45

P

le

3. PILARES USUAIS DE EDIFCIOS

3.1 Conceitos Bsicos: 3.1.1 ndice de Esbeltez ( )

O ndice de elbeltez ( ) de um pilar no cintado definido pela relao: cg

e

i

l=

le = comprimento de flambagem do pilar; icg = raio de girao;

12

hicg = para sees retangulares;

4

dicg = para sees circulares;

h = altura da seo da direo considerada; d = dimetro da seo transversal; 3.1.2 Carga de flambagem ou carga crtica de Euler

o menor valor da fora axial de compresso, para o qual so possveis duas formas de equilbrio: a forma reta, de equilbrio instvel e a forma curva, de equilbrio estvel. Assim, a carga de flambagem, Pcr, da barra ao lado, para valores do ndice de esbeltez maiores do que um certo valor limite, 1 , dada pela expresso:

2

2

l

ccicr

IEP

=

3.1.3 Comprimentos de flambagem

Os valores dos comprimentos de flambagem para os casos usuais de vinculaes so:

3.1.4 Estruturas indeslocveis

So estruturas suficientemente rgidas para as quais pode-se admitir seus ns como ns fixos.

ll 2=e ll =e2

ll =e

ll 7,0=e ll =e

l

46

Para fins de simplificao da anlise estrutural, pode-se dividir a estrutura em sub-estruturas em que alguns elementos participam da absoro dos esforos horizontais (ventos) e outros no. As sub-estruturas que participam na absoro dos esforos horizontais so denominadas de sub-estruturas de contraventamento; as demais so denominadas sub-estruturas contraventadas. Os pilares pertencentes a estas sub-estruturas so denominados pilares contraventados. 3.2 Classificao dos pilares contraventados:

3.2.1 Quanto posio

a) Pilares intermedirios: So aqueles em que as reaes de apoio das vigas que ele suporta podem ser admitidas

centradas, considerando desprezveis os momentos fletores a eles transmitidos. Em geral, os pilares internos de um edifcio, interceptados por vigas contnuas em duas direes correspondem a esta classificao.

A situao bsica de projeto dos pilares intermedirios de compresso centrada.

b) Pilares de extremidade: Classifica-se como pilar de extremidade aquele que recebe momento fletor,

proveniente da viga, em uma s direo.

A situao bsica de projeto, para este caso, de flexo normal composta.

c) Pilares de canto:

So aqueles que apresentam vigas com continuidade interrompida nas duas direes principais; logo, a situao bsica de projeto de flexo oblqua composta.

3.2.2 Quanto esbeltez ( )

a) Pilar curto: 1 b) Pilar medianamente esbelto: 901 < c) Pilar esbelto: 90>

47

Isup

IinfIvig

0,5l

0,5l

b

h

e

1

1

5,1225 += , sendo 9035 1 b

e1 = excentricidade de primeira ordem; desconsidera-se a excentricidade acidental (item 3.3) h = altura da seo transversal do pilar na direo considerada. Determinao de b :

a) Pilares biapoiados sem cargas transversais: 4,04,06,0 +=a

bb M

M

Ma e Mb so os momentos de 1 ordem nos extremos do pilar; Ma o de maior valor absoluto; Mb o momento na outra extremidade: ser positivo se tracionar a mesma face que Ma e negativo, caso contrrio. b) Pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: 0,1=b

c) Pilares em balano: 85,02,08,0 +=a

cb M

M

Ma o momento de primeira ordem no engaste; Mc o momento de primeira ordem no centro do pilar. d) Pilares biapoiados ou em balano com momentos menores que o momento mnimo:

0,1=b mnmn eNM = 3.3 Excentricidades a considerar:

3.3.1 Excentricidade acidental ( )ae

Visa a considerao das imperfeies geomtricas locais (desaprumo do pilar): 400

eae

l=

3.3.2 Excentricidade inicial ( )ie

verificada nos pilares de extremidade e de canto, oriunda da ligao monoltica da viga que se interrompe no pilar considerado.

Considere-se o prtico plano de um edifcio de mltiplos andares:

A NBR-6118 admite uma soluo simplificada para os momentos atuantes Msup, Minf e Mvig, baseado no seguinte esquema:

M i,sup

1 M 2

i,inf

Mviga(i +1)

VIGA

(i -1)

i

l

1 M2

i,sup

M i,inf

48

Assim:

vigeng rrr

rMM

++=

supinf

infinf

vigeng rrr

rMM

++=

supinf

supsup

+=

r

rrMM engvig

supinf

vig

vigvig

Ir

l

=

4

sup

supsup

6

l

Ir

=

inf

infinf

6

l

Ir

=

No caso da viga possuir um nico tramo, o esquema fica:

e o ndice de rigidez fica: vig

vigvig

Ir

l

=

3

Considerando-se agora a influncia da viga do nvel (i+1), os momentos fletores

atuantes no pilar situado entre os nveis i e (i+1) so dados por:

( )inf1sup, 2

1++= iibase MMM ( ) sup,inf1 2

1iitopo MMM += +

e as excentricidades iniciais so:

( )1,

+

=i

basebasei N

Me

( )1,

+

=i

topotopoi N

Me

Com relao seo intermediria, exige-se a considerao de uma excentricidade

inicial dada por:

iaibiai eeee += 4,04,06,0int, eia, eib so as excentricidades iniciais nas extremidades do pilar; eia suposta sempre positiva e maior que ibe

eib negativa se elas forem de sentidos opostos. Outra exigncia da NBR-6118 :

mnai eeee ,11 += he mn += 03,05,1,1 h = altura da seo transversal do pilar na direo considerada, em cm.

49

3.3.3 Excentricidade da segunda ordem Uma fora normal excntrica atuante num pilar provoca deformaes que do origem a uma nova excentricidade de 2 ordem. Para peas medianamente esbeltas, com seo transversal simtrica constante (inclusive a armadura) e fora normal tambm constante ao longo do seu comprimento, a NBR-6118 admite o clculo simplificado de excentricidade de 2 ordem pela expresso:

u

e

re

= 110

2

2

l; sendo: ( ) h

E

f

rs

yd

u +

+=

5,0

0035,01

Com ( )cdc

d

fA

N

=+ 15,0

=

ur

1 Curvatura ltima convencional do eixo da pea

= Fora normal relativa adimensional

Para ao CA-50: ( )410

5,0

7,551 +

=

hr u com h em cm.

3.3.4 Excentricidade suplementar ( )ce No caso de pilares esbeltos faz-se necessria a considerao da deformao lenta ou fluncia; isto pode ser feito utilizando-se a idia de excentricidade suplementar, de primeira ordem, dada por:

( )

+=

1gdcrgd

NP

N

aigc eeee

=ige Excentricidade inicial devida s cargas de longa durao (aes permanentes); =ae Excentricidade acidental; = Coeficiente de fluncia;

=gdN Fora normal de clculo devida s cargas de longa durao; =crP Carga crtica de Euler.

u

Ah

h

RH

MPafc

RH

ck

RH 2;

10046,0

1001

18

2,8 00

31 =

+=

+=

=RH Umidade relativa do ambiente (%); =0h Espessura equivalente do elem. Estrutural (mm).

3.4 Situao de projeto e situaes de clculo:

As situaes bsicas de projeto so as situaes relativas ao tipo de solicitao do pilar em funo de sua classificao quanto a sua posio.

50

As situaes bsicas de projeto podem ser: de compresso centrada (pilar

intermedirio), de flexo normal composta (em x ou y) (pilar de extremidade) ou de flexo

oblqua composta (pilar de canto).

As situaes de clculo so aquelas advindas das excentricidades a serem consideradas

no pilar. So funes de sua esbelteza.

3.4.1 Pilares robustos ou pouco esbeltos:

1 Seu clculo feito sem a considerao das deformaes (excentricidade de 2 ordem) a) Pilares intermedirios: (ei = no acontece em pilares intermedirios)

Situao bsica de projeto: compresso centrada! Situaes de clculo:

xx ee 1= yy ee 1=

axx ee = ayy ee =

.:clculo de Sit. 1

03,05,1,1

,11

f.n.c.x

he

ee

xmn

mnx

+=

.:clculo de Sit. 2

03,05,1,1

,11

f.n.c.y

he

ee

ymn

mny

+=

b) Pilares de extremidade (supondo ixi ee = ):

Situao bsica de projeto: flexo normal composta em x.

y

xNd

ex

hx

x

Ndey

hy

x N d

xNd

eix

51

Situaes de clculo:

.:clculo de Sit. 1,11

1

f.n.c.x

eee

eee

ee

mnxx

axixx

xx

=+=

=

f.o.c.

ee

ee

ee

ee

mny

ayy

yy

ixx

:clculo de Sit. 2

,11

1

=

==

c) Pilar de canto:

Situao bsica de projeto: flexo oblqua composta. Situaes de clculo:

.:clculo de Sit. 1,1

1

f.o.c

ee

ee

eee

ee

mnx

iyy

axixx

xx

=+=

=

f.o.c.

ee

eee

ee

ee

mny

ayiyy

yy

ixx

:clculo de Sit. 2

,1

1

+=

==

OBS.: Em se tratando de pilares curtos, no consideramos as deformaes; assim, as sees a considerar so as de base e topo. 3.4.2 Pilares medianamente esbeltos: < 901 Neste caso, devem-se considerar as deformaes, o que pode ser feito utilizando-se o conceito de excentricidade de segunda ordem, 2e .

xNd

xNd

ex

ey

xNd

eix

eiy

xNd

x

Nd

52

xNd

eix

Considere-se que o pilar tenha a mesma classificao (medianamente esbelto) nas duas direes:

Seo intermediria a) Pilar intermedirio:

Situao bsica de projeto: compresso centrada. Situaes de clculo:

..:clculo de Sit. 1,11

2

21

xf.n.c

ee

eee

eee

mnx

xaxx

xxx

+=+=

f.n.c.y

ee

eee

eee

mny

yayy

yyy

:clculo de Sit. 2,11

2

21

+=

+=

b) Pilares de extremidade

Situao bsica de projeto: flexo normal composta em x. Situaes de clculo:

..:clculo de Sit. 1,11

2

21

xf.n.c

ee

eeee

eee

mnx

xaxixx

xxx

++=

+=

f.o.c.

ee

eee

eee

ee

mny

yayy

yyy

ixx

:clculo de Sit. 2

,11

2

21

+=

+==

x N d

xNd

exx

Ndey

xNd

ex

xNd

ex

ey

53

c) Pilar de canto:

Situao bsica de projeto: flexo oblqua composta. Situaes de clculo:

.:clculo de Sit. 1,

,11

2

21

f.o.c

ee

ee

eeee

eee

yiy

mnx

xaxixx

xxx

=

++=+=

f.o.c.

ee

eeee

eee

ee

mny

yayiyy

yyy

ixx

:clculo de Sit. 2

,11

2

21

++=

+==

Seo de base e topo ( Para pilares de extremidade e canto):

Seguem-se as mesmas situaes de clculo, sem a excentricidade de 2 ordem e2. 3.4.3 Pilares esbeltos: 90>

Seguem-se as mesmas situaes dos pilares medianamente esbelto, acrescidas das excentricidades relativas deformao lenta de primeira ordem. Ressalte-se que no caso de pilares esbeltos, o efeito de segunda ordem no pode ser considerado de forma aproximada, pela excentricidade de segunda ordem. Neste caso, utiliza-se o mtodo geral, baseado na relao ( )rNM 1,, : Requer o uso de um programa computacional. 3.5 Prescries normativas:

3.5.1 Cobrimentos mnimos: dados no curso de concreto I 3.5.2 Dimenses mnimas:

A menor dimenso da seo transversal de um pilar 19cm. Admite-se reduo deste valor, at 12cm, desde que se majore os esforos solicitantes de clculo pelo coeficiente:

0,105,095,1 = bn sendo b a menor dimenso do pilar, em cm. Em qualquer caso, no se admite pilar com rea de seo transversal inferior a

360cm2.

xNd

eix

eiy

x

Nd

ex

eyx

Nd

ex

ey

54

3.5.3 Armaduras longitudinais:

a) Armadura mnima: cmnmns AA = ,

cdc

d

yd

cdmn fA

N

f

f

== %4,015,0

b) Armadura mxima:

cmx A= %8 incluindo a regio de emenda por transpasse.

c) Espaamentos (entre armadura longitudinal):

c1 espaamento mnimo:

agreg

mn

d

cm

e

2,1

2

l

c2 espaamento mximo:

b

cmemx 2

40

onde b = menor dimenso

d) Dimetro mnimo: mm10=l

e) Proteo contra flambagem das barras: Os estribos poligonais garantem contra a flambagem das barras longitudinais situadas

em suas quinas e as por eles abrangidas e situadas no mximo distncia de t20 da quina,

desde que no haja mais de duas barras fora da referida quina.

Observe-se da figura dada que o gancho, afim de que ele se constitua numa quina, deve abraar o estribo. Uma soluo tambm muito comum a adoo de estribos duplos, como representado a seguir.

l b,nec

i +1

i

i -1

8%

t t

t20 t20 t20 t20

55

Emenda por transpasse:

b

necb

cm

l

ll

6,0

15

20

,

3.5.4 Armaduras transversais:

a) Dimetro mnimo:

==

mm

mmmn 3,625,6

5

425

41

l

b) Espaamento:

l12

seo da dimensomenor

20cm

et

Exerccio: Dimensionar o pilar de canto, pertencente a um edifcio de mltiplos andares, no nvel dos pavimentos tipo de seo transversal 25x50, sendo

kNN k 5,1275= cmeyex 560== ll MPafck 25=

50CAao 15,0' =x

x

h

d 10,0

'=

y

y

h

d

Dados das vigas: tramo1 com600;5015 cmVy == l tramos4 com350;4012 cmVx == l

mkNM xeng = 40, mkNM yeng = 60,

22,712

25

12=== xx

hi

43,1412

50

12=== yy

hi

56,7722,7

560 ===x

exx i

l

> 20

x50

25

56

81,3843,14

560 ==y B

h

e

1

1

5,1225 +=

9035

1 B

Determinao de :B - excentricidade inicial

Direo x:

( )inf121

sup, ++== iitopobase MMMM

=

r

rMM engi

sup,sup ;

sup

supsup

6

l

Ir

=

433

sup 17,6510412

2550

12cm

hbI ===

3sup 5,697560

17,651046cmr ==

433

6400012

4012

12cm

hbI viga =

==

34,731350

6400044cm

Ir

viga

vigaviga =

=

=l

cmkNM i =+= 08,1312

4,7315,6972

5,6974000,sup

cmkNMM ibase === 12,196808,13125,15,1 sup,

cmeix 54,15,1275

12,1968 ==

Direo y:

2,2790560

12

502566

3

sup

supsup =

=

=

l

Ir

25,78160012

501533 3 =

=

=viga

vigaviga

Ir

l

cmkNr

rMM engi =+

==

58,263125,7812,27902

2,27906000sup,sup

cmkNM base == 37,394758,26315,1

cmeiy 1,35,1275

37,3947 ==

- excentricidade acidental

400

l=ae cmee ayax 4,1400560 ===

57

xNd

eix

eiy

cmeix 94,24,154,1 =+= cmeiy 50,44,11,3 =+=

Determinao de :,1 mne

he mn += 03,05,1,1 cme mnx 25,22503,05,1,1 =+=

cme mny 0,35003,05,1,1 =+= Observar que, se xe1 ou ye1 fosse menor que o momento mnimo mnxe ,1 ou mnye ,1 , bx ou by seria igual a 1,0. Logo:

4,0

4,04,04,06,0

==

+=by

bx

A

Bbx M

M

43,644,0

25

54,15,1225

1 =+

=x

43,644,0

50

1,35,1225

1 =+

=y

5,874,0

35351 ==

b

905,87 :ordem 2 de

dadeexcentrici a se-despreza5,87

ok!

mnayiyy eeee ,11 += 2 sit. de clculo

25,0 40-A baco

072,050

5,48,0

05,025

54,18,0

=

==

=

===

y

ydy

x

xdx

h

e

h

e

Logo: 3,0=

24,1548,43

4,1

5,250253,0

cmf

fAA

fA

fA

yd

cdcs

cdc

yds =

=

=

=

cmnmns AfA =,

ok!4,0

%49,00049,0

48,43

8,04,1

5,215,0

15,0

>=

=

=

=mn

mn

yd

dcdmn f

f

2, 125,65025100

49,0cmA mns ==

2, 50%4 cmAA cmxs ==

( ) barrasferrosden 20785,0

4,1510 ==

1,0=s

sy

A

A; 5,0=

s

sx

A

A;

Armadura transversal: - dimetro:

==

mmmm

mmtt 55,2

5

41

l

- espaamento

=

== cme

cmcm

cme 12

12125,2dimensomenor

20

l

Detalhamento: