Cap.7 – Análise Dimensional e semelhança

7.1 - Introdução

7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham

7.3 – Determinação dos grupos Pi

7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos

7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos

7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional

7.1 – Introdução

Problema típico em mecânica dos fluidos :Diminuir arrasto aerodinâmico em veículos

Equações Fundamentais

Soluções Analíticas

Soluções Numéricas

Métodos Experimentais

Protótipos em escala 1:1

Testes em modelos

Análise Dimensional

A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos são caracterizados por parâmetros geométricos do escoamento e por grandezas mensuráveis do escoamento, tais como pressão, velocidade e por características físicas dos fluidos

FV

),,D,V(fF

VD

fDV

F22

VD

fDV

F22

Parâmetros adimensionais FV

LtM

LtL

LM

f

LtL

LM

tML

3

22

2

3

2

Sistema M,L,t(massa, comprimento e tempo) ][f][

ReVD

)/(

VDVD

Número de Reynolds(parâmetro adimensional)

000000 tLMftLM

7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham

Considerando um problema no qual um parâmetro é dependente de n-1 parâmetros independentes, pode-se escrever a função :

)q,...,q,q,q(fq n4321

Matematicamente, expressa-se a relação acima de forma equivalente :

0)q,...,q,q,q,q(g n4321

O teorema dos PI de Buckingham:

Dada uma relação entre n parâmetros do tipo , então os n parâmetros poderão ser agrupados em (n-m) razões independentes adimensionais, os parâmetros , que podem ser expressos por uma função :

0)q,...,q,q,q,q(g n4321

0),...,,(G mn21

),,D,V(fF

0),,D,V,F(g

0VD

fDV

F22

0),,D,V,F(g

Análise Dimensional

0VD

fDV

F22

0)q,q,q,q,q(g 54321 0),(G 21

Resultados experimentais

7.3 – Determinação dos grupos Pi

Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo

5n,,D,V,F

Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou F,L,t)

3mt,L,M

Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros dimensionais :

Lt

M

L

ML

t

L

t

ML

DVF

32

Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados devem possuir todas as dimensões primárias :

3L

ML

t

L

DV

Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros :

000cba1 tLMFDV

000fed2 tLMDV

Exemplo 7.1 - Força de arrasto sobre esfera lisa

0002

c

3

ba

1 tLMt

ML

L

ML

t

L

000f

3

ed

2 tLMLt

M

L

ML

t

L

0002a1c3ba1c1 tLMtLM

0001d1f3ed1f2 tLMtLM

02a01c3ba01c 01d01f3ed01f

1c 1f

2a 2b013b2 1d 1e013e1

22122cba

1 DV

FFDVFDV

Re

1

VDDVDV 111fed

2

Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo 7ne,,,D,V,L,p

Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou F,L,t)

3mt,L,M

Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros dimensionais : L

Lt

M

L

ML

t

LL

Lt

M

eDVLp

32

Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados devem possuir todas as dimensões primárias :

3L

ML

t

L

DV

Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros :

000cba1 tLMpDV

000fed2 tLMLDV

Exemplo 7.2 - Queda de pressão no escoamento em um tubo

000ihg3 tLMDV

000lkj4 tLMeDV

7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos

Forças viscosas = VLLL

VA

dy

duA 2

Forças de pressão = 2L)p(A)p(

Forças de gravidade = 3Lgmg

Forças de tensão superficial = L

Forças de compressibilidade = 2vv LEAE

Forças de inércia = 22LV

Forças de inérciaForças viscosas

ReVLVL

VL

LV 22

Número de Reynolds :

Forças de pressão Forças de inércia 2

2122

2

V

p

LV

L)p(

Número de Euler :

22

1

v

V

ppCa

Índice de cavitação:

Forças de inérciaForças gravitacionais

22

3

22

FrgL

V

gL

LV

Número de Froude :gL

VFr

Forças de inérciaForças de compressibilidade

22

2

v

2

2v

22

Mc

V

/E

V

LE

LV

Número de Mach :c

VMaM

7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos

Semelhança de escoamentos:

1 - Semelhança geométrica

Escala entre modelo e protótipo

2 - Semelhança dinâmica

PM

PM

VLVLReRe

Parâmetros adimensionais iguais entre modelo e protótipo

Túnel de vento

Tanque de simulação marítima

PMPM

VLVLReRe

Túnel de vento

Velocidade do protótipo = 100 km/h

Escala entre modelo e protótipo = 1-10

PPMM

PM

LVLVReRe

PPMM LVLV M

P

P

M

V

V

L

L

M

P

V

V

10

1 PM V10V

]h/km[000.1100x10VM

7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional

0y

v

x

u

Conservação da massa (bidimensional):

2

2

2

2

x y

u

x

u

x

pg

y

uv

x

uu

2

2

2

2

y y

v

x

v

y

pg

y

vv

x

vu

Navier- Stokes bidimensional (Conservação da Quant. de Movimento):

2V

pp

V

vv

V

uu

L

yy

L

xx

Parâmetros adimensionais :

2VppVvvVuuLyyLxx

Substituindo nas equações fundamentais:

0Ly

Vv

Lx

Vu

0y

v

x

u

Conservação da massa (adimensional):

2

2

2

2

2x

y

u

x

u

LVx

p

V

Lg

y

uv

x

uu

2

2

2

2

2

y

y

v

x

v

LVy

p

V

Lg

y

vv

x

vu

Conservação da Quant. de Movimento (adimensional)