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Tese Em Elementos Finitos

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOADepartamento de Engenharia CivilISEL

Clculo automtico de estruturas. Anlise estrutural de lajes atravs do mtodo dos elementos finitos.NUNO ALEXANDRE RISCADO VALENTE GEIRINHAS(Bacharel em Engenharia Civil)Trabalho Final de Mestrado para obteno do grau de Mestre em Engenharia Civil - Estruturas

Orientadores:Doutor Jorge Manuel Neto Pereira Gomes Doutor Antnio Lus Henriques Tavares de Castro

Jri:Presidente: Mestre Cristina Ferreira Xavier de Brito Machado Vogais: Doutor Antnio Lus H. Tavares de Castro Doutor Jorge Manuel Neto Pereira Gomes Doutor Srgio Bruno Martins Oliveira

Fevereiro de 2010

AgradecimentosAos meus pais e avs por terem dado a possibilidade de tirar o curso que sempre ambicionei. Aos Eng. Jorge Gomes e Eng. Antnio Tavares de Castro pela orientao e conselhos dados ao longo da realizao desta dissertao. Aos meus colegas de dissertao, Diogo Padilha, Nuno Carvalho e Gonalo Ll pela entreajuda e companheirismo. A todos os meus colegas de curso agradeo a disponibilidade e as frutuosas trocas de impresses sobre a dissertao. Manifesto o meu agradecimento a todos os que contriburam de forma directa ou indirectamente para o desenvolvimento deste trabalho.

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ResumoO principal objectivo deste trabalho foi o desenvolvimento de um programa de clculo automtico de lajes baseado no mtodo dos elementos finitos. Como introduo ao tema efectuada uma anlise da evoluo das estruturas ao longo dos tempos, diferenciando os vrios tipos de estruturas que existem. So explicitados os conceitos fundamentais da mecnica dos slidos, bem como os vrios tipos de anlises estruturais, os tipos de elementos finitos mais utilizados, bem como a classificao dos diversos tipos de estruturas. Devido importncia que o mtodo dos elementos finitos tem na engenharia actual, apresentada uma breve descrio da sua evoluo ao longo dos tempos. Como abordagem mais abrangente so apresentados os conceitos gerais do mtodo, evoluindo depois para uma descrio mais pormenorizada, aplicado aos elementos de laje adoptados no programa de clculo desenvolvido. As lajes podem ser modeladas atravs da teoria das lajes finas ou espessas, sendo apresentados os fundamentos tericos e simplificaes que sustentam estas duas abordagens. A validao do programa de clculo elaborado nesta dissertao, efectuado atravs de dois exemplos, um modelo simples e outro mais complexo onde se demonstram todas as potencialidades do programa. A validao efectuada atravs da comparao dos resultados, obtidos pelo programa e por um programa de referncia no clculo estrutural, o SAP2000. O desenvolvimento deste trabalho tem um objectivo mais abrangente de no futuro, este mdulo, poder ser includo num pacote de clculo estrutural alargado a outro tipo de estruturas. Com este pressuposto, foi efectuada uma descrio pormenorizada da organizao do programa e das suas capacidades e desenvolvido um manual de utilizao.

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AbstractThe final purpose of this work it was the development of a structural calculation program of slabs based in the finite element method. As an introduction to the subject is made an analysis of structural development over time, differentiating the various types of structures. It was also explained the fundamental concepts of solid mechanics, as well as the various types of structural analysis, the types of finite element most commonly used and the classification of different types of structures. Due to the importance that the finite element method has in engineering is present a brief description of its evolution over time. As more comprehensive approach are present the general concepts of the method, then evolving to a more detailed description, applied to the slab elements adopted in the calculation program developed. The slabs can be modeled by the theory of thin or thick slabs. The theory and the simplifications of these two approaches are present. The validation of the calculation program developed in this work is carried out through two examples, a simple model and other more complex where they show all the potential benefits. The validation is performed by comparing the results obtained by the program and a referral program in structural calculation, the SAP2000. The development of this work has a broader objective in the future, this module can be included in a package of structural calculations extended to other structures. With this assumption, there was made a detailed description of the program and their capabilities and developed a user's guide.

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Palavras chave:Clculo automtico de estruturas; Clculo matricial de estruturas; Anlise estrutural; Elemento finito de laje; Modelao numrica; Mtodo dos elementos finitos;

Keywords:Automatic calculation of structures; Matrix calculus of structures; Structural analysis; Finite element slab; Numerical modeling; Finite element method;

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ndiceCaptulo 1 ...................................................................................................................................... 1 1. Introduo ............................................................................................................................. 1 1.1. Enquadramento do tema ............................................................................................... 1 1.2. Motivao para a escolha do tema ................................................................................ 3 1.3. Objectivos ....................................................................................................................... 5 1.4. Organizao da dissertao............................................................................................ 6

Captulo 2 ...................................................................................................................................... 7 2. Anlise estrutural .................................................................................................................. 7 2.1. Introduo ...................................................................................................................... 7 2.2. Anlise estrutural ......................................................................................................... 11 2.3. Tipo de estruturas ........................................................................................................ 13 2.4. Teoria da Elasticidade .................................................................................................. 16 2.5. Concluses.................................................................................................................... 22

Captulo 3 .................................................................................................................................... 23 3. Mtodo dos Elementos Finitos ........................................................................................... 23 3.1. Introduo .................................................................................................................... 23 3.2. Metodologia de clculo do MEF................................................................................... 29 3.2.1. Discretizao da estrutura .................................................................................... 31 3.2.2. Tipos de elementos finitos .................................................................................... 32 3.2.3. Funes de forma ou de interpolao Ni .............................................................. 32 3.2.4. Deformaes e relaes de compatibilidade ........................................................ 36 3.2.5. Tenses e relaes constitutivas ........................................................................... 39 3.2.6. Matriz de rigidez elementar, principio dos trabalhos virtuais .............................. 39 3.3. Integrao numrica .................................................................................................... 42 3.4. Aspectos de aplicao .................................................................................................. 45 3.4.1. Formulao do MEF em deslocamentos, compatibilidade e equilbrio ................ 45 3.4.2. Seleco do tipo de elemento ............................................................................... 45 3.4.3. Compatibilidade entre elementos ........................................................................ 47 3.4.4. Clculo de tenses................................................................................................. 47 3.5. Concluses.................................................................................................................... 49

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Captulo 4 .................................................................................................................................... 51 4. Teoria das Lajes ................................................................................................................... 51 4.1. Introduo .................................................................................................................... 51 4.2. Modelo estrutural de lajes ........................................................................................... 54 4.3. Elementos finitos de Laje ............................................................................................. 55 4.4. Teoria das Lajes espessas ............................................................................................. 58 4.4.1. Referencial............................................................................................................. 58 4.4.2. Deslocamentos ...................................................................................................... 58 4.4.3. Deformaes generalizadas da laje....................................................................... 59 4.4.4. Modos de deformao com curvatura uniforme .................................................. 60 4.4.5. Deformaes ......................................................................................................... 62 4.4.6. Tenses.................................................................................................................. 62 4.4.7. Esforos na laje...................................................................................................... 64 4.4.8. Relaes esforos-deformaes............................................................................ 66 4.4.9. Relaes entre as tenses e os esforos ............................................................... 68 4.4.10. Momentos principais .......................................................................................... 69 4.5. Elementos finitos de laje espessa ................................................................................ 69 4.5.1. Vector dos deslocamentos nodais ........................................................................ 70 4.5.2. Elementos isoparamtricos e funes de interpolao ........................................ 71 4.5.3. Matriz de deformao ........................................................................................... 73 4.5.4. Matriz de rigidez.................................................................................................... 74 4.5.5. Condies de apoio ............................................................................................... 75 4.6. Concluses.................................................................................................................... 77

Captulo 5 .................................................................................................................................... 79 5. Exemplos de aplicao ........................................................................................................ 79 5.1. Introduo .................................................................................................................... 79 5.2. Exemplo da estrutura de validao do programa ........................................................ 80 5.2.1. Modelao da estrutura ........................................................................................ 80 5.2.2. Resultados dos deslocamentos ............................................................................. 82 5.2.3. Resultados dos esforos ........................................................................................ 87 5.2.4. Resultados das tenses ......................................................................................... 92 5.3. Exemplo de uma laje macia e aligeirada .................................................................... 93 5.3.1. Modelao da estrutura ........................................................................................ 93

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5.3.2. Resultados dos deslocamentos ............................................................................. 96 5.3.3. Resultados dos Momentos .................................................................................... 99 5.3.4. Resultados das tenses ....................................................................................... 101 5.4. Concluses.................................................................................................................. 102

Capitulo 6 .................................................................................................................................. 103 6. Concluses finais ............................................................................................................... 103 6.1. Sntese do trabalho .................................................................................................... 103 6.2. Perspectivas futuras ................................................................................................... 104

Anexo 1...................................................................................................................................... 105 A1. Estrutura do programa.................................................................................................... 105

Anexo 2...................................................................................................................................... 111 A2. Manual do utilizador ....................................................................................................... 111 A2.1. Introduo................................................................................................................ 111 A2.2. Introduo de dados atravs do ficheiro de dados .DAT ......................................... 113 A2.3. Ficheiro de resultados .out ...................................................................................... 125 A2.4. Ficheiro de resultados .des ...................................................................................... 128 A2.5. Ficheiro de resultados .esf ....................................................................................... 128 A2.6. Ficheiro de resultados .rec ....................................................................................... 130 6.3. Ficheiro de resultados .ten ......................................................................................... 130 6.4. Ficheiros para utilizar no programa GID .................................................................... 132

Referncias ............................................................................................................................ 137 Bibliogrficas ......................................................................................................................... 137 Internet ................................................................................................................................. 138

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ndice de figurasCaptulo 1 Figura 1.1 Anlise estrutural de uma escada [cypecad.multiplus.com, 2009]. .......................... 2 Figura 1.2 Discretizao da estrutura de um edifcio [arktec.com, 2009]. ................................ 2 Figura 1.3 Adaptao do MEF ao modelo de um osso [dec.fct.unl.pt, 2009]. ........................... 3 Figura 1.4 Programao em Fortran. ......................................................................................... 3 Figura 1.5 Programa de clculo estrutural [arktec.com, 2009].................................................. 4 Figura 1.6 Representao dos deslocamentos de uma laje, no mdulo grfico GID................. 5 Figura 1.7 Representao dos deslocamentos de uma laje fungiforme atravs do SAP2000 v11. ................................................................................................................................................ 5 Captulo 2 Figura 2.1 - Panteon de Roma [Appleton, 2009]........................................................................... 8 Figura 2.2 - Aqueduto da Pont du Gard em Nimes [Appleton, 2009]. .......................................... 8 Figura 2.3 Primeira construo em beto armado [Appleton, 2009]. ....................................... 9 Figura 2.4 Ponte da Arrbida [Appleton, 2009]. ...................................................................... 10 Figura 2.5 Anlise dinmica de um edifcio [itcsoftware.com, 2009]. ..................................... 12 Figura 2.6 Estrutura em barra. ................................................................................................. 13 Figura 2.7 Estrutura treliada [dec.fct.unl.pt, 2009]. ............................................................... 13 Figura 2.8 Estrutura composta por prticos [dem.ist.utl.pt, 2009]. ........................................ 13 Figura 2.9 Estrutura de placa com um carregamento uniformemente distribudo P. ............. 14 Figura 2.10 Estrutura de uma laje com um carregamento uniformemente distribudo P....... 14 Figura 2.11 Estrutura em cpula. ............................................................................................. 15 Figura 2.12 Macio de encabeamento de estacas. ................................................................ 15 Captulo 3 Figura 3.1 Teste de carregamento numa barra executado por Leonardo Da Vinci [Oliveira, 2008]. .......................................................................................................................................... 24 Figura 3.2 Teste de tenses executado por Galileo [Oliveira, 2008]. ...................................... 24 Figura 3.3 Aproximao de uma funo por sries de Fourier [problemasteoremas.wordpress.com, 2009].............................................................................. 25 Figura 3.4 Discretizao de uma estrutura [cwbookstore.com.br, 2009]................................ 27 Figura 3.5 Discretizao de uma ponte atravs de um programa de clculo actual [finesoftware.eu, 2009]............................................................................................................... 28 Figura 3.6 Exemplo da discretizao de uma barragem e dos seus terrenos de fundao [pwp.net.ipl.pt, 2009]. ................................................................................................................ 31 Figura 3.7 - Exemplo da discretizao de uma barragem e albufeira de fundao [pwp.net.ipl.pt, 2009]. ................................................................................................................ 31 Figura 3.8- Exemplo da discretizao de uma barragem e dos seus terrenos de fundao [Oliveira, 2009]. ........................................................................................................................... 31 Figura 3.9 Exemplos de elementos finitos [Oliveira, 1996]...................................................... 32 Figura 3.10 Exemplos de funes de interpolao para o caso unidimensional [Jnior e outros, 2009]. .............................................................................................................................. 33 Figura 3.11 Representao grfica das funes de interpolao [Jnior e outros, 2009]. ...... 34 Pgina xiii

Figura 3.12 Exemplos de elementos com os seus eixos locais. ................................................ 35 Figura 3.13 Representao grfica do mtodo de gauss [Oliveira e outros, 2005]. ................ 42 Figura 3.14 Representao dos pontos de gauss num elemento quadrangular...................... 44 Figura 3.15 Exemplos de elementos triangulares e quadrilteros de vrios graus. ................ 46 Figura 3.16 - Exemplos de elementos do 1 e do 2 grau. .......................................................... 46 Figura 3.17 Compatibilidade entre elementos [Lemos, 2005]. ................................................ 47 Captulo 4 Figura 4.1 Construo do prolongamento da laje do Aeroporto da Madeira [weblog.com.pt, 2009]. .......................................................................................................................................... 52 Figura 4.2 Sistema construtivo das lajes em madeira [Branco, 2002]. .................................... 52 Figura 4.3 Representao esquemtica das condies de apoio de uma laje. ........................ 54 Figura 4.4 Representao de uma fibra A-B normal ao plano mdio de uma laje de espessura t ................................................................................................................................................... 56 Figura 4.5 Comportamento da fibra A-B segundo a teoria das lajes finas e espessas. ............ 56 Figura 4.6 Referencial cartesiano considerado na formulao da laje. ................................... 58 Figura 4.7 Deformao de uma fibra quando lhe aplicada uma rotao 1 e 2 . ................ 59 Figura 4.8 Representao da curvatura de flexo K11 de uma laje. ......................................... 61 Figura 4.9 Representao da curvatura de flexo K22 de uma laje. ......................................... 61 Figura 4.10 Representao da curvatura de toro K12 de uma laje........................................ 61 Figura 4.11 Representao das tenses normais nas facetas com normal X1 e X2. ................. 63 Figura 4.12 Representao das tenses de corte actuando na direco horizontal. .............. 63 Figura 4.13 Representao das tenses de corte actuando na vertical. ................................. 64 Figura 4.14 Representao dos momentos flectores M22 e M11. ............................................. 65 Figura 4.15 Representao dos momentos torsores M12 e M21. .............................................. 65 Figura 4.16 Representao dos esforos transversos V31 e V32. ............................................... 66 Figura 4.17 Referencial dos deslocamentos nodais. ................................................................ 70 Figura 4.18 Transformao de coordenadas locais em coordenadas globais.......................... 71 Figura 4.19 Referenciais locais para a colocao das condies de apoio............................... 75 Figura 4.20 Tabela com as vrias condies de apoio. ............................................................ 76 Captulo 5 Figura 5.1 Representao da Laje utilizada na validao do programa (dimenses em metros). a) laje encastrada, b) laje apoiada. ............................................................................................. 80 Figura 5.2 Modelao da Laje utilizada na validao do programa (dimenses em metros). . 81 Figura 5.3 Comparao dos deslocamentos a meio vo da laje apoiada para uma carga concentrada a meio vo. ............................................................................................................. 82 Figura 5.4 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje apoiada para uma carga uniformemente distribuda. ........................................................................................................ 83 Figura 5.5 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje encastrada para uma carga concentrada. ............................................................................................................................... 84 Figura 5.6 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje encastrada para uma carga uniformemente distribuda. ........................................................................................................ 85 Figura 5.7 Deformao da laje encastrada representada no programa GID. .......................... 86 Figura 5.8 Deformao da laje encastrada representada no programa SAP2000. .................. 86 Pgina xiv

Figura 5.9 - Comparaes dos momentos no encastramento de uma laje encastrada para uma carga concentrada a meio vo. ................................................................................................... 87 Figura 5.10 - Comparaes dos momentos no encastramento da laje encastrada para uma carga uniformemente distribuda. .............................................................................................. 88 Figura 5.11 - Comparaes dos momentos a meio vo da laje encastrada com uma carga uniformemente distribuda. ........................................................................................................ 89 Figura 5.12 Comparaes dos momentos a meio vo da laje simplesmente apoiada para uma carga uniformemente distribuda. .............................................................................................. 90 Figura 5.13 Representao dos momentos M11 para a laje encastrada e para o carregamento uniforme atravs do GID. ............................................................................................................ 91 Figura 5.14 Representao dos momentos M11 para a laje encastrada e para o carregamento uniforme atravs do SAP2000..................................................................................................... 91 Figura 5.15 Campo de tenses na face superior da laje totalmente encastrada para a carga uniformemente distribuda (GID)................................................................................................ 92 Figura 5.16 Campo de tenses na face superior da laje totalmente encastrada para a carga uniformemente distribuda (SAP2000). ...................................................................................... 92 Figura 5.17 Bloco da parte aligeirada do tipo Ferca (dimenses em metros). ..................... 93 Figura 5.18 Estrutura da laje (dimenses em metros). ............................................................ 93 Figura 5.19 Uniformizao da seco da laje aligeirada .......................................................... 95 Figura 5.20 Modelao da estrutura ........................................................................................ 95 Figura 5.21 Zonas dos cortes da laje. ....................................................................................... 96 Figura 5.22 Comparao dos deslocamentos obtidos pelo programa e pelo SAP2000, ao longo do corte A (a) e B (b) para o carregamento do peso prprio...................................................... 97 Figura 5.23 Campo de deslocamentos obtidos pelo programa de clculo, atravs do GID (a) e pelo SAP2000 (b), para o carregamento do peso prprio (m). ................................................... 98 Figura 5.24 Comparao dos momentos obtidos pelo programa e pelo SAP2000, ao longo do corte A (a) e B (b) para o carregamento do peso prprio. ........................................................ 100 Figura 5.25 Campo de tenses na face supeior obtidos pelo programa de clculo, (a) e pelo SAP2000 (b), para o carregamento do peso prprio. ............................................................... 101 Anexo 2 Figura A.2.1- Exemplo da estrutura utilizada neste manual. a) Estrutura da laje, b) Modelao da laje ........................................................................................................................................ 112 Figura A.2.2 Duas primeiras linhas do ficheiro de dados. ....................................................... 113 Figura A.2.3 Bloco das coordenadas. ...................................................................................... 114 Figura A.2.4 Bloco de dados com a tabela de incidncias. ..................................................... 114 Figura A.2.5 Bloco com os dados dos materiais. ..................................................................... 115 Figura A.2.6 Bloco com os ns apoiados. ................................................................................ 116 Figura A.2.7 Bloco com as caractersticas das seces. .......................................................... 116 Figura A.2.8 Bloco com os dados dos pontos de gauss. .......................................................... 116 Figura A.2.9 Bloco com os dados das combinaes de aces .............................................. 117 Figura A.2.10 Bloco com os dados referentes s aces........................................................ 117 Figura A.2.11 Indicao dos parmetros das foras concentradas e sua representao grfica. ................................................................................................................................................... 118 Figura A.2.12 Bloco com o parmetros das foras de vo ...................................................... 119 Pgina xv

Figura A.2.13 Referencial com as direces locais. ................................................................ 119 Figura A.2.14 Referencial das direces globais. ................................................................... 119 Figura A.2.15 Referencial com o nmero de cada lado do elemento .................................... 120 Figura A.2.16 Indicao dos parmetros da fora de vo concentrada no elemento 12 e sua representao grfica. .............................................................................................................. 120 Figura A.2.17 Indicao dos parmetros da fora de vo uniformemente distribuda no elemento 13 e sua representao grfica. ................................................................................ 121 Figura A.2.18 Indicao dos parmetros da fora de vo uniformemente distribuda no elemento 14 e sua representao grfica. ................................................................................ 121 Figura A.2.19 Indicao dos parmetros da fora de vo trapezoidal no elemento 15 e sua representao grfica. .............................................................................................................. 122 Figura A.2.20- Indicao dos parmetros da fora de vo triangular no elemento 16 e sua representao grfica. .............................................................................................................. 122 Figura A.2.21 Indicao dos parmetros da fora de vo trapezoidal parcial no elemento 17 e sua representao grfica. ........................................................................................................ 123 Figura A.2.22 Indicao dos parmetros da fora de vo triangular parcial no elemento 18 e sua representao grfica. ........................................................................................................ 123 Figura A.2.23 Indicao dos parmetros da fora de rea no elemento 19 e sua representao grfica. .............................................................................................................. 124 Figura A.2.24 Bloco com os parmetros dos assentamentos de apoio. ................................ 124 Figura A.2.25 Resumo dos dados introduzidos no programa, presente no ficheiro .out. ..... 125 Figura A.2.26 Apresentao das coordenadas dos ns no ficheiro .out. ................................ 125 Figura A.2.27 Apresentao dos parmetros dos elementos no ficheiro .out. ..................... 126 Figura A.2.28 Apresentao dos parmetros dos materiais no ficheiro .out. ....................... 126 Figura A.2.29 Apresentao dos parmetros das seces no ficheiro .out. .......................... 126 Figura A.2.30 Apresentao dos ns apoiados no ficheiro .out............................................. 126 Figura A.2.31 Apresentao dos parmetros das aces no ficheiro .out. ............................ 127 Figura A.2.32 Apresentao dos parmetros dos pontos de gauss no ficheiro .out. ............ 127 Figura A.2.33 Apresentao dos parmetros das combinaes de caes no ficheiro .out.. 127 Figura A.2.34 Apresentao dos deslocamentos no ficheiro de dados .des. ......................... 128 Figura A.2.35 Apresentao dos esforos no ficheiro .esf. ..................................................... 129 Figura A.2.36 Apresentao das reaces no ficheiro .rec. .................................................... 130 Figura A.2.37 Apresentao das tenses ficheiro .ten. .......................................................... 131 Figura A.2.38 Abrir um ficheiro .msh no programa GID.......................................................... 132 Figura A.2.39 Malha da estrutura exemplo, representada pelo programa GID. .................... 133 Figura A.2.40 Boto para mudar o modo de visualizao do GID........................................... 133 Figura A.2.41 Modo de abrir um ficheiro de resultados no GID. ............................................ 134 Figura A.2.42 Modo de abrir um ficheiro de resultados no GID. ............................................ 134 Figura A.2.43 Escolha da representao da deformada da estrutura. ................................... 134 Figura A.2.44 Visualizao do campo de deslocamentos no GID. .......................................... 135 Figura A.2.45 Visualizao do campo de tenses xx no GID. ................................................. 135

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ndice de tabelasCaptulo 3 Tabela 3.1 Coordenadas e os pesos de gauss ............................................................................. 44 Captulo 4 Tabela 4.1 Coordenadas locais de um elemento quadriltero. ............................................... 72 Captulo 5 Tabela 5.1 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje apoiada para uma carga concentrada a meio vo. ............................................................................................................. 82 Tabela 5.2 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje apoiada para uma carga uniformemente distribuda. ........................................................................................................ 83 Tabela 5.3 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje encastrada com uma carga concentrada. ............................................................................................................................... 84 Tabela 5.4 Comparaes dos deslocamentos a meio vo da laje encastrada para uma carga concentrada a meio vo. ............................................................................................................. 85 Tabela 5.5 Comparaes dos momentos no encastramento de uma laje encastrada para uma carga concentrada a meio vo. ................................................................................................... 87 Tabela 5.6 Comparaes dos momentos no encastramento da laje encastrada para uma carga uniformemente distribuda. .............................................................................................. 88 Tabela 5.7 Tabela com as comparaes dos momentos a meio vo da laje encastrada com uma carga uniformemente distribuda. ...................................................................................... 89 Tabela 5.8 Comparaes dos momentos a meio vo da laje simplesmente apoiada para uma carga uniformemente distribuda. .............................................................................................. 90 Tabela 5.9 Comparaes dos deslocamentos mximos para o corte A. .................................. 96 Tabela 5.10 Comparaes dos deslocamentos mximos para o corte B. ................................ 96 Tabela 5.11 Comparaes dos momentos mximos negativo para o corte A. ........................ 99 Tabela 5.12 Comparaes dos momentos mximos positivos para o corte A. ....................... 99 Tabela 5.13 Comparaes dos momentos mximos negativos para o corte B. ...................... 99 Tabela 5.14 Comparaes dos momentos mximos positivos para o corte B......................... 99

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Clculo Automtico de Estruturas. Anlise estrutural de lajes atravs do mtodo dos elementos finitos.

Introduo

Captulo

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1. Introduo

1.1. Enquadramento do temaA concepo estrutural uma das etapas fundamentais na realizao de qualquer obra. Esta etapa consiste na escolha de um sistema estrutural adequado aos objectivos pretendidos e que consiga tirar o maior proveito dos materiais utilizados na sua execuo. Os elementos estruturais so dimensionados com base numa anlise estrutural, de acordo com o comportamento dos materiais constituintes desses elementos. Todas as teorias fsicas e matemticas resultantes dos mtodos da engenharia estrutural como cincia so utilizados nesta anlise tendo como objectivo a criao de um modelo analtico que traduza o comportamento do edifcio. Assim, um modelo analtico utilizado para representar matematicamente a estrutura em anlise. Este modelo inclui todas as teorias e hipteses feitas para descrever o comportamento da estrutura para as diversas solicitaes ao longo da sua vida til.

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Clculo Automtico de Estruturas. Anlise estrutural de lajes atravs do mtodo dos elementos finitos.

Introduo Estas hipteses so baseadas em leis fsicas de equilbrio entre deslocamentos e deformaes e as leis constitutivas dos materiais que compem a estrutura. O desenvolvimento de um modelo estrutural que simule o comportamento real das obras das etapas mais importantes nas diversas fases do projecto (Figura 1.1). Esta tarefa pode ser bastante complexa, dependendo do tipo de estrutura e da sua importncia. Em geral, a concepo de um modelo estrutural feita atravs da representao do comportamento real da estrutura e com a adopo de uma srie de hipteses simplificativas do comportamento fsico e de resultados experimentais e estatsticos. A estas hipteses, esto inerentes a geometria dos elementos estruturais, as condies de suporte com o meio externo, comportamento dos materiais e as solicitaes que actuam sobre a estrutura.

Figura 1.1 Anlise estrutural de uma escada [cypecad.multiplus.com, 2009].

Ao longo dos ltimos tempos, os projectistas tm procurado anlises estruturais mais refinadas e possuem hoje o clculo automtico como uma potente ferramenta de dimensionamento. Atravs da evoluo deste tipo de clculo, foi sendo possvel a introduo de um grande conjunto de opes estruturais e construtivas. O desenvolvimento do clculo automtico permitiu a implementao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) j existente, possibilitando a anlise estrutural de obras complexas recorrendo a metodologias mais adequadas ao comportamento real (Figura 1.2). Actualmente o MEF a ferramenta de clculo mais utilizada em todos os problemas de engenharia, tendo o seu campo de aplicao vindo a ser adaptado generalidade das reas cientficas (Figura 1.3).

Figura 1.2 Discretizao da estrutura de um edifcio [arktec.com, 2009].

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Introduo

Figura 1.3 Adaptao do MEF ao modelo de um osso [dec.fct.unl.pt, 2009].

1.2. Motivao para a escolha do temaNo incio do desenvolvimento dos computadores, os programas de clculo automtico eram desenvolvidos pelos prprios utilizadores, sendo por isso bastante pessoais e de difcil utilizao por outras pessoas (Figura 1.4). Devido ao grande desenvolvimento informtico houve a necessidade de generalizar a utilizao deste tipo de metodologias maioria dos projectistas. Este facto originou a necessidade deste tipo de software ser desenvolvido por pessoas especializadas na criao de interfaces intuitivas e de fcil utilizao. Assim os projectistas passaram cada vez mais a ser simples utilizadores de softwares de clculo estrutural, fazendo a posterior anlise dos resultados obtidos.

Figura 1.4 Programao em Fortran.

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Introduo Este facto veio trazer um inconveniente, pois perante um problema de anlise de estruturas e dispondo de um software intuitivo, passou a ser perfeitamente acessvel a um projectista a obteno de resultados para todos os seus problemas. A falta de sensibilidade na anlise crtica dos resultados ou desconhecimento das hipteses do modelo matemtico que est a ser utilizado pode ser extremamente perigoso, por isso, necessrio que a sua utilizao seja prudente e baseada na experincia dos utilizadores (Figura 1.5).

Figura 1.5 Programa de clculo estrutural [arktec.com, 2009].

O utilizador ir usar o software de acordo com os conhecimentos que recebeu ou ento baseando-se em improvisaes. A tentao para aceitar os resultados provenientes dos programas grande, quaisquer que sejam esses resultados, uma vez que o utilizador considera que o software escolhido de elevada qualidade. Os potenciais perigos de uma utilizao nestas condies so a no percepo de eventuais erros na introduo dos dados, a ausncia de correspondncia entre o modelo seleccionado e a estrutura que est a ser analisada bem como o facto de serem desprezadas condicionantes importantes. A principal motivao para a realizao desta tese est relacionada com este assunto, neste trabalho conseguiu-se conciliar o gosto pela informtica, com o aprofundamento dos conhecimentos sobre a teoria dos elementos finitos. Com este trabalho pretende-se adquirir experincia e solidificar contedos, a nvel do mtodo de clculo de estruturas, baseado no mtodo dos elementos finitos. Por outro lado, atravs da utilizao de vrios programas de clculo estrutural, ganhar uma maior sensibilidade na anlise dos resultados, aumentando, por isso a capacidade de detectar possveis erros, quer de concepo quer da introduo de dados.

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Introduo

1.3. ObjectivosEste trabalho tem como objectivo principal a elaborao de uma ferramenta de clculo numrico, procedendo anlise esttica de uma laje considerando um comportamento elstico e linear dos materiais. Esta ferramenta ser baseada no mtodo dos elementos finitos, e a modelao da estrutura ser efectuada com o recurso implementao de um elemento finito que represente as caractersticas do elemento estrutural a modelar. O elemento finito escolhido para esta anlise foi um elemento quadrangular plano de quatro ns. Para modelar o comportamento estrutural das lajes, foram considerados trs graus de liberdade em cada n, (uma translao e duas rotaes). Os procedimentos de clculo foram desenvolvidos na linguagem de programao Fortran e a representao grfica do modelo estrutural e dos resultados atravs do mdulo grfico GID (figura 1.6).

Figura 1.6 Representao dos deslocamentos de uma laje, no mdulo grfico GID.

Os resultados do programa desenvolvido foram validados com base nos valores obtidos pelo programa de clculo estrutural SAP2000 (Figura 1.7).

Figura 1.7 Representao dos deslocamentos de uma laje fungiforme atravs do SAP2000 v11.

Este programa poder auxiliar alunos e professores, principalmente dentro do ISEL, no estudo do mtodo dos elementos finitos.

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Introduo

1.4. Organizao da dissertaoA dissertao apresenta-se dividida em 6 captulos e mais dois captulos anexos. No primeiro captulo feito o enquadramento da tese, explicada a motivao para a sua escrita, os seus objectivos bem como a sntese dos restantes captulos. No captulo 2 descrita a anlise estrutural, onde se descrevem os vrios tipos de anlises, de estruturas e de elementos. tambm abordada a teoria da elasticidade, onde se explicam os principais conceitos fsicos, sobre tenses, deslocamentos etc, que vo ser utilizados ao longo da tese. O captulo 3 dedicado caracterizao genrica do mtodo dos elementos finitos, atravs da discretizao da sua metodologia de clculo, fazendo tambm uma breve referncia histrica sobre a sua origem. O captulo 4 uma pormenorizao do captulo anterior, onde se explica mais concretamente a teoria das lajes baseada no MEF. No captulo seguinte, o captulo 5 contm a anlise estrutural feita a duas lajes, uma laje de beto armado simplesmente apoiada e uma laje aligeirada composta por uma parte fungiforme e outra macia. A anlise estrutural foi feita atravs do programa de clculo desenvolvido, contendo tambm as concluses sobre estas duas anlises. Por ltimo, no ltimo captulo, so apresentadas as concluses do trabalho.

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Anlise estrutural

Captulo

2

2. Anlise estrutural

2.1. IntroduoAs estruturas de beto sofreram uma grande evoluo ao longo da histria da humanidade, tendo a sua origem nas antigas civilizaes onde o beto e as argamassas eram obtidos atravs da mistura de argila ou argila margosa, areia, cascalho e gua, sendo utilizados principalmente em pavimentos, paredes e suas fundaes. A civilizao Romana a primeira a executar casas, templos, pontes e aquedutos, so disso exemplos, o Panteon de Roma (Figura 2.1) (com uma cpula de 50m de dimetro, de beto de inertes leves, realizado no ano 127 DC), o Aqueduto da Pont du Gard em Nimes (Figura 2.2) (realizado em 150 DC no qual se utilizou o beto no canal de gua e no interior do forro das cantarias) e diversas pontes de alvenaria e beto ainda existentes em diversos pases das quais se salientam em Portugal a Ponte de Vila Formosa na N369 e a Ponte de Trajano sobre o Rio Tmega em Chaves [Appleton, 2009].

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Anlise estrutural

Figura 2.1 - Panteon de Roma [Appleton, 2009].

Figura 2.2 - Aqueduto da Pont du Gard em Nimes [Appleton, 2009].

Existem tambm registos de que os Romanos fizeram tentativas para armarem o beto com cabos de bronze, experincias no bem sucedidas devido aos diferentes coeficientes de dilatao trmica do bronze e do beto. Posteriormente e at ao sculo XVIII o beto tem uma utilizao reduzida, quase exclusivamente limitada s fundaes e ao interior de paredes de alvenaria.

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Anlise estrutural com o desenvolvimento da produo e estudo das propriedades do cimento (Smeaton em 1758, James Parker em 1976, Louis Vicat em 1818) que culminou com a aprovao da patente do cimento Portland (nome dado por a cor do cimento ser parecida com a da rocha Portland) apresentada por Joseph Aspdin em Leeds em 1824 que se vai dar um grande desenvolvimento na aplicao do beto nas construes. Em 1885 concebem-se os fornos rotativos (Frederick Ransome) que permitiriam baixar substancialmente o preo do cimento [Appleton, 2009]. Em relao ao beto armado, as primeiras referncias que existem so de 1830, no entanto, o barco em fibrocimento realizado pelo francs Jean-Louis Lambot em 1848 reconhecido como a obra mais antiga de beto armado ainda existente (Figura 2.3). O beto armado sofre depois uma evoluo com Joseph Monier, atravs das suas patentes de 1849 para caixas (floreiras), casas e tubagens em 1867 e pontes em arco em 1873, Francois Coignet em 1852 e com William Wilkinsen em 1954.

Figura 2.3 Primeira construo em beto armado [Appleton, 2009].

No princpio do sculo XX, assiste-se a um desenvolvimento da utilizao e compreenso do funcionamento e possibilidades do beto armado. Este desenvolvimento est associado realizao de numerosas patentes onde se indicam as bases de clculo e as disposies de armaduras adoptadas para diversos elementos estruturais [Appleton, 2009]. Em 1911 so criadas em Portugal as Universidades de Lisboa e do Porto e em 1918 aprovado o 1 Regulamento Portugus no domnio do beto armado intitulado de Instrues Regulamentares para o Emprego do Beton Armado, baseado nas normas francesas de 1906.

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Anlise estrutural Nas posteriores dcadas, deve-se salientar as construes do Suo Maillart como a Ponte de Salginatobel (1930) e os seus estudos e obras sobre lajes fungiformes e do Francs Eugne Freyssinet como a Ponte Villeneuve-Sur-Lot com 96m de vo (1919), os Hangares de Orly com um vo de 90m (1921) e a Ponte de Plougastel com trs arcos de 186m de vo (1930). Em relao a Portugal, as principais obras em beto armado so executadas durante a primeira metade do sculo XX. Destacam-se o Canal do Tejo (1940), que envolveu a realizao de tneis, pontes canal e tubagens de 2,5m de dimetro, tendo sido utilizada a vibrao mecnica pela primeira vez no nosso pas, o viaduto Duarte Pacheco em Lisboa, com um desenvolvimento total de 505 m tendo o arco central um vo de 91,97 m, bem como a construo de edifcios onde se salientam os edifcios do IST. Deve no entanto referir-se que neste perodo era ainda usual realizar a estrutura dos edifcios com paredes de alvenaria e o beto armado era aplicado na estrutura dos pisos em alternativa a solues de estruturas de madeira. Em relao s pontes em beto armado, de salientar as grandes pontes em arco de onde se destacam a Ponte Sando na Sucia com 264 m de corda (1943) e a Ponte da Arrbida com 270 m de corda (1964) (Figura 2.4).

Figura 2.4 Ponte da Arrbida [Appleton, 2009].

No domnio das barragens inicia-se em Portugal um perodo de execuo de grandes barragens em abbada, como por exemplo a Barragem do Cabril no Rio Zzere. Durante a segunda metade do sculo XX, em 1958 publicado o Regulamento de Segurana das Construes contra os Sismos que estabelece a diferenciao do risco ssmico no pas quantificando de forma simplificada as respectivas solicitaes. Este regulamento praticamente revogado com a publicao em 1961 do Regulamento de Solicitao de Edifcios e Pontes [Appleton, 2009]. Pgina 10

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Anlise estrutural Posteriormente em 1967 publicado o novo regulamento no domnio do beto armado, REBA o qual integra j a moderna filosofia de verificao da segurana em relao aos estados limites, que posteriormente foi melhorado com a introduo da regulamentao do pr-esforo, passando a chamar-se REBAP. Actualmente os regulamentos que vo estar em vigor so os Eurocodigos, que pretendem fazer uma uniformizao na regulamentao da construo de obras por toda a Europa.

2.2. Anlise estruturalUm dos aspectos fundamentais na anlise de uma estrutura a sua classificao quanto geometria, modelo do material constituinte e aces aplicadas. O modo como o MEF formulado e aplicado depende, em parte, das simplificaes inerentes a cada tipo de problema. De seguida so referidos alguns dos aspectos que so necessrios ter em considerao na fase que antecede a anlise de uma estrutura.

Anlise esttica ou estticaEm relao s aces estticas, elas podem ser classificadas em aces permanentes, variveis ou acidentais. As aces permanentes so aquelas que assumem valores constantes, ou com pequena variao em torno do seu valor mdio, durante toda a vida da estrutura, um exemplo deste tipo de aces so o peso prprio da estrutura. As aces variveis so aquelas que assumem valores com variao significativa em torno do seu valor mdio durante a vida da estrutura, como so o caso das sobrecargas. Por fim as aces acidentais so aquelas que s com muita fraca probabilidade assumem valores significativos durante a vida da estrutura e cuja quantificao apenas pode em geral ser feita por meio de valores nominais estrategicamente escolhidos, como so o caso de exploses e choques de veculos. Para as aces dinmicas sobre as estruturas, devem ser consideradas as foras de inrcia associadas s aceleraes a que cada um dos seus componentes fica sujeito (Figura 2.5). Assim, fundamental, que a anlise de uma estrutura seja feita tendo em conta os efeitos dinmicos. Contudo, em muitas situaes razovel considerar uma anlise esttica equivalente que permita determinar os efeitos de uma aco dinmica a partir da aplicao de foras estticas.

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Anlise estrutural

Figura 2.5 Anlise dinmica de um edifcio [itcsoftware.com, 2009].

Anlise no linear ou linearQuando se analisa o comportamento de uma estrutura slida, usual considerar que os deslocamentos provocados pelas aces exteriores so muito pequenos, quando comparados com as dimenses dos componentes da estrutura. Assim, admite-se que no existe influncia da modificao da geometria da estrutura e consequentemente na distribuio dos esforos e das tenses, porque todo o estudo feito considerando que a geometria inicial da estrutura permanece indeformada. Se esta hiptese no for considerada, a anlise designada por no linear geomtrica. tambm habitual considerar uma relao linear entre as tenses e as deformaes, tendo em conta o tipo de material constituinte da estrutura. Por outro lado, nos casos em que no possvel utilizar esta ltima simplificao necessrio recorrer a algoritmos especficos de anlise no linear material [Azevedo, 2003].

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Anlise estrutural

2.3. Tipo de estruturasAs estruturas podem ser classificadas quanto sua geometria como de reticuladas, laminares ou slidas. Seguidamente, descreve-se de uma forma breve cada tipo de estrutura indicando o nmero e o tipo de incgnitas associadas ao modelo matemtico mais utilizado, que so necessrias conhecer para resolver cada tipo de estruturas aplicando o MEF. As estruturas reticuladas so constitudas por barras prismticas, cujas dimenses transversais so muito menores do que o comprimento do respectivo eixo. Este tipo de estruturas ainda se subdivide em prticos e trelias, conforme seja ou no considerada a compatibilidade de rotaes nas extremidades de barras adjacentes. - Barras 2D/3D

Figura 2.6 Estrutura em barra.

- Trelias 2D/3D

Figura 2.7 Estrutura treliada [dec.fct.unl.pt, 2009].

- Prticos 2D/3D

Figura 2.8 Estrutura composta por prticos [dem.ist.utl.pt, 2009].

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Anlise estrutural Estas estruturas podem ser modeladas atravs de elementos barra 2D/3D com 3/6 graus de liberdade, duas translaes e uma rotao para o caso plano e trs translaes e trs rotaes para o caso tridimensional Em relao s estruturas laminares, so as que se desenvolvem para ambos os lados de uma superfcie mdia, por exemplo o caso de uma lmina cuja espessura muito inferior s restantes dimenses. No caso especfico de a superfcie mdia ser plana, a estrutura laminar pode ser classificada como parede ou laje, para o caso de a superfcie da estrutura no ser plana a estrutura classificada como casca ou membrana. Para explicar estes conceitos necessrio conhecer o significado dos termos folheto mdio e plano mdio. Folheto mdio a superfcie mdia de uma pea laminar e plano mdio o folheto mdio de uma pea laminar plana. Um elemento placa uma pea laminar plana sujeita a aces apenas no seu plano mdio (Figura 2.9). Este elemento tem apenas dois graus de liberdade, duas translaes.

Figura 2.9 Estrutura de placa com um carregamento uniformemente distribudo P.

Em relao s lajes, so peas laminares sujeitas a aces perpendiculares ao seu plano mdio, tendo trs graus de liberdade, duas rotaes e uma translao (Figura 2.10).

Figura 2.10 Estrutura de uma laje com um carregamento uniformemente distribudo P.

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Anlise estrutural O elemento casca uma pea laminar no plana sujeita a aces em qualquer direco (Figura 2.11).

Figura 2.11 Estrutura em cpula.

Por ltimo um elemento membrana caracterizado por ser uma pea laminar no plana sujeita a aces segundo o seu folheto mdio. Estes elementos tm seis graus de liberdade, trs translaes e trs rotaes. Finalmente as estruturas slidas so peas com trs graus de liberdade, trs deslocamentos (Figura 2.12).

Figura 2.12 Macio de encabeamento de estacas.

Este trabalho vai ser direccionado para o estudo de lajes, estruturas laminares planas sujeitas a aces perpendiculares ao seu plano mdio.

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Anlise estrutural

2.4. Teoria da ElasticidadeNeste ponto apresentam-se as equaes fundamentais da Teoria da Elasticidade Plana que sero utilizadas no decorrer deste trabalho. Devido ao facto do trabalho ser desenvolvido para um elemento de elasticidade plana optou-se por apresentar as equaes relativas ao plano bidimensional. Apresentam-se simultaneamente, as expresses em notao indicial e em notao corrente (ou de Timoshenko). Coordenadas Considerando um referencial cartesiano, um ponto genrico P ser definido:~ Em notao indicial, pelas coordenadas x i (i=1,2): Em notao corrente, pelas coordenadas x e y: Vector dos deslocamentos Em cada ponto da estrutura, o vector dos deslocamentos ser expresso por: Componentes ui (i=1,2):

x P = 1 (2.4.1) x 2

x P= y

(2.4.2)

u u = 1 (2.4.3) u2 ux u = (2.4.4) uy

Componentes ux e uy: Tensor das deformaes

O tensor das deformaes um tensor de 2 ordem simtrico. Em notao indicial, de componentes ij (i=1,2):

= 11 21Sendo ij= ji, devido simetria.

12 (2.4.5) 22

11 - extenso normal de uma fibra com a direco x1 22 - extenso normal de uma fibra com a direco x21 12 - extenso distorcional de uma fibra com a direco x1 12 = 12 2

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Anlise estrutural

Em notao corrente, as componentes do tensor das deformaes so:

xx = yxSendo xy= yx, devido simetria.

xy (2.4.6) yy

Tensor das deformaes em forma vectorial No desenvolvimento das formulaes do MEF, conveniente utilizar a notao vectorial para indicar o tensor das deformaes, o que permite escrever expresses mais compactas. Dada a simetria do tensor, apenas se incluem trs componentes, que se colocam sob a forma de um vector coluna:

11 = 22 (2.4.7) 12 Sendo

12=212

Tensor das tenses O tensor das tenses um tensor de 2 ordem simtrico. Em notao indicial, de componentes ij (i=1,2):

= 11 21Sendo ij= ji, devido simetria.

12 (2.4.8) 22

11 - tenso normal numa faceta perpendicular ao eixo x1 22 - tenso normal numa faceta perpendicular ao eixo x2 12 - tenso tangencial (segundo x2) numa faceta perpendicular ao eixo x1 21 - tenso tangencial (segundo x1) numa faceta perpendicular ao eixo x2

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Anlise estrutural

Em notao corrente, as componentes do tensor das tenses so:

xx = yxSendo xy= yx, devido simetria. Tensor das tenses em forma vectorial

xy (2.4.9) yy

No desenvolvimento das formulaes do MEF, conveniente utilizar a notao vectorial para indicar o tensor das tenses, o que permite escrever expresses mais compactas. Dada a simetria do tensor, apenas se incluem trs componentes, que se colocam sob a forma de um vector coluna:

11 = 22 (2.4.10) 12 Tenses numa faceta genrica Dado o tensor das tenses ij num ponto, as tenses numa faceta com uma orientao dada pelo vector normal unitrio ni, so expressas por um vectorn

i = jinjOnden 1 = n 2 n

(i, j = 1 ,2)

(2.4.11)

e

n n = 1 n 2

(2.4.12)

Devido simetria do tensor das tenses, tambm se verifica:n

i = ijnj

(i, j = 1 ,2)

(2.4.13)

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Anlise estrutural

A conveno de Einstein (somatrio nos ndices repetidos), que ser utilizada em todas as expresses indiciais, implica:n

i = i jnj = 1in1 + i2n2 ( i,j = 1 a 2)Utilizando a notao corrente, o vector de tenson t x = t y

(2.4.14)

(2.4.15)

Numa faceta normal

n x n= n y dado pelas expresses

(2.4.16)

t x = xx n x + xy n y t y = xy n x + yy n yOnde se tirou partido da igualdade xy= yx

(2.4.17)

Componentes normais e tangenciais da tenso numa faceta genrica O vector de tenso numa faceta pode decompor-se em parcelas segundo as direces normal e tangencial. A componente normal (grandeza escalar) dada pela projeco do vector de tenso, , na direco da normal:n

n = i ni = jinni = ijnnj j in

n

n

(i,j = 1 ,2)

(2.4.18)

O vector de tenso tangencial, t , pode obter-se pelo teorema de Pitgoras:

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Anlise estrutural2

n

n

t =

2 n

n

(2.4.19)

Transformao do tensor das tenses devido a uma rotao do sistema de eixos

Seja

ij o tensor das tenses num referencial

Ox 1 x 2 . Considerando um

referencial Ox ' 1 x ' 2 , obtido por uma rotao de eixos de um ngulo , o tensor das tenses

' no novo referencial, dado por: ' = (,,i,j = 1 ,2)(2.4.20)

i ij j

Sendo

i -

co-seno do ngulo entre os eixos

x' e x ' i

Relaes deformaes-deslocamentos, ou equaes de compatibilidade As deformaes obtm-se a partir dos deslocamentos pelas expresses:

ij =

1 1 u u (ui,j + uj,i ) = 2 x i + x j (i, j = 1,2) j 2 i u u u 1 u xx = x , yy = y , e xy = x + y x y 2 y x

(2.4.21)

Mais simplificadamente:

= Lu

(2.4.22)

Onde L a matriz que relaciona as deformaes com os deslocamentos.

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Anlise estrutural

Equaes de equilbrio Em cada ponto interior do domnio, as condies de equilbrio permitem relacionar o tensor das tenses com as foras mssicas (por exemplo, devidas ao peso prprio) que actuam sobre o corpo. Em notao indicial, as equaes diferenciais de equilbrio em cada ponto do interior do domnio so dadas por:

ij x jOnde

+ Xi = 0

(i, j = 1 ,2)

(2.4.23)

X i - vector de foras volmicas.

- Por sua vez, em notao corrente:

xx yx + Xx = 0 + x y xy + yy + X = 0 y x y Equao de Hooke ou relao constitutiva

(2.4.24)

Esta equao relaciona o tensor das tenses com o tensor das deformaes Em notao tensorial, a lei de Hooke assume a forma geral:

ij = Eijmnmn(i, j,m,n = 13) ,Sendo:

(2.4.25)

Eijmn - tensor das constantes elasticasNa forma vectorial:

= D

(2.4.26)

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Anlise estrutural A matriz D vai variar conforme as propriedades do material da estrutura que se est a analisar.

2.5. ConclusesAs estruturas apresentaram uma grande evoluo ao longo do tempo, evoluindo desde as pontes e edifcios da Civilizao Romana, at s mais modernas construes da actualidade. Em relao s construes Romanas elas eram projectadas com base na experiencia adquirida em construes semelhantes, por outro lado as construes actuais so projectadas recorrendo aos mais avanados programas de clculo baseados nas mais diversas teorias de anlise de estruturas. Este captulo pretende mostrar a evoluo do dimensionamento das estruturas, classificando genericamente as estruturas construdas actualmente, bem como as diversas formas de anlises estruturais, focando mais especificamente a anlise plana, que o tema principal desta dissertao. Este captulo de extrema importncia para assimilar os conceitos base da Teoria da Elasticidade Plana, que iro ser teis para explicar a Teoria dos Elementos Finitos que ir ser explorada mais frente.

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Mtodo dos Elementos Finitos

Captulo

3

3. Mtodo dos Elementos Finitos

3.1. IntroduoAs primeiras grandes obras de engenharia como as pirmides do antigo Egipto, as estradas, templos, pontes e fortificaes da Grcia e Roma antigas, foram executadas de forma emprica, ou seja, recorrendo experincia que cada civilizao possua na altura, sem recorrer a quaisquer critrios de anlise estrutural. De acordo com Timoshenko (1953), o primeiro a documentar modelos estruturais com a finalidade de avaliar o comportamento de estruturas, foi Leonardo da Vinci, no sculo XV [Oliveira, 2008]. Numa das suas notas, Testando a resistncia de barras de ferro de vrios comprimentos, Da Vinci descreve um modelo estrutural, onde faz a seguinte observao: O objectivo deste teste encontrar a carga que uma barra de ferro pode suportar. O teste consistia em ir variando o comprimento da barra de ferro e o peso dos cestos de areia que estavam ligados a ela, at que as barras se partissem, sendo

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Mtodo dos Elementos Finitos anotados os comprimentos da barra e o peso que os cestos continham [Oliveira, 2008] (Figura 3.1).

Figura 3.1 Teste de carregamento numa barra executado por Leonardo Da Vinci [Oliveira, 2008].

Posteriormente quem tambm se dedicou a estes temas, foi Galileo Galilei (1564-1642). Galileo, alm de ter introduzido o mtodo emprico nas cincias, tambm idealizou, modelos estruturais e realizou alguns testes nesses modelos, submetendo esses modelos a vrios carregamentos com o objectivo de estudar as tenses actuantes na estrutura [Oliveira, 2008]. Galileu, ao observar vrios tipos de estruturas de diferentes materiais, concluiu por exemplo, que a resistncia de uma barra proporcional sua rea de seco transversal (Figura 3.2). Outras das observaes que Galileu documentou foi que estruturas geometricamente similares vo ficando cada vez menos resistentes quanto maior forem os seus comprimentos. [Oliveira, 2008].

Figura 3.2 Teste de tenses executado por Galileo [Oliveira, 2008].

Antes do desenvolvimento dos computadores, a anlise estrutural em meios contnuos (paredes, lajes, cascas e slidos) era efectuada pela resoluo directa dos sistemas de equaes de derivadas parciais que traduzissem o fenmeno em estudo, Pgina 24

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Mtodo dos Elementos Finitos tendo em considerao as necessrias condies de fronteira. Para facilitar a aplicao desta tcnica a problemas no elementares, era comum recorrer a sries de Fourier (Figura 3.3). Devido sua complexidade, estes procedimentos s eram aplicveis a meios contnuos homogneos e de geometria simples. Para tentar ultrapassar algumas destas limitaes, era frequente a substituio de derivadas exactas por derivadas aproximadas, calculadas com base em grelhas de pontos. Posteriormente, esta tcnica deu origem ao mtodo das diferenas finitas, que apresentava como grande inconveniente o facto de requerer a resoluo de grandes sistemas de equaes lineares.

Figura 3.3 Aproximao de uma funo por sries de Fourier [problemasteoremas.wordpress.com, 2009].

Para evitar este problema, foram apresentados vrios mtodos de relaxao baseados na sucessiva diminuio de um conjunto de resduos. Devido grande demora no dimensionamento de estruturas baseadas nestas teorias, recorria-se muitas vezes substituio do problema real por outro semelhante, de modo ser possvel poder recorrer a resultados publicados em tabelas ou bacos. Com o passar dos tempos, e com a evoluo dos meios informticos e a banalizao do recurso ao computador, o dimensionamento de estruturas, passou a ser efectuado atravs de computadores, tendo por base alguns mtodos numricos como o Mtodo dos Elementos Finitos. Com este desenvolvimento passou a ser prtica corrente a anlise de estruturas de geometria arbitrria, constitudas por mltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento. Com este desenvolvimento os outros mtodos atrs referidos deixaram praticamente de ser utilizados. O mtodo dos elementos finitos (FEM- Finite Element Method) foi criado inicialmente por Walter Ritz (1878-1909) em 1909, para determinar a soluo Pgina 25

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Mtodo dos Elementos Finitos aproximada de problemas de mecnica dos slidos deformveis, atravs de funes conhecidas. Esta formulao permitiu resolver os problemas da teoria da elasticidade, superando as dificuldades e problemas inerentes aos mtodos numricos [Campos, 2006]. Em 1943, Richard Courant (1888-1972) melhorou o mtodo de Ritz, com a introduo de funes lineares especiais definidas sobre regies triangulares, e tambm com a possibilidade de resolver problemas envolvendo esforos de toro [Campos, 2006]. Por volta da dcada de 60, Ray William Clough Jr, props um novo FEM, com muitas semelhanas ao mtodo elaborado por Ritz e posteriormente melhorado por Courant. Foi tambm Clough, que introduziu pela primeira vez o termo, elemento finito, no artigo The finite element method in plane stress analysis. Nesta altura os elementos mais utilizados eram os triangulares e os tetradricos, passando depois, a ser mais comum a utilizao de elementos quadrilteros e hexaedros [Campos, 2006]. A ideia bsica deste mtodo consiste numa tcnica de obter solues aproximadas de valores de fronteira, reduzindo o problema a um nmero finito de regies, ou elementos finitos, conectados entre si atravs de pontos nodais, que normalmente correspondem aos vrtices dos elementos, aos pontos mdios do elemento ou aos pontos mdios de cada lado do elemento. A escolha do nmero de elementos e do nmero de pontos nodais depende do grau de preciso pretendido. Um maior nmero de elementos de pequenas dimenses, isto uma discretizao mais fina, conduz a uma soluo numrica mais prxima da soluo exacta (Figura 3.4). No interior de cada regio admite-se uma aproximao das variveis do problema por funes relativamente simples, como por exemplo funes polinomiais de tal forma que as incgnitas do problema em qualquer ponto do elemento, possam ser definidas em funo das mesmas incgnitas mas nos pontos nodais do elemento. Assim, o problema terico, envolvendo um meio contnuo, transformado atravs do mtodo numrico num problema discreto, em que a soluo aproximada para todo o domnio definida por um nmero finito de parmetros, que correspondem aos valores das variveis nos pontos nodais. Por fim, com a soma de todas as contribuies dos diversos elementos, chega-se a um sistema de equaes, cuja soluo permite conhecer os valores das incgnitas nos pontos nodais, ou seja a soma das respostas de todos os elementos finitos do elemento representam a resposta total do problema em anlise [Lemos, 2005].

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Figura 3.4 Discretizao de uma estrutura [cwbookstore.com.br, 2009].

O FEM de Clough, foi desenvolvido como um mtodo de simulao baseado em computao para anlise de estruturas aeroespaciais, mas rapidamente, passou a ser utilizado para a simulao de problemas no estruturais em fluidos, termodinmica e electromagnetismo. Actualmente o FEM tem uma larga aplicao em vrios tipos de problemas de engenharia estrutural, como so os casos de: - Problemas de Teoria da Elasticidade, onde as variveis so os campos de deslocamentos, deformaes e tenses, relacionadas pelas equaes de equilbrio, deformaes-deslocamentos e elasticidade. As equaes de equilbrio do sistema discreto podem ser obtidas, por exemplo, por aplicao do princpio dos trabalhos virtuais. - Problemas de conduo de calor, em que a varivel fundamental a temperatura. Estes modelos permitem obter uma distribuio de temperaturas no interior de uma estrutura, por exemplo, tendo em vista a aco trmica a considerar numa anlise do estado de tenso. - Problemas de escoamentos em meios porosos, tais como solos ou macios rochosos onde a varivel fundamental das solues numricas , em regra, o potencial hidrulico. Em relao s condies de fronteira, elas correspondem imposio de presses hidrulicas ou de caudais. Todos estes problemas podem ser analisados tanto em separado como em conjunto, como so os casos de modelos hidro-mecnicos, que estudam a interaco entre o escoamento de um fluido num meio poroso e os estados de tenso e deformao [Lemos, 2005].

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Mtodo dos Elementos Finitos Os modelos numricos de aplicao mais corrente atravs do FEM baseiam-se na hiptese de linearidade ou do comportamento linear. No caso de problemas mecnicos, esta hiptese implica: - Linearidade do material, traduzida pela lei de Hooke, que relaciona as tenses e deformaes. - Linearidade geomtrica, que corresponde hiptese de pequenos deslocamentos e deformaes. Esta hiptese do comportamento linear permite a obteno directa das solues numricas pelo FEM atravs da soluo de um sistema de equaes lineares. Por outro lado, no caso do comportamento no-linear, para materiais elastoplasticos ou estruturas com grandes deformaes, as solues numricas so obtidas de modo iterativo. A grande quantidade de clculos que este mtodo requer, implica a utilizao de um computador. Este facto ajuda a explicar que o grande desenvolvimento do FEM, tenha ocorrido com o desenvolvimento e generalizao do uso dos computadores nos centros de investigao. Com a massificao dos microprocessadores ocorrido no final da dcada de 80 e na dcada de 90, o FEM chega finalmente s mos da generalidade dos projectistas de estruturas (Figura 3.5).

Figura 3.5 Discretizao de uma ponte atravs de um programa de clculo actual [finesoftware.eu, 2009].

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3.2. Metodologia de clculo do MEFNeste ponto apresentada a metodologia de clculo usada para a resoluo de problemas utilizando o mtodo dos elementos finitos. Nesta metodologia so introduzidas vrias aproximaes, como a aproximao do campo de deslocamentos no interior de cada elemento finito por intermdio da escolha de funes de forma ou funes de interpolao. Verifica-se, por exemplo, que nem sempre fcil de comprovar que as funes de forma escolhidas satisfazem o requisito da continuidade de deslocamentos entre elementos vizinhos. Alm disso, as condies de compatibilidade podem ser violadas ao longo das fronteiras (no interior dos elementos so satisfeitas devido representao unvoca dos deslocamentos por uma funo contnua). A modelao das aces exteriores materializada atravs de foras concentradas nos pontos nodais, esta aproximao apenas vai garantir o equilbrio de foras na globalidade da estrutura. A escolha da forma do elemento e das funes de interpolao para casos especficos deixa muito espao para a experincia, intuio e talento dos engenheiros, pelo que o grau de aproximao que pode ser atingido depende tambm destes factores. A metodologia que apresentada neste trabalho baseada no mtodo dos deslocamentos conhecida tambm como a formulao em deslocamentos do Mtodo dos Elementos Finitos. 1. O problema em anlise separado por linhas ou superfcies imaginrias num nmero discreto de elementos finitos (discretizao); 2. Admite-se que os elementos se encontram ligados num nmero discreto de pontos nodais (ns) situados na sua fronteira. Os deslocamentos destes pontos nodais (graus de liberdade de cada ponto nodal) sero as principais incgnitas a determinar, tal como nos problemas discretos de anlise estrutural. Em casos particulares em que se adoptem simplificaes como as de viga, de laje ou de casca delgada, os pontos nodais no representam verdadeiros pontos mas sim seces pelo que podem ter graus de liberdade de rotao (deslocamentos generalizados);

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Mtodo dos Elementos Finitos 3. Escolhe-se um conjunto de funes de interpolao ou funes de forma Ni, que definem univocamente, de forma aproximada, o campo de deslocamentos em cada elemento a partir do valor dos deslocamentos dos pontos nodaisei um,

dando

assim origem equao que traduz a aproximao fundamental do Mtodo dos Elementos Finitos.ei um = Nium

(3.2.1)

4. Partindo das relaes deformaes-deslocamentos pode-se verificar que estas funes Ni permitem tambm determinar univocamente e de forma aproximada o estado de deformao em qualquer ponto de um elemento finito a partir do valor dos deslocamentos dos pontos nodais. 5. Conhecidas as leis constitutivas (2.4.26) do material e as extenses, fica tambm determinado o estado de tenso em todos os pontos do elemento, incluindo na sua fronteira. 6. Da equao de equilbrio (2.4.23) obtida do princpio dos trabalhos virtuais aplicado a um elemento finito determina-se uma equao do tipo:

K eu e = F e

(3.2.2)

Em que Ke a matriz de rigidez elementar, ue corresponde aos deslocamentos nodais e Fe corresponde s foras nodais equivalentes s solicitaes aplicadas no elemento. 7. Extrapolando para toda a estrutura verifica-se que possvel obter a equao de equilbrio global na forma:

K gu g = F g

(3.2.3)

Em que Kg a matriz de rigidez global e Fg o vector global das foras nodais equivalentes. A matriz Kg e o vector Fg obtm-se por sobreposio (assemblagem) das matrizes e vectores elementares, respectivamente.

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3.2.1. Discretizao da estruturaA discretizao do domnio uma etapa muito importante na utilizao deste mtodo, pois pode determinar a qualidade final dos resultados, uma m discretizao compromete o resultado final, gerando erros significativos. De seguida so apresentados alguns exemplos de discretizaes de estruturas.

Figura 3.6 Exemplo da discretizao de uma barragem e dos seus terrenos de fundao [pwp.net.ipl.pt, 2009].

Figura 3.7 - Exemplo da discretizao de uma barragem e albufeira de fundao [pwp.net.ipl.pt, 2009].

Figura 3.8- Exemplo da discretizao de uma barragem e dos seus terrenos de fundao [Oliveira, 2009].

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3.2.2. Tipos de elementos finitosComo j foi referido anteriormente, os elementos finitos actualmente mais utilizados so os quadrilteros e os hexaedros. De seguida so apresentados vrios tipos de elementos finitos.

Figura 3.9 Exemplos de elementos finitos [Oliveira, 1996].

3.2.3. Funes de forma ou de interpolao NiO mtodo dos elementos finitos baseia-se na soluo de problemas de valores de fronteira atravs da aproximao da soluo terica, de andamento geralmente muito complexo no domnio de estudo, por uma soluo numrica formada a partir de funes simples nos diversos elementos. No interior de cada elemento, a soluo numrica adopta para as variveis (por exemplo, os deslocamentos) um andamento dado por funes elementares (por exemplo do tipo polinomial). Esta hiptese admissvel desde que a dimenso do elemento seja relativamente pequena. Para que as funes de interpolao Ni, tenham sempre a mesma forma, qualquer que seja o elemento elas vo ser escritas em funo das coordenadas locais yn que variam entre -1 e 1. Estas funes so definidas de maneira a que seja possvel obter atravs da equao um = Nium os deslocamentos em cada ponto do elemento a partir do valor das coordenadas locais yn do ponto. Estas coordenadas locais medemse num sistema de eixos local no ortonormado. As coordenadas locais relacionam-se com as coordenadas ou globais atravs da matriz jacobiana, que ser explicada mais adiante. As funes de interpolao podem ser determinadas atravs de funes de interpolao de Lagrange. Pgina 32ei

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Mtodo dos Elementos Finitos Para o caso unidimensional, as funes de forma so dadas pelo polinmio de Lagrange e so em funo do nmero de graus de liberdade a serem interpolados. Cada grau de liberdade de um n tem associado a ele uma funo de interpolao que pode ser calculada atravs de:

Ni =

( x 1 x)(x 2 x)...(x i1 x)(x i+1 x)...(x n x) ( x 1 x i )(x 2 x i )...(x i1 x i )(x i+1 x i )...(x n x i )

(3.2.4)

Este tipo de funes possui caractersticas especiais, tais como: - Todas as funes Ni so polinmios do mesmo grau; - Para qualquer funo de interpolao Ni, Ni=1 quando x=xi e Ni=0 quando x=xj onde ij; - O somatrio de todas as funes de interpolao igual unidade.n

N = 1i i=1

(3.2.5)

Exemplos de funes de interpolao para o caso unidimensional:

Figura 3.10 Exemplos de funes de interpolao para o caso unidimensional [Jnior e outros, 2009].

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Mtodo dos Elementos Finitos Para o caso bidimensional as funes devem ser interpoladas dentro de uma regio rectangular. Estas funes podem ser obtidas considerando-se o produto das funes de Lagrange. Para o caso em que a funo bilinear.

= a1 + a2x + a3y + a4xyAssim, as funes de interpolao so dadas por:

(3.2.6)

(a x )(b y ) 4ab (a + x )(b + y ) N3 = 4ab N1 =

N2 =

(a + x )(b y ) 4ab (a x )(b + y ) N4 = 4ab

(3.2.7)

Figura 3.11 Representao grfica das funes de interpolao [Jnior e outros, 2009].

Estes elementos so chamados de bilinear, mas tambm existem os biquadrticos, bicbicos, etc. Por exemplo os biquadrados possuem nove ns, distribudos nos vrtices, no meio das arestas e no centro do elemento.

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Mtodo dos Elementos Finitos Matriz Jacobiana Em cada ponto P dum elemento finito pode-se definir uma matriz J denominada matriz jacobiana que relaciona os sistemas de coordenadas globais e locais (dxm com dyn):

Figura 3.12 Exemplos de elementos com os seus eixos locais.J

x 1 y dx 1 = 1 dx x 2 2 y 1 direco do eixo local y1 ( em P )

x 1 y 2 x 2 y 2 direco do eixo local y 2 ( em P )

dy 1 dy 2

(3.2.8)

Exemplos de matrizes jacobianas no ponto P nos elementos finitos representados acima.

0,5 0 J= 0,5 0 dir y1 dir y 2

0 0,5 J= 0,5 0 dir y 1 dir y 2

(3.2.9)

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3.2.4. Deformaes e relaes de compatibilidadeAs relaes deformaes-deslocamentos, num ponto so dadas pela seguinte expresso:

ij =

1 ui u j + 2 x j xi

(i, j = 1,2 )

(3.2.10)

Em estados planos, (dois deslocamentos por ponto), a anterior equao pode ser escrita na forma matricial como:

u1 0 x1 x1 11 u1 u2 = 22 = = 0 x 2 u2 x 2 12 u u 1 + 2 x 2 x1 x 2 x1 L

(3.2.11)

Sendo L um operador diferencial Assim podemos escrever:

= Lu

(3.2.12)

Sendo os deslocamentos dados pela expresso:

u = Nue iVem que:

(3.2.13)

= LNueB

(3.2.14)

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Mtodo dos Elementos Finitos Em que B uma matriz cujos termos correspondem s derivadas das funes de interpolao Ni em ordem s coordenadas gerais Xm, para o caso especifico de um elemento de placa, a equao anterior toma a seguinte forma:e1 u1 ue1 2 0 e2 u1 N4 ue2 2 e3 (3.2.15) X2 u1 N4 ue3 2 e4 X1 u1 e4 u2

N1 X 11 1 = 22 = 0 12 N 1 X2

0 N1 X2 N1 X1

N2 X1 0 N2 X2

0 N2 X2 N2 X1B

N3 X1 0 N3 X2

0 N3 X2 N3 X1

N4 X1 0 N4 X2

Com se pode constatar a partir da equao anterior, para determinar a matriz B num dado ponto de um elemento finito necessrio avaliar as derivadas das funes de interpolao em ordem s coordenadas gerais xi. Como as funes de interpolao Ni so geralmente definidas em coordenadas locais yi, a avaliao das derivadas de Ni em ordem a xi, N i X m , deve ser efectuada tendo em conta que, para o caso bidimensional por exemplo, N i = N i ( y 1 , y 2 ) e, portanto:

Ni Ni y 1 Ni y 2 = + x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 Ni Ni y 1 Ni y 2 = + x 2 y 1 x 2 y 2 x 2Ou de forma matricial:

(3.2.16)

Ni x1

Ni Ni = x 2 y1

y1 Ni x1 y 2 y 2 x1

y1 x 2 y 2 x 2

(3.2.17)

Similarmente podemos concluir que:

Ni y1

Ni Ni = y 2 x1

x1 Ni y1 x 2 x 2 y1J=

x1 y 2 x 2 y 2 xi yi

(3.2.18)

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Mtodo dos Elementos Finitos Em que J a matriz Jacobiana. Pode-se concluir que a matriz de 2x2 que interessa obter corresponde inversa da matriz Jacobiana ou seja:

Ni x 1

Ni Ni = x 2 y 1

y 1 Ni x 1 y 2 y 2 x 1 J1

y 1 x 2 Ni = y 2 y 1 x 2

Ni 1 J y 2

(3.2.19)

Assim para obter, como pretendido, as derivadas N i X m , basta calcular as derivadas N i y n , a matriz Jacobiana e a respectiva inversa e efectuando seguidamente o produto matricial indicado na equao anterior. Para obter a matriz Jacobiana em cada ponto de um elemento finito basta conhecer as coordenadas gerais dos pontos nodais Xm e as derivadas das funes de interpolao da geometria (que nos elementos isoparamtricos so iguais s funes de interpolao dos deslocamentos Ni) em ordem s coordenadas locais Yn, ou seja, N i y n . Dando origem seguinte matriz jacobiana, para o caso bidimensional de um elemento de placa com 4 pontos nodais:ei

Jmn =

(Ni x ) x = y n xei m

e1 1 e1 2

x

x

e2 1 e1 2

x x

e3 1 e3 2

N1 y 1 N2 e4 x1 y1 x e4 N3 2 y1 N4 y1

N1 y 2 N2 Ni ei x1 y 2 y1 = N3 Ni ei x2 y 2 y1 N4 y 2

Ni ei x2 y 2 Ni ei x2 y 2 (3.2.20)

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3.2.5. Tenses e relaes constitutivasAdmitindo que no existem deformaes impostas (0=0) nem tenses iniciais (0=0) a equao constitutiva da elasticidade linear ou lei de Hook, tem a seguinte forma:

= D

(3.2.21)

Com a introduo de (3.2.14) na expresso anterior, obtm-se uma expresso que nos permite obter o estado de tenso num ponto qualquer de um elemento finito a partir da matriz elasticidade D e dos deslocamentos nodais ue, sendo conhecida a matriz B no ponto em anlise.

= DBue

(3.2.22)

A matriz resultante do produto DB habitualmente referida como a matriz de tenso do elemento. No caso geral em que existam deformaes impostas (variaes de temperatura por exemplo) e tenses iniciais, ou seja, aproximao dos elementos finitos conduz seguinte relao:

= D( 0 ) + 0 ,

a

= DBue D0 0

(3.2.23)

3.2.6. Matriz de rigidez elementar, principio dos trabalhos virtuaisA matriz de rigidez de um elemento finito tem um significado fsico semelhante ao atribudo s matrizes de rigidez de uma pea linear no mtodo dos deslocamentos. Esta matriz relaciona as foras com os deslocamentos nodais:

Ke ue = Fe

(3.2.24)

Esta equao constitui a equao de equilbrio dos pontos nodais do elemento. No modelo numrico apresentado neste trabalho, baseado na formulao em deslocamentos do MEF, o equilbrio verificado nos pontos nodais, onde se exercem as foras de interaco entre os diversos elementos de uma estrutura. Pgina 39

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Mtodo dos Elementos Finitos Deste modo, em cada n, as foras totais aplicadas devem estar em equilbrio, incluindo-se as foras nodais que decorrem da deformao dos elementos que esto adjacentes ao n e das foras nodais equivalentes s cargas exteriores. A expresso da matriz de rigidez de cada elemento pode ser deduzida atravs do Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Considere-se um corpo, com um campo de tenses , em geral variveis de ponto para ponto, sob a aco de foras nodais agrupadas no vector Fe. Supe-se, portanto, nesta deduo que todas as foras exteriores ao elemento so includas neste vector, nomeadamente as foras mssicas e de superfcie. Considerando uma deformao virtual no corpo, caracterizada por um campo de deformaes e um vector de deslocamentos nodais u e , o PTV, exprime a igualdade dos traba