Cap. 2. Deformação - Departamento de Engenharia Civil · exemplo, a instabilidade. Usam-se por isso os termos “a teoria de 1ª ordem” e “a teoria de 2ª ordem”. Na teoria

Sebenta da Disciplina RM-LEG, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2018

Cap. 2. Deformação

1. Deslocamento

2. Gradiente dos deslocamentos

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

3. Tensor das pequenas deformações

3.1 Teoria geometricamente linear

3.2 Significado físico das pequenas deformações

3.2.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

3.2.2 Variação angular do ângulo (Distorção)

3.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

4. Deformação volúmica

5. Medição das deformações: extensómetros, rosetas

6. Equações de compatibilidade

7. Forma matricial das equações introduzidas

8. Estados de deformação

9. Vector das deformações


A deformação é uma das repostas do meio contínuo ao carregamento. A sua introdução e

definição não é fictícia como no caso das tensões, porque é possível medi-la e visualizá-la.

A aplicação do carregamento causa que cada vizinhança em torno de um ponto interior do meio

contínuo muda:

- a sua posição através da translação e rotação do “corpo rígido”

- o seu volume representado pela parte volúmica do tensor das deformações (definido neste

capítulo)

- a sua forma representada pela parte desviadora do tensor das deformações (definido neste

capítulo)

1. Deslocamento

O deslocamento do ponto P do meio contínuo, define-se como o vetor que liga a posição inicial

desse ponto P com a sua posição final P , ou seja, com a posição onde o ponto se encontra

depois da aplicação do carregamento. Tal como a definição de um vetor permite, é suficiente

identificar a posição do ponto P , inicial e final, e não é necessário introduzir uma vizinhança em

torno do ponto P .

O campo de deslocamento é “visível”, porque pode-se medir pelo menos nos pontos de

superfície do meio contínuo.

Introduz-se a designação ( ), ,T

u u v w= para evitar índices. Salienta-se que é necessário ter

cuidado, e de contexto, distinguir o vetor de deslocamento u da sua primeira componente u .

2. Gradiente dos deslocamentos

Figura 1


O gradiente dos deslocamentos M define-se usando pontos vizinhos na posição original e

final (deformada).

Na figura 1, representa-se um corpo na sua posição inicial (à esquerda) sem o carregamento

aplicado. Escolhem-se 2 pontos vizinhos de maneira que o ponto Q esteja contido na

vizinhança elementar do ponto P . No entanto, para uma melhor visualização os dois pontos

representam-se bastante afastados. Após a aplicação do carregamento, o corpo muda a sua

posição, o seu volume e a sua forma. O mesmo é válido para cada vizinhança elementar, assim,

após a aplicação do carregamento, os pontos P e Q encontram-se nas novas posições,

designadas P e Q .

O vetor que liga os dois pontos P e Q designa-se ( ), ,T

s x y z = e as suas

componentes são dadas por Q Px x x = − ,

Q Py y y = − , Q Pz z z = − . De acordo com a

definição do deslocamento, Pu P P= − e

Qu Q Q= − . Fazendo uma paralela ao vetor Pu que

passa pelo ponto Q , observa-se facilmente da figura acima, que a variação do deslocamento

u , pode-se escrever como

u s s = −

ou seja

s s u = +

Diz-se que não há deformação quando s s é verdadeiro para qualquer escolha dos

pontos P e Q . Neste caso, apenas pode existir o movimento do corpo rígido. No entanto, não

se pode concluir diretamente que neste caso se trata do corpo rígido; isso apenas seria possível

se não ocorrerem deformações para qualquer carregamento.

Em seguida aproxima-se a variação do deslocamento. Tal como no capítulo anterior, para esta

aproximação usa-se o primeiro termo da expansão de Taylor. A variação efetua-se ao longo de

uma direção arbitrária, e não como no capítulo anterior, apenas na direção do eixo cartesiano.

Por esta razão é necessário efetuar as três derivadas parciais em cada componente, ou seja

u u uu x y z

x y z

= + +

e analogamente

v v vv x y z

x y z

= + +

,

w w ww x y z

x y z

= + +


Na forma matricial por isso

s s u s M s = + = +

em que M se designa o gradiente dos deslocamentos.

u u u

x y z

v v vM

x y z

w w w

x y z

=

O gradiente dos deslocamentos é um campo tensorial de segunda ordem, porque de acordo

com a lei do quociente, as suas componentes são obtidas pelas derivadas de um campo vetorial,

ou seja, tensorial de primeira ordem.

É importante realçar que na expansão de Taylor foram utilizados apenas os dois primeiros

termos (constante e linear) e os outros foram desprezados. É possível estabelecer teorias mais

exatas, envolvendo mais termos nesta expansão.

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

Para identificar a deformação numa vizinhança elementar, é necessário remover a translação e

a rotação do corpo rígido, deixando assim apenas a variação de forma e de volume. Isso pode-se

fazer do seguinte modo:

( ) ( ) ... V Ds I s M s I s I s = + + + + = + + +

Define-se como o tensor das deformações, a parte simétrica do gradiente dos deslocamentos,

ou seja

( ) / 2TM M = +

e como o tensor das rotações a parte antissimétrica do gradiente dos deslocamentos, ou seja

( ) / 2TM M = −


1 1 1 10

2 2 2 2

1 10

2 2

u u v u w u v u wu u ux y x z x y x z xx y z

v v v v v w v w

x y z y z y z y

w w w w antissim

x y z z

+ + − − = + + −

0sim

Voltando às equações acima, o movimento do corpo rígido representa-se pela translação, I , e

pela rotação . A deformação envolve a variação de volume, V que corresponde à

parte volúmica do tensor e a variação de forma, D que corresponde à parte desviadora

do tensor . Neste caso, o tensor chama-se o tensor das pequenas deformações.

3. Tensor das pequenas deformações

O tensor das pequenas deformações, depende linearmente nas componentes de gradiente dos

deslocamentos. Por isso, o tensor das pequenas deformações é possível usar sempre, quando os

termos do gradiente dos deslocamentos são pequenos, ou seja, quando 1 ,ijM i j .

As componentes do tensor das deformações não têm unidade, como se pode concluir da sua

definição. Visto que na teoria das pequenas deformações os valores costumam ser bastante

pequenos, usa-se o prefixo 610 −= para aumentar a grandeza do número. Salienta-se que

não é unidade e lê-se como “micro”.

3.1 Teoria geometricamente linear

O tensor das pequenas deformações é uma função linear em termos de gradiente dos

deslocamentos, ou seja, uma função linear em derivadas de componentes do vetor dos

deslocamentos. Esta linearidade designa-se linearidade geométrica ou cinemática. Usa-se

também o termo “a teoria das pequenas deformações”.

Nota-se que as pequenas deformações não impedem deslocamentos grandes. Por exemplo, o

movimento do corpo rígido pode representar deslocamentos grandes, no entanto, o tensor das

deformações é nulo. Define-se por isso também “a teoria dos pequenos deslocamentos”. A

teoria dos pequenos deslocamentos implica a teoria das pequenas deformações, mas não vice-

versa. Na teoria dos pequenos deslocamentos, não se costuma distinguir a forma do corpo

original da deformada, quer para a determinação das propriedades, ou para escrever as

condições de equilíbrio. Salienta-se que isso já foi utilizado nas disciplinas anteriores em que se

determinavam as reações das estruturas reticuladas, ou seja, as equações de equilíbrio

escreveram-se na posição indeformada da estrutura.


Implementando esta restrição, não se conseguem analisar outros fenómenos como por

exemplo, a instabilidade. Usam-se por isso os termos “a teoria de 1ª ordem” e “a teoria de 2ª

ordem”. Na teoria de 2ª ordem, as equações de equilíbrio escrevem-se admitindo a forma

deformada do corpo. Note-se que a palavra “deformada” não corresponde ao termo

“deformação”. O corpo na posição deformada corresponde ao corpo constituído pelos pontos

na sua posição final, ou seja, aplicando o campo dos deslocamentos. Visto que os pontos de

superfície se mantém na superfície após a aplicação do carregamento e o corpo se mantém

contínuo, a posição deformada pode-se obter usando a posição “deslocada” de superfície,

aplicando o vector dos deslocamentos a cada ponto de superfície.

3.2 Significado físico das pequenas deformações

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

As componentes normais do tensor das pequenas deformações (x ,

y , z ) chamam-se

extensões. O significado físico representa a variação relativa de um comprimento infinitesimal,

nomeadamente num dado ponto P , P

x identifica a variação relativa do comprimento de uma

fibra elementar paralela ao eixo x . O valor positivo corresponde ao alongamento, e o valor

negativo ao encurtamento. Tal como no caso das tensões, o sinal da componente normal não

depende do referencial.

Na realidade, na teoria dos pequenos deslocamentos, na enumeração da variação relativa do

comprimento, usa-se o comprimento projetado à direção original, tal como especifica a

derivada x

u

x

=

. Em mais pormenores:

Figura 2

Na figura 2 representa-se a posição inicial da fibra infinitesimal na direção do eixo cartesiano x ,

identificada pelos pontos próximos P e Q , e assume-se que o seu comprimento L é

infinitesimal. A variação relativa da distância destes pontos após a deformação PQ é L

L

.

Pode-se provar que x

u L

x L

=

e assim, confirmar o significado físico descrito acima.

Prova:


De acordo com a definição

0limP

xPQ

P

u P Q PQ

x PQ

→

−= =

Pretende-se provar que:

0 0lim limPQ PQ

P Q PQ P Q PQ

PQ PQ→ →

− −

Assumiu-se que:

( ),0,0s x = , L s x= =

Por isso, a expressão acima pode-se escrever como

s s s xP Q PQ

s xPQ

− − −= =

Usando a definição do tensor das pequenas deformações

2 2 2

2 22 2T

xs s s x s s x − = − = =

e voltando à expressão anterior

2 22 2

21 1 1 1 1 1

s s xs x s

x x x x

− − = − − + − = + −

Substituindo

22

22

2 2

21 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1x

x x x x x

s x x

x x

− + − = + − = + − + + − = + − =

Usando agora a definição

x

u

x

=

pode-se concluir que a variação do comprimento de uma fibra de comprimento finito paralela

ao eixo x é dada por


( )0 0, ,f

i

x

x f ix

L x y z dx u u = = −

onde 0 0,y z identificam a sua posição em relação aos outros eixos cartesianos. Ou seja, sabendo

os deslocamentos horizontais dos pontos nas extremidades, é possível simplesmente subtraí-

los. Não sabendo estes deslocamentos, é necessário efetuar a integração em função de x .

Analogamente para fibras paralelas aos outros eixos cartesianos.

No caso de distribuição uniforme de deformações:

f f

i i

x x

x x xx x

L dx dx L = = =

ou seja, pode-se generalizar que L

L

= , L L = , ( )1L L L L = + = +

4.3.2 Variação do ângulo

As componentes tangenciais do tensor das pequenas deformações chamam-se distorções e

correspondem às variações angulares dos ângulos.

Assume-se um ângulo delimitado pelas semirretas identificadas pelos versores unitários Ar

e Br . Pode-se provar que

( )2 cos

sin

A B

T

A B r rr r

− + =

Quando o ângulo é originalmente reto, a fórmula simplifica-se para

2T

A Br r =

Por exemplo em 2D, alinhando as semirretas com o referencial cartesiano

( )1,0T

Ar = , ( )0,1T

Br =

2 2T

A B xyr r = =

E por isso, o dobro da componente tangencial representa a variação angular do ângulo

originalmente reto. Por esta razão, e outras vantagens que serão abordadas no próximo

capítulo, introduz-se a distorção de engenharia, 2xy xy

u v

y x

= = +

.


Figura 3

Aproximando as derivadas pelas variações, tan tanxy

u v

y x

+ + +

de acordo

com Figura 3. Para eliminar as componentes normais do tensor das deformações, no esboço da

Figura 3 assumiu-se que as fibras paralelas aos eixos cartesianos não sofrem alongamentos. Da

Figura 3 pode-se facilmente concluir, que xy = + corresponde à variação total do ângulo

formado pelos eixos cartesianos, como já dito anteriormente, e que a distorção positiva diminui

o ângulo, e a distorção negativa aumenta-o.

Em resumo tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto.

3.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

Figura 4

Na figura 4 podem-se identificar os seguintes passos:


O retângulo elementar desloca-se da sua posição inicial (cinzento) e deforma-se para ocupar a

sua posição final (vermelho). Os pontos que designam os vértices na posição inicial: , , ,A B C D

ocupam na posição deformada posições , , ,A B C D . Para simplificar, não se apresenta a

análise do ponto D .

Ao longo desta mudança, o retângulo sofre a translação (verde), a rotação (azul) e a deformação

(vermelho). A rotação deve assegurar que os ângulos no vértice A são iguais. A translação e a

rotação correspondem ao movimento do corpo rígido, ou seja, o retângulo não altera nem a sua

forma nem o seu volume. A deformação poder-se-ia separar na parte volúmica (alteração do

volume) e desviadora (alteração de forma), mas neste momento isso não é importante. Na

teoria dos pequenos deslocamentos, as alterações de deslocamento são pequenas e podem-se

aproximar pelas primeiras derivadas. Já foi explicado no capítulo anterior, que, quando a

alteração se efetua somente na direção de um eixo cartesiano, a derivada efetua-se apenas

segundo esta variável.

Pode-se facilmente concluir que no caso dos lados infinitesimais, mas unitários, os

deslocamentos dos vértices que definem a forma deformada, correspondem diretamente às

deformações, porque L L = = como 1L = . Na visualização das deformações retira-se

assim a parte de movimento do corpo rígido, ou seja, A A= e o retângulo representado a azul

roda-se para que os lados coincidam com o referencial. Assumindo ainda os lados unitários,

pode-se concluir que a visualização das deformações no quadrado elementar unitário obedece

às regas da Figura 5, onde se assume que 0y .

As fórmulas para esta representação escrevem-se

x xyu x y = + e y xyv y x = +

e poder-se-iam deduzir pela integração do campo de

deformações uniforme.

Figura 5

4. Deformação volúmica

A representação das deformações em 2D é relativamente fácil, no entanto em 3D apresentava

complicações desnecessárias. Mas, no referencial principal, onde as distorções são nulas, pode-

se identificar a variação de volume do seguinte modo: assume-se um paralelepípedo elementar

de lados paralelos aos eixos principais. O volume inicial do paralelepípedo é V x y z= e o

volume após a deformação é

( )( )( )

( )

1 2 3

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 1 1

1 2 2 2

V x y z

x y z

= + + +

= + + + + + + +


Desprezando os termos de ordem maior, a variação do volume é

( )

( )

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 2 3 1

2 2 2V V V x y z

V I V

= − = + + + + + +

+ + =

onde 1I é o primeiro invariante fundamental do tensor das deformações. Sendo o invariante,

pode-se concluir que o mesmo resultado seria obtido no referencial arbitrário e que a definição

da deformação volúmica é

1 2 3V x y z = + + = + +

O que está em conformidade com o facto de que as variações de volume não são afetadas pelas

distorções, como especificado no início deste capítulo. Depois escreve-se

VV V = analogamente como xL L =

Recorda-se ainda que a deformação desviadora resulta em alteração de forma num volume

inalterado. Sabe-se que o traço do desviador é nulo e que mais uma vez confirma a deformação

volúmica nula.

5. Medição das deformações: extensómetros,

rosetas

As medições de deformações efetuam-se nas superfícies de componentes. Usando a

extensometria, tem que se escolher uma zona em que há deformações uniformes, porque as

várias medições efetuadas nesta zona têm que corresponder ao mesmo “ponto”. Por esta razão

os extensómetros devem-se colocar suficientemente longe de extremidades e de pontos de

aplicação de carga. O tensor de deformações em 2D tem 3 componentes diferentes e por isso é

necessário colocar pelo menos 3 extensómetros para medir 3 valores. O conjunto de 3

extensómetros forma uma roseta. Um extensómetro consegue apenas registar a variação de

comprimento e por isso mede apenas a extensão na sua direção (Figura 6).

Figura 6


Os resultados das medições representam depois o problema que já foi abordado na parte de

cálculo tensorial, ou seja, determinar as componentes do tensor sabendo 3 valores normais nas

3 direções diferentes, o que se esquematiza na Figura 7.

Figura 7

Este problema resulta num sistema de 2 equações para 2 incógnitas y e

xy :

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin 2 sin cosb a y xy = + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin 2 sin cosc a y xy = + + + + + +

que se pode facilmente resolver.

Às vezes colocam-se numa roseta 4 extensómetros para reduzir os erros de medição.

6. Equações de compatibilidade

As equações de compatibilidade chamam-se também: equações de integrabilidade,

continuidade ou admissibilidade física. O problema coloca-se da seguinte maneira: Sabendo o

campo dos deslocamentos, é possível de forma inequívoca determinar o campo das

deformações pelas derivadas. No entanto, sabendo o campo das deformações, já não é possível

concluir diretamente se o campo dos deslocamentos existe. O problema está no número de

componentes, ou seja, como a deformação tem 6 componentes e o deslocamento 3, isso

significa que para determinar o campo dos deslocamentos usando o campo das deformações,

temos que resolver usando integrações 6 equações diferenciais com 6 funções de posição

conhecidas em ordem de apenas 3 funções de posição incógnitas. Este problema pode induzir

uma contradição.

Quando o campo de deslocamentos não existe, por outras palavras, quando não existe na forma

de uma função contínua, estamos perante a violação da continuidade do meio contínuo, e por

isso as designações de “continuidade” ou de “admissibilidade física”. O outro termo

(integrabilidade) está ligado à fundamentação matemática. O campo de deslocamentos

determina-se pela integração, ou seja, se existir, as equações deformação-deslocamento são


integráveis de modo a permitirem a determinação do campo dos deslocamentos. Fisicamente,

quando o campo de deformações é compatível, isso significa que ao representar as formas

deformadas de todas as vizinhanças, não se formam vazios entre elas.

Diz-se que o campo de deformação é compatível quando se cumprem as condições de

compatibilidade. Estas equações são de dois tipos: no primeiro tipo há 3 equações, cada uma

num plano coordenado e no segundo tipo há 3 equações que ligam uma direção com os 3

planos coordenados. A primeira equação do primeiro grupo é

2 22

2 2

xy yx

x y y x

= +

e do segundo é

2

2yz xyx zx

y z x x y z

= − + +

Restantes equações obtêm-se pela permutação positiva de índices.

Note-se que todos os termos representam segundas derivadas, e por isso o campo de

deformação linear é sempre compatível, porque depois de duas derivadas cada termo nas

equações é nulo.

Considerando as deformações apenas em 2D, é necessário verificar apenas uma equação de

compatibilidade nesse mesmo plano. Reduzindo a 1D, não há equações de compatibilidade

porque a uma componente de deformação corresponde uma componente de deslocamento e

não existe a contradição acima referida.

7. Forma matricial das equações introduzidas

Verifica-se facilmente que as equações de equilíbrio do capítulo anterior podem-se escrever na

forma:

0f + =

Em que a matriz de operadores é ( )/ , / , /T

x y z = .

No entanto, já não é possível escrever as equações deformações-deslocamento numa forma

compacta usando a matriz de componentes . Torna-se mais vantajoso escrever as

componentes na forma vetorial e as vantagens desta formulação tornam-se ainda mais claras no

próximo capítulo. Define-se:


, , , , ,T

x y z yz xz xy =

E analogamente

, , , , ,T

x y z yz xz xy =

Chama-se à atenção que a ordem das componentes de 2 índices segue a seguinte regra:

yz (falta x ), xz (falta y ), xy (falta z ). Chama-se ainda à atenção que as componentes de

deformação de 2 índices incluem a distorção de engenharia, , ou seja, o dobro da distorção,

, que é considerada como a componente tensorial. Esta forma torna-se ainda mais vantajosa

na descrição das equações constitutiva, que é o tema que será abordado no próximo capítulo.

Com esta definição as equações deformação-deslocamento escrevem-se:

T

u =

A definição de matriz de operadores pode-se facilmente deduzir

/ 0 0 0 / /

0 / 0 / 0 /

0 0 / / / 0

x z y

y z x

z y x

=

Para se manter a uniformidade nas designações, escrevem-se as equações de equilíbrio na

forma

0f + =

E o equilíbrio na fronteira, em vez de p n=

ˆp n =

Em que a matriz de componentes da normal tem a forma semelhante com a matriz de

operadores

0 0 0

ˆ 0 0 0

0 0 0

x z y

y z x

z y x

n n n

n n n n

n n n

=

Para as equações de compatibilidade, existem duas formas possíveis, no entanto nenhuma usa

matrizes de operadores já introduzidos.


0T

= com

0

0

0

z y

z x

y x

−

= −

−

e 2 0 =

em que a matriz 2 é facilmente deduzível e não se vai apresentar por razões de

simplificação.

8. Estados de deformação

Em analogia com estados de tensão, definem-se os estados de deformação. Os mais comuns

representam-se no quadrado elementar unitário nas seguintes formas:

extensão pura

distorção pura

distorção pura com rotação

deformação volúmica pura

9. Vetor das deformações

Analogamente com o vetor das tensões pode-se definir o vetor das deformações:

n =


A aplicabilidade desta definição é reduzida, porque não tem significado físico importante.

Usa-se componente normal intrínseca no sentido da extensão numa dada direção definida pelo

versor r

( ) T T

rr r r r = =

e a variação do ângulo originalmente reto, definido pelas semirretas cujos versores são Ar e

Br , representa a componente intrínseca tangencial

2 2A B B Ar r r r = =

Recorda-se que é necessário utilizar o dobro da multiplicação semelhante à usada na parte das

tensões, porque, devido ao significado físico, habitualmente determina-se a alteração do ângulo

completo, ou seja, o análogo da distorção.

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