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Curso de Ps-Graduao Lato Sensu ESPECIALIZAO EM PROJETO DE ESTRUTURAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DA UFSC

Disciplina:

EE 08 UTILIZAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM PROJETOS DE ESTRUTURAS

Prof.a Henriette Lebre La Rovere

Ano: 2002

Realizao:

ECV / GRUPEX / FEESC

Apoio:

AltoQI / USIMINAS / CISA

EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas

SUMRIO

1 INTRODUO 1.1 Definio 1.2 Objetivo 1.3 Histrico 1.4 Aplicaes na Engenharia Civil 1.5 Enfoque Fsico do MEF

2 PRINCPIOS DE ENERGIA E MTODO DE RAYLEIGH-RITZ 2.1 Noes de Clculo Variacional 2.2 Princpio da Energia Potencial Mnima 2.3 Princpio dos Trabalhos Virtuais 2.4 Mtodo de Rayleigh-Ritz

3 FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3.1 Modificao do Mtodo de Rayleigh-Ritz 3.2 Equaes de Equilbrio Condies de Convergncia 3.3 Elemento de Trelia 3.4 Elemento Plano 3.5 Elemento Slido 3.6 - Elemento de Viga 3.7 - Vetor de Cargas Consistente 3.8 Formulao Isoparamtrica - Coordenadas Naturais Mapeamento 3.9 Integrao Numrica Regras de Gauss 3.10 - Clculo das Tenses


4 MODELAGEM ESTRUTURAL 4.1 Escolha da Malha e de Elementos Apropriados 4.2 Concentrao de Tenses e Transio de Malhas

5 APLICAES EM PROJETOS ESTRUTURAIS 5.1 Vigas-Parede 5.2 Lajes-Cogumelo 5.3 Consolos 5.4 Coberturas 5.5 - Edifcios

REFERNCIAS

EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais 1 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas

1 INTRODUO

1.1 - Definio O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um mtodo aproximado, um mtodo numrico, em Engenharia. Aplica-se em geral a problemas em que no possvel obter solues satisfatrias por mtodos analticos. O MEF pode ser definido sob diferentes enfoques:

Enfoque matemtico - O mtodo pode ser interpretado como um mtodo aproximado para soluo de equaes diferenciais parciais ou Problemas de Valor de Contorno (PVC), assim como o Mtodo das Diferenas Finitas. Mais recentemente o MEF foi explicado matematicamente como sendo a forma fraca de um Problema de Valor de Contorno [1].

Enfoque fsico - O mtodo pode ser caracterizado como um mtodo de discretizao, ou seja, transforma um sistema contnuo, com uma infinidade de pontos, em um sistema discreto com um nmero finito de pontos.

Enfoque variacional - O mtodo uma modificao do Mtodo Variacional de Rayleigh-Ritz, em que o domnio de integrao do funcional subdividido em regies.

O Mtodo dos Elementos Finitos consiste em dividir o domnio de integrao do problema em um nmero discreto de regies pequenas de dimenses finitas denominadas elementos finitos. A este conjunto de regies d-se o nome de malha de elementos finitos. A figura a seguir mostra uma superfcie de forma genrica discretizada por uma malha de elementos finitos planos triangulares.


Os elementos podem ter as mais diversas formas geomtricas, o que permite uma melhor representao do problema, conforme ilustrado a seguir.

Elementos unidimensionais - Barras de eixo reto (elementos de trelia, viga) ou curvo

Elementos bidimensionais - Elementos planos : triangulares, retangulares, quadrilteros com lados retos ou curvos.

Elementos tridimensionais - Elementos slidos : tetradricos, hexadricos, com lados retos ou curvos.


Elementos laminares - Elementos de Placa (superfcie plana) e Casca (superfcie curva).

Elementos axi-simtricos - Elementos tipo toride com simetria de revoluo, gerados por elementos triangulares ou retangulares [2].

Os elementos so ligados entre si por pontos nodais denominados de ns. Cada elemento tem um nmero determinado de ns, que podem ser externos, os que materializam a ligao com os demais elementos, ou internos. A localizao dos ns nos lados e dentro do elemento pode variar, por exemplo:

Elemento de trelia:

Elemento bidimensional ou elemento de placa:


Ao invs de procurar-se solues aproximadas tratando-se o problema globalmente, como feito por mtodos aproximados tais como o Mtodo de Rayleigh-Ritz e o de Galerkin, considera-se cada regio ou elemento isoladamente, o que possibilita a escolha de funes mais simples para representar o comportamento aproximado local nesta regio.

As incgnitas do problema so expressas em funo de valores nodais que so relacionadas atravs de funes de interpolao (polinmios no caso do MEF) vlidas para cada regio ou elemento. Estes polinmios podem ser do 1o grau ou de ordem superior (quadrticos, cbicos), o que fornece uma maior flexibilidade ao mtodo.

O Mtodo dos Elementos Finitos teve origem na Mecnica das Estruturas mas posteriormente foi generalizado e atualmente aplicado a diversos problemas em Engenharia, tais como transmisso de calor, escoamento de fluidos, disperso de poluentes, mecnica dos solos, campo magntico, campo eltrico, biomecnica, etc.

Na Mecnica das Estruturas as incgnitas so em geral deslocamentos ou tenses, mas em outros problemas de Engenharia podem ser temperaturas, velocidades, presses, corrente eltrica, ...

O Mtodo dos Elementos Finitos utilizado em projetos de edifcios, pontes, coberturas, barragens, motores eltricos, navios, avies, naves espaciais, etc.

Seja por exemplo uma chapa engastada em um bordo com um furo, como mostra a figura [2] a seguir. Este um problema de Estado Plano de Tenses, um problema contnuo em que as incgnitas so o campo de deslocamentos no plano da


chapa, u(x,y) e v(x,y). Devido complexidade da geometria da chapa, no seria possvel para este problema obter-se uma soluo exata, analtica.

Aplicando-se o Mtodo dos Elementos Finitos ao problema, a chapa discretizada em ne elementos com um total de N ns. Obtm-se assim um total de 2N incgnitas, uma vez que cada n tem 2 graus de liberdade (n i : deslocamentos ui e vi). Transforma-se assim o sistema de equaes diferenciais que rege o problema em um sistema de equaes algbricas 2N 2N, no qual as incgnitas so os

deslocamentos nodais.

Matricialmente, este sistema de equaes pode ser escrito na forma:

[ ]{ } { }FUK =

onde [K] a matriz de rigidez da estrutura (chapa); {U} o vetor de deslocamentos nodais e {F} o vetor de foras nodais.

Resolvendo-se este sistema de equaes obtm-se as incgnitas, os deslocamentos nodais {U}. A resoluo de sistemas de equaes para sistemas com muitos graus de liberdade s possvel com o auxlio de computadores digitais. Foi graas ao avano tecnolgico dos computadores e dos programas computacionais que o MEF pde ser desenvolvido.

furo

presso p


Obtidos os deslocamentos nodais, obtm-se, em qualquer ponto dentro de cada elemento, os deslocamentos u (x, y) e v(x, y), utilizando-se as funes de interpolao do elemento. A partir destes deslocamentos obtm-se as deformaes especficas e as tenses em qualquer ponto dentro do elemento.

Deve-se ressaltar que a soluo obtida para o problema uma soluo aproximada. Atendidas certas condies, conforme ser visto mais adiante, refinando-se a malha, ou seja, aumentando-se o nmero de elementos, a soluo aproximada tende para a soluo exata, ou seja, o mtodo dito convergente.

1.2 Objetivo As condies de convergncia e a preciso da soluo do Mtodo dos

Elementos Finitos dependem no apenas da formulao dos elementos mas tambm da escolha da malha e do tipo de elemento utilizado na discretizao do problema. Em outras palavras, no basta utilizar-se programas bem desenvolvidos, com bons algoritmos numricos, necessrio tambm que a modelagem seja adequada.

Quem fornece a malha de elementos finitos e quem escolhe o tipo de elemento a ser utilizado o usurio dos programas. Nem sempre verificado pelo programa se as coordenadas dos ns ou a conetividade dos elementos est coerente. Pode ser que um tipo de elemento seja adequado para um certo tipo de problema mas no para outro. Cabe ao usurio ter conhecimento sobre os elementos fornecidos, suas formulaes e a compatibilidade entre elementos adjacentes. Segundo Cook, Malkus & Plesha [3] , "although the finite element method can make a good engineer better, it can make a poor engineer more dangerous". Na verdade mesmo um bom engenheiro, mas que no conhea a teoria do Mtodo dos Elementos Finitos, pode ser perigoso ao aplicar o MEF a problemas usuais da Engenharia.


Cada vez mais, no entanto, os programas de elementos finitos esto se aperfeioando, utilizando pr-processadores para gerao de malhas com sadas grficas para visualizao das malhas e verificao da geometria, o que vem a facilitar ao usurio. Alguns programas mais modernos dispem de pr-processadores para gerao automtica de malhas, lanando malhas sucessivamente at a obteno de uma malha considerada adequada, verificando-se para isto a descontinuidade de tenses entre elementos.

Esta disciplina tem como objetivo fornecer os conhecimentos necessrios modelagem consistente de estruturas pelo Mtodo dos Elementos Finitos e utilizao de programas computacionais de Elementos Finitos em Projetos Estruturais.

A disciplina ser restrita aplicao do MEF Mecnica das Estruturas. S sero consideradas estruturas com comportamento linear, ou seja estruturas cujos deslocamentos e deformaes especficas so pequenos e que sejam constitudas de material elstico-linear. Ser adotada a formulao do MEF em termos de deslocamentos, o que corresponde ao Mtodo dos Deslocamentos da Anlise Estrutural.

1.3 Histrico [3] Pode-se dizer que o Mtodo dos Elementos Finitos surgiu intuitivamente e s

muito tempo depois, devido ao estudo de mtodos energticos e tcnicas variacionais, que o mtodo foi comprovado matematicamente.

Desde 1906 os pesquisadores procuram estender os mtodos de anlise matricial para estruturas reticuladas (barras) para problemas contnuos bi e tri-dimensionais. O esquema apresentado seguia o que pode-se chamar de enfoque fsico


do MEF. A dificuldade estava em calcular a matriz de rigidez de elementos bi e tri-dimensionais de forma arbitrria.

Aparentemente Courant foi o primeiro a propor o MEF na forma que conhecemos hoje. Em 1941 ele utilizou o Princpio da Energia Potencial Mnima e subdividiu a seo transversal de uma barra em elementos triangulares, assumindo funes de interpolao lineares, ao estudar o problema de toro de Saint-Venant. Posteriormente, Prager e Synge generalizaram o esquema de Courant chamando-o de Mtodo hipercrculo, aplicando-o a problemas matemticos.

Na poca no foi dada muita ateno ao fato pois no existiam computadores para resolver grandes sistemas de equaes algbricas. O desenvolvimento do MEF est ligado ao desenvolvimento de computadores digitais e linguagens de programao. Em 1953 os engenheiros j escreviam as equaes de equilbrio em forma matricial usando matrizes de rigidez das estruturas e resolviam os sistemas de equaes em computadores (na poca um problema grande tinha 100 graus de liberdade). Nesta poca Turner sugeriu que elementos triangulares fossem utilizados para discretizar uma asa de avio.

O nome Mtodo dos Elementos Finitos foi dado por Clough em 1960. Novos elementos para anlise de tenses foram desenvolvidos desde ento por Turner, Clough, Martin e Topp. Adini, Melosh e Tocher aplicaram o mtodo para anlise de flexo de placas. Ainda considerava-se o mtodo como uma extenso dos mtodos de anlise matricial de estruturas reticuladas para problemas contnuos. Foi apenas em 1963 que o mtodo passou a ser respeitado, quando seu fundamento terico foi descoberto: o mtodo pode ser interpretado como a soluo de um problema variacional, no qual minimiza-se um funcional.


No final dos anos 60 e comeo dos anos 70 comearam a surgir grandes programas de ampla aplicao de elementos finitos, tais como o ANSYS, ASKA, ICES, SAP, ... Mais recentemente, pr-processadores para gerao de malhas e dados de entrada e ps-processadores para avaliao e visualizao dos resultados foram includos nos programas, graas ao desenvolvimento dos pacotes grficos e aplicativos com windows. Atualmente edifcios inteiros so analisados pelo mtodo dos elementos finitos em questo de minutos.

Em 1961 dez trabalhos foram publicados sobre o MEF, 134 em 1966 e 844 em 1971. O total de trabalhos publicados at 1976 era de mais de 7000 e o total at 1986 era em torno de 20000. A produo de trabalhos no continuou crescendo neste mesmo ritmo nesta ltima dcada, mas novas aplicaes do MEF foram surgindo, principalmente na anlise no-linear de estruturas e tambm em outras reas da Engenharia.

1.4 Aplicaes na Engenharia Civil Alguns exemplos de aplicao do MEF na Engenharia Civil, analisados pelo programa SAP2000 [4], esto mostrados no que se segue:

Pontes elementos finitos de barra 3D (prtico espacial, grelha)


Coberturas elementos finitos de casca

Reservatrios elementos finitos de casca

Casca cilndrica

Casca esfrica


Edifcios de Alvenaria Estrutural elementos finitos de casca

Edifcios de Concreto Armado

lajes : elementos finitos de placa ou casca pilares e vigas: elementos de barra 3D (vigas no esto mostradas)


Barragens elementos finitos planos (estado plano de deformao)

Valos de Decantao elementos finitos de casca e barras 3D


1.5 Enfoque Fsico do MEF Assim como na Engenharia, de uma maneira geral, existem sistemas contnuos e discretos, na Mecnica das Estruturas pode-se classificar os sistemas estruturais em contnuos e discretos. Pode-se ainda discretizar um sistema contnuo tornando-o discreto, atravs de mtodos de discretizao, tais como o Mtodo dos Elementos Finitos e o Mtodo das Diferenas Finitas.

1.5.1 Sistemas Contnuos

Um sistema contnuo composto por uma infinidade de pontos e possui portanto um nmero infinito de graus de liberdade. Na anlise de uma estrutura contnua, a estrutura dividida em elementos infinitesimais, sendo assim possvel exprimir matematicamente, de uma maneira simples, as relaes "tenso-deformao" para cada elemento. As equaes de equilbrio so equaes diferenciais ordinrias ou um sistema de equaes diferenciais parciais, em que as incgnitas so em geral os deslocamentos ou o campo de deslocamentos da estrutura. Para alguns casos simples possvel obter-se a soluo exata destes problemas atravs do mtodo de integrao direta, como o exemplo mostrado a seguir.

Exemplo 1: Barra prismtica submetida a esforo uniaxial

Seja a barra prismtica (eixo reto e seo transversal constante) e de material homogneo, mostrada na figura acima, cuja extremidade esquerda fixa e na qual aplica-se uma carga axial P, na extremidade direita. A barra tem comprimento igual a l , rea da seo transversal igual a A e mdulo de elasticidade constante igual a E.

l

P

A dx


Neste problema existe apenas a possibilidade de deslocamento axial, tratando-se portanto de um problema uni-dimensional (1D). As incgnitas do problema so os deslocamentos axiais que variam ao longo do eixo da barra : u (x) .

A reao de apoio obtida por equilbrio esttico, tendo mesmo mdulo e sentido contrrio carga aplicada. O diagrama de esforo normal ou axial portanto constante e igual a + P ao longo da barra, ou seja, a barra est submetida trao pura. Dividindo-se a barra em elementos infinitesimais dx, cada elemento est submetido ento a uma tenso normal positiva:

AP

x = (1.1)

que ser constante para todos elementos, uma vez que a seo transversal da barra tambm constante e igual a A.

Admite-se que a barra composta de material elstico-linear, que segue a Lei de Hooke:

xx E = (1.2)

onde x a deformao especfica axial do elemento infinitesimal dx.

Sendo conhecida a relao deformao especfica deslocamento:

dxdu

x = (1.3)

onde du a variao de comprimento do elemento infinitesimal dx, como mostra a figura, obtm-se a equao de equilbrio do elemento infinitesimal, substituindo-se (1.1) e (1.2) em (1.3):

dx du


EAP

Edxdu x

==

(1.4)

que uma equao diferencial de 1a ordem. Para resolver esta equao necessrio conhecer-se uma condio de contorno. Neste exemplo conhecida a condio de contorno na extremidade esquerda da barra, que fixa: para x = 0 tem-se que u(0) = 0.

Os problemas regidos por equaes diferencias com condies de contorno conhecidas so denominados de problemas de valor de contorno (PVC). O exemplo desta barra portanto o exemplo de um problema de valor de contorno:

=

=

0(0)0

u

EAP

dxdu

PVC (1.5)

A maioria dos problemas em Mecnica dos Slidos, incluindo a Mecnica das Estruturas, pode ser descrita por um Problema de Valor de Contorno.

A soluo da equao diferencial da barra deste exemplo pode ser obtida por integrao direta:

cxEAP)x(u +=

(1.6)

Aplicando-se a condio de contorno u(0) = 0, obtm-se o valor da constante de integrao: c = 0. A soluo do problema fica ento:

xEAP

xu =)( (1.7)


Observa-se que o deslocamento axial varia linearmente em x, sendo mximo

na extremidade direita da barra, quando x=l : lEAP

xu =)(.

Nem sempre to simples a resoluo de uma equao diferencial ou de um sistema de equaes diferenciais parciais de sistemas contnuos, por isto de fundamental importncia o conhecimento dos mtodos de discretizao.

1.5.2 Sistemas discretos Sistemas discretos so aqueles que possuem um nmero finito de pontos materiais e portanto um nmero finito de graus de liberdade. Exemplos clssicos utilizados na Mecnica das Estruturas so os de pontos materiais ligados por molas elsticas.

Exemplo 2: Ponto material ligado mola elstica e linear

Seja um ponto material ligado extremidade direita de uma mola elstica e linear, de rigidez k e considerada inextensvel, fixa na extremidade esquerda, como mostra a figura acima.

k P

u

u(x)

EAPl

u(x)

x

l


Aplicando-se uma fora horizontal P ao ponto material, este sofrer um deslocamento horizontal u, que ser diretamente proporcional fora aplicada e inversamente proporcional constante elstica da mola :

kP

u = (1.8)

Este problema possui um nico grau de liberdade, o deslocamento u, e a equao de equilbrio que rege o problema uma equao algbrica:

Pu.k = (1.9)

1.5.3 Discretizao Alguns tipos de estruturas contnuas, tais como estruturas compostas de barras (reticuladas), edifcios formados por lajes rgidas apoiadas em colunas flexveis submetidos a cargas laterais, ..., so estruturas usualmente tratadas como discretas em Anlise Estrutural. como modelar uma estrutura por uma associao de pontos materiais e molas elsticas. Na verdade aplicam-se mtodos de discretizao para transformar as estruturas contnuas em discretas, com um nmero finito de graus de liberdade. As equaes diferenciais que regem o problema so assim transformadas em equaes algbricas. No caso de estruturas reticuladas os mtodos de discretizao conduzem a solues exatas, enquanto que, para estruturas laminares e tridimensionais, as solues sero, em geral, aproximadas.

Exemplo 3: Discretizao de uma barra contnua de material homogneo e seo constante

P

l A

12 u 1


Seja a barra contnua vista anteriormente no item 1.5.1, discretizada agora por um elemento unidimensional, que coincide com o eixo longitudinal da barra, com 2

ns na extremidade. As relaes fora deslocamento so agora consideradas nos

ns, 1 e 2, e como a barra fixa esquerda, o deslocamento horizontal do n 2 nulo, u2 = 0. O sistema fica reduzido portanto a um sistema com apenas 1 grau de

liberdade (GL), o deslocamento horizontal do n 1, u1 . O sistema contnuo, com um nmero infinito de GL, fica assim reduzido a um sistema discreto com um nmero finito de GL.

Em analogia a uma mola elstica, deve-se ter que a fora aplicada P proporcional ao deslocamento u1, sendo esta proporcionalidade dada pela rigidez

axial da barra, ou do elemento; pode-se ento escrever a equao de equilbrio (1.9) para o n 1:

Puk =1 (1.9)

Supondo conhecida a rigidez axial da barra, que o inverso da flexibilidade, sendo esta obtida por exemplo a partir do Princpio dos Trabalhos Virtuais ou por outro mtodo da Mecnica das Estruturas:

lEAk =

(1.10)

pode-se obter ento a soluo da equao de equilbrio:

EAPl

kP

u ==1 (1.11)

A equao diferencial do problema contnuo foi assim transformada em uma equao algbrica com 1 incgnita no sistema discreto. Observa-se que o deslocamento u1 obtido coincide com o valor obtido anteriormente, para a


extremidade da barra contnua (x=l), ou seja, obteve-se a soluo exata para o problema. A desvantagem deste procedimento seria a impossibilidade de obter-se o deslocamento em um ponto qualquer da barra, apenas nos ns. Entretanto, os esforos nas barras, de maior interesse para os projetistas, dependem apenas dos deslocamentos dos ns nas extremidades dos elementos. Utilizando-se o Mtodo dos Elementos Finitos como mtodo de discretizao, tambm possvel obter-se os deslocamentos em qualquer ponto dentro do elemento. Para estruturas reticuladas possivel obter-se a rigidez dos elementos diretamente usando os mtodos da Mecnica das Estruturas. J para estruturas laminares e tridimensionais ser necessrio utilizar a formulao matemtica do Mtodo dos Elementos Finitos.

Exemplo 4: Discretizao de uma barra contnua composta de 2 hastes

l l

P

1 2

u u1 2

1

111 l

AEk =

2

222 l

AEk =

Seja agora este exemplo em que a barra composta de duas hastes, de materiais, comprimentos e sees diferentes, conforme mostra a figura. Esta estrutura pode ser idealizada pela associao de dois elementos unidimensionais de rigidez diferentes, k1 e k2 , interligadas por ns, o que corresponde a um sistema discreto de

trs pontos materiais ligados por duas molas elsticas diferentes, conforme mostra a figura a seguir:

l1 l2

u=0


Como a extremidade esquerda fixa, trata-se de um problema de 2 graus de liberdade, u1 e u2 ; a discretizao desta barra conduzir assim a um sistema de 2

incgnitas e 2 equaes algbricas de equilbrio de foras em torno dos ns, que pode ser escrito sob a forma:

=+

=+

PuKuKuKuK

222121

212111 0 (1.12)

ou ento, sob a forma matricial:

=

P0

u

u

KKKK

2

1

2221

1211 ; [ ]{ } { }FUK = (1.13)

onde {U} o vetor de deslocamentos nodais, {F} o vetor de foras nodais e [K] a matriz de rigidez da barra que pode ser obtida da seguinte maneira:

i) Impem-se os deslocamentos u1 = 1 e u2 = 0 barra:

obtendo-se assim os coeficientes K11 = k1 + k2 e K21 = - k2 .

ii) Impem-se os deslocamentos u1 = 0 e u2 = 1 barra:

k1 k2 P

u1 u2

k1 k2

u1

=1

k2 k1

K11 K21

k2

u2

=1

k2

K12 K22


obtendo-se assim os coeficientes K12 = - k2 e K22 = k2 .

Resolvendo-se o sistema de equaes (1.12) obtm-se as incgnitas do problema, u1 e u2.

Para estruturas compostas de muitas barras, em vez de tratar-se a estrutura globalmente, como neste exemplo, divide-se a estrutura em elementos. As matrizes

de rigidez de cada elemento so calculadas ento isoladamente e, a partir destas, obtm-se a matriz de rigidez da estrutura, somando-se os coeficientes correspondentes aos mesmos graus de liberdade. Estes procedimentos da Anlise Matricial de Estruturas podero ser aplicados a estruturas laminares e tridimensionais discretizadas pelo Mtodo dos Elementos Finitos, uma vez conhecida a matriz de

rigidez dos elementos finitos.

Exemplo 5: Discretizao de uma barra contnua de material homogneo e seo varivel

A=10

P A=1

l = 100


Seja agora uma barra de material homogneo mas de seo varivel, conforme mostra a figura acima, engastada na extremidade esquerda e com uma carga axial P

aplicada na extremidade direita. A rea da seo transversal varia ao longo do eixo x : A(x) = 10 - 0,09x, e so dados tambm, em unidades consistentes, a carga axial P = 20 e o mdulo de elasticidade do material da barra, E = 20 000.

Inicialmente ser obtida a soluo exata do problema, tratando a barra como

contnua. Dividindo-se a barra em elementos infinitesimais dx, cada elemento est submetido a uma tenso normal positiva, que agora varivel ao longo de x:

xxAP

xx 09,01020

)()( == (1.14)

Levando em considerao a lei de Hooke, (1.2) e a relao deformao especfica deslocamento (1.3), chega-se equao diferencial que rege o problema:

( )( )xEA

PE

x

dxdu x

==

(1.15)

Esta equao diferencial, juntamente com a condio de contorno dada pela extremidade fixa, quando x = 0 u(0) = 0, definem o Problema de Valor de Contorno para este exemplo. A soluo da equao diferencial (1.15) pode ser obtida por integrao direta:

( ) cxdx

EP

xucdxxEA

Pxu +

=+= 09,010)()(

(1.16)

( ) cxxu += 09,010ln09,0

10)(3

(1.17)

Aplicando-se a condio de contorno, obtm-se a constante de integrao c:


9010ln010ln

901

==+ cc (1.18)

a qual, substituda na equao (1.17), fornece a soluo deste Problema de Valor de Contorno:

)009,01ln(901)( xxu =

(1.19)

Na extremidade direita da barra, para x = 100, obtm-se o deslocamento axial u(100) = 0,0256.

Neste exemplo, apesar de mais complicado do que o primeiro, ainda foi possvel obter-se analiticamente a soluo exata do problema. No entanto, medida que a geometria, o carregamento e as condies de contorno tornam-se mais complexos, nem sempre ser possvel obter-se a soluo exata, devendo-se recorrer a mtodos aproximados para buscar-se uma soluo aproximada para o problema.

Os mtodos aproximados em Engenharia, tais como o Mtodo de Rayleigh-Ritz, Mtodo de Galerkin ..., utilizam funes, em geral polinmios ou funes trigonomtricas, para a soluo aproximada. Em um problema unidimensional de Mecnica dos Slidos, teria-se por exemplo:

...)( 33221 ++++= xxxxu o (1.20)

em que as incgnitas, i , so determinadas aplicando-se certas restries de acordo

com o mtodo, sendo que o corpo slido, ou a estrutura, tratado globalmente, ou seja, considera-se o domnio inteiro de integrao do problema.


Para fins de ilustrao de solues aproximadas, pode-se expandir a soluo exata deste exemplo 5 em srie de Taylor:

1;...32

)1ln(32


Observa-se da tabela que muitos termos so necessrios para obter-se uma preciso razovel; 10 termos resultam ainda em um erro relativo de 8%. Isto para um problema relativamente simples, unidimensional.

Para melhorar a preciso das solues aproximadas dos mtodos aproximados clssicos em Engenharia, torna-se necessrio aumentar o grau dos polinmios utilizados para as funes aproximadas, resultando s vzes em graus muito elevados o que complica a soluo.

Conforme ser visto mais adiante, o Mtodo dos Elementos Finitos uma modificao de um destes mtodos aproximados, o de Rayleigh-Ritz, em que o domnio de integrao do problema subdividido em regies de dimenso finita denominadas elementos finitos, ou seja, o problema contnuo discretizado. A vantagem que pode-se assim utilizar funes mais simples, polinmios de grau baixo, para descrever a soluo aproximada dentro de cada regio ou elemento. Para melhorar a preciso da soluo, aumenta-se o nmero de elementos ao invs de aumentar-se o grau dos polinmios utilizados.

Aplicando-se o Mtodo dos Elementos Finitos a este exemplo, de barra de seo varivel, discretiza-se a barra por diversos elementos unidimensionais de seo constante, conforme feito anteriormente nos exemplos 3 e 4. A figura abaixo mostra como exemplo a barra de seo varivel discretizada por 4 elementos unidimensionais ou de trelia de mesmo comprimento (li = constante). Considera-se que cada elemento i tem seo transversal Ai constante, igual ao valor da rea no

centro do elemento i.


A vantagem do MEF que considera-se dentro de cada elemento uma funo

simples de aproximao, no caso um polinmio do 1o grau, pois conforme visto anteriormente, a soluo exata de uma barra unidimensional de seo constante uma funo linear em x (ver eq. 1.7). Isto vem a facilitar a utilizao do mtodo e sua implementao em programas computacionais. A discretizao da barra em 4 elementos, por exemplo, resulta em um sistema de equaes algbricas 4 x 4:

[ ] { } { } 141444 = FUK (1.23)

que pode ser resolvido facilmente com o auxlio de computadores.

A soluo aproximada obtida pelo MEF para o deslocamento axial na

extremidade direita da barra, u (100), variando-se o nmero de elementos est apresentada na tabela abaixo:

Nmero de elementos

1

2 4 8

u (100) 0,01818 0,02184 0,02407 0,02509

A1

P

A2 A3

A4

l1 l2 l3 l4


Observa-se que a preciso da soluo aproximada para apenas 1 elemento j quase equivalente aproximao de 4a ordem da soluo aproximada obtida anteriormente para o domnio todo da estrutura, para 4 elementos j superior aproximao de 10a ordem, 6% de erro relativo em comparao com 8%, e para 8 elementos resulta em um erro relativo de apenas 2%.

Desejando-se melhorar a preciso da soluo aproximada dada pelo MEF, ao invs de aumentar-se o grau do polinmio das funes de aproximao, aumenta-se o nmero de elementos (ne), e, atendidas certas condies, quando este tende ao infinito (ne ) a soluo aproximada tende para a soluo exata, o que pode ser constatado at visualmente para este problema (aumentando-se o nmero de elementos a geometria do modelo aproxima-se da estrutura real, contnua).


2 PRINCPIOS DE ENERGIA E MTODO DE RAYLEIGH-RITZ

2.1 Noes de Clculo Variacional [5] 2.1.1 Mximos e mnimos de uma funo de uma varivel independente

Em clculo diferencial estuda-se como uma funo f varia quando os valores de uma varivel, por exemplo x, variam. A funo pode ser escrita na forma f = f(x). Uma das questes de maior interesse como obter os valores extremos (mximos e mnimos) de uma funo.

Seja a funo f de uma varivel independente, x, definida no intervalo BA xxx , mostrada na figura acima, aonde f(x) a varivel dependente.

O menor valor da funo f em todo o domnio denomina-se mnimo absoluto, no caso ser f(xA) e o maior valor denomina-se mximo absoluto, no caso, f(xB).

Alm dos valores absolutos, podem existir valores mximos e mnimos relativos. No exemplo acima, f(x1) um mximo relativo e f(x2) um mnimo relativo.

xA x1 x2 x3 xB x

f(x)


Podem existir tambm os pontos indefinidos, que no correspondem nem a um mximo nem a um mnimo. Tais pontos tambm so denominados ponto sela ou ponto singular. No caso, f(x3) corresponde a um ponto sela.

Para estudar os valores extremos da funo f(x) convm expandir f(x) em srie de Taylor, em torno de xo , para estudar o comportamento de f na vizinhana de xo (f deve ser diferencivel em um intervalo bxa o ) :

K++++=+

ooo xxx

oo dxfdx

dxfdx

dxdf

xxfxxf 333

2

22

!3!2)()(

(2.1)

Chama-se )()( oo xfxxff += , o incremento total da funo f e x o incremento da varivel x. Reescrevendo-se ento (2.1) tem-se:

K+++=+=

ooo xxx

oo dxfdx

dxfdx

dxdf

xxfxxff 333

2

22

!3!2)()(

(2.2)

Observa-se da figura abaixo que, se f for positivo ento xo um mnimo relativo, pois )( xxf o + ser sempre maior do que )( oxf para qualquer valor de

x :

f(x)

f < 0

f(x)

f > 0

x0 x0+x x x0 x0+x x


Analogamente, se f for negativo ento xo um mximo relativo, pois qualquer que seja o valor de x , )( xxf o + ser sempre menor do que )( oxf .

Como x muito pequeno, 2x ser bem menor do que x e 3x bem

menor do que 2x , e assim sucessivamente, ou seja, a primeira parcela da eq. (2.2) predomina sobre as demais e o sinal de f ser igual ao da primeira parcela.

Observa-se que, se 0ox

dxdf

no ser possvel definir o sinal de f , pois o mesmo

ir depender do sinal de x .

Portanto, para obter-se um valor extremo de f (mximo ou mnimo relativo) em xo necessrio que:

0=ox

dxdf

(2.3)

Os pontos que satisfazem esta condio so denominados estacionrios e esta condio denominada estacionariedade.

Alm disso, como 2x sempre positivo, o carter do ponto estacionrio

ficar definido pelo sinal de ox

dxfd2

2.

Se >> 0022

fdx

fdox

xo um mnimo relativo

Se


Se = 022

oxdx

fd xo um ponto neutro e deve-se investigar as derivadas de

ordem superior.

Esta anlise pode ser estendida para funes de duas ou mais variveis. Ser introduzida agora a seguinte notao variacional:

K+

+

+

=+= 33

32

2

2)(

!31)(

!21)()( x

dxfd

xdx

fdx

dxdf

xfxxffooo

oo

(2.5) onde

x o incremento ou variao da varivel x;

xdxdff

o

=

o incremento de 1a ordem de f ou 1a variao de f;

22

22 )( x

dxfdf

o

=

o incremento de 2a ordem de f ou 2a variao de f ... e

f o incremento total de f ou a variao total de f.

Usando-se a notao acima, pode-se reescrever a eq. (2.5):

K+++= ffff 32!3

1!2

1 (2.6)

E a condio de estacionariedade pode tambm ser reescrita:

00;0 =

=

=

oo dxdf

xxdxdff

(2.7)


2.1.2 Funcionais

Em clculo variacional, ao invs de trabalhar-se com funes, trabalha-se com funcionais. Funcional uma quantidade cujo valor depende de uma ou mais funes e representa-se na forma: F = F( f(x)) ou simplesmente F=F(f) . Neste caso F depende apenas de uma funo f que depende apenas de uma varivel, x.

No caso geral F pode depender de vrias funes, as quais podem depender de uma ou mais variveis:

),(ou)),(),,(( gfFFyxgyxfFF == (2.8)

Na Mecnica dos Slidos, so de maior interesse os funcionais cujo valor depende da integral de uma ou mais funes sobre uma certa regio ou domnio, por exemplo:

dxffffF xxx

x

x

B

A

)832()( += (2.9)

que pode ser escrito na forma genrica:

2

2

eonde

),,,()(

dxfdf

dxdff

dxxfffIfF

xxx

xx

x

x

x

B

A

==

= (2.10)

Se F depender de f e g, que por sua vez dependem de x e y, tem-se: dxdyyxggggffffgfIgfF yyyxxxyyyxx

Ax ),,,,,,,,,,,(),( = (2.11)

Adotando-se funes diferentes para f, obtm-se valores diferentes para F em (2.10), assim como adotando-se funes diferentes para f e g, obtm-se valores diferentes para F em (2.11).


O problema do Clculo Variacional consiste em encontrar a funo (ou funes) que torna (ou tornam) o funcional F estacionrio. Na Mecnica dos Slidos, os problemas so em geral formulados em termos de um funcional, utilizando-se os princpios energticos: a soluo do problema corresponde a uma funo estacionria do funcional (geralmente que torna o funcional mnimo).

Seja um funcional simples que depende apenas de uma funo e de sua derivada:

BA

x

x

x xxxdxxffIfFB

A

= ;),,()( (2.12)

em que so conhecidas as condies de contorno:

BBAA fxffxf == )(e)( (2.13)

O conjunto de funes admissveis para que o funcional F em (2.12) seja definido no intervalo [xA , xB] so as funes que satisfazem as condies de contorno e que so contnuas dentro do intervalo [xA , xB]. Para um funcional genrico que contenha derivadas at a ordem m de f, as funes admissveis para f devem ser contnuas e suas derivadas at a ordem (m-1) tambm devem ser contnuas.

Dentro deste conjunto de funes admissveis para f, deve-se encontrar aquela que torna o funcional F estacionrio. Para isto deve-se estudar o comportamento de F para pequenas variaes em torno da funo f, analogamente ao estudo da funo f em torno de xo , conforme visto anteriormente. Define-se assim a funo h = f + f , como mostra a figura a seguir, sendo que h deve tambm respeitar as condies de

contorno : h (xA ) = fA e h (xB) = fB, para que seja uma funo admissvel ao funcional.


Desenvolvendo-se o funcional F em srie de Taylor em torno de f tem-se:

K+++=+= FFFfFffFF 32!3

1!2

1)()( (2.14)

onde

F a variao total de F;

F a 1a variao de F;

F2 a 2a variao de F ... e assim por diante.

A condio de estacionariedade do funcional F dada por:

0=F (2.15)

Analogamente ao que foi visto anteriormente para funes:

Se >> 002 Ff F ter um mnimo relativo Se


dxffIff

IdxffIFB

A

B

A

x

x

x

x

x

x

x

+==

),(

(2.16)

Integrando por partes o 2o termo entre parnteses de (2.16), vem:

B

A

B

A

x

xx

x

x x

ffIdxf

Idxdfff

IF

+

=

(2.17)

Observa-se que: 0)( e 0)( logo , === BA xfxffhf (ver figura anterior, pg. 34), portanto o ltimo termo da eq. (2.17) se cancela. Aplicando agora a condio de estacionariedade:

0.0 =

= dxff

Idxd

fIF

B

A

x

x x

(2.18)

Como f arbitrrio, para que a eq. (2.18) seja satisfeita para qualquer valor de f , o termo entre colchetes no integrando desta equao deve-se anular:

0=

xfI

dxd

fI

(2.19)

o que resulta numa equao diferencial, no caso de 2a ordem, denominada equao de

EULER-LAGRANGE.

Portanto, a funo f que torna o funcional F estacionrio aquela que satisfaz equao diferencial de Euler-Lagrange, (2.19), e s condies de contorno (2.13).

Exemplo:

Seja o funcional dxxfff x

++

1

0

22 4221

em que as funes f devem atender

s condies de contorno: f(0) = f(1) = 0. Encontre a funo f que torne F estacionrio.


xfffIdxxffIF xx 4221

;),,( 221

0++==

x

x

ffI

xffI

=+=

;44

A equao de Euler-Lagrange para este exemplo torna-se ento:

0)(440 =+=

x

x

fdxd

xffI

dxd

fI

que uma equao diferencial de 2a ordem. Logo a funo f que torna o funcional F estacionrio e satisfaz s condies de contorno a soluo do Problema de Valor de Contorno:

==

+=

0)1()0(44

ffxff xx

A soluo deste problema : xee

eefxx

=

22

22

Obter a funo f que torna F estacionrio e satisfaz s duas condies de contorno f(0) = f(1) = 0 equivale portanto a encontrar a soluo da equao diferencial acima, de 2a ordem, submetida s duas condies de contorno dadas, ou seja, encontrar a soluo de um Problema de Valor de Contorno (P.V.C.).

Seja agora um funcional que depende apenas de uma funo, como o definido em (2.12), devendo porm a funo f satisfazer apenas a uma condio de contorno:

AA fxf =)( (2.20)


0 logo,0

0 logo,0

=

===

=

=

B

A

xxB

xxA

ffhxxffhxx

Para que a funo f torne o funcional F definido em (2.20) estacionrio, a 1a variao de F deve se anular. Substituindo-se as condies de contorno acima na eq. (2.17), tem-se agora que:

0=

+

=

AB

B

A xxxx

x

x x

ffIff

IdxffI

dxd

fIF

(2.21)

Para que a equao acima seja satisfeita, como f arbitrrio, o integrando contido no 1o termo deve-se anular, resultando na mesma eq. de Euler-Lagrange,

(2.19), encontrada anteriormente. Devido condio de contorno (2.20) o ltimo termo de (2.21) se cancela, mas como agora no ponto B f no mais conhecido, ser tambm um valor arbitrrio e portanto para que o 2o termo se anule e (2.21) seja

satisfeita, deve-se ter que: 0=Bxx

fI

. Esta condio conhecida como condio de

contorno natural (ou livre), enquanto que a condio de contorno (2.20) conhecida como condio de contorno essencial (ou forada). Resumindo ento, para que a funo f torne o funcional F estacionrio, as seguintes condies devem ser atendidas:

xA xB x

f fB

fA

f, h


essencial contorno de condio )(

natural contorno de condio 0

Lagrange-Euler de eq. 0

=

=

=

AA

xx

x

fxffI

fI

dxd

fI

B

(2.22)

O problema (2.22) (ou a eq. (2.21) + condio de contorno (2.20)) conhecido como a forma fraca (ou forma variacional) de um Problema de Valor de Contorno.

De uma maneira geral, para que f torne o funcional dxxffIfFB

A

x

x

x ),,()( =

estacionrio, f deve satisfazer eq. de Euler-Lagrange (2.19) e tambm s condies:

0ou)(

0ou)(

==

==

B

A

xx

BB

xx

AA

fIfxf

fIfxf

(2.23)

Para este problema (equao diferencial de 2a ordem e 2 condies de contorno), deve-se ter em cada ponto do contorno uma condio de contorno, essencial ou natural, no se pode ter as duas condies no mesmo ponto e nehuma no outro ponto do contorno, pois a condio de estacionariedade no seria atendida e no seria possvel a resoluo do problema.

Estendendo agora o estudo para funcionais que incluem derivadas de ordem superior:


;),,,()( dxxfffIfF xxx

x

x

B

A

= f e fx so funes contnuas (2.24)

A primeira variao de F torna-se:

dxffIff

IffIF

B

A

x

x

xx

xx

x

x

++=

(2.25)

Integrando por partes o 2o e 3o termos da eq. acima, vem:

dxfI

dxdfff

IdxffI B

A

B

A

B

A

x

x x

x

xx

x

x

x

x

=

dxfI

dxdfff

Idxdff

I

dxfI

dxdfff

IdxffI

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

x

x xx

x

xxx

x

x

x

xx

x

x xx

x

x

x

x

xx

x

x

xx

xx

+

=

=

2

2

Substituindo-se os termos acima em (2.25), obtm-se: B

A

B

A

B

A

x

xxxx

x

x

x

xx

x

x xxx

ffI

dxd

fIff

IdxffI

dxd

fI

dxd

fIF

+

+

+

=

2

2

(2.26)

Se fossem dadas as condies de contorno:

==

==

')(;)(')(;)(

BBxBB

AAxAA

fxffxffxffxf

, os 2o

e 3o termos da eq. (2.26) se anulariam e, como f arbitrrio, para que F seja nulo deve-se ter:

022

=

+

xxx fI

dxd

fI

dxd

fI

(2.27)


que a equao de Euler-Lagrange do problema, neste caso uma equao diferencial

de 4a ordem.

De uma maneira geral, no sendo dadas as condies de contorno acima, deve-se sempre ter:

(2.28) isc.c.natura

0ou')(

0ou')(

0ou)(

0ou)(

essenciais c.c.

==

==

=

=

=

=

B

A

B

A

xxx

BBx

xxx

AAx

xxxx

BB

xxxx

AA

fIfxf

fIfxf

fI

dxd

fIfxf

fI

dxd

fIfxf

Conforme visto anteriormente, em cada ponto do contorno ou tem-se uma condio de contorno ( no caso, da funo e de sua derivada) essencial ou natural, os dois tipos no podem ocorrer no mesmo ponto.

Se m a ordem mais alta das derivadas dentro do funcional, a equao de Euler-Lagrange uma equao diferencial de ordem 2m, e haver 2m condies de contorno, de 0 at 2m-1, lembrando que as funes f admissveis ao funcional devem ser contnuas e suas derivadas at a ordem m-1 tambm.

Exemplo:

Seja o seguinte funcional: dxpEIl

xxzp

=

0

2 v)(v21

em que a funo v deve atender s condies de contorno: 0(0) ve 0v(0) x == .


Encontre a equao de Euler-Lagrange e as condies de contorno naturais deste problema.

p representa a energia potencial total de uma viga de rigidez flexo, EIz,

constante, submetida a uma carga uniformemente distribuda, p. Para as condies de contorno dadas (essenciais), trata-se de uma viga engastada em x = 0 e livre em x = l:

v)(v21

;),v v,( 20

pEIIdxxIF xxzxxl

==

xxzxxx

EIII

pI

vv

;0v

;v

===

A equao de Euler-Lagrange , (2.19), para este exemplo torna-se ento:

0)v(00 22

2

2=+=

+

xxz

xxx

EIdxdpf

Idxd

fI

dxd

fI

ou

zxxxxz EI

pdxdpEI == 4

4 vou )v(

que uma equao diferencial de 4a ordem, a conhecida equao de equilbrio de uma viga submetida flexo.

p

lxv


As condies de contorno do problema so obtidas a partir de (2.28):

0Mou 0v0v

)

0v0)0( v)

0Vou 0v0vv

)

0v0)0( v)

xx

0x

xxx

0

===

===

===

===

==

=

=

==

=

=

lxlxzlxxx

xx

lxlxzlxxxx

x

EIIiv

xiii

EII

dxdIii

xi

sendo que as condies i) e iii) so condies essenciais, impostas, decorrentes do engaste da viga na extremidade esquerda, em x=0, e as condies ii) e iv) so condies naturais que devem ser atendidas uma vez que o valor do deslocamento v e da rotao vx na extremidade direita, em x=l, no so conhecidos. As condies

naturais implicam portanto que se anulem na extremidade direita da viga o momento fletor, M, e o esforo cortante, V, o que est correto, uma vez que no existe

nenhuma carga nem nenhum binrio aplicado na extremidade livre. A soluo deste Problema de Valor de Contorno (forma fraca) em que m = 2 a soluo da equao diferencial de Euler-Lagrange, de 4a ordem, encontrada acima, que atende s 4 condies de contorno. Esta soluo a configurao de equilbrio da viga, pois, entre todas as configuraes admissveis ao funcional, apenas esta

torna o funcional p , de energia potencial total, estacionrio, conforme estabelece

o Princpio de Energia Potencial Estacionria, a ser visto mais adiante. Alm disso, como esta configurao resulta em um valor mnimo do funcional (uma vez que a rigidez flexo positiva), trata-se de uma configurao de equilbrio estvel. Nos problemas em que o funcional a energia potencial total e as funes so deslocamentos, as condies de contorno essenciais envolvem sempre derivadas de ordem 0 a m-1 , sendo asssim denominadas de condio de contorno geomtricas, enquanto que as condies de contorno naturais envolvem derivadas de ordem m a 2m-1, sendo denominadas condies de contorno do tipo fora.


43

2.2 Princpio da Energia Potencial Mnima [3] Seja o sistema da figura abaixo:

em que define-se:

Sistema corpo slido (ou estrutura) mais o conjunto de cargas aplicadas neste; Configurao de um sistema conjunto de posies de todas as partculas do corpo slido;

CR configurao indeformada ou de referncia do sistema;

CD configurao deformada do sistema;

Sistema Conservativo quando o trabalho realizado pelas foras internas e externas do sistema independem do caminho percorrido entre CR e CD (no h perda de energia).

Para um corpo elstico, o trabalho realizado pelas foras internas igual em magnitude variao da energia de deformao interna, U. Um sistema mecnico conservativo tem uma energia potencial, isto , pode-se expressar a quantidade de energia do sistema em termos da sua configurao (sem precisar conhecer a histria das configuraes anteriores). A energia potencial total do sistema consiste da energia de deformao interna, elstica, (U) e do potencial de todas as cargas externas (V), ou seja, a capacidade destas realizarem trabalho quando deslocadas da configurao atual deformada para a configurao de referncia, indeformada.

VUP +=pi (2.29)

F2 F1

u3

u1 F3 2 1

Configurao deformada 3

u2

Configurao indeformada


44

Todo corpo, ao se deformar, armazena energia de deformao interna, portanto em qualquer configurao CD, U ser sempre positiva. O potencial das foras externas realizarem trabalho, V, entre CD e CR ser igual a ( We), sendo We o trabalho que estas foras realizaram entre CR e CD.

O Princpio de Energia Potencial Estacionria diz que: Entre todas as configuraes admissveis de um sistema conservativo, aquelas que satisfazem as equaes de equilbrio tornam a energia potencial estacionria.

Este Princpio vale tanto para sistemas lineares como para no-lineares (desde que elsticos). Alm disso se a condio de estacionaridade corresponde a um mnimo o equilbrio ser estvel (se for mximo equilbrio instvel, se for neutro equilbrio indiferente)

Para investigar como varia piP para pequenas variaes de deslocamentos,

desenvolve-se piP em srie de Taylor e a condio de estacionaridade dada por:

0=piP 1a variao de piP nula (2.30)

O carter do ponto estacionrio ficar determinado pelo sinal da 2a variao de

piP.

a) Sistemas discretos (conservativos)

i) Sistema simples 1 mola linear 1 grau de liberdade (GL)

indeformada deformada


45

Independentemente do caminho percorrido (A,B,C) a energia de deformao do sistema na configurao deformada :

2.

21

ukU =

E o potencial das cargas externas : uPWV e .==

A energia potencial total (2.29) dada por:

( )uuPukVU PP pi==+=pi ..21 2

A configurao de equilbrio, ueq encontrada aplicando-se (2.30):

0. 0 0 ==pi=pi=pi Pukdu

du

dud

eqPP

P (2.31)

kP

ueq = (equao de equilbrio)

A equao (kueq - P).u = 0 representa o Princpio dos Trabalhos Virtuais conforme ser visto mais adiante.

Pode-se tambm observar da figura abaixo que, na configurao de equilbrio,

piP um mnimo relativo logo o equilbrio ser estvel.

De fato, 0 e 22

>=pi

kkdu

d p


46

ii) Sistema de vrios GL (n) Pode-se citar como exemplo uma estrutura reticulada composta de barras, com um total de n graus de liberdade. A energia potencial total do sistema :

piP = piP (u1, u2, u3, ..., un)

E a 1a variao da energia potencial total :

n

n

PPPP u

uu

uu

u

pi

++pi

+pi

=pi .....22

11

A condio de estacionaridade (2.30), 0=piP , implica em:

0 . . . 0 ; 021

=

pi

=

pi

=

pi

n

PPP

uuu

ou

naiui

p

1

0

=

=

pi

(2.32)

que representam um sistema (n n) de equaes (algbricas) de equilbrio .

Introduzindo-se a seguinte notao: um til (~) sob uma letra para representar tanto um vetor como uma matriz, pode-se reescrever (2.32) matricialmente:

pi

Pu~

~

= 0

Exemplo:

Molas em srie sistema de 3 GL


47

O sistema possui 3 graus de liberdade que so os deslocamentos horizontais dos 3 pontos materiais, representados matricialmente pelo vetor de deslocamentos:

=

3

2

1

~

u

u

u

u

E o sistema est submetido a uma carga horizontal em cada ponto material, representadas pelo vetor:

=

3

2

1

~

PPP

F

A energia de deformao interna U depende dos deslocamentos relativos sofridos por cada mola:

Deslocamento relativo na mola 1 u1

Deslocamento relativo na mola 2 u2 - u1

Deslocamento relativo na mola 3 u3 - u2

Logo: ( ) ( ) 33221122332122211 21

21

21

uPuPuPuukuukukP ++=pi

As equaes (2.32), 0=pi

i

P

u resultam em:

( )( ) ( )

( )

=

=

=

0 0

0

3233

2233122

112211

PuukPuukuuk

Puukuk (equaes de equilbrio)

ou, matricialmente:


48

=

+

+

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

0

0

PPP

u

u

u

kkkkkk

kkk

ou seja : ~~~

. FuK = (2.33)

que um sistema (3 x 3) de equaes algbricas, sendo ~

K a matriz de rigidez do

sistema.

Cada uma das equaes (2.32) corresponde equao de equilbrio nodal

( pi

P

ii e

uF F= = 0 , a soma das foras internas = soma das foras externas

no n i).

A 2a variao de piP ser positiva, uma vez que:

pi

pi

P Pu

K u Fu

K~

~ ~ ~

~

~

.= = e 2

2 (2.34)

e a matriz ~

K positivo-definida (o sistema restringido a movimentos de corpo

rgido, no hiposttico, e a rigidez das molas positiva). Portanto a soluo ~

u

corresponde a um mnimo relativo para a energia potencial total, piP, sendo assim uma

configurao de equilbrio estvel.

O Princpio da Energia Potencial Mnima diz que:

A configurao de equilbrio (ou campo de deslocamentos que satisfaz as equaes de equilbrio) de um sistema linear, elstico, a que torna a energia potencial total do sistema mnima.


49

b) Sistemas Contnuos (conservativos) Seja um corpo slido de forma arbitrria, submetido a foras no seu interior,

denominadas foras de volume )(~

b , e no seu contorno submetido a foras de

superfcie )(~

p e certas condies de contorno (deslocamentos prescritos, ~

u ),

conforme mostra a figura abaixo:

sendo

ppp

p

x

y

z

~

=

; bbbb

x

y

z

~

=

; e no contorno S:

S - parte do contorno com foras de superfcie prescritas: ~

p

Su - parte do contorno com deslocamentos prescritos: ~

u

O objetivo da Mecnica dos Slidos obter a configurao deformada do corpo,

ou seja, o vetor de deslocamentos de cada partcula do corpo: uu

v

w~

=

. Esta

configurao a configurao de equilbrio do corpo, que ser obtida utilizando-se o Princpio da Energia Potencial Mnima, sendo conhecidas:


50

i) Equaes de compatibilidade: que so as relaes Deformao Especfica Deslocamentos; consideram-se pequenas deformaes especficas, portanto estas

relaes so lineares.

+==

+==

+==

yw

z

v

z

w

x

w

z

u

yv

x

v

yu

x

u

yzz

y

x

xz

xy

(2.35)

ii) Equaes Constitutivas: que relacionam as tenses com as deformaes especficas, que dependem do tipo de material. O material do corpo slido considerado isotrpico e elstico-linear, portanto estas equaes so lineares. Apesar de serem grandezas tensoriais, as tenses e deformaes so aqui representadas como

vetores:

+=

xz

yz

xy

z

y

x

xz

yz

xy

z

y

x

E

.

22100000

02210000

00221000

000100010001

.)21).(1( (2.36)

ou, matricialmente : ~~~

. D= ; onde ~

D a matriz constitutiva do material; E o

mdulo de elastcidade e o coeficiente de Poisson do material.

Define-se agora: Uo energia de deformao por unidade de volume do corpo, que

igual em magnitude ao trabalho realizado pelas tenses sobre as deformaes.


51

Seja, por exemplo em um problema unidimensional:

(material elstico-linear: .E= )

dEdU o ... 00 == .21

.

21

2== EU o (rea sob a curva do grfico)

Em um corpo slido tem-se que:

[ ]zyzyxzxzxyxyzzyyxxoU +++++= .21

(2.37)

ou, matricialmente: ~~~~

21

21

== ToU (onde representa um produto escalar)

A energia de deformao interna total do corpo obtida integrando-se Uo ao longo de todo o volume do corpo:

= VT

VT

V odVDdVdVUU

21

= .

21

= ~~~~~

(2.38)

O potencial das foras externas para o corpo slido, V = - We , :

= V STT dApudVbuV

. - . -

~~~~

(2.39)

lembrando que ~~~~

buubwbvbub Tzyx ==++ e ~

~~~

puupwpvpup Tzyx ==++ e

supondo que os apoios sejam fixos, ~~

0=u , ou seja, as reaes no produzem trabalho.

A energia potencial total do corpo slido fica sendo ento:


52

= V STTT

VPdApudVbudVD

pi . - . -

21

~~~~~~~

(2.40)

Como ), (~~

upp pipi = , a 1a variao da energia potencial total :

~

~

~

~

uu

PPP

pi

pipi +=

Minimizando agora o potencial de energia total do corpo, vem:

0 . - . - ~

~~~~~~

== V STTT

VPdApudVbudVD

pi (2.41)

(lembrando da regra da derivada do produto: ( )~~~~~~~~~

~

2. + .

DDDD TT ==

ou ( )~~~~~~

~

2.

=+= D )

Manipulando-se a eq. (2.41), e sabendo-se que Tu~

arbitrrio, para que ppi

seja nulo deve-se ter:

=

+

++

++

++

000

z

y

x

zyzxz

zyyxz

zxyxx

bbb

zyx

zyx

zyx

que so as equaes de equilbrio do corpo,

(equaes de Euler-Lagrange) e tambm:

=

z

y

x

z

y

x

zzyzx

yzyyz

xzxyx

p

pp

n

n

n

.

que a conhecida equao de Cauchy,

(condio de contorno natural), sendo n~

o vetor normal superfcie de contorno.


53

2.3 Princpio dos Trabalhos Virtuais A partir da equao (2.29), pode-se escrever: 0=+= VUp pi (2.42)

Comparando-se agora as equaes (2.41) e (2.42), pode-se concluir que:

== V iT WdVU .

~~

, onde iW pode ser definido como o trabalho virtual das

foras internas, e == V S eTT WdApudVbuV

~~~~

... , onde eW pode ser

definido como o trabalho virtual das foras externas.

Substituindo-se U e V na eq. (2.42), demonstra-se o Princpio dos Trabalhos Virtuais:

eieiP WWWW pi === 0 (2.43)

Este Princpio pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja um corpo slido, submetido a certas cargas (de volume, de superfcie) e deslocamentos prescritos no seu contorno. O corpo se deformar atingindo uma

configurao deformada CD (~

u em cada partcula) na qual as tenses internas esto

em equilbrio com as foras externas. Adicionando-se configurao deformada um

campo de deslocamentos virtuais (~

u em cada partcula)*, ou seja, uma pequena

variao em torno da configurao deformada, obtm-se uma nova configurao CV. Como o corpo estava em equilbrio, o trabalho virtual desenvolvido pelas foras internas ser igual ao trabalho virtual desenvolvido pelas foras externas ao se deslocarem entre CD e CV .

* Obs.:

~~

uu + continua satisfazendo s condies de contorno: 0~

=u em Su.


54

Exemplos:

1) Barra com carga axial uniformemente distribuda.

( ) ====

L

V

L xxV o

dxxupVdxAuEUdVEdVUU00

22

)( . 2

2

Logo, =L L

xp dxxupdxuEA

0 02

)( 2

pi

==L L

xxp dxupdxuuEA 0 0 0 0 pi =L

xx

Lxxx dxuuuudxuu 00

( )[ ] [ ] 0 . 0 0 =++= LxL

xxp uuEAdxupuEA pi

Condio de contorno essencial: 00)0( 0 == uu

Condio de contorno natural: A E ux x L. . = = 0 (no h carga concentrada na

extremidade x=L). Equao de Euler-Lagrange: 0)( =+ puEA xx

Obs: No caso de existir deformao inicial o e tenso inicial o :

ooo E

ddU

+=

...

2

2

ooo EEU += (2.44)


55

2) Viga engastada com carga transversal varivel ao longo de x

Condies de contorno essenciais: 0)0(v)0(v == x

A energia de deformao interna da viga : == Vx

V odVEdVUU

2.

2

Lembrando que xxx ydxdy

dxdu

dxdyyu v.v. v.. 2

2=====

Logo:

( ) ( ) ( ) === L xxzAL

xxA xxL

dxEIUdAydxEUdxdAyEU0

220

220

v2

. v2

v.2

O potencial das foras externas que atuam na viga : =L

dxxxqV0

)( v)(

A energia potencial total fica sendo ento: ( ) = L Lxxzp dxxxqdxEI0 02 )(v).(v2pi

Fazendo-se 0=ppi chega-se equao de Euler-Lagrange, que a equao de

equilbrio da viga, e s condies de contorno naturais conforme foi visto anteriormente (ver pg. 41 a 42).

L


56

2.4 Mtodo de Rayleigh-Ritz [3], [5] Conforme j foi visto, a maioria dos problemas de Mecnica dos Slidos pode

ser expressa por um Problema de Valor de Contorno, seja formulado variacionalmente (forma fraca) ou pela sua forma forte (equao diferencial + todas as condies de contorno). A no ser para problemas muito simples, no ser possvel obter a soluo exata destes problemas (P.V.C.), devendo-se procurar uma soluo aproximada. Os mtodos aproximados em Engenharia buscam solues aproximadas que transformam o sistema contnuo em um sistema discreto com um nmero finito de graus de liberdade (transformando um sistema de equaes diferenciais de equilbrio em um sistema de equaes algbricas de equilbrio).

Os mtodos aproximados variacionais so aqueles que s podem ser aplicados a problemas que admitem uma formulao variacional. O mais conhecido destes mtodos o Mtodo de Rayleigh-Ritz, proposto inicialmente em 1870 por Lord Rayleigh ao estudar problemas de vibrao e generalizado posteriormente por Ritz. Este mtodo consiste em operar apenas com um subconjunto das funes admissveis ao funcional e minimizar o funcional em relao a elas. A escolha das funes importante e aumentando-se o nmero de termos da funo melhora-se a aproximao.

Seja encontrar a funo f que torna estacionrio o funcional:

BA

x

x

x xxxdxxffIfFB

A

= ;),,()( (2.45)

em que so dadas as condies de contorno:

0)(e0)( == BA xfxf (2.46)

sendo que f uma funo contnua. Entre as funes f admissveis ao funcional, a soluo exata do problema a que satisfaz a condio de estacionariedade: 0=F .


57

O Mtodo de Rayleigh-Ritz consiste em definir, entre estas funes admissveis, um subconjunto da forma: ff nn ++++= K332211 (2.47)

em que as funes i so linearmente independentes; alm disto, as funes i so contnuas e satisfazem s condies de contorno: 0)()( == BiAi xx . Os parmetros

i so chamados de coordenadas generalizadas (no possuem necessariamente um significado fsico).

Substituindo-se a eq. (2.47) na eq. (2.45), obtm-se uma aproximao para o funcional F, F , que funo dos parmetros i j que as funes i so conhecidas:

),,,,( 321 nFF K=

sendo n o nmero de coordenadas generalizadas que so as incgnitas do problema.

Aplicando-se a condio de estacionariedade, vem:

022

11

=+++= nn

FFFF

L (2.48)

Como as variaes i so arbitrrias, a eq. (2.48) s ser satisfeita se:

niFi

, 2, 1,= para 0 K=

(2.49)

que definem um sistema de equaes algbricas cuja soluo fornece os valores dos parmetros i , transformando-se assim um sistema contnuo em um sistema discreto.


58

Se as funes f cumprem as condies de convergncia do mtodo, aumentando-se o nmero de termos, ou seja, n, as solues aproximadas ( f ) tenden para a exata (f).

As condies de convergncia deste mtodo so:

1) As funesi devem ser admissveis, ou seja, devem satisfazer s condies de contorno essenciais do problema e tanto estas funes como suas derivadas at a ordem m-1 devem ser contnuas, onde m a ordem da derivada mxima que aparece no funcional.

2) A sequncia de funes deve ser completa, ou seja, no limite, quando n , o erro quadrtico mdio deve ser anular:

0lim2

1=

=

dxfB

A

x

x

n

iii

n

(2.50)

Para saber se a soluo est convergindo, deve-se proceder por tentativas, aumentando-se sucessivamente o nmero de termos e comparando-se a ltima soluo com a da tentativa precedente, at chegar-se a uma diferena entre solues menor do que a tolerncia desejada:

1a tentativa: 1)1(

1)1( =f

2a tentativa: 2(2)

21(2)

1(2) +=f

(2.51)

isima tentativa: ii

iiiif )(2)(21)(1)( +++= K

)1()( ii ff convergncia.


59

Em geral as funes i so polinmios ou funes trigonomtricas. Se o ponto estacionrio do funcional corresponde a um mnimo, ento ao substituir-se as funes aproximadas, (2.73), na expresso do funcional, (2.67), obtm-se:

F F F F( ) (2) (3) (i)1 L

ou seja, a sequncia monotnica e os funcionais aproximados so maiores do que o real. No caso do funcional representar a energia potencial de um sistema ( ppi ), os funcionais aproximados so ento "mais rgidos" do que o real e se as funes aproximadas forem deslocamentos, sero em geral menores do que os reais:

Portanto ppi um limite superior para ppi . Aumentando-se o nmero de

termos na soluo aproximada (n), o sistema aproximado torna-se mais flexvel, logo mais prximo do sistema real.

Obs.: Se a base de funes de aproximao contiver a soluo exata do problema, ento

encontra-se a soluo exata ao utilizar-se o Mtodo de Rayleigh-Ritz.

As funes aproximadas no necessitam atender s condies de contorno naturais, apenas as essenciais do problema (no caso do ponto estacionrio do funcional corresponder a um mnimo no importa, pois, ao aplicar-se a condio de estacionariedade, minimiza-se o erro nas condies de contorno naturais).

u

uexato

n

EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Fin

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