Capítulo 1 Definição de Sinais e Sistemas - Técnico Lisboa · – Os valores de RGB em cada ponto (x,y) do domínio é o triple (r,g,b) ∈Intensidade 3 (r,g,b) = ImagemCor(x,y)

1

1Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto

Capítulo 1

Definição de Sinais e Sistemas

1.1 Introdução

1.2 Representação dos sinais como funções

1.3 Representação dos sistemas como funções

1.4 Definições básicas de funções

1.5 Definição de sinal

1.6 Definição de sistema


Capítulo 1


1.1 Introdução






2

Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto 3

1.1 Introdução (1/2)

• Sinais contêm / transportam informação– Som, imagem, música, sequência de comandos, lista de nomes, ...

• Sistemas armazenam, transformam e transmitem sinais– Relação entre os sinais de entrada e de saída (descrição declarativa do

sistema)

– Procedimento para converter o sinal de entrada no de saída (descrição imperativa do sistema)

– Gravador de vídeo, sistema de reconhecimento de fala, sistema de síntese de texto para fala, sistema operativo, sistema que interpreta uma sequência de comandos de um músico e produz um som, ...


1.1 Introdução (2/2)

• Vamos desenvolver modelos matemáticos de forma a formalizar estes conceitos.

• Vamos modelar tanto os sinais como os sistemas como funções.– Sinal é uma função que mapeia o domínio no contra-domínio

• Domínio: Tempo, espaço, ...

• Contra-domínio: Pressão do ar, intensidade luminosa, ...

– Sistema é uma função que mapeia sinais do domínio em sinais do contra-domínio

• Domínio e contra-domínio são conjuntos de sinais (espaço de sinais)

• Sistema é uma função que opera em funções

3


Capítulo 1


1.1 Introdução








• Sinais são funções que transportam informação na forma de padrões temporais e espaciais– Rádio e TV são ondas electromagnéticas

– Imagens são padrões espaciais de intensidades luminosas de diferentes cores

– Sensores (velocidade, temperatura ou pressão) convertem essas quantidades em tensão eléctrica, que são convertidas em digital para processamento através do computador

– Vamos também estudar sinais usados para representar sequências de comandos ou sequência de eventos

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• Exemplos de sinais:– Áudio

– Temperatura

– Sinais representados por uma expressão

– Imagens

– Sinais de vídeo

– Sinais representando atributos físicos

– Sequências



• Sinais Áudio– O som resulta de variações rápidas na pressão do ar

Som: Tempo � Pressão

– Exemplo de um bocado de um sinal de fala

Som: Tempo � Pressão

5



– Sinais contínuos são funções definidas num intervalo contínuo de tempo (conjunto dos Reais)

– Sinais discretos são definidos apenas em pontos discretos no tempo

– Exemplo de um fragmento de um sinal de fala discreto



• Temperatura– Evolução da temperatura de uma forma contínua

– Representação da temperatura de uma forma discreta

0 12 24

0 12 24

6



• Sinais representados por uma expressão– Som puro emitido por um diapasão a 440Hz (440 ciclos/seg)

– ∀t∈Reais, TomPuro(t) = A sin(2π.440t)

– Frequência de 440Hz, sinal periódico

TomPuro: Reais � Reais



– O sinal de fala, apesar da sua irregularidade, podemos o considerar como resultante da soma de sinais sinusoidais com amplitudes e frequências diferentes

– Exemplo:

∀t∈Reais, SomaDeTons(t) = A1 sin(2π.440t) + A2 sin(2π.660t)

7



• Imagens

– ImagemPB: [0,11]x[0,15] � [0,Bmax]

– Os valores de RGB em cada ponto (x,y) do domínio é o triple (r,g,b)∈Intensidade3

(r,g,b) = ImagemCor(x,y)

ImagemPB: EspaçoVertical x EspaçoHorizontal � Intensidade

ImagemCor: EspaçoVertical x EspaçoHorizontal � Intensidade3



– Uma imagem digital é discreta tanto no domínio como no contra-domínio

• Imagem de 300x200 pixels

• EspaçoVertical={1,2,..., 300}

• EspaçoHorizontal={1,2,..., 200}

• Inteiros8={0,1,...,255}

ImagemDigital: EspaçoVertical x EspaçoHorizontal � Inteiros83

8



• Sinal de vídeo– Um vídeo é uma sequência de imagens mostradas a uma determinada

frequência / ritmo (NTSC 30 imagens/seg)

Vídeo: TempoTrama � ImagemDigital

ImagemDigital: EspaçoVertical x EspaçoHorizontal � Intensidade3



• Sinais representando atributos físicos

– A posição de um avião pode ser expressa como

onde ∀t∈Tempo, Posição(t) =( x(t), y(t), z(t) )

– A posição e velocidade do avião é a função

onde ∀t∈Tempo, s(t) =( x(t), y(t), z(t), Vx(t), Vy(t), Vz(t) )

Posição: Tempo � Reais3

Posição: Tempo � Reais6

9



• Sequências– Sequências ocorrem como representação de dados ou como

representação de um fluxo de eventos

– Exemplos:• Um ficheiro guardado num disco é uma sequência de bits

• Uma pauta de música é uma sequência de notas

– Sequências de dados são funções da forma

• Neste caso os Índices deixam de representar instantes uniformemente espaçados no tempo mas os símbolos ocorrem em sequência

– Fluxo de eventos• LevantarAuscultador, OuvirSinalLigar, DigitarDígitos, OuvirSinalChamar, OuvirResposta, ...

Dados: Índices � Símbolos


Capítulo 1


1.1 Introdução






10



– Sistemas são funções que transformam sinais

– Exemplo: concerto ao vivo• O som produzido não é preservado para a posteridade

• Gravar o concerto– Armazenamento do sinal

• Melhorar a qualidade do som– Equalizador de áudio

– Redução de ruído

• Disponibilizar na Web– Codificação / descodificação do sinal

– Encriptação / decifração

– Sistemas para controlar processos físicos: aquecimento da sala• Sensores que geram sinais com informação

• Controlador para gerar os sinais que vão actuar



• Sistemas como funções– Considere-se um sistema S que transforma o sinal de entrada x no

sinal de saída y

y=S(x)

– Suponha-se que x:D � R

– O domínio de S é o conjunto X

X = [D � R] = {x|x:D � R}

– O conjunto X é denominado o espaço do sinal ou o espaço da função

– O sistema S é uma função mapeando um espaço de sinal noutro espaço de sinal

S : [D � R] � [D’ � R’]

11



• Sistema de telecomunicações global



• Sistema DTMF

12



• Modems



• Sistema de controlo com retroacção (feedback)– Controlo de temperatura

– Escada rolante

13


Capítulo 1


1.1 Introdução








• Atribuição declarativa– Defina-se f:X � Y

∀x∈X, f(x) =expressão em x

– A definição desta função é declarativa porque declara propriedades da função sem explicar como construir a função.

– Exemplos:•

•

•

>

=

<−

=∈∀

01

00

01

)(,Reais

xse

xse

xse

xSinalx

22)(,C yxzAbsolutoomplexosjyxz +=∈+=∀

2)(,Reais xxQuadradox =∈∀

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• Representação gráfica– Defina-se f:X � Y

– Exemplo:

)}(|),{()( xfyeXxyxfGráfico =∈=

}]1,1[|),{()( 2xyexyxQuadradoGráfico =−∈=



• Representação em tabelas– Se a função f:X � Y tem um domínio finito, pode ser especificada

simplesmente pela lista de todos os seus elementos.

– A lista pode ser colocada sob a forma de tabela. A tabela define a função.

– Exemplo:

Pauta: Estudantes � [0,20]

– Esta função não pode ser definida através de uma atribuição declarativa

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• Procedimentos– Neste caso vamos ter um método construtivo para determinar um

elemento no contradomínio dado um elemento no domínio

– Exemplo: procedimento para calcular um factorial de um número

Factorial: {1,...,10} � Naturais

Factorial(1)=1;

for n=2:10

Factorial(n)=n*Factorial(n-1);

End

– Denomina-se atribuição imperativa

– Exemplo:

x

xy

)sin(= xxMathy /)sin(.=



• Composição de funções– Funções podem ser combinadas para definir novas funções

– Composição de funções

– O contradomínio de f1 tem que estar contido no domínio de f2.

– Exemplo: sistema de transmissão de dados

bits � modem � sinal de fala � rede telefónica

– Notação:

))(())(( 1212 xffxff =o

':)(''':: 312321 YXfondefffentãoXYSeYXfeYXf →=⊂→→ o

))(()(, 123 xffxfXx =∈∀

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Capítulo 1


1.1 Introdução








• Os sinais são funções– Definição através da atribuição declarativa e imperativa ou através de

um modelo físico que produza esse sinal.

– Exemplo: sinal de áudio que é um tom puro a 440Hz

• Definição declarativa

• Definição imperativa

double s(double t) { return(Math.cos(440*2*Math.Pi*t)); }

)2*440cos()(,Tempo ttSt π=∈∀

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• Modelo físico

Um tom puro pode ser definido como a solução para uma equação diferencial que descreve a física de um diapasão

O deslocamento satisfaz a equação diferencial

A solução da equação diferencial

O deslocamento do dente provoca vibrações

no ar criando um som sinusoidal puro.

)()( 20 tyty ω−=&&

)cos()(,Reais 0ttyy ω=∈∀ +

m

k=2

0ω



• Transformações lineares da variável independente

a e b são reais a e b são inteiros

– Diferentes valores de a e b correspondem a diferentes operações:• Reflexão em relação à origem (a=-1, b=0)

• Mudança de escala (a>0, b=0)

• Translação no tempo (a=1, b≠0)

)()( batxty += )()( banxny +=

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– Reflexão em relação à origem (a=-1, b=0)

)()( txty −= )()( nxny −=

t

x(t)

t

x(-t)

n

x(n)

n

x(-n)



– Mudança de escala (a>0, b=0)

• Se a>1 compressão temporal

• Se a<1 expansão no tempo

• Se a<0 mudança de escala e inversão no tempo

)()( atxty = )()( anxny =

t

x(t)

t

x(2t)

t

x(t/2)

t

x(-t/2)

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– Translação no tempo

• Se b>0 é um avanço e se b<0 é um atraso

)()( btxty += )()( bnxny +=

t

x(t)

t

x(t+t0)

-t0

n

x(n)

n

x(n- n0)

n0



– Caso geral

t 0 1 2

t 0 1 2-1

t 0 1 2-1

t 0 2/3 4/3

t 0 2/3 -2/3

)(tx

)1( +tx

)1( +−tx

tx2

3

+12

3tx

20



• Exercício– Considere o seguinte sinal

– Determine a) x(-t)

b) x(-t/2)

c) x(2-t/2)

t

x(t)



• Propriedades dos sinais– Paridade

• Um sinal diz-se par quando x(t)=x(-t) ou x(n)=x(-n)

• Sinal par é aquele que é simétrico em relação à origem

• Um sinal diz-se ímpar quando x(t)=-x(-t) ou x(n)=-x(-n)

• Para um sinal ímpar tem-se sempre x(0)=0

t

x(t)

t

x(-t)

t

-x(-t)

t

x(t)

t

x(-t)

21



• Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar

• Decompor o seguinte sinal:

)()()( txtxtx ip += )()()( nxnxnx ip +=

[ ])()(2

1)( txtxtxp −+=

[ ])()(2

1)( txtxtxi −−=

t

x(t)



– Periodicidade• Um sinal diz-se periódico quando existe T>0 (ou N>0) tal que

• O parâmetro T (ou N) designa-se por período do sinal

• Se x(t) é periódico com período T então ∀t x(t)=x(t+mT) com m=1,2,3,...

ou seja x(t) é periódico com período T,2T,3T,...

• Define-se como período fundamental T0 o menor valor positivo T0 para o qual ∀t x(t)=x(t+T0)

• O sinal x(t)=cte. é periódico, não se definindo o período fundamental

• O valor de N terá de ser um valor inteiro

)()( Ttxtxt +=∀ )()( Nnxnxn +=∀

t

... ...

0 T 2T -2T -T

22



– Exercício

• Diga se o seguinte sinal é ou não periódico e, se o for, qual o período fundamental

+=

22cos2)(

πttx



• Exercício– Considere o sinal

– Determine e desenhe

≤≤−

<≤

=

tdevaloresoutros

tt

tt

tx

0

212

10

)()(tx

)() txa

)2() txb −

)22() +txc

)() txd p

)() txe i

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• Exercício– Dado o sinal

esboçar

)(nx

)2()

)2()

2

1)

)2()

)()

−

+

−

nxe

nxd

nxc

nxb

nxa

n

x(n)


Capítulo 1


1.1 Introdução






24



– Um sistema é uma função na qual o domínio e o contra-domínio são conjuntos de sinais, o denominado espaço de sinais

– Para descrever um sistema devemos especificar• Domínio (o espaço de sinais de entrada)

• Contra-domínio (o espaço dos sinais de saída)

• Regras (pelas quais o sistema atribui um sinal de saída para cada sinal de entrada)

– Difícil de especificar estas regras

– Muitos sistemas não permitem a descrição do seu funcionamento através de modelos matemáticos precisos

• Vamos restringir a sistemas que consigamos entender o seu comportamento

– Um sistema contínuo (discreto) é aquele que transforma sinais de entrada contínuos (discretos) em sinais de saída contínuos (discretos)



• Propriedades dos sistemas– Sistema com e sem memória

• Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo

• Exemplo: Resistência e CondensadorEntrada i(t) e saída v(t)

Sem memória Com memória

• Dois sistemas com os mesmos sinais de entrada e de saída, só que a relação entre a entrada e a saída é diferente

)()( tRitv = ∫∞−

=t

diC

tv ττ )(1

)(

i(t) v(t)

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– Causalidade• Um sistema causal (não-antecipativo) é aquele para o qual o sinal de

saída depende apenas do presente e/ou do passado do sinal de entrada

• Exemplo: Automóvel é um sistema causal– Só depois de carregar no acelerador é que ele se move

• Exemplo: Condensador é um sistema causal– A tensão de saída depende da corrente até ao instante t

• Os sistemas sem memória são sempre causaisy(n)=x(n)-x(n+1)

• Embora os sistemas causais sejam de grande importância não são os únicos

– Tratamento de imagens, tratamento de dados previamente gravados



– Estabilidade• Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando

qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada

• Existem vários conceitos de estabilidade / instabilidade

• Exemplos:

y(n) = x(n)

y(n) = 2 x(n)

y(n) = n x(n)

26



– Invariância temporal• Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação no tempo

do sinal de entrada conduz à mesma translação no tempo do sinal de saída, i.e.,

• Exemplo: Condensador - sistema invariante no tempo

• Exemplo: sistema variante no tempo

)()()()( 00 ttyttxtytx −→−⇒→

∫∞−

=t

diC

tv ττ )(1

)( 11

)(2

1)( 11 nxny

n

=



– Linearidade• Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição: se

o sinal de entrada é uma combinação linear de vários sinais, então a saída do sistema é a mesma combinação linear (sobreposição) das saídas correspondentes a cada uma das entradas individuais.

• Um sistema linear goza das seguintes propriedades:– Aditividade:

– Homogeneidade:

– Sobreposição:

• Exemplos:

)()()()( 2121 tytytxtx +→+

)()( 11 taytax →

)()(11

tyatxa k

K

kkk

K

kk ∑∑

==

→

)()( nnxny =

))(sin()( txty =

27



• Note:– Sistema não linear pode ser invariante no tempo (2º exemplo)

– Sistema variante no tempo pode ser linear (1º exemplo)

• Os sistemas lineares têm resposta nula quando o sinal de entrada é nulo

• O sistema diz-se incrementalmente linear quando responde linearmente a variações no sinal de entrada

• Embora os sistema físicos não sejam, de um modo geral, completamente lineares é frequente modelos lineares serem apropriados à descrição de fenómenos físicos em diversos contextos particulares

• Sistema não-lineares

• Sistemas lineares e invariantes no tempo

3)(2)( += nxny



– Inversibilidade e sistema inverso• Um sistema diz-se inversível quando sinais de entrada distintos

conduzem a sinais de saída distintos, i.e., um sistema é inversível quando por observação (conhecimento) da sua saída é possível determinar o sinal à sua entrada

• Exemplo

x(t) y(t) x(t) S S'

)()( 2txty =

28



• Sistemas descritos através de equações diferenciais– Sistemas contínuos podem ser definidos através de equações

diferenciáveis na relação entre o sinal de entrada e de saída

em que

e

– Exemplo:

SinaisContSinaisContS →:

+== ReaisTempoouReaisTempo

][][ ComplexosTempoouReaisTempoSinaisCont →→=

m

x(t)

k

y(t)

)()()(

2

2

txtkydt

tydm =+



• Sistemas descritos através de equações às diferenças– Sistemas discretos podem ser definidos através de equações às

diferenças na relação entre o sinal de entrada e de saída

em que

e

– Exemplo:

SinaisDiscSinaisDiscS →:

NaturaisTempoouInteirosTempo ==

][][ ComplexosTempoouReaisTempoSinaisDisc →→=

][][: ReaisNaturaisReaisNaturaisS →→→

)(],[ xSyReaisNaturaisx =→∈∀

2

)1()()(,

−+=∈∀

nxnxnyInteirosn

≥

==casosoutros

nsenunx

0

01)()(

=

≥

=

casosoutros

nse

nse

ny

0

021

11

)(

29



• Diagrama de blocos– Diagrama de blocos é uma sintaxe visual para descrever um sistema

como uma interligação de outros sistemas, cada um deles com uma relação particular de entrada/saída

– Cada bloco representa um sistema individual que transforma um sinal de entrada num sinal de saída

– Um bloco representa uma função, e a ligação da saída de um bloco na entrada de outro bloco representa a composição das duas funções (a saída de um bloco deve ser do mesmo tipo da entrada do outro bloco)

– Os diagramas de blocos permitem uma combinação hierárquica de blocos permitindo esconder determinados passos e realçar outros



S1:X→→→→Y

S2:Y→→→→Z

S:X→→→→Z

x∈∈∈∈X y∈∈∈∈Y z∈∈∈∈Z

X=[D→→→→R] Y=[D'→→→→R'

]

Z=[D''→→→→R'']

∀∀∀∀x∈∈∈∈X, S(x)=S2(S1(x))

30



S1:X→→→→Y

S2: WxY→→→→Z

S:WxX→→→→Z

x∈∈∈∈X y∈∈∈∈Y

z∈∈∈∈Z

X=[Dx→→→→Rx] Y=[Dy→→→→Ry]

Z=[Dz→→→→Rz]

∀∀∀∀(x,w)∈∈∈∈XxW, S(x,w)=S2(w,S1(x))

w∈∈∈∈W

W=[Dw→→→→Rw]



S1:X→→→→Y

S2: WxY→→→→Z

S': X→→→→Z

x∈∈∈∈X y∈∈∈∈Y

z∈∈∈∈Z

X=[Dx→→→→Rx] Y=[Dy→→→→Ry]

Z=[Dz→→→→Rz]

∀∀∀∀x∈∈∈∈X, S'(x)=S2(S'(x),S1(x))

z∈∈∈∈W

Z⊂⊂⊂⊂W

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Capítulo 1 Definição de Sinais e Sistemas - Técnico Lisboa · – Os valores de RGB em cada ponto (x,y) do domínio é o triple (r,g,b) ∈Intensidade 3 (r,g,b) = ImagemCor(x,y)