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Formação Continuada - Matemática
CAMPOS CONCEITUAIS ADITIVO E
MULTIPLICATIVO E A RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS
Professores - 5º ano
1º Encontro 04/03/2016
Coordenadora Pedagógica: Adriana da Silva Santi
Um alfaiate tem uma peça de tecido
com 20 metros de comprimento. Cada
dia ele tira um pedaço de 2 metros. Se
o primeiro corte foi feito no dia 11 de
abril, em que dia ele fará o último
corte?
Leia e resolva:
Na perspectiva do ensino de
Matemática pela
compreensão...
o trabalho com as operações deve estar
imerso desde o primeiro momento, em
situações-problema.
Pressuposto a necessidade de que
haja um entendimento sobre os usos das
operações em diferentes contextos e
práticas sociais.
Aprender sobre adição, subtração,
multiplicação e divisão requer aprender
muito mais do que procedimentos de
cálculo.
Espera-se que os alunos compreendam o
que fazem e construam os conceitos
envolvidos nessas operações.
Se os alunos estiverem repetindo
procedimentos, ou executando o que
lhes for dito para fazer, não estarão
desenvolvendo estratégias de
resolução. O problema estará se
convertendo em exercício de repetição
ou em execução algorítmica
atividade matemática em
si pode ocorrer; o que pode não
acontecer é a compreensão conceitual
OPERAÇÕES
- Construção de conceitos (juntar,
separar, retirar, agrupar, distribuir, combinar,...)
- Cálculos (escritos, aproximados, exatos,
pensados)
- Modos de representação (desenhos,
esquemas, símbolos numéricos e operacionais)
Operações
- Idéias das operações
com números naturais:
adição (aditiva),
subtração (subtrativa,
comparativa e aditiva),
multiplicação (aditiva,
combinatória, de
proporcionalidade, de
configuração retangular) e
divisão (repartitiva e
subtrativa).
- Cálculos: mental e
escrito, aproximado e
exato.
Frente de trabalho
conceitual: relativa aos
conceitos.
Frente de trabalho
procedimental: diz
respeito a técnicas e
estratégias de cálculo,
mental ou escrito,
assim como a usos de
instrumentos e
materiais manipuláveis
como palitos, material
dourado e ábaco.
PROPOSTA CURRICULAR MUNICIPAL
A Resolução de Problemas é uma
abordagem metodológica que
contribui significativamente para que
a atividade matemática seja
desenvolvida de modo a valorizar
a compreensão conceitual inerente
aos procedimentos de cálculos
ADIÇÃO E
SUBTRAÇÃO
campo conceitual
aditivo
MULTIPLICAÇÃO
E DIVISÃO
campo conceitual
multiplicativo
Conceitos não podem ser
compreendidos de modo
isolado, mas sim a partir de
CAMPOS CONCEITUAIS
conceitos envolvem e são envolvidos por
situações, estruturas, operações de
pensamento e representação que se
relacionam entre si
CAMPO CONCEITUAL ADITIVO
SITUAÇÕES ADITIVAS
envolve relações entre as partes e o todo,
ou seja, ao somar as partes encontramos o
todo, ao subtrair uma parte do todo
encontramos a outra parte. Envolve ações
de juntar, separar e corresponder um a
um.
RACIOCÍNIO ADITIVO:
1. Composição simples
Envolve a ação de “juntar” as partes para determinar o todo
As situações de composição relacionam as partes que
compõem um todo por ações de juntar ou separar as
partes para obter o todo sem promover transformação
em nenhuma das partes.
Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas.Quantas crianças há ao todo?
15 + 13 = ?
2. Transformação simples
As situações de transformação envolvem um estado
inicial, uma transformação por ganho ou perda,
acréscimo ou decréscimo e um estado final.
Marina tinha 20 figurinhas e ganhou 15 num jogo.
Quantas figurinhas ela tem agora?
Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu 12. Com
quantas bolinhas ele ficou?
20 + 15 = ?
37 - 12 = ?
É importante variar o lugar em que a
incógnita é colocada.
A alteração do X da questão possibilita
raciocínios diferentes, ajudando o estudante
a entender o sentido das operações e
ampliando as opções de resolução.
Entregar 1 folha de papel A 3 e canetinhas para cada grupo
Com seu grupo elabore um problema de
composição ou transformação simples.
A partir desse elabore outro problema com os
mesmos números mudando o lugar da
incógnita.
Situações de Composição simples
João tem R$ 20,00 e Carlos tem R$ 15,00. Quantos
reais eles tem juntos
20 + 15 = ?
Situações de Transformação simples
Marcos é colecionador de figurinhas e já possui 245.
Em um passeio com seus pais eles compraram mais
55. Com quantas figurinhas Marcos ficou?
245 + 55 = ?
Na escola tem 352 alunos. Em um dia de chuva
faltaram 162 alunos. Quantos alunos vieram à escola
neste dia?
352 -162 = ?Problemas elaborados pelos professores do 5º ano
Situações de Composição com uma das partes
desconhecida
João e Carlos tem juntos R$ 35,00. Sabendo que R$
20,00 são de João, quantos reais são de Carlos?
20 + ? = 35
Paulo tem 35 bolinhas que ganhou de seus pais.
Dessas, algumas foi o pai que lhe deu e 10 foram
dadas pela sua mãe. Quantas bolinhas o pai de Paulo
deu a ele?
? + 10 = 35
Problemas elaborados pelos professores do 5º ano
Situações de Transformação com transformação
desconhecida
Marcos quer completar 300 figurinhas em uma
coleção, ele já tem 245. Quantas ele ainda precisa?
245 + ? =300
Minha escola tem 352 alunos, hoje vieram 280.
Quantos alunos faltaram?
352 - ? = 280
Problemas elaborados pelos professores do 5º ano
Situações de Transformação com estado inicial
desconhecido
Jonas foi ao mercado e gastou 22 reais. Ele recebeu
18 reais de troco. Quantos reais ele deu ao caixa?
? - 22 = 18
Cleonice tinha uma quantia em reais e ganhou 19
reais de sua madrinha ficando assim com 47 reais.
Quanto ela tinha?
? + 19 = 47
Problemas elaborados pelos professores do 5º ano
o conhecimento conceitual deve emergir de
situações-problemas;
a compreensão de um conceito, por mais
simples que seja, não emerge apenas de um
tipo de situação, assim como uma simples
situação sempre envolve mais do que um único
conceito;
a formação dos conceitos pela criança pode ser
observada por meio de suas estratégias de
ação ao resolver um problema.
3. Composição com uma
das partes desconhecida
Problemas de composição podem envolver situações
em que o todo e uma das partes são conhecidos, sendo
necessário determinar a outra parte.
Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos.
Quantas são as meninas?
15 + ? = 28 28 - 15 = ?
Em uma classe de 28 alunos, há alguns meninos e
13 meninas. Quantos são os meninos?
? + 13 = 28 28 - 13 = ?
4. Transformação com transformação
desconhecida
Trata-se de problemas aditivos de transformação
desconhecida, uma vez que são conhecidos os estados
iniciais e o estado final da situação.
Marina tinha 20 figurinhas. Ganhou algumas e ficou
com 35. Quantas figurinhas ela ganhou?
20 + ? = 35 35 - 20 = ?
Na semana passada, Pedro tinha 37 bolinhas. Hoje
tem 25. O que aconteceu no decorrer da semana?
37 - ? = 25 25 + ? = 37
5. Transformação com estado
inicial desconhecido
O estado inicial também pode ser desconhecido nas
situações de transformação. Esses problemas
costumam ser mais difíceis para as crianças, pois
envolvem operações de pensamento mais complexas.
Marina tinha algumas figurinhas, ganhou 15 num
jogo e ficou com 35. Quantas figurinhas ela tinha?
? + 15 = 35 35 - 15 = ?
Pedro tinha várias bolinhas, perdeu 12 e agora tem
25. Quantas bolinhas ele tinha antes?
? - 12 = 25 12 + 25 = ?
6. Comparação
Nas situações de comparação não há transformação,
uma vez que nada é tirado ou acrescentado ao todo ou
às partes, mas há uma relação de comparação entre as
quantidades envolvidas.
Carlos tem 20 carrinhos e Paulo tem 13 carrinhos.
Quantos carrinhos Carlos tem a mais do que Paulo?
20 - 13 = ? 13 + ? = 20
Paulo tem 13 carrinhos e Carlos 20. Quantos
carrinhos a mais Paulo precisa para ter o mesmo
que Carlos?
20 - 13 = ? 13 + ? = 20
Carlos tem 20 carrinhos. Paulo tem 7 a menos que
ele. Quantos carrinhos tem Paulo?
20 - 7 = ? ? + 7 = 20
O Campo Conceitual das estruturas aditivas é
o conjunto de situações que pode ser gerado
pelas seis relações básicas mencionadas
anteriormente ou por combinações delas.
O conjunto das estruturas aditivas não é
homogêneo e as dificuldades desiguais se
distribuem nas variadas situações.
CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO
SITUAÇÕES MULTIPLICATIVAS
envolve relações fixas entre variáveis, porexemplo, entre quantidades ou grandezas.Busca um valor numa variável que correspondaa um valor em outra variável. Envolve ações decorrespondência um para muitos, distribuição edivisão.
RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO:
Entregar 1 folha de papel A 3 e canetinhas para cada grupo
Com seu grupo elabore um problema de
divisão com a ideia subtrativa e um com a
ideia repartitiva.
Explique com suas palavras qual a diferença
entre os dois problemas
DIVISÃO REPARTITIVA
Na sala de aula que Alana estuda há 30 alunos que
foram divididos em 6 filas com quantidade igual.
Quantos alunos há em cada fila?
30 alunos 6 filas = 5 alunos em cada fila
Flávia ganhou um encarte com 24 fivelas para cabelo,
repartiu-as com suas duas primas, ficando cada uma
com a mesma quantidade. Com quantas fivelas cada
uma ficou?
24 fivelas 3 primas = 8 fivelas para cada prima
Problemas elaborados pelos professores do 5º ano
DIVISÃO SUBTRATIVA (MEDIDA)
Na sala de aula que Alana estuda há 30 alunos. A sala
foi organizada em filas de 5 alunos. Quantas filas foram
formadas nessa sala?
30 alunos 5 alunos por fila = 6 filas
Flávia tinha um encarte com 24 fivelas para cabelo. Ela
deu 8 fivelas para cada uma de suas primas. Para
quantas primas ela deu as fivelas?
24 fivelas 8 fivelas para cada prima = 3 primas
Problemas elaborados pelos professores do 5º ano
1. Situações de comparação entre razões
Alana tem 5 pacotes de figurinhas. Em cada pacote
há 5 figurinhas. Quantas figurinhas Alana possui? E
se fossem 8 pacotes?
O esquema “um para muitos”, utilizado no registro da
resolução é importante para a forma de pensar sobre o
problema: para cada pacote correspondem 5 figurinhas.
A quantidade de pacotes e a quantidade de figurinhas
(medidas) estão relacionadas por um número fixo de
figurinhas por pacote, ou seja, 5 figurinhas por pacote.
Observa-se uma proporção entre a quantidade de
pacotes e a quantidade de figurinhas por pacote.
Proporção é a expressão da relação existente entre as
duas coleções.
2. Situações de divisão por distribuição
35 figurinhas 5 amigos = ? figurinhas
Alana tem 35 figurinhas repetidas e quer dividir
entre seus 5 amigos. Quantas figurinhas cada amigo
vai receber?
O que caracteriza esse problema é o fato de a
quantidade a ser dividida e o número de amigos que
receberão figurinhas serem conhecidos. O quanto
caberá a cada um é o que deverá ser determinado.
Esquemas de correspondência e distribuição
Quantidade a ser dividida: 35 figurinhas
Número de amigos: 5 amigos
Figurinhas por amigo: ?
3. Situações de divisão por formação de
grupos
Quantidade a ser dividida: 35 figurinhas
Tamanho do grupo: 5 figurinhas em cada página
Número de grupos: ?
Problemas de divisão podem envolver a formação de
grupos, quando o tamanho do grupo é conhecido e o
número de grupos possíveis deve ser determinado.
Alana colou 35 figurinhas em um álbum. Em cada
página foram coladas 5 figurinhas. Quantas páginas
foram utilizadas?
Esquemas de correspondência um para muitos
20 figurinhas 5 páginas = ? páginas
4. Situações de configuração retangular
Lucas organizou a coleção de carrinhos em
um suporte com 4 fileiras e 4 colunas.
Quantos carrinhos tem neste suporte?
Os problemas deste tipo exploram a leitura de
linha por coluna ou vice-versa.
5.Situações de raciocínio combinatório
Situações que envolvem a necessidade de verificar as
possibilidades de combinar elementos de diferentes
conjuntos.
Conjunto conhecido: 3 camisas
Conjunto conhecido: 2 calções
Número de possibilidades: ?
Dois conjuntos conhecidos: camisas e calções, que
devem ser combinados entre si para determinar o
número de possibilidades de combinação.
Kaique tem três camisas para jogar futebol, uma
azul (A), uma branca (B) e uma verde (V) e dois
calções, um preto (P) e um branco (B). De quantas
maneiras diferentes Kaique pode se vestir para
jogar futebol?
Os significados ou usos das operações precisam ser
conhecidos para que se saiba qual operação
empregar na resolução de um problema.
Os estudantes precisam saber quando cada
operação deve ser usada.
Não é adequado dar problemas todos do mesmo tipo
(significado) porque a criança, percebendo essa
regularidade, trabalha automaticamente e pára de
pensar.
Os algoritmos (procedimentos passo a passo) são
elementos técnicos. Eles não “trabalham” com
significados e com ações, que só serão exploradas e
refletidas nos problemas.
Na Resolução de Problemas é preciso levar em conta:
- o conteúdo dos problemas; este deve, de início, estar
relacionado com as vivências das crianças, para, depois,
ir se diversificando, de modo que elas possam ir
descobrindo estruturas matemáticas idênticas, em
diferentes conteúdos;
- a apresentação das informações, que, de início, deve
trazer todos os dados necessários, suficientes e
ordenados, até chegar a enunciados com dados
desordenados, irrelevantes ou ausentes;
- a dificuldade dos cálculos necessários, que devem
ser sequencializados, uma vez que trabalhar com
números complexos pode alterar a interpretação da
situação.
- o lugar da incógnita.
