Mecânica dos MateriaisPr

epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

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ica

Capítulo 1

Conceito de Tensão

Mecânica dos MateriaisPr

epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Conceito de Tensão - Sumário

Conceito de TensãoRevisão de EstáticaDiagrama de Corpo LivreAnálise de TensõesCarga Axial: Tensão NormalCarregamento Centrado e

DescentradoTensões de CorteTensões de Corte: Exemplos

Tensões em LigaçõesAnálise de Tensões e exemplo de

projectoTensões num Plano OblíquoTensões MáximasEstado Geral de TensõesCoeficiente de SegurançaExercícios Resolvidos Exercícios Propostos

Cap. 1

Conceito de TensãoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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. Eng

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ânic

a

• O principal objectivo do estudo da Mecânica dos Materiais é providenciar ao futuro engenheiro dos meios para analisar e projectar estruturas e elementos estruturais.

• Tanto a Análise como o Projecto de um elemento estrutural envolve a determinação de tensões e deformações. Este capítulo diz respeito ao conceito de tensão.

Cap. 1

Revisão de EstáticaMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• A estrutura está projectada para suportar uma carga de 30 kN

• Determine as forças actuantes em cada uma das barras e as reacções nos apoios

• A estrutura consiste em duas barras unidas por pinos (ligações sem transmissão de momentos)

Cap. 1

Diagrama de Corpo LivreMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Faz-se o diagrama de corpo livre e colocam-se as forças e reacções actuantes na estrutura

• Ay e Cy não se conseguem determinar através das equações propostas

( ) ( )( )

kN30

0kN300

kN40

0

kN40

m8.0kN30m6.00

=+

=−+==

−=−=

+==

=

−==

∑

∑

∑

yy

yyy

xx

xxx

x

xC

CA

CAF

AC

CAF

A

AM

• Condições de equilibrio no plano:

Cap. 1

Reacções nos apoiosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• De forma semelhante à estrutura, cada elemento estrutural deve estar em equilibrio

• Resultados:40 kN 40 kN 30 kNx x yA C C= → = ← = ↑

NOTA: As forças de reacção são normais às barras

( )0

m8.00

=

−==∑

y

yB

A

AM

• Fazendo o diagrama de corpo livre para a barra inferior:

kN30=yC

Substituindo nas equações de equilibrio da estrutura

Cap. 1

Método vectorialMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• As barras estão sujeitas a apenas duas forças aplicadas nas extremidades

kN50kN403kN30

54

0

==

==

=∑

BCAB

BCAB

B

FF

FF

F!

• As ligações também devem satisfazer as condições de equilibrio estático. Pode ser expresso, vectorialmente pelo seguinte triângulo de forças:

• Para que haja equilibrio, as forças devem ser paralelas, ter a mesma direcção e sentidos opostos

Cap. 1

Análise de tensõesMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Conclusão: a resistência do membro BC é adequada

MPa 165adm =σ

• A partir das propriedades do material da barra (aço). A tensão admissivel é

Consegue a estrutura resistir a uma força de 30 kN?

MPa159m10314N1050

26-

3=

××==

AP

BCσ

• Em qualquer secção do membro BC, a força interna é de 50 kN, pelo que a tensão será

dBC = 20 mm

• Da análise estáticaFAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tracção)

Cap. 1

ProjectoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• O projecto de novas estruturas requer a selecção dos materiais apropriados e das dimensões adequadas para satisfazer os requisitos estruturais de funcionamento

• Por razões baseadas no custo, peso, disponibilidade, etc, a escolha é feita por forma a que a barra superior seja de alumínio(σadm= 100 MPa). Qual o diâmetro apropriado para a barra?

( ) mm2.25m1052.2m10500444

m10500Pa10100N1050

226

2

266

3

=×=×==

=

×=××===

−−

−

ππ

π

σσ

Ad

dA

PAAP

admadm

• Uma barra de alumínio de 26 mm de diâmetro, ou mais (se for necessário), é adequada.

Cap. 1

Tipos de Esforços no EspaçoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 1

xy

z

Fx

FzFy

Mfx

Mfy Mfz

Carga Axial: Tensão NormalMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• A tensão normal, num ponto particular da secção, pode não ser igual à tensão média, mas a resultante da distribuição das tensões é.

∫∫ ===A

média dAdFAP σσ

• A resultante das forças internas, para um corpo carregado axialmente, é normal à secção recta perpendicular do corpo.

AP

AF

médiaA=

∆∆=

→∆σσ

0lim

• A intensidade dessa força nessa secção é definida como tensão normal.

• A distribuição precisa da tensão é estaticamente indeterminada, i.e., não pode ser determinada somente através da estática.

Cap. 1

Cargas concêntricas e excêntricasMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a • Se uma barra for carregada com excentricidade, a resultante da tensão resulta de uma carga axial e de um momento.

• A distribuição das tensões em carregamentos excêntricos não é uniforme ou simétrica.

• Uma distribuição uniforme da tensão na secção pressupõe que a linha de acção da resultante das forças internas passa no centro geométrico da secção.

• Uma distribuição uniforme de tensão só é possivel se as cargas concentradas, aplicadas nas extremidades das barras, passarem pelo centro geométrico das secções. A isto chamamos de cargas concêntricas.

Cap. 1

Tensões de CorteMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• As forças P e P’ estão aplicadas transversalmente ao membro AB.

AP=médiaτ

• A correspondente tensão de corte média é dada por,

• A resultante da distribuição dos esforços transversos internos é definida como força de corte, P.

• As forças internas correspondentes actuam no plano de secção C e são chamadas de tensões tangenciais (ou tensões de corte)

• A distribuição da tensão de corte varia de zero nas superfícies até um máximo, que é maior que o valor médio.

• A distribuição da tensão de corte não se pode assumir como sendo uniforme.

Cap. 1

Tensões de Corte: ExemplosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

AF

AP ==médiaτ

Corte Simples

AF

AP

2média ==τ

Corte Duplo

Cap. 1

Tensões em LigaçõesMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Parafusos, cavilhas e rebites originam tensões nos elementos com que estão em contacto (tensões de contacto).

dtP

AP ==esσ

• A correspondente tensão de contacto (ou esmagamento) é dada por,

• A força resultante na superfície da placa, P, é igual, de sentido oposto, à força exercida no pino, F.

Cap. 1

Análise de Tensões e Exemplo de ProjectoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Determinar as tensões nos membros e nas ligações da estrutura da figura.

• Devem considerar-se as tensões normais máximas em AB e BC, e as tensões de corte e de contacto em cada ligação

• Da análise estática:FAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tracção)

Cap. 1

Planta da barra AB

Alçado principal

Planta da barra BC

Alçado Lateral direito

Ext. plana

Ext. plana

Tensões Normais em VeiosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• A barra está sujeita a tracção com uma força axial de 50 kN.

• A barra AB está sujeita a compressão, com uma força axial de 40 kN e uma tensão normal de –26.7 MPa.

( )( )

MPa167m10300

1050m10300mm25mm40mm20

26

3

)(,

26

=××==

×=−=

−

−

NAP

A

tiranteBCσ

• Na extremidade da barra (tirante), a menor secção recta é onde se encontra o pino. Aí, a secção resistente é,

• Numa qualquer secção da barra (secção recta circular, A = 314x10-6m2) a tensão normal média é σBC = +159 MPa.

Cap. 1

Ext. plana

Tensões de Corte em PinosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• A secção recta dos pinos em A, B, e C, é

262

2 m104912mm25 −×=

== ππrA

MPa102m10491N1050

26

3

, =××== −A

PmédiaCτ

• A força do pino em C é igual à força exercida pela barra BC,

• O pino, em A está sujeito ao corte em duas secções, com a força exercida pela barra AB,

MPa7.40m10491

kN2026, =

×== −A

PmédiaAτ

Cap. 1

Tensões de Corte em PinosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Considerando as forças e secções no pino B, por forma a encontrar a maior tensão de corte, temos,

(maior) kN25kN15

==

G

E

PP

MPa9.50m10491

kN2526, =

×== −A

PGmédiaBτ

• A correspondente tensão média de corte é dada por,

Cap. 1

Pino B

Tensões em PinosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Para determinar a tensão de contacto em A, no membroAB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,

( )( ) MPa3.53mm25mm30

kN40 ===tdP

bσ

• Para determinar a tensão de contacto em A no apoio (chapa), temos t = 2(25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,

( )( ) MPa0.32mm25mm50

kN40 ===tdP

bσ

Cap. 1

Tensões em Corpos Sujeitos a Duas ForçasMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a • Vamos agora verificar que tanto esforços axiais como transaversos produzem tanto tensões normais como tensões de corte, em planos diferentes do plano perpendicular aos eixos dos membros.

• Forças axiais resultam apenas em tensões axiais, no plano perpendicular ao da aplicação da força

• Forças transversais, em parafusos ou pinos, resultam apenas em tensões de corte, no plano perpendicular ao eixo dos pinos ou parafusos.

Cap. 1

Tensões num Plano OblíquoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Seja uma secção que faça um ângulo θ com o palno vertical e normal ao eixo da peça

θθθ

θτ

θθ

θσ

θ

θ

cossin

cos

sin

cos

cos

cos

00

2

00

AP

AP

AV

AP

AP

AF

===

===

• A tensão média, normal e tangencial, no plano oblíquo, são

θθ sincos PVPF ==

• Decompondo P nas componentes normal e tangencial à secção oblíqua,

• Das condições de equilibrio, as forças distribuídas na secção têm que ser iguais à força P.

Cap. 1

Tensões MáximasMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• A tensão máxima normal ocorre no plano perpendicular ao eixo do membro,

00

max =′= τσAP

• A máxima tensão de corte ocorre num plano que faz + 45o em relação ao eixo do membro,

0 0

sin 45 cos 452max

P PA A

τ σ ′= = =

θθτθσ cossincos0

2

0 AP

AP ==

• As tensões normais e de corte, num plano oblíquo, são dadas por:

Cap. 1

Carregamento axial

Tensões para θ=0

Tensões para θ=45º

Tensões para θ=-45º

Estado Geral de TensãoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

• Um corpo, sujeito a um carregamento genérico é seccionado num plano que passa por Q

• Para que exista equilíbrio, iguais tensões internas têm que existir na outra secção.

AV

AV

AF

xz

Axz

xy

Axy

x

Ax

∆∆=

∆∆

=

∆∆=

→∆→∆

→∆

limlim

lim

00

0

ττ

σ

• A distribuição das tensões internas podem ser definidas por,

Cap. 1

Estado Geral de TensãoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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• As tensões são definidas em planos paralelos aos eixos x, y e z. No equilibrio, tensões iguais e opostas exercem-se nos planos escondidos.

• Conclui-se que são apenas necessários 6 componentes de tensão para definir um estado completo de tensão.

• A combinação de forças geradas pelas tensões tem que satisfazer as condições de equilibrio:

0

0

===

===

∑∑∑

∑∑∑

zyx

zyx

MMM

FFF

( ) ( )yxxy

yxxyz aAaAM

ττ

ττ

=

∆−∆==∑ 0

zyyzzyyz ττττ == emente,semelhante

• Considerando os momentos no eixo z:

Cap. 1

Coeficiente de SegurançaMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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admissivel Tensãocedência de Tensão

segurança deFactor

admissivel

cedência ==

=

σσn

n

Os membros estruturais devem ser projectados por forma a que as tensões máximas atingidas sejam inferiores à tensão de cedência do material

Considerações sobre o factor de segurança:

• Incerteza nas propriedades dos materiais • Incerteza nas cargas• Incerteza na análise• Deterioração e manutenção• Importância do membro na integridade da

estrutura• Nível de risco envolvido• Influência no funcionamento da máquina• Fadiga• Etc.

Cap. 1

Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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a

Cap. 1Determine as tensões normais a meio de cada secção

Determine a força P para que ocorra uma mesma tensão normal a meio de cada secção.

ParA

P

ABAB

622 10*4,42

15*3000030000 −=−=−==

ππσ

Troço AB

ParA

PBC

BC6

22

'

10*7,3525*

70000)4000030000( −=−=−−==ππ

σ

Troço BC

Troço AB

2)15(πσ P

AF

AB

ABAB

−==

Troço BC

2)25(40000

πσ −−== P

AF

BC

BCBC

22 )25(40000

)15( ππσσ −−=−⇒= PP

BCBC NP 22500=⇒

Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 1

450 mm450 mm

A carga axial P é suportada pela coluna de perfil em I, cuja área da secção recta é de 8580 mm^2. A mesma carga deve ser suportada por uma fundação de cimento, de 450*450 mm. Sabendo que a tensão média na viga não deve ultrapassar 130 MPa, e que a tensão na fundação não deve ultrapassar 10 MPa, determine a máxima carga P

Coluna

KNPPAcP 4,1115

8580130 =⇒=⇔=σ

Fundação

KNPPAfP 2025

450*45010 =⇒=⇔=σ

A máxima carga permitida é definida pelo elemento que cede primeiro, logo

KNP 4,1115max =

Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 1

No seguinte guindaste portuário, a barra CD tem uma secção recta uniforme de 50*150 mm. Para as cargas apresentadas determine a tensão normal desenvolvida a meio da mesma barra.

)/10(80000080000 2smgNKgW ===

15 325

RAy

W

Fcd RAx

KNFWFM CDCDA 3,1493028*15*0 =⇒=−⇔=∑MPa

AF

CD

CDCD 1,199

150*501493300 ===σ

Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 1Uma carga P é aplicada numa barra de aço. Esta é, por sua vez, suportada por um prato de alumínio, no qual foi feito um furo de 12 mm de diâmetro. Sabendo que a máxima tensão de corte admissível é de 180 MPa para o aço, e de 70 MPa para o alumínio, determine a máxima carga P que pode ser aplicada na barra. A máxima tensão normal admissível para o aço é de 360 MPa

Barra

Corte

Tracção2)6(*

360

πσ

=

=

AMPaAdm

KNAP 71,40* == σ

KNAP 9,67* ==τ)(10*6**2

1802mmA

MPaadm

πτ

=

=

Prato

)(8*20**2

702mmA

MPaadm

πτ

=

=

KNAP 4,70* ==τ

Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 1Os componentes de madeira da figura, estão colados nas zonas de contacto. Sabendo que a distância entre os elementos principais é de 6 mm, e que a tensão de corte máxima da cola é de 2,5 MPa, determine o comprimento L, de colagem, necessário, para a carga aplicada. Utilize um coeficiente de segurança de 2,75. Sabendo ainda que a tensão normal admissível da madeira é de 30 MPa, determine a espessura mínima das tábuas.

Colagem

( ) )(125*2

6*216000

2mmLA

NFAF

−=

=

=τ

mmLLA

F

MPa

adm

adm

8,146125*

2)6(2

160009091,0

9091,075,25,2

=⇔−

=⇔=

==

τ

τ

Tábua

301600030 4,26(6)125*

adm MPaF e mmA e

σ

σ

=

= ⇔ = ⇔ =

Problemas PropostosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 11. Na figura, x = 2 m, y = 1 m, e F = 1 kN. Os membros AC e BC têm 3 cm de diâmetro. Qual a tensão normal no membro BC?

R: 0.707 MPa.

A coluna circular de 5m de altura suporta uma carga de 200 KN. É sabido que estas colunas cedem devido a tensões de corte a 45º. Qual o mínimo diâmetro da coluna para que a tensão não ultrapasse300 MPa?

O pino da figura tem 10 mm de diâmetro. Para uma força de 500 N qual a tensãomédia de corte no pino?

O pino na figura tem 10 mm de diâmetro.Sendo t1=5 mm e t2 = 15 mm determine atensão de contacto no apoio, para F=150 N.

R: 20.6 mm

R: 3.18 MPa. R: 3.0 MPa.

Problemas PropostosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

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Cap. 1

R: 52.7 MPa. R: 1.5 MPa.

R: 0.144 MPa.

A viga S610*149 (área=18970 mm2) suporta umacarga de 1 MN. Qual a tensão normal na barra?

O elemento estrutural na figura tem 10 mm de espessura, e o pino tem 10 mm de diâmetro.Qual a tensão no pino quando X=0.25 m e Y= 1m ?

Duas placas estão coladas como mostra a figura. As placas têm 60 mm de largura e10 mm de espessura. Quais as tensões de corte nas zonas coladas quando é aplicada uma força de 200 N?