Capitulo 02 Vetores 332

8/19/2019 Capitulo 02 Vetores 332

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1. VETORES

As quantidades físicas são divididas em dois tipos:

ESCALARES: são grandezas completamente definidas por um único número com

uma unidade:Ex: massa tempo temperatura energia!

"E#$R%A%S: são grandezas que t&m magnitude ' m(dulo) dire*ão e sentido+ Ex+:for*a deslocamento velocidade campo el,trico+

Operações : soma e diferen*a

Escalar: , soma alg,-rica simples+

"etorial: fazer resultante pois depende da dire*ão+

Representa*ão de um vetor: por uma seta orientada e seu taman.o ser/ proporcional

0 intensidade+

Vetor deslocamento: S( interessa a posi*ão inicial e final ' resultado liquido )+

$1S: A distância percorrida , diferente: do deslocamento+

2

1'Sf)

A'S3) A'S

3)

1'Sf )


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1.1. Soma vetorial – Método gr!ico:

4m ponto material , usado para caracterizado corpos cu5as dimens6es não afetam asolu*ão dos pro-lemas físicos de forma que todas as for*as podem ser consideradasaplicadas num único ponto+

As for*as aplicadas em um ponto material são caracterizadas por uma intensidade

(módulo), direção e sentido e são representados por setas orientadas+ A dire*ão , definida por sua lin.a de a*ão sendo caracterizada pelo 7ngulo '8) que forma com o eixo x positivo+

Regra do "aralelogramo 9 ode;se mostrar experimentalmente que dois vetores podem ser su-stituídos por uma única for*a resultante+ A for*a resultante pode ser o-tida pela regra do paralelogramo o-tido pela constru*ão de um paralelogramo usando as for*ascom lados+ A diagonal representa a Força resultante+

Soma vetorial – Regra do poligono + Se forem considerados v/rios vetores osmesmos podem somados de forma que a ponta de um vetor se5a conectada 0 extremidadeinicial do pr(ximo vetor e assim por diante+ $ vetor soma ser/ um vetor cu5a extremidadeinicial corresponde 0 extremidade inicial do primeiro vetor a ponta coincide com ponta da

ultimo vetor+

<

8

Lin.a de a*ão

#$ %

&1

&'

&1

&'

R ( &1)

&'

R


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+

"e5a o exemplo ilustrativo a-aixo de um exemplo pr/tico+

=onte: Est/tica; >ec7nica para Engen.aria+ R+ C+ ?i-eller+ 23@ edi*ão+ earson rentice?all+ /g+ 2+

ara a solu*ão dos pro-lemas normalmente , necess/rio o usodas propriedades trigonom,tricas de tri7ngulos:

B


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E


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1.'. +omponentes cartesianas de ma !orça:

As for*as podem ser decompostas em termos de suas componentes cartesianas =x e=O que se localizam ao longo do eixo x e O perpendiculares entre si+ $s eixos podem ter

qualquer inclina*ão desde que permane*am perpendiculares entre si+

+omponentes de m vetor: As componentes retangulares da for*a & mostradas na figura anterior podem serdeterminadas atrav,s do tri7ngulo ret7ngulo e são dadas por:

θ cos F F x =

eθ Fsen F y =

or outro lado se forem con.ecidas as componentes =x e =O de uma for*a 'vetor) podemos determinar a intensidade 'm(dulo) e o 7ngulo 8 que especifica a dire*ão e osentido novamente atrav,s das propriedades dotri7nguloret7ngulo:


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x

y

F

F tg =θ ou

= −

x

y

F

F tg

2θ

Vetores 2nitrios:

As for*as podem ser representadas em termos de vetores nitrios+ "etor adimensional cu5o m(dulo , a unidade+ Servem para descrever uma dire*ão no espa*o+ adire*ão positiva do eixo x introduz;se o vetor unit/rio P + a dire*ão positiva do eixo 5introduz;se o vetor unit/rio jQ +

&(=x 3) =O jQ

A soma de v/rias for*as pode ser feita atrav,s da soma das componentes vetoriais de cadafor*a+ Ie forma que se as for*as são dadas por:

&1(=2x 3) =2O jQ

&'(=


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E7ER+8+9O RESOV9;OS

1. ;etermine a intensidade da !orça resltante e sa direçorrio a partir do ei6o 6 positivo.

"amos resolver esse exercício usando o m,todo gr/fico+ '$-s: oderia se encontraro mesmo resultado usando a decomposi*ão de vetores)4sando a regra do paralelogramo construímos a figura a-aixo+

N

,$$


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A partir do tri7ngulo superior podemos calcular a for*a resultante pela lei dos cossenos:)E3cos'E33G33


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Aplicando a lei dos senos calculamos as for*as =AC e =A1+

N F SenSen

F AC

AC 2


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&orça &1:

N sen F

N F

y

x

223E)MHA'2A3

223E)MHAcos'2A3

2

2

==

==

&orça &':

N sen F

N F

y

x

FEA2)M2A'


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A dire*ão , dada calculando inicialmente o 7ngulo :α

MB22)EBB2

HEE'2 == −tg α

ortanto a angulo da for*a resultante medido em rela*ão ao eixo x positivo , dado por:MB22MBE3 −=θ

MFBHG=θ

2B


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'a ista de E6ercBcios

MCTO;O DR&9+O

F. Ietermine gra!icamente a intensidade e dire*ão da for*a resultante nas figurasa-aixo+ R: a) GH e


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R:F


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1'. A for*a =K 33 atua para -aixo em A nos dois elementos da estrutura+ Ietermineas intensidades das duas componentes da for*a ao longo de A1 e AC+ R: T*+ (#,,%- T* ( //0%

1#. 4ma for*a de 33 l- atua na estrutura tem componentes ao longo do eixo dasescoras A1 e AC+ Se a componente da for*a ao logo de AC for de B33l-'orientadade A para C) determine a intensidade da for*a que atua ao longo de A1 e o 7ngulo8+ R : /0,% - '/-,H

1/. ara puxar um tora por dois tratores a resultante =R das duas for*as deve ser de 23 e estar orientada ao longo do eixo x positivo+ Ietermine o 7ngulo 8 para que afor*a =1 se5a mínima+ ual a intensidade da for*a em cada ca-oD R: ,$H- &*(0-,,%-&(F-$%

2


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1F. 4ma viga deve ser levantada conforme figura a-aixo por uma for*a resultante de33 orientada ao longo do eixo U positivo+ Ietermine a intensidade das for*as =Ae =1 e o 7ngulo 8 de forma que a intensidade de =1 se5a mínima+ R: ,$H- &*(F'$%-&(#$$%

+OM"O%E%TES VETOR9*9S

1,. A componente x de um certo vetor vale 9


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R: *6( =?G-0% - *I(1/F%J 6( '$F% - I(1/#J +6( ,#-/% - +I(=1#,% ;6( =F'-?%- ;I(=''?%

1?. Encontre o m(dulo'intensidade) e o 7ngulo dos vetores a-aixo indicados+Represente;os graficamente

a) ji A QAQB −= R: F-0# e #$1H -) ji B QHQE +−= R: G-'1 e 1/,-#H c) jiC Q


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'/. Ietermine o m(dulo e a dire*ão da resultante das tr&s for*as da figura a-aixo: R:F/, %- 'F#H

'F. 4m poste e sustentado por um ca-o conforme figura a-aixo+ Sa-endo que a tra*ãono ca-o AC , de BF3 determine as componentes .orizontal e vertical da for*aexercida em C+ R a) #acx K ;2


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'?. Ietermine a intensidade e a orienta*ão de = 1 de modo que a for*a resultante se5aorientada ao longo do eixo O positivo e ten.a intensidade de 233+ R: ?,$%- ,0-,H

EVERCWC%$S AI%C%$A%S:

a) Ietermine o m(dulo da for*a = de modo que a resultante das tr&s for*as se5a tão pequena quanto possível+ ual o m(dulo da for*a resultante neste casoD

-) As tr&s for*as mostradas na figura são aplicadas a um suporte+ Ietermine a faixa devalores para o m(dulo -a for*a " de modo que a resultante das tr&s for*as não exceda a


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