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Cálculo 1
1.4 - Limites de Expressões Indeterminadas
Elano Diniz
Cálculo 1 - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0). Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e
denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
422)2(lim2
)2)(2(lim24lim
00
2242
24lim
22
2
2
22
2
xxxx
xxxx
xxx
xIndeterminação
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na
substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.
.21lim..........
21lim
01
221
21lim
22
2
xe
x
x
xx
x
Portanto o limite não existe
Indeterminação
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma
função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.
222
22323
).(5)5(lim)125(lim
).(22lim2lim2
352lim
xxx
xxx
xxxx
xx
xxx
1o exemplo (função racional):
2o exemplo (função polinomial):
Expressões indeterminadas Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
327lim
3
3
xx
x
00
33273
327lim
33
3
xx
x
Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - Limites
Expressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)2,7
2,8
2,9
3,03,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
2727,9
128,8
429,7
9
L
Cálculo 1 - Limites
Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?
27327lim
3
3
xx
x
Cálculo 1 - Limites
Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!
Neste exemplo,
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
Basta então calcular:
)93)(3(27 23 xxxx
93)3(
)93)(3()( 22
xx
xxxxxf
27)93(lim 2
3
xx
x
Cálculo 1 - Limites
Produtos Notáveis!!! Diferença de quadrados
Exemplos:
)).((22 bababa 2222 ..)).(( bababbaababa
)4).(4(162 xxx
)3).(3(9 22 ayayay
)94).(32).(32()94).(94(8116 2 xxxxxx
Cálculo 1 - Limites
Trinômio quadrado perfeito
Exemplos:2)2(22244 aaaaa
23232336 )34(33).4(2)4(92416 yyyyy
22222 2)).(()( bababbaababababa
22222 2)).(()( bababbaababababa
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença
de quadrados a2 - b2.
Cálculo 1 - Limites
Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
)).(( 2233 babababa
)42).(2()22.).(2(8 2223 xxxxxxx
)252016).(54(5)4(12564 2333 aaaaa
)).(( 2233 babababa
Cálculo 1 - Limites
Cubo perfeito
Exemplos:
32233 33)( babbaaba
3322323 )2(22.32.38126 xxxxxxx3322332 )3(.3.3.3.3392727 aaaaaaa
32233 33)( babbaaba
Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.
Cálculo 1 - Limites
Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito” Considere, por exemplo, a função
Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar cada vez mais de 0.
xxf 1)(
01lim xx
Cálculo 1 - Limites Os símbolos + e - , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.
Dado b IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+ ) = + b + ( - ) = - (+ ) + (+ ) = + (- ) + (- ) = - (+ ) + (- ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo - , é dito um símbolo de indeterminação.
(+ ) . (+ ) = + (+ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
/ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
Cálculo 1 - Limites
Exemplo: Calcule o limite, se existir, de:
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria uma indeterminação do tipo
1413lim
xx
x
Cálculo 1 - Limites
Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o denominador por x:
Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito, o raciocínio é análogo.
43
0403
1lim4lim
1lim3lim
)14(lim
)13(lim
14
13lim
1413lim
x
x
x
x
x
xxx
xx
xx
x
x
xx