“Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos”

“Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado

à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos”

Aluno: Eduardo Moreira de LemosOrientadores: Evaristo Chalbaud Biscaia Jr. (PEQ/COPPE/UFRJ) Argimiro Resende Secchi (PEQ/COPPE/UFRJ)

Programa de Engenharia químicaCOPPE / UFRJ

20 de Junho de 2011

A Fluidodinâmica ComputacionalA Fluidodinâmica Computacional

Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão de cisalhamento (FOX et al., 2004).

O movimento do fluido é causado pela ação de forças externas.

A Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dynamics – CFD) é definida como o conjunto de metodologias que implementadas em um computador permitem simular o escoamento de fluidos (HIRSH, 2007).

A partir da CFD é possível realizar um projeto complexo de engenharia com segurança e confiabilidade de resultados.

2

A Fluidodinâmica ComputacionalA Fluidodinâmica Computacional

3

Técnicas numéricas mais comumente aplicadas na CFD:

Método de Diferenças Finitas (MDF)

Método de Elementos Finitos (MEF)

Método de Volumes Finitos (MVF)

O MVF é o método mais aplicado na resolução de escoamentos de fluidos (CEBECI et al., 2005).

Esta preferência está diretamente relacionada às características conservativas que este método apresenta (MALISKA, 2004).

4

ObjetivosObjetivos

Desenvolvimento e implementação computacional de uma nova metodologia numérica para resolução das equações de Navier-Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos.

Procedimento fundamentado no método de volumes finitos utilizando malhas estruturadas e arranjos co-localizados das variáveis do problema.

A grande potencialidade deste procedimento está no acoplamento dos esquemas de alta ordem utilizados nas aproximações dos termos advectivos, difusivos e não lineares e as técnicas de partição multibloco utilizada no refino da malha do problema.

5

O Método de Volumes FinitosO Método de Volumes Finitos

xxxxv

yv

x yx

Volume de controle:


6

Integrando a equação no volume de controle adotado:

1 11 11 11 1 i

i

j

j

j

j

i

i

i

i

j

j

j

j

i

i

x

x

y

y

y

y

x

x

x

x

y

y

y

y

x

x

dydxyy

dxdyxx

dydxvy

dxdyux

11

11

11

11

i

i

j

j

i

i

j

j

x

x jj

y

y ii

x

xjyjy

y

yixix

dxyy

dyxx

dxvvdyvv

Obtém-se a expressão:

7

21,

21,

21,

21,

jiji

y

jixji

y

x

xx

vv

Literatura: Proposta:

1

1

21,

21,

j

j

j

j

y

y iji

y

y

yixji

y

x

dyx

yx

dyvyv

xyy

yxx

xvvyvv

jijiiji

jiyjiyjixjix

,211,

21

211,

21,1

,211,

21

21,

21,1

Sistema discretizado:

xyy

yxx

xvvyvv

ji

x

ji

x

i

y

ji

y

ji

x

yji

x

yji

y

xji

y

x

,21

1,21

21

,21

,1

,211,

21

21,

21,1


8

Esquemas de InterpolaçãoEsquemas de Interpolação

CDS:

++2

UDS:vvxx > 0 > 0

vvxx < 0 < 0

QUICK:

vvxx > 0 > 0

vvxx > 0 > 0

- 1- 1 + 6+ 6 + 3+ 38

33 + 6+ 6 - 1- 18

9

Funções de interpolação mais comumente aplicadas na literatura*:

• Aproximação dos termos advectivos – 1ª, 2ª ou 3ª Ordem• Aproximação dos termos difusivos – 2ª Ordem• Aproximação dos termos não lineares – 1ª ou 2ª Ordem• Ordem global da aproximação – 1ª ou 2ª Ordem

Metodologia de alta ordem proposta:• Aproximação dos termos advectivos• Aproximação dos termos difusivos• Aproximação dos termos não lineares • Ordem global da aproximação

Esquemas de InterpolaçãoEsquemas de Interpolação

*PATANKAR, 1980; MALISKA, 2004; VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995; FERZIGER e PERIC, 2002; TANNEHILL et al., 1997; HIRSCH, 2007

4ª Ordem

10

Esquemas de Alta OrdemEsquemas de Alta Ordem

Esquemas de alta ordem são assim chamados devido ao grau mais elevado de acurácia obtido por sua aplicação.

Apresentam ordem de aproximação superior a dois.

A utilização de tais esquemas permite a obtenção de uma solução com melhor acurácia utilizando-se malhas menos refinadas.

Promove redução de recursos computacionais empregados na simulação.

11

Esquemas de Alta OrdemEsquemas de Alta Ordem

ANOANO AUTORAUTOR TÍTULOTÍTULO

1992 HYMAN et al. "High Order Finite Volume Approximation of Differential Operators on Nonuniform Grids"

1995 LEONARD et al. "Order of Accuracy of QUICK and Related Convection-Diffusion Schemes"

1999 HOBAYASHI "On a Class of Padé Finite Volume Method"

2001 PEREIRA et al. "A Fourth-Order-Accuracy Finite Volume Compact Method for the Incompressible Navier-Stokes Solutions"

2004 LACOR et al. "A Finite Volume Formulation of Compact Central Schemes on Arbitrary Structured Grids"

ANOANO AUTORAUTOR PERIÓDICOPERIÓDICO

1992 HYMAN et al. Physica D: Nonlinear Phenomena

1995 LEONARD et al. Applied Mathematical Modelling

1999 HOBAYASHI Journal of Computational Physic

2001 PEREIRA et al. Journal of Computational Physics

2004 LACOR et al. Journal of Computational Physics

12

Técnica MultiblocoTécnica Multibloco

A utilização do tratamento multibloco permite refinar regiões específicas do domínio do problema sem que este refinamento seja estendido a outras regiões desnecessariamente.

13


Blocos coincidentes Blocos não coincidentesBlocos sobrepostos

14


ANOANO AUTORAUTOR TÍTULOTÍTULO1987 BERGER "On Conservation at Grid Interfaces"

1996 LIU e SHYY "Assessment of Grid Interface Treatments for Multi-block Incompressible Viscous Flow Computation"

1997 CHEN et al. "Local Mesh Refinement within a Multi-block Structured-grid Scheme for General Flows"

1999 TANG e ZHOU "On Nonconservative Algorithms for Grid Interfaces"

2003 DJOMEHRI e BISWAS

"Performance Enhancement Strategies for Multi-block Overset Grid CFD Applications"

2006 CAI et al. "A parallel Viscous Flow Solver on Multi-block Overset Grids"

ANOANO AUTORAUTOR PERIÓDICOPERIÓDICO1987 BERGER SIAM Journal on Numerical Analysis

1996 LIU e SHYY Computers and Fluids1997 CHEN et al. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering

1999 TANG e ZHOU SIAM Journal on Numerical Analysis

2003 DJOMEHRI e BISWAS Parallel Computing

2006 CAI et al. Computer and Fluids

Características Principais de Características Principais de Fluidos ViscoelásticosFluidos Viscoelásticos

15

Associação de características elásticas e viscosas (viscoelasticidade). Possuem viscosidade dependente da taxa de deformação aplicada sobre o material. Presença de tensões normais em escoamento por cisalhamento. Somadas as tensões originadas pelo cisalhamento, estes fluidos apresentam tensões extras ao longo das linhas de corrente. Este comportamento reológico deve-se basicamente à sua constituição química.

Equações Constitutivas para Equações Constitutivas para Fluidos Viscoelásticos Fluidos Viscoelásticos

16

Não é possível representar as propriedades físicas através de uma constante material. O tensor tensão é descrito utilizando funções materiais. Não é possível, na maioria dos casos, a obtenção de uma relação explícita entre o tensor tensão e os componentes da velocidade.

• Equação do Movimento

• Taxa de Deformação: • Fluido Newtoniano: • Fluidos Viscoelásticos: DN 2 PS TUUD

21

pUUUt

Equações Constitutivas para Equações Constitutivas para Fluidos Viscoelásticos Fluidos Viscoelásticos

17

Existe um grande quantidade de equações constitutivas. Estas equações podem ser enquadradas em diferentes grupos, de acordo com sua forma, natureza matemática e capacidade de predição de funções materiais.

Fluido Newtoniano Generalizado Fluido Viscoelástico Linear Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Diferenciais Teoria Cinética Teoria de Redes Teoria de Molécula Individual

Teoria da Reptação Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Integrais

18

Equações ConstitutivasEquações Constitutivas(Teoria de Redes)(Teoria de Redes)

Porção de uma rede polimérica formada por junções temporárias (○) (BIRD et al., 2004)

Considera uma rede em mutação contínua no qual os pontos de junção são temporários, formados por segmentos adjacentes que se movem juntos por um determinado tempo e então gradualmente se afastam (BIRD et al. 2004).

Modelo de Phan-Thien-Tanner (PTT) Simplified PTT (SPPT) Linear PTT (LPPT) Exponential PTT (EPTT) Fixed eta PTT (Feta-PTT)

19

Equações ConstitutivasEquações Constitutivas(Teoria de Molécula Individual)(Teoria de Molécula Individual)

Modelo de moléculas individuais esfera-mola: (a) Solução polimérica diluída e (b) Solução concentrada ou correspondente a um polímero fundido (BIRD et al., 2004)

A molécula é usualmente representada por meio de um modelo do tipo “esfera-mola”.

Representação do modelo “esfera-mola”

UCM Oldroyd-B White-Metzer

20

Modelo Matemático para oModelo Matemático para oEscoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos

Equação da continuidade:

0 U Equações da conservação da quantidade de movimento:

pUUUt

Equações constitutivas:

PN

Df

Dτ

KKKKK PPPPKP

N

2

2

0KPf

Modelo de Oldroyd-B:

Modelo de SPTT:

K

K

K PP

kP trf

21

Números Adimensionais CaracterísticosNúmeros Adimensionais Característicos

Deborah: Weissenberg:

ctDe

Reynolds:

UL

Re cWe

O número de Weissenberg é apropriado para descrever os escoamentos que apresentam um estiramento constante ao longo do tempo. O número de Deborah é apropriado para descrever os escoamentos que apresentam estiramentos variáveis ao longo do tempo.

(DEALY 2010; BIRD et al., 1987)

22

Fluidos ViscoelásticosFluidos Viscoelásticos

ANOANO AUTORAUTOR TÍTULOTÍTULO1992 KEILLER "Numerical Instability of Time-dependent flows"

2004 ABOUBACAR et al. "High-Order Finite Volume Methods for Viscoelastic Flow Problems"

2004 XUE et al. "Numerical Modeling Transient Viscoelastic Flows”

2004 FIÉTER e DEVILLE

"Time-dependent Algorithms for the Simulation of Viscoelastic Flows with Spectral Element Methods: Applications and Stability"

2004 VAN OS e PHILLIPS "Spectral Element Methods for Transient Viscoelastic Flow Problems "

2008 MUNIZ et al. "High-Order Finite Volume Method for Solving Viscoelastic Fluid Flows"

2008 DUARTE et al. "Numerical and Analytical Modeling of Unsteady Viscoelastic Flows: The Start-up and Pulsating Test Case Problems"

2010 FAVERO et al. "Viscoelastic Flow Analysis Using the Software OpenFOAM and Differential Constitutive Equations"

ANOANO AUTORAUTOR PERIÓDICOPERIÓDICO1992 KEILLER Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics

2004 ABOUBACAR et al. Journal of Computational Physics

2004 XUE et al. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics

2004 FIÉTER e DEVILLE Journal of Computational Physics

2004 VAN OS e PHILLIPS Journal of Computational Physics

2008 MUNIZ et al. Brazilian Journal of Chemical Engineering

2008 DUARTE et al. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics

2010 FAVERO et al. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics

23

Modelo Matemático para oModelo Matemático para oEscoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos

221

2221

2221

1Re

1Re

0

2

2

2

2

2

2

2

2

xyExyyyxxxyyxyxxyxyyyxxE

yEyyyyxyyyyyyxyyyyyyxxE

xExxyxxxxxyxxxxxxxyyxxE

yyxyyyEyyyxy

xyxxxxExyxxx

yx

vy

vx

vy

vx

vy

vxt

WeWe

vy

vy

vx

vy

vxt

WeWe

vx

vy

vx

vy

vxt

WeWe

yxv

yv

xp

yvv

yvv

xv

t

yxv

yv

xp

xvv

yvv

xv

t

vy

vx

Termos com Derivada de 1ª Ordem

Termos com Derivada de 2ª Ordem

Termos Não Linearesna Parede do Volume

de Controle

Termos Não Linearesno Centro do Volume

de Controle

24

Esquema de Interpolação de LagrangeEsquema de Interpolação de Lagrange

Esquema de interpolação de Lagrange:

m

k

n

k ki

xyk

ki

xyk

i

y ba0 0 2

121

em que:

dxdyyxxy

i

i

i

i

x

x

y

yji

xy

1 1

,1

21,

21

1

,1 j

j

y

yi

y dyyxy

25


23

21

21

23 12

1127

127

121

i

xy

i

xy

i

xy

i

xy

i

y

Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médios na interface:

27

25

23

210 4

11213

1223

1225 xyxyxyxyy

21

23

25

27 12

251223

1213

41

N

xy

N

xy

N

xy

N

xy

N

y

Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões do contorno: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas ao contorno:

xyxyxyxyy 121

125

1213

41

25

23

211

21

23

25

271 4

11213

125

121

N

xy

N

xy

N

xy

N

xy

N

y

26


Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médio da derivada na interface:

Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões do contorno:

N

y

N

xy

N

xy

N

xy

N

xy

N

y

xx

625

72415

72161

7255

811

21

23

25

27

27

25

23

210

081

7255

72161

72415

6251 xyxyxyxyy

y

xx

23

21

21

23 12

145

45

1211

i

xy

i

xy

i

xy

i

xy

i

y

xx

Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas ao contorno:

121

23

25

27

135

21

923

94

1811

N

y

N

xy

N

xy

N

xy

N

xy

N

y

xx

27

25

23

211

1181

94

923

21

351 xyxyxyxyy

y

xx

27


2

,2

,1

,21 hO

ji

y

ji

y

ji

y

Aproximação de Lagrange para os termos não lineares na parede do volume de controle:

Aproximação de Lagrange para os termos não lineares no centro do volume de controle:

2

21,

212

21,

211

21,

2121 hO

ji

xy

ji

xy

ji

xy

Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não lineares na parede do volume de controle:

4

,

2

,

12

2121

000012

hOyy

y

yxyxi

y

i

y

i

y

Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não lineares no centro do volume de controle:

4

,

2

,

12

,

2

,

12

21,

212

21,

211

21,

2121

0000

0000

12

12

hOyy

y

xxx

yxyx

yxyxji

xy

ji

xy

ji

xy

28

O Tratamento MultiblocoO Tratamento Multibloco

Esquema de interpolação de Lagrange de 4a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento par.

Esquema de interpolação de Lagrange de 4a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento impar.

A ORDEM DE APROXIMAÇÃO

NÃO É MANTIDA

29


Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento inferior.

Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior.

Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior para os volumes não coincidentes.

30


Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento inferior.

Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior.

31

Avaliação da Técnica de Partição MultiblocoAvaliação da Técnica de Partição Multibloco

Escoamento entre placas planas e paralelas

32


Maior refinamento aplicado próximo a entrada – Arranjo 1.

Maior refinamento aplicado próximo a saída – Arranjo 2.

Maior refinamento aplicado próximo a parede – Arranjo 3.

Maior refinamento aplicado próximo a simetria – Arranjo 4.

Estrutura de refinamento homogêneo – Solução de Referência.

Corte em x=5,0vx

Corte em y=0,5Pressão

33


Perfil de velocidade vx na interface de conexão aplicando o arranjo 1.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Vx

y

Referência Bloco mais refinado

-4104,7681× xrefx vv

Perfil de velocidade vx na interface de conexão aplicando o arranjo 2.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Vx

y


-410×4,7690 xrefx vv

Perfil de pressão na interface de conexão aplicando o arranjo 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

P

x


5-10×6,8182 PP ref

Perfil de pressão na interface de conexão aplicando o arranjo 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Px


3-104,0621× PP ref

N

ix

refxx

refx ii

vvN

vv1

21

34


Comparação dos perfis de velocidade vx para diferentes cortes em x aplicando a técnica multibloco com arranjo 3 e a solução de referência.

Comparação dos perfis de pressão para diferentes cortes em x aplicando a técnica multibloco com arranjo 3 e a solução de referência.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Vx

y

x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Referência x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Multibloco

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

4.5

6.0

7.5

9.0

10.5

12.0

13.5

15.0

16.5

P

y x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Referência x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Multibloco

Diferença entre as soluções de referência e aplicando o procedimento multibloco.

TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES :

LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 770 Segundos

LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 492 Segundos

35

Aplicação da Metodologia ao Aplicação da Metodologia ao Escoamento de Fluidos NewtonianosEscoamento de Fluidos Newtonianos

Escoamento “Slip-stick”

36

Resultados Resultados (Re=10)(Re=10)

Perfil de velocidade vx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.

Perfil de velocidade vy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.

37


Diferença entre as soluções obtidas pelo esquema LAG4 e para o esquema CDS aplicando diferentes malhas.

TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES :

CDS (120X80): 1135 Segundos

LAG4 (60X40): 480 Segundos

38


Curva de nível para velocidade vx obtida pela aplicação do procedimento multibloco.

Curva de nível para velocidade vy obtida pela aplicação do procedimento multibloco.

Estrutura da malha aplicando refinamento homogêneo 120x60.

Curva de nível para pressão obtida pela aplicação do procedimento multibloco.

Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento multibloco.

39


Comparação entre os perfis de velocidade vx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

Comparação entre os perfis de velocidade vy obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

40





Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.

41

Aplicação da Metodologia ao Aplicação da Metodologia ao Escoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos

Escoamento “Slip-stick”

42

Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,9)=0,9)

Perfil de velocidade vx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Vx

x

CDS-120x80 LAG4-30x10 LAG4-30x20 LAG4-60x10 LAG4-60x20 LAG4-60x40


3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

-0.14

-0.12

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

Vy

x


Perfil de tensão τxx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

-0.9

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

Txx

x


Perfil de tensão τyy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.00.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

Tyy

x


TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES:

CDS (120X80): 3557 Segundos

LAG4 (60X40): 1242 Segundos

43


Estrutura da malha aplicando refinamento homogêneo 60x60.Estrutura da malha aplicando o procedimento multibloco.

Comparação entre os perfis de velocidade vx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

V x

x y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9 y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9

Comparação entre os perfis de tensão τxx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Txx

x y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9 y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9

Comparação entre os perfis de tensão τyy obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Tyy

x y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9 y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9

Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.

44





45

Resultados Resultados ((ReRe=0,1 e =0,1 e WeWe=0,1)=0,1)

Perfil de tensão τxx obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ηE, usando o modelo de Oldroyd-B.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.9

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

Txx

x

ne=0.1 ne=0.3 ne=0.5 ne=0.7 ne=0.9

Perfil de tensão τxy obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ηE, usando o modelo de Oldroyd-B.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

Txy

x

ne=0.1 ne=0.3 ne=0.5 ne=0.7 ne=0.9

46


Perfil de tensão τxx obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ε, usando o modelo de SPTT.

4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Txx

x

Perfil de tensão τyy obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ε, usando o modelo de SPTT.

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tyy

x

47

Resultados Resultados ((ReRe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)

Perfis de tensão τxx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 usando malha 60x10 e 60x20 utilizando o modelo de Oldroyd-B.

Perfis de tensão τyy obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 usando malha 60x10 e 60x20 utilizando o modelo de Oldroyd-B.

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Txx

x

We=0.10-60x10 We=0.10-60x20 We=0.15-60x10 We=0.15-60x20 We=0.20-60x10 We=0.20-60x20

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Tyy

x

We=0.10-60x10 We=0.10-60x20 We=0.15-60x10 We=0.15-60x20 We=0.20-60x10 We=0.20-60x20

48

Resultados Resultados ((ReRe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)


Perfil de tensão τxx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 com malha 60x10 utilizando o modelo de Oldroyd-B.

Perfil de tensão τxx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 com malha 30x40 utilizando o modelo de Oldroyd-B.

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Txx

x

We=0.10 We=0.15 We=0.20 We=0.25 We=0.30

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Txx

x

We=0.10 We=0.15 We=0.20 We=0.25 We=0.30

49

Escoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos

Escoamento em Cavidade

50

Resultados Resultados ((WeWe=0,1, =0,1, ReRe=100 e =100 e ηηEE=0,7)=0,7)

Valores das velocidades mínimas e máximas em x=0,5 e y=0,5 para o escoamento em cavidade viscoelástico.

51

Resultados Resultados ((WeWe=0,1, =0,1, ReRe=100 e =100 e ηηEE=0,7)=0,7)

Comparação entre os perfil de velocidade vx na linha vertical central (x=0,5) obtidos pela aplicação do esquema LAG4 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009).

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

Vx

YAPICI et al., 2009 LAG4-M20x20 LAG4-M40x40

Comparação entre os perfil de velocidade vy na linha horizontal central (y=0,5) obtidos pela aplicação do esquema LAG4 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009).

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

Vy

x


-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

y

Vx


0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

Vy

x


52

ConclusõesConclusões

Uma nova metodologia numérica para resolução das equações de Navier-Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos foi desenvolvida.

A metodologia numérica desenvolvida é baseada no método de volumes finitos, utilizando uma malha estruturada e um arranjo co-localizado das variáveis do problema.

Os valores médios lineares e não lineares das variáveis nas interfaces dos volumes de controle são aproximados através de esquemas de Lagrange de 4ª ordem.

A utilização de esquemas de alta ordem permitiu a obtenção de uma solução com melhor acurácia utilizando malhas menos refinadas.

53

ConclusõesConclusões

A técnica de conexão multibloco desenvolvida foi capaz de conectar adequadamente os blocos de diferentes refinamentos de forma simples e eficiente.

O aspecto mais importante deste procedimento é a utilização direta das fórmulas de interpolação, garantindo assim que a ordem global da aproximação seja mantida. Permitindo também que o procedimento possa ser facilmente estendido a outros esquemas.

A utilização em conjunto destas duas técnicas permitiu o desenvolvimento de um código computacional associando a melhor acurácia dos esquemas de alta ordem à flexibilidade do tratamento multibloco.

54

Sugestões Sugestões

Implementação de técnicas de tratamento de oscilações numéricas.

Implementação de metodologias para resolver escoamento com elevados valores do número de Weissenberg.

Estudar a relação entre o número Weissenberg e o grau de refinamento da malha.

Testar novas ferramentas numéricas na resolução do sistema discretizado.

55

Agradecimentos Agradecimentos

Meus pais Noberto e Diomarina

Meus orientadores Evaristo e Argimiro

A minha namorada Cristiane

Aos grande amigos do LMSCP: João, André, Kese, Fabrício, Pedro e Cauê

Aos Amigos de longa data: Leonardo, Renata, Paulo, Thiago, Henrique, Luciana, e Bruno

Aos amigos Rogério, Fabiano, José, Márcio, Eduardo, Heloisa, Marcelo e Diego

Ao Jovani e a Thais do LTFD

Aos professores e funcionários do PEQ

A meus professores da PUC-Rio

Aos membros da banca

Ao CNPq pelo suporte financeiro

56

Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Pseudo-Compressibilidade)(Pseudo-Compressibilidade)

0

yx vy

vxt

p

yv

yxv

xxpvv

yvv

xv

txx

xyxxx

yv

yxv

xypvv

yvv

xv

tyy

yyyxy

Pseudo-Compressibilidade

Escoamento bidimensional, incompressível, isotérmico e transiente, com viscosidade constante

57

Solução numérica utilizando LAG4 e a pseudo-compressibilidade com Nx=Ny=40.

Solução Numérica utilizando o pacote CFX com malha formada por 20945 elementos.

Escoamento entre placas paralelas(Água na temperatura de 296K e Re=250)

Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Pseudo-Compressibilidade)(Pseudo-Compressibilidade)

58

Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Compressibilidade Artificial)(Compressibilidade Artificial)

02

yx vy

vx

atp

yv

yxv

xxpvv

yvv

xv

txx

xyxxx

yv

yxv

xypvv

yvv

xv

tyy

yyyxy

Compressibilidade Artificial

Escoamento bidimensional, incompressível, isotérmico e transiente, com viscosidade constante

ttxx

tta

pxxa

p

exp1expouexp1exp 22

59

Solução numérica utilizando LAG4 e a compressibilidade artificial com γ=1, τx=10-2 e p0/(a2 ρ)=1 Nx=Ny=40.

Solução numérica utilizando LAG4 e a compressibilidade artificial com γ=1, τt=10-2 e p0/(a2 ρ)=1 Nx=Ny=40.

Escoamento entre placas paralelas(Água na temperatura de 296K e Re=250)

Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Compressibilidade Artificial)(Compressibilidade Artificial)

60

Escoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos

Escoamento em Contração 2:1

61


Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento LAG4 multibloco, utilizando 3400 volumes de controle.

Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento CDS, utilizando 6000 volumes de controle.

62


Comparação entre os perfis de velocidade vy utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).

8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0-0.40

-0.35

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

V y

x

0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90

Comparação entre os perfis de velocidade vx utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).

8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

V x

x

0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90

Comparação entre os perfis de tensão τxx utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).

8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0-1

0

1

2

3

4

5

Txx

x

0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90

Comparação entre os perfis de tensão τyy utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).

8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

Tyy

x

0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90

TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES:

CDS (9000 Volumes): 2394 Segundos

LAG4 (3400 Volumes): 1556 Segundos

GRAU DE REFINO NA REGIÃO PRÓXIMA A CONTRAÇÃO:

CDS (9000 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0125

LAG4 (3400 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0083

Documents

“Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos”