cap 04 - Computações Matemáticas

4

Computações Matemáticas

Como discutido nos capítulos anteriores, o Maple contém numerosos recursos embutidos para

computações.

Estes recursos—e outros na Maplesoft Web site—estão disponíveis para as áreas discutidas neste

capítulo e muito mais. Seu primeiro passo na resolução de problemas deveria ser a revisão dos recursos

relacionados disponíveis do Maple. Isto o ajudará a resolver problemas rápida e facilmente. Veja a

tabela 4.1.

Tabela 4.1: Recursos do Maple para Computações Matemáticas

Recursos Descrição Assistentes Apontar-e- Clicar

Interfaces gráficas com botões e sliders para realizar

facilmente uma computação, criar gráfico ou realizar

outras operações.

• Do menu Tools, selecione Assistants. Menus de contexto

O menu pop-up de operações comuns para o objeto selecionado, baseado em seu tipo.• Selecione a expressão em 2-D de entrada ou de

saída e clique com o botão direito (para Macintosh,

Control-clique). Paletas

Coleções de itens relacionados que você pode inserir

Page 1 of 69index1.html

30/03/2008file://C:\Meus Documentos\Fisica\Manual Maple 11\Capitulo4\Capitulo4\index1.html

clicando sobre o item ou arrastando-o. Algumas

paletas contêm operações matemáticas com lugares

de espera (placeholders) para os parâmetros.

• Do menu View, selecionar Palettes e depois

Expand Docks. Tarefas templates

Conjunto de comandos com locais de espera que

você pode usar para realizar rapidamente uma tarefa.

Algumas tarefas contêm componentes gráficos como

botões.

• Do menu Tools, selecione Tasks e então Browse.

Recursos Descrição comando FunctionAdvisor Provê informação detalhada sobre funções

matemáticas, por exemplo,definições,

identidades e propriedades matemáticas

• Consultar as páginas de ajuda ?FunctionAdvisor.

Sistema de Ajuda do Maple (Maple Help System)

Mais de 5000 páginas de ajuda e planilhas de

exemplo com um mecanismo integrado de pesquisa.

• Do menu Help, selecione Maple Help. Página de ajuda índice de Uma lista completa de mais de 100 pacotes Maple,



Recursos para Instrutores e Estudantes, veja tabela 4.10 (pág. 148).

Para informações sobre computações básicas, incluindo operações com inteiros e resolução de equações,

veja Realizando Computações (pág. 55).

Pacotes (Package index help page)

que contêm milhares de comandos.

• Do menu Help, selecione Manuals, Dictionary, andmore e então List of Packages

Página de ajuda índice de comandos (Command index help page)

Uma lista completa de mais de 600 comandos Maple top-level.

• Do menu Help, selecione Manuals, Dictionary, and more e, então, List of Commands.

Maplesoft Web site(http://www.maplesoft.com)

Centro de Aplicação Maple- Documentos Livres e

Maplet de aplicações apontar-e-clicar para

matemática, engenharia, finanças e ciência.

• Visite http://www.maplesoft.com/applicationsCaixa de Ferramentas - Adição de produtos da

Maplesoft, por exemplo, Caixa de Ferramenta Global

de Otimização (Global Optimization Toolbox).

• Visite http://www.maplesoft.com/products/toolboxes

Third-Party Products - Adição de produtos

desenvolvidos pela comunidade de usuários Maple

para computação especializada.• Visite http://www.maplesoft.com/products/thirdparty



4.1 Neste Capítulo

Seção Tópicos Álgebra - Realizando computações com

álgebra

• Álgebra Polinomial (Polynomial

Algebra) Álgebra Linear- Realizando

computações com álgebra linear

• Criando Matrizes e Vetores• Acessando Entradas em Matrizes e

Vetores• Computações com Álgebra Linear • Pacote Student LinearAlgebra

Cálculo - Realizando computações

com cálculo

• Limites (Limits)• Derivação (Differentiation)• Séries (Series)• Integração (Integration)• Equações Diferenciais (Differential

Equations)• Pacotes de Cálculo (Calculus

Packages) Otimização - Realizando computações

com otimização usando o pacote

Optimization

• Interface Apontar-e-Clicar (Point-

and-Click)• Computação Eficiente (Efficient

Computation)• Arquivo Suporte MPS(X)

Estatística - Realizando computações

com estatística usando o pacote

Statistics

• Distribuições de Probabilidades e

Variáveis Randômicas• Computações Estatísticas • Gráficos (Plotting)

Ensinando e Aprendendo com Maple -

Recursos para Estudantes e Instrutores

• Tabela de Recursos para Estudantes e Instrutores (Student and Instructor

Resources)



4.2 Álgebra

O Maple contém uma variedade de comandos que realizam operações com inteiros, como fatoração

e aritmética modular, como descrito em Operações com Inteiros (pág. 60). Ele dá suporte também

à álgebra polinomial.

Para informações sobre matrizes e álgebra vetorial, veja Álgebra Linear (pág.110)

Álgebra Polinomial

Um polinômio Maple é uma expressão em potências de uma incógnita. Polinômios a uma variável

são polinômios com uma única incógnita, por exemplo, .

Polinômios a múltpilas variáveis são polinômios com várias incógnitas, como

Os coeficientes podem ser inteiros, números racionais, números irracionais, números com ponto-flutuante,

(Student and Instructor resources) para o

uso do Maple em ambiente acadêmico.

• Pacotes e Tutores Student



variáveis ou uma combinação de todos estes tipos.

>

Aritmética

Os operadores de aritmética polinomial são os operadores aritméticos padrão do Maple, exceto o

operador de divisão (/). (O operador de divisão aceita argumentos polinomiais, mas não realiza

a divisão polinomial).

A divisão polinomial é uma operação importante. O comandos quo e rem encontram o quociente e

o resto de uma divisão polinomial. Veja a tabela 4.2. ( Os comandos iquo e irem encontram o

quociente e o resto de uma divisão com inteiros. Para mais informações, veja Operações com

Inteiros (pág. 60).)

Tabela 4.2: Operadores em Aritmética Polinomial

(4.1)

Operação Operador Exemplo



Adição

+

>

(4.2)

Subtração >

(4.3)

Multiplicação >

(4.4)

Divisão: Quocientee Resto (Remainder)

quo

rem

>

>

(4.5)

(4.6)

Exponenciação ^ >

(4.7)

Você pode especificar a multiplicação explicitamente, entrando com *, que

exibe em 2-D Math como Em 2-D Math, você também pode multiplicar

implicitamente, colocando espaço entre duas expressões. Em alguns casos, o

espaço é opcional. Por exemplo, o Maple interpreta um número seguido de



Para expandir um polinômio, use o camando expand.

>

Se você precisa determinar se um polinômio divide um outro, mas não precisa do quociente, use o

comando divide. O comando divide testa se a divisão é exata.

>

Importante: Você deve inserir um espaço ou operador de multiplicação ( ) entre nomes de

variáveis adjacentes. Caso contrário, será interpretado como uma única variável.

Por exemplo, não divide a variável única .

>

Mas, divide o pruduto de e .

um nome como uma multiplicação implícita. Em 2-D Math, os expoentes exibem como super-escritos (superscripts).

(4.8)

(4.9)

(4.10)



>

Para informações sobre aritmética polinomial, sobre campo e anéis finitos, consulte a página de ajuda ?mod.

Ordenação de Termos

Para ordenar os termos de um polinômio, use o comando sort.

>

>

Nota: O comando sort devolve o polinômio ordenado e atualiza a ordem dos termos no polinômio.

Os termos de p1 são ordenados.

>

Para especificar as incógnitas do polinômio e sua ordenação, inclua a lista de nomes.

>

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)



>

Por padrão, o comando sort ordena um polinômio pela ordem decrescente do grau total dos termos..

>

>

O primeiro termo tem grau total 4. Os outros dois termos têm o grau total 3. A ordem dos dois termos

finais é determinada pelos seus nomes na lista.

Para ordenar os termos puramente pela ordem lexicográfica, isto é, primeiro pela ordem decrescente

da primeira incógnita na lista de opção e então pela ordem decrescente da próxima incógnita na lista de

opção, especifique a opção 'plex' .

>

Para informações sobre fechar palavras-chave com aspas retas simples ('), veja Avaliação Posterior

(Delaying Evaluation) (pág. 285).

O primeiro termo tem a potência de 3. O segundo, a potência de igual a 2. O terceiro,

(4.16)

(4.17)

(4.18)



igual a 0.

Usando o menu de contexto, você pode realizar operações, como ordenação, para polinômios e muitos

outros objetos Maple.

Para ordenar um polinômio:

1. Clicar o polinômio com o botão direito (Control-clique, para Macintosh).

2. Exibe o menu de contexto. Do menu Sorts, selecione:

• Single-variable e, depois, a incógnita

• Two-variable (ou Three-variable), Pure Lexical ou Total Degree e depois a prioridade de ordenação das incógnitas

Veja Figura 4.1.

>



Figura 4.1: Ordenação de um polinômio usando um Menu de Contexto

O Maple ordena o polinômio.

No modo Planilha, o Maple insere a chamada de seqüência que realiza a ordenação seguida pelo

polinômio ordenado.

>

>

Você pode usar o menu de contexto para realizar operações sobre o conteúdo em 2-D Math

incluindo a saída. Para mais informações, veja Menus de Contexto (pág. 18) (para o modo

Documento) ou Menus de Contexto (pág. 39) (para o modo Planilha).

Juntando Termos (Colocando Termos em Evidência)

Para juntar os termos do polinômio, use o comando collect.

>

(4.19)

(4.20)



Graus e Coeficientes (Coefficients and Degrees)

O Maple tem vários comandos que devolvem os valores de grau e de coeficientes para um polinômio.

Veja a Tabela 4.3.

Tabela 4.3: Comandos para Coeficientes e graus de Polinômio

Comando Descrição Exemplo coeff Coeficiente do termo de

grau especificado >

(4.21)

lcoeff Coeficiente do termo de maior grau (Leading coefficient)

>

(4.22)

tcoeff Termo independente

(Trailing coefficient)

>

(4.23)

Comando Descrições Exemplo coeffs Seqüência de todos os

coeficientes dos termos em ordem crescente dos graus.

Note: Os coeficientes zero não são devolvidos

>

(4.24)



Fatoração

Para expressar um polinômio na sua forma total fatorada, use o comando factor.

>

O comando factor fatora o polinômio sobre o anel compreendido pelos coeficientes, por exemplo,

inteiros. Você pode especificar um campo de número algébrico (algebraic number field) sobre o qual

fatorar o polinômio. Para mais informações, consulte a página de ajuda ?factor. (O comando

ifactor fatora um inteiro. Para mais informações, veja Operações com Inteiros (pág. 60).

Para encontrar as raízes de um polinômio, use o comando solve. Para informação sobre o comando

solve, veja Resolução de Equações e Inequações (pág.65). (o comando isolve resolve uma equação

para soluções com inteiros).

Para mais informações, veja Equações de Inteiros (Integer Equations (pág. 78).)

degree O grau mais alto

(Highest) degree

>

(4.25)

ldegree O menor grau de termo com coeficiente não nulo.

>

(4.26)

(4.27)



Outros Comandos

A tabela 4.4 lista outros comandos disponíveis para operações polinomiais.

Tabela 4.4: Selecão de Outros Comandos Polinomiais

Comando Descrição content Conteúdo (polinômio a múltiplas

variáveis) compoly Decomposição discrim Discriminante (Discriminant) ged O maior divisor comum (de dois

polinômios) gedex Estende algoritmo Euclideano (para

dois polinômios) CurveFitting[PolynomialInterpolation] See also the CurveFitting Assistant(Tools>Assistants>Curve Fitting)

Interpolação de polinômio (para lista de pontos)

Icm Mínimo múltiplo comum (de dois polinômios)

norm Norma prem Pseudo-Resto (de dois polinômios a

múltiplas variáveis) primpart Parte primitiva (polinômio a múltiplas

variáveis) randpoly Polinômio randômico (Random

polynomial) PolynomialTools[IsSelfReciprocal]

Determina se é self-reciprocal

resultant Resultante (de dois polinômios) roots raízes exatas (no campo de números

algébricos) sqrfree fatoração sem raiz quadrada

(polinômio a múltiplas variáveis)



Informação Adicional

Tabela 4.5: Ajuda Adicional a polinômio

4.3 Álgebra Linear

Operações de álgebra linear atuam sobre estruturas de dados Matriz e Vetor.

Você pode realizar muitas operações de álgebra linear usando tarefa templates. No Task Browser

(Tools>Tasks>Browse), expande o folder Linear Algebra.

Tópico Recursos Informação Geral de polinômio

(General polynomial information)

Página de ajuda ?polynom

Pacote PolynomialTools

Página de ajuda sumário do pacote

?PolynomialTools Manipulação algébrica de polinômios numéricos

Página de ajuda sumário do pacote

?SNAP (Symbolic-Numeric Algorithms forPolynomials)

Aritmética eficiente para polinômios esparsos

Página de ajuda

?SDMPolynom (estrutura de dados de polinômios a múltiplas variáveis com disdribuição esparsa) (Sparse Distributed Multivariate Polynomial data structure)

Informações e comandos de polinômios

Tabela de Conteúdos do Sistema Maple de Ajuda:

seção Mathematics>Algebra>Polynomials



Criando Matrizes e Vetores

Você pode facilmente definir matrizes usando a paleta Matrix. Para definir vetores, use a notação

parênteses em ângulo (<>) (angle-bracket).

Criando Matrizes

Para criar matrizes, use a paleta Matrix. veja a figura 4.2.

Figura 4.2: Matrix Palette

Na paleta Matrix, você pode especificar o tamanho e as propriedades da matriz (veja a figura 4.3).Para inserir uma matriz, clicar o botão Insert Matrix.



Figura 4.3: Paleta Matrix : Escolhendo o Tamanho

Depois de inserir a matriz:

1. Colocar os valores das entradas. Para mover para o próximo lugar-de-espera da entrada, pressionar Tab.

2. Depois de especificar todas as entradas, pressionar Enter.

>



Criando Vetores

Para criar um vetor, use parênteses em ângulo (< >)(angle brackets).

Para criar um vetor coluna, especifique uma seqüência separada por vírgulas <a, b, c>. O número de elementos é deduzido do número de expressões.

>

Para criar um vetor linha, especifique uma barra vertical ( | ) como separação na seqüência, <a | b| c>.

O número de elementos é deduzido do número de expressões.

>

Edição e Visão de Grandes Matrizes e Vetores

Matrizes 10 × 10 e menores e vetores com 10 ou menos elementos são exibidos no documento. Objetos

maiores são exibidos como um lugar-de-espera.

Por exemplo, inserir uma matriz 15 × 15.

Na Paleta Matrix :

1. Especificar as dimensões: 15 linhas e 15 colunas.

2. Na lista suspensa Type, selecionar um tipo de matriz, por exemplo, Custom values.

3. Clicar Insert Matrix. O Maple insere um lugar-de-espera .

>

(4.28)

(4.29)



Para editar ou ver uma grande matriz ou um grande vetor, clique duplo no lugar-de-espera.

Isto inicia Matrix Browser. Veja a figura 4.4.

Figura 4.4: Matrix Browser

Para especificar o valor das entradas usando o Matrix Browser:

1. Selecionar o tab (lingüeta) Table.

2. Clicar duplo em uma entrada e, então, editar seu valor. Pressionar Enter.

3. Repetir em cada entrada para editar.

4. Quando você tiver terminado de atualizar as entradas, clicar Done.

Você pode ver a matriz ou o vetor como uma tabela ou como uma imagem, que pode ser inserida



dentro do documento. Para mais informação, consulte a página de ajuda ?MatrixBrowser.

Para colocar a dimensão máxima de matrizes e vetores exibida em linha:

Por exemplo, interface(rtablesize = 15).

Para mais informações, consulte a página de ajuda ?interface.

Criando Matrizes e Vetores para Grandes Problemas

Por padrão, as matrizes podem armazenar quaisquer valores. Para aumentar a eficiência da computação

com álgebra linear, crie matrizes e vetores com propriedades. Você deve especificar as propriedades,

por exemplo, o tipo de vetor ou matriz ou o tipo de dados, quando definir o objeto.

A paleta Matrix (figura 4.2) dá suporte a várias propriedades.

Para especificar o tipo de matriz:

• Use as listas suspensas Shape e Type.

Para especificar o tipo de dado:

• Use a lista suspensa Data type.

Por exemplo, definir uma matriz diagonal com coeficientes inteiros pequenos.

Na paleta Matrix:

1. Especificar o tamanho da matriz, por exemplo,

2. Na lista suspensa Shapes, selecionar Diagonal.

3. Na lista suspensa Data type, selecionar integer[1].

4. Clicar o botão Insert Matrix

5. Colocar os valores na entrada da diagonal.



>

Nota: Para criar uma matriz com entradas geradas randomicamente, selecionar Random Type.

Você pode especificar propriedades quando definir vetores usando a notação parêntese em ângulo

(<>) (angle-bracket). Você deve usar o construtor Vector.

Para definir um vetor coluna usando o construtor Vector, especificar:

• O número de elementos. Se você especificar explicitamente todos os valores dos elementos, este

argumento não é necessário.

• Uma lista de expressões que defina os valores dos elementos.

• Os parâmetros tais como shape, datatype e fill que determinam as propriedades do vetor.

As duas chamadas de seqüência seguintes são equivalentes.

>

>

(4.30)

(4.31)



Para criar um vetor linha usando o construtor Vector, incluir row como índice.

>

>

A paleta Matrix não dá suporte a algumas propriedades. Para determinar todas as propriedades, use o

construtor Matrix.

Para definir uma matriz usando o construtor Matrix, especificar:

• O número de linhas e colunas. Se você especificar explicitamente todos os valores dos elementos,

este argumento não é necessário.

• Uma lista das listas que definem os valores dos elementos por colunas (row-wise).

• Os parâmetros como shape, datatype e fill que determinam as propriedades da matriz.

Por exemplo:

>

(4.32)

(4.33)

(4.34)



A paleta Matrix não pode preencher a matriz com um valor arbitrário. Use o parâmetro fill.

>

Para mais informações sobre construtores, incluindo outras sintaxes de chamada de seqüência e parâmetros. Para mais informações, consulte as páginas de ajuda ?storage, ?Matrix, e ?Vector.

Veja também Computações Numéricas (pág. 125).

Acessando Entradas em Matrizes e Vetores

Para selecionar uma entrada em um vetor, entre com o nome do vetor com um índice inteiro, diferente

de zero.

>

>

(4.35)

(4.36)

(4.37)



inteiros negativos selecionam as entradas do final do vetor.

>

Para criar um sub-vetor constituído de várias entradas, especificar uma lista ou um intervalo de inteiros

no índice. Por mais informações, consulte as páginas de ajuda ?list e ?range.

>

>

Similarmente, você pode obter sub-matrizes usando um índice. Na seguinte matriz bi-dimensional,

a primeira entrada seleciona linhas e a segunda, colunas.

>

ou

(4.38)

(4.39)

(4.40)



>

>

Computações com Álgebra Linear

Você pode realizar computações com matrizes e vetores usando menus de contexto e o pacote

LinearAlgebra.

Aritmética Matricial (Matrix Arithmetic)

Os operadores de aritmética matricial e vetorial são os operadores aritméticos padrão do Maple, a

não ser pelas duas seguites diferenças:

• O operador de multiplicação escalar é o asterisco (*), que exibe em math como . O operador

de multiplicação de matrizes e vetores não-comutativos é o ponto (.).

• Não existe operador de divisão (/) para álgebra matricial. (Você pode construir a inversa de uma matriz

usando o expoente .)

Veja a tabela 4.6.

>

(4.41)



Tabela 4.6: Operadores Aritméticos para Matrizes e Vetores

Operação Operador Exemplo Adição >

(4.42)

Subtração >

(4.43)

Multiplicação >

(4.44)

Multiplicação Escalar

* >

>

(4.45)

(4.46)



Operação Operador Exemplo Exponenciação

>

>

(4.47)

(4.48)

Você pode especificar multiplicação escalar explicitamente entrando com *, que exibe em 2-D Math como .Em 2-D Math, você pode também multiplicar implicitamnete um escalar e uma matriz ou vetor, colocando espaço entre eles. Em alguns casos, o espaço é opcional. Por exemplo, o Maple interpreta um número seguido por um nome como uma multiplicação implícita. Em 2-D Math, expoentes exibem como super-escritos (superscripts).



Uns poucos operadores matriciais e vetoriais adicionais estão listados na tabela 4.7.

Definir dois vetores coluna.

>

Tabela 4.7: Seleção de Operadores para Matrizes e Vetores

Operação Operador Exemplo Transposição ^%T¹ >

(4.49)

Transposição Hermitiana (Hermitian Transpose)

^%H¹ >

(4.50)

Produto Vetorial (Cross Product)

(somente vetores 3-D)

&x² >



Para informações sobre aritmética matricial sobre campos e anéis finitos, consulte a página de ajuda

?mod.

Interação Apontar-e-Clicar

Usando menus de contexto, você pode realizar muitas operações com matrizes e vetores.

As operações com matrizes disponíveis no menu de contexto Matrix incluem o seguinte.

• Operações padrão: determinante, inversa, norma (1, Euclideana, infinita, ou de Frobenius), transposta e traço

>

(4.51)

Operadores exponenciais exibem em 2-D Math como super-escritos. Depois de carregar o pacote LinearAlgebra, o operador produto vetorial (cross product) está disponível como o operador infix &x . De outra forma, está disponível como o comando LinearAlgebra[CrossProduct].



• Computar autovalores, autovetores e valores singulares

• Computar a dimensão ou o ranque (rank)

• Converter para a forma de Jordan ou outras formas

• Realizar decomposição Cholesky e outras decomposições

Por exemplo, computar a norma infinita (infinity norm) de uma matrix. Veja a figura 4.5.

Figura 4.5: Computando a Norma Infinita (Infinity Norm) de uma Matrix

No modo Documento, o Maple insere uma seta para a direita seguida pela norma. Veja a figura 4.6.

Figura 4.6: Computando a Norma no Modo Documento

As operações com Vetores disponíveis no menu contexto incluem o seguinte.

• Computar a dimensão

• Computar a norma (1, Euclideana e infinita)

• Computar a transposta

• Selecionar um elemento



Para mais informações sobre os menus de contexto, veja Menus de Contexto (Context Menus

(pág. 18)) (para o modo Documento) ou Menus de Contexto (pág. 39) (para o modo Planilha).Comandos do Pacote LinearAlgebra

O pacote LinearAlgebra contém comandos que constroem e manipulam matrizes e vetores, computamoperações padrão, investigam e resolvem problemas de álgebra linear.

A tabela 4.8 lista alguns comandos do pacote LinearAlgebra. Para uma lista completa, consulte a

página de ajuda ?LinearAlgebra/Details.

Tabela 4.8: Seleção de Comandos do Pacote LinearAlgebra

Comando Descrição Basis devolve uma base para um espaço vetorial

(vector space) CrossProduct Computa o produto vetorial (the cross product)

de dois vetores DeleteRow Deleta as colunas de uma matriz Dimension Determina a dimensão de uma matriz ou de um

vetor Eigenvectors Computa os auto-valores e auto-vetores de uma

matriz FrobeniusForm Reduz uma matriz para a forma Frobenius GaussianElimination Realiza a eliminação Gaussian em uma matriz HessenbergForm Reduz uma matriz quadrada para a forma

Hessenberg

HilbertMatrix Constrói uma matriz de Hilbert generalizada (generalized Hilbert matrix)

IsOrthogonal Testa se uma matriz é ortogonal LeastSquares Computa a aproximação pelos mínimos-quadrados

(least-squares) de A . x = b LinearSolve Resolve o sistema linear A . x = b MatrixInverse Computa a inversa de uma matriz quadrada ou a

pseudo-inversa de uma matriz não-quadrada QRDecomposition Computa uma fatoração QR de uma matriz RandomMatrix Constrói uma matriz randômica SylvesterMatrix Construói a matriz Sylvester de dois polinômios



Para informações sobre operações aritméticas, veja Aritmética Matricial (Matrix Arithmetic)

(pág. 118).

Para informações sobre seleção de entradas, sub-vetores e sub-matrizes, veja Acessando as Entradas

em Matrizes e Vetores (Accessing Entries in Matrices and Vectors (pág. 117)).

Exemplo: Determinar uma base para o espaço definido pelo conjunto de vetores {(2,13, -15),

(7, -2, 13), (5, -4, 9)}. Expressar o vetor (25, -4, 9) em relação a esta base.

>

>

Encontrar uma base para o espaço vetorial definido por estes vetores e, então, construir uma matriz

a partir dos vetores-base.

>

Para expressar (25, -4, 9) nesta base, use o comando LinearSolve.

>

(4.52)

(4.53)



Computações Numéricas

Você pode muito eficientemente realizar computações com grandes matrizes e vetores que contenham

dados com ponto flutuante usando a biblioteca de rotinas de álgebra linear numérica. Algumas dessas

rotinas são fornecidas pelo Grupo de Algoritmos Numéricos (Numerical Algorithms Group (NAG®)).

O Maple também contém porções da CLAPACK e bibliotecas otimizadas ATLAS.

Para informações sobre realização de computações numéricas eficientes usando o pacote

LinearAlgebra, vconsulte a página de ajuda ?EfficientLinearAlgebra.

Veja também Criando Matrizes e Vetores para Grandes Problemas (Creating Matrices and Vectors

for Large Problems (pág. 115).

Pacote Student LinearAlgebra

O pacote Student contém subpacotes que ajudam instrutores a ensinar conceitos e permitem aos

estudantes visualizar e explorar idéias. Estes subpacotes também contêm comandos computacionais.

No subpacote Student[LinearAlgebra], o ambiente difere daquele do pacote LinearAlgebraem que computações com ponto flutuante são geralmente realizadas usando precisão de software,

em lugar de precisão de hardware e símbolos são geralmente assumidos para representar quantidades

reais mais do que complexas.Estes padrões e outros podem ser controlados usando o comando

SetDefault.

Para mais informação, consulte a página de ajuda ?Student[LinearAlgebra][Set-Default] .

Para informação sobre usar o Maple como ferramenta para ensinar e aprender, veja Ensinando e



Aprendendo com Maple (Teaching and Learning with Maple)(pág. 148).

4.4 Cálculo

O Task Browser (Tools>Tasks>Browse) contém numerosas tarefas template de cálculo. Para uma

lista de tarefas, navegar para um dos folders (fascículos), como Calculus, Differential Equations,Multivariate Calculus, ou Vector Calculus.

Esta seção descreve os comandos chave de cálculo do Maple, muitos dos quais são usados em tarefas

templates ou disponível nos menus de contextos.

Para uma lista completa de comandos de cálculo, consulte as seções Mathematics (incluindo sub-

folders Calculus, Differential Equations, Power Series, e sub-folders Vector Calculus) e

Differential Equations, Power Series, e sub-folders Vector Calculus) e o pacote Student

da Tabela de Conteúdos do Sistema de Ajuda Maple (Maple Help System).

Limites

Para computar o limite de uma expressão quando a variável independente se aproxima de

um valor:

1. Na paleta Expression, clicar o item limite .

2. Especificar a variável independente, o ponto limite, a expressão e, então, avaliar.

Por exemplo:

>

O Comando limit

(4.54)



Por padrão, o Maple procura pelo limite real bidirecional (a não ser que o ponto limite seja ∞ ou -∞). Para especificar uma direção, incluir uma das opções left, right, real ou complex na chamada do

comando limit. Veja a tabela 4.9.

Table 4.9: Limits

Usando o comando limit, você pode computar também limites multi-dimensionais.

>

Para mais informações sobre limites multidimensionais, consulte a página de ajuda ?limit/multi.

Computando um Limite Numericamente

Para computar numericamente um limite:

• Usar a chamada de seqüência evalf(Limit(arguments)).

Importante: Usar o comando inerte Limit, não o comando limit. Para mais informações, consulte a

página de ajuda ?limit.

O comando Limit aceita os mesmos argumentos que os do comando limit.

Por exemplo:

>

Limite Sintaxe de Comando Saída > indefinida

>

>

(4.55)

(4.56)



Para informação sobre o comando evalf , veja Aproximação Numérica (Numerical Approximation)

(pág. 282).

O comando Limit não computa o limite. Ele devolve um limite não avaliado.

>

Para mais informação sobre o comando Limit, consulte a página de ajuda ?Limit.

Derivação

O Maple pode realizar derivação simbólica e numérica.

Para derivar uma expressão:

1. Na paleta Expression, clicar o item derivação ou o item derivação parcial .

2. Especificar a expressão e a variável independente e então avaliar.

Por exemplo, para derivar com relação a :

>

Você pode também derivar usando os menus de contexto. Para mais informações, veja Menus de

Contexto (pág. 18).

Para calcular uma derivada de ordem maior ou derivada parcial, edite o símbolo de derivada inserido.

Por exemplo, para calcular a segunda derivada de em relação a :

(4.57)

(4.58)



>

Para calcular a derivada mista parcial de :

>

O Comando diff

O Maple computa derivadas usando o comando diff . Para usar o comando diff diretamente, especifique

a expressão a derivar e a variável.

>

>

Para informação sobre rótulos (label) de equação como (4.61), veja Rótulos de Equações (pág. 51).

Para calcular derivadas de ordem maior, especifique a seqüência de variáveis de derivação. O Maple chama o comando diff recursivamente.

>

(4.59)

(4.60)

(4.61)

(4.62)

(4.63)



Para calcular uma derivada parcial, use a mesma sintaxe. O Maple assume que as derivadas comutam.

>

Para entrar com derivadas de ordem mais alta, é conveniente usar o operador de seqüência ($). Para

mais informações , consulte a página de ajuda ?$.

Para computar a n derivada de uma expressão f em relação à variável independente t, você pode

usar a sintaxe .

Por exemplo:

>

Derivando um Operador

Você pode também especificar uma função matemática como um operador funcional (functional

operator (um mapping). Para uma comparação de operadores e outras funções, veja Distinção entre

Operadores Funcionais e Outras Expressões Distinction between Functional Operators and Other Expressions (pág. 267).

(4.64)

(4.65)



Para encontrar a derivada de um operador funcional (functional operator):

• Usar o operador D.

O operador D devolve um operador funcional.

Por exemplo, encontrar a derivada de um operador que representa a função matemática .

Primeiro, defina a função matemática como o operador F.

1. Na palete Expression, clicar o item definição de função a uma única variável .

2. Entrar com valores no lugar-de-espera.

• Para mover de um lugar-de-espera para outro, pressione a tecla Tab.

Nota: Se ao pressionar a tecla Tab inserir uma lingüeta (tab), clique o ícone Tab na barra de

ferrramentas

>

Agora, defina o operador, G, que mapeia para a derivada de .

>

F e G avaliados em π/2 devolvem os respectivos valores.

>

(4.66)

(4.67)



Para mais informações sobre o operador D, consulte a página de ajuda ?D. Para uma comparação

entre o comando diff e o operador D, consulte a página de ajuda ?diffVersusD.

Derivada Direcional

Para computar uma derivada direcional e fazer o gráfico, use o Directional Derivative Tutor. Otutor computa um valor com ponto-flutuante para a derivada direcional.

Para iniciar o tutor:

Do menu Tools, selecione Tutors, Calculus - Multi-Variable e então Directional Derivatives.O Maple inicia o Directional Derivative Tutor.

Veja a figura 4.7.

Figura 4.7: Directional Derivative Tutor

Para computar um valor simbólico para a derivada direcional, use o comando Student[Multivariate

Calculus][DirectionalDerivative]. A primeira lista de números especifica o ponto onde computara derivada. A segunda lista de números especifica a direção a que computar a derivada.

Por exemplo, no ponto [1, 2], o gradiente de aponta a direção [2, 4], que é a direção de maior



aumento. A derivada direcional na direção ortogonal [-2, 1] é zero.

>

>

>

Séries

Para gerar a expansão em série de Taylor de uma função em torno de um ponto, use o comando taylor.

>

Nota: Se uma série de Taylor não existe, use o comado series para encontrar uma expansão em

série geral.

Por exemplo, a função integral cosseno (cosine integral function) não tem uma expansão em série de

Taylor em torno de 0. Para mais informações, consulte a página de ajuda ?Ci.

>

Para gerar uma expansão em série truncada em torno de um ponto, use o comando series.

>

(4.68)

(4.69)

(4.70)

Error, does not have a taylor expansion, try series()



Por padrão, o Maple realiza os cálculos até ordem 6. Para usar uma ordem diferente, especifique um

terceiro argumento com um número inteiro não-negativo.

>

Para determinar a ordem para todas as computações, use a variável ambiente Order.

Para informações sobre a ordem (Order) da variável e o termo, consulte a página de ajuda ?Order.

A expansão é do tipo series. Alguns comandos, por exemplo, o plot, não aceitam argumentos do tipo series.Para usar a expansão, você deve convertê-la em um polinômio usando o comando convert/polynom.

>

(4.71)

(4.72)



Para informações sobre tipos do Maple e tipos de conversões, veja Expressões do Maple (Maple

Expressions )(pág. 261).

Para informações sobre gráficos, veja Gráficos e Animações (Plots and Animations) (pág. 157).

Integração

O Maple pode realizar integração simbólica e numérica.

Para computar a integral indefinida de uma expressão:

1. Na paleta Expression, clicar o item integração indefinida .

2. Especificar o integrando e a variável de integração e então avaliar.

Por exemplo, para integrar em relação a x:

>

Relembre que você pode também entrar com símbolos, incluindo e d , usando complemento de

símbolo.

• Entrar com o nome do símbolo (ou parte do nome), por exemplo, int e d e então pressione a tecla

de atalho de complemento (do símbolo).

Para mais informações, veja Nomes de Símbolos (Symbol Names) (pág. 14).

Você pode também computar uma integral indefinida usando menus de contexto. Para mais informação,

veja Menus de Contexto (pág. 18).

Para computar uma integral definida de uma expressão:

(4.73)



1. Na paleta Expression, clicar o item integral definida .

2. Especificar os pontos limite do intervalo de integração, a expressão do integrando e a variável de integração e, então, avaliar.

Por exemplo, para integrar sobre o intervalo (0, ∞):

>

O Maple trata o parâmetro a como um número complexo. Como descrito em Suposições sobre Variáveis

(pág. 95), você pode computar sob a suposição de que a é um número real e positivo usando o comando

assuming.

>

O Comando int

e usam o comando int . Para usar o comando int diretamente, especifique os seguintes

argumentos.

• A expressão a integrar

• A variável de integração

>

(4.74)

(4.75)



>

Para uma integração definida, coloque a variável de integração igual ao intervalo de integração.

>

Integração Numérica

Para realizar integração numérica:

• Usar a chamada de seqüência evalf(Int(arguments)).

Importante: Usar o comando inerte Int, não o camando int. Para mais informações, consulte a

página de ajuda ?int.

Além dos argumentos aceitos pelo comando int, você pode incluir argumentos opcionais como method, que especifica o método numérico de integração.

Por exemplo:

>

Nota: Para entrar com um caractere sub-linha (underscore) (_) em 2-D Math, entre com \_.

(4.76)

(4.77)

(4.78)

(4.79)



Para informações sobre o comando evalf , veja Aproximação Numérica (Numerical Approximation)

(pág. 282).

Para informações sobre integração numérica, incluindo integração iterada e controle do algoritmo,

consulte a página de ajuda ?evalf/Int.

Para computar integrais iteradas, integrais de linha e integrais de superfície, use as tarefas templates

(Tools>Tasks>Browse) nos fascículos (folders) Multivariate e Vector Calculus.

Equações Diferenciais

O Maple tem um conjunto poderoso de resolutores para equações diferenciais ordinárias (ODEs) e

equações diferenciais parciais (PDEs) e sistemas de ODEs e PDEs.

Para informações sobre resolução de ODEs e PDEs, veja Outros Resolutores Especializados (pág. 73).

Pacotes de Cálculo

Em adição aos comandos top-level de cálculo, o Maple contém pacotes de cálculo.

Pacotes VectorCalculus

O pacote VectorCalculus contém comandos que realizam operações multivariadas e cálculo vetorial

em VectorCalculus vectors (vetores com um atributo adicional, sistema de coordenadas) e campos vetoriais (vector fields) (vetores com atributos adicionais: sistema de coordenadas e campos vetoriais), por exemplo, Curl, Flux, e Torsion.

>

>

>

(4.80)



Encontrar o rotacional (curl) do VectorField1.

>

Encontrar o fluxo do VectorField1 através de uma esfera de raio r na origem.

>

Computar a torsão de um espaço curvo. A curva deve ser um vetor com funções paramétricas

>

Para informação sobre o comando assuming, veja O Comando Assuming (pág. 97).

Para mais informações sobre o pacote VectorCalculus, incluindo uma lista completa de comandos, consulte a página de ajuda ?VectorCalculus.

Para encontrar os pacotes, como VariationalCalculus, consulte a página de ajuda ?index/package.

(4.81)

(4.82)

(4.83)



Pacotes Student Calculus

O pacote Student contém sub-pacotes que ajudam instrutores a ensinar conceitos e permitem aos

estudantes visualizar e explorar idéias. Estes sub-pacotes contêm também comandos computacionais.

Os sub-pacotes Student calculus incluem Calculus1, MultivariateCalculus, and VectorCalculus.

O pacote Student[VectorCalculus] provê uma interface simples para um sub-conjunto de

funcionalidades disponível no pacote VectorCalculus.

Para informação sobre o uso do Maple como uma ferramenta de ensino e aprendizagem com alguns

exemplos computacionais, veja Ensinado e Apredendo com Maple (pág. 148).

4.5 Otimização

Usando o pacote Optimization, você pode resolver numericamente problemas de otimização. O pacote usa a algoritmo rápido da Numerical Algorithms Group (NAG) para minimizar ou maximizar uma

função objetivo.

O pacote Optimization resolve problemas com vínculos e sem vínculos.

• Programas lineares (Linear programs)

• Programas quadráticos (Quadratic programs)

• Programas não-lineares (Nonlinear programs) • Problemas de mínimos quadrados lineares e não lineares

O pacote Optimization contém resolutores locais. Alem disso, para programas a uma variável não

lineares com limites finitos sem outros vínculos, você pode usar o comando NLPSolve. Para encontrar soluções globais, geralmente, utiliza-se a Global Optimization Toolbox.Para mais informações, visite http://www.maplesoft.com/products/toolboxes.

Interface Apontar-e-Clicar

O método básico para a resolução de problemas de otimização é o Optimization Assistant.

Para iniciar o Optimization Assistant:

• Do menu Tools, selecione Assistants e depois Optimization.



O Maple insere a chamada de seqüência Optimization[Interactive]() (no modo Planilha) e inicia oOptimization Assistant. Veja a figura 4.8.

Figura 4.8: Optimization Assistant

Para resolver um problema:

1. Entrar com uma função objetivo, os vínculos e os limites.

2. Selecionar o botão Minimize ou Maximize.

3. Clicar o botão Solve. A solução é exibida na caixa de texto Solution.

Você pode também entrar com o problema (função objetivo, vínculos e limites) na chamada de seqüência.

Por exemplo, encontre o máximo de sujeita aos vínculos

>

(4.84)



Depois de encontrar a solução, você pode fazer o gráfico dela. Para fazer o gráfico da solução:

Na janela do Optimization Assistant, clique o botão Plot. A janela do Optimization Plotter

é mostrada. Veja a figura 4.9.

Figura 4.9: Janela Optimization Assistant Plotter

Para informações sobre algoritmos usados para resolver problemas de otimização, consulte a página

de ajuda ?Optimization/Methods.

Grandes Problemas de Otimização

O Optimization Assistant aceita entradas em forma algébrica. Você pode especificar a entrada



em outras formas descritas na página de ajuda ?Optimization/InputForms, em chamadas de

seqüência de comandos.

A forma de Matriz , descrita na página de ajuda ?Optimization/MatrixForm, é mais complexa mas

oferece maior flexibilidade e eficiência.

Por exemplo, resolver o programa quadrático:

maximizar sujeito a , onde é o vetor de variáveis do problema (problem

variables).

Definir o vetor coluna, c, da função objetivo quadrática.

>

Definir a matriz simétrica Hessiana, H, da função objetivo quadrática.

>

Definir a matriz A, a matriz dos coeficientes para a inequação linear dos vínculos.

>

Definir o vetor coluna b, a inequação linear dos vínculos.

>

O comando QPSolve resolve programas quadráticos.

>

(4.85)



Note: Para informações sobre a criação de matrizes e vetores (incluindo como usar a paleta Matrixpara criar matrizes facilmente), veja Álgebra Linear (pág. 110).

Para informação adicional sobre realização eficiente de computações, consulte a página de ajuda

?Optimization/Computation.

Suporte de Arquivo MPS(X)

Para importar programas lineares de um arquivo de dados padrão MPS(X), use o comando Import-MPS.

Informação Adicional

Para uma lista completa de comandos e outras informações sobre o pacote Optimization , consulte a

página de ajuda ?Optimization.

4.6 Estatística

O pacote Statistics é uma coleção de comandos e o apontar-e-clicar Data Analysis Assistant—consulte a página de ajuda ?Statistics[InteractiveDataAnalysis]—para realização de computações

em estatística matemática e análise de dados. O pacote dá suporte a uma ampla gama de tarefas

estatísticas comuns, incluindo análise de dados quantitativa e gráfica, simulação e ajuste de curva.

Além das ferramentas padrão de análise de dados, o pacote Statistics provê uma gama de ferramentas

simbólicas e numéricas para computação com variáveis randômicas. O pacote suporta mais de 35

principais distribuições de probabilidade e pode ser estendido para incluir novas distribuições.

Distribuições de Probabilidade e Variáveis Randômicas

O pacote Statistics dá suporte a:

• Distribuições contínuas, que são definidas junto à reta real pelas funções de densidade de

probabilidade. O Maple suporta muitas distribuições contínuas, incluindo a normal, Student-t, Laplace e distribuições logísticas.



• Distribuições discretas, que têm probabilidade não-nula somente em pontos discretos. Uma distribuição discreta é definida por uma função de probabilidade. O Maple suporta muitas distribuições discretas,

incluindo as distribuições de Bernoulli, geométrica e de Poisson.

Para uma lista completa de distribuições, consulte a página de ajuda ?Statistics/Distributions.

Você pode definir varáveis randômicas especificando uma distribuição na chamada ao comando

RandomVariable

>

>

Encontre a função de distribuição de probabilidade para X. (Para informações sobre computações

estatísticas, veja Computações Estatísticas (Statistical Computations) (pág. 144)).

>

representa a função delta de Dirac. Para mais informações, consulte a página de ajuda ?Dirac.

Adicionando Distribuições Personalizadas (Adding Custom Distributions)

Para adicionar uma nova distribuição, especifique uma distribuição de probabilidade na chamada ao

comando Distribution.

(4.86)



>

?deveria ser

>

Para construir uma função por parte contínua em 1-D Math, use o comando piecewise, por exemplo, t -> piecewise(t < 0, 0, t < 3, 1/3, 0).

> U:=Distribution(PDF=(t-> piecewise(t<0,0,t<3,1/3,0)));

??

se mudamos de >

temos

(4.87)

Error, `>` unexpected

>

> U:=Distribution(PDF=(t-> piecewise(t<0,0,t<3,1/3,0)));

(4.88)



Definir uma nova variável randômica com esta distribuição.

>

Calcular o valor médio da variável randômica.

>

Para mais informações, consulte a página de ajuda ?Statistics/Distributions.

Computações Estatísticas

Além das funções básicas, como valor médio, mediana, desvio padrão e percentil, o pacote Statistics contém comando que computa, por exemplo, a amplitude interquartil e o fator de risco.

Exemplos

Exemplo 1

Computar a amplitude média absoluta do interquartil da distribuição de Rayleigh com parâmetro de escala 3.

(4.89)

(4.90)



>

Para computar o resultado numericamente:

• Especificar o opção 'numeric'.

>

Exemplo 2

Computar o fator de risco (hazard rate) da distribuição de Cauchy com parâmetros de localização e

escala a e b em um ponto arbitrário t.

>

Você pode especificar um valor para o ponto t.

>

(4.91)

(4.92)

(4.93)

(4.94)



Você pode também especificar para que o Maple compute o resultado numericamente.

>

Para mais informações, consulte a página de ajuda ?Statistics/DescriptiveStatistics.

Fazendo Gráficos

Você pode gerar gráficos estatísticos usando os comandos de visualização no pacote Statistics.

Os gráficos disponíveis incluem:

• Gráfico de barras (Bar chart)

• Gráfico de freqüência (Frequency plot)

• Histograma

• Pie Chart

• Scatter Plot

Por exemplo, criar um gráfico de dispersão (scatter plot) para uma distribuição de pontos que variam de

por um pequeno valor determinado por uma amostra (sample) normalmente distribuída.

>

>

>

>

(4.95)



>

Para informações sobre opções, como title, veja Gráficos e Animação (Plots and Animations)

(pág. 157).

Para ajustar a curva aos dados dos pontos, inclua o parâmetro de equação opcional fit .

Usando o comando plots[display], criar um gráfico que contém:

• O gráfico de dispersão (Scatter plot) dos dados de pontos

• O polinômio quártico (do quarto grau) ajustado aos dados de pontos:

• Função



>

>

>

Para mais informações sobre gráficos estatísticos, consulte a página de ajuda ?Statistics/Visualization.

Para um sumário (overview) sobre gráficos, veja Plots and Animations (pág. 157).

Informações Adicionais

Para mais informações sobre o pacote Statistics, incluindo análise de regressão, estimativa, manipulação de dados e suavização (smoothing) de dados, consulte a página de ajuda ?Statistics.



4.7 Ensinando e Aprendendo com o Maple

A tabela 4.10 fornece os recursos para instrutores e estudantes. Para recursos adicionais, veja a tabela

4.1 (pág. 99).

Tabela 4.10: Recursos para Instrutores e Estudantes

Recursos Descrição Student Packages and Tutors

O pacote Student contém funcionalidades

computacionais e visualização (gráfico e animação)

e interfaces apontar-e-clicar para explicar e explorar

conceitos (Tools>Tutors). Para mais informações, consulte a página de ajuda ?Student.

Dicionário de Matemática e Engenharia

(Mathematics and EngineeringDictionary)

O sistema de ajuda Maple (The Maple Help System)

tem um dicionário integrado com mais de 5000

termos matemáticos e de engenharia. Você pode

procurar o dicionário usando o mecanismo do



sistema de ajuda (Help System)(Help>Manuals, Dictionary, and more>Dictionary)

Maple Application Center

O Maple Application Center contém tutoriais e

aplicações que ajudam os instrutores a iniciar o uso

do Maple e a usar o Maple em sala de aula. Navegue

pelos vários recursos nas categorias de Education e Education PowerTools.(http://www.maplesoft.com/applications)

Maple Student Center

O Maple Student Center contém tutoriais e

aplicações que ajudam os estudantes a aprender

como usar o Maple, explorar conceitos matemáticos

e resolver problemas. Os recursos disponíveis incluem:

• Guia de estudo (Study guides) - Lições completas

com exemplos para cursos acadêmicos, incluindo



Pacotes Student e Tutores

O pacote Student é uma coleção de sub-pacotes para ensinar e aprender Matemática e assuntos

relacionados. O pacote Student contém pacotes para uma variedade de assuntos, incluindo pré-cálculo,

cálculo e álgebra linear.

O instrutores podem:

• Ensinar conceitos sem perder o foco com os mecanismos das computações.

• Criar exemplos e atualizá-los durante a lição para demonstrar diferentes casos ou mostrar o efeito da

variação de um parâmetro.

• Criar gráficos e animações para visualizar conceitos, por exemplo, a relação geométrica entre uma

função matemática e suas derivadas (Tools>Tutors>Calculus - Single Variable>Derivatives).

pré-cálculo e cálculo.Por exemplo, o Guia de Estudo

Pré-Cálculo Interativo (Interactive Precalculus

Study Guide) contém problemas trabalhados,

cada um resolvido como em um livro-texto padrão,

usando comandos e interfaces gráficas usuais do Maple

• Lições de cursos livres para muitos assuntos

incluindo pre´- cálculo para cálculo vetorial; escola

superior; abstratos e álgebra linear; engenharia; física;

equações diferenciais; criptografia e mecânica clássica. (http://www.maplesoft.com/academic/students)



Veja a figura 4.10.

Figura 4.10: Student[Calculus1] Derivatives Tutor

Os estudantes podem:

• Realizar computações passo-a-passo, por exemplo, computar uma derivada pela aplicação das regras

de derivação usando comandos ou um tutor (Tools>Tutors>Calculus - Single Variable> Differentiation Methods). Veja a figura 4.11.

• Realizar computações.

• Explorar conceitos visualmente.



Figura 4.11: Tutor de Métodos de Derivação - [Calculus1] Differentiation Methods Tutor

Os Tutores provêm interfaces apontar-e-clicar para a funcionalidade no pacote Student.

Para iniciar um tutor:

1. Do menu Tools, selecione Tutors.

2. Selecione um assunto, por exemplo, Calculus - Multi-Variable.

3. Selecione um tutor, por exemplo, Gradients.

O Maple insere a chamada de seqüência Student[MultivariateCalculus][GradientTutor]() (no modo

Planilha), e inicia o Multivariate Calculus Gradient Tutor.

Pela rotação do gráfico tri-dimensional, você pode mostrar que o gradiente aponta na direção do

maior aumento da superfície ( veja a figura 4.12) e mostrar a direção do vetor gradiente no plano

x-y ( veja figura 4.13).



Figura 4.12: Multivariate Calculus Gradient Tutor



Figura 4.13: Tutor Multivariate Calculus Gradient Mostrando o Plano x-y

Quando você fecha o tutor, o Maple insere o gráfico 3-D.

>

Muitos comandos do pacote Student podem devolver um valor, expressão matemática, gráfico ou

animação. Isto permite a você computar a resposta final, ver a fórmula geral aplicada a um problema

específico ou visualizar o conceito fundamental.

Por exemplo, o comando Student[VectorCalculus][LineInt] (integral de linha) pode devolvero seguinte.

• O gráfico que indica visualmente o campo vetorial, o caminho de integração (path of integration) e os

vetores tangentes ao caminho.



• Intergral de linha (line integral) não avaliada

• Valor numérico da integral de linha

>

>



>

Para avaliar a integral devolvida pela chamada de seqüência output = integral, use o comando value.

>

Por padrão, o comando LineInt devolve o valor da integral.

>

Para mais informações sobre o pacote Student, consulte a página de ajuda ?Student.

(4.96)

(4.97)

(4.98)



Documents

cap 04 - Computações Matemáticas