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CAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO COMPOSTACOMPOSTAUSO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS NO USO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS NO CÁLCULO DE MONTANTES FUTUROS, CÁLCULO DE MONTANTES FUTUROS, GERADOS POR DEPÓSITOS PERIÓDICOSGERADOS POR DEPÓSITOS PERIÓDICOS

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1) INTRODUÇÃO

Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar periodicamente certa quantia em uma caderneta de poupança, por exemplo. A esse tipo de operação financeira denominamos CAPITALIZAÇÃO. Estudaremos, neste capítulo do curso, como podemos calcular os elementos para esse tipo de investimento: valor dos depósitos ou termos, número de parcelas, taxa de juros, Montante final, etc. Podemos chamar também a essa aplicação de uma Renda.

As parcelas ou depósitos são denominados termos da renda (nas calculadoras financeiras representados pela tecla PMT). O intervalo entre dois termos consecutivos é denominado período da renda. Quando todos os períodos são iguais , a renda é denominada periódica.As rendas podem ainda ser caracterizadas comoRendas Certas - Uma renda é denominada certa quando todos os seus elementos: número de parcelas, período, valores das parcelas, vencimentos, etc. podem ser pré-fixados. Caso contrário ela é dita renda aleatória. A preocupação do nosso curso será com as rendas Certas ou Anuidades.

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OBS: Se todas as parcelas que constituem a renda são iguais, ela é denominada Constante (Série Uniforme), caso contrário ela é dita variável.

Quanto à data do vencimento de cada parcela, a renda pode ser classificada em: Imediata ou Postecipada (quando as parcelas vencem no final de cada período, à partir do primeiro); Antecipada (quando as parcelas vencem no início de cada período, à partir do primeiro) ou Diferida (quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, denominado carência.

OBS: Se todas as parcelas que constituem a renda são iguais, ela é denominada Constante (Série Uniforme), caso contrário ela é dita variável.

Quanto à data do vencimento de cada parcela, a renda pode ser classificada em: Imediata ou Postecipada (quando as parcelas vencem no final de cada período, à partir do primeiro); Antecipada (quando as parcelas vencem no início de cada período, à partir do primeiro) ou Diferida (quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, denominado carência.

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Renda Imediata Postecipada - Modelo Básico

Esse é o caso fundamental de capitalização composta, sendo que os demais casos que estudaremos são meras conseqüências deste.Neste caso, o investidor deposita, no fim de cada período, à partir do primeiro, uma parcela fixa, sob taxa constante de juros compostos, durante um número determinado de períodos.Inicialmente, antes de estudarmos qualquer fórmula, ou tabela financeira específica, vamos analisar um exemplo simples inicial.

(Série Uniforme)

Sr. “Charles” deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 1000,00. Calcule o montante da renda acumulada, imediatamente a pós o último depósito, sabendo que o banco está pagando juros de 2% ao mês.

Exemplo inicial

1 2 3 4 5

1000 1000 1000 1000 1000

M

Teremos o montante final produzido pela soma dos montantes gerados por cada um dos depósitos fixos.

55

1 2 3 4 5

1000 1000 1000 1000 1000

M

M = 1000 + 1000 x (1,02) + 1000 x (1,02)2 + 1000 x (1,02)3 + 1000 x (1,02)4

M = 1000 x (1 + 1,02 + (1,02)2 + (1,02)3 + (1,02)4) 5204,00

Note que tal procedimento é muito trabalhoso...imagine se fossem 24 depósitos...Mas, se observarmos bem, verificaremos que a parte que aparece dentro dos parênteses é a soma dos termos de uma PG de razão igual a 1,02 (que é um “velho conhecido” nosso – o fator de correção.

Sabemos também que a soma dos termos de uma PG finita é dada por:

1 - q

a - q . a S 1n

n

66

Voltando à soma que obtivemos no desenvolvimento, teremos:

S = (1 + 1,02 + (1,02)2 + (1,02)3 + (1,02)4) =

5,204 (1,02)

1 - 1,02

1 - 1,02 .(1,02) S

54

n

02,0

1

M = 1000 x 5,204 = 5204,00

Podemos, facilmente, generalizar o resultado que obtivemos, para n parcelas, e taxa i, bastando substituir na relação acima o 1,02 pelo fator F, e o expoente 5, por n e a parcela de depósito 1000, por T (termo). O que você acha que iremos obter?

i

1F . T M

n Fator de acumulação de capital,

simbolizado por i ns

77

Deposito em um banco, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a juros compostos de 2,5% ao mês. Quanto terei acumulado no fim de um ano?

Trata-se de uma renda, uniforme, postecipada, gerada por 12 parcelas ou termos de R$ 800,00, sob taxa de 2,5% ao mês.

i

1F . T M

n

036,44 11 M

13,79555 x 800 0,025

1( . 800 M

12

)025,1

OBS: Normalmente, quando se trata de concursos, o valor do fator de capitalização, já que os candidatos não podem usar máquinas, costuma ser dado através das tabelas financeiras. No nosso livro esse fator se encontra na TÁBUA 3.

88

Vejamos agora, o que irá acontecer, se os depósitos forem feitos no INÍCIO de cada período, o que denominamos série ANTECIPADA. Usaremos agora os mesmos valores do exemplo inicial, ou seja, 5 depósitos de 1000 reais, sob taxa fixa de 2% ao mês, mas agora antecipados.

1000

0 1 2 3 4

1000 1000 1000 1000

M

5

M = 1000 x (1,02) + 1000 x (1,02)2 + 1000 x (1,02)3 + 1000 x (1,02)4 + 1000 x (1,02)5

Observe que obtivemos uma soma constituída das parcelas do modelo postecipado, todas multiplicadas por 1,02, que é o fator de correção para 2%. Podemos assim dizer que a fórmula para o cálculo do montante do modelo ANTECIPADO é exatamente igual à do modelo POSTECIPADO, multiplicada por F. Ou seja:

i

1F x TF F .

i

1F . T M

n n

ant

99

Quantos depósitos mensais, antecipados, de R$ 15 614,00, serão necessários para acumular um montante de R$ 200 000,00, sob taxa de 1% ao mês?

F . i

1F . T M

n

ant

1% ns . 1,01 . 614 15 000 200

12,6822 770,14 15

000 200 s 1% n

Consultando a tabela 3, no final do livro, na folha correspondente à taxa de 1%, vai encontrar o valor 12,6822 na linha correspondente a n = 12, ou seja, serão necessários 12 depósitos.

1010

AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO COMPOSTACOMPOSTAUSO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS NO USO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS NO CÁLCULO DOS ELEMENTOS CONTIDOS CÁLCULO DOS ELEMENTOS CONTIDOS NUMA AMORTIZAÇÃO COMPOSTA.NUMA AMORTIZAÇÃO COMPOSTA.

1111

AMORTIZAÇÃO COMPOSTA – RENDAS CERTAS

A renda que denominamos de “Amortização Composta” caracteriza-se por ser constituída de uma série de pagamentos, periódicos, sob taxa composta fixa e que visam amortizar uma dívida contraída na data zero, na compra de um bem qualquer ou na contratação de um empréstimo.

É o tipo de situação de Matemática Financeira que é mais comum em nosso cotidiano, quando compramos, com parcelas fixas, um artigo qualquer.

Valor Atual de uma Renda Imediata (Postecipada)

Para determinar o valor atual de uma dívida a ser amortizada em n parcelas iguais e periódicas postecipadas, basta retroagir cada parcela à data zero.Vejamos um exemplo introdutório, antes de estudarmos uma maneira mais prática com as tabela específica para este caso (tabela Price).

1212

Vamos determinar o valor da dívida que está sendo amortizada em 5 prestações mensais de R$ 1000,00, postecipadas, sob taxa de 2% ao mês, sobre o saldo devedor.

Retroagindo à data zero, como já estudamos anteriormente, teremos:

A = -5-4-3-21 1000.1,02 + 1000.1,02 + 1000.1,02 + 1000.1,02 + 02,1.1000

Colocando-se o termo 1000 em evidência, teremos:

)02,102,102,102,1(1,02 . 1000 A 5432-1

Aplicando novamente, como no caso da capitalização composta, a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, teremos:

A

1000 1000 1000 1000 1000

01 2 3 4 5

1313

1 - 1,02

1,02 - 1,02x 1,02 x 1000

1q

a.qa x 1000 A

1-

-1-1-51n

5

5

6

5

1-61-6-

1,02 x 0,02-

1,02 - 1 x 1000

1,02 x 1,020,02-

1,02- 1 x 1000 A

1,021,02-1

1,02-1,02

1

x 1000 1

1,021

1,02 - 1,02 x 1000 A

Multiplicando ambos os termos da fração obtida por -1, teremos:

5

5

1,02 x 0,02

11,02 x 1000 A

Fator de amortização composta

(Price), representado por i n a

1414

Se tivéssemos trabalhado, genericamente com T, n, i e F, a fórmula obtida seria:

i n n

n

a x T A ou F x i

1F x T A

Essa é uma das fórmulas mais importantes da Matemática Financeira, e que nos permite calcular as prestações, taxa de juros, número de pagamentos, valor atual, envolvidos num financiamento sujeito a prestações fixas (Price).

Os valores do fator de amortização já se encontram tabelados e, no nosso livro, está na tabela 4, também conhecida como tabela Price.

Exemplo: Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 10 000,00, para ser pago em 8 prestações iguais, mensais e postecipadas , sob taxa de juro composto de 10% ao mês. Qual o valor de cada prestação?

1874,44 5,33493

000 10 T

5,33493 x T 1,1 x 0,1

11,1 x T 000 10

8

8

1515

IMPORTANTE: Em Matemática Financeira o que ocorreu na passagem da fórmula do modelo postecipado de capitalização para o modelo antecipado, quando foi necessário multiplicarmos pelo fator de correção F, continua sendo válido nos casos de amortização composta, com uma demonstração similar. Nesse caso, podemos inferir que a fórmula para o cálculo do valor atual de uma amortização composta será:

i n n

n

a x F x T A ou Fx F x i

1F x T A

Deu no jornal...! JB, 9 de novembro de 2003...Juros embutidos.

... numa loja de artigos eletrônicos, câmeras fotográficas digitais eram oferecidas em seis vezes sem juros, com preço total de R$ 1.599. Mas, com a desculpa de que novos estoques estariam chegando no dia seguinte, o vendedor da rede ofereceu um abatimento de 23,45%. Com isso, o economista prof. Zentgraf, afirmou ao JB que a taxa de juros chegaria a 12,13% ao mês...

Verifique se a taxa de juros, calculada pelo professor, está correta. Em caso negativo, qual deveria ser o valor do desconto dado pela loja, para corresponder a essa taxa de juros embutidos no preço?

1616

Como à vista a loja oferecia um desconto de 23,45%, teremos 0,7655 x 1599,00 1224,03 (preço à vista). Como as prestações eram todas iguais (Price), teremos 6 prestações de 266,50. Se a taxa de juros (ao mês) que está na reportagem fosse correta, teríamos:

1091,67 4,0963 x 266,50(1,1213) x 0,1213

1(1,1213) x 266,50a x 266,50A

6

6

i n

Ou seja, o desconto teria de ser bem maior para acarretar os juros mensais de 12,13%. Qual deveria ser essa taxa de desconto? 1091,67 : 1599 = 0,683 o que corresponde a um desconto de 31,7% (100 – 68,3).

Fácil, não ?

1717

Uma corretora de seguros ofereceu a um cliente as seguintes opções para fazer o seguro total de seu automóvel 0 km, por um ano: a) R$ 1.200,00, à vista; b) entrada e 2 mensalidades iguais de R$ 411,88; c) entrada e 4 mensalidades iguais de R$ 259,19. Verifique a melhor taxa de juros para o cliente.

Questão comentada

1200 – 411,88 = 788,12

0 1 2

411,88

1,91347 411,88

788,12 a

a x 411,88 788,12

i 2

i 2

Taxa i = 3% (Tabela Price)

1200 – 259,19 = 940,81

0 1 2 3 4

259,19

3,62981 259,19

940,81 a

a x 259,19 940,81

i 4

i 4

Taxa i = 4% (Tabela Price)

Menor taxa