MatemáticaFinanceira

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3.  RegimedeJurosCompostos

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* Conceitos fundamentais em capitalizaçãocomposta*  Regime de Juros onde os juros são calculados a

partirdocapitalinicialdecadaperíodo*  No processo de capitalização do regime de juros

compostos,os juros sãosomadosaocapital inicialinvestido no período n, para formar outro capitalnoperíodon+1oqueproduzjurossobrejuros.

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Matemática Financeira

n  Cálculo de juros no regime de juros compostos ¨ Consideremos como exemplo um investimento inicial

de R$ 1.000,00 por 3 meses a partir de uma taxa de juros de 2% ao mês.

Mês Saldo inicial Juros Montante

1 R$ 1.000,00 0,02 x R$ 1.000,00 = R$ 20,00 R$ 1.020,00

2 R$ 1.020,00 0,02 x R$ 1.020,00 = R$ 20,40 R$ 1.040,40

3 R$ 1.040,40 0,02 x R$ 1.040,40 = R$ 20,81 R$ 1.061,21

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Matemática Financeira n  Cálculo de juros no regime de juros compostos

Fórmula: No exemplo anterior:

( )1 nFV PV i= ⋅ +

( ) ( ) ( )11 1000 1 0,02 1000 1,02 $1.020,00nFV PV i R= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ =

( ) ( ) ( )21 1000 1 0,02 1000 1,0404 $1.040,40nFV PV i R= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ =

( ) ( ) ( )31 1000 1 0,02 1000 1,061208 $1.061,21nFV PV i R= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ =

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Matemática Financeira n  Conceitos fundamentais em capitalização

composta ¨ O crescimento do dinheiro segue um modelo

exponencial

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Meses

R$

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n  Cálculo de juros no regime de juros compostos

Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.350,00 por 5 meses com um taxa de juros compostos de 10% ao ano. IMPORTANTE

No Regime de Juros Compostos, devemos preferencialmente alterar o prazo da operação, quando necessário adequar os tempos referentes à taxa de juros e ao prazo pois, para se alterar a taxa de juros é preciso utilizar uma fórmula específica a qual será estudada na próxima aula. Assim, devemos fazer:

n = 5 meses = 512

= 0,416666 anos

i =10%a.a.

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n  Cálculo de juros no regime de juros compostos

Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.350,00 por 5 meses com um taxa de juros compostos de 10% ao ano. ?

$2.350,005 meses

5 0,416666 anos12

10% . .

FVPV Rn

i a a

=

=

=

= =

=

( )

( )( )

0,41666666

1

2350 1 0,1

2350 1,04051166$2.445,20

nFV PV i

R

= ⋅ +

= ⋅ +

= ⋅

=

HP 12C f + Clx (limpa todas as memórias)

2350 CHS PV (troca o sinal do PV)

0,416666666 n

10 i

FV

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n  Cálculo de juros no regime de juros compostos

Exemplo: Qual deve ser o valor do investimento para em 10 meses obter-se um montante de R$ 5.000,00 a partir de uma taxa de remuneração de 1,5% ao mês.

$5.000,00?

10 meses1,5% . .

FV RPVni a m

=

=

=

=

( )

( )101

5000 1 0,0155000

1,160540825$4.308,34

nFV PV i

PV

PV

PV R

= ⋅ +

= ⋅ +

= =

=

HP 12C f + Clx

5000 FV

10 n

1,5 i

PV

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n Cálculo de juros no regime de juros compostos Exemplo: Determine a taxa mensal de juros de uma aplicação cujo capital inicial de R$ 11.000,00 gerou um montante de R$ 12.780,00 em 4 meses. $ 12.780,00

$ 11.000,004 meses?

FV RPV Rni

=

=

=

=

( )

( )

( )

4

4

4

1

12780 11000 112780 111000

1,161818181 11,038208408 10,038208408 ou, em porcentagem ( 100), 3,8208408% a.m.

i 3,82% a.m.

nFV PV i

i

i

iiii

= ⋅ +

= ⋅ +

= +

= +

= − =

= ×

=

;

HP 12C f + Clx

12780 FV

11000 CHS PV

4 n

i

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Matemática Financeira n  Cálculo de juros no regime de juros compostos

Exemplo: Determine o prazo de uma operação que gera, a partir de um capital inicial de R$ 21.850,00, um montante de R$ 23.200,50 a partir de uma taxa de juros de 2% ao mês.

$ 21.850,00$ 23.200,50

?2% . .

PV RFV Rni a m

=

=

=

=

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1

23200,50 21850 1 0,0223200,50 1 0,0221850

1,06180778 1,02

log 1,06180778 log 1,02

log 1,06180778 log 1,02

log 1,06180778 0,0260459031log 1,02 0,0086001717

3,028533153 meses3meses

n

n

n

n

n

FV PV i

n

n

nn

= ⋅ +

= ⋅ +

= +

=

=

= ⋅

= =

=

;

HP 12C f + Clx

23200.50 FV

21850 CHS PV

2 i

n

Atenção! A HP 12C arredonda o cálculo

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Matemática Financeira n  Cálculo de desconto no regime de juros compostos

Fórmula:

Exemplo: um título no valor de R$ 5.000,00 foi lançado com vencimento para 50 dias e é descontado com uma taxa de desconto de 5,5% ao mês, no regime de juros compostos. Qual o valor descontado desse título?

Resolução:

( )1 nPV FV d= ⋅ −

PV = FV ⋅ 1− d( )n

=5000 ⋅ 1−0,055( )1,66…

= 5000 ⋅ (0,945)1,66…

= 5000 ⋅0,910024352PV = R$4.550,12

FV = R$ 5.000,00PV = ?n = 50 dias(÷ 30dias, ou seja, 1 mês)=1,66…mesesi = 5,5%a.m.

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n  Cálculo de desconto no regime de juros compostos

Macetão! Para o cálculo do desconto composto na HP12C inserimos o FV como PV, a taxa com sinal negativo e para obtermos o PV pressionamos o FV. Para o exemplo anterior:

HP 12C f + Clx

5000 CHS PV

5.5 CHS i

50 ENTER 30 ÷ n

FV

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n  Exercícios1.  Um empresário investiu R$ 12.300,00 em uma

aplicaçãoqueremuneraseusativosnoregimedejuroscompostos a partir de uma taxa de juros de 1,2% aomês por dois anos. Determine o montante daoperação.

2.  Determine a taxa de remuneração de uma operaçãofinanceira a qual gerou a partir de uma capitalinvestidodeR$5.289,30ummontantedeR$9.900,00emtrêstrimestres.

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MatemáticaFinanceiran  Exercícios

3.  Uma operação financeira gerou a partir de uma capitalinvestidodeR$ 10.765,90ummontantedeR$ 12.345,50com uma taxa de remuneração de 0,75% ao mês.Determineoprazodaoperação.

4.  Determineonúmerodemesesnecessáriosparaqueumcapitalaplicadoaumenteem35%apartirdeumataxadejurosde0,6%aomês.

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MatemáticaFinanceira

n  Bibliográficabásica¨  Puccini,A.L.,MatemáticaFinanceira:objetivaeaplicada,ed.Saraiva,

2006.

¨  CasarottoFilho,N.,AnálisedeInvestimentos,ed.Atlas,2011.

n  BibliografiaComplementar¨  CamposFilho,A.C.,MatemáticaFinanceira:comusodascalculadoras

HP12C,HP19BII,HP17BIIeHP10B,ed.Atlas,2000.

¨  Samanez,C.P.,MatemáticaFinanceira:aplicaçõesàanálisedeinvestimentos,ed.Pearson,2002

¨  Silva Jr., E. C. & Silva, A. P., Uso da calculadora financeira HP12 C Rápido e Completo, ed. Virtual Books, 2013.

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