Juroscompostos - Amazon S3 · 2016-02-12 · Juroscompostos No# sistema de# capitalização# composta,# os# juros# gerados# a cada período# são# incorporados# ao# principal# para

Juros compostos

No sistema de capitalização composta, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após um tempo t de capitalização, temos:

M = C·∙(1 + i)t

M é o montante

C é o capital inicial

i é a taxa de juros

t é o tempo de capitalização

M = C + J J = M – C

J é o juros

A taxa i deve ser expressa na mesma medida de tempo de t.

A taxa i deve ser escrita na forma decimal.

10% = 0,1 3% = 0,03 2,5% = 0,025

Importante:

Taxa ao mês Tempo em meses

Taxa ao ano Tempo em anos

Ex:

Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 2% ao mês. Calcular o montante desta aplicação após 90 dias. (Considere (1,02)3 = 1,06)

Dados:

C = R$ 200,00

i = 2%

t = 90 dias

M = C·∙(1 + i)t

M = 200·∙(1 + 0,02)3

M = 200·∙(1,02)3

M = 200·∙1,06

M = R$ 212,00

= 0,02

= 3 meses

(Loterj). Ken aplicou R$ 25.000,00 a juros compostos de 1,4% ao mês durante dois meses. O valor dos juros foi: (A) R$ 26.640,28. (B) R$ 820,40. (C) R$ 692,48. (D) R$ 704,90. (E) R$ 1.640,28. Dados:

C = R$ 25.000,00 i = 1,4% t = 2 meses

M = C·∙(1 + i)t M = 25.000·∙(1 + 0,014)2 M = 25.000·∙(1,014)2 M = 25.000·∙1,028196

M = R$ 25.704,90 J = M – C J = 25.704,90 – 25.000

J = R$ 704,90 = 0,014

JUROS SIMPLES

Profº Cláudio Mendes

Juros é a remuneração de um capital em um determinado período de tempo determinado.

Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira.

Juros simples O juros sempre incidirá sobre o capital inicial.

Montante é o capital inicial acrescido do rendimento obhdo durante o período de aplicação.

Taxa de juros: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.)

Montante (ou valor futuro)

Capital inicial (ou valor presente)

Período de aplicação

Taxa de juros no período

Juros acumulado no período

100tiCJ ⋅⋅

= JCM +=

Dados necessários:

M

C

t

i

J

Dados:

C = R$ 10.000,00

t = 6 meses

i = 3% a. m.

100tiCJ ⋅⋅

=

Determine o valor dos juros simples a serem pagos em um empréshmo no valor de R$ 10.000,00 pelo prazo de seis meses, sabendo-‐se que a taxa cobrada foi de 3% a.m.?

100tiCJ ⋅⋅

=

10063000.10 ⋅⋅

=J

100000.180

=J

008001 ,.$RJ =

100tiCJ ⋅⋅

=100

tiCJ ⋅⋅=

100tiCJ ⋅⋅

=

Qual o valor do montante de uma aplicação de R$ 4.000,00 após um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 0,6 % ao mês? a) R$ 4.182,00. b) R$ 4.332,00. c) R$ 4.432,00. d) R$ 4.512,00. e) R$ 4.492,00.

Dados: C = R$ 4.000,00 t = 18 meses

i = 0,6% a. m.

100186,0000.4 ⋅⋅

=J

100tiCJ ⋅⋅

=

100200.43

=J

=J 432,00

M = C + J

M = 4.000 + 432

M = R$ 4.432,00

100tiCJ ⋅⋅

=100

tiCJ ⋅⋅=

100tiCJ ⋅⋅

=

Numa compra de R$ 750,00, um cliente deu um cheque pré-‐datado para 90 dias no valor de R$ 795,00. A taxa de juros simples cobrada foi: (A) 2% ao mês. (B) 1,8% ao mês. (C) 0,2% ao mês. (D) 0,18% ao mês. (E) 3% ao mês.

Dados: C = R$ 750,00 t = 3 meses

M = R$ 795,00

M = C + J

795 = 750 + J

795 – 750 = J

R$ 45,00 = J

100tiCJ ⋅⋅

=

100375045 ⋅⋅

=i

100225045 i⋅

=

i⋅= 22504500

i=22504500

i% =2

Números inteiros


Conjunto dos números inteiros:

Números Zero Números Negahvos Posihvos

..., -‐3, -‐2, -‐1 1, 2, 3, ... 0

Z = {...,-‐3,-‐2,-‐1,0,1,2,3,...}

OBSERVAÇÕES: 1 -‐ Os números inteiros aumentam da esquerda para direita, ou seja: 6 > 4 -‐ 2 < 1 -‐5 < 0 3> -‐5 -‐5 < -‐1 2 -‐ O zero não é posigvo nem negagvo.

RETA NUMÉRICA

Sinais iguais Somar e repehr o sinal (+4) + (+5) = +9 (–4) + (–5) = –9

Adição de números inteiros

Sinais diferentes Subtrair e repehr o sinal do maior número (–4) + (+5) = +1 (+4) + (–5) = –1

Subtração de números inteiros

Subtrair números inteiros corresponde a adicionar o oposto:

(+5) – (+6) = 5 – 6= –1

(–5) – (+6) = –5 – 6 = –11

(–5) – (–6) = –5 + 6 = 1

(+5) – (–6) = 5 + 6 = 11

Mulhplicação de números inteiros

(+5) . (+8) = 40

(+5) . (–8) = – 40

– 40 (–5) . (+8) =

(–5) . (–8) = 40

Divisão de números inteiros

(+20) : (+4) = 5

(+20) : (–4) = – 5

– 5 (–20) : (+4) =

(–20) : (–4) = 5

Os números -‐2, -‐1 e (-‐2)·∙(-‐1) ocupam na reta numérica abaixo as posições indicadas, respechvamente, por quais letras? a) P, Q, S b) Q, P, P c) R, S, R d) S, R, Q

Considerando 0 a origem:

R = +1

S = +2

Q = -‐1

P = -‐2 (-‐2) ·∙ (-‐1) = + 2 = S

(Correios) Amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e mínima registrada em um lugar. Num dia de inverno em Berlim (Alemanha), a temperatura mínima registrada foi de –3ºC e a temperatura máxima foi de 2ºC. Qual foi a amplitude térmica registrada nessa cidade? A) 5ºC B) 1ºC C) 6ºC D) –5ºC E) –1ºC

Temperatura máxima: 2º C

Temperatura mínima: –3º C

Amplitude térmica: 2 – ( – 3 ) = 2 + 3 = 5º C

PORCENTAGEM


Porcentagem

A resolução de problemas envolvendo porcentagem é equivalente a resolução de problemas com frações cujo denominador é 100

(Correios) Um produto é oferecido pelo preço de R$ 3.245,00 à vista e por R$ 3.829,10 para pagamento parcelado. O percentual de acréscimo no valor à vista é de a) 15,5 %. b) 20,5 %. c) 16 %. d) 18 %. e) 19,8 %.

Acréscimo: 3.829,10 – 3.245,00 = R$ 584,10

3.245 584,10

100% x%

3.245x = 58.410 58.410 3.245

= 18% x =

(Eletrobrás) Uma empresa aérea que opera, semanalmente, 60 vôos entre o Brasil e os Estados Unidos, solicitou autorização para aumentar em 15% o número semanal de vôos entre os dois países. Se essa autorização for concedida, quantos vôos semanais a referida empresa aérea realizará entre o Brasil e os Estados Unidos? (A) 9 (B) 15 (C) 56 (D) 69 (E) 96

60 vôos x vôos

100% 15%

100x = 60 ·∙ 15 100x = 900

900 100

x = 9 vôos x =

Total de vôos:

60 + 9 = 69

(Loterj) Uma mercadoria, que custava um valor A (em reais), sofreu dois acréscimos consecuhvos de 10% e, em seguida, sobre o valor obhdo, sofreu uma redução de 10%, passando a custar um valor B (em reais). Podemos dizer que o valor B, tomando o valor A como referência, é maior: A) 7,5%. B) 8,0 %. C) 8,9%. D) 10%. E) 12,2%.

Valor arbitrário A = 100 100 + 10% = 100 + 10 = 110 110 + 10% = 110 + 11 = 121

121 – 10% = 121 – 12,1 = 108,9

108,9% – 100% = 8,9%

Valor B

(ANAC) 60% de 60% de 60% de uma quanhdade representam a seguinte porcentagem dessa quanhdade: (A) 21,6%; (B) 24,8%; (C) 32,4%; (D) 42,8%; (E) 44,4%.

Valor arbitrário: A = 100

60% de 100 = 60

60% de 60 = _60_ ·∙ 60 = 3.600 = 36 100 100

60% de 36 = _60_ ·∙ 36 = 2.160 100 100

= 21,6

PROBABILIDADE


Problemas do 1º grau


(Petrobras) Somando dois números inteiros e consecuhvos, o resultado encontrado é 131. O maior desses números é:

(A) 65 (B) 66 (C) 67 (D) 68 (E) 69

Números consecuhvos: x x + 1

x + x + 1 = 131

2x + 1 = 131 2x = 131 – 1

2x = 130

x = 130 2

66

65 x =

x + 1 =

(Correios-‐2008) Ricardo usa a Internet em horários e dias em que é cobrada uma taxa única a cada vez que faz uma conexão. Assim, gasta mensalmente R$25,00 com o provedor e mais R$3,00 por acesso (conexão). No úlhmo mês, conectou a Internet várias vezes e pagou R$85,00. Se esse mês ele conectar o dobro de vezes do mês passado, quanto ele pagará?

(A) R$180,00 (B) R$170,00 (C)R$145,00 (D)R$120,00 (E)R$154,00

x = nº de conexões

25 + 3 ·∙ 40 = 3x = 85 – 25

3x = 60

x = 20 conexões

Valor para 40 conexões:

= 25 + 120 =

= R$ 145,00

(Eletrobras) Segundo relatório do China Internet Network Center, divulgado em julho de 2009, a China possui 384 milhões de internautas. O número de internautas com menos de 30 anos supera em 9 milhões o dobro do número de internautas com 30 anos ou mais. Quantos milhões de internautas, com 30 anos ou mais, existem na China? (A) 118 (B) 125 (C) 131 (D) 208 (E) 253

x = internautas com menos de 30 anos y = internautas com 30 anos ou mais x + y = 384

x = 2y + 9

2y + 9 + y = 384

3y = 384 – 9

3y = 375 y = 375 3

= 125

(BNDES) Certa marca de café é comercializada exclusivamente em embalagens de 250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa marca comprar uma embalagem de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez disso, esse consumidor comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse café, pagará, ao todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das embalagens de 400 g e de 250 g é (A) 0,80 (B) 0,70 (C) 0,60 (D) 0,50 (E) 0,40

x = embalagens de 250 g y = embalagens de 400 g

x + y = 3,30

900 g = 2x + y = 4,60

x = 4,60 – 3,30 = R$ 1,30

x + y = 3,30

1,30 + y = 3,30 y = 3,30 – 1,30

y = R$ 2,00 Diferença: 2 – 1,30 = R$ 0,70

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS


Uma progressão geométrica (P. G.) é uma sequência numérica ordenada de forma que cada termo, a parhr do segundo, é igual ao termo anterior mulhplicado a um valor constante, denominado razão. Ex:

(2, 4, 8, 16, 32, 64)

(81, 27, 9, 3, 1)

razão 2

razão 1/3

Seja a sequência:

( )na,...,a,a,a,a 4321

1a 2a

3a

na

n

q

= 1º termo = 2º termo

= 3º termo

= úlhmo termo (ou termo procurado)

= nº de termos

= razão = 2

3

1

2

aa

aa

=

32512 =−=−aa 32512 =−=−aa

1

2

aa

Observe a sequência:

( )1024256641641 ,,,,,S=

Temos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

1641

3

2

1

aaa

q = 4

n = 6 6aan = = 1024

2

3

aa

A razão da P. G. é:

1

2

aa

==14

==416

4

4

11

−⋅= nn qaa

Último termo de uma P.G. ou termo procurado

Primeiro termo da P.G.

Número de termos da P.G.

Razão

Termo Geral de uma P. G.

A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

Lado do quadrado: x

Perímetro do quadrado: x + x + x + x = 4x Área do quadrado: x ·∙ x = x2

Sequência: (x, 4x, x2)

xx

xx

44 2

= 16 = x

Área do quadrado = 162 = 256 u2

(correios-‐RJ) Considere a seqüência numérica (1, 3, 9, ...). O séhmo termo dessa seqüência é: a) 144. b) 288. c) 243. d) 729. e) 576.

Dados:

a1 = 1

q = 3

an = a7 = ?

n = 7

Termo geral da P. G.

an = a1 ·∙ qn -‐ 1

a7 = 1 ·∙ 37 -‐ 1

= 1 ·∙ 36

= 1 ·∙ 729

729

a7 a7

a7 =

Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o úlhmo termo é 375. O primeiro termo dessa PG é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Dados:

a1 = ?

q = 5

an = a4 = 375

n = 4

Termo geral da P. G.

an = a1 ·∙ qn -‐ 1

375 = a1 ·∙ 54 -‐ 1

= a1 ·∙ 53

= a1 ·∙ 125

a1

375 375

375 125

=

3 = a1

PROPORÇÕES

PROFº CLÁUDIO MENDES

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

dc

ba=

dcba ÷=÷

meios

extremos

meios

extremos

96

32=

Na proporção:

Os extremos são:

Os meios são:

2 e 9

3 e 6

“Dois está para três assim como seis está para nove”

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Ex:

96

32= 6392 ⋅=⋅

x12

34=

3124 ⋅=x

364 =x

436

=x

9=x

1014

55=

+x

( ) 514510 ⋅=+x705010 =+x

507010 −=x

2010 =x

1020

=x

2=x

÷

×

×

Em um jardim, existem rosas e margaridas. Para cada 5 rosas, existem 2 margaridas. Se o número total de flores for igual a 168, quantas rosas e quantas margaridas têm o jardim? Para cada 7 flores existem 5 rosas. Então, para 168 flores haverá x rosas.

x168

57=x168

57=

x168

57=

51687 ⋅=x8407 =x

7840

=x 120=x rosas

168 -‐120 = 48 margaridas

PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS


(IBGE) Um pipoqueiro vende pipocas em sacos de dois tamanhos: o pequeno custa R$0,60 e o grande, R$1,00. Quanto ele recebeu, em reais, no úlhmo fim de semana, se vendeu 32 sacos grandes e 24 pequenos? (A) 43,20 (B) 44,40 (C) 46,40 (D) 48,20 (E) 54,40

Sacos grandes: 32 ·∙ 1 = R$ 32,00

Sacos pequenos: 24 ·∙ 0,60 = R$ 14,40

Total: 32 + 14,40 = R$ 46,40

(Eletrobrás) Sustentada pelo avanço da construção civil, a venda de cimento vem aumentando nos úlhmos meses. Certa loja de material de construção vendeu 5,2 toneladas de cimento em fevereiro, 0,7 tonelada a mais do que em janeiro. Ao todo, quantas toneladas de cimento essa loja vendeu nesses dois meses? (A) 9,1 (B) 9,4 (C) 9,7 (D) 10,2 (E) 10,3

Fevereiro vendeu 0,7 toneladas a mais que janeiro

Janeiro = 5,2 – 0,7 = 4,5 toneladas

Janeiro + fevereiro = 5,2 + 4,5 = 9,7 toneladas

(Correios-‐RJ) A quanha de R$ 720,00 foi dividida entre três pessoas, de tal forma que a primeira recebeu a metade, a segunda a terça parte e a terceira o restante. Assinale a alternahva que corresponde à fração do total recebido pela terceira pessoa. a) 2 / 3. b) 3 / 5. c) 1 / 5. d) 1 / 6. e) 2 / 7.

1ª pessoa = _1_ de R$ 720,00 2 2ª pessoa = _1_ de R$ 720,00 3 1ª pessoa + 2ª pessoa

_1_ 2

+ _1_ 3

_3_ 6

+ _2_ 6

_5_ 6

=

_1_ 6

_6_ 6

– _5_ 6

=

= Restante: 1 – _5_ 6 =

de R$ 720,00

de R$ 720,00

(BNDES)Um automóvel parte para uma viagem com o tanque cheio. Depois de percorrer 3/8 do percurso dessa viagem, seu tanque está com a metade do combus�vel inicial. Nesse momento, o motorista para em um posto de gasolina e coloca combus�vel correspondente a 1/3 da capacidade do tanque. Ao final da viagem o tanque estará: (A) vazio. (B) com 1/6 da sua capacidade. (C) com 1/4 da sua capacidade. (D) com 1/3 da sua capacidade. (E) com 1/2 da sua capacidade.

3/8 da viagem 1/2 tanque x 5/6 tanque

_1_ 2

·∙ x = _5_ 16

x =

21165

= _5_ 8

da viagem

Percorreu 3/8 da viagem faltam 5/8 da viagem

_1_ 2

+ _1_ 3

_5_ 6

=

_3_ 8

·∙ _5_ 6

_15_ 48

= _5_ 16

= ÷3 ÷3

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Conceito de probabilidade

Ex: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos como resultado um número par?

O dado tem 6 faces Nº casos possíveis = 6

Nº pares: 2, 4, 6 Nº casos favoráveis = 3

P(A) = Nº casos favoráveis Nº casos possíveis

= _3_ 6

= _1_ 2

= 50% ÷3 ÷3

(Petrobras) Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? (A) 1/9 (B) 1/4 (C) 5/9 (D) 5/18 (E) 7/36

Casos possíveis:

6 6 1º dado 2º dado

6 ·∙ 6 = 36

Casos favoráveis:

9

54, 45, 36, 63

10

55, 46, 64

11

65, 56

12

66

10

P = casos favoráveis casos possíveis = 10

36 = _5_

18 ÷2 ÷2

(Eletrobrás) Certo site pesquisou a nacionalidade de seus usuários e constatou que 50% moram nos EUA, 9%, no Brasil, 7%, na Inglaterra, 4%, no Canadá, e os demais, em outros países. Sorteando-‐se ao acaso um usuário desse site que não more nos EUA, a probabilidade de que ele more fora do Brasil é de: (A) 9% (B) 18% (C) 40% (D) 82% (E) 91%

Valor arbitrário: 100

Casos possíveis = não moram nos E. U. A. = 50

Brasil = 9 Fora do Brasil = 41

41 50 =

_82_ 100

= 82%

Casos favoráveis:

P = x 2 x 2

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