CLCULO TCNICO

SENAI-RS SERVIO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL DEPARTAMENTO REGIONAL DO RIO GRANDE DO SUL

CONSELHO REGIONALPresidente Nato

Francisco Renan O. Proena Presidente do Sistema FIERGS

Conselheiros Delegados das Atividades Industriais FIERGS Titulares Manfredo Frederico Koehler Astor Milton Schmitt Valayr Hlio Wosiack Suplentes Deomedes Roque Talini Arlindo Paludo Pedro Antnio G. Leivas Leite

Representantes do Ministrio da Educao Titular Edelbert Krger Suplente Aldo Antonello Rosito

Representantes do Ministrio do Trabalho e Emprego Titular Neusa Maria de Azevedo Suplente Elisete Ramos

Diretor do Departemento Regional do SENAI-RS Jos Zorta DIRETORIA REGIONAL DO SENAI-RS Jos Zorta Diretor Regional Paulo Fernando Presser Diretor de Educao e Tecnologia Jorge Solidnio Serpa Diretor Administrativo-Financeiro

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SERVIO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL

CLCULO TCNICO

Porto Alegre 20043

Clculo Tcnico 2004, SENAI-RS Trabalho organizado por tcnicos do Centro Tecnolgico de Mecnica de Preciso Plnio Gilberto Kroeff, sob a coordenao, orientao e superviso da Unidade de Negcios em Educao Profissional de Nvel Bsico e da Diretoria de Educao Tecnolgica do Departamento Regional do SENAI-RSCoordenao Geral Coordenao Tcnica Coordenao Local Reviso tcnica Digitao, formatao e reviso lingstica e gramatical Normalizao bibliogrfica Produo grfica Paulo Fernando Presser Jaures de Oliveira Boaz Ungaretti DET DET/UNEP CETEMP

Boaz Ungaretti Diretor/CETEMP Maria Ins da Silveira Daudt Professora/CETEMP Regina Maria Recktenwald Nelson Oliveira da Silva consultora Bibliotecrio/CETEMP

CEP SENAI de Artes Grficas Henrique d' vila Bertaso

S 491cSENAI.RS. Clculo Tcnico. Porto Alegre: Unidade de Negcios em Educao Profissional / Diretoria de Educao e Tecnologia, SENAI, 2004. 145 p. il. 1. Matemtica I. Ttulo CDU - 51

SENAI Departamento Regional do Rio Grande do Sul Av. Assis Brasil, 8787 Bairro Sarandi 91140-001 Porto Alegre, RS Tel.: (51) 3347-8697 Fax: (51) 3347-8813 e-mail: unep@dr.rs.senai.br SENAI Instituio mantida e administrada pela Indstria.A reproduo total ou parcial desta publicao por quaisquer meios, seja eletrnico, mecnico, fotocpia de gravao ou outros, somente ser permitida com prvia autorizao, por escrito, deste Departamento Regional.

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SUMRIO

LISTA DE FIGURAS............................................................................................................11 INTRODUO.....................................................................................................................13 1 CONTAGEM E NUMERAO .........................................................................................15 1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAO.........................................................................15 1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA ...............................................................................17 1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO..................................17 1.4 EXERCCIOS .................................................................................................................18 2 OPERAES FUNDAMENTAIS COM NMEROS NATURAIS .......................................19 2.1 ADIO DE NMEROS NATURAIS .............................................................................19 2.1.1 Propriedades fundamentais da adio ....................................................................19 2.1.2 Regra prtica para efetuar a adio .........................................................................19 2.1.3 Como conferir uma soma .........................................................................................20 2.2 SUBTRAO DE NMEROS NATURAIS .....................................................................20 2.2.1 Regra prtica para efetuar a subtrao ...................................................................20 2.2.3 Como verificar se a subtrao est certa ...............................................................21 2.3 MULTIPLICAO DE NMEROS NATURAIS...............................................................21 2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicao.........................................................22 2.3.2 Regras prticas para efetuar a multiplicao..........................................................22 2.3.3 Como verificar se a multiplicao est certa ..........................................................23 2.4 DIVISO DE NMEROS NATURAIS.............................................................................24 2.4.1 Propriedades gerais da diviso................................................................................24 2.4.2 Regras prticas para efetuar a diviso ....................................................................25 2.4.3 Como verificar se a diviso est correta .................................................................27 3 NMEROS DECIMAIS .....................................................................................................31 3.1 LEITURA DOS NMEROS DECIMAIS ..........................................................................31 3.2 COMPOSIO E DECOMPOSIO DE NMEROS DECIMAIS ..................................32 3.3 COMPARAO DE NMEROS DECIMAIS ..................................................................32 3.3.1 Primeiro caso ............................................................................................................33 3.5 EXERCCIOS .................................................................................................................435

4 MLTIPLO DE UM NMERO E DIVISIBILIDADE.............................................................47 4.1 MLTIPLO DE UM NMERO ........................................................................................47 4.2 DIVISIBILIDADE.............................................................................................................47 4.2.1 Divisibilidade por 2 ...................................................................................................47 4.2.2 Divisibilidade por 3 ...................................................................................................47 4.2.3 Divisibilidade por 4 ...................................................................................................47 4.2.4 Divisibilidade por 5 ...................................................................................................47 4.2.5 Divisibilidade por 6 ...................................................................................................47 4.2.6 Divisibilidade por 9 ...................................................................................................48 4.2.7 Divisibilidade por 10..................................................................................................48 4.3 NMERO PRIMO...........................................................................................................48 4.4 MNIMO MLTIPLO COMUM ........................................................................................48 4.5 EXERCCIOS .................................................................................................................49 5 FRAES ORDINRIAS .................................................................................................51 5.1 LEITURA DE FRAES ................................................................................................51 5.2 TIPOS DE FRAES ....................................................................................................53 5.2.1 Frao prpria ...........................................................................................................53 5.2.2 Frao imprpria .......................................................................................................53 5.2.3 Frao aparente (imprpria) .....................................................................................54 5.2.4 Nmero misto ............................................................................................................54 5.3 TRANSFORMAO DE NMERO MISTO EM FRAO IMPRPRIA E VICEVERSA ..........................................................................................................................54 5.4 FRAES EQUIVALENTES..........................................................................................54 5.5 SIMPLIFICAO DE FRAES....................................................................................54 5.6 REDUO DE FRAES AO MESMO DENOMINADOR .............................................55 5.7 COMPARAO DE FRAES .....................................................................................56 5.7.1 Fraes de mesmo denominador.............................................................................56 5.7.2 Fraes de mesmo numerador ................................................................................57 5.7.3 Fraes de numeradores e denominadores diferentes ..........................................57 5.8 ADIO DE FRAES .................................................................................................58 5.8.1 Fraes de mesmo denominador.............................................................................58 5.8.2 Fraes de denominadores diferentes ....................................................................58 5.9 SUBTRAO DE FRAES .........................................................................................58 5.9.1 Fraes de mesmo denominador.............................................................................58 5.9.2 Fraes de denominadores diferentes ....................................................................59 5.10 MULTIPLICAO DE FRAES ................................................................................59 5.11 DIVISO DE FRAES...............................................................................................59 5.12 CONVERSO DE FRAES ......................................................................................60 5.12.1 Converso de fraes ordinrias em nmeros decimais .....................................60 5.12.2 Converso de nmeros decimais em fraes ordinrias ou nmeros mistos ...606

6 REGRA DE TRS.............................................................................................................61 6.1 REGRA DE TRS SIMPLES..........................................................................................61 6.2 REGRA DE TRS SIMPLES DIRETA............................................................................62 6.3 REGRA DE TRS SIMPLES INVERSA .........................................................................62 6.4 EXERCCIOS .................................................................................................................64 6.5 PORCENTAGEM ...........................................................................................................65 6.5.1 Exerccios ..................................................................................................................67 7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO ...................................................................69 7.1 O METRO E SEUS MLTIPLOS E SUBMLTIPLOS....................................................69 7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILMETRO..........................................71 7.3 TRANSFORMAO DE MEDIDAS ...............................................................................73 7.4 POLEGADA ...................................................................................................................75 7.5 CONVERSO DE POLEGADAS EM MILMETROS E VICE-VERSA.............................75 7.6 EXERCCIOS .................................................................................................................76 7.7 PAQUMETRO ...............................................................................................................78 7.7.1 Princpio do Vernier de 0,1 mm ................................................................................78 7.7.2 Paqumetro Sistema ingls ordinrio ...................................................................80 7.7.3 Uso do Vernier (Nnio) .............................................................................................80 7.7.4 Exerccios ..................................................................................................................84 7.7.5 Exemplos de paqumetros........................................................................................85 8 GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................87 8.1 POLGONO....................................................................................................................87 8.1.1 Polgono regular........................................................................................................87 8.1.2 Polgono irregular .....................................................................................................87 8.2 PERMETRO..................................................................................................................87 8.3 CLCULO DA REA DE FIGURAS PLANAS ................................................................89 8.4 TRANSFORMAO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFCIE.............................91 8.5 MODO PRTICO DE CALCULAR REAS ....................................................................94 8.5.1 rea do retngulo......................................................................................................94 8.5.2 rea do quadrado......................................................................................................95 8.5.3 rea do paralelogramo .............................................................................................97 8.5.4 rea do tringulo.......................................................................................................98 8.5.5 rea do trapzio ........................................................................................................99 8.5.6 rea do losango ........................................................................................................99 8.5.7 rea do crculo ........................................................................................................100 8.6.1 Exerccios ................................................................................................................102 8.7.1 Aplicao da tabela de constante ..........................................................................103 8.8 NGULOS ...................................................................................................................104 8.8.1 ngulos consecutivos ............................................................................................1047

8.8.2 ngulos adjacentes.................................................................................................105 8.8.3 Bissetriz ...................................................................................................................105 8.8.4 ngulos opostos pelo vrtice ................................................................................105 8.8.5 ngulo reto ..............................................................................................................106 8.8.6 ngulo agudo ..........................................................................................................106 8.8.7 ngulo raso .............................................................................................................106 8.8.8 ngulos complementares, suplementares e replementares................................107 8.8.9 Medidas de ngulos ................................................................................................107 8.8.10 Adio de ngulos.................................................................................................107 8.8.11 Subtrao de ngulos ...........................................................................................108 8.9 TEOREMA DE PITGORAS ........................................................................................109 8.9.1 Exerccios Relao de Pitgoras.........................................................................110 9 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................................111 9.1 SLIDOS GEOMTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS) ...................................................111 9.1.1 Prismas ....................................................................................................................112 9.1.2 Pirmides .................................................................................................................113 9.1.3 Cilindro, cone e esfera ............................................................................................114 9.2 CLCULO DO VOLUME DOS SLIDOS GEOMTRICOS .........................................115 9.2.1 Mudana de unidades de volume...........................................................................116 9.2.2 Clculo de volumes.................................................................................................116 9.2.3 Formulrio para o clculo de volumes ..................................................................120 10 TRIGONOMETRIA........................................................................................................121 10.1 SENO DE UM NGULO AGUDO...............................................................................122 10.1.1 Exerccios ..............................................................................................................123 10.2 CO-SENO DE UM NGULO AGUDO ........................................................................124 10.2.1 Exerccios ..............................................................................................................125 10.3 TANGENTE DE UM NGULO ...................................................................................126 10.3.1 Exerccios ..............................................................................................................126 10.4 CO-TANGENTE DE UM NGULO AGUDO ...............................................................127 10.4.1 Exerccios ..............................................................................................................127 10.5 APLICAO PRTICA ..............................................................................................128 10.5.1 Exerccios ..............................................................................................................128 11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE....................................................................135 11.1 DISTINO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME........................................................135 11.1.1 Transformao de medidas ..................................................................................135 11.2 MEDIDA DE MASSA ..................................................................................................137 11.2.1 Unidade fundamental ............................................................................................137 11.2.2 Mudana de unidade .............................................................................................1378

11.2.3 Exerccios ...............................................................................................................138 11.3 MASSA ESPECFICA ................................................................................................138 12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc....................................................................................141 12.1 ROTAES ...............................................................................................................141 12.2 DESIGNAO ...........................................................................................................142 12.3 TABELA .....................................................................................................................144 REFERNCIAS .................................................................................................................145

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Polias ..................................................................................................................63 Figura 2 Dimetro de polias ..............................................................................................63 Figura 3 Engrenagens de polias........................................................................................64 Figura 4 Paqumetro .........................................................................................................78 Figura 5 Escala .................................................................................................................78 Figura 6 Nnio ..................................................................................................................79 Figura 7 Escala nnio .......................................................................................................79 Figura 8 Posio 0,1 ........................................................................................................79 Figura 9 Posio 0,2 ........................................................................................................79 Figura 10 Posio 0,3 .......................................................................................................79 Figura 11 Sistema Ingls Ordinrio ...................................................................................80 Figura 12 Posio 1/16 ....................................................................................................80 Figura 13 - Posio 1/8 .......................................................................................................80 Figura 14 Posio 5/8 ......................................................................................................80 Figura 15 - Nnio em polegadas ..........................................................................................80 Figura 16 - Nnio e escala em polegadas ............................................................................81 Figura 17 Posio 1/128 ..................................................................................................81 Figura 18 Posio 1/64 ....................................................................................................81 Figura 19 Posio 3/128 ..................................................................................................81 Figura 20 - Posio 33/128 .................................................................................................82 Figura 21 - Posio 45/64 ...................................................................................................82 Figura 22 - Posio 49/128 .................................................................................................82 Figura 23 - Posio 37/64 ...................................................................................................83 Figura 24 - Posio 13/32 ...................................................................................................83 Figura 25 - Posio 1 39/128 .............................................................................................83 Figura 26 Medio interna.................................................................................................85 Figura 27 Medio externa................................................................................................85 Figura 28 Medio de profundidade ..................................................................................85 Figura 29 Paqumetro de profundidade .............................................................................85 Figura 30 Paqumetro com bicos longos, para medio em posio profunda ..................85 Figura 31 Paqumetro de altura.........................................................................................8611

Figura 32 Paqumetro de altura equipado com relgio comparador ..................................86 Figura 33 Paqumetro de nnio duplo para medio da espessura de dente de engrenagem.......................................................................................................86 Figura 34 ngulo .........................................................................................................104 Figura 35 ngulos consecutivos......................................................................................105 Figura 36 ngulos adjacentes .........................................................................................105 Figura 37 Bissetriz...........................................................................................................105 Figura 38 ngulos opostos pelo vrtice...........................................................................106 Figura 39 ngulo reto......................................................................................................106 Figura 40 ngulo agudo ..................................................................................................106 Figura 41 ngulo raso .....................................................................................................106 Figura 42 Tringulo retngulo .........................................................................................109 Figura 43 Quadrados dos catetos ...................................................................................109 Figura 44 Retngulo e suas dimenses ..........................................................................111 Figura 45 Retngulo e suas dimenses em posio alternada........................................111 Figura 46 Figura geomtrica ...........................................................................................112 Figura 47 Prisma.............................................................................................................112 Figura 48 Prismas retos ..................................................................................................113 Figura 49 Pirmide ..........................................................................................................113 Figura 50 Nomes das pirmide........................................................................................114 Figura 51 Cilindro ............................................................................................................114 Figura 52 Cone ...............................................................................................................114 Figura 53 Esfera..............................................................................................................115 Figura 54 - Volumes ...........................................................................................................115 Figura 55 Litro .................................................................................................................136

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INTRODUO

Em grego mathema vem da raiz manthanein, que quer dizer aprendizagem. Este fascculo tem carter instrumental. Serve como um conjunto de ferramentas e estratgias para serem aplicadas a diversas reas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. Elaborado de forma concisa e clara, trata-se de valioso subsdio em sala de aula, que permite otimizar a gesto de tempo e o rendimento do grupo, transformando-se em ferramenta essencial para o desempenho do professor, assim como promover a preparao do aluno para que execute os clculos matemticos bsicos necessrios interpretao e ao pleno desempenho na execuo de projetos, operacionalizao de mquinas, ferramentas e equipamentos para a confeco de produtos industriais.

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1 CONTAGEM E NUMERAO

Nmeros naturais so todos os nmeros inteiros e positivos do zero at o infinito (). N = { ,2,3,4,5,.....} 1

1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAO Os objetos podem ser contados em grupos maiores ou menores, conforme a convenincia. Assim, contam-se ovos em dzia, pentes em centos, grampos em grosas. Dzias e centos passam a ser base de contagem. Quando se compram duas dzias de ovos, deve-se receber duas vezes uma dzia. Nem sempre fcil avaliar um total quando no se tem com que compar-lo. O hbito de comparar as quantidades contadas nos dedos das mos talvez tenha contribudo para que se estabelecesse o sistema decimal de numerao. No sistema decimal de numerao, a base de contagem dez. Logo, so necessrias 10 unidades para formar uma dezena (10 1 = 10) , dez dezenas para formar uma centena (10 10 = 100) e dez centenas para formar uma unidade de milhar (10 100 = 1000 ) . O sistema decimal representa as quantidades usando a regra da posio decimal. Cada posio indica um tipo de grupo: unidade, dezenas, centenas, milhar etc., e cada algarismo indica a quantidade de grupos:

1 10 100 1000

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Um nmero com um algarismo: por exemplo, o algarismo 2, s tem uma posio: a posio das unidades. As outras posies aparecem esquerda da posio das unidades.Posio das unidades

2Um nmero com dois algarismos como 82 tem duas posies: a das unidades e das dezenas, que fica logo esquerda da posio das unidades. Isso indica que a dezena vale 10 vezes mais que a unidade.posio das posio das dezenas unidades

8

2

Um nmero com trs algarismos como 982 tem trs posies: a das unidades, a das dezenas e a das centenas. A posio das centenas fica logo esquerda da posio das dezenas. Isso indica que a centena vale 10 vezes mais que a dezena.Posio das posio das posio das centenas dezenas unidades

9

8

2

Um nmero com quatro algarismos como 1 982 tem quatro posies: a das unidades, a das dezenas, a das centenas e a das unidades de milhar. Logo esquerda da posio das centenas fica a posio das unidades de milhar. Isso indica que a unidade de milhar vale 10 vezes mais que a centena.Posio das posio das posio das posio das unidades de centenas dezenas unidades milhar

1

9

8

2

Cada posio representa um grupo que 10 vezes maior que o grupo que fica na posio logo direita. Por exemplo, a centena 10 vezes maior do que a dezena.unidades de milhar centenas dezenas unidades

A isso se chama regra da posio decimal. Ao utiliz-la, pode-se usar mais posies colocando novos algarismos para a esquerda; as posies representam grupos cada vez maiores.16

No exemplo a seguir esto marcadas as posies do nmero 71 329 081 (setenta e um milhes, trezentos e vinte e nove mil e oitenta e um).7 dezenas de milho 1 unidade de milho 3 centenas 2 dezenas de milhar de milhar 9 unidades 0 centenas 8 dezenas de milhar 1 unidade

7

1

3

2campo do milhar

9

0

8campo da centena

1

campo do milho

1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA A decomposio de um nmero em classes de trs algarismos feita com um pequeno intervalo entre os algarismos que separam as classes. No se deve usar sinais, como o ponto ou a vrgula. Vejam-se os exemplos: 85 307 l-se oitenta e cinco mil, trezentos e sete (unidades). 9 666 201 l-se nove milhes, seiscentos e sessenta e seis mil e duzentos e um (unidades). 3 567 908 315 l-se trs bilhes, quinhentos e sessenta e sete milhes, novecentos e oito mil e trezentos e quinze (unidades).

1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO Cada algarismo significativo de um nmero tem dois valores: o valor absoluto e o valor relativo. Valor absoluto o que ele tem isoladamente do nmero a que pertence, e valor relativo aquele que o algarismo recebe de acordo com o lugar que ocupa no nmero. Veja-se o exemplo: No nmero 4 602 tem-se que: valores relativos

2 representa as unidades simples ............................................ 2 0 representa as dezenas .......................................................... 00 6 - representa as centenas ......................................................... 600 4 representa as unidades de milhar ........................................4 000 4 602

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1.4 EXERCCIOS 1) Dizer quais os algarismos que representam as unidades simples, as dezenas e as centenas do nmero 453. Soluo: em 453 tem-se:

3..... unidades .... simples .....3 5..... dezenas ....... ....... ...50 4..... centenas ...... ....... ..400 2) Quantas unidades, dezenas e centenas h em 726 unidades? Soluo: em 726 h 7 centenas e 2 dezenas; e, como cada centena vale dez dezenas, o total de dezenas 72. 7 x 100 = 700 7 centenas 70 x 10 = 700 70 dezenas 2 x 10 = 20.... 2 dezenas

3) Qual o valor relativo de 5 em cada um dos nmeros: 12 502 e 36 715? Soluo: em 12 502 tem-se 500 como valor relativo em 36 715 tem-se 5 como valor relativo 4) Quantas dezenas h em 850 unidades? E quantas centenas? 5) Observar o nmero 293 e dizer qual o algarismo de maior valor absoluto e qual o algarismo de maior valor relativo. 6) No nmero 3 472, quais so os algarismos das unidades simples, das dezenas e das centenas e das unidades de milhar? 7) Escrever o menor e o maior nmero formado por dois algarismos significativos diferentes. 8) Qual o valor relativo de 8 em cada um dos nmeros: 8 315 e 12 080?18

2 OPERAES FUNDAMENTAIS COM NMEROS NATURAIS

2.1 ADIO DE NMEROS NATURAIS Adio a operao que permite reunir todas as unidades de diversos nmeros em um s nmero. O resultado desta operao chama-se soma ou total, e os nmeros que se somam, parcelas ou termos. Esta operao permite resolver todos os problemas prticos nos quais ocorre o ato de reunir ou juntar os objetos da mesma espcie ou as medidas de diversas grandezas referentes mesma unidade. 2.1.1 Propriedades fundamentais da adio So duas as propriedades fundamentais: 2.1.1.1 Comutativa A ordem das parcelas no altera a soma. Exemplos: 4 + 3 igual a 3 + 4 (ambas valem 7) 6 + 8 + 1 = 8 + 6 + 1 = 1 + 8 + 6 (todas valem 15). 2.1.1.2 Associativa A adio de vrios nmeros no se altera se algumas de suas parcelas forem substitudas por sua soma efetuada. Exemplo: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 ou 8 + 3 + 5 = 11 + 5 NOTA: Inversamente pode-se aplicar a propriedade dissociativa, isto , substituir parcela por outras que a tenham por soma. Exemplo: 11 + 5 = (8 + 3) + 5 2.1.2 Regra prtica para efetuar a adio Para somar diversos nmeros naturais, escrevem-se uns embaixo dos outros, de modo que fiquem dispostos em colunas ou em algarismos da mesma ordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas...

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Exemplo:

Para somar 125 + 13 + 9, escreve-se da seguinte maneira: 125 + 13 9

Somam-se os algarismos da ltima coluna direita, escreve-se embaixo dela o algarismo que representa as unidades simples da soma; as dezenas, caso existam, so somadas aos algarismos da coluna das dezenas. Procede-se da mesma forma at a ltima coluna esquerda, quando se obtm o resultado total. No exemplo: 1 125 13 + 9 147 2.1.3 Como conferir uma soma Pode-se comparar o resultado de uma soma atravs da prova real, que baseada na propriedade comutativa. Desse modo, pode-se refazer a operao depois de ter trocado a ordem das parcelas. Na prtica, equivale a fazer a adio de baixo para cima. Se estiver correta, encontra-se o mesmo resultado. Exemplo: 1 024 20 132 + 89 21 245 89 20 132 + 1 024 21 245

2.2 SUBTRAO DE NMEROS NATURAIS Subtrao a operao que envolve ou representa a idia de tirar, deduzir ou diminuir. O nmero do qual se tiram unidades chamado minuendo; o que tirado dele chama-se subtraendo, e o resultado chamado resto ou diferena. A subtrao s possvel quando o subtraendo menor que o minuendo ou, no mximo, igual a ele. Se os termos forem iguais, o resultado ser nulo. 2.2.1 Regra prtica para efetuar a subtrao Para efetuar a subtrao de dois nmeros escreve-se o subtraendo embaixo do minuendo, de modo que fiquem dispostos em colunas os algarismos de mesma ordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas e centenas embaixo de centenas.20

Exemplo:

8 563 928 resultado:

8 563 928 7 635

2.2.3 Como verificar se a subtrao est certa Quando se faz uma subtrao pode-se tirar a prova, isto , pode-se verificar se a subtrao est correta. Para isso, soma-se o subtraendo com o resto ou diferena. Exemplo: 8 563 7 635 928 + 928 7 635 8 563 A subtrao est certa, porque o nmero 8 563 obtido como resultado na adio coincide com o minuendo da subtrao, que tambm 8 563.

2.3 MULTIPLICAO DE NMEROS NATURAIS Multiplicar somar parcelas iguais. Exemplo: 4 + 4 + 4 = 12 4 x 3 = 12 que se l: quatro multiplicado por trs ou quatro vezes trs. Nesta adio, a parcela (4) que se repete chamada multiplicando; o nmero de vezes (3) que a parcela aparece chamado multiplicador, e o resultado (12) chamase produto. Desse modo, tem-se a seguinte definio: Multiplicao a operao que permite somar um nmero chamado multiplicando tantas vezes como parcela quantas forem as unidades do outro nmero, chamado multiplicador. A multiplicao indicada por um X colocado entre os dois nmeros chamados fatores. Costuma-se, tambm, indicar a multiplicao de dois nmeros por um ponto colocado entre os fatores. Exemplo: 4 3 = 12 OBSERVAES: 1. Quando o multiplicando ou o multiplicador for 0, o produto ser nulo. Exemplo: 0 5 = 0 porque 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

2. Quando o multiplicando for 1, o produto ser igual ao multiplicador. Exemplo: 1 4 = 4 porque 1 + 1 + 1 + 1 = 421

3. Ao multiplicar um nmero natural por 2, obtm-se o dobro desse nmero; por 3, o triplo; por 4, o qudruplo etc. Exemplos: 5 x 2 = 10 5 + 5 = 10 5 x 3 = 15 5 + 5 + 5 = 15 5 x 4 = 20 5 + 5 + 5 + 5 = 20 2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicao So duas as propriedades fundamentais: 2.3.1.1 Comutativa A ordem dos fatores no altera o produto. Exemplo: 4 x 3 igual a 3 x 4 (ambas iguais a 12). 2.3.1.2 Distributiva em relao soma e diferena indicada Para multiplicar uma soma ou uma diferena indicada por um nmero, multiplica-se cada uma de suas parcelas ou termos por esse nmero, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. Exemplos: (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 (7 4) x 5 = 7 x 5 - 4 x 5 Esta propriedade chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos. 2.3.2 Regras prticas para efetuar a multiplicao Mostram-se duas regras: 1. A multiplicao de dois nmeros naturais de um s algarismo feita de memria. Os resultados dessas multiplicaes encontram-se na tbua de multiplicao de Pitgoras. Como exemplo, veja-se como saber o resultado da multiplicao 7 x 8:X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

22

Procura-se o nmero 8 na primeira coluna vertical e acompanha-se a linha do 8 na horizontal; depois busca-se o nmero 7 na primeira linha horizontal e acompanha-se a coluna do 7 na vertical. Onde as duas linhas se encontram, acha-se o resultado. Soluo: 7 x 8 = 56 2. A multiplicao de um nmero natural qualquer por outro de um s algarismo feita multiplicando-se o valor absoluto do multiplicador por cada um dos algarismos do multiplicando, a partir da direita. De cada produto parcial escreve-se o algarismo das unidades, enquanto as dezenas se juntam ao produto parcial sucessivo. O ltimo produto obtido escrito por completo. Exemplo: 8329 x 7 1) 9 7 = 63 2) 2 7 = 14 +6 20 4) 8 7 = 56 +2 58

3) 3 7 = 21 +2 23

226

8329 7 58303

2.3.3 Como verificar se a multiplicao est certa 2.3.3.1 Prova real feita refazendo-se a operao depois de trocada a ordem dos fatores. Pela propriedade comutativa, deve-se encontrar o mesmo resultado se a operao estiver certa. Exemplo: 236 X 25 1180 472 5 900 25 x 236 150 75 50 . 5 900

2.3.3.2 Tambm possvel fazer a prova dividindo o produto da multiplicao (5 900) pelo multiplicador (25). Para que o clculo esteja correto, deve-se obter como resultado o multiplicando (236).23

Exemplo:

5 900 25 50 0 236 090 75 0 150 150 000

2.4 DIVISO DE NMEROS NATURAIS Diviso a operao que permite verificar quantas vezes um nmero est contido em outro. O maior nmero (o que contm) chama-se dividendo; o menor (o que est contido), divisor; o nmero de vezes que o dividendo contm o divisor chamado quociente. Se o divisor est contido exatamente um certo nmero de vezes no dividendo, a diviso exata; caso contrrio, aproximada. Chama-se resto a diferena entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente. A diviso indicada pelos sinais : ou que se lem dividido por. Exemplo: diviso exata 15 : 3 = 5 onde 15 o dividendo 3 o divisor 5 o quociente.

diviso aproximada 17 3 onde 15 5 02

17 o dividendo 3 o divisor 5 o quociente 2 o resto.

2.4.1 Propriedades gerais da diviso 1. Um nmero dividido por si mesmo resulta como quociente a unidade. 8 8 =1 porque 8 1 = 8 Exemplo: 2. Um nmero dividido pela unidade resulta como quociente o prprio nmero. 55 =1 porque 5 1 = 5 Exemplo:24

3. Zero dividido por qualquer outro nmero resulta como quociente zero. Exemplo: 07 = 0 porque 0 7 = 0 4. No tem sentido a diviso quando o divisor zero. Assim, por exemplo, 7 0 = ? (impossvel), pois no existe nmero algum que, multiplicado por 0, d 7. Quando um nmero dividido por 2 costuma-se dizer que se tomou sua metade; por 3, sua tera parte; por 4, sua quarta parte etc. Para as divises exatas vale, tambm, a propriedade distributiva, isto : (24 + 12) 3 = 24 3 + 12 3 (24 12) 3 = 24 3 12 3Do estudo feito, observa-se que: a) O resto de uma diviso aproximada sempre menor que o divisor. Exemplo: 39 5 10 7 35 0 7 7 1 04 3 b) O resto de uma diviso exata zero. Exemplo: 24 8 24 0 3 00 2.4.2 Regras prticas para efetuar a diviso 1. Lembrando da tbua de multiplicao de Pitgoras, pode-se fazer de memria as divises em que o divisor tem um s algarismo e o quociente menor que 10. Assim, por exemplo, na diviso de 30 por 4 o quociente 7 e o resto 2, porque 30 = 7 x 4 + 2 2. Para dividir um nmero qualquer por outro, separa-se no dividendo, a partir da esquerda, um nmero que tenha o divisor no mnimo uma vez e no mximo nove vezes. A parte separada o primeiro dividendo parcial. Exemplo: 5 639 15 Divide-se o nmero que foi separado no dividendo (56) pelo divisor (15), obtendo o primeiro algarismo do quociente (3). 5 639 15 325

A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (3) pelo divisor (15) e subtrai-se o produto do primeiro dividendo parcial (56), tendo como resultado o resto parcial (11). 5 639 15 45 0 3 11 Divide-se o segundo dividendo parcial (113) pelo divisor (15) e encontra-se o segundo algarismo do quociente (7). 5 639 15 45 0 37 113 A seguir multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (7) pelo divisor (15) e subtrai-se o produto (105) do segundo dividendo parcial (113), tendo como resultado o resto parcial (8). 5 639 15 45 0 37 113 105 008 direita do resto obtido (8) baixa-se o algarismo seguinte do dividendo (9); obtm-se, assim, o terceiro dividendo (89), que o ltimo desta diviso. 5 639 15 45 0 37 113 105 0 0089 Divide-se o terceiro dividendo (89) pelo divisor (15) e encontra-se o terceiro algarismo do quociente (5). 5 639 15 45 0 375 113 105 0 0089 A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (5) pelo divisor (15) e subtrai-se o produto do terceiro dividendo (89).26

5 639 15 45 0 375 113 105 0 0089 75 14 Est terminada a diviso. Obteve-se como resultado do clculo 375 e como resto, 14. 2.4.3 Como verificar se a diviso est correta Faz-se a prova real. A prova real da diviso feita multiplicando-se o quociente (375) pelo divisor (15) e somando este produto com o resto (14). Se a operao estiver correta, deve-se encontrar o dividendo (5 639). 5 639 15 45 0 375 113 x 15 105 0 5 625 0089 + 14 75 5 639 14 2.4.4 Diviso de nmeros naturais com zeros no final dos nmeros Para facilitar a diviso de nmeros naturais com zeros no final dos nmeros, deve-se cortar o mesmo nmero de zeros no dividendo e no divisor e fazer a diviso normalmente, como j aprendido. Exemplos: 1 680 40 16 0 42 008 80 0 6 000 56 0 040 40 0 00 80 75

2.5 POTNCIA Chama-se potncia de um nmero o produto cujos fatores so todos iguais a ele. Exemplo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 Representao: 35 = 243 l-se trs elevado quinta potncia. - o nmero 3 denominado base; - o nmero 5, expoente ou grau; - o nmero 243, produto de todos os fatores repetidos, a potncia.27

2.5.1 Regras prticas de potenciao 1. Para multiplicar potncias semelhantes (com mesmos expoentes) multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente. 82 x 42 = 322 Exemplos: 34 x 44 = 124 2. Para dividir potncias semelhantes dividem-se as bases e conserva-se o expoente. 4 2 22 = 22 Exemplos: 8 3 23 = 43 3. Para multiplicar potncias de mesma base somam-se os expoentes e conserva-se a base. Exemplos: 32 x 33 x 34 = 32+3+4 = 39 73 x 74 = 73+4 = 77 4. Para dividir potncias de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Exemplos: 37 34 = 37-4 = 33 54 53 = 54-3 = 51 5. Para elevar uma potncia a outra potncia multiplicam-se os expoentes. Exemplos: (22)5 = 210 (33)4 = 312 6. Para elevar uma frao a uma potncia elevam-se os dois termos a essa potncia. Exemplos: 3 33 3 = 5 53 7. Qualquer nmero diferente de zero, elevado a um expoente negativo, igual ao inverso do mesmo nmero, com expoente positivo. Exemplo: 2 3 = 1 = 1 23 8 OBSERVAES: a) 18 = 1 (um) 1 elevado qualquer expoente ser sempre 1. b) 21 = 2 c) 70 = 128

qualquer nmero elevado a expoente 1 no se altera. qualquer nmero elevado a expoente zero ser sempre 1.

2.5.2 Exerccios 1. Calcular as potncias:

1) 7 = 2) 5 = 3) 175 = 4) 72 1 0

2

9) 2 2 = 10) 8 2 = 11) 100 2 = 12) 1000 2 = 13) (6 2 ) =3

=

5) 2 2 2 4 = 6) 35 33 = 7) 40 2 = 8) 4 2 =2. Calcular o quadrado de 133.

14) (2 4 ) =3

3 15) = 5 1 16) = 43

3

3. Calcular o quadrado de 125.

4. Calcular o cubo de 3.

5. Calcular o cubo de 9.

6. Calcular a diferena entre o cubo de 6 e o quadrado de 7.

7. Calcular o produto da diferena entre o quadrado de 11 e o quadrado de 9 por 15.

8. Calcular a diviso do cubo de 8 pelo quadrado de 4.

9. Calcular as seguintes expresses: 82 + 33 + 52 + 122 + 112 + 73 = 132 - 92 + 152 - 202 + 63 + 42 =29

10. Controle mensal da produo de uma indstria de ferramentas segundo a capacidade horria de fabricao das mquinas, por setor. Calcular as unidades fabricadas.Especificao do produto Setor chaves de boca alicate bico redondo martelo modelo 00/20 chave Allen brocas alargadores 3/8 chave de fenda 4x A B C D E A D Produo horria Horas trabalhadas 14 500 324 867 285 620 255 117 35 25 40 38 27 18 29 Unidades fabricadas

Total das unidades fabricadas

O quadro abaixo representa a produo mensal de uma mquina. Sabendo que a empresa trabalha 21 dias por ms, razo de 8 horas por dia, calcular o nmero de peas fabricadas. a) durante 1 dia de trabalho b) durante 1 hora de trabalho.Especificao do produto pea 7-04 pea 185/B pea 04-12 pea BC-7 pea KL-24 pea 35-12 pea ZY pea 400.02 Produo mensal 672 840 1 344 2 016 2 520 1 512 7 392 1 008 Produo diria Produo horria

30

3 NMEROS DECIMAIS

Decimal o nmero que tem uma parte (inteira) esquerda da vrgula e outra parte, a decimal, direita. Exemplo: 3,125. Os algarismos esquerda da vrgula representam o nmero de unidades inteiras, e os nmeros direita da vrgula representam, sucessivamente, dcimos, centsimos, milsimos etc. dessa unidade. O grupo de algarismos esquerda da vrgula denomina-se parte inteira; o da direita, parte decimal.

3.1 LEITURA DOS NMEROS DECIMAIS Exemplos de leitura dos nmeros decimais: 3,14 = 314 100

trezentos e quatorze centsimos sete mil, quatrocentos e oitenta e cinco milsimos duzentos e cinco centsimos dois mil e cinco milsimos.

7,485 = 7485 1000 2,05 = 205 100

2,005 = 2005 1000

Na outra forma de leitura, necessrio conhecer os dcimos, centsimos e milsimos, e tambm as posies decimais. L-se primeiramente o nmero que representa a parte inteira, seguido do nome unidades, e depois a parte decimal, dando a designao da unidade representada pelo ltimo algarismo da direita. Se a parte inteira for nula, lse somente a parte decimal. So exemplos: 15,623 15 inteiros e 623 milsimos 2,72 2 inteiros e 72 centsimos 3,8543 3 inteiros e 8 543 dcimos de milsimos 0,01856 1 856 centsimos de milsimos 0,02 2 centsimos 0,001 1 milsimo31

O quadro a seguir apresenta as posies decimais do nmero 4,918463.milionsimo centsimos de milsimo dcimos de milsimo centsimos milsimos

dcimos

inteiros

quatro inteiros, novecentos e dezoito mil e quatrocentos e sessenta e trs milionsimos

4,

9

1

8

4

6

3

Se for necessrio escrever um nmero decimal que tenha partes ainda menores que o milionsimo, pode-se usar posies cada vez mais para a direita.

3.2 COMPOSIO E DECOMPOSIO DE NMEROS DECIMAIS Compor formar um nmero juntando seus grupos. Exemplos: Qual o nmero que contm 3 dezenas, 2 unidades, 8 dcimos, 4 centsimos e 5 milsimos? O nmero decimal formado : 32,845 Qual o nmero que contm 4 unidades, 6 dcimos, 2 centsimos e 3 milsimos? O nmero decimal formado : 4,623 Por outro lado, decompor um nmero decimal dar o valor de cada algarismo dele. Exemplos: 43,265 A posio dos algarismos indica que esse nmero formado por: 4 dezenas, 3 unidades, 2 dcimos, 6 centsimos e 5 milsimos. 21,874 Ele formado por: 2 dezenas, 1 unidade, 8 dcimos, 7 centsimos e 4 milsimos.

3.3 COMPARAO DE NMEROS DECIMAIS Comparar nmeros decimais consiste em descobrir qual o maior. Quando dois nmeros decimais tm as unidades inteiras diferentes, muito fcil saber qual o maior. Neste caso, o maior aquele que tem a parte antes da vrgula, inteira, maior.32

Exemplos: Qual o maior: 2,31 ou 1,52? Logo se v que 2,31 maior que 1,52, porque 2 maior que 1. Do mesmo modo, o nmero 11,03 maior que 9,12 porque 11 maior que 9 e o nmero 12,5 maior que 10,628 porque 12 maior que 10. Mostra-se agora como descobrir o nmero decimal que maior quando as unidades inteiras so iguais. 3.3.1 Primeiro caso Observando os nmeros 3,15 e 3,12, verifica-se que tm unidades inteiras iguais antes da vrgula, e tambm a mesma quantidade de posies depois da vrgula. Os dois nmeros tm duas posies decimais depois da vrgula. Neste caso, s comparar: maior o nmero que tem a parte decimal maior. Assim, 3,15 maior que 3,12, porque 15 maior que 12. 3.3.2 Segundo caso Observando agora os nmeros 6,15 e 6,7, v-se que tm unidades inteiras iguais e partes decimais com quantidade diferente de posies depois da vrgula. O primeiro tem dois algarismos depois da vrgula, e o segundo s tem um. Neste caso, para saber qual o maior, iguala-se a quantidade de casas decimais colocando zeros no nmero que tiver menos casas. Assim: 6,15 e 6,70. Em seguida, v-se qual dos dois tem a parte decimal maior. No exemplo, 6,7 maior que 6,15 porque: as partes inteiras so iguais (6 e 6); ao igualar o nmero de casas v-se que 70 maior que 15. Em outro exemplo: 8,3 maior que 8,125 porque: as partes inteiras so iguais (8 e 8); ao igualar o nmero de casas da parte decimal colocando zeros deixam-se os dois nmeros com trs casas: 8,300 e 8,125; v-se que 300 maior que 125.

3.4 OPERAES FUNDAMENTAIS COM NMEROS DECIMAIS 3.4.1 Adio de nmeros decimais Para somar um nmero decimal deve-se escrever os nmeros de maneira que as vrgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a soma exatamente como se faz com os nmeros naturais. Depois, para completar a soma, coloca-se a vrgula no resultado.33

Exemplo: Efetuar a soma: 5,135 + 103,61 + 237,402= 346,147

5,135 103,61 + 237,402 346,147

A vrgula do resultado da soma deve ficar abaixo das demais vrgulas. s vezes torna-se necessrio somar nmeros inteiros (nmeros sem vrgulas) com nmeros decimais (nmeros com vrgula). Neste caso, para a montagem da conta considera-se que h uma vrgula logo aps o nmero inteiro. Exemplo: Efetuar a soma: 8,23 + 13= 21,23 8,23 + 13,00 21,23

Observe-se que a vrgula que se considera existir no nmero 13 ficou embaixo da vrgula do nmero decimal. 3.4.1.1 Soma de medidas Para somar medidas, o procedimento o mesmo utilizado para efetuar adies ou subtraes de nmeros naturais e nmeros decimais. As medidas a ser somadas precisam estar na mesa unidade. Exemplo: Para somar 3,2 m + 25,1 m 3,2 m a unidade de medida o metro + 25,1 m a unidade de medida o metro 28,3 m a unidade de medida o metro 3.4.2 Subtrao de nmeros decimais Para subtrair um nmero decimal, deve-se escrever os nmeros de maneira que as vrgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a subtrao exatamente como feito com nmeros naturais. Depois, para completar a subtrao, necessrio colocar a vrgula no resultado. Exemplo: Efetuar a seguinte subtrao: 228,943 - 117,540

228,943 117,540 111,403

A vrgula do resultado da subtrao deve ficar abaixo das demais vrgulas. s vezes precisa-se subtrair nmeros inteiros (nmeros sem vrgula) de nmeros decimais (nmeros com vrgula), ou subtrair nmeros decimais (nmeros com vrgulas) de nmeros inteiros (nmeros sem vrgula).34

Exemplos:

9,453 -7 -

5 - 3,22

Para facilitar a operao, coloca-se a vrgula no nmero natural e preenchem-se as posies vazias com zeros. 9,453 - 7.0005,00 - 3,22

Depois, efetua-se a operao: 9,453 5,00 - 7.000- 3,22 2,453 1,78 3.4.3 Multiplicao de nmeros decimais 3.4.3.1 Multiplicao de nmeros decimais por nmeros naturais Inicialmente, fazse a multiplicao como nos nmeros naturais. 12,6 x4 504 Agora s falta pr a vrgula no resultado. Dos nmeros que foram multiplicados, um possui uma casa decimal (12,6, isto , um algarismo depois da vrgula). Neste caso, o resultado ficar com uma casa decimal, uma casa aps a vrgula: 12, 6 x 40 50, 4 este fator tem uma posio decimal o produto ou resultado tem uma posio decimal

Quando se multiplica um nmero decimal que tem duas posies decimais por um nmero natural, o resultado tambm fica com duas posies decimais, isto , dois algarismos depois da vrgula. Exemplo: 2, 14 x 20 4, 28

este fator tem duas posies decimais o produto ou resultado tem duas posies decimais.35

Quando se multiplica um nmero decimal que tem trs posies decimais por um nmero natural, o resultado tambm fica com trs posies decimais, isto , trs algarismos depois da vrgula. Exemplo: 2, 314 x 50 11, 570 este fator tem trs posies decimais o produto ou resultado tem trs posies decimais.

Da mesma maneira, ao multiplicar um nmero decimal com quatro casas decimais por um nmero natural, o resultado ter quatro casas decimais, e assim por diante. 3.4.3.2 Multiplicao de nmeros decimais por nmeros decimais Tambm neste caso, a nica diferena entre a multiplicao com nmeros naturais e a multiplicao com nmeros decimais a vrgula. Exemplo: 2,7 x 1,4 0 108 + 27 3,78 uma casa decimal uma casa decimalSero somadas as casas decimais e contadas no resultado, da direita para a esquerda.

duas casas decimais ,7 2 casas ,4

,78 duas casas aps a vrgula

Outros exemplos: 13,58 duas casas decimais x 3,6 0 uma casa decimal 8148 +4074 0 48,888 trs casas decimais Neste exemplo, o resultado ficou com trs casas decimais, porque os dois fatores juntos tm trs casas decimais aps a vrgula. 14,59 x 1,25 0 7295 2918 + 1459 0 18,2375 duas casas decimais duas casas decimais

quatro casas decimais

Neste exemplo, o resultado ficou com quatro casas decimais porque os dois fatores juntos tm quatro casas decimais.36

3.4.4 Diviso de nmeros decimais A diviso o processo inverso da multiplicao. Assim, nesta operao, ao invs de somar, subtrai-se o nmero de posies decimais do dividendo do nmero de posies decimais do divisor. Exemplo:

4,9 5 0trs posies decimais

2, 7 5 =duas posies decimais

1,8uma posio decimal

3.4.4.1 Divises cujo dividendo tem maior nmero de posies decimais que o divisor 1. exemplo: 3,22 2,3 = Inicialmente faz-se a diviso como se os nmeros do dividendo e do divisor fossem naturais. 3,22 2,3 - 2 3 0 1,4 0 92 - 92 00 322 230 092 920 920 000 230 1,......mtodo de igualar as casas decimais

ou

para continuar, coloca-se um zero ao lado do 92.

230 ...,4 Resultado: 1,4

Para colocar a vrgula no quociente, contam-se as casas decimais do dividendo e subtrai-se do nmero de casas decimais do divisor. 3,22 2,3 =

2

1 = 1

Nesta diviso, o quociente ter 1 casa decimal, ou seja: 1,4. 2. exemplo: 12,744 5,4

12,744 5,4 - 10 8 0 2,36 01 94 - 1 62 0 324 324 00037

O dividendo tem trs posies decimais, e o divisor tem uma posio decimal. Como 3 - 1 = 2, o quociente ter duas posies decimais. Assim: 12,744 5,4 = 2,36

3

-

1 =

2

3. exemplo: Tendo-se uma diviso cujo dividendo tem uma ou mais posies decimais e o divisor nmero natural que no tem posies decimais, ou seja, zero posies decimais. Inicialmente faz-se a diviso como segue: 83,7 27 = 3,1 83,7 27 - 81 0 3,1 02 7 - 27 00 Para colocar a vrgula, subtrai-se o nmero de posies decimais do dividendo, que um, do nmero de posies decimais do divisor, que zero. Ento: 1 0 = 1 83,7 27 = 3,1

1 - 0

=

1

4. exemplo: 116,55 63 = 116,55 63 - 63 0 1,85 53 5 - 50 4 0 03 15 - 3 15 0 00 Para colocar a vrgula, tem-se duas posies decimais no dividendo menos zero posies decimais no divisor: 116,55 63 = 1,85

2 - 038

=

2

3.4.4.2 Divises cujo dividendo e divisor tm o mesmo nmero de posies decimais 1. exemplo: 46,8 7,8 Inicialmente faz-se a diviso como se os nmeros do dividendo e do divisor fossem naturais. 46,8 7,8 - 46 80 6 00 0 O dividendo tem uma posio decimal. O divisor tambm tem uma posio decimal. 46,8 7,8 = 6

1 - 1

= 0

O quociente um nmero sem posies decimais. 2. exemplo: 8,16 0,68 = 12 8,16 0,68 - 6 8 0 12 1 36 - 1 36 0 0 00 O quociente um nmero que tem apenas unidades inteiras, sem partes decimais, porque o dividendo e o divisor tm o mesmo nmero de posies decimais. 3.4.4.3 Divises cujo dividendo tem menor nmero de posies decimais que o divisor 1. exemplo: 53,9 3,85 =

O dividendo tem uma posio decimal; o divisor tem duas posies decimais. Pode-se calcular zeros direita de um nmero decimal depois da vrgula, sem mudar seu valor. Se for colocado um zero no dividendo, ficam duas posies decimais, tanto no dividendo como no divisor: 53,90 3,85 =39

Inicialmente faz-se a diviso como se os nmeros do dividendo e do divisor fossem naturais. 53,90 3,85 - 38 5 0 14 15 40 - 15 40 0 00 00 O quociente um nmero sem posio decimal, porque: 53,90 3,85 = 14

2

2

= 0

2. exemplo: 59,5 2,125 = 28 59,500 2,125 - 42 50 0 28 17 000 - 17 000 0 00 000 O quociente um nmero sem posio, porque: 59,500 2,125 = 28

3

3

= 0

3. exemplo: Quando o dividendo tem somente unidades inteiras, pode-se colocar vrgula no dividendo e acrescentar zeros: 202 50,5 = 202,0 50,5 - 202 0 0 4 000 0 O quociente um nmero sem posio decimal, porque:40

202,0 50,5 = 4 1 1 = 0

3.4.4.4 Divises com aproximao J foi visto que, para determinar as posies decimais do quociente de uma diviso, basta contar as posies decimais do dividendo e do divisor e subtrair uma da outra. 1. exemplo: 3,3 1,2 = 2 3,3 1,2 2,40 2 09 O quociente um nmero sem posies decimais, e sobra o resto 9. 2. exemplo: 3,30 1,2 = 2,7 3,30 1,2 - 2 4 0 2,7 0 90 84 0 06 O quociente possui uma casa decimal, e sobra resto 6. 3. exemplo: 3,300 1,2 3,300 1,2 - 2 4 0 2,75 0 90 - 84 0 060 60 00 O quociente possui duas posies decimais. Sabe-se que possvel colocar zeros direita de um nmero decimal depois da vrgula sem mudar seu valor. Ento, 3,3 = 3,30 = 3,30041

=

2,75

O dividendo e o divisor so os mesmos nas divises anteriores, 3,3 3,30 3,300 1,2 = 2 1,2 = 2,7 1,2 = 2,75

mas o quociente diferente em cada exemplo. Isso significa que, quanto mais zeros forem colocados no dividendo, mais posies decimais ter o quociente. Ao continuar a conta colocando zeros no dividendo est-se fazendo uma aproximao. 4. exemplo: 1,5 0,8 = 1 Esta uma conta sem aproximao decimal. 1,5 0,8 80 1 07 5. exemplo: 1,50 0,8 = 1,8

Esta uma conta com aproximao de dcimos, porque o quociente ficou com uma posio decimal. 1,50 0,8 - 8 0 1,8 0 70 aproximao de dcimos - 64 0 Se for desejado, pode-se continuar a conta anterior at a casa dos centsimos, milsimos..., desde que se continue a dispor de resto. Basta, para isso, ir acrescentando zeros no dividendo. 1,500 0,8 - 8 0 1,87 0 70 - 64 0 aproximao de centsimos 060 - 56 04 1,5000 - 8 0 0 70 - 64 0 060 - 56 0 040 40 00 0,8 1,875aproximao de milsimos

42

3.4.4.5 Divises com nmeros decimais por 10, 100, 1 000 etc. Para dividir um nmero decimal por 10, 100, 1 000... deve-se deslocar a vrgula para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros do algarismo divisor. Na falta de casas decimais no nmero que est sendo dividido, preciso completar com zero a posio decimal que est faltando. 1. exemplo: Para dividir um nmero por 10, desloca-se a vrgula uma casa para a esquerda: 375,12 10 = 37,512 289,75 10 = 28,975 0,32 10 = 0,032 2. exemplo: Para dividir um nmero por 100, desloca-se a vrgula duas casas para a esquerda: 843,2 100 = 8,432 43,8 100 = 0,438 0,2 100 = 0,002 3. exemplo: Para dividir um nmero por 1 000, desloca-se a vrgula trs casas para a esquerda: 1 042,4 1 000 = 1,0424 9 651,3 1 000 = 9,6516 74,8 1 000 = 0,0748

3.5 EXERCCIOS Calcular os comprimentos C indicados nas seguintes peas:

A

B43

C

D

E

F

G44

H Achar a profundidade de corte P necessria para dar forma quadrada ao eixo representado abaixo.

Qual a espessura da parede E da tubulao da figura a seguir?

45

Calcular o dimetro e a dimenso X da figura.

Calcular o comprimento C da figura.

Calcular na figura abaixo: a) C = b) Os espaos entre os pontos do intervalo 1 e 2.

46

4 MLTIPLO DE UM NMERO E DIVISIBILIDADE

4.1 MLTIPLO DE UM NMERO Um nmero mltiplo de outro quando sua diviso por ele exata. Assim, 21 mltiplo de 7 e de 3, pois 21 7 = 3 21 3 = 7 4.2 DIVISIBILIDADE 4.2.1 Divisibilidade por 2 Um nmero divisvel por 2 quando o ltimo algarismo (de suas unidades) 0, 2, 4, 6 ou 8. Isto : divisveis por 2 so todos os nmeros pares. 4.2.2 Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos divisvel por 3. Exemplo: o nmero 37 212 divisvel por 3 porque 3 + 7 + 2 + 1 + 2 = 15, que mltiplo de 3. 4.2.3 Divisibilidade por 4 Um nmero divisvel por 4 quando seus dois ltimos algarismos da direita formam um nmero divisvel por 4. Exemplos: os nmeros 316, 7 620 e 156 732 so divisveis por 4. 4.2.4 Divisibilidade por 5 Um nmero divisvel por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: 220, 785, 250, 135, 170 e 485.

4.2.5 Divisibilidade por 6 Um nmero divisvel por 6 quando for divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 282, 180, 2 334, 192 e 72.47

4.2.6 Divisibilidade por 9 Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos divisvel por 9. Exemplo: o nmero 1 836 divisvel por 9 porque 1 + 8 + 3 + 6 = 18, que divisvel por 9. 4.2.7 Divisibilidade por 10 Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0. Exemplos: 20, 50, 100, 2 000.

4.3 NMERO PRIMO Um nmero primo quando divisvel s por si e pela unidade (1). Exemplos: a) 3 3 = 1 3 1 = 3 b) 17 17 = 1 17 1 = 17 c) 29 29 = 1 29 1 = 1

4.4 MNIMO MLTIPLO COMUM Mnimo mltiplo comum MMC de dois ou mais nmeros o menor nmero diferente de zero que divisvel por todos eles ao mesmo tempo. Na prtica, escrevem-se os nmeros em linha horizontal, dividem-se todos pelos fatores primos comuns e, separadamente, pelos no-comuns, at obter quocientes iguais unidade. Exemplo: esta a disposio de dados para extrair o MMC dos nmeros 36, 90 e 120: o MMC o produto de todos os divisores, direita do trao vertical. Isto : MMC (36, 90, 120) = 23 x 32 x 5 =360 8 x 9 x 5 =360 36 90 -120 18 45 - 60 09 45 - 30 09 45 - 15 03 15 - 05 01 - 05 - 05 01 - 01- 0148

2 2 2 3 3 5

4.5 EXERCCIOS 1 Calcular o MMC dos nmeros: a) 220, 110 e 50 b) 25, 15 e 90 c) 400, 1 200 e 1 500 d) 45, 60 e 75 e) 680 e 920 f) 750 e 370 g) 6, 12, 24 e 18 h) 8, 24, 18 e 16 Decompor os nmeros 168, 180 e 300 em seus fatores primos, determinando o MMC entre esses nmeros. Escrever direita de 36 um algarismo tal que o nmero formado seja divisvel por 3.

2

3

4. Qual o menor nmero que se deve somar a 453 para torn-lo divisvel por 9?

49

50

5 FRAES ORDINRIAS

Para representar uma ou mais partes do inteiro so necessrios dois nmeros: o primeiro indica o nmero de partes que foram tomadas do inteiro, e chamado numerador; o segundo, diferente de zero, indica em quantas partes, de mesma forma e tamanho, foi dividido o inteiro, e chama-se denominador. Exemplo:= 1 . 4numerador denominador

O inteiro foi dividido em quatro partes iguais e foi tomada somente uma parte. A parte tomada representa um quarto do todo.

desenhar figura

0

=

5 (cinco dezesseis avos ) (( (((999 16

O inteiro foi dividido em dezesseis partes iguais e foram tomadas somente cinco partes.

5.1 LEITURA DE FRAES Para ler uma frao, diz-se primeiro o numerador e depois o denominador. Mas no basta dizer os dois nmeros, um depois do outro: conforme o denominador, l-se a frao de modo diferente. Exemplos:

51

Denominador

l-se

Exemplo1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 2 0 3 3 0 4 4 0 5 5 0 6 6 0 7 7 0 8 8 0 9

2 3 4 5 6 7 8 9

meio, meios tero, teros quarto, quartos quinto, quintos sexto, sextos stimo, stimos oitavo, oitavos nono, nonos

Alm desses denominadores, as fraes podem ter qualquer outro denominador, diferente de zero. Para ler fraes com denominador 10, 100 e 1 000: - quando o denominador 10, diz-se dcimo ou dcimos: 1 0 10 3 0 10 l-se um dcimo

l-se trs dcimos

- quando o denominador 100, diz-se centsimo ou centsimos: 1 0 100 3 0 100 27 0 10052

l-se um centsimo

l-se trs centsimos

l-se vinte e sete centsimos

- quando o denominador 1 000, diz-se milsimo ou milsimos: 1 0 1000 27 0 1 000 53 0 1 000 l-se um milsimo l-se vinte e sete milsimos l-se cinqenta e trs milsimos

Se o denominador um nmero maior que 10 e diferente de 100, 1 000..., l-se o nmero que representa o denominador seguido da palavra avos: 3 0 11 6 0 15 1 0 20 4 0 101 l-se trs onze avos l-se seis quinze avos l-se um vinte avos l-se quatro cento e um avos

5.2 TIPOS DE FRAES 5.2.1 Frao prpria O numerador menor que o denominador.

=

2 3

=

3 4

numerador menor denominador maior

5.2.2 Frao imprpria O numerador maior que o denominador. Suponha-se um crculo dividido em seis partes. Cada parte corresponde a um sexto do crculo. Na figura a seguir, o nmero de partes corresponde a nove sextos:

6 3 + 6 6

=

9 6

numerador maior denominador menor

53

5.2.3 Frao aparente (imprpria) O numerador igual ou mltiplo do denominador. Representam nmeros inteiros que se obtm dividindo o numerador pelo denominador.8 =2 4

inteiros

15 = 5 inteiros 3

5.2.4 Nmero misto a soma de um nmero inteiro, diferente de zero, com uma frao prpria. Exemplo:2 + 3 = 23 8 8

5.3 TRANSFORMAO DE NMERO MISTO EM FRAO IMPRPRIA E VICEVERSA Para transformar um nmero misto em frao imprpria, multiplica-se o denominador pelo inteiro e adiciona-se o numerador, mantendo o mesmo denominador. Exemplos: 2 1 = 42 +1 = 9 4 4 4 4 2 = 3 4 + 2 = 14 3 3 3

Para fazer a operao inversa transformar a frao imprpria em nmero misto , o quociente ser o inteiro, o resto ser o numerador e o denominador ser o mesmo. Exemplos: b) 14 | 3 a) 9 | 4 9 =21 14 = 4 2 8 2 12 4 4 4 3 3 1 02

5.4 FRAES EQUIVALENTES Multiplicando ou dividindo ambos os termos de uma frao por um mesmo nmero, diferente de zero, obtm-se uma frao de mesmo valor que a anterior. Exemplos: a) 5 3 = 15 3 5 15 8 3 24 3 8 24

[

]

b) 9 5 = 45 5 9 45 12 5 60 5 12 60

[

]

5.5 SIMPLIFICAO DE FRAES Com base no princpio anterior, sempre que os termos de uma frao admitem divisores comuns, diferentes de 1, pode-se simplific-la (torn-la irredutvel). a)54

16 2 = 8 0 2 = 32 2 = 16 2 =

4 0 2 = 8 0 2 =

2 0 2 = 4 0 2 =

1 0 2

Frao irredutvel b) 30 2 = 42 2 = 15 0 3 = 21 3 = 5 0 7

5.6 REDUO DE FRAES AO MESMO DENOMINADOR Reduzir transformar as fraes dadas em fraes equivalentes de mesmo denominador. Para isso, necessrio observar os seguintes passos: 1 Determinar o MMC dos denominadores das fraes. O resultado o novo denominador.[ Exemplo: 3 ; 1 0 ; 2 0 MMC (4, 3, 5) 4 3 5 4 2 1 1 1 3 3 3 1 1 5 5 5 5 1 2 2 3 5

2 x 2 x 3 x 5 = 60novo denominador

2 Dividir o MMC encontrado pelos denominadores das fraes dadas. a) b) c)3 60 4 = 15 4 1 60 3 = 20 3 2 60 5 = 12 5

3 Multiplicar o quociente de cada diviso pelo numerador da respectiva frao. O produto o novo numerador. a)3 15 45 = 4 15 60 1 20 20 0 = 3 20 60 2 12 24 = 5 12 60 3 1 2 45 20 24 , , = , , 4 3 5 60 60 60

b)

c)

Ento:

55

Resumo:

MMC (4, 3, 5) = 60 3 4 10 3 20 5

3 x 15 = 45

1 x 20 = 20

2 x 12 = 24

60 4 = 15

60 3 = 20

60 5 = 12

45 0 60

20 0 60

24 0 60

5.7 COMPARAO DE FRAES Na comparao de fraes, usam-se sinais prprios para indicar maior que e menor que. So os sinais > e 3 4 8 4 8 Ao invs de escrever 3 0 menor que 3 , pode-se escrever . 3 < 3 8 4 8 4 5.7.1 Fraes de mesmo denominador Quando se comparam duas ou mais fraes que tm o mesmo denominador, a maior aquela que tem maior numerador. Para comparar as fraes que tm o mesmo denominador, observem-se as figuras a seguir: 3 2 3 5 2 5 Nas duas figuras, a unidade est dividida em 5 partes iguais, mas na frao tomam-se mais partes que na frao 2 . Ento 3 maior que 2 , e escreve-se 0 5 5 Ou : 2 556

5

5

3 5

5

3>2 5 5

menor que

3 2 , e escreve-se 0 < 3 5 5 5

5.7.2 Fraes de mesmo numerador Quando se comparam duas ou mais fraes que tm o mesmo numerador, a maior aquela que tem o menor denominador.3 4 3 8

Nas duas fraes toma-se o mesmo nmero de partes (3), mas a frao que a mesma unidade foi dividida em mais partes e elas so menores. Ento, Ou:3 maior que 3 4 8 3 8 3 3 , e escreve-se > . 4 8

3 0indica 8

menor que 3 , e escreve-se 3 < 3 . 8 4 4

5.7.3 Fraes de numeradores e denominadores diferentes Quando se comparam duas ou mais fraes que tm numeradores e denominadores diferentes, preciso reduzi-las ao mesmo denominador antes de comparar.4 Para reduzir 1 e 0 ao mesmo denominador: 4 16

4 2 1 1 1

16 8 4 2 1

2 2 2 2

MMC (4, 16) = 16 2 2 2 2 = 16 Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, encontram-se fraes equivalentes: 1= 4 e 3 s pode ser igual a 3 4 16 16 16 Agora pode-se comparar as equivalentes: 4 e 16 3 . 16

J se sabe que, se as duas fraes tm o mesmo denominador, a maior a que tem o maior numerador.4 3 16 tem maior numerador que 1657

Ento: Pode-se escrever : 4 16 Ento:>

3 . 16

1> 3 . 4 16

5.8 ADIO DE FRAES 5.8.1 Fraes de mesmo denominador Deve-se manter o denominador e somar os numeradores. 2 + 1 + 5 = 8 8 = 4 = 11 6 3 6 6 6 6 3 5.8.2 Fraes de denominadores diferentes Deve-se reduzir as fraes ao mesmo denominador; em seguida, conservando o mesmo denominador, somam-se os numeradores.4 + 2 mmc ( 5 e 3) =15 5 3

assim

4 + 2 = 12 +10 = 22 = 1 7 5 3 15 15 15

5.8.3 Transformao de nmeros naturais e nmeros mistos em fraes imprprias Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se os nmeros naturais e os nmeros mistos em fraes imprprias; uma vez realizada a operao, simplificam-se ou extraem-se os inteiros. 5 + 2 1 + 4 mmc (1, 3, 5) = 15 3 55 + 7 + 4 = 75 + 35 +12 = 122 = 8 2 1 3 5 15 15 15

5.9 SUBTRAO DE FRAES 5.9.1 Fraes de mesmo denominador Deve-se manter o denominador e subtrair os numeradores. 75=2= 1 8 8 8 4

58

5.9.2 Fraes de denominadores diferentes Deve-se reduzir as fraes o mesmo denominador e, em seguida, aplicar a regra anterior. 7 2 mmc (8, 5) = 40 8 5 7 2 = 35 16 = 19 8 5 40 40 OBSERVAO: Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se os nmeros naturais em fraes imprprias e, uma vez realizada a operao, simplifica-se ou extraem-se os inteiros.

5.10 MULTIPLICAO DE FRAES Para multiplicar fraes, efetua-se o produto dos numeradores (que ser o novo numerador) e, em seguida, o produto dos denominadores (o novo denominador)3 7 = 21 5 8 40

OBSERVAES: 1 Transformam-se os nmeros inteiros e os nmeros mistos em fraes imprprias: 4 1 3 1 4 11 1 = 44 = 11 1 8 2 16 4 8 2 2 Quando no numerador e no denominador existirem fatores comuns, eles podem ser simplificados mesmo que em fraes diferentes:1

4 11 1 1 8 22

3 1 11 1 11 usando o cancelamento teremos 1 2 2 = 4 = 2 4

5.11 DIVISO DE FRAES Para dividir fraes deve-se conservar a primeira, trocar o sinal de dividir pelo de multiplicar e inverter a segunda frao (o denominador passa a numerador, e viceversa). Em seguida, efetua-se a operao como se fosse de multiplicar.59

Ao efetuar a diviso de fraes usamos o procedimento de inverso.2 5 = 2 7 14 5 7 5 5 25. Troca-se

o sinal de ( ) pelo de ( ), inverte-se a frao

5 para 7

7 e efetua-se a multiplicao. 5

OBSERVAO: Transformam-se os nmeros inteiros e os nmeros mistos em fraes imprprias. . Invertendo e multiplicando tem-se ,e simplificando 8 1 3 = 33 3 33 1 4 4 1 4 3 pelo mtodo do cancelamento tem-se 11 1 = 11 = 2 3 . 1 4 1 4 411

5.12 CONVERSO DE FRAES 5.12.1 Converso de fraes ordinrias em nmeros decimais a) Para converter fraes ordinrias em nmeros decimais, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador. 1 13 = 1 4 = 0,25 = 13 16 = 0,8125 4 16 b) Para converter nmeros mistos em nmeros decimais, basta transform-los em fraes ordinrias e proceder como em (a). 3 1 = 13 4 4 13 4 = 3,25

5.12.2 Converso de nmeros decimais em fraes ordinrias ou nmeros mistos Para converter um nmero decimal em frao segue-se o seguinte procedimento: 1. Coloca-se o nmero 1 no denominador:1

2. Escrevem-se ainda no denominador tantos zeros quantas forem as casas (ou posies decimais do nmero decimal): 0,5 tem uma casa decimal: 0, 5 uma casa Ento coloca-se um zero no denominador:5 (cinco dcimos) 10

Como se l, se escreve. Exemplo: 0,25 = vinte e cinco centsimos: 25 10060

6 REGRA DE TRS

Regra de trs a resoluo de problemas por meio de propores quando um dos termos da proporo desconhecido. Pode ser direta ou inversa, simples ou composta. A mais habitualmente usada em oficina a regra de trs simples, direta ou inversa.

6.1 REGRA DE TRS SIMPLES Simples aquela em que o problema representado unicamente por uma proporo cujo termo X se deseja conhecer. Exemplo: Se 15 parafusos custam R$ 20,00, quanto se pagar por 30 parafusos? O problema resume-se no seguinte: 15 parafusos valem 20 reais 30 parafusos valem X reais Pelo exame desses elementos v-se que com eles se pode estabelecer duas razes: uma entre as quantidades de parafusos e outra entre seus respectivos custos. Assim, tem-se: razo entre os parafusos 15 30 razo ente os custos 20 X

Como as duas razes so iguais, pois a relao entre quantidades de objetos iguais a mesma entre seus respectivos preos, pode-se escrever: 15 = 20 30 XX = 3020 15

R = R$ 40,00

Ao verificar o resultado v-se que R$ 40,00 de fato o custo dos parafusos. Na verdade, se 15 parafusos custam R$ 20,00, 30 parafusos, que o dobro de 15, custaro R$ 40,00, que o dobro de R$ 20,00.61

6.2 REGRA DE TRS SIMPLES DIRETA Nota-se que, aumentando o nmero de parafusos, aumenta tambm o preo a ser pago, o que indica que as grandezas do problema so diretamente proporcionais. Isso significa que, aumentando um termo da razo, aumenta seu correspondente na outra; diminuindo um termo na primeira razo, diminui seu correspondente na segunda, e vice-versa. No problema anterior foram comparados parafusos com parafusos e custos com custos = grandezas da mesma espcie. Veja-se agora o seguinte exemplo: Em 8 dias de trabalho um profissional preparou 120 peas. De quantos dias precisar o mesmo profissional para executar 300 peas iguais? uma regra de trs direta pois, para fazer mais peas, o profissional gastar mais dias. Assim, tem-se: Se em 8 dias preparou 120 peas, em X dias preparar 300 peas. Logo: 8 = 120 X 300 X = 3008 120 R = 20 dias

6.3 REGRA DE TRS SIMPLES INVERSA Se 10 operrios constroem uma pea em 4 dias de trabalho, quantos operrios construiro a mesma pea em 2 dias? Ora, para construir a mesma tarefa em metade do tempo, claro est que se deve dobrar o nmero de operrios. Neste caso, as grandezas so inversamente proporcionais porque, diminuindo uma delas, aumenta na outra razo o valor de sua correspondente. Ordenando os dados do problema proposto tem-se: 10 operrios X operrios 4 dias 2 dias

Como a regra de trs inversa, invertem-se os termos na razo, onde se encontra X. A nova proporo ser: X =4 10 262

X = 104 2

R = 20 operrios

Exemplo clssico da regra de trs inversa o problema das polias, ou engrenagens. Observe-se na Figura 1 que as polias A e B esto ligadas por uma correia. Sabendo que a polia A d 240 rpm (rotaes por minuto), calcular as rpm da polia B.

Figura 1 Polias

A razo entre os dimetros das duas polias igual razo inversa de suas rpm, pois, quanto menor o dimetro, maior a rpm da polia; quanto maior o dimetro, menor a rpm. 20 Sendo assim, a razo entre os dimetros das polias A e B , e a razo entre as 30 240 . rpm X No entanto, tendo em vista que se trata de razes inversamente proporcionais, arma-se a proporo invertendo a segunda razo. Tem-se, ento:20 = X 30 240

Logo

X

= 24020 30

R = 160 rpm

Exemplos: 1 Calcular o dimetro da polia maior da Figura 2.

Figura 2 Dimetro de polias

63

Estabelecendo a proporo inversa, tem-se: 24 cm XX =

600 rpm 300 rpm

600 X 0 300 24

600 rpm 24 cm 300 rpm

X = 2 24 cm X = 48 cm

Nas engrenagens, a razo entre as velocidades igual razo inversa entre os nmeros de dentes das engrenagens. 2 Calcular a rpm da engrenagem B da Figura 3.

Figura 3 Engrenagens de polias

Engrenagem A - 60 dentes Engrenagem B - 80 dentes Estabelecendo a proporo inversa, tem-se: 60 X = 80 1000 X= 60 1000 = 750 rpm 80

1 000 rpm X rpm

6.4 EXERCCIOS 1 Uma mquina produz 200 peas em 4 horas. Quantas peas produz em 1 hora?

2

Uma polia de 20 cm de dimetro est ligada a outra cujo dimetro de 40 cm. Qual a rpm da polia menor se a maior gira com 240 rpm?

64

3

Calcular o nmero de rotaes (rpm) da roda conduzida K, de 72 dentes, sabendo que a roda condutora H, com 24 dentes, d 300 rotaes (rpm).

4

Uma casa construda por 6 pedreiros em 120 dias. Em quantos dias ser construda a mesma casa se o nmero de pedreiros aumentar para 24? Qual a altura de um monumento que d 87,50 m de sombra, sabendo-se que um p de rvore com altura de 15 m d 37,50 m de sombra no mesmo horrio? Um tecelo fez com certa quantidade de fio 26,50 m de pano, tendo de metro de largura. Quantos metros teria ele feito com a mesma quantidade de fio se o pano tivesse m de largura?

5

6

6.5 PORCENTAGEM comum ouvir-se expresses como estas: Nesta liquidao h reduo de 15% (l-se quinze por cento) nos preos. O nmero de aprovaes no vestibular foi de 30% (l-se trinta por cento). Veja-se o significado dessas expresses: - Se a reduo nos preos de qualquer objeto de 15%, significa que h reduo de R$ 15,00 no preo de determinado objeto que custa R$ 100,00. - Se a aprovao no vestibular foi de 30%, significa que 30 alunos em cada grupo de 100 foram aprovados. Diz-se, portanto: - a porcentagem (ou percentagem) da reduo na liquidao de quinze por centro, ou 15%; - a porcentagem da aprovao dos alunos no vestibular foi de trinta por cento, ou 30%. Percebe-se, assim, que os problemas de porcentagem so resolvidos atravs da regra de trs.

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Exemplos: 1 Em uma classe de 40 alunos faltaram 15%. Quantos alunos faltaram? Como se sabe, 15% significa que, se a classe tivesse 100 alunos, teriam faltado 15 deles. Mas, como a classe tem 40 alunos, preciso determinar quantos faltaram. Representa-se por X o nmero de alunos a determinar: Alunos da turma 100 40100 15 = 40 X

alunos que faltaram 15 0 XX= 40 15 X=6 100

100 X = 40 15

Faltaram 6 alunos.

2

Em uma turma de 45 alunos 36 foram aprovados. Qual a percentagem de aprovao? 45 alunos 100 alunos45 36 = 100 X X=

36 aprovados X aprovados36 100 45 X = 80

A percentagem de aprovao foi de 80%.

3

Um televisor colorido que custava R$ 800,00 sofreu um desconto de 10%. Quando o consumidor pagar por ele? R$ 100,00 R$ 800,00100 10 = 800 X X= 800 10 100

R$ 10,00 de desconto X de descontoX = R$ 80,00

O valor do desconto R$ 80,00. Valor a pagar: R$ 800,00 R$ 80,00 R$ 720,00. 4 Em um lote de 40 peas, 5% ficaram com defeito. Quantas peas ficaram boas? 100 peas 40 peas 100 5 = 40 X X= 40 5 100 5 com defeito X com defeito X=2

2 peas ficaram com defeito. 40 266

38.

38 peas ficaram boas.

6.5.1 Exerccios 1 De uma carga de 8 400 garrafas, apenas 7 728 chegaram intactas a seu destino. Qual a percentagem de garrafas que quebraram?

2

Em um curso de treinamento de 80 horas, somente recebe certificado quem assiste a 80% das aulas. Para ter direito ao certificado, quantas horas no mximo poder faltar um participante?

3

De uma produo mensal de 15 000 peas fabricadas, 5% apresentam defeito. Quantas peas esto em boas condies?

4

Em 120 litros de fludo refrigerante para o torno entram 20% de leo solvel e o restante de gua. Quantos litros de cada componente entram na mistura?

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68

7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

Medir uma grandeza compar-la com outra da mesma espcie tomada como unidade. O sistema adotado no Brasil e na maioria dos pases do mundo para medir comprimento ou distncia o Sistema Mtrico Decimal, cuja unidade o metro.

7.1 O METRO E SEUS MLTIPLOS E SUBMLTIPLOS Quando necessrio medir objetos pequenos que tm menos de um metro torna-se incmodo medi-los em metros. Para isso, existem medidas menores derivadas do metro, que so chamadas submltiplos do metro. Tambm para medir distncias ou comprimentos maiores que o metro existem medidas derivadas maiores, que so os mltiplos do metro. No presente estudo d-se nfase s medidas menores que o metro, os submltiplos do metro, que interessam mais aos cursos na rea da Mecnica.unidades derivadas mltiplos quilmetro hectmetro decmetro unidades submltiplos metro decmetro centmetro milmetro micrmetro smbolo km hm dam m dm cm mm m valor 1 000 m 100 m 10 m 1m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 0,000001 m

O metro o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo (CONMETRO, dez. 1988).69

As rguas graduadas que se usam para fazer medidas em sala de aula tm as mesmas divises do metro. So fabricadas normalmente com 25 ou 30 centmetros. Ao colocar quatro rguas de 25 centmetros uma ao lado da outra forma-se um comprimento de 100 centmetros, que corresponde a um metro. Partindo do metro, isto , considerando-o como unidade, formam-se outras medidas de comprimento. Exemplos: Se o metro for dividido em 10 partes iguais, cada uma delas se chama decmetro.

Se o metro for dividido em 100 partes iguais, cada uma delas se chama centmetro.

Se o metro for dividido em 1 000 partes iguais, cada uma delas se chama milmetro.

Os smbolos dessas unidades menores que o metro so: decmetro = dm centmetro = cm milmetro = mm Aps a anlise das divises que contm o metro, conclui-se que: em um metro h dez decmetros: 10 dm em um metro h cem centmetros: 100 cm em um metro h mil milmetros: 1 000 mm Pode-se dizer tambm que: dez milmetros correspondem a um centmetro: dez centmetros correspondem a um decmetro: dez decmetros correspondem a um metro:70

10 mm = 1 cm 10 cm = 1 dm 10 dm = 1 m

Para escrever medidas com metros e partes menores do metro, como decmetros, centmetros e milmetros, preciso conhecer suas posies. Exemplo: Para localizar as posies nesta medida: 2,735 m

1. parte-se da posio das unidades; - nela tem-se os metros, porque a unidade indicada ao lado da medida metro;

2,

metros

7decmetros

3

5

metros

2,

metros

2. direita dos metros, depois da vrgula, ficam os decmetros;

7decmetros

3centmetros

5

metros

2,

metros

3. depois dos decmetros ficam os centmetros;

7decmetros

3centmetros

5milmetros

metros

2,

metros

4. mais direita ainda, depois dos centmetros, ficam os milmetros.metros

7

3

5

Ento, a medida 2,735 representa 2 metros, 7 decmetros, 3 centmetros e 5 milmetros.

7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILMETRO O milmetro uma unidade de medida muito pequena. No entanto, para medir com exatido, necessrio usar unidades de medidas ainda menores. As unidades menores que o milmetro so formadas pela diviso do milmetro em 10, 100 e 1 000 partes: dividindo o milmetro em 10 partes iguais tem-se o dcimo de milmetro, que vale 0,1 mm; dividindo-o em 100 partes iguais tem-se o centsimo de milmetro, que vale 0,01 mm; dividindo-o em 1 000 partes iguais tem-se o milsimo de milmetro, que vale 0,001 mm.71

Pode-se dizer, tambm, que dez milsimos correspondem a um centsimo: 10 x 0,0010 mm = 0,01 mm dez centsimos correspondem a um dcimo: 10 x 0,010 mm = 0,1 mm dez dcimos correspondem a um milmetro: 10 x 0,10 mm = 1 mm. Observe as medidas do furo e do eixo das figuras abaixo:

O furo mede 20,082 mm; o eixo mede 20,002 mm, ou seja, 0,080 mm menos que o furo; assim, a folga entre eles de 0,080 mm; com esta folga pode-se introduzir o eixo no furo apenas empurrando com a mo. Mudando as medidas, o ajuste entre o eixo e o furo se modifica.

Se o eixo for fabricado com 7 centsimos de milmetro a mais, sua medida vai ser 20,072 mm. Nesse caso, a folga ser de 0,010 mm e o eixo vai precisar de pequenas pancadas para ser introduzido no furo. Um pequeno aumento na medida do eixo capaz de modificar bastante o ajuste. Por isso, em Mecnica, diferenas de centsimos e milsimos de milmetro precisam ser medidas com cuidado.72

Para medir com exatido de dcimos, centsimos e milsimos de milmetro usam-se instrumentos especiais. Os instrumentos mais usados so o paqumetro, que mede com exatido de at centsimos de milmetro, e o micrmetro, que mede com exatido de at milsimos de milmetros. O milsimo de milmetro tambm chamado de micrmetro, smbolo m.

7.3 TRANSFORMAO DE MEDIDAS Quando se escreve a mesma medida usando unidades diferentes diz-se que se est transformando a medida de uma unidade para outra. Se for pedido que se corte 1 cm de uma chapa e 0,01 m de outra chapa, cortam-se dois pedaos de dimenses iguais, porque a medida de 1 cm igual medida de 0,01 m. A nica diferena existente quanto unidade de medida que est sendo utilizada. 1 cm 0,01 m 1 centmetro 1 centsimo de metro

Para transformar medidas preciso que se saibam de cor as posies de todas as unidades de comprimento. Isto : faz-se necessrio decorar a tabela de posies a seguir.Tabela de posies Unidades de comprimentocentsimo de milmetro dcimo de milmetro

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Exemplos: Converter 32355 mm em m.

vrguladam 3 dam 3 m 2 m 2, dm 3 dm 3 cm 5 cm 5 mm 5 mm 5

Neste caso, deve-se correr a vrgula para a esquerda at m. Tem-se, ento, 32,355 m.73

Converter 2,012 m em cm.Vrgula

m 2, m 2

dm 0 dm 0

cm 1 cm 1,

mm 2 mm 2 Tem-se, ento, 201,2 cm.

Neste caso, deve-se correr a vrgula para a direita at cm.

Nem sempre a transformao feita s por mudana da vrgula. s vezes, preciso colocar ou tirar zeros das medidas, e at mesmo colocar ou tirar as vrgulas. Converter 2,1 m em mm. m 2, m 2 dm 1 dm 1 cm cm 0 mm mm 0

Neste caso, deve-se correr a vrgula para a direita at a casa dos milmetros e, na falta de nmeros, acrescentar zeros. Tem-se, ento, 2 100 mm.

Converter 2,45 m em cm. m 2, m 2 dm 5 dm 4 cm 5 cm 5, mm mm

Neste caso, a vrgula no tem razo de existir. Converter 7,3 dm em m. m m 0, dm 7, dm 7 cm 3 cm 3

Tem-se, ento, 245 cm.

Neste caso, deve-se correr a vrgula para a esquerda at a casa do metro e, na falta de nmeros, acrescentar zero. Tem-se, ento, 0,73 m.

74

7.4 POLEGADA Medida inglesa de comprimento equivalente a 25,40 mm.2 4 8 16 A polegada divide-se em meios , quartos , oitavos , dezesseis avos , 4 8 16 2

32 64 128 trinta e dois avos , sessenta e quatro avos , cento e vinte e oito avos . 32 64 128 Na Mecnica usam-se milsimos e dcimos de milsimos de polegada.

7.5 CONVERSO DE POLEGADAS EM MILMETROS E VICE-VERSA Para converter polegadas em milmetros multiplica-se a polegada, o