Calculo Diferencial e Integral i Prof Joaquim Rodrigues

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues

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INTEGRAIS

INTEGRAL INDEFINIDA

A integrao indefinida ou anti-derivao a operao inversa da derivao, da mesma forma que a subtrao a operao inversa da adio ou a diviso a operao inversa da multiplicao.

EXEMPLOS

1. Se 4

)(4x

xf = , ento sua derivada : 4

4)(3x

xf = ou 3)( xxf = . Nesse caso, uma

das anti-derivadas de 3x 4

4x.

2. Se 3)( xxf = , ento sua derivada : 23)( xxf = . Nesse caso, uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas de 23x 3x .

3. Se 7)( 3 += xxf , ento sua derivada 23)( xxf = . Nesse caso, uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas de 23x 73 +x .

Note que nos exemplos, falamos uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas. Podemos entender melhor, quando observamos os exemplos 2 e 3, j que tanto 3x quan-to 73 +x so integrais indefinidas para a mesma funo 23x .

Assim, vemos que a diferena entre quaisquer destas funes (chamadas funes primitivas) sempre uma constante, veja: 1. no exemplo 2, a constante era o 0 ( )033 += xx 2. no exemplo 3, a constante era o 7 )7( 3 +x

Representando essa constante por C, temos que a integral indefinida de 23x Cx +3 , onde C uma constante real.

Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de )(xf por += Cxfdxxf )()( .


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PROPRIEDADES

Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integrao das funes polinomiais elementares:

1. += Cxdx

2. = dxxfkdxxfk )()(

3. [ ] +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4. ++=

+

)1(1

1

nCn

xdxxn

n

5. [ ] )()( xfdxxfdxd

= , ou seja, a derivada da integral de uma funo a prpria fun-o.

6. += Cxfdxdxxfd )()( , ou seja, a integral da derivada de uma funo, a prpria

funo mais uma constante arbitrria.

Atravs de uma simples derivao das funes que esto nos segundos membros destas igualdades, poderemos conduzir expresso que est sob o sinal de integrao, isto , poderemos conduzir funo integranda, o que verifica cada uma das proprieda-des.

CASOS PARTICULARES

Estes casos particulares das propriedades estudadas so teis no desenvolvimen-to dos processos de integrao.

1. = dxxfkdxkxf )(1)(

2. = dxxfdxxf )()(


3

INTEGRAIS IMEDIATAS Integrais imediatas so as integrais que decorrem de forma direta das frmulas de derivao. Atravs deste processo, temos as seguintes frmulas de integrao:

TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS

Derivadas

Integrais

01) 1)( =xdxd

+=== Cxdxdxdx 11

02) aax

dxd

=)( +== Caxdxaadx

03) 1,

1

1

=

+

+

nxn

x

dxd nn

++=

+

1,1

1

nCn

xdxxn

n

04) x

xdxd 1)(ln = += Cxdxx ln

1

05) x

x

aa

a

dxd

=

ln

Ca

adxax

x += ln

06) xx eedxd

=)( Cedxexx +=

07) xxsen

dxd

cos)( = += Cxsendxxcos

08) xsenx

dxd

=)(cos += Cxdxxsen cos

09) xxtg

dxd 2sec)( = += Cxtgdxx

2sec

10) xxg

dxd 2seccos)(cot = += Cxgdxx cotseccos

2

11) xtgxx

dxd

= sec)(sec += Cxdxxtgx secsec

12) xgxx

dxd

cotseccos)sec(cos = += Cxdxxgx seccoscotseccos

13) 21

1)(x

xtgarcdxd

+= +=+

Cxtgarcdxx 21

1

14) 21

1)(x

xsenarcdxd

= +=

Cxsenarcdxx21

1

15) 21

1)cos(x

xarcdxd

= +=

Cxarcdxx

cos1

12

16) 2

2

111ln

xxx

dxd

+=

++ Cxxdx

x+++=

+ 1ln1

1 22

17) 21

111ln

21

xx

x

dxd

=

+ +

+=

Cx

xdxx 1

1ln21

11

2


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QUESTES RESOLVIDAS

Questo 01 Calcule: a) dxx

Resoluo

+= Cxdxx2

2

b) dxx23 Resoluo

+=+== CxCxdxxdxx 3

322

3333

c) + dxx )2( Resoluo

=+=+ dxdxxdxx 2)2( Cxx

++ 22

2

d) + dxx 2)2( Resoluo

=++=+ dxxxdxx )44()2( 22 =++ dxdxdxx 442

CxxxCxxx +++=+++= 423

42

43

2323

e) +++ dxxxx )143( 24 Resoluo

=+++= dxdxxdxxdxx 14324

=+++ dxdxxdxxdxx 4324

=++++= Cxxxx2

43

35

235

Cxxxx ++++ 235

25

f) + dxxxx )2( 32 Resoluo

=+= dxxdxxdxx 232 CxxxCxxx ++=++ 2

43243

4322

43

g) dxx5 Resoluo

Cdxx

x += 5ln55


5

h) dxx5 Resoluo

= dxdx xx )5(5 1 Fazendo a=15 , temos:

=+=+=

CCa

adxaxx

x

)5(ln)5(

ln 11

CCxx

+=+

5ln5

5ln5

i) dxe x )3( Resoluo

Cedxedxe xxx +== 33)3(

j) dxe x Resoluo

= dxedxe xx )( 1 Fazendo ae =1 , temos:

=+=+=

Ce

eCa

adxaxx

x

1

1

ln)(

lnCeCe x

x

+=+

1

k) dxe x2 Resoluo

= dxedxexx )( 22

Fazendo ae =2 , temos:

=+=+= CeeC

a

adxaxx

x

2

2

ln)(

lnCeCe +=+ 2

2

21

2

l) + dxe xx )22( Resoluo

=+=+ dxdxedxexxxx 22)22( Ce

xx ++

2ln22

m)

+ dx

xx

1

Resoluo

+ dx

xx

1 ++=+= Cx

xdxx

dxx ln2

1 2


6

n)

+ dxx

x

32

1

Resoluo

=+=

+ dxxdx

xdxx

x

32

32

11

=++

++

=+=

++

Cxxdxxdxx1

2312

123

1223

2 Cxx

Cxx ++=++

525

1

521

251

o)

dx

x

xx

Resoluo

=

=

dx

x

x

x

xdxx

xx ==

dxdxxdxdxx

x 211

21 1

=++

==

+

Cxxdxdxx1

21

121

21

CxxCxx +=+ 323

32

23

p) dxxcos5 Resoluo

+== Cxsendxxdxx 5cos5cos5

q) dxxsen )( Resoluo

== dxxsendxxsen )( CxCx +=+ cos)cos(

r)

+ dx

xxsenx

121

cos

Resoluo

=+= dxxdxxsendxx 1

21

cos Cxxxsen + lncos21


7

s)

+++

dxx

xx 2

22 1

3sec

11

Resoluo

=

+++

= dxx

dxxdxx 2

22 1

13sec1

1 Cxsenarcxtgxtgarc +++ 3

t)

299 xdx

Resoluo

=

=

=

222 13)1(999 xdx

x

dxx

dx +=

Cxsenarcx

dx31

131

2

u) + 222 xdx

Resoluo

=+=

+=

+ 222 121

)1(222 xdx

x

dxx

dx Cxtgarc +21

EXERCCIOS

Questo 01 Calcule a integral de: a) 5)( =xf b) 3)( =xf

Questo 02 Calcule a integral de: a) 7)( xxf = b) 21)( xxf = c) 0)( xxf =

Questo 03 Calcule a integral de: a) 2)( xxxf += b) 41)( xxf += c) 3)( 6 += xxf

Questo 04 Calcule a integral de: a) 23)( xxf = b) xxf 5)( = c) 50)( xxf =

Questo 05 Calcule a integral de: a) 64)( xxf = b) 232)( xxxf + c) xxxf 3)( 3 =


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Questo 06 Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) dxx32 b) dxx )1( 2 c) + dxxx )532( 2 d) ++ dxxxx )( 32 e) ++ dxxxxx )342( 234 f) ++ dxxxx )1242( 35

g)

+ dx

xx 3232

h) dxx i) dxxx 3

j) dxx

xx 3 2

k)

+ dx

xx

1

l)

+ dx

xx 211

m)

+ dx

x

xx2

2 1

n) ( )( ) ++ dxxxx 11 o) + dxxsenx )( p) dxxtgxsec2

q) dxxsenxex

+

23cos2

r) dxxx

x

++

222

14

13

sec

s) + dxxgxx )cotsec(cosseccos t) + dxe xx )432( u) dxxx 23

Questo 07 Sendo k um nmero real no nulo, mostre que += Cek

dxe xkxk 1 .

Questo 08 Calcule:

a) dxxdxd 3

b) dxxdxd 6

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