Andr (Ded), o

cara cujo corao to grande quanto sua inteligncia. Kese, minha irmzinha do

corao, mineirinha fantstica. Fabrcio (Miss simpatia), sempre franco, verdadeiro e

amigo. Cau (o rei do improviso), outra pessoa de corao fantstico, sempre disposto

a ajudar. Jos da Paixo, cultura e diverso garantida. Pedro (Vampetinha),

diretamente da Bahia o maior botafoguense que j conheci, um grande amigo de todas

as horas, partilhamos muitas vitrias e fracasso ao longo desta convivncia (tanto de

time como de tese). Todos vocs tiveram uma importncia fundamental na minha

formao profissional e pessoal. Todas as vezes que olhar para o meu diploma

lembrarei-me de vocs, amigos, pois foram co-responsveis por ele. Todos vocs so

profissionais fantsticos, dotados de extrema inteligncia e capacidade. Foi um grande

privilgio trabalhar com vocs, obrigado, muito obrigado por tudo! Quem dera

pudssemos trabalhar todos juntos...

Aos meus amigos de longa data, alguns antes de eu sonhar em ser engenheiro,

que sempre estiveram presentes com seu apoio e amizade. Henrique, Luciana, Paulo,

viii

Bruno e Thiago. Meus compadres Leonardo e Renata, muito obrigado pelos conselhos e

apoio nos momentos difceis.

Agradeo ao Jovani e a Thais do LTFD.

Aos professores do PEQ e de outros departamentos com quem cursei disciplinas,

por todo conhecimento adquirido, e ao pessoal da secretaria, em especial a Paulinha e

ao Arthur.

Meu muito obrigado aos meus professores da PUC-RIO, Eduardo Brocchi,

Francisco Moura, Roberto de Carvalho e Jos D'Abreu. Agradeo em especial a

professora Maria Isabel por toda ajuda, conselhos e apoio a minha vinda para o PEQ.

Obrigado aos membros da banca, por todas as correes e sugestes.

Ao CNPq pelo suporte financeiro.

Sem vocs, concluir este trabalho jamais seria possvel, pois um sonho que se

sonha s, s um sonho que se sonha s, mas sonho que se sonha junto realidade.

Graas a vocs este sonho se tornou realidade.

Meu muitssimo obrigado a todos vocs, que tornaram tudo isso possvel e, mais

uma vez, minhas sinceras desculpas aqueles que porventura eu esqueci.

Um grande abrao.

ix

Resumo da Tese apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios

para a obteno do grau de Doutor em Cincias (D.Sc.)





Junho/2011



Programa: Engenharia Qumica

O presente trabalho apresenta uma nova metodologia numrica para a resoluo

de escoamentos bidimensionais baseada no mtodo de volumes finitos em malha

estruturada e arranjo co-localizado, com aplicao especial simulao de escoamentos

de fluidos viscoelsticos. A potencialidade desse procedimento est no acoplamento de

frmulas de interpolao de quarta ordem tcnica multibloco, que garante

flexibilidade para gerao de malhas localmente refinadas.

O procedimento proposto foi aplicado resoluo de diversos exemplos

tradicionalmente usados para comparao de mtodos, entre estes: o escoamento entre

placas paralelas, o escoamento entre placas paralelas precedido de uma superfcie livre

de cisalhamento (slip-stick), o escoamento de sada de placas paralelas para uma

superfcie livre de cisalhamento (stick-slip), o escoamento em uma contrao plana e

o escoamento em cavidade quadrada (lid-driven), aplicados tanto simulao de

escoamento de fluidos newtonianos como viscoelsticos. Em todos os casos de estudo a

aplicao da metodologia foi capaz de obter resultados com maior ou igual acurcia,

usando malhas mais grosseiras com refinamento local, quando comparada a mtodos de

volumes finitos de segunda e quarta ordens com refinamento global, demandando um

menor esforo computacional.

x

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

IMPLEMENTATION OF A HIGH ORDER FINITE VOLUME METHOD WITH

MULTIBLOCK TREATMENT APPLIED TO SIMULATION OF VISCOELASTIC

FLUIDS FLOW


June/2011

Advisors: Evaristo Chalbaud Biscaia Junior


Department: Chemical Engineering

This work presents a new numerical methodology to solve two-dimensional

flow based on finite volume method in structured mesh and co-located arrangement,

with special application to simulation of viscoelastic fluid flows. The potentiality of this

procedure is the coupling of the fourth-order interpolation schemes and the multiblock

technique, which provides flexibility to the generation of locally refined meshes.

The proposed procedure was applied to solve several examples, traditionally

used for comparison of methods, among them: the flow between parallel plates, the flow

between parallel plates preceded by a shear-free surface ("slip-stick"), the output flow

from parallel plates to a shear-free surface ("stick-slip"), the flow in a plane contraction

and the flow in a square cavity ("lid-driven"), applied to simulations of both newtonian

and viscoelastic fluid flow. In all cases studied the application of the methodology was

able to obtain results with higher or equal accuracy, using coarser meshes with local

refinement when compared to finite volume methods for the second and fourth-order

with global refinement, requiring less computational effort.

xi

SUMRIO

1. INTRODUO .................................................................................................................. 1

1.1. MOTIVAO ................................................................................................................. 2 1.2. OBJETIVOS ................................................................................................................... 7 1.3. ORGANIZAO ............................................................................................................. 8

2. FLUIDOS VISCOELSTICOS ...................................................................................... 10

2.1. FLUIDOS VISCOELSTICOS ........................................................................................ 13 2.2. NMEROS ADIMENSIONAIS CARACTERSTICOS E FUNES MATERIAIS ................... 15 2.3. EQUAES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS VISCOELSTICOS ................................. 19

2.3.1. Fluido Newtoniano Generalizado (FNG) .............................................................. 21 2.3.2. Fluido Viscoelstico Linear .................................................................................. 22 2.3.3. Fluido Viscoelstico No Linear Modelos Diferenciais .................................... 22 2.3.4. Fluido Viscoelstico No Linear Modelos Integrais .......................................... 30 2.3.5. Seleo da Equao Constitutiva .......................................................................... 32

2.4. PRINCIPAIS DIFICULDADES ENCONTRADAS PARA SIMULAO ................................ 33 2.4.1. Implementao das Condies de Contorno ......................................................... 35 2.4.2. Relao entre o Refinamento da Malha e o Nmero de Weisenberg .................... 39

3. A MECNICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL E O MTODO DE VOLUMES FINITOS ............................................................................................................... 44

3.1. A MECNICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL .......................................................... 45 3.1.1. Breve Histrico da Fluidodinmica Computacional ............................................. 45 3.1.2. Aplicaes da Fluidodinmica Computacional .................................................... 48 3.1.3. Descrio Matemtica de um Problema ............................................................... 50 3.1.4. Resoluo das Equaes que Compem o Modelo ............................................... 53

3.2. O MTODO DOS VOLUMES FINITOS ........................................................................... 57 3.2.1. Gerao da Malha ................................................................................................. 57 3.2.2. Aplicao da Metodologia .................................................................................... 62 3.2.3. Aproximao dos Termos Advectivos .................................................................... 65 3.2.4. Aproximao dos Termos Difusivos ...................................................................... 72 3.2.5. Aproximao no Tempo ......................................................................................... 74 3.2.6. Aproximao do Termo Fonte ............................................................................... 77 3.2.7. Tratamento das Condies de Contorno ............................................................... 78 3.2.8. Metodologias Utilizadas na Resoluo do Sistema Discretizado ......................... 81 3.2.9. Acoplamento Presso-Velocidade ......................................................................... 84

4. APROXIMAES DE ALTA ORDEM E PARTIO MULTIBLOCO ................. 95

4.1. ESQUEMAS DE ALTA ORDEM ..................................................................................... 96 4.2. TRATAMENTO DAS OSCILAES NUMRICAS ......................................................... 102 4.3. TRATAMENTO MULTIBLOCO .................................................................................... 106

5. METODOLOGIA PROPOSTA .................................................................................... 111

5.1. MODELAGEM MATEMTICA DO PROBLEMA ........................................................... 112 5.1.1. Modelo Matemtico para Fluidos Viscoelsticos ............................................... 113

xii

5.1.2. Condies de Contorno ....................................................................................... 115 5.1.3. Adimensionamento do Conjunto de Equaes .................................................... 118 5.1.4. Aplicao do Mtodo de Volumes Finitos ........................................................... 120

5.2. DESENVOLVIMENTO DOS ESQUEMAS DE ALTA ORDEM .......................................... 124 5.2.1. Aplicao da Aproximao de Lagrange aos Termos Advectivos ...................... 124 5.2.2. Aplicao da Aproximao de Lagrange aos Termos Difusivos ......................... 126 5.2.3. Aplicao da Aproximao de Lagrange aos Termos No Lineares .................. 126 5.2.4. Aplicao da Tcnica de Desconvoluo ............................................................ 130

5.3. TRATAMENTO MULTIBLOCO .................................................................................... 132 5.4. PROCEDIMENTO PROPOSTO PARA TRATAMENTO DAS OSCILAES - WENO ........ 141

5.4.1. Estnceis para aproximao de Lagrange de 4 Ordem ..................................... 142

6. RESULTADOS ............................................................................................................... 144

6.1. AVALIAO DA TCNICA DE CONEXO MULTIBLOCO ........................................... 146 6.2. EQUAO DA ADVECO-DIFUSO BIDIMENSIONAL ............................................. 160 6.3. ESCOAMENTO DE FLUIDOS NEWTONIANOS ............................................................. 165

6.3.1. Escoamento Slip-Stick ......................................................................................... 165 6.3.2. Escoamento Stick-Slip ......................................................................................... 176 6.3.3. Escoamento em Cavidade Quadrada .................................................................. 187

6.4. ESCOAMENTO DE FLUIDOS VISCOELSTICOS .......................................................... 194 6.4.1. Escoamento entre Placas Plana e Paralelas ....................................................... 194 6.4.2. Escoamento Slip-Stick ......................................................................................... 199 6.4.3. Escoamento Stick-Slip ......................................................................................... 214 6.4.4. Escoamento em Cavidade Quadrada .................................................................. 226 6.4.5. Escoamento em Contrao Plana ....................................................................... 228

7. CONCLUSES E SUGESTES .................................................................................. 236

7.1. CONCLUSES ........................................................................................................... 237 7.2. SUGESTES .............................................................................................................. 239

8. APNDICE ..................................................................................................................... 242

8.1. DETERMINAO DOS COEFICIENTES DA APROXIMAO PARA OS TERMOS ADVECTIVOS ......................................................................................................................... 243 8.2. DETERMINAO DOS COEFICIENTES DA APROXIMAO PARA OS TERMOS DIFUSIVOS ............................................................................................................................. 243 8.3. DETERMINAO DOS COEFICIENTES DA APROXIMAO PARA OS TERMOS NO LINEARES NA PAREDE DO VOLUME DE CONTROLE .............................................................. 244 8.4. DETERMINAO DOS COEFICIENTES DA APROXIMAO PARA OS TERMOS NO LINEARES NO CENTRO DO VOLUME DE CONTROLE .............................................................. 247 8.5. DETERMINAO DOS COEFICIENTES DA APROXIMAO PARA OS TERMOS NO LINEARES RELACIONADOS DERIVADA NO CENTRO DO VOLUME DE CONTROLE .............. 249

9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 259

xiii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Representao ilustrativa do escoamento de Poiseuille entre placas (FITIER e DEVILLE, 2003). ....................................................................................... 35

Figura 3.1: Elemento (1234) e os volumes de controles gerados pela aplicao do mtodo das medianas (MALISKA, 2004). ..................................................................... 56

Figura 3.2: Ilustrao de um mapeamento estruturado em que as linhas delimitam as faces do volume de controle e os crculos representam os ns. ..................................... 58

Figura 3.3: Representao ilustrativa de uma malha: (a) Estruturada no uniforme; (b) Bloco-estruturada e (c) No estruturada. ........................................................................ 60

Figura 3.4: Ilustrao de uma malha que utiliza arranjo co-localizado das variveis. ... 61

Figura 3.5: Ilustrao de uma malha que utiliza arranjo desencontrado das variveis. . 61

Figura 3.6: Representao do volume de controle. ........................................................ 62

Figura 4.1: Representao de uma malha justaposta. ................................................... 108

Figura 4.2: Representao de uma malha sobreposta. .................................................. 108

Figura 4.3: Representao de uma interface com volumes coincidentes (MALISKA, 2005). ............................................................................................................................ 108

Figura 4.4: Representao de uma interface com volumes no coincidentes (MALISKA, 2005). ............................................................................................................................ 108

Figura 5.1: Representao ilustrativa das direes normal e tangente sobre um contorno qualquer. ....................................................................................................................... 115

Figura 5.2: Esquema de interpolao de Lagrange de 4a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento par............................................................ 132

Figura 5.3: Esquema de interpolao de Lagrange de 4a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento impar. ...................................................... 132

Figura 5.4: Bloco conectado por malhas de igual refinamento. ................................... 134

Figura 5.5: Bloco com ndice de refinamento superior. ............................................... 135

Figura 5.6: Bloco com ndice de refinamento inferior. ................................................ 135

Figura 5.7: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB1 aplicada a malhas de igual refinamento. ......................................................................................................... 135

Figura 5.8: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB1 aplicada a malhas com ndice de refinamento superior. ............................................................................ 135

Figura 5.9: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB1 aplicada a malhas com ndice de refinamento inferior. ............................................................................. 136

Figura 5.10: Representao ilustrativa dos pontos localizados prximos a interface de conexo que podem ser includos na conexo entre os blocos. .................................... 136

Figura 5.11: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB1 aplicada a malhas com ndice de refinamento superior para pontos prximos a interface de conexo. .... 136

xiv

Figura 5.12: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB1 aplicada a malhas com ndice de refinamento inferior para pontos prximos a interface de conexo, usando apenas pontos internos. ................................................................................................. 137

Figura 5.13: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB1 aplicada a malhas com ndice de refinamento inferior para pontos prximos a interface de conexo, usando informaes do bloco vizinho....................................................................................... 137



Figura 5.16: Representao ilustrativa da conexo multibloco MB2 aplicada a malhas com ndice de refinamento inferior para pontos prximos a interface de conexo, usando informaes do bloco vizinho....................................................................................... 139



Figura 5.19: Representao esquemtica dos estnceis propostos para o esquema de Lagrange de 4 ordem. .................................................................................................. 143

Figura 6.1: Representao esquemtica do escoamento entre placas planas e paralelas. ...................................................................................................................................... 146

Figura 6.2: Estrutura de refinamento realizada ao longo do escoamento Arranjo 1. 147

Figura 6.3: Estrutura de refinamento realizada ao longo do escoamento Arranjo 2. 147

Figura 6.4: Estrutura de refinamento realizada prximo a parede Arranjo 3. ........... 148

Figura 6.5: Estrutura de refinamento realizada prximo a simetria Arranjo 4. ......... 148

Figura 6.6: Perfil de velocidade vx para o procedimento MB1 aplicando: (a) Arranjo 1, (b) Arranjo 2 e (c) Arranjo 3. ....................................................................................... 149

Figura 6.7: Perfil de presso para o procedimento MB1: (a) Arranjo 1; (b) Arranjo 2 e (c) Arranjo 3. ................................................................................................................ 150

Figura 6.8: Perfil de velocidade vx para o procedimento MB1 na interface da conexo multibloco x=5,0 Arranjo 1. ...................................................................................... 151

Figura 6.9: Perfil de presso para o procedimento MB1 na interface da conexo multibloco y=0,5 Arranjo 3. ...................................................................................... 151

Figura 6.10: Representao esquemtica do procedimento de interpolao para malha de maior grau de refinamento. ........................................................................................... 152

Figura 6.11: Perfil de velocidade vx para o procedimento MB1 com nova frmula de conexo para malha de maior refinamento: (a) Arranjo 1 e (b) Arranjo 2. .................. 152

Figura 6.12: Perfil de presso para o procedimento MB1 com nova frmula de conexo para malha de maior refinamento: (a) Arranjo 3 e (b) Arranjo 4. ................................ 153

Figura 6.13: Perfil de velocidade vx na interface de conexo aplicando o procedimento MB1 com nova frmula de conexo: (a) Arranjo 1 e (b) Arranjo 2. ............................ 153

xv

Figura 6.14: Perfil de presso na interface de conexo aplicando o procedimento MB1 com nova frmula de conexo: (a) Arranjo 3 e (b) Arranjo 4. ..................................... 154

Figura 6.15: Perfil para diferentes cortes em x utilizando o procedimento MB1 com nova frmula de conexo multibloco e Arranjo 3: (a) Velocidade vx e (b) Presso. .... 154

Figura 6.16: Perfil de velocidade vx para o procedimento MB2: (a) Arranjo 1; (b) Arranjo 4 e (c) Arranjo 2. ............................................................................................. 156

Figura 6.17: Perfil de velocidade vx para o procedimento MB3 considerando o arranjo 1. ...................................................................................................................................... 156

Figura 6.18: Perfil de velocidade vx para o procedimento MB3: (a) Arranjo 2 e (b) Arranjo 3. ...................................................................................................................... 157

Figura 6.19: Comparao de solues entre os procedimentos MB2 e a referncia: (a) Perfil de velocidade vx com arranjo 1 e (b) Perfil de presso com arranjo 4. ............... 158

Figura 6.20: Comparao de solues entre os procedimentos MB3 e a referncia: (a) Perfil de velocidade vx com arranjo 2 e (b) Perfil de presso com arranjo 3. ............... 158

Figura 6.21: Comparao entre o procedimento com incluso dos pontos localizados prximos interface de conexo na frmula multibloco (MB11) e a soluo com refinamento homogneo para: (a) Perfil de velocidade vx e (b) Perfil de presso. ....... 159

Figura 6.22: Malha computacional necessria para obteno da soluo convergida para o problema da adveco-difuso primeiro caso de estudo. ....................................... 162

Figura 6.23: Curva de nvel obtida pela aplicao do esquema LAG4 Nx=Ny=30 para o problema da adveco-difuso primeiro caso de estudo. .......................................... 162

Figura 6.24: Comparao entre os perfis obtidos pela aplicao dos esquema QUICK e LAG4 para o problema da adveco-difuso primeiro caso de estudo.. ................... 162

Figura 6.25: Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento multibloco para o problema da adveco-difuso primeiro caso de estudo. ............................... 163

Figura 6.26: Curva de nvel obtida atravs da aplicao do procedimento multibloco para o problema da adveco-difuso primeiro caso de estudo. .............................. 163

Figura 6.27: Perfil em diferentes cortes em y comparando a soluo de referncia soluo obtida atravs da aplicao da tcnica multibloco para o problema da adveco-difuso primeiro caso de estudo. ............................................................................... 163

Figura 6.28: Curva de nvel obtida pela aplicao do esquema LAG4 Nx=Ny=40 para o problema da adveco-difuso segundo caso de estudo. ........................................... 164

Figura 6.29: Malha computacional necessria para obteno da soluo convergida para o problema da adveco-difuso segundo caso de estudo. ........................................ 164

Figura 6.30: Comparao entre os perfis obtidos pela aplicao dos esquemas QUICK e LAG4 para o problema da adveco-difuso segundo caso de estudo. ..................... 164

Figura 6.31: Representao esquemtica do escoamento slip-stick. ......................... 166

Figura 6.32: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema CDS com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy e (c) Presso. ............................................................ 167

xvi

Figura 6.33: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy e (c) Presso. ............................................................ 169

Figura 6.34: Perfis obtidos para posio x=3,6667 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick newtoniano: (a) Velocidade vx e (b) Velocidade vy. ............................................................................... 171

Figura 6.35: Perfis obtidos para posio x=3,6667 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick newtoniano para a Presso. ......................................................................................................................... 172

Figura 6.36: Curvas de nvel e linhas de corrente obtidas pela aplicao dos esquemas LAG4 com uma Malha 12080 para o escoamento slip-stick newtoniano: (a) Curva de nvel para a velocidade vx; (b) Curva de nvel para a velocidade vy; (c) Curva de nvel para a Presso e (d) Linhas de corrente. ....................................................................... 173

Figura 6.37: Curvas de nvel obtidas aplicando o procedimento multibloco para o escoamento slip-stick newtoniano: (a) Estrutura da malha; (b) Curva de nvel para a velocidade vx; (c) Curva de nvel para a velocidade vy e (d) Curva de nvel para a presso. ......................................................................................................................... 174

Figura 6.38: Comparao entre os perfis para diferentes cortes em y: utilizando a malha de refinamento homogneo (representada por linhas) e malha multibloco (representada por pontos) para o escoamento slip-stick newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) velocidade vy e (c) Presso. .......................................................................................... 175

Figura 6.39: Representao esquemtica do escoamento stick-slip. ......................... 177

Figura 6.40: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema CDS com diferentes refinamentos de malha para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy e (c) Presso. ............................................................ 178

Figura 6.41: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy e (c) Presso. ............................................................ 180

Figura 6.42: Perfis obtidos para posio x=3,6667 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy e (c) Presso. ............................................................ 182

Figura 6.43: Curvas de nvel obtidas pela aplicao dos esquemas LAG4 com uma malha 12080 para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Curva de nvel para a velocidade vx e (b) Curva de nvel para a velocidade vy. .............................................. 183

Figura 6.44: Curvas de nvel e linhas de corrente obtidas pela aplicao dos esquemas LAG4 com uma malha 12080 para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Curva de nvel para a presso e (b) Linhas de corrente. .............................................................. 184

Figura 6.45: Resultados obtidos aplicando o procedimento multibloco para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Estrutura da malha; (b) Curva de nvel a para velocidade vx; (c) Curva de nvel para a velocidade vy e (d) Curva de nvel para a presso .......................................................................................................................... 185

Figura 6.46: Comparao entre os perfis para diferentes cortes em y: utilizando a malha de refinamento homogneo (representada por linhas) e malha multibloco (representada por pontos) para o escoamento stick-slip newtoniano: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy e (c) Presso. .......................................................................................... 186

xvii

Figura 6.47: Representao esquemtica do escoamento em cavidade. ....................... 188

Figura 6.48: Comparaes entre os perfis de velocidade aplicando o esquema LAG4 usando malha 2020 e 5050 com resultados retirados da literatura para o escoamento em cavidade newtoniano: (a) Perfil de velocidade vx na linha vertical central (x=0,5) e (b) Perfil de velocidade vy na linha horizontal central (y=0,5). .................................... 190

Figura 6.49: Comparaes entre os perfis de velocidade aplicando o esquema LAG4 usando malha 2020, 3030, 4040 e 5050 com resultados retirados da literatura para o escoamento em cavidade newtoniano: (a) Perfil de velocidade vx na linha vertical central (x=0,5) e (b) Perfil de velocidade vy na linha horizontal central (y=0,5). ......... 192

Figura 6.50: Curvas de nvel obtidas pela aplicao do esquema LAG4 com uma malha 5050 para o escoamento em cavidade newtoniano: (a) Curva de nvel para a velocidade vx; (b) Curva de nvel para a velocidade vy; (c) Curva de nvel para a presso e (d) Vetor velocidade. ................................................................................................. 193

Figura 6.51: Perfis obtidos pela aplicao do esquema LAG4 na sada da placa usando uma malha 1010 (representada por pontos) e perfis obtidos atravs da soluo analtica (representada por linhas) com diferentes valores de We para o escoamento entre placas viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Tenso xx e (c) Tenso xy. ................................. 197

Figura 6.52: Perfis obtidos pela aplicao do esquema LAG4 na sada da placa usando uma malha 1010 (representada por pontos) e perfis obtidos atravs da soluo analtica (representada por linhas) com diferentes valores de e, para o escoamento entre placas viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso xy. ............................................................... 198

Figura 6.53: Perfis de tenso normal xx obtidos pela aplicao do esquema LAG4 na sada da placa com diferentes valores de We para o escoamento entre placas viscoelstico. ................................................................................................................ 199

Figura 6.54: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema CDS com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Velocidade vx e (b) Velocidade vy. ............................................................................... 200

Figura 6.55: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema CDS com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Presso; (b) Tenso xx; (c) Tenso yy e (d) Tenso xy. ............................................... 201

Figura 6.56: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy; (c) Presso; (d) Tenso xx; (e) Tenso yy e (f) Tenso xy. ................................................................................................................................. 202

Figura 6.57: Perfis obtidos para posio x=5,6667 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha na regio prxima a parede para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Velocidade vx e (b) Tenso xx. ...................................... 203

Figura 6.58: Curvas de nvel obtidas pela aplicao dos esquemas LAG4 com uma Malha 6040 para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Velocidade vx e (b) Velocidade vy. ............................................................................................................... 204

Figura 6.59: Curvas de nvel obtidas pela aplicao dos esquemas LAG4 com uma Malha 6040 para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Presso; (b) Tenso xx; (c) Tenso yy e (d) Tenso xy. ...................................................................................... 205

Figura 6.60: Perfis obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 com uma malha 6040 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do

xviii

parmetro E, We=0,1 e Re=0,1 para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Tenso xx; (c) Tenso yy e (d) Tenso xy. ..................................... 206

Figura 6.61: Perfis obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 com uma malha 6040 utilizando o modelo SPTT com diferentes valores do parmetro , E=0,5, We=0,1 e Re=0,1 para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ............................................................................................................... 207

Figura 6.62: Estrutura da malha computacional e curvas de nvel obtidas pela aplicao do esquemas multibloco para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Estrutura da malha; (b) Velocidade vx; (c) Velocidade vy e (d) Presso. .......................................... 208

Figura 6.63: Curvas de nvel obtidas pela aplicao do esquemas multibloco para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ........................ 209

Figura 6.64: Comparao entre os perfis, para diferentes cortes em y, utilizando o esquema LAG4 com uma malha 6060 (representada por linhas) e o procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy. ................................................................................. 209

Figura 6.65: Comparao entre os perfis, para diferentes cortes em y, utilizando o esquema LAG4 com uma malha 6060 (representada por linhas) e o procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Presso; (b) Tenso xx; (c) Tenso yy e (d) Tenso xy. ............................................... 210

Figura 6.66: Perfis de tenso obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 usando malha 6010 e 6020 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ............................................................................................................... 212

Figura 6.67: Perfis de tenso xx obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Malha 6010 e (b) Malha 3040. ........... 213

Figura 6.68: Perfis de tenso obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema multibloco e pela aplicao do procedimento de refinamento homogneo usando malha 6010 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We para o escoamento slip-stick viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ..................... 214

Figura 6.69: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema CDS com diferentes refinamentos de malha para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy; (c) Tenso xx e (d) Tenso yy. ............................... 215

Figura 6.70: Perfis obtidos para posio y=0,90 pela aplicao do esquema LAG4 com diferentes refinamentos de malha para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy; (c) Tenso xx e (d) Tenso yy. ............................... 216

Figura 6.71: Perfis obtidos para posio x=5,6667 pela aplicao dos esquemas CDS e LAG4 com diferentes refinamentos de malha na regio prxima a parede para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx com CDS e (b) Velocidade vx. ...................................................................................................................................... 217

Figura 6.72: Perfis obtidos para posio x=5,6667 pela aplicao dos esquemas CDS e LAG4 com diferentes refinamentos de malha na regio prxima a parede para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx com CDS e (b) Tenso xx com LAG4. ........................................................................................................................... 218

xix

Figura 6.73: Curvas de nvel obtidas pela aplicao dos esquemas LAG4 com uma Malha 6040 para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Velocidade vy; (c) Presso e (d) Tenso xx; (d) Tenso yy e (e) Tenso xy. ................ 219

Figura 6.74: Perfis obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 com uma malha 6040 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro E, We=0,1 e Re=0,1 para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx; (b) Tenso xx; (c) Tenso yy e (d) Tenso xy. ..................................... 220

Figura 6.75: Perfis obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 com uma malha 6040 utilizando o modelo SPTT com diferentes valores do parmetro , E=0,5, We=0,1 e Re=0,1 para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso xy. ............................................................................................................... 221

Figura 6.76: Curvas de nvel obtidas pela aplicao do esquemas multibloco para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx e (b) Velocidade vy; (c) Tenso xx e (d) Tenso yy. ........................................................................................................ 222

Figura 6.77: Comparao entre os perfis para diferentes cortes em y utilizando o procedimento LAG com uma malha 6060 (representada por linhas) e procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Velocidade vx e (b) Velocidade vy. ............................................................................... 222

Figura 6.78: Comparao entre os perfis para diferentes cortes em y utilizando o procedimento LAG com uma malha 6060 (representada por linhas) e procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ........................................................................................... 223

Figura 6.79: Perfis de tenso obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 usando malha 3020 e 4050 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ............................................................................................................... 224

Figura 6.80: Perfis de tenso obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 com as malhas 3020 e 3040 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ............................................................................................................... 225

Figura 6.81: Perfis de tenso obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema LAG4 com as malhas 5010 e 4050 utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ............................................................................................................... 225

Figura 6.82: Perfis de tenso obtidos para posio y=0,9 pela aplicao do esquema multibloco utilizando o modelo de Oldroyd-B com diferentes valores do parmetro We e pela aplicao do procedimento de refinamento homogneo usando malha 3040 para o escoamento stick-slip viscoelstico: (a) Tenso xx e (b) Tenso yy. ..................... 226

Figura 6.83: Comparaes entre os perfis de velocidade para o esquema LAG4 usando malha 2020 e 4040 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009) para o escoamento em cavidade viscoelstico: (a) Perfil de velocidade vx na linha vertical central (x=0,5) e (b) Perfil de velocidade vy na linha horizontal central (y=0,5). ......... 228

Figura 6.84: Representao esquemtica do escoamento em uma contrao plana. .... 229

Figura 6.85: Estrutura de refinamento multibloco aplicando 3.400 volumes de controle para o escoamento em contrao viscoelstico. ........................................................... 230

xx

Figura 6.86: Perfis obtidos para linha horizontal para diferentes cortes em y aplicando o esquema CDS (representada por linhas) e aplicando o procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento em contrao viscoelstico para a velocidade vx. ................................................................................................................ 230

Figura 6.87: Perfis obtidos para linha horizontal para diferentes cortes em y aplicando o esquema CDS (representada por linhas) e aplicando o procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento em contrao viscoelstico: (a) Velocidade vy; (b) Tenso xx e (c) Tenso yy. ................................................................................ 231

Figura 6.88: Curvas de nvel obtidas pela aplicao do esquemas multibloco para o escoamento em contrao viscoelstico: (a) Velocidade vx e (b) Tenso xx. ............... 232

Figura 6.89: Curvas de nvel obtidas pela aplicao do esquemas multibloco para o escoamento em contrao viscoelstico: (a) Tenso yy e (b) Linhas de Corrente. ...... 233

Figura 6.90: Perfis obtidos para linha horizontal y=0,45 aplicando o esquema CDS (representada por linhas) e aplicando o procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento em contrao viscoelstico para a velocidade vy. ............. 233

Figura 6.91: Perfis obtidos para linha horizontal y=0,45 aplicando o esquema CDS (representada por linhas) e aplicando o procedimento multibloco (representada por pontos) para o escoamento em contrao viscoelstico: (a) Tenso xx; (b) Tenso yy e (c) Tenso xy. ............................................................................................................... 234

xxi

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Comparao entre metodologias para imposio de condies de contorno para escoamento de fluidos viscoelsticos (XIE e PASQUALI, 2004): ........................ 39

Tabela 3.1: Alguns dos esquemas de aproximaes utilizados na literatura para aproximao dos termos difusivos. ................................................................................ 73

Tabela 6.1: Diferena entre as solues de referncia e MB1. ..................................... 155

Tabela 6.2: Diferena entre as solues de referncia e MB2 e MB3. ......................... 158

Tabela 6.3: Diferena entre as solues de referncia e MB11. ................................... 159

Tabela 6.4: Diferena entre as solues de referncia e a soluo multibloco para o primeiro caso de estudo. ............................................................................................... 163

Tabela 6.5: Diferena entre as solues obtidas pelo esquema CDS aplicando diferentes refinamentos de malha para o escoamento slip-stick newtoniano. ........................... 168

Tabela 6.6: Diferena entre as solues obtidas pelo esquema LAG4 e para o esquema CDS aplicando malhas de diferentes refinamentos para o escoamento slip-stick newtoniano. .................................................................................................................. 170

Tabela 6.7: Diferena entre as solues obtidas pela aplicao da tcnica multibloco e as solues obtidas utilizando o grau de refinamento homogneo para o escoamento slip-stick newtoniano. ........................................................................................................ 176

Tabela 6.8: Diferena entre as solues obtidas pelo esquema CDS aplicando diferentes refinamentos de malha para o escoamento stick-slip newtoniano. ........................... 179

Tabela 6.9: Diferena entre as solues obtidas pelo esquema LAG4 e para o esquema CDS aplicando malhas de diferentes refinamentos para o escoamento stick-slip newtoniano. .................................................................................................................. 181

Tabela 6.10: Diferena entre as solues obtidas pela aplicao da tcnica multibloco e as solues obtidas utilizando o grau de refinamento homogneo para o escoamento stick-slip newtoniano. ............................................................................................... 187

Tabela 6.11: Valores das velocidades mnimas e mximas em x=0,5 e y=0,5 retiradas da literatura para o escoamento em cavidade newtoniano com Re=100. .......................... 189

Tabela 6.12: Valores das velocidades mnimas e mximas em x=0,5 e y=0,5 aplicando o esquema LAG4 usando diferentes refinamentos de malha para o escoamento em cavidade newtoniano com Re=100. .............................................................................. 189

Tabela 6.13: Valores das velocidades mnimas e mximas em x=0,5 e y=0,5 retiradas da literatura e obtidos pelo esquema LAG4 para o escoamento em cavidade newtoniano com Re=400. ................................................................................................................. 191

Tabela 6.14: Diferena entre as solues obtidas pela aplicao do esquema LAG4 e soluo analtica com diferentes valores de We para o escoamento entre placas viscoelstico. ................................................................................................................ 197

Tabela 6.15: Diferena entre as solues obtidas pela aplicao do esquema LAG4 e soluo analtica com diferentes valores de E para o escoamento entre placas viscoelstico. ................................................................................................................ 198

xxii

Tabela 6.16: Diferena entre as solues obtidas pela aplicao da tcnica multibloco e as solues obtidas utilizando o grau de refinamento completo para o escoamento slip-stick viscoelstico. ...................................................................................................... 211

Tabela 6.17: Diferena entre as solues obtidas pela aplicao da tcnica multibloco e as solues obtidas utilizando o grau de refinamento completo para o escoamento stick-slip viscoelstico. ............................................................................................. 223

Tabela 6.18: Valores das velocidades mnimas e mximas em x=0,5 e y=0,5 para o escoamento em cavidade viscoelstico......................................................................... 227

1

1. Introduo

The important thing in science is not so much to obtain new facts as to discover new ways of thinking about them.

Sir William Bragg

Neste captulo apresentada uma breve introduo

sobre o trabalho proposto, incluindo a motivao,

os objetivos principais e a estrutura de organizao

da tese.

2

1.1. Motivao

Materiais polimricos podem ser utilizados para as mais diversas finalidades.

Esta ampla gama de aplicaes est associada as suas boas propriedades tais como alta

durabilidade, baixo preo, boas condies de processamento e alta resistncia mecnica.

Tais propriedades permitem que estes materiais atuem como substitutos diretos de

vrios outros tipos de materiais, tal como o vidro por PET na produo de garrafas, o

papel por plstico na confeco de embalagens, metal por plstico no acabamento de

automveis e a madeira por PVC em materiais de construo.

Esta grande variedade de aplicaes faz com que existam diferentes processos

que transformam o polmero em um bem de consumo, so exemplos destes processos:

pultruso, extruso, moldagem por injeo ou por sopro, termoformagem, dentre outros

(OSSWALD e HERNNDEZ-ORTIZ, 2006). A possibilidade de utilizar a

fluidodinmica computacional (CFD) na avaliao destes processos pode gerar reduo

significativa dos custos do processo, melhora de propriedades de interesse do bem de

produo, projeto de novas unidades e treinamento de pessoal.

O presente trabalho apresenta uma nova metodologia numrica para resoluo

de escoamento bidimensionais baseada no mtodo de volumes finitos em malha

estruturada e arranjo co-localizado, com aplicao especial a simulao de escoamentos

de fluidos viscoelsticos. Este novo procedimento aplica os princpios bsicos do

mtodo de volumes finitos (MVF), utilizando uma malha estruturada e um arranjo co-

localizado das variveis do problema. A grande potencialidade deste cdigo est no

acoplamento dos esquemas de alta ordem utilizados nas aproximaes dos termos

lineares e no lineares e as tcnicas de partio multibloco aplicadas no refino da malha

do problema. A juno destas duas tcnicas permitiu o desenvolvimento de um cdigo

que integra a acurcia da utilizao dos esquemas de alta ordem flexibilidade para

gerao da malha do tratamento multibloco. Assim foi possvel geral um procedimento

numrico capaz de obter resultados com maior acurcia que os procedimentos

tradicionais utilizando recursos computacionais mais reduzidos, caractersticas

importantes para simulao de fluidos viscoelsticos.

Neste procedimento, os valores mdios lineares e no lineares das variveis nas

interfaces dos volumes de controle so aproximados atravs de esquemas de alta ordem,

que utilizam os valores mdios das variveis nos centros dos volumes de controle

3

vizinhos. Embora esta metodologia utilize diretamente os valores mdios, possvel

obter os valores pontuais das variveis, ao final do procedimento, atravs da aplicao

da tcnica de desconvoluo. O esquema de alta ordem desenvolvido e aplicado neste

trabalho foi o esquema de Lagrange de 4 ordem. importante ressaltar que, embora

tenha sido utilizado o esquema de Lagrange de 4 ordem, a metodologia pode ser

facilmente reduzida ao esquema de Lagrange de 3 ordem ou estendida a esquemas de

ordens superiores.

Para casos de escoamentos que envolvam geometrias complexas ou envolvam

regies que apresentem determinados fenmenos de interesse, como por exemplo,

gradientes elevados, descontinuidades ou recirculaes, desejvel e muitas vezes

necessrio realizar o refino da malha para que determinados fenmenos sejam avaliados

de forma mais precisa. Entretanto, a utilizao de uma malha estruturada, aplicada na

sua forma bsica, no permite que o refino da malha seja feito localmente. Desta forma,

refinar uma determinada regio de interesse implica tambm em aumentar a malha em

outra regio na qual no existe necessidade alguma, aumentando desnecessariamente o

esforo computacional necessrio resoluo do problema. Visando superar este

problema, o procedimento aqui proposto fez uso de tcnicas de partio multibloco para

conexo de blocos da malha com diferentes graus de refinamento, permitindo assim que

apenas regies de interesse sejam refinadas. Os procedimentos de conexo dos blocos

foram desenvolvidos utilizando diretamente as funes de interpolao de Lagrange,

permitindo manter a ordem global da aproximao de forma simples e de fcil

implementao computacional.

O modelo matemtico utilizado para descrever o escoamento isotrmico de um

fluido incompressvel sem efeito de foras de campo pode ser representado atravs do

seguinte conjunto de equaes:

( ) 0= U 1.1

( ) ( ) UUU +=+

pt

1.2

em que U representa o vetor velocidade, a massa especfica, p a presso e o

tensor tenso (BIRD et al., 2002).

4

As Equaes 1.1 e 1.2 so classificadas como um sistema diferencial

incompleto. Para que este sistema de equaes possa ser resolvido, alm das condies

de contorno e condio inicial, necessria a incluso de relaes matemticas capazes

de descrever determinadas propriedades de transporte do fluido (por exemplo,

viscosidade, densidade, capacidade calorfica, etc.) e equaes constitutivas capazes de

descrever o comportamento reolgico do fluido, principalmente quando se trata de

fluidos no newtonianos.

Para fluidos newtonianos, o tensor tenso ( ) pode ser relacionado diretamente

ao tensor taxa de deformao do material (D), atravs da viscosidade newtoniana ( ),

segundo a expresso:

D 2=N 1.3

O tensor taxa de deformao representado pela expresso:

( )TUUD +=21

1.4

Como as Equaes 1.3 e 1.4 apresentam uma relao explcita com os termos de

velocidade, pode-se substituir diretamente a Equao 1.3 na equao da conservao da

quantidade de movimento, Equao 1.2. Deste modo, a simulao de escoamento

isotrmico de fluidos newtonianos implica na resoluo de sistemas de equaes

diferenciais parciais constitudos pelas equaes da continuidade e do movimento que

apresentam como incgnitas as variveis presso e componentes do vetor velocidade.

No caso de fluidos viscoelsticos, no possvel representar as propriedades

fsicas atravs de uma constante material, como no caso newtoniano, uma vez que as

propriedades destes fluidos so funo da taxa de deformao e do tempo, dentre outras.

Assim, para fluidos polimricos mais correto utilizar funes materiais no lugar de

constantes materiais. Neste tipo de fluido no possvel, na maioria dos casos, a

obteno de uma relao explcita entre o tensor tenso e os componentes do vetor

velocidade. Desta maneira, as equaes constitutivas utilizadas para a definio do

tensor tenso passam a fazer parte do sistema de equaes a ser resolvido, que agora

apresenta como variveis no apenas a presso e os componentes do vetor velocidade,

como no caso newtoniano, mas tambm os componentes do tensor tenso. Para este tipo

5

de escoamento usual representar o componente do tensor tenso como a soma das

contribuies newtoniana e polimrica, segundo a expresso:

PN += 1.5

Existe na literatura um grande nmero de equaes constitutivas que buscam

descrever o comportamento reolgico dos fluidos viscoelsticos. O modelo mais

simples, que contempla o carter viscoso e elstico em uma nica equao, o modelo

de fluido viscoelstico linear, que pode ser representado utilizando o modelo de

Maxwell utilizando a formulao multimodo pelo seguinte conjunto de equaes (BIRD

et al., 1987):

Nkt PkPk

kPk ,,2 ,12 L==

+ D

1.6

=

=N

kPkP

1 1.7

em que o termo N representa o nmero de modos de relaxao utilizados e as

constantes k e Pk so, respectivamente, o tempo de relaxao e a viscosidade

polimrica taxa de deformao nula para cada modo de relaxao. Desta forma o

nmero de equaes que constitui o sistema a ser solucionado ter ligao direta com o

nmero de modos de relaxao utilizados. A utilizao da formulao multimodo torna

possvel a obteno de solues mais condizentes com situaes reais, entretanto, o uso

de multimodos exige um esforo computacional maior, pois cada modo adicional

implica em uma equao constitutiva tensorial a mais no modelo.

A grande diferena entre o custo computacional envolvido no escoamento de

fluidos newtonianos e viscoelstico pode ser evidenciada atravs de um clculo simples,

apresentado a seguir. Na simulao de um escoamento bidimensional, para cada volume

de controle so resolvidas trs equaes no caso de um fluido newtoniano, que

apresentam como incgnitas presso, vx e vy. No caso de um fluido viscoelstico, tem-se

para cada volume de controle o acrscimo de N 3 equaes diferenciais provenientes

das equaes para determinao dos componentes polimricas do tensor tenso em cada

um dos modos de relaxao ( xxPk , xyPk e

yyPk ). Em uma malha computacional com NV

volumes de controle isso resulta em VN 3 equaes para fluidos newtonianos e

6

( ) VNN 1 3 + para fluidos viscoelsticos. Considerando uma malha computacional com 100 volumes de controle e somente quatro modos de relaxao existe uma diferena de

1.200 equaes a mais para simulao de fluidos viscoelsticos. Logo, reduzir a malha

computacional para este tipo de escoamento significa reduzir consideravelmente o

esforo e, consequentemente, o tempo computacional empregado na simulao, o que

certamente justifica o emprego neste tipo de problema de esquemas de alta ordem aliado

a tcnicas de partio multibloco.

Alm do nmero de Reynolds, no estudo de fluidos viscoelsticos existem dois

nmeros adimensionais de grande importncia, o nmero de Deborah que define a razo

entre o tempo de relaxao do polmero e um determinando tempo caracterstico do

escoamento, e o nmero de Weissenberg, que definido como o produto do tempo de

relaxao do polmero por uma taxa de deformao caracterstica do escoamento. A

soluo de escoamento de fluidos viscoelsticos que apresenta valores elevados destes

nmeros adimensionais de difcil obteno devido presena de gradientes elevados

gerados pelo aumento da elasticidade do fluido. Em tais condies, grande parte das

ferramentas disponveis apresenta dificuldades para resolver o problema, o que restringe

a simulao a baixos valores destes parmetros. Como os mtodos de alta ordem

apresentam uma melhor acurcia que esquemas de baixa ordem comparados sob

mesmas malhas computacionais, possvel obter resultados melhores com a aplicao

de tais esquemas. Adicionalmente, a aplicao da tcnica multibloco permite refinar o

domnio do problema nas regies onde gradientes elevados ocorrem, otimizando assim

o refino da malha e, consequentemente, reduzindo o esforo computacional empregado.

Portanto, a utilizao de esquemas de alta ordem em conjunto com tcnicas de partio

multibloco pode possibilitar melhorias significativas na simulao de fluidos

viscoelsticos, especialmente em situaes nas quais elevados nmeros de Deborah ou

Weissenberg forem empregados.

Como o escoamento de fluidos viscoelsticos caracterizado por ocorrer em

baixos nmeros de Reynolds, a incluso de modelos de turbulncia , geralmente,

desnecessria na simulao deste tipo de problema (MUNIZ et al., 2005).

7

1.2. Objetivos

A proposta principal deste trabalho o desenvolvido de um mtodo de volumes

finitos de alta ordem utilizando tcnicas de partio multibloco do domnio do problema

para simulao de escoamento de fluidos viscoelsticos.

Os objetivos deste trabalho englobam o desenvolvimento e implementao

computacional de um procedimento de aproximao de alta ordem que deve ser capaz

de manter sua ordem de aproximao global para todo domnio do problema e o

desenvolvimento e implementao computacional de uma tcnica de conexo

multibloco que permita conectar blocos com diferentes graus de refinamento sem

reduzir a ordem da aproximao.

O esquema de alta ordem utilizado neste trabalho foi o esquema de Lagrange de

4 ordem. Para que a ordem global do procedimento fosse mantida, foi necessrio o

desenvolvimento de uma srie de funes de interpolao especficas a pontos contidos

em regies prximas aos contornos do problema. importante ressaltar que a maioria

dos trabalhos da literatura utiliza aproximaes de ordem mais baixa em tais regies,

evitando assim a necessidade de ter de recalcular as frmulas de aproximao nestas

regies. Entretanto, a utilizao de aproximaes de ordem mais baixas nos contornos

faz com que os erros de truncamentos associados sejam propagados e,

consequentemente, reduzam a preciso global do mtodo. Neste trabalho, buscou-se

desenvolver as aproximaes para os termos advectivos, termos difusivos, termos no

lineares na parede do volume de controle e termos no lineares no centro do volume de

controle, que normalmente constituem o modelo de fluidos viscoelsticos, de forma que

todos estes termos apresentem preciso de 4 ordem, independente das regies do

domnio do problema nas quais so empregadas. Com isso, espera-se a obteno de

resultados mais acurados que aqueles obtidos com procedimentos tradicionalmente

utilizados.

A tcnica de conexo multibloco desenvolvida utiliza as prprias funes de

interpolao de Lagrange de 4 ordem para conexo dos blocos com diferentes graus de

refinamento, garantindo assim a manuteno da ordem global da aproximao. A

aplicao desta tcnica s foi possvel graas metodologia desenvolvida para gerao

da malha que permite a conexo direta entre os blocos. Observa-se que os

procedimentos utilizados na literatura normalmente realizam uma ponderao entre

pontos localizados na fronteira dos blocos de diferentes refinamentos, sem a

8

preocupao da manuteno da ordem da aproximao. Da mesma forma que para os

contornos do problema, os erros associados reduo da ordem utilizados pela tcnica

de conexo multibloco se propagam reduzindo a ordem global do procedimento. Como

a tcnica de conexo proposta neste trabalho permite utilizar diretamente a funo de

interpolao o procedimento mais acurado e flexvel.

1.3. Organizao

Este documento encontra-se dividido em sete captulos cujo contedo descrito

nos pargrafos a seguir.

No Captulo 2 apresentada a reviso bibliogrfica sobre fluidos viscoelsticos,

as principais equaes constitutivas utilizadas para descrever seu comportamento

reolgico so devidamente detalhadas junto s principais dificuldades reportadas na

literatura para a simulao deste tipo de escoamento.

No Captulo 3 apresentada uma breve reviso sobre a fluidodinmica

computacional, englobando uma sucinta descrio sobre as principais tcnicas

numricas utilizadas pela literatura para a resoluo de problemas de CFD. Neste

captulo tambm apresentada uma reviso sobre os princpios bsicos de aplicao do

mtodo de volumes finitos (MVF), e a descrio da malha de integrao, suas diferentes

formas de construo e os tipos de arranjo das variveis em seu domnio. Em seguida, o

mtodo dos volumes finitos apresentado, os principais esquemas de interpolao

utilizados pela literatura para aproximao dos termos advectivos e difusivos so

revisados, bem como a forma de tratamento de no linearidades, do termo fonte, das

condies de contorno e das condies de entrada, sada, simetria e parede. A seguir,

so apresentadas as tcnicas utilizadas para resoluo do sistema discretizado, gerado na

aplicao do MVF. O captulo ento finalizado com uma reviso dos algoritmos

utilizados no tratamento do acoplamento presso-velocidade.

No Captulo 4 apresentada uma reviso da literatura relativa aos esquemas de

alta ordem, aos procedimentos de tratamento de oscilaes numricas e s tcnicas de

partio multibloco.

No Captulo 5, o procedimento proposto neste trabalho descrito. So

apresentados os esquemas de alta ordem propostos para aproximao dos termos

advectivos, difusivos e no lineares e a tcnica de partio multibloco para conexo dos

blocos com diferentes graus de refinamento de malha.

9

No Captulo 6 so apresentados os resultados obtidos atravs do procedimento

numrico proposto. So tratados problemas envolvendo o escoamento de fluidos

newtonianos e viscoelsticos. Foram considerados como, problemas teste, o escoamento

entre placas paralelas, o escoamento entre placas paralelas precedido de uma superfcie

livre de cisalhamento (slip-stick), o escoamento de sada de placas paralelas para uma

superfcie livre de cisalhamento (stick-slip), o escoamento em uma contrao plana e

o escoamento em cavidade quadrada sob a ao de uma placa deslizante (lid-driven).

No captulo 7 so apresentadas as concluses e sugestes para trabalhos futuros.

10

2. Fluidos Viscoelsticos

What we know is a drop. What we dont know is an ocean.

Sir. Isaac Newton

Neste captulo apresentada a reviso

bibliogrfica sobre fluidos viscoelsticos. As

principais equaes constitutivas utilizadas para

descrever o comportamento reolgico desse tipo

de fluido so devidamente detalhadas. Ao final do

captulo, so apresentas as principais dificuldades

reportadas na literatura para simulao deste tipo

de escoamento.

11

Embora a formao clssica de um engenheiro seja direcionada ao estudo de

fluidos que apresentam comportamento newtoniano, so inmeras as aplicaes de

materiais que apresentam comportamento completamente distinto ao comportamento

deste tipo de fluido. O que o caso dos fluidos viscoelsticos, que hoje em dia esto

presentes em inmeras aplicaes do dia a dia, como em embalagens, em peas para

indstria de construo civil, nas indstrias automobilstica e eletroeletrnica, dentre

inmeras outras aplicaes.

De uma forma geral, a diferena bsica entre fluidos newtonianos e fluidos

viscoelsticos ocorre quando tais fluidos forem submetidos a uma tenso. No caso de

fluidos newtonianos, a tenso de cisalhamento aplicada diretamente proporcional ao

gradiente de velocidade na direo normal, em que a constante que define esta

proporcionalidade a chamada viscosidade. J fluidos viscoelstico respondem de uma

forma completamente distinta ao de uma tenso de cisalhamento, no existindo uma

constante que permita relacionar diretamente a tenso aplicada sobre o fluido sua taxa

de deformao. Fazendo uma analogia aos fluidos newtonianos como se a viscosidade

variasse em funo da tenso aplicada sobre o fluido. Segundo BIRD 2004 et al. (2004),

esta grande distino de comportamento apresentada por este tipo de fluido deve-se a

sua composio qumica. Os fluidos viscoelsticos apresentam cadeias de elevada

massa molecular com muitos graus internos de liberdade, o que permite a formao de

cadeias lineares ou ramificadas que geralmente esto entrelaadas formando estruturas

complexas que podem ser modificadas quando submetidas a uma tenso. Devido

enorme possibilidade de arranjos que as cadeias polimricas podem assumir estes

materiais podem assumir uma infinidade de conformaes.

Em relao formulao do modelo matemtico, a grande distino ocorre no

prprio conjunto de equaes utilizadas para descrever o fluido. No caso de fluidos

newtonianos, o modelo matemtico constitudo pela equao da continuidade e pelas

equaes de conservao da quantidade de movimento, visto que para este caso as

equaes constitutivas utilizadas para descrever o comportamento reolgico do fluido

podem ser diretamente substituda na equao da conservao da quantidade de

movimento. No caso de fluidos viscoelsticos, para a maioria dos casos, as equaes

constitutivas no apresentam uma relao explcita entre os componentes do tensor

tenso com as demais variveis que compem o modelo, isso faz com que estas

equaes sejam partes integrantes do sistema de equaes a ser solucionado. Ou seja, o

12

modelo matemtico utilizado para fluidos viscoelsticos composto, como no caso

newtoniano, pela equao da continuidade e pelas equaes de conservao da

quantidade de movimento acrescido das equaes constitutivas utilizadas para descrever

o comportamento do tensor tenso. Existe na literatura uma grande quantidade de

equaes constitutivas, entretanto, mesmo com todo o esforo envolvido, no existe

ainda uma equao multi-propsito que seja capaz de representar adequadamente o

comportamento de qualquer polmero, o que existe so equaes especficas para

substncias especficas e muitas vezes limitadas tambm por condies operacionais.

Para construo de um modelo matemtico que seja capaz de representar

adequadamente o escoamento, especialmente de materiais polimricos, de extrema

importncia formular corretamente as relaes matemticas que descrevem o

comportamento reolgico do fluido. Normalmente na literatura este comportamento

pode ser classificado dentre os seguintes grupos (FAVERO, 2009):

Slidos de Hooke: slidos, perfeitamente elsticos que, quando submetidos a

uma tenso sofrem uma deformao finita, recuperam a sua conformao inicial uma

vez retirada a tenso. Apresentam uma relao linear entre a tenso e a deformao dada

pelo mdulo de Young, tambm chamado de mdulo elstico.

Fluidos newtonianos: fluidos puramente viscosos que apresentam uma relao

linear entre a taxa de deformao e a tenso aplicada dada pela viscosidade.

Enquadram-se nesta categoria gases e lquidos com peso molecular menor que cerca de

5000 g/mol (BIRD et al., 2004) como, por exemplo: gua e ar.

Fluidos puramente viscosos no newtonianos: fluidos puramente viscosos, mas

que no apresentam uma relao linear entre a tenso e a taxa de deformao. So

materiais que apresentam a viscosidade dependente do tempo e/ou da taxa de

deformao. A relao entre tenso e taxa de deformao dada atravs de uma

equao constitutiva, geralmente explcita em termos da taxa de deformao, de forma

que o nmero de equaes e incgnitas do problema no alterado quando comparado

ao modelo de um fluido newtoniano. So exemplos de materiais que apresentam

viscosidade que depende da taxa de deformao: pseudoplstico no qual a viscosidade

aparente diminui com o aumento da taxa de deformao (Ex: polpa de papel e tinta de

impressora), dilatante em que a viscosidade aparente aumenta com o aumento da taxa de

deformao (Ex: suspenso de amido) e plstico de Bingham que se comporta como um

slido at que uma tenso mnima seja atingida e, aps, apresenta uma relao linear

13

entre tenso e taxa de deformao (Ex: pasta de dente). Fluidos que apresentam a

viscosidade como funo do tempo so denominados: tixotrpico que apresenta

diminuio da viscosidade aparente com o tempo sob a ao de uma tenso de

cisalhamento constante (Ex: Ketchup) e reopticos que apresenta aumento da

viscosidade aparente com o tempo, sob a ao de uma tenso de cisalhamento constante

(Ex: Maionese).

Fluidos viscoelsticos: fluido que apresenta uma associao do comportamento

viscoso e elstico. Uma descrio mais detalhada deste tipo de fluido apresentada no

item a seguir.

2.1. Fluidos Viscoelsticos

Um fluido classificado como elstico quando a aplicao de um campo de

tenso gera uma deformao no material que naturalmente desaparece logo aps

cessada a fora. Um fluido classificado como viscoso quando a aplicao de um

campo de tenso causa uma deformao que mantida logo depois de retirada esta

fora. Fluidos viscoelsticos so assim chamados, pois apresentam em conjunto

caractersticas elsticas e viscosas (BIRD et al., 2002).

A resposta viscoelstica de materiais polimricos um assunto que tem sido

fonte de inmeras pesquisas e desenvolvimento durante as ltimas dcadas e mesmo

nos dias de hoje ainda existe uma grande quantidade de trabalhos direcionados ao

melhor entendimento deste fenmeno. Este crescente interesse da literatura deve-se a

grande quantidade de substncias polimricas que apresentam aplicaes industriais,

como o caso do plstico e da borracha.

O tempo e a temperatura exercem uma grande influncia nas propriedades

mecnicas do polmero, dependncia esta que muito maior que em outros materiais

como, por exemplo, em metais. Assim, uma compreenso do comportamento

viscoelstico fundamental para a manufatura e a utilizao do polmero. Entretanto, a

viscoelasticidade um assunto de grande complexidade que apresenta uma srie de

dificuldades conceituais (SHAW e MACKNIGHT, 2005).

Existe uma srie de experimentos que evidenciam a clara distino entre o

comportamento de fluidos newtonianos e polimricos (BIRD et al., 1987 e FERRY,

1980). Um destes experimentos submeter o fluido a uma taxa de deformao constante

at que o estado estacionrio seja atingido e aps decorrido um determinado tempo,

14

interromper o movimento. Para fluidos newtonianos imediatamente a tenso cai a zero,

j para fluidos viscoelsticos a tenso apresenta um valor finito e decai

exponencialmente com tempo, normalmente conhecido como tempo de relaxao.

Outro experimento que tambm demonstra um comportamento bastante distinto

dos fluidos polimricos o Rod-Climbing que consiste em colocar o fluido contido

em um bcher sob agitao atravs de um eixo rotatrio. Para o fluido newtoniano

possvel observar a formao de um vrtice junto ao eixo do agitador. J no caso de

fluidos polimricos observa-se que o fluido sobe junto ao eixo do agitador. Isso ocorre

porque as linhas de corrente so crculos fechados e as tenses normais ao longo das

linhas de corrente estrangulam o fluido gerando uma fora que age para dentro em

oposio a fora centrfuga e para cima oposta a fora gravitacional (BIRD et al., 1987).

Outro efeito caractersticos de fluidos viscoelsticos o efeito de inchamento do

estruturado (Extrudate Swell ou die Swell), no qual observado um aumento de

tamanho da seo vertical, que pode chegar at 300% do dimetro original, quando uma

substancia polimrica sai de um tubo devido s propriedades elsticas do fluido. No

caso de fluidos newtonianos, quando submetidos ao mesmo experimento no existe

mudanas significativas neste dimetro (BIRD et al., 1987).

Todos os produtos de origem polimrica passam por algum processo que

transforma o produto bruto, que a resina virgem, em um bem de consumo final.

Exemplos destes processos de transformao so: o processo de pultruso, extruso,

moldagem por injeo ou sopro, dentre muitos outros. Cada um destes processos

destina-se a produo de um determinado bem de consumo. Entretanto, na grande

maioria dos casos o que ocorre a fuso do material para que seja processado,

assumindo a forma de interesse final. O desenvolvimento de um modelo matemtico

que permita descrever adequadamente esses processos permite que inmeros estudos

possam ser conduzidos, na grande maioria das vezes de forma mais econmica e segura,

possibilitando o estudo de condies operacionais, da relao com que tais condies

afetam o processo e at mesmo das propriedades mecnicas finais do polmero.

Podendo assim proporcionar melhoras significativas no processo e consequentemente

no produto, reduzindo o custo de operao e aumentando o lucro.

15

2.2. Nmeros adimensionais Caractersticos e Funes Materiais

Grande parte dos fenmenos caractersticos dos fluidos viscoelsticos deve-se s

tenses geradas no escoamento devido ao estiramento e alinhamento das cadeias

polimricas ao longo das linhas de corrente. Em um processo transiente de relaxao de

tenses o tempo que o material leva para retornar a sua conformao de menor energia

conhecido como tempo de relaxao. Deste tempo, que caracterstico do fluido,

decorre um nmero que de fundamental importncia para o escoamento de fluidos

viscoelsticos, chamado de nmero de Deborah (De), que define a razo entre o tempo

de relaxao do polmero () e um tempo caracterstico do escoamento (tc), definido

pela equao:

ctDe =

2.1

O nmero de Deborah est diretamente relacionado com o efeito elstico do

material. Quanto maior este nmero, mais pronunciado o efeito elstico, sendo nulo

para fluidos newtonianos. No existe um nico tempo de relaxao para um polmero, o

que existe na realidade um espectro de relaxao, pois um polmero formado por

diversas cadeias de diferentes tamanhos e conformaes, cada qual com um tempo de

relaxao caracterstico e este tempo tambm depende da geometria. No clculo do

nmero de Deborah o tempo de relaxao caracterstico recomendado pode ser o maior

ou o que apresenta maior importncia dentro do espectro de relaxao.

Outro nmero adimensional de extrema importncia o nmero de Weissenberg

(We), que definido pelo produto entre o tempo de relaxao do polmero () e uma

taxa de deformao caracterstica do escoamento (c), definido pela equao:

cWe = 2.2

A menos que a deformao seja muito pequena ou muito lenta o comportamento

de um fluido viscoelstico no linear, o nmero de Weissenberg tem como finalidade

descrever esta no linearidade e tambm indicar o grau de anisotropia ou de orientao

gerada por uma deformao transitria. O nmero de Weissenberg tambm apropriado

para descrever os escoamentos que apresentam um estiramento constante ao longo do

tempo. Em contrapartida, o nmero de Deborah governa o grau de elasticidade que se

manifesta em resposta a uma deformao transitria e deve ser usado para descrever os

16

escoamentos que apresentam estiramentos variveis ao longo do tempo, e fisicamente

representa a taxa na qual a energia elstica armazenada ou liberada (DEALY 2010;

BIRD et al., 1987).

Se o nmero de Deborah for pequeno, o movimento trmico mantm as

molculas mais ou menos em sua configurao de equilbrio e o lquido polimrico

apresenta um comportamento prximo a de um fluido newtoniano. dito que o

comportamento de um fluido newtoniano atingido quando De0. Em contrapartida,

se o nmero de Deborah for grande as molculas polimricas que forem distorcidas pelo

escoamento no tero tempo de mudar de conformao durante a escala de tempo do

processo ou do experimento. No limite, quando De o experimento acontece to

rpido que as molculas do polmero no tm tempo de mudar de configurao e o

comportamento do fluido mais ou menos como o de um slido de Hooke (BIRD et al.,

1987).

Tais nmeros surgem naturalmente durante o procedimento de

adimensionamento das equaes constitutivas para fluidos viscoelsticos, da mesma

forma que o nmero de Reynolds surge no adimensionamento das equaes de

conservao de quantidade de movimento, sendo definido pela expresso:

UL

=Re

2.3

em que representa a massa especfica, U a velocidade, L um comprimento

caracterstico e a viscosidade dinmica taxa de deformao caracterstica do

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