Cálculo Variacionalarquivos.info.ufrn.br/.../CV2016A.pdf · Problema elementar do calculo variacional funcionais que dependem de n funço˜es Problema variacional na forma paramêtrica

Summary

Calculo Variacional

Hector L. Carrion

ECT-UFRN

8 de junho de 2016

Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

Motivacoesdefinicao

Variacao de uma funcional δJextremo de uma funcionalPrincipio de mınima acaomultiplicador de Lagrande

Geodesicas de superficies no R3

Referencias

Summary1 Motivacoes2 Funcional

Funcional Linearcontinuidade de funcional

3 Variacao de uma funcional δJPrimeira definicao da variacao de uma funcionalSegunda definicao da variacao de uma funcional

4 condicao necessaria: Equacao de EulerProblema elementar do calculo variacionalfuncionais que dependem de n funcoesProblema variacional na forma parametrica

5 Principio de Hamiltonequacoes canonicas de movimento

6 Extremo de Funcional condicionado7 Geodesica8 Referencias


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Referencias








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Referencias

Dado dois pontos arbitrarios num plano vertical, e seja umapartıcula que viaja entre estes pontos atraves de uma superfıcie sematrito, submetido unicamente a acao da gravidade. Qual e a formado percurso que minimiza o tempo da viagem? (braquistocrona).

Dada uma superfice S , qual e o caminho de comprimento mınimoentre dois pontos de S? (geodesica)

Dada uma curva fechada numa superfıcie plana, qual e a forma dacurva tal que a area interna limitada pela curva, seja maxima??

Considere a ponta de um aviao, e ela viaja horizontalmente dentrode um fluido(ar), qual e a forma da superficie da ponta do aviao talque resistencia do ar seja minima?.


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Referencias

aplicacoes mas avancadas

Lanzamento de um foguete Um foguete deve ser lanzado a partirdo solo na vertical, e deve a partir de uma estrategia de escolha deconsumo de combustıvel, alcancar a maior altitude possıvel

Alunissagem Considere o problema de controlar a descida de umaespaco nave na Lua, utilizando para ela a menos quantidade possıvelde combustıvel.

Consumo investimento (problema classico da economia).Considere o seguinte problema macroeconomico: Como equacionar arelacao entre consumo e investimento, afim de otimizar odesenvolvimento economico? variaveis: ”capital”,”consumo”,”producao(produto interno)”,”investimento(variacao decapital”.

Pescaria otima Modelo bio-economico para pescaria comercialcontrolada por monopolio.


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Referencias

Espaco vetorial

Um espaco vetorial e uma estrutura (E ,+, .) formada por um conjuntoE ,cujos elementos sao chamados vetores, no qual estao definidos duasoperacoesA adicao(+) eA multiplicacao por um escalar (.).- A adicao, que a cada par de vetores u, v ∈ E faz corresponder um novoelemento z = u + v ,∈ E , chamado a soma de u e v ,- A multiplicacao por um escalar, que a cada numero(escalar) a ∈ ℜ e acada vetor v ∈ E faz corresponder um vetor av , chamado o produto dea por v


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Referencias

axiomas

A1 comutatividade: u + v = v + u;

A2 associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w), e (a. b).v =a.(b.v);

A3 vetor nulo: existe um vetor 0 ∈ E , chamado vetor nulo, ou vetorzero, /v + 0 = 0 + v = v , ∀v ∈ E ;

A4 inverso aditivo: para cada vetor v ∈ E existe um vetor −v ∈ E ,chamado o inverso aditivo, ou o simetrico de v , tal que−v + v = v + (−v) = 0;

A5 distributividade: (a+ b).v = a.v + b.v , e a.(u + v) = a.u+ a.v ;

A6 multiplicacao por 1: 1.v = v .


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Referencias

espaco vetorial com produto interno (E , < ., . >)

Os axiomas do espaco vetorial nao sao suficientes para abordar certasnocoes geometricas como angulo, ortogonalidad,comprimento,distancia,etc. para estudar estas nocoes geometricas precisamosintroduzir o conceito de produto interno no espaco vetorial.produto internoUm produto interno num espaco vetorial E e uma funcao bi-linearsimetrica e positiva de E .

<,> : E × E → ℜu, v →< u, v >

o numero real < u, v > e chamado de produto interno de u por v .


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Referencias

As seguintes propriedades devem ser satisfetias ∀u, v ,w ,∈ E

Bilinearidade< αu + βw , v >= α < u, v > +β < w , v >,< u, αw + βv >= α < u,w > +β < u, v >,

simetria ou comutatividade< u, v >=< v , u >,

Positividade< u, u > ≥ 0, se u ∈ E .

Observacao : < 0, v >= 0, ∀ v ∈ E


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Referencias

Norma : A norma de um vetor v (ou comprimento de v) no espacovetorial E , esta definida do seguinte modo

N : E → ℜv 7→ N(v) = |v | = √

< v , v >. (1)

Observamos que N(v) e um numero real nao negativo. Quando |v | = 1 ovetor v chama-se de vetor unitario.Distancia: A distancia entre os vetoresv = (v1, v2, ..., vn), u = (u1, u2, ..., un) ∈ E esta definido assim :

d [u, v ] = |u − v |. (2)

• desigualdade triangularSeja E um espaco vetorial, e u ∈ E , v ∈ E , logo:

|u + v | ≤ |u|+ |v |

• |αv | = |α||v |, ∀α ∈ ℜ3; v ∈ E .Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias

aplicacao.

|∫ b

a

f (x)dx | ≤∫ b

a

|f (x)|dx

[1] exemplo: Espaco vetorialSeja X = [a, b] ⊂ R. Seja F(X ,R) o conjunto de todas as funcoescontinuas e reais f , g : [a, b] → R. Ele se torna um espaco vetorialquando se definem a soma f + g de funcoes e o produto βf do numeroreal β pela funcao f de maneira natural, como segue:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (βf )(x) = β.f (x)

[2] exemplo: Espaco vetorial normado (F(X ,R), < ., . >)

< f , g >=

∫ b

a

f (x)g(x)dx


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Referencias


definicao

Seja M um espaco de funcoes de uma classe dada, por exemplo, funcoescontınuas num intervalo I ⊂ R. Uma funcional e uma regra que associa acada funcao y(x) do espaco M a um unico numero real. R e a reta real.

J : M → Ry(x) 7→ J[y(x)] ∈ R.

Se pode dizer que M e campo de definicoes da funcional J[y(x)].Exemplo 1SejaM = {conjunto de funcoes contınuas no intervalo I = [0, 1]} ≡ C 0[0, 1],logo

J[y(x)] =

∫ 1

0

y(x)dx ,

e uma funcional. x ∈ I ⊂ RHector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Exemplo 2SejaM = {conjunto de funcoes contınuas no intervalo I = [a, b]} ≡ C 0[a, b],logo

J[y(x)] = y(x0),

e uma funcional. x0 ∈ I , x0 numero fixoExemplo 3Seja M = C 0(R), logo

J[y(x)] =

∫ +∞

−∞

δ(x − x0)y(x)dx = y(x0), x0 ∈ R.

J[y(x)] e uma funcional, muito importante na fısica. Esta funcional atuana funcao y(x) como um filtro que ”deixa escapar”apenas o valor y(x0).


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Exemplo 4Seja M = C 1[a, b], / y(x) ∈ M . M e o conjunto de funcoes com dominiono intervalo I = [a, b] e continuas ate a primeira derivada contınua. Sejaa = −1, b = 1, logo:

J[y(x)] =

∫ 1

−1

ϕ(x , y(x), y ′(x))dx , y ′(x) =dy(x)

dx

J e uma funcional.I) Seja : ϕ(x , y , y ′) = xy2 + y ′,analize nos seguintes casos: a) y = kx , b) y = x3.

II) Seja : ϕ(x , y , y ′) = y ′(sin(x)2+ y2), analize o caso y = cos(x)


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Exemplos adicionais

O funcional comprimento de arco. Considere a famılia de todas ascurvas suaves entre dois ponto A = (x1, y1),B = (x2, y2) no planoR2 . A integral

J[y(x)] =

∫ x1

x2

√

1 + y ′2dx ≡ LAB , y ′(x) =dy(x)

dx

e a funcional comprimento LAB de arco da curva y(x) que passapelos pontos A e B. Assim podemos associar a cada curva suave umunico numero que e o valor do funcional comprimento de arco.A ordenada do centro de massa X . Associado a uma curva feitade algum material, podemos calcular-lhe o centro de massa. Se acada curva associarmos a ordenada do seu centro de massa, temosaqui um outro exemplo de funcional.

J[y(x)] =

∫ a

bxρ(x , y)

√

1 + y ′2dx∫ a

bρ(x , y)

√

1 + y ′2dx≡ X ,

ρ e a densidade linear da curva.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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variacao ou incremento δy

Denomina-se variacao δy(x) do argumento y(x) da funcional J[y(x)] adiferenca entre as funcoes y(x) e y0(x), pertencentes a classe M defuncoes.

δy(x) = y(x)− y0(x), δy = y − y0(abreviado)

Para a classe de funcoes k vezes diferenciaveis teremos

(δy)k = δyk (x)

Definicao As funcoes y(x) e y0(x) definidas no intervalo I = [a, b] saoproximas de ordem zero se |y(x) − y0(x)| < ǫ, onde ǫ e pequeno.

Exemplo 1 Seja y(x) = sin(nx)n2

e y0(x) = 0. Verifique que para n inteiroe grande, as funcoes sao proximas no sentido de proximidade de ordem

nulo.

Exemplo 2 Seja y(x) = x e y0(x) = x3 no intervalo x ∈ I = [0, 1].Verifique que as funcoes nao sao proximas no sentido de ....


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Referencias


proximidade de ordem nulo.

Definicao As funcoes y(x) e y0(x) no intervalo I = [a, b] sao proximasde primeiro ordem se

|y(x)− y0(x)| < ǫ, |y ′(x)− y ′0(x)| < η. (3)

ǫ, η sao pequenos.

Exemplo 3 Seja y(x) = sin(nx)n2

e y0(x) = 0. Verifique que para n inteiroe grande, as funcoes sao proximas no sentido de proximidade de primeiroordem.Exemplo 4 Seja y(x) = sin(n2x)

ne y0(x) = 0. Verifique que para n inteiro

e grande, as funcoes sao proximas no sentido de proximidade de ordemnulo, porem nao sao proximas em primeiro ordem..


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Referencias


Definicao Se denomina distancia entre as curvas y(x) e y0(x) nointervalo I = [a, b], o numero nao negativo ρ igual ao maximo do modulo|y(x)− y0(x)| = max{|δy(x)|}. Onde y(x) e y0(x) sao curvas continuasno intervalo I = [a, b]

ρ = max|y(x)− y0(x)|, a ≤ x ≤ b. (4)

Exemplo 1 Seja y(x) = x e y0(x) = x2 no intervalo x ∈ I = [0, 1].Determinar a distancia entre estas curvas.Exemplo 2 Seja y(x) = x e y0(x) = ln(x) no intervalo x ∈ I = [e−1, e].Determinar a distancia entre estas curvas. Resposta: e − 1.


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Definicao Se denomina distancia de primeiro ordem entre as curvas y(x)e y0(x) no intervalo I = [a, b], x ∈ I , o numero nao negativo ρ1 igual aomaior dos maximo do modulos|y(x)− y0(x)| = |δy(x)|, |y ′(x)− y ′

0(x)| = |δ1y(x)|.Onde y(x) e y0(x) sao curvas continuas e suas derivadas continuas nointervalo I = [a, b]

ρ1 = max{ρ0, ρ1}, (5)

sendo ρ0 = max{|δy(x)|}, ρ1 = max{|δ1y(x)|}Exemplo 1 Seja y(x) = x2 e y0(x) = x3 no intervalo x ∈ I = [0, 1].Determinar a distancia de primeiro ordem entre estas curvas. Resposta: 1Exemplo 2 Seja y(x) = ln(x) e y0(x) = x no intervalo x ∈ I = [e−1, e].Determinar a distancia de primeiro ordem entre estas curvas. Resposta :e − 1.


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Referencias


Funcional linear

Uma funcional J definida no espaco linear M (y(x) ∈ M) normado e ditolinear se satisfaz as seguintes condicoes.

J[ay ] = aJ[y ], a ∈ RJ[y1 + y2] = J[y1] + J[y2],

(6)

∀ y1(x) ∈ M , ∀ y2(x) ∈ M .ou

J[ay1 + by2] = aJ[y1] + bJ[y2] (7)

∀ y1(x) ∈ M , ∀ y2(x) ∈ M , a ∈ ℜ.b ∈ ℜDemonstrar (7) a partir de (6)


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Funcional linear

Exemplo 1 A funcional

J[y ] =

∫ d

c

(xy + y ′)dx ,

definida no espaco M = C 0[c , d ] e uma funcional linear, verifique.Exemplo 2Seja M o conjunto de funcoes com a primeira derivada definida na retareal. Logo, prove que

J[y ] = y ′ |x=x0 ,

e uma funcional linear.


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Definicao. Dado uma funcional J[y(x)] definida na classe de funcoes Mchama-se contınua em y = y0(x) no sentido de proximidade de ordemzero se para todo numero ε > 0 existe um η > 0 tal que a desigualdade

|J[y(x)]− J[y0(x)]| < ε, (8)

se cumpre para todas as funcoes admisiveis y(x) com a condicao|y(x)− y0(x)| < η.

Exemplo 1 Demonstrar que a funcional J[y(x)] =∫ 1

0y+x

2 dx e continuana funcao y0(x) = 0.Exemplo 2 Considere a funcional J[y(x)] =

∫ π

0 y ′2dx , definida nointervalo I = C 1[0, π]. Demonstrar que J e descontinua na funcaoy0(x) = 0 no sentido de proximidade de ordem nulo.


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Referencias


Definicao. Dado uma funcional J[y(x)] definida na classe de funcoes Mchama-se contınua em y = y0(x) no sentido de proximidade de primeiroordem se para todo numero ε > 0 existe um numero η > 0 tal que adesigualdade

J[y(x)]− J[y0(x)] < ε, (9)

se cumpre para todas as funcoes admisiveis y(x) com a condicao|y(x)− y0(x)| < η, |y ′(x)− y ′

0(x)| < η

Exemplo 1 Demonstrar que a funcional J[y(x)] =∫ 1

0(y + 2y ′)dx

considerada no espaco C 1[0, 1] e continua na funcao y0(x) = x nosentido de proximidade de primeiro ordem.Exemplo 2 Considere a funcional J[y(x)] =

∫ π

0y ′2dx , definida no

intervalo C 1[0, π]. Demonstre que esta funcional e descontinua na funcao

y0(x) = 0, para isto considere a funcao teste yn(x) =sin(nx)

n. Por outro

lado, ela e continua na funcao y0(x) = 0 no sentido da proximidade deprimeiro ordem.


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Continuidade de funcional:2da def.

Segunda definicao de continuidade de uma funcional, no sentidode proximidade de ordem zeroA funcional J(y(x)) e contınua em y0(x) se existir o limite

limα→0J(y0(x) + αδy(x)) ≡ J[y0(x)] (10)


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Referencias

Primeira definicao da variacao de uma funcionalSegunda definicao da variacao de uma funcional








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Definicao Seja J[y(x)] uma funcional definida no conjunto M de funcoesde y(x), a quantidade

∆J = ∆J[y(x)] = J[y(x)]− J[y(x)] (11)

e o incremento da funcional J correspondente ao incremento δy de y(x).sendo y(x) = y(x) + δy , e y(x) ∈ M , y(x) ∈ M .

Exemplo 1 Determinar o incremento da funcional J[y(x)] =∫ 1

0yy ′dx

definida no espaco C 1[0, 1].a) Se y(x) = x + 2, y(x) = x − x2.b) Se y(x) = eax , y(x) = bx .a, b sao constantes arbitrarias.

Exemplo 2 Determinar o incremento da funcional J[y(x)] =∫ 1

0 yx dx

definida no espaco C 0[a, b], para uma funcao y(x) continua arbitraria.


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Referencias


Definicao Se o incremento da funcional J[y(x)]

∆J = ∆J[y(x)] = J[y(x)]− J[y(x)] (12)

pode se representar na forma

∆J = L[y(x), δy ] + β(y(x), δy)||δy || (13)

onde L[y(x), δy ] e uma funcional linear em relacao a δy . E alem disso seβ(y(x), δy) → 0, quando ||δy || → 0, entao

δJ ≡ L[y(x), δy ]. (14)

e a variacao da funcional J. Se diz entao que J[y(x)] e diferenciavel nafuncao y(x).


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Referencias


Exemplo 3 Demonstre que a funcional J[y(x)] =∫ b

ayx dx e diferenciavel

em todo ”ponto”y(x) do espaco C 0[a, b].propriedade importante: Toda funcional linear J[y(x)] continua ediferenciavel.Exemplo 4 Dada a funcional J[y(x)] =

∫ b

ay2 dx

a) Demonstre que e diferenciavel em todo ”ponto”y(x) do espacoC 0[a, b].b) Demonstre que a variacao de J[y(x)] e

δJ ≡ 2

∫ b

a

y δy dx (15)

Exemplo 5 Dada a funcional J[y(x)] =∫ b

ay2 dx considere y = 2x e

δy = αx2; comparar ∆J e δJ, para α = 1;α = −0, 1; 0, 01, a = 0, b = 1.


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Derivada direcional de uma funcional.

δδyJ =∂J[y(x) + α δy ]

∂α. (16)

A variacao da funcional J[y(x)] no ponto y(x) e o valor da derivadadirecional de J[y(x) + α δy ] avaliada no valor α = 0.

δJ =∂J[y(x) + α δy ]

∂α|α=0 = limα→0

J[y(x) + α δy ]− J[y(x)]

α. (17)

Importante Se o limite definido na equacao (17) existe ou em formaequivalente se a derivada direcional definida em (17) existe , entaodizemos que a funcional J[y(x)] e diferenciavel no ”ponto”y(x).Exemplo 6 Determine a variacao da funcional J[y(x)] do exemplo 4utilizando a segunda definicao de variacao de uma funcional.


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Exemplo 6 Determine a variacao da funcional J[y(x)] de acordo asegunda definicao de variacao de uma funcional nos seguintes cassos.

a) J[y(x)] =∫ b

a(x + xy) dx

b) J[y(x)] =∫ b

a(y2 − y ′2) dx

c) J[y(x)] =∫ b

ay ′sin(y) dx .

Exemplo 7 Determine a variacao da funcional J[y(x)] de acordo asegunda definicao de variacao de uma funcional nos seguintes cassos.

a) J[y(x)] =∫ b

aF (x , y) dx . J[y(x)] esta definida no espaco

M = C 0[a, b], F (x , y) e uma funcao continua nos seus argumentos comderivadas parciais continuas ate do segundo ordem no recintoa ≪ x ≪ b,−∞ < y < ∞.

b) J[y(x)] =∫ b

aF (x , y , y ′) dx . J[y(x)] esta definida no espaco

M = C 1[a, b], F (x , y , y ′) e uma funcao continua em relacao a todos seusargumentos e com derivadas parciais continuas ate do segundo ordem norecinto a ≪ x ≪ b,−∞ < y < ∞,−∞ < y ′ < ∞.


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respostas para o exemplo 7 anterior:a)

δJ =

∫ b

a

∂F (x , y)

∂yδy dx . (18)

b)

δJ =

∫ b

a

(∂F (x , y , y ′)

∂yδy +

∂F (x , y , y ′)

∂y ′δy ′)dx . (19)

Exemplo 8 Utilize os resultados anteriores do exemplo 7 para determinara variacao da funcional, nos seguintes cassos

a) J[y(x)] =∫ 1

0(y + xy2) dx

b) J[y(x)] =∫ e

1(yy ′ + xy ′2) dx

c) J[y(x)] =∫ π

0 y ′2sin(x) dx .Exemplo 9. Do exemplo 8 c, determinar ∆J e δJ quandoy = x sin(x), δy = k cos(x) e para os cassos k = −1; 0, 3; k = 0, 03.


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equacao de Eulerfuncionais que dependem de n funcoesProblema variacional na forma parametrica








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Dizemos que a funcional J[y(x)] alcanza seu maximo na curvay = y0(x), se os valores que toma a funcional J[y(x)] em qualquer curvaproxima a y = y0(x) nao sao maiores que J[y0(x)]. Ou seja, se

∆J = J[y(x)]− J[y0(x)] ≤ 0. (20)

de outro modo, se ∆J ≤ 0 e se ∆J = 0 unicamente para y = y0(x)entao dizemos que J[y(x)] alcanza maximo estricto na curva y = y0(x).De forma similar, dizemos que a funcional J[y(x)] alcanza seu mınimo nacurva y = y0(x), se os valores que toma a funcional J[y(x)] em qualquercurva proxima a y = y0(x) nao sao maiores que J[y0(x)]. Ou seja, se

∆J = J[y(x)]− J[y0(x)] ≥ 0. (21)

de outro modo, se ∆J ≥ 0 e se ∆J = 0 unicamente para y = y0(x)entao dizemos que J[y(x)] alcanza mımo estricto na curva y = y0(x).


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Exemplo 1 Dada a funcional J[y(x)] = −∫ 1

0(y − x)2 dx , demonstrar que

J[y(x)] alcanza o maximo estricto na curva y(x) = x .

Exemplo 2 Dada a funcional J[y(x)] =∫ 1

0(x2 + y2) dx , demonstrar que

J[y(x)] alcanza o mınimo estricto na curva y(x) = 0.Teorema: Condicao necessaria de extremo de uma funcionalSeja que y(x) pertence a uma certa classe de funcoes de M . Se afuncional J[y(x)] alcanza seu valor extremal na curva y0(x) entao

δJ[y0(x)] = 0. (22)

As funcoes y0(x) para as quais δJ[y0(x)] = 0 se denominam funcoesestacionarias.Exemplo 3 Seja a funcional J[y(x)] =

∫ b

ay y ′2 dx , sendo M = {y / y :

[a, b] → R; y ∈ C 2[a, b], y(a) = c , y(b) = d ; a, b, c , d ,∈ R}. Determinea equacao diferencial que satisfaz a funcao y0(x) que extremiza afuncional J[y(x)].


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Seja a funcional J : M → ℜ

J[y(x)] =

∫ b

a

L(y , y ′, x) dx , (23)

sendo M = {y(x) / y : [a, b] → R; y(x) ∈ C 2[a, b], }. Suponhamos que afuncao L(y , y ′, x) tem derivadas parciais contınuas ate de segundoordem, inclusive em relacao a todos seus argumentos.O problema elementar do calculo variacional e : Entre todas asfuncoes y(x) que tem derivada continua e que satisfazem a condicao defronteira fixa

y(a) = c , y(b) = d ; a, b, c , d ,∈ R; (24)

determinar a funcao y(x) que extremiza a funcional J[y(x)] da equacao(23).


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Lema fundamental do calculo variacionalSeja f : C [a, b] → R, η : C [a, b] → R, se

∫ b

a

f (x) η(x) dx = 0, ∀ η(x), tal que η(a) = η(b) = 0

⇒f (x) ≡ 0, ∀ x ∈ [a, b]. (25)

Teorema A condicao necessaria para que a funcional (23) sujeita ascondicoes (24) alcanze seu valor extremal na funcao y(x) e que estafuncao verifique a equacao de Euler/Lagrange

Ly −d

dxLy ′ = 0, (26)

onde Ly = dLdy

, Ly ′ = dLdy ′ . As funcoes y(x) que resolvem a equacao (26)

anterior se denominan curvas extremales ou curvas de Lagrange.Euler 1744Lagrande 1755 (19 anos).


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Exemplo 1 Em que curvas pode alcanzar seu extremo a funcional

J[y(x)] =

∫ 2

1

(y ‘2 − 2xy) dx , y(1) = 0, y(2) = −1.

Exemplo 2 Em que curvas pode alcanzar seu extremo a funcional

J[y(x)] =

∫ 3

1

(3x − y)y dx ,

com a condicao y(1) = 1, y(3) = 9/2.Exemplo 3 Encontre a curva extremal da funcional

J[y(x)] =

∫ 2π

0

(y ′2 − y2) dx , tal que y(0) = 1, y(2π) = 1.


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Aplicacoes importantes

Exercıcio 1.- Seja o plano R2 e os pontosA = (a, c) ∈ R2,B = (b, d) ∈ R2. Determine a equacao da curva planasuave que tenha o menor comprimento entre os pontos A e B.Exercıcio 2.- Principio de FermatDentre todos os caminhos possıveis para ir de um ponto a otro, a luz

segue aquele que e percorrido no tempo mınimo. Tal caminho seguidopela luz, e conhecido como caminho optico.

Considere um meio opticamente inhomogeneo, onde o ındice de refracaovaria contınamente de ponto a ponto, logo a velocidade de propagacaoda luz tambem, desde que v = c/n (c= velocidade da luz no vacuo,n=indice d refracao do meio, v= velocidade da luz no meio).Suponhamos que a luz se propague num meio inohomogeneobidimensional(plano xy) e sua velocidade seja uma funcao v=v(y)contınua de y .


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Aplicacoes importantes

(continua...).Determine o caminho otico mınimo y = y(x) da luz, entre os pontos(a, b) e (c , d) do plano xy , nos dois casos a seguir.a) Quando v e constante por cada meio que a luz passa.b) Suponha que a velocidade da luz v = ky , sendo k uma constante real.(exercıcio 20)Exercıcio 3 :.- Problema do braquistrocronaConsidere dois pontos A e B fixos num plano vertical, e considere a acaode um campo gravitacional constante e vertical. Seja uma partıcula demassa m deslizando a partir do reposo sob acao da gravidade, ao longode uma curva arbitraria γ entre os pontos A e B. Qual deve ser aequacao da curva γ se queremos que o tempo do percurso entre A e Bseja mınimo?. Desprezar o atrito e outras forcas dissipativas sobre apartıcula de massa m.


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Figura : cicloideHector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Aplicacoes

Exercıcio 4.- Seja uma curva y = y(x) que passa pelos pontosA = (x0, y0) e B = (x1, y1). Considere uma superficie S gerada pelarotacao desta curva ao redor do eixo x . Encontre a forma da curva y(x)de tal forma que a superficie de revolucao S seja mınimo.

Figura : catenariaHector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Exercıcio 5.- Considere a funcional J[y ] =∫

F (y , y ′) dx , sendo que afuncao F nao depende explicitamente da variavel x . Considere oproblema de encontrar a curva y(x) que extremiza a funcional J[y ] comextremos fixos no intervalo a ≤ x ≤ b. Demonstre que a equacao deEuler Lagrange (26) toma a forma

F − y ′Fy ′ = k , y ′ =dF

dx, k = constante. (27)

Exercıcio 6 Corpo de resistencia mınima num fluıdo.- Considere umobjeto tridimensional se movendo horizontalmente ao longo do eixo x . Asuperfice frontal do objeto esta definida como uma superfıcie derevolucao aoredor do eixo x. Determine a forma deste corpo solido que,ao se mover num fluido de gas encontre resistencia mınima.Considere gas ideal e as coalisoes do gas na superfice frontal sao elasticas.


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O gas tem densidade ρ, v e a velocidade do gas em relacao ao corpo. θ eo angulo que forma a reta tangente a superfıcie frontal do objeto e a retahorizontal x .a) Primeiro prove, que a componente normal da pressao sobre asuperfıcie frontal do corpo e 2ρv2 sin(θ)2.b) Prove que o diferencial da forca horizontal dF sobre um elementodiferencial de area (anel de raio y(x)) e dF = 2ρv2 sin(θ)3(2πyds), sendods o diferencial de arco da curva y(x) que define a superfıcie derevolucao do corpo. A forca total horizontal F que age sobre a superfıciede revolucao e F =

∫

dF .


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c) Aplique a equacao de Euler/Lagrange para determinar y(x) queminimia F

Figura : curva y = y(x)


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Funcionais que dependem de n funcoes. Seja a funcao vectorial

~r : I = [x0, x1] ⊂ R → Rn

x 7→ (y1(x), y2(x), ..., yn(x)) = ~r (x) (28)

Seja L : R2n+1 → R, uma funcao suficientemente diferenciavel. Sejatambem M o conjunto de curvas de classe C 2, ou seja funcoes ~r com atea segunda derivada contınua, logo definimos a funcional J : M → R.

J[~r ] = J[y1, y2, ..., yn] =

∫ x1

x0

L(x , y1, ..yn, y ′1, y

′2, ..., y

′n) dx , (29)

sendo L uma funcao de ”2n+ 1” variaveis independentes, ela e continuaem relacao a seus argumentos e tem derivadas parciais contınuas ate desegundo ordem em certo dominio D ⊂ R2n+1. Considere o problemavariacional de encontrar a curva ~r(x) que extremize a funcional J[~r ] coma condicao de fronteira fixa ~r (x0) = ~r0,~r(x1) = ~r1.


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A condicao necessaria para tal situacao e que δJ[~r(x)] = 0. As curvas~r (x) se denominan curvas extremais (pode ter mais de uma solucao) edevem satisfazer a seguinte equacao de Euler-Lagrange

Lyk −d

dxLy ′

k= 0, k = 1, 2, ..., n. (30)

Temos uma equacao diferencial para cada uma das n componentes dafuncao vetorial ~r (x).Exemplo 1 Encontrar a extremal da funcional

J[y , z] =∫ 2

1 (y′2 + z2 + z ′2) dx tal que y = y(x), z = z(x), e sujeita a

condicoes de fronteira fixa y(1) = 1, z(1) = 0, y(2) = 2, z(2) = 1.Exemplo 2 Encontrar a extremal da funcional

J[y , z] =∫ 1

−1(2xy − y ′2 + z ′3/3) dx tal que y = y(x), z = z(x), e sujeitaa condicoes de fronteira fixa y(1) = 0, z(1) = 1, y(−1) = 2, z(−1) = −1.


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Considere curvas planas que nao se auto-intersecam, tal que passampelos pontos fixos A e B. seja que elas podem ser parametrizadas daseguinte forma

C : I = [t0, t1] ⊂ R → R2

t 7→ (x(t), y(t)) = ~r(t) ≡ (x(t), y(t)), t ∈ I ,

x(t), y(t) sao funcoes reais, de variavel real, com derivadas continuas emrelacao ao parametro t.Considere o problema variacional da funcional

J[~r(t)] =

∫ t1

t0

L(t, x , y , x , y) dt. (31)

x = dxdt, y = dy

dt.

L(t, x , y , x , y) e uma funcao real e continua ate de segunda ordem nas 5variaveis: t, x , x , y , y .


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Para que os valores da funcional J[~r(t)] dependam somente da curva C enao da sua parametrizacao, que pode se dar de distintas formas, enecessario e suficiente que :a) A funcao integrando L nao contenha explicitamente o parametro t.b) Seja positivamente homogenea de grau um em relacao a seusargumentos x , y . Ou seja,

L(t, x , y , kx, ky) = k L(t, x , y , x , y), k > 0.

Se ~r(t) extremiza a funcional J[~r(t)] entao

δJ =dJ[~r(t) + ǫ~η]

dǫ|ǫ=0 = 0. (32)

Logo, a equacao de Euler-Lagrange de (31) na versao parametrica e

Lx −d

dtLx = 0,

Ly −d

dtLy = 0, (33)


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Exemplo Encontrar a extremal da funcional

J[y ] =

∫ x1,y1

0,0

y2y ′2 dx y ′ =dy

dx(34)

a) Resolva pelo metodo usual, de Euler-Lagrange.b) Re-escreva a funcional anterior na sua forma parametrica, e logoaplique as equacoes de E/L (33).

Dica: faca a seguinte substituicao y ′ = y2

xx , sendo

x = dx/dt, y = dy/dt. Resolva como problema variacional na sua formaparametrica.


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Hamiltoniana de um sistema mecanico








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O princıpio de Hamilton foi inspirado por outro, publicado no mesmo anode 1744 por Maupertuis. O princıpio de acao mınima de Maupertuis diziabasicamente que a quantidade de ”acao”(??) necessaria para quequalquer mudanca seja feita pela natureza e sempre a menor possıvel. Foilagrange(1760) quem deu uma base matematica solida a este principio.Hamilton modificou o principio de Maupertuis definindo a acao como aintegral da Lagrangeana:

S [xi ] =

∫ t1

t0

L(t, xi , xi ) dt, (35)

L = T − U , e a denominada lagrangeana do sistema fısica em estudo,sendo:a) T = T (xi ) e a energia cinetica no sistema de coordenadas cartesiano.b) U = U(xi ), quando a partıcula se move num campo de forcasconservativo.


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enunciado do principio de Hamilton”De todas as trajetorias possiveis (compatıveis com os vınculos), quepode seguir um sistema dinamico para se deslocar de um ponto a outronum dado intervalo de tempo,a trajetoria real seguida e aquela que fazextremal a acao (35).

δS ≡ 0. (36)

No problema variacional de encontrar as funcoes que extremizam(funcoes estacionarias) a funcional (29) discutida na secao anterior,podemos fazer a seguinte identificao.

J ⇒ S

x ⇒ t

yi ⇒ xi (37)

yi ⇒ xi

L(x , yi , yi) ⇒ L(t, xi , xi ). (38)


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Logo a equacao de Euler-lagrange (30) correspondente a funcional (35)sera

Lxk −d

dtLx′

k= 0, k = 1, 2, ..., n. (39)

Sendo n o numero de coordenadas cartesianas necessarios para descrevero sistema dinamico.Exemplo 1 Particula livre. Dado um Sistema de referencia inercial (SRI)uma partıcula de massa m e livre de interacoes, descreve um movimentomecanico com a seguinte condicao inicial ~r |0 = ~r0,~r |0 = ~v0 (a posicaoinicial e a velocidade inicial, respectivamente).a) Determine a Lagrangiana da partıcula livreb) Defina a acao desta partıcula e encontre a equacao do movimento damesma utilizando o principio de mınima acao de Hamilton.c) Verifique que a equacao do movimento encontrada na questao anteriore a mesma proveniente da segunda lei de Newton.d) Resolva a equacao de movimento desta partıcula com as condicoesiniciais ~r(0) = (0, 2, 0), ~v(0) = (3, 4, 0).


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Exemplo 2 Oscilador classico. Uma mola de massa desprezıvel econstante elastica K = 100N/cm e fixa a uma parede vertical, e a outraextremidade esta ligada a um bloco metalico, de massa m = 1kg , demodo que ela pode deslizar numa superficie horizonatal sem atrito.Considerando que a terra e um SRI, o movimento do oscilador eunidimensional e utilizando o princıpio de Hamilton encontre a equacaodiferencial de movimento do oscilador. Resolva e equacao diferencial comas condicoes iniciais x0 = 5cm, v0 = 0cm/s.Exemplo 3 Campo gravitacional uniforme. Uma partıcula de massa m elanzada de uma altura h com uma velocidade inicial ~v = v01~i + v02~jdentro de um campo gravitacional uniforme na direcao −~j .a) Determine a Lagrangeana da partıcula num instante t.b) Determine a equacao do movimento da partıcula.


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Equivalencia das equacoes de Euler-lagrande e a segunda lei deNewtonConsidere uma particula submetida a um campo de forcas conservativo,tal que ~F = −grad(U), sendo :U(x , y , z) a energia potencial da partıcula no campo conservativo e~F a forca conservativa associada ao campo que age sobre a partıcula.Defina a lagrangeana da partıcula, e determine as equacoes demovimento da mesma.

S [xi ] =

∫ t1

t0

L(t, xi , x ′i ) dt,

T = T (x ′i ), U = U(xi ), i = 1, 2, 3

Prove que:equacao de Euler-lagrange → Segunda lei de Newton.


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Exemplo 5 Pendulo simples. Um pendulo simples esta constituido porum fio inextensıvel de comprimento l e massa desprezıvel e com umapartıcula pontual de massa m num extremo, sendo que o outro extremoesta unido a um ponto fixo. Consideremos que ela e solta a uma certaaltura em relacao a superfıcie horizontal e oscila num plano verticial.Generalizacao do principio de Hamilton.Quando temos por exemplo um pendulo em movimento, para especificaro estado dinamico do pendulo nao precisamos necessariamente ascoordenadas cartesianas x , y em relacao a certo S.R.; podemos tambemespecificar completamente o estado dinamico do pendulo atravez doangulo θ que forma o pendulo com a vertial, sendo que o comprimentodo pendulo sera uma constante. Logo e possivel descrever a dinamica dopendulo, analizando o comportamento desta coordenada generalizadaθ no tempo.


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Consideremos um sistema fısico, e seja as coordenadas generalizadasq1, q2, ..., qn que designa todo o conjunto de quantidades que deixecompletamente especificado o estado do sistema. Podemos definirtambem as derivadas temporais das coordenadas generalizadasq1, q2, ..., qn que por analogia com as coordenadas cartesianas, podemosidentificar estas como velocidades generalizadas. Logo, podemo enunciaro principio de Hamilton para o sistema fısico em funcao destascoordenaas generalizadas.Identificando :

S ⇒ S

t ⇒ t

xi ⇒ qi (40)

xi ⇒ qi

L(t, xi , xi ) ⇒ L(t, qi , qi ). (41)


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A acao tera a seguinte forma

S [q] =

∫ t1

t0

L(t, q, q′) dt, (42)

q = {q1, q2, ...., qn} representa os n graus de liberdade que descreve osistema. Como vimos na secao anterior, a imposicao de que a primeiravariacao da funcional S seja nula leva naturalmente as equacoes deLagrange na forma (39). Repetimos as equacoes aqui por completeza:

Lqk −d

dtLq′

k= 0, k = 1, 2, ..., n, (43)

Dito de outro modo, a trajetoria fısica que realiza o sistema mecanico doinstante t0 ao t1 e aquela que extremiza a acao S [q] e por tanto aequacao da trajetoria fısica resolve a equacao de Euler/Lagrange (43).


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A aplicacao do princıpio de Hamilton requer, que as forcas aplicadassejam derivadas de uma funcao potencial e que os vinculos sejamholonomicos∗.Principio de HamiltonO princıpio de Hamilton diz que dentre todos os possıveis caminhos que

conecta as coordenadas iniciais qk(t0) as coordenadas finais qk(t1) doespaco de configuracoes, aquele que de fato corresponde a trajetoria real

do sistema e aquele que torna nulo a primeira variacao da acao S

δS = 0. (44)

(∗) As vezes as condicoes dentro das quais o movimento se da impoemrestricoes a ele. A tais restricoes damos o nome de vınculos. Os vınculosmais comuns sao aqueles dados por superfıcies que restringem omovimento de partıculas. Por exemplo, se ela estiver restrita aomovimento ao longo de uma superfıcie como o plano inclinado. Nessescasos escrevemos a restricao sob a forma y − x tan(θ) = 0. Em geral ovınculo holonomico tem a forma g(q1, ..., qn, t) = 0 e num sistema fısicopodemos ter varios vınculos.


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Exemplo 1 Pendulo simples. Um pendulo simples esta constituido porum fio inextensıvel de comprimento l e massa desprezıvel e com umapartıcula pontual de massa m num extremo, sendo que o outro extremoesta unido a um ponto fixo. Consideremos que ela e solta a uma certaaltura em relacao a superfıcie horizontal e oscila num plano verticial.a) Determine a Lagrangeana da partıcula num instante t quando o fioforma um angulo θ com a vertical que passa pelo ponto fixo da corda.b) Determine a equacao do movimento da partıcula pontual.Exemplo 2 particula em campo central. Considere uma particulasubmetida a um campo central, cuja energia potencial e EP = 1

2Kr2.

sendo k constante fısica, e r a distancia da fonte do campo central(localizada na origem de coordenadas) a particula. Determina a equacaodiferencial que determina a evolucao temporal do r e identifique asconstantes conservadas.


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Considere um sistema mecanico onde o Lagrangenao L = T − V naodepende explicitamente do tempo. O tempo e homogeneo no sistema dereferencia inercial, isto quer dizer que o lagrangeano de um sistemafechado (que nao interage com objetos externos) nao pode dependerexplicitamente do tempo.Defina em coordenadas generalizadas as componentes do momento

generalizado, como segue:

pk =∂L

∂qk, k = 1, 2, ... (45)

Definicao Hamiltoniana de um sistema mecanico

H(qk , pk , t) =∑

j

pj qj(q, p, t)− L(qk , qk(q, p, t), t). (46)


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”A Hamiltoniana de um sistema mecanico fechado se conserva ao longodo tempo”♥ Se a energia potencial e independente da velocidade, e qi = qi(q, p),♥ Se a energia cinetica e uma funcao homogenea de segundo grau dassuas velocidades generalizadas, entao

T =

k=n∑

k=1

aij qi qj ⇒k=n∑

k=1

qk∂T

∂qk= 2T

entao energia mecanica E do sistema e igual a hamiltoniana H dosistema, e se conserva ao longo do tempo.

H(qk , pk , t) = E = T + V = constante


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. Propriedades da lagrangeana quantidade conservada

Homogeneidade do tempo nao e funcao explicita do tempo energia total

Homogeneidade do espaco invarianca respeita da translacao momentum linear

Isotropia do espaco Invarianca respeito da rotacao Momentum angula

No exemplo 2 :L(θ, r , θ, r) = 1

2m(r2 + r2θ2)− 12kr

2.♦ L nao depende explicitamente do tempo ⇒ Energia mecanica dosistema se conserva.♦ L nao depende explicitamente de θ ⇒ Momentum angular do sistemase conserva.


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seja F (x , y , y ′) e G(x , y , y ′) duas funcoes com derivadas parciaiscontinuas de ate no segundo ordem em relacao aos argumentos x , y , y ′,no intervalo x0 ≤ x ≤ x1. O problema variacional de

J[y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′) dx , (47)

sujeito a condicao

K [y ] =

∫ x1

x0

G(x , y , y ′) dx = k , (48)

sendo k uma constante, consiste em encontrar a curva y = y(x) queextremiza a funcional (47) sujeita a condicao (48) de entre todas ascurvas y = y(x) ∈ C 1[x0, x1]. Sendo y(x0) = y0, y(x1) = y1,


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Teorema de Euler Se a curva y = y(x) extremiza a funcional (47) coma condicao (48), e se y(x) nao e extremal da funcional G [y ]; entao existeuma constante λ tal que a curva y = y(x) e extremal da funcional

J[y ] =

∫ x1

x0

[F (x , y , y ′) + λG(x , y , y ′)] dx . (49)

Logo, para determinar y(x) e suficiente aplicar a equacao deEuler-Lagrange a funcional (49). λ → multiplicador de Lagrande.Considerando L(x , y , y ′) = F (x , y , y ′) + λG(x , y , y ′) temos a seguinteequacao de Lagrange.

Ly −d

dxLy ′ = 0, k = 1, 2, ..., n, (50)

Este problema pode ser generalizado para varias variaveis y1, y2, .., y3.Logo a equacao (50) toma a forma similar de (43)


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Forma Geral do problema variacional com condicoes auxiliares.Considere o problema variacional de determinar a funcao y = y(x) queextremiza a funcional

J[y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′) dx , (51)

com as condicoes auxiliares (equacoes de ligadura)gj(x , y , y

′) = 0, j = 1, 2, ..m.Pode-se demonstrar que a equacao de Euler-Lagrange associada a esteproblema e

Fy −d

dxFy ′ +

m∑

j=1

λj

∂gj∂y

= 0. (52)

Ela deve ser resolvida para encontrar y(x) junto com os vınculosgj(x , y , y

′) = 0, j = 1, 2, ..m. Os parametros λj sao os chamadosmultiplicadores de Lagrange. Na mecanica classica, estes parametrosestao relacionados como as forcas de ligadura [3].


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Exemplo 6 Resolva o problema do pendulo simples do exercıcio 5,utilizando o metodo do multiplicadores de Lagrange e identifiquematematicamente as forcas de ligadura.Exemplo 7 Encontre a curva y = y(x) que minimiza a funcionalJ[y ] =

∫ π

0 (y ′)2 dx com y ′ = dydx, y(0) = y(1) = 0, sujetia a condicao

K [y ] =∫ π

0y2 dx = 1.

Exemplo 8 Considere um plano inclinado sem atrito que forma angulo θcom a horozintal. No plano inclinado, uma partıcula de massa m descesobre a acao da gravidade.a) Determine a equacao de movimento da partıcula em coordenadasescolhida apropriadamente.b) Determine a Hamiltoniana da partıcula no mesmo sistema decoordenadas.


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Aplicacoes

Exercıcio 1 Problema do corda pendurada Uma corda de densidadelinear ρ e comprimento fixo igual a L e pendurada pelos extremos entredois pontos fixos y(x0) = y0, y(x1) = y1. Considere a situacao final deequilibrio estatico da corda, entao determine a equacao da curva quedefine a corda nessta situacao (ver figura ♣).Exercıcio 2 Problema isoperimetrico 1 Uma corda que nao seauto-interseca, de comprimento igual a L e coloca em num planohorizontal entre dois pontos fixos A = (−a, 0) e B = (a, 0). Considere aregiao D limitada pela curva que definie a corda e a reta AB. Determinea equacao da curva que define a corda, se queremos que a regiao D

tenha area maxima (ver figura ♠).Exercıcio 3 Problema isoperimetrico 2 Uma corda fechada que nao seauto-interseca, de perımetro igual a L e coloca num plano horizontal.Determine a equacao da curva que define a corda tal que a regiaolimitada por ela tenha area maxima.


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Figura : ♣ catenaria:corda pendurada em equilibrio entre os pontos [−a, a],a = 4


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Y

X

(−a,0) (a,0)

y(x)

x

Figura : ♠ Problema isoperimetrico do tipo 1.


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Parametrizacao de uma superfıcie S no espaco R3.Seja X uma funcao que parametriza a superfıcie S no seguinte modo:

X : U ⊂ R2 → S ⊂ R3

(u, v) 7→ X (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S , (u, v) ∈ U

exemplo1 Parametrize a superficie de um cilindro reto S1 × H .exemplo2 Parametrize a superficie de uma superfıcie esferica S2.exemplo3 Parametrize a superficie de revolucao gerada pela curvaz = ρ(x), que passa pelos ponto A = (a, b),B = (c , d) do plano xz . Acurva gira em torno do eixo z .


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Geodesica

Consideremos uma curva γ na superficie S , definida da seguinte forma:

γ : I ⊂ U ⊂ R∈ → S ⊂ R3

t 7→ X (u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) ∈ S , t ∈ I

Seja lAB =∫ B

A||γ′(t)||dt o comprimento de arco da curva γ entre os

pontos A e B da superfıcie S . Qual e a forma da curva γ0 tal que ocomprimento lAB seja mınimo?. A esta curva γ0 se denomina geodesica.Seja ds o elemento de linha infinitesimal ao longo da curva γ : X (t)

ds = ||γ′(t)||dt =√

< γ′(t), γ′(t) >dt

ds =√

< u′2E + 2u′v ′F + v ′2G > dt, (53)


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Geodesica

Isto, porque γ′(t) = Xuu′ + Xv v

′ e com as dfinicoes seguintes:E =< Xu ,Xu >, F =< Xu ,Xv >,G =< Xv ,Xv >. Finalmente :

lAB [γ] =

∫ B

A

ds =

∫ B

A

√

Eu′2 + 2Fu′v ′ + Gv ′2 dt, (54)

Esta e a funcional que definie o comprimento de arco, para uma curvaarbitraria γ que pasa pelos ponto A e B da superfıcie S .Exemplo 1 Parametrize a superficie esferica S2 e logo demonstre que alinha geodesica que passa por dois pontos arbitrarios de S2 e um circulomaximo.Exemplo 2 Parametrize a superfıcie cilindrica R × S1 e determine aequacao das geodesicas que passam por esta superfıcie.


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Alguns resultados interessantes

Na equacao (53) a expressao Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 e denominaprimeira forma fundamental da superficie e a distancia infinitesimalentre dois pontos arbitrarios da superficie S e

ds =√

Eu2 + 2F uv + Gv2 dt

Numa geodesica: a projecao da aceleracao γ′′(s) ao longo do vetor

tangente (”aceleracao tangencial”) e nulo, ou seja, a velocidadeescalar e constante. A curva γ tem que estar parametrizado pelafuncao comprimento de arco.

Duas superficies S1 e S2 se denominam isometricos quandods1 = ds2.

Se duas superficies sao isometricos entao existe uma mapeamentoS1 → S2 que preserva a distancia infinitesimal e leva geodesica de S1a geodesica de S2 (ver figura a seguir)


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Figura : isometria: geodesica 1 → geodesica 2


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Exercıcio 1 Considere o paraboloide de revolucao, parametrizado daseguinte forma r(θ, u) = (u cos(θ), u sin(θ), u2).a) Determine o elemento diferencial de arco ds na superfıcie parabolica.b) Dado dois pontos fixos do paraboloide A = (x0, y0, z0),B = (x1, y1, z1), determine a equacao de Euler/lagrange da curvageodesica que pasa pelos pontos A e B.Exercıcio 2 Considere uma superfıcie bidimensional onde o elemento

diferencial de arco tem a seguinte forma ds =√

dx2+dy2

y2 , y ≥ 0.

Determine a equacao das linhas geodesicas nesta geometria. Demonstrarque as linhas geodesicas sao linhas retas paralelas ao eixo y, ou arcos decircunferencia centradas em algum ponto do eixo x (plano hiperbolico).Exercıcio 3 Considere 3 pontos arbitrarios: no plano, na superficieesferica S2 e na geometria discutida no exercıcio anterior,respectivamente. Construa um ”triangulo”unindo estes pontos pelas”retas(geodesicas)”que pasam pelos pontos, qual a forma final destetriangulo em cada caso?.


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Referencias

referencias

calculo variacional, M. Krasnov, G. Makarenko, A. Kiseliov. EditorialMIR, Moscou.

Notas de aula ”introducao ao calculo das variacoes”, JuscelinoPereira Silva, departamento de matematica UFC-2005.

Dinamica clasica de las partıculas y sistemas, J. Marion, editoralReverte (1981)e.

Calculo variacional e controle otimo, Antonio Leitao, 23 coloquiobrasileiro de matmatica (Impa).


Documents

Cálculo Variacionalarquivos.info.ufrn.br/.../CV2016A.pdf · Problema elementar do calculo variacional funcionais que dependem de n funço˜es Problema variacional na forma paramêtrica